- Trang chủ >>
- Khoa học tự nhiên >>
- Vật lý
Nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước lên sự gia tăng sóng âm (phonon âm ) giam cầm trong dây lượng tử hĩnh chữ nhật hố thế cao vô hạn
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.33 MB, 94 trang )
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
Nguyễn Thị Quyên
NGHIÊN CỨU ẢNH HƯỞNG CỦA HIỆU ỨNG
GIẢM KÍCH THƯỚC LÊN SỰ GIA TĂNG SÓNG ÂM
(PHONON ÂM) GIAM CẦM TRONG DÂY LƯỢNG TỬ
HÌNH CHỮ NHẬT HỐ THẾ CAO VÔ HẠN
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán
Mã số: 60 44 01
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Người hướng dẫn khoa học: GS.TS. Nguyễn Quang Báu
Hà Nội -2011
Mục lục
Lời cảm ơn.
Mục lục.
Danh mục các hình vẽ.
MỞ ĐẦU… .……………………………………………………………………… 1
CHƯƠNG 1.
LÝ THUYẾT GIA TĂNG SÓNG ÂM (PHONON ÂM) TRONG BÁN DẪN KHỐI
VÀ TRONG DÂY LƯỢNG TỬ (NHƯNG KHÔNG KỂ ĐẾN GIAM CẦM
PHONON) ……………………………………………………………………………… 4
1.1. Lý thuyết gia tăng sóng âm (phonon âm) trong bán dẫn khối ……………… 4
1.1.1. Xây dựng phương trình động lượng tử cho phonon trong bán dẫn khối khi có
mặt trường sóng điện từ .…………………………………………………….4
1.1.2. Lý thuyết gia tăng sóng âm (phonon âm) trong bán dẫn khối (trường hợp hấp
thụ một photon) …………………………… …………………………… 6
1.1.3.
Ảnh hưởng của quá trình hấp thụ nhiều photon lên hệ số gia tăng sóng âm
(phonon âm) và điều kiện gia tăng sóng âm (phonon âm) trong bán dẫn
khối………………………………………………………………………….10
1.2.Lý thuyết gia tăng sóng âm (phonon âm) trong dây lượng tử (nhưng không kể
đến giam cầm phonon) ……………………………….……………………….13
1.2.1. Xây dựng phương trình động lượng tử cho phonon trong dây lượng tử 13
1.2.2. Biểu thức tổng quát cho hệ số hấp thụ sóng âm (phonon âm) ………… 17
1.2.3.
Hệ số hấp thụ sóng âm (phonon âm) trong trường hợp hấp thụ một
photon……… …………………………………………………………….20
1.2.4.
Hệ số hấp thụ sóng âm (phonon âm) trong trường hợp hấp thụ nhiều
photon…. ………………………………………………………… … …22
1.2.5.
Hệ số gia tăng sóng âm (phonon âm) không giam cầm trong dây lượng tử
hình chữ nhật hố thế cao vô hạn ………………………………………… 25
CHƯƠNG 2.
HIỆU ỨNG GIẢM KÍCH THƯỚC ẢNH HƯỞNG LÊN PHỔ NĂNG LƯỢNG CỦA
ĐIỆN TỬ TRONG DÂY LƯỢNG TỬ HÌNH CHỮ NHẬT HỐ THẾ CAO VÔ HẠN
VÀ PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LƯỢNG TỬ CHO PHONON GIAM CẦM TRONG
DÂY LƯỢNG TỬ ………………………………… ………………………………… 28
2.1. Hiệu ứng giảm kích thước ảnh hưởng lên phổ năng lượng của điện tử
trong dây lượng tử hình chữ nhật hố thế cao vô hạn …………… …… 28
2.1.1. Sự lượng tử hóa do giảm kích thước ………………………………… ….28
2.1.2. Hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử trong dây lượng tử hình chữ nhật
hố thế cao vô hạn ……………………………………………………… 32
2.2. Xây dựng phương trình động lượng tử cho phonon giam cầm trong dây
lượng tử …………………………………………………………….…… 34
CHƯƠNG 3.
