- Trang chủ >>
- Khoa học tự nhiên >>
- Vật lý
Nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước lên sự gia tăng sóng âm ( phonon âm) giam cầm trong dây lượng tử hình trụ hỗ thể cao vô hạn
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.23 MB, 70 trang )
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
Nguyễn Đình Nam
NGHIÊN CỨU ẢNH HƢỞNG CỦA HIỆU ỨNG GIẢM KÍCH THƢỚC
LÊN SỰ GIA TĂNG SÓNG ÂM ( PHONON ÂM ) GIAM CẦM TRONG DÂY
LƢỢNG TỬ HÌNH TRỤ HỐ THẾ CAO VÔ HẠN
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Hà Nội – 2011
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
Nguyễn Đình Nam
NGHIÊN CỨU ẢNH HƢỞNG CỦA HIỆU ỨNG GIẢM KÍCH THƢỚC
LÊN SỰ GIA TĂNG SÓNG ÂM ( PHONON ÂM ) GIAM CẦM TRONG
DÂY LƢỢNG TỬ HÌNH TRỤ HỐ THẾ CAO VÔ HẠN
Chuyên ngành : Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã số : 604401
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
GS.TS. NGUYỄN QUANG BÁU
Hà Nội - 2011
Nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước Nguyễn Đình Nam
Cao học 2009 - 2011
1
MỤC LỤC
Mở đầu……………………………………………………………………………1
Chương 1 : Lý thuyết gia tăng phonon âm ( sóng âm ) trong bán dẫn khối và
trong dây lượng tử trong trường hợp phonon không giam cầm. 4
1.1 Lý thuyết gia tăng phonon âm ( sóng âm ) trong bán dẫn khối………….4
1.1.1 Xây dựng phương trình động lượng tử cho phonon trong bán dẫn
khối…………………………………………………………………… 4
1.1.2 Lý thuyết gia tăng sóng âm trong bán dẫn khối (trường hợp hấp
thụ một phonon)…………………………………………………………7
1.1.3 .Ảnh .hưởng của quá trình hấp thụ nhiều photon .lên hệ số gia tăng
sóng âm và điều kiện gia tăng sóng âm trong bán dẫn khối………… 11
1.2 Lý thuyết gia tăng phonon âm (sóng âm) trong dây lượng tử trong trường
hợp phonon không giam cầm………………………………………… 14
1.2.1. Xây dựng phương trình động lượng tử cho phonon trong dây lượng
tử………………………………………………………………… … 14
1.2.2 Biểu thức tổng quát cho hệ số hấp thụ sóng âm……………… 18
1.2.3 Hệ số hấp thụ sóng âm trong trường hợp hấp thụ một photon…21
1.2.4 Hệ số hấp thụ sóng âm trong trường hợp hâp thụ nhiều photon 24
Chương 2 : Hiệu ứng giảm kích thước ảnh hưởng lên phổ năng lượng của điện tử
và phonon trong dây lượng tử hình trụ hố thế cao vô hạn và phương trình động
lượng tử cho phonon giam cầm…………………………………………………27
2.1 Hiệu ứng giảm kích thước ảnh hưởng lên phổ năng lượng của điện tử và
phonon trong dây lượng tử hình trụ hố thế cao vô hạn…………………………27
2.2 Phương trình động lượng tử cho phonon giam cầm………………….28
2.2.1 Hamilton của hệ điện tử-phonon âm giam cầm trong dây lượng tử
hình trụ hố thế cao vô hạn………………………………………………………28
2.2.2 Phương trình động lượng tử cho phonon âm giam cầm trong dây
lượng tử hình trụ hố thế cao vô hạn…………………………………………… 29
Nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước Nguyễn Đình Nam
Cao học 2009 - 2011
2
Chương 3 : .Ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích .thước lên .sự gia .tăng sóng âm.
(phonon âm) giam cầm .bởi trường .bức xạ laser trong .dây lượng tử hình trụ .hố.