ẢNH HƯỞNG CỦA HIỆU ỨNG GIẢM KÍCH THƯỚC LÊN TỐC ĐỘ GIA TĂNG
SÓNG ÂM (PHONON ÂM) GIAM CẦM TRONG DÂY LƯỢNG TỬ HÌNH CHỮ
NHẬT HỐ THẾ CAO VÔ HẠN ……………………………………………………… 53
3.1. Biểu thức giải tích của tốc độ gia tăng (sóng âm) phonon âm giam cầm
trong dây lượng tử hình chữ nhật hố thế cao vô hạn khi có mặt trường bức
xạ laser 53
3.1.1.
Mối liên hệ giữa phương trình động lượng tử cho sóng âm (phonon âm)
giam cầm và tốc độ gia tăng sóng âm (phonon âm) giam cầm trong dây
lượng tử hình chữ nhật hố thế cao vô hạn khi có mặt trường bức xạ laser…53
3.1.2.
Tính toán tốc độ thay đổi phonon ………………………… ………… …59
3.2. Tính toán số và vẽ đồ thị kết quả lý thuyết, bàn luận kết quả cho dây
lượng tử GaAs/GaAsAl ……………………………….….71
KẾT LUẬN 80
TÀI LIỆU THAM KHẢO 81
PHỤ LỤC 83
Danh mục các hình vẽ
Số hiệu hình vẽ Tên hình vẽ Trang
Hình 2.1
Ph
ổ năng lượng của màng mỏng lượng tử hóa do giả
m kích
thư
ớc
28
Hình 3.1
T
ốc độ gia tăng sóng âm (phonon âm) giam cầm phụ thuộ
c
vào s
ố sóng q
z
với các giá trị khác nhau của nhiệt độ.
72
Hình 3.2
T
ốc độ gia tăng sóng âm (phonon âm) giam cầm phụ thuộ
c
vào cư
ờng độ trường bức xạ laser với các giá trị
khác nhau
c
ủa tần số trường bức xạ laser.
73
Hình 3.3
T
ốc độ gia tăng sóng âm (phonon âm) giam cầm phụ thuộ
c
vào nhi
ệt độ với các giá trị khác nhau của số sóng q
z
74
Hình 3.4
T
ốc độ gia tăng sóng âm (phonon âm) giam cầm phụ thuộ
c
vào kích thư
ớc lượng tử Lx với các giá trị khác nhau củ
a
ch
ỉ số lượng tử đặc trưng cho sự giam cầm phonon.
75
Hình 3.5
T
ốc độ gia tăng sóng âm (phonon âm) giam cầm phụ thuộ
c
vào kích thư
ớc lượng tử Ly với các giá trị khác nhau củ
a
ch
ỉ số lượng tử đặc trưng cho sự giam cầm phonon.
75
Hình 3.6
T
ốc độ gia tăng sóng âm (phonon âm) giam cầm phụ thuộ
c
vào t
ần số trường bức xạ laser với các giá trị khác nhau củ
a
nhi
ệt độ.
76
Hình 3.7
Tốc độ gia tăng sóng âm (phonon âm) phụ thuộc vào số
sóng
ứng với nhiệt độ T=25K, T=77K, T=300K (trườ
ng
h
ợp sóng âm (phonon âm) không giam cầm).
78
Hình 3.8
Tốc độ gia tăng sóng âm (phonon âm) phụ thuộ
c vào
cư
ờng độ trường bức xạ laser ứng với tần số trường bức xạ
laser
Ω=1.10
14
Hz, Ω=2.10
14
Hz, Ω=4.10
14
Hz (trườ
ng
h
ợp sóng âm (phonon âm) không giam cầm).
79
Luận văn tốt nghiệp
2011
Nguyễn Thị Quyên 1
MỞ ĐẦU
Trong hai thập kỉ cuối thế kỉ XX, tiến bộ của vật lý chất rắn cả lý thuyết và
thực nghiệm được đặc trưng bởi việc chuyển đối tượng nghiên cứu chính từ các
khối tinh thể sang các màng mỏng và các cấu trúc thấp chiều (các hố lượng tử
(quantum wells), các cấu trúc siêu mạng (supelattices), các dây lượng tử (quantum
wires), các chấm lượng tử (quantum dots)…). Trong đó hệ một chiều đã và đang
được nghiên cứu và đã có được những kết quả có ứng dụng thực tế.
Dây lượng tử là một ví dụ về hệ khí điện tử một chiều. Dây lượng tử có thể
được chế tạo nhờ phương pháp epytaxi chùm phân tử (MBE), hoặc kết tủa hóa hữu
cơ kim loại MOCVD, hoặc sử dụng các cổng (gates) trên một transistor hiệu ứng
trường (bằng cách này, có thể tạo ra các kênh thấp chiều hơn trên hệ khí điện tử hai
chiều)[1,2].
Chúng ta biết rằng trong hệ một chiều, chuyển động của điện tử bị giới hạn
hai chiều, vì vậy chúng chỉ chuyển động tự do theo một chiều. Sự giam giữ của điện
tử trong hệ này làm thay đổi đáng kể độ linh động của chúng [7]. Điều này dẫn đến
xuất hiện nhiều hiện tượng mới lạ liên quan đến việc giảm số chiều của hệ. Các hiệu
ứng này rất khác so với trong bán dẫn khối thông thường.
Hiệu ứng giảm kích thước ảnh hưởng lên các tính chất vật lý của bán dẫn nói
chung. Khi chuyển từ bán dẫn khối sang hệ thấp chiều [2 chiều (2D), 1 chiều (1D),
không chiều (0D)], hay chuyển từ hệ điện tử 3D sang 2D cũng như từ 2D sang 1D
đã làm thay đổi đáng kể cả về mặt định tính cũng như định lượng nhiều tính chất vật
lý trong đó có tính chất quang của vật liệu do hiệu ứng giảm kích thước gây lên đã
làm thay đổi một loạt các tính chất vật lý. Chính những sự thay đổi vể tính chất vật
lý cả vể định tính và định lượng do hiệu ứng giảm kích thước đã giúp tạo ra các
thiết bị, linh kiện điện tử hiện đại, công nghệ cao có tính chất cách mạng về khoa
học, đồng thời là cơ sơ tạo ra các linh kiện điện tử thế hệ mới siêu nhỏ, đa năng,
thông minh như hiện nay và trong tương lai.
Luận văn tốt nghiệp
2011
Nguyễn Thị Quyên 2
Trong hệ bán dẫn thấp chiều, hiệu ứng giảm kích thước làm biến đổi các đại
lượng vật lý trong đó có làm thay đổi tốc độ thay đổi phonon âm (gia tăng phonon,
hấp thụ phonon), bởi trường sóng điện từ do tương tác điện tử - phonon gây ra.
Hiệu ứng gia tăng sóng âm (phonon âm) trong bán dẫn khối đã được nghiên
cứu [4,5,9,11,13,14,19,27], các công trình này đã xét các cấu trúc bán dẫn suy biến
[13,14] và bán dẫn không suy biến [4,5,9,11,27]…. Trong hố lượng tử, bài toán
cũng đã được giải quyết [6,21].
Trong hệ một chiều, hiệu ứng gia tăng sóng âm (phonon âm) không giam
cầm đã được nghiên cứu [8, 24]. Nhưng hiệu ứng gia tăng sóng âm (phonon âm)
giam cầm trong dây lượng tử thì cả thực nghiệm và bài toán vật lý (lý thuyết) vẫn
còn bỏ ngỏ. Trong luận văn này, tôi nghiên cứu bài toán vật lý (lý thuyết) còn bỏ
ngỏ đó, đó là: Ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước lên sự gia tăng sóng âm
(phonon âm) giam cầm trong dây lượng tử hình chữ nhật hố thế cao vô hạn.
Phương pháp nghiên cứu:
Để giải quyết những bài toán thuộc loại này, ta có thể áp dụng nhiều phương
pháp lý thuyết khác nhau. Để tính toán tốc độ gia tăng sóng âm (phonon âm) giam
cầm trong dây lượng tử hình chữ nhật hố thế cao vô hạn từ góc độ lý thuyết cổ điển
ta sử dụng phương trình động cổ điển Boltzmann…còn từ góc độ lượng tử ta sử
dụng phương pháp hàm Green, phương trình động lượng tử, phương pháp tích phân
phiếm hàm… Khi nghiên cứu và tính toán ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước
lên sự gia tăng sóng âm (phonon âm) giam cầm trong dây lượng tử hình chữ nhật
hố thế cao vô hạn, chúng tôi sử dụng phương pháp phương trình động lượng tử.