thế cao vô hạn………………………………………………………………… 46
3.1 Biểu thức giải tích của tốc độ gia tăng sóng âm (phonon âm) giam cầm
bởi trường bức xạ laser trong dây lượng tử hình trụ hố thế cao vô hạn……… 46
3.2 Tính toán số, vẽ đồ thị và bàn luận……………………………….…53
Kết luận ……………………………………………………………………… 58
Tài liệu tham khảo…………………………………………………………… 60
Phụ lục………………………………………………………………………… 63
Danh mục các hình vẽ………………………………………………………… 67
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ
Hình 3.1 :Biểu diễn sự phu thuộc của tốc độ gia tăng phonon âm (hệ số gia tăng
phonon âm) vào vectơ sóng của phonon
z
q
…………………………………….54
Hình 3.2 : Biểu diễn sự phụ thuộc của tốc độ gia tăng phonon âm (hệ số gia tăng
phonon âm) vào tần số trường sóng điện từ (bức xạ Laser)…………………….55
Hình 3.3 :Biểu diễn sự phụ thuộc của tốc độ gia tăng phonon âm (hệ số gia tăng
sóng âm) vào cường độ trường điện từ
E
o
………………………………………56
Hình 3.4 : Biểu diễn sự phụ thuộc của tốc độ gia tăng sóng âm (hệ số gia tăng
phonon âm) vào nhiệt độ T…………………………………………………… 57
Nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước Nguyễn Đình Nam
Cao học 2009 - 2011
3
MỞ ĐẦU
Khoa học vật liệu ngày càng phát triển, các thành tựu của nó ngày càng
được ứng dụng rộng rãi. Các nhà khoa học quan tâm, nghiên cứu các tính chất
vật lý của vật liệu, trong đó có hiệu ứng giảm kích thước. Trong cấu trúc bán
dẫn, khi chuyển động của hạt dẫn bị giới hạn nghiêm chặt dọc theo dọc theo một
tọa độ với vùng rắt hẹp không quá vài trăm
0
A
và chiều rộng này so sánh được
với chiều dài bước sóng De Broglie thì hiệu ứng giảm kích thước xuất hiện. Hiệu
ứng giảm kích thước ảnh hưởng lên các tính chất của bán dẫn thấp chiều nói
chung và dây lượng tử nói riêng.
Khi chuyển từ hệ bán dẫn khối sang hệ thấp chiều 2D, 1D hay 0D, do hiệu
ứng giảm kích thước gây nên làm thay đổi một loạt các tính chất vật lý cả về
định tính và định lượng. Chính điều này đã làm sơ sở để tạo ra các linh kiện điện
tử thế hệ mới siêu nhỏ, đa năng và thông minh làm việc theo những nguyên lý
hoàn toàn mới.
Dây lượng tử là một ví dụ điển hình về hệ khí điện tử một chiều. Hiện
nay, dây lượng tử có thể được chế tạo nhờ phương pháp MBE hay MOCVD.
Trong cấu trúc dây lượng tử, chuyển động của điện tử được giới hạn 2 chiều làm
cho điện tử chỉ có thể chuyển động tự do theo một chiều. Sự giam cầm điện tử
trong hệ này làm thay đổi khả năng chuyển động của điện tử. Chính điều này dẫn
tới một số hiện tượng mới. Các hiện tượng này khác với các hiện tượng trong các
bán dẫn khối. Trong các loại dây lượng tử thì dây lượng tử hình trụ là loại hay
được sử dụng nhất trong các nghiên cứu lý thuyết.
Hiệu ứng giảm kích thước (trong bán dẫn thấp chiều) ảnh hưởng lên các
tính chất vật lý làm các tính chất vật lý thay đổi, trong đó có sự thay đổi tốc độ
gia tăng phonon âm (gia tăng sóng âm), hấp thụ phonon bởi trường sóng điện từ
(trường bức xạ laser) do tương tác điện tử - phonon gây ra.
Sự gia tăng sóng âm bởi trường bức xạ laser là một đề tài được nghiên
cứu rộng rãi trong bán dẫn khối [22,23,24,28,30,33], bán dẫn thấp chiều [4,5,16]
trong trường hợp chưa xét đến ảnh hưởng của phonon giam cầm. Sự gia tăng
phonon âm (sóng âm) có thể hiểu là khi điện tử hấp thụ năng lượng sóng điện từ
(phonton) thì nó đồng thời có thể hấp thụ và phát xạ phonon âm. Trong một số
điều kiện được thỏa mãn, quá trình phát xạ áp đảo (trội hơn) quá trình hấp thụ
phonon và dẫn đến tại đó có sự gia tăng phonon âm (sóng âm).
Nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước Nguyễn Đình Nam
Cao học 2009 - 2011
4
Còn trong trường hợp xét tới ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước
tức ảnh hưởng của điện tử giam cầm và phonon giam cầm, đã có một số tác giả
nghiên cứu trong các hệ hai chiều (siêu mạng hợp phần, siêu mạng pha tạp, hố
lượng tử) [4,5,16] nhưng chưa ai làm trong hệ một chiều nói chung và trong dây
lượng tử hình trụ hố thế cao vô hạn nói riêng. Do đó trong luận văn này chúng
tôi nghiên cứu đề tài “Nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích lên sự gia
tăng sóng âm (phonon âm) giam cầm trong dây lượng tử hình trụ hố thế cao vô
hạn ”.
Phương pháp nghiên cứu: Để giải quyết bài toán vật lý thuộc loại này, ta
có thể áp dụng nhiều phương pháp khác nhau của vật lý lý thuyết. Từ góc độ lý
thuyết cổ điển Boltzmann, còn từ góc độ lý thuyết lượng tử, ta có thể sử dụng
phương pháp hàm Green, phương pháp tích phân phiếm hàm, phương pháp
phương trình động lượng tử. Mỗi phương pháp đều có những ưu nhược điểm
khác nhau khi áp dụng cho các loại bài toán vật lý cụ thể khác nhau. Trong luận
văn này chúng tôi đã sử dụng phương pháp phương trình động lượng tử (nhờ
phương trình chuyển động Heisenberg và Hamiltonian cho hệ điện tử-phonon
trong hình thức luận lượng tử hóa lần hai) để giải quyết bài toán. Ngoài ra, trong
phần tính toán số và vẽ đồ thị kết quả lý thuyết thu được, chúng tôi sử dụng ngôn
ngữ lập trình Matlab trên hệ điều hành Windows. Phương pháp này đã tỏ rõ ưu
việt khi giải quyết các bài toán vật lý tương tự trong bán dẫn thấp chiều và cho
phép thu nhận biểu thức giải tích, tính số và vẽ đồ thị các đại lượng vật lý đặc
trưng cho hiệu ứng.
Luận văn đã đưa ra được biểu thức giải tích cho tốc độ gia tăng sóng âm
(phonon âm) giam cầm bởi trường bức xạ laser trong dây lượng tử hình trụ hố
thế cao vô hạn, sự phụ thuộc của tốc độ gia tăng sóng âm vào vectơ sóng âm, tần
số sóng âm
,
tần số trường bức xạ laser. Trong luận văn đã thực hiện khảo sát và
tính toán số trong trường hợp cụ thể đối với mẫu dây lượng tử hình trụ
GaAs/GaAsAl. So sánh các kết quả thu được với trường hợp không xét đến ảnh
hưởng của phonon giam cầm ta thấy rằng tốc độ gia tăng sóng âm giam cầm
mạnh hơn. Đặc biệt, biểu thức giải tích của tốc độ gia tăng sóng âm còn phụ
thuộc vào m,m’ là chỉ số giam cầm đặc trưng cho phonon giam cầm, khi cho
m,m’ tiến tới 0 ta dễ dang thu lai được kết quả như trong trường hợp phonon
không giam cầm.
Bố cục luận văn gồm 3 chương, ngoài phần mở đầu, kết luận và phụ lục
với 67 trang, 33 tài liệu tham khảo.
Nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước Nguyễn Đình Nam
Cao học 2009 - 2011
5
Chương 1: Lý thuyết gia tăng phonon âm (sóng âm) trong bán dẫn khối và
trong dây lượng tử trong trường hợp phonon không giam cầm.
Chương 2: Hiệu ứng giảm kích thước ảnh hưởng lên phổ năng lượng của
điện tử và phonon trong dây lượng tử hình trụ hố thế cao vô hạn và phương trình
động lượng tử cho phonon giam cầm.
Chương 3 : Ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước lên tốc độ gia tăng
sóng âm (phonon âm) giam cầm bởi trường bức xạ laser trong dây lượng tử hình
trụ hố thế cao vô hạn.
Các kết quả chính thu được trong luận văn là mới mẻ và có giá trị khoa
học nhất định, được báo cáo và in toàn văn trong proceedings của hội nghị vật lý
lý thuyết toàn quốc lần thứ 36 ở Quy Nhơn (8-2011). Ngoài ra những vấn đề phát
triển và liên quan đến đề tài luận văn về hiệu ứng giảm kích thước cũng đã được
chúng tôi công bố thành các công trình [7,8,11,14]
CHƢƠNG 1
LÝ THUYẾT GIA TĂNG SÓNG ÂM TRONG BÁN DẪN KHỐI VÀ
TRONG DÂY LƢỢNG TỬ (NHƢNG KHÔNG KỂ ĐẾN ẢNH HƢỞNG
CỦA GIAM CẦM PHONON)
1.1. Lý thuyết gia tăng sóng âm trong bán dẫn khối.
1.1.1. Xây dựng phƣơng trình động lƣợng tử cho phonon trong bán
dẫn khối.
Nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước Nguyễn Đình Nam
Cao học 2009 - 2011
6
Hamiltonian của hệ điện tử - phonon trong bán dẫn khối khi có mặt
trường sóng điện từ
)sin(
0
tEE
được xác định bởi biểu thức :
2
,
1
( ) ( ) ( )
2
p p q q q q p q p q q
p q p q
e
H t p A t a a b b C a a b b
mc
(1.1)
Trong đó
p
a
và
p
a
(
q
b
và
q
b
) tương ứng là toán tử sinh và toán tử huỷ của
điện tử (phonon);
2
1
( ) ( )
2
e
p p A t
mc
là năng lượng điện tử;
q
là năng
lượng của phonon âm;
p
và
()pq
là trạng thái của điện tử trước và sau khi tán
xạ;
p
)(q
là vectơ sóng của điện tử (phonon) trong bán dẫn khối, c là vận tốc ánh
sáng; m và e tương ứng là khối lượng và điện tích của điện tử;
q
C
là hằng số
tương tác điện tử - phonon,
)(tA
là thế vectơ và trong mối liên hệ với trường
sóng điện từ, xác định bởi biểu thức:
0
1 ( )
sin( )
d A t
Et
c dt
(1.2)
Từ Hamilton (1.1) ta có:
2
1
, ( ) ( ) ,
2
, , ( ) .