Mục đích nghiên cứu:
Tính toán tốc độ gia tăng sóng âm (phonon âm) giam cầm bởi trường bức xạ
laser trong dây lượng tử hình chữ nhật hố thế cao vô hạn trên cơ sơ phương trình
động lượng tử cho phonon, thu được biểu thức giải tích của tốc độ gia tăng sóng âm
(phonon âm) giam cầm, phân tích sự phụ thuộc của tốc độ gia tăng sóng âm
(phonon âm) giam cầm vào vectơ sóng của phonon (q
z
) , tần số (Ω), cường độ (E
0
)
của trường bức xạ laser, nhiệt độ (T) của hệ và các tham số đặc trưng cho dây lượng
Luận văn tốt nghiệp
2011
Nguyễn Thị Quyên 3
tử (L
x
, L
y
), chỉ số đặc trưng cho sự giam cầm phonon (m, k). Tốc độ gia tăng sóng
âm (phonon âm) giam cầm phụ thuộc không tuyến tính vào các đại lượng vật lý
trên. Tính toán số và vẽ đồ thị cho dây lượng tử GaAs/GaAsAl và so sánh kết quả
chính thu được với tốc độ gia tăng sóng âm (phonon âm) trong dây lượng tử hình
chữ nhật hố thế cao vô hạn nhưng chưa kể đến giam cầm phonon.
Cấu trúc luận văn:
Ngoài phần mở đầu, kết luận và phụ lục, luận văn được chia làm ba chương:
Chương 1: Lý thuyết gia tăng sóng âm (phonon âm) trong bán dẫn khối và
trong dây lượng tử (nhưng không kể đến giam cầm phonon).
Chương 2: Hiệu ứng giảm kích thước ảnh hưởng lên phổ năng lượng của
điện tử trong dây lượng tử hình chữ nhật hố thế cao vô hạn và phương trình động
lượng tử cho phonon giam cầm trong dây lượng tử.
Chương 3:Ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước lên tốc độ gia tăng sóng
âm (phonon âm) giam cầm trong dây lượng tử hình chữ nhật hố thế cao vô hạn.
Trong đó, chương 2 và chương 3 là hai chương chứa đựng kết quả chính của
luận văn. Các kết quả đều được tính toán số và vẽ đồ thị cho dây lượng tử
GaAs/GaAsAl.
Kết quả thu được của luận văn đã báo cáo ở hội nghị Vật lý lý thuyết toàn
quốc tháng 8 năm 2011 (Quy Nhơn/2011) và gửi đăng ở Tạp chí Nghiên cứu Khoa
học và Công nghệ Quân sự, viện Khoa học và Công nghệ Quân sự.
Luận văn tốt nghiệp
2011
Nguyễn Thị Quyên 4
CHƯƠNG 1.
LÝ THUYẾT GIA TĂNG SÓNG ÂM (PHONON ÂM) TRONG
BÁN DẪN KHỐI VÀ TRONG DÂY LƯỢNG TỬ
(NHƯNG KHÔNG KỂ ĐẾN GIAM CẦM PHONON).
1.1. Lý thuyết gia tăng sóng âm (phonon âm) trong bán dẫn khối.
1.1.1. Xây dựng phương trình động lượng tử cho phonon trong bán dẫn
khối khi có mặt trường sóng điện từ.
Hamiltonian của hệ điện tử - phonon trong bán dẫn khối khi có mặt trường
bức xạ laser
)sin(
0
tEE
:
2
,
1
( ) ( ) ( ) 1.1
2
p p q q q q p q p q q
p q p q
e
H t p A t a a b b C a a b b
m c
Trong đó
p
a
và
p
a
(
q
b
và
q
b ) tương ứng là toán tử sinh và toán tử huỷ của
điện tử (phonon);
p
và
( )
p q
là trạng thái của điện tử trước và sau khi tán xạ;
p
)(q là vectơ sóng của điện tử (phonon) trong bán dẫn khối;
2
1
( ) ( )
2
e
p p A t
m c
là năng lượng điện tử;
q
là năng lượng của phonon âm; c là vận tốc ánh sáng; m và e tương ứng
là khối lượng và điện tích của điện tử;
q
C
là hằng số tương tác điện tử - phonon;
)(tA là thế vectơ và trong mối liên hệ với trường sóng điện từ, xác định bởi
biểu thức:
0
1 ( )
sin( )
d A t
E t
c dt
(1.2)
Luận văn tốt nghiệp
2011
Nguyễn Thị Quyên 5
Từ Hamilton (1.1) ta có:
2
,
1
, ( ) ( ) ,
2
, , ( ) .
q q q p p
t
t t
p
q q
k k k k kk p k p
t
t
k p k
e
i b b H t p A t b a a
t m c
b b b C b a a b b
(1.3)
Thực hiện phép biến đổi, và chú ý các hệ thức toán tử, ta có:
q q q q p q p
t t
t
p
i b b C a a
t
(1.4)
Ta thiết lập phương trình cho
p q p
t
a a
:
2
' '
'
' '
',
1
, ( ) ' ( ) ,
2
, , ( ) . 1.5
p q p p q p p q p p p
t t t
t t
p
p q p p q p
k k k kk p k p k
t t
t t
k p k
e
i a a a a H t p At a a a a
t m c
h a a b b C a a a a b b
Thực hiện biến đổi đại số toán tử biểu thức (1.5), ta thu được:
( )
( ) ( )
p q p p p q p q p
t t
p p
p k k p k k
k k k
t t
k
t
eq
i a a A t a a
t mc
C a a b b a a b b
(1.6)
Từ (1.6) ta tìm được:
1
1
1 2 2
( ) ( )
exp ( )( ) ( )
t
p q p p p
p k k p k kk k k
t
t t
k
t
p p q
t
a a i dt C a a b b a a b b
e
i t t i qA t dt
mc
(1.7)
Luận văn tốt nghiệp
2011
Nguyễn Thị Quyên 6
Thay (1.7) vào (1.4), ta có:
1
1
,
1 2 2
( ) ( )
exp ( )( ) ( ) 1.8
t
q q q q p p
p k k p k kk k k
t t
t t
p k k
t
p p q
t
b i b C C dt a a b b a a b b
t
e
i t t i qA t dt
mc
Trong gần đúng bậc hai của
q
C
, ta có thể bỏ qua
1
q
t
b
, và sẽ thu được:
1
1
2
1
,
1 2 2
( )
exp ( )( ) ( )
t
q q q q p p q q
t t t
p k
t
p p q
t
b i b C n n dt b
t
e
i t t i qA t dt
mc
(1.9)
Với:
0
2 0 2 2 2
( ) sin( ) os( )
cE
A t cE t dt c t
(1.10)
Thay (1.10) vào (1.9) đồng thời sử dụng biểu thức biến đổi:
n
n=-
exp( iz sin )= J ( ) exp( in )
z
( )
n
J z
là các hàm Bessel đối số thực ta sẽ có :
1
2
1
0 0
1 1
2 2
,
( )
exp ( )( ) is t
t
q q q q p p q q
t t t
p
p p q l s
l s
b i b C n n dt b
t
eE q eE q
i t t il t J J
m m
(1.11)
Phương trình (1.11) chính là phương trình động lượng tử của phonon trong
bán dấn khối [3]
1.1.2. Lý thuyết gia tăng sóng âm (phonon âm) trong bán dẫn khối (trường hợp
hấp thụ một photon).
Luận văn tốt nghiệp
2011
Nguyễn Thị Quyên 7
Sử dụng công thức chuyển phổ Fourier:
( )
1
( )
2
i t
q q
t
i t
q q
t
B b e dt
b B e d
q q
t t
b i b
t
(1.12)
Từ phương trình (1.11) và (1.12) ta có
1
2
1
0 0
1 1
2 2
,
( )
exp ( )( ) is t
t
q q q q p p q q
t t t
p
l s p p q
l s
i b i b C n n dt b
eE q eE q
J J i t t il t
m m
(1.13)
Hay viết dưới dạng khác:
2
0 0
2 2
,
1 1 1
1 1
( ) ( )
2 2
( )
1
( ) exp ( )( ) is t
2
i t i t
q q q
q p p q l s
p l s
t
i t
q p p q
i B e d i B e d
eE q eE q
C n n J J
m m
dt B e d i t t il t
2
0 0
2 2
,
íl t
( )
( )
1
2 ( )
q p p q l s
p l s
i t il t
q
p p q
eE q eE q
C n n J J
m m
B e
d
i l i
Trong đó:
( )
x
là hàm Delta-Dirac.