,
e
i b b H t p A t b a a
q q q p p
t m c
t
p
tt
b b b C b a a b b
p
k
k k k p k k k
t
k p k
t
(1.3)
Thực hiện các phép biến đổi, và chú ý các hệ thức toán tử, ta có:
i b b C a a
q q q q p q p
t
t t t
p
(1.4)
Ta thiết lập phương trình cho
p q p
t
aa
:
Nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước Nguyễn Đình Nam
Cao học 2009 - 2011
7
2
1
, ( ) ' ( ) ,
''
2
'
, , ( )
'
'
',
e
i a a a a H t p A t a a a a
p q p p q p p q p p p
t m c
t t t
p
tt
h a a b b C a a a a b b
p q p p q p
p
k p k k
k k k k
tt
t
t
k p k
(1.5)
Thực hiện biến đổi đại số toán tử biểu thức (1.5), ta thu được kết quả :
()
( ) ( )
eq
i a a A t a a
p q p p p q p q p
t mc
tt
C a a b b a a b b
pp
k k k
p k k p k k
k
tt
t
(1.6)
Suy ra :
( ) ( )
1
1
exp ( )( ) ( )
1 2 2
t
a a i dt C a a b b a a b b
p q p p p
k k k
p k k p k k
t
k
tt
t
e
i t t i qA t dt
p p q
mc
t
(1.7)
Thay (1.7) vào (1.4), ta có:
( ) ( )
1
,
1
exp ( )( ) ( )
1 2 2
t
b i b C C dt a a b b a a b b
q q q q p p
k k k
t
p k k p k k
tt
p k k
tt
t
e
i t t i qA t dt
p p q
mc
t
(1.8)
Trong gần đúng bậc hai của
q
C
, ta có thể bỏ qua
1
q
t
b
, và sẽ thu được:
Nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước Nguyễn Đình Nam
Cao học 2009 - 2011
8
2
()
1
,
1
1
exp ( )( ) ( )
1 2 2
t
b i b C n n dt b
q q q q p p q q
t
t t t
pk
t
e
i t t i qA t dt
p p q
mc
t
(1.9)
Trong đó :
0
( ) sin( ) os( )
2 0 2 2 2
cE
A t cE t dt c t
(1.10)
Thay (1.10) vào (1.9) đồng thời sử dụng biểu thức biến đổi sau :
exp( iz sin )= J ( ) exp( in )
n
n=-
z
()
n
Jz
là các hàm Bessel đối số thực ta sẽ có :
2
()
1
1
00
exp ( )( ) is t
11
22
,
t
b i b C n n dt b
q q q q p p q q
t
t t t
p
eE q eE q
i t t il t J J
s
l
p p q
ls
mm
(1.11)
Phương trình (1.11) chính là phương trình động lượng tử của phonon
trong bán dấn khối.
1.1.2 Lý thuyết gia tăng sóng âm trong bán dẫn khối (trƣờng hợp
hấp thụ một phonon).
Sử dụng công thức chuyển phổ Fourier:
()
1
()
2
it
B b e dt
t
it
b B e d
t
Và :
b i b
t
tt
(1.12)
Nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước Nguyễn Đình Nam
Cao học 2009 - 2011
9
Từ phương trình (1.11) và (1.12) ta có
2
()
1
1
00
exp ( )( ) is t
11
22
,
t
i b i b C n n dt b
q q q q p p q q
t t t
p
eE q eE q
J J i t t il t
s
l
p p q
ls
mm
(1.13)
Hay viết dưới dạng khác:
11
( ) ( )
22
2
00
()
22
,
1
( ) exp ( )( ) is t
1 1 1
2
i t i t
i B e d i B e d
q q q
eE q eE q
C n n J J
s
l
q p p q
ls
p
mm
t
it
dt B e d i t t il t
q p p q
2
00
()
22
,
íl t
()
1
2 ( )
eE q eE q
C n n J J
s
l
q p p q
ls
p
mm
i t il t
Be
q
d
i l i
p p q
Với :
()x
là hàm Delta-Dirac.
Dùng công thức chuyển phổ Fourier ta lại có:
ís t
( ) ( )
i t il t i t
B e d B s l e d
Suy ra :
11
( ) ( )
22
2
00
()
22
,
()
1
2 ( )
i t i t
i B e d i B e d
q q q
eE q eE q
C n n J J
s
l
q p p q
ls
p
mm
it
B s l e
q
d
i l i
p p q
(1.14)
Từ phương trình (1.14) ta thu được :
Nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước Nguyễn Đình Nam
Cao học 2009 - 2011
10
2
( ) ( )
()
00
()
22
,
nn
p p q
i B i B C
q q q q
i l i
p
p p q
eE q eE q
J J B s l
s
l
q
ls
mm
(1.15)
Từ (1.15) đặt
0
2
eE
a
m
( ) ; 0
()
nn
p p q
li
p
q
p p q
(1.16)
Ta sẽ có:
2
( ) ( ) ( ) ( )
,
B C J aq J aq l B s l
s
l
q q q q
ls
q
(1.17)
Trong phương trình (1.17) các số hạng với
ls
bên vế phải sẽ cho đóng
góp hằng số tương tác điện tử - phonon bậc cao hơn số hạng với
ls
. Vậy có thể
đặt l=s trong công thức (1.17) và thu được phương trình tán sắc:
2
2
( ) ( ) ( ) 0B C J aq l
l
q q q
l
q
(1.18)
Từ phương trình tán sắc, ta thu được hệ số hấp thụ sóng âm:
2
2
( ) Im( )q C J aq n n l
l
q p p q p p q q
l
p
(1.19)
Coi sóng âm đồng nghĩa với phonon âm, từ công thức chung (1.19) ta tính
hệ số hấp thụ sóng âm
()q
cho bán dẫn.