Dùng công thức chuyển phổ Fourier ta lại có:
ís t
( ) ( )
i t il t i t
q q
B e d B s l e d
Luận văn tốt nghiệp
2011
Nguyễn Thị Quyên 8
Nên:
2
0 0
2 2
,
1 1
( ) ( )
2 2
( )
( )
1
2 ( )
i t i t
q q q
q p p q l s
p l s
i t
q
p p q
i B e d i B e d
eE q eE q
C n n J J
m m
B s l e
d
i l i
(1.14)
Từ phương trình (1.14) ta có:
2
0 0
2 2
,
( ) ( )
( )
( )
p p q
q q q q
p
p p q
l s q
l s
n n
i B i B C
i l i
eE q eE q
J J B s l
m m
(1.15)
Từ (1.15) đặt
0
2
eE
a
m
,
( ) ; 0
( )
p p q
p
q
p p q
n n
l i
(1.16)
Ta sẽ có:
2
,
( ) ( ) ( ) ( )
q q q l s q
l s q
B C J aq J aq l B s l
(1.17)
Nhận xét rằng trong phương trình (1.17) các số hạng với
l s
bên vế phải sẽ
cho đóng góp hằng số tương tác điện tử - phonon bậc cao hơn số hạng với
l s
.
Vậy có thể đặt l=s trong công thức (1.17) và thu được phương trình tán sắc:
2
2
( ) ( ) ( ) 0
q q q l
l
q
B C J aq l
(1.18)
Từ phương trình tán sắc, ta thu được hệ số hấp thụ sóng âm:
2
2
( ) Im( )
q l p p q p p q q
l p
q
C J aq n n l
(1.19)
Coi sóng âm đồng nghĩa với phonon âm, từ công thức chung (1.19) ta tính hệ
số hấp thụ sóng âm
( )
q
cho bán dẫn.
Luận văn tốt nghiệp
2011
Nguyễn Thị Quyên 9
Xét cho trường hợp khí điện tử suy biến và trong trường hợp hấp thụ một
photon, với giả thiết q>>p
F
;
F
, thu được hệ số hấp thụ sóng âm:
2
2 2
0
2
( )
4 2 2
F
eE q
m q m q m
q p
s m q q
Trong đó
là khối lượng riêng, s là vận tốc sóng âm,
0
eE
m
P
F
là xung lượng Fermi của điện tử;
( )
z
lầ hàm có bước nhảy:
1, 0
( )
0 , 0 .
z
z
z
Ở điểm
2
q m
,
( )
q
sẽ đổi dấu và với:
2 2
F F
m p p q m
sẽ xuất hiện sự gia tăng sóng âm
( ) 0
q
Đối với trường hợp bán dẫn không suy biến và hấp thụ một phonon: coi đối số của
hàm Bessel rất nhỏ sao cho
1
aq
với
0
eE
m
.
Biểu thức đối với hàm phân bố của điện tử:
3 / 2
2
0
2
e x p ;
2
p
p
n A A n
m k T m k T
(1.20)
Hằng số tương tác điện tử - phonon âm:
2
2
0
2
q
q
C
V s
(1.21)
Vói V
0
thể tích của tinh thể, thương chọn V
0
=1;
- hằng số thế biến dạng.
S – vận tốc sóng âm.
- mật độ tinh thể.
Đặt (1.20), (1.21) vào công hức chung (1.19).
Chuyển từ tổng sang tích phân theo
p
, thu được bểu thức đối với hệ số hấp thụ
sóng âm đối với trường hợp hấp thụ một photon như sau:
Luận văn tốt nghiệp
2011
Nguyễn Thị Quyên 10
1/ 2 2
2
0
4
2 2
2
( ) exp 2
2 2 2
exp 2 exp
2 4
q
q q
q
q q q q
n
m
q S sh
s kT kT
q
S sh S
kT m
(1.22)
Ở đây :
2
2
q
m
S
q k T
K là hằng số Boltzmann;
N
0
là mật độ điện tử;
T là nhiệt độ của hệ.