Xét cho trường hợp khí điện tử suy biến và trong trường hợp hấp thụ một
photon, với giả thiết q>>p
F
,
F
, thu được hệ số hấp thụ sóng âm:
2
22
0
()
2
4 2 2
eE q
m q m q m
qp
F
s q q
m
Nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước Nguyễn Đình Nam
Cao học 2009 - 2011
11
Trong đó :
là khối lượng riêng, s là vận tốc sóng âm,
0
eE
m
P
F
là xung lượng Fermi của điện tử;
()z
lầ hàm có bước nhảy:
10
()
00
z
z
z
Ở điểm
2qm
,
()q
sẽ đổi dấu và với:
22
FF
m p p q m
sẽ xuất hiện sự gia tăng sóng âm
( ) 0q
Đối với trường hợp bán dẫn không suy biến và hấp thụ một phonon: coi
đối số của hàm Bessel rất nhỏ sao cho
1aq
với
0
eE
m
.
Biểu thức đối với hàm phân bố của điện tử:
3/2
2
2
exp ;
0
2
p
n A A n
p
mkT mkT
(1.20)
Hằng số tương tác điện tử - phonon âm:
2
2
2
0
q
C
q
Vs
(1.21)
Vói V
0
thể tích của tinh thể, thương chọn V
0
=1;
- hằng số thế biến dạng.
S – vận tốc sóng âm.
- mật độ tinh thể.
Đặt (1.20), (1.21) vào công hức chung (1.19). Chuyển từ tổng sang tích
phân theo
p
, thu được bểu thức đối với hệ số hấp thụ sóng âm đối với trường
hợp hấp thụ một photon như sau:
2
1/2 2
0
( ) exp 2
2 2 2
4
22
exp 2 exp
2
2
4
n
m
q
q S sh
s kT kT
q
q
S sh S
q q q q
kT
m
(1.22)
Nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước Nguyễn Đình Nam
Cao học 2009 - 2011
12
Ở đây :
2
2
m
S
q
q kT
K là hằng số Boltzmann;
N
0
là mật độ điện tử;
T là nhiệt độ của hệ.
Từ công thức (1.22), trong trường hợp bất đẳng thức
q
được thực hiện,
ta có
( ) 0q
và ứng với nó ta có hệ số hấp thụ sóng âm. Ngược lại, trong vùng
sóng âm thỏa mãn bất đẳng thức
q
ta có
( ) 0q
và có dạng tường minh
sau:
2
1/2 2
4
22
0
( ) 2 exp
2
2 2 2
4
n
mq
q sh sh S S
q q q q
s kT kT
m
(1.23)
Công thức (1.23) chứng tỏ lúc này hệ số hấp thụ sóng âm (
( ) 0q
) đã
chuyển thành hệ số gia tăng sóng âm (
( ) 0q
). Nghĩa là ta có hệ số gia tăng
sóng âm bởi trường bức xạ Laser trong bán dẫn không suy biến trong trường hợp
hấp thụ một photon.
1.1.3 Ảnh hƣởng của quá trình hấp thụ nhiều photon lên hệ số gia
tăng sóng âm và điều kiện gia tăng sóng âm trong bán dẫn
khối.
Ta cũng có thể viết hệ số hấp thụ sóng âm (1.19) dưới dạng khác:
2
2
()q C J aq n l l
l
q p p q p q p q p q
l
p
(1.24)
Đặt
p q p q
l
trong trường hợp
1
, dùng công thức biến đổi:
Nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước Nguyễn Đình Nam
Cao học 2009 - 2011
13
22
2
22
Jl
l
l
Ta sẽ thu được:
2 2 2 2
2
()
2 2 2 2
q C n
qp
p
(1.25)
Trong đó:
0
eE
m
Sử dụng:
22
2 2 2 2
pq
q pq q
z
l
p q p q q q
m m m m
22
2 2 2 2
pq
q pq q
z
l
p q p q q q
m m m m
Công thức biến đổi tổng thành tích phân :
2
1
. .
3
0
2
d dP P dP
z
p
Và xét bán dẫn không suy biến, ta sẽ có từ phương trình (1.22) phương trình sau:
2
2
2
2
( ) . . exp exp
3
22
0 0 0
2
22
22
22
2 2 2 2
2
22
22
2 2 2 2
AC
P
q
P
z
q d dP P dP
z
mkT mkT
p q p q
zz
m m m m
p q p q
zz
m m m m
2
(1.26)
Nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước Nguyễn Đình Nam
Cao học 2009 - 2011
14
Tiếp theo ta tính tích phân theo P
z
,
P
của (1.26), ta nhận được:
2
2
2
.
2
0
( ) exp
2
2
.2 2
2
2
1/ 2
22
!2
0
2
2
2
2
exp
2
2
2
mn
mq
q
q
m
kT s
q kT
mq
I
q
m
l
q q kT
q
m
mq
q
m
q kT
2
1/ 2
22
!2
0
2
mq
I
q
m
l
q q kT
q
m
(1.27)
Cuối cùng ta thu được biểu thức giải tích cho hệ số hấp thụ sóng âm trong
bán dẫn bởi trường bức xạ Laser đối với quá trình hấp thụ nhiều photon như sau:
1/ 2 2
1/ 2
2
22
0
22
2
2
2
0
2
2
( ) exp exp
2 2 2 2 2
1/ 2
!2
2
exp
2
q
q
l
q
q
q
n
m m m q
q
s kT q kT q kT m
mq
I
q
q kT m
m
mq
I
q
kT q kT
m
2
2
q
m
(1.28)
Từ (1.28) ta thấy rằng nếu bất đẳng thức sau được thực hiện:
Nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước Nguyễn Đình Nam
Cao học 2009 - 2011
15
22
22
22
22
22
m q m q
II
q kT m q kT m
mm
(1.29)
Thì
( ) 0q
,còn nếu:
22
22
22
22
22
m q m q
II
q kT m q kT m
mm
(1.30)
Ta có
( ) 0q
và có dạng tường minh như sau:
1/2 2
1/2
2
22
0
22
2
2
2
0
2
2
( ) exp exp
2 2 2 2 2
1/ 2
exp
!2
2
2
q
q
q
l
q
q
n
m m m q
q
s kT q kT q kT m
mq
I
q
kT q kT m
m
m
I
q
q kT
m
2
2
q
q
m
(1.31)
Công thức (1.31) chứng tỏ rằng lúc này, hệ số hấp thụ sóng âm
( ) 0q
đã chuyển thành hệ số gia tăng sóng âm
( ) 0q
. Nghĩa là một lần nữa ta thu
nhận được hệ số gia tăng sóng âm ở trong cả trường hợp hấp thụ nhiều photon
bởi trường bức xạ Laser.
1.2 Lý thuyết gia tăng sóng âm trong dây lƣợng tử (nhƣng không kể đến
giam cầm).
1.2.1. Xây dựng phƣơng trình động lƣợng tử cho phonon trong dây
lƣợng tử.
Nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước Nguyễn Đình Nam
Cao học 2009 - 2011
16
Khi đặt thêm trường ngoài (chẳng hạn trường bức xạ Laser:
)sin(
0
tEE
), sự tương tác điện tử - phonon được mô tả bằng Hamiltonian
sau:
e
+ + +
H(t)= ε k- A(t) + ω + C (q) ( +b ).
, , , ', '
c
n,l,k n,l,k n,l,k+q n',l',k
, , ', '
n,l,k
k,
a a b b a a b
n l n l n l
q q q q q
q
n l n l
q
(1.32)
Trong đó:
,
()
nl
e
k A t
c
là phổ năng lượng của điện tử trong trường ngoài.
,,n l k
a
và
,,n l k
a
(
q
b
và
q
b
) tương ứng là toán tử sinh và toán tử huỷ của điện tử
(phonon);
q
là tần số của phonon ứng với vecto sóng
q
, c là vận tốc ánh sáng.
là hằng số Planck, m và e tương ứng là khối lượng và điện tích của điện tử ;
)(tA
là thế vectơ và trong mối liên hệ với trường sóng điện từ, xác định bởi biểu
thức:
)sin(
)(1
0
tE
dt
tAd
c
, , ', '
C (q)
n l n l
là hằng số tương tác điện tử - phonon trong dây lượng tử, được tính bởi
công thức:
, , ', ' , , ', '
C ( )=C ( )
n l n l q n l n l
q I q
Với:
2
2
( ) , , ', ', ' *( , ) ( , )
'
, , ',
0
R
iqr iqr
I q n l k e n l k r e r dr
n l n l
R
2
2
2
q
C
q
vV
s
Trong đó: V là thể tích chuẩn hóa;
là hằng số thế biến dạng;
s
v
là tốc
độ sóng âm,
là mật độ tinh thể.
Trong biểu diễn Heisenberg, phương trình chuyển động của phonon có dạng:
Nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước Nguyễn Đình Nam
Cao học 2009 - 2011
17
, ( ) ( ) ,
,
, , , ,
,,
, ( ) , ( ) .