Từ công thức (1.22), trong trường hợp bất đẳng thức q
được thực hiện, ta
có
( ) 0
q
và ứng với nó ta có hệ số hấp thụ sóng âm. Ngược lại, trong vùng sóng
âm thỏa mãn bất đẳng thức
q
ta có
( ) 0
q
và có dạng tường minh sau:
1/ 2 2
2
0
4
2 2
2
( ) 2
2 2 2
exp
4
q q
q q
n m
q sh sh S
s kT kT
q
S
m
(1.23)
Công thức (1.23) chứng tỏ lúc này hệ số hấp thụ sóng âm (
( ) 0
q
) đã chuyển
thành hệ số gia tăng sóng âm (
( ) 0
q
). Nghĩa là ta có hệ số gia tăng sóng âm bởi
trường bức xạ Laser trong bán dẫn không suy biến trong trường hợp hấp thụ một
photon [3].
1.1.3. Ảnh hưởng của quá trình hấp thụ nhiều photon lên hệ số gia tăng sóng
âm (phonon âm) và điều kiện gia tăng sóng âm (phonon âm) trong bán
dẫn khối.
Ta cũng có thể viết hệ số hấp thụ sóng âm (1.19) dưới dạng khác:
2
2
( )
q l p p q p q p q p q
l p
q C J aq n l l
(1.24)
Đặt
p q p q
l
trong trường hợp
1
, dùng công thức biến đổi:
Luận văn tốt nghiệp
2011
Nguyễn Thị Quyên 11
2 2
2
2 2
l
l
J l
Ta sẽ thu được:
2 2 2 2
2
2 2 2 2
( )
q p
p
q C n
(1.25)
Trong đó:
0
eE
m
Sử dụng:
2 2
2 2 2 2
z
p q p q q q
p qq pq q
l
m m m m
2 2
2 2 2 2
z
p q p q q q
p qq pq q
l
m m m m
Công thức biến đổi tổng thành tích phân
2
. .
3
0
1
. .
2
z
p
d dP P dP
Và xét bán dẫn không suy biến, ta sẽ có từ phương trình (1.22) phương trình sau:
2
2
2 2
. .
3
0 0 0
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
( ) . . exp exp
2 2
2
2 2 2 2
2 2 2 2
q
z
z
z z
q q
z z
q q
A C
P P
q d dP P dP
mkT mkT
p q p qq q
m m m m
p q p qq q
m m m m
(1.26)
Luận văn tốt nghiệp
2011
Nguyễn Thị Quyên 12
Tiếp theo ta tính tích phân theo P
z
,
P
của (1.26), ta nhận được:
2
2 2
2
0
2
2
2
2
0
2
2
2
2
2
0
.
( ) exp
2 2
.2 2
1 / 2
! 2
2
exp
2 2
1 / 2
!