, , ', ',
, , ', ',
, , ', '
,
e
i b b H t k A t b a a
nl
q q q
tc
n l k n l k
t
t
t
n l k
b b b C p b a a b b
n l n l
p q p p q p p
n l k p n l k
p
t
n l n l
t
pk
(1.33)
Thực hiện phép biến đổi toán tử (chú ý các hệ thức toán tử) ta có:
( ) .
, , ', '
, , ', ',
, , ', ',
i b b C q a a
n l n l
q q q
t
n l k q n l k
tt
t
n l n l k
(1.34)
Ta thiết lập phương trình cho
, , ', ',n l k q n l k
t
aa
:
, ( )
, , ', ', , , ', ',
( ) , ,
,
, , , ,
, , ', ', , , ', ',
,,
1
1 1 1 1
11
(
, , ', '
1 1 1 1
i a a a a H t
t
n l k q n l k n l k q n l k
t
t
e
p A t a a a a a a b b
nl
n l p n l p
j j j
c
n l k q n l k n l k q n l k
n l p
j
t
t
C
n l n l
) , ( ) .
', ',
,,
, , ', ',
11
, , ', '
11
1 1 1 1
,
j a a a a b b
n l p
n l p j j j
n l k q n l k
n l n l
t
pj
(1.35)
Thực hiện phép biến đổi toán tử (chú ý các hệ thức toán tử) ta có:
Nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước Nguyễn Đình Nam
Cao học 2009 - 2011
18
( ) ( ) ( )
', ' ,
*
, , ', ', , , ', ',
( ) ( )
, , ', '
, , ', ', ', ', ', ',
e
i a a k k q qA t a a
n l n l
t
n l k q n l k n l k q n l k
mc
tt
C j b b a a a a
n l n l
jj
n l k q n l k j n l k q j n l k
j
t
(1.36)
Để giải phương trình (1.36) trước tiên ta giải phương trình vi phân thuần nhất:
00
( ) ( ) ( )
', ' ,
*
, , ', ', , , ', ',
e
i a a k k q qA t a a
n l n l
t
n l k q n l k n l k q n l k
mc
t
t
(1.37)
Rồi tìm nghiệm của phương trình (1.36) bằng phương pháp biến thiên hằng
số nghiệm của phương trình (1.37).
Giải thiết ở
t
hệ ở trạng thái cân bằng nhiệt động:
0
, , ', ',
b a a
q
n l k q n l k
t
t
Ta tìm được nghiệm của phương trình (1.36):
( ) ( )
, , ', '
, , ', ', , , ', ', ', ', ', ',
1
1
exp ( ) ( ) ( )
1 2 2 1
', ' ,
*
t
i
a a C j b b a a a a
n l n l
jj
n l k q n l k n l k q n l k j n l k q j n l k
j
t
t
t
i ie
k k q t t qA t dt dt
n l n l
t
mc
(1.38)
Thay phương trình (1.38) vào (1.34), ta được:
Nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước Nguyễn Đình Nam
Cao học 2009 - 2011
19
( ) ( )
, , ', ' , , ', '
, , ', ',
,
()
, , ', ', ', ', ', ',
1
1
exp ( ) ( ) ( )
1 2 2
', ' ,
*
i
i b b C q C j
n l n l n l n l
q q q
t
tt
n l n l
kj
t
b b a a a a
jj
n l k q n l k j n l k q j n l k
t
t
i ie
k k q t t qA t dt
n l n l
t
mc
1
dt
(1.39)
Vì
*
CC
nên
2
, , ', ' , , ', ' , , ', '
( ) ( ) ( )
n l n l n l n l n l n l
C q C q C q
Chỉ lấy
jq
và trong gần đúng bậc hai theo hằng số tương tác
2
q
C
, bỏ qua
sự đóng góp của
q
t
b
.
Từ (1.39) ta được:
2
()
, , ', '
, , ', ',
, , ', ', ', ', ', ',
1
1
1
exp ( ) ( ) ( )
1 2 2 1
', ' ,
*
i
i b b C q
n l n l
q q q
t
tt
n l n l k
t
b a a a a
q
n l k q n l k j n l k q j n l k
t
t
t
i ie
k k q t t q A t dt dt
n l n l
t
mc
(1.40)
Kí hiệu hàm phân bố của điện tử là
,
, , , ,
()
nl
n l k n l k
t
n k a a
Do
( ) os
c
A t c t
nên:
00
11
( ) os( t ) sin( ) sin( )
2 2 2 2 1
* * * 2
ieE q ieE q
tt
ie
qA t dt c dt t t
tt
m c m m
Đặt
0
*
eE
z
q
m
(1.41)
Nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước Nguyễn Đình Nam
Cao học 2009 - 2011
20
Áp dụng công thức:
sin( )
is t
( ).
iz t
e J z e
s
s
Với
()
s
Jz
là hàm Bessel đối số thực.
Ta được:
1
exp ( ) ( ) exp sin( ) sin( )
1 1 1
*
( ) ( )exp( is )exp( il )
1
( ) ( )exp ( ) ( )
11
,
t
ie i
qA t d t t t
t
mc
J J t t
s
l
s
l
J J i l s t il t t
s
l
sl
Từ (1.40) ta thu được phương trình động lượng tử cho phonon âm trong
dây lượng tử:
2
()
, , ', '
2
, , ', '
( ) ( ) ( )
, ', '
,
exp ( ) ( ) is
1 1 1
', ' ,
1
i
b i b C q
n l n l
q q q
t
tt
n l n l
J J n k q n k
n l n l
s
l
sl
k
t
i
k k q t t t il t b dt
n l n l
q
t
(1.42)
1.2.2 Biểu thức tổng quát cho hệ số hấp thụ sóng âm.
Sử dụng công thức chuyển phổ Fourier:
()
1
()
2
it
B b e dt
t
it
b B e d
t
b i b
t
tt
(1.43)
Nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước Nguyễn Đình Nam
Cao học 2009 - 2011
21
Từ phương trình (1.42) và (1.43) ta có
1
( ) ( )
22
2
1
( ) ( )
, ', '
, , ', '
2
, , ', '
1
( ) ( ) ( )
2
,
exp ( ) ( )
', ' ,
i
i t i t
B e d i B e d
q q q
C q n k q n k
n l n l
n l n l
n l n l
k
t
it
J J B e d
s
l
q
sl
i
k k q t t
n l n l
is
1 1 1
t il t dt
(1.44)
Do
q
t
b
, thêm thừa số
t
e
, trong đó:
0
,
(1.44) được viết lại ở dạng:
2
1
( ) ( )
, , ', '
2
, , ', '
( ) ( ) ( )
, ', '
,
( ) exp ( ) ( )
, ', '
exp ( ) (
', ' ,
it
i B e d C q
n l n l
n l n l
J J n k q n k
n l n l
s
l
sl
k
t
i
B k q k l t
n l n l
q
i
kk
n l n l
)
1 1.
q s i t dt d
(1.45)
Tính tích phân theo dt
1
ta có:
2
1
( ) ( )
, , ', '
2
, , ', '
( ) ( ) ( )
, ', '
,
()
()
( ) ( )
', ' ,
it
i B e d C q
n l n l
n l n l
J J n k q n k
n l n l
s
l
sl
k
i l s t
e
Bd
q
i
k k q s i
n l n l
(1.46)
Dùng công thức chuyển phổ Fourier ta lai có:
( ( ) )t
( ) ( )
i s l
it
B e d B s l e d
Nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước Nguyễn Đình Nam
Cao học 2009 - 2011
22
Nên:
2
1
( ) ( )
, , ', '
, , ', '
( ) ( ) ( )
, ', '
,
()
( ) ( )
', ' ,
it
B e d C q
n l n l
n l n l
J J n k q n k
n l n l
s
l
sl
k
it
e
B s l d
q
k k q s i
n l n l
(1.47)
Hay:
2
1
( ) ( ) ( )
, ', '
, , ', '
, , ', '
()
( ) ( )
( ) ( )
,
', ' ,
B C q n k q n k
n l n l
n l n l
n l n l
k
B s l
q
JJ
s
l
k k q s i
sl
n l n l
(1.48)
Đây là phương trình vô hạn với thành phần Fourier
()B s l
q
và không
thể giải được. Giả thiết trường bức xạ laser không ảnh hưởng đến tính chất dao
động của mạng tinh thể (bỏ qua hệ số tương tác điện tử - phonon bậc cao hơn
hai) s=l và lấy
q
, khi đó (1.48) có dạng:
2
1
( ) ( )
, ', '
, , ', '
, , ', '
1
2
()
( ) ( )
', ' ,
C q n k q n k
n l n l
n l n l
q
n l n l
k
J
s
s
k k q s i
n l n l
(1.49)
Đây là phương trình tán sắc của phonon âm trong dây lượng tử.
Sử dụng công thức:
11
0
00
i x x
x x i x x
với
0
Nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước Nguyễn Đình Nam
Cao học 2009 - 2011
23
Cho phương trình (1.49) ta được biểu thức cho hệ số hấp thụ sóng âm:
2
( ) Im( ) ( ) ( )
, ', '
, , ', '
, , ', '
2
( ) ( ) ( ) .
', ' ,
q C q n k q n k
n l n l
n l n l
n l n l
k
J k k q s
n l n l
s
s
(1.50)
1.2.3 Hệ số hấp thụ sóng âm trong trƣờng hợp hấp thụ một photon:
Dưới đây ta sẽ giả thiết khí điện tử không suy biến và tính toán cụ thể cho
đối số của hàm Bessel rất nhỏ (do
chứa số hạng E
0
– trường bức xạ laser là
yếu) :
1
0
*2
e
qE
m
Ta có gần đúng:
2 2 2 2
1 0 1
J J J J
s
s
Loại trường hợp s=0 do vi phạm định luật bảo toàn năng lượng.
Theo định nghĩa:
2
1
1 1 2
0
i
si
x
Jx
s
i s i
i
Và tính chất hàm Bessel:
( ) ( 1) ( ) ( )
s
s s s
J x J x J x
Ta có:
2
22
11
2
JJ