2
q
q
l
q
q
l
m n m q
q
q kT m
kT s
m q
I
q
q kT m
m
m q
q kT m
q
m
2
2
2
q
q
m q
I
q kT m
(1.27)
Cuối cùng ta thu được biểu thức giải tích cho hệ số hấp thụ sóng âm trong bán dẫn
bởi trường bức xạ Laser đối với quá trình hấp thụ nhiều photon như sau:
1/ 2 2
1/ 2
2
2 2
0
2 2
2
2
2
0
2
2
( ) exp exp
2 2 2 2 2
1/ 2
! 2
2
exp
2
q
q
l
q
q
q
n
m m m q
q
s kT q kT q kT m
m q
I
q
q kT m
m
m q
I
q
kT q kT
m
2
2
q
m
(1.28)
Từ (1.28) ta thấy rằng nếu bất đẳng thức sau được thực hiện:
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
q q
q q
m q m q
I I
q q
q kT m q kT m
m m
(1.29)
Thì
( ) 0
q
,còn nếu:
Luận văn tốt nghiệp
2011
Nguyễn Thị Quyên 13
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
q q
q q
m q m q
I I
q q
q kT m q kT m
m m
(1.30)
Ta có
( ) 0
q
và có dạng tường minh như sau:
1/2 2
1/2
2
2 2
0
2 2
2
2
2
0
2
2
( ) exp exp
2 2 2 2 2
1/ 2
exp
! 2
2
2
q
q
q
l
q
q
n m m m q
q
s kT q kT q kT m
m q
I
q
kT q kT m
m
m
I
q
q kT
m
2
2
q
q
m
(1.31)
Công thức (1.31) chứng tỏ rằng lúc này, hệ số hấp thụ sóng âm
( ) 0
q
đã
chuyển thành hệ số gia tăng sóng âm
( ) 0
q
. Nghĩa là một lần nữa ta thu nhận
được hệ số gia tăng sóng âm ở trong cả trường hợp hấp thụ nhiều photon bởi trường
bức xạ Laser [3]
Vậy: các biểu thức cho điều kiện gia tăng sóng âm trong bán dẫn khối là
q
và hệ số gia tăng sóng âm (1.23) trong quá trình hấp thụ một photon, cũng
như các biểu thức cho điều kiện gia tăng sóng âm trong quá trình hấp thụ nhiều
photon (1.30),(1.31) được thu nhận dưới dạnh giải tích.
1.2.
Lý thuyết gia tăng sóng âm (phonon âm) trong dây lượng tử (nhưng
không kể đến giam cầm phonon).
1.2.1.
Xây dựng phương trình động lượng tử cho phonon trong dây lượng tử.
Luận văn tốt nghiệp
2011
Nguyễn Thị Quyên 14
Khi đặt thêm trường ngoài (chẳng hạn trường bức xạ Laser:
)sin(
0
tEE
),
sự tương tác điện tử - phonon được mô tả bằng Hamiltonian sau:
+ + +
, , , ', '
n,l,k n,l,k n,l,k+q n',l',k
, , ', '
n,l,k
k,
e
H(t)=
ε k- A(t) + ω + C (q) ( +b ).
c
n l q q q n l n l q q
q n l n l
q
a a b b a a b
(1.32)
Trong đó:
,
( )
n l
e
k A t
c
là phổ năng lượng của điện tử trong trường ngoài.
, ,
n l k
a
và
, ,
n l k
a
(
q
b và
q
b
) tương ứng là toán tử sinh và toán tử huỷ của điện tử (phonon);
q
là tần số của phonon ứng với vecto sóng
q
, c là vận tốc ánh sáng.
là hằng số
Planck, m và e tương ứng là khối lượng và điện tích của điện tử ; )(tA là thế vectơ
và trong mối liên hệ với trường sóng điện từ, xác định bởi biểu thức:
)sin(
)(1
0
tE
dt
tAd
c
, , ', '
C (q )
n l n l
là hằng số tương tác điện tử - phonon trong dây lượng tử, được tính
bởi công thức:
, , ', ' , , ', '
C ( )= C ( )
n l n l q n l n l
q I q
Với:
2
, , ', '
0
2
( ) , , ', ', ' * ( , ) ( , )
R
iqr iqr
n l n l
I q n l k e n l k r e r dr
R
2
2
2
q
s
q
C
v V
Trong đó: V là thể tích chuẩn hóa;
là hằng số thế biến dạng;
s
v
là tốc độ sóng
âm,
là mật độ tinh thể.
Trong biểu diễn Heisenberg, phương trình chuyển động của phonon có dạng:
,
, , , ,
, ,
, , ', ',
, , ', ',
, , ', '
,
, ( ) ( ) ,
, ( ) , ( ) .
q q n l q
n l k n l k
t
t
t
n l k
p q p p n l n l q p p
n l k p n l k
t
t
p n l n l
p k
e
i b b H t k A t b a a
t c
b b b C p b a a b b
(1.33)
Luận văn tốt nghiệp
2011
Nguyễn Thị Quyên 15
Thực hiện phép biến đổi toán tử (chú ý các hệ thức toán tử) ta có:
, , ', '
, , ', ',
, , ', ',
( ) .
q q q n l n l
n l k q n l k
t t
t
n l n l k
i b b C q a a
t
(1.34)
Ta thiết lập phương trình cho
, , ', ',n l k q n l k
t
a a
:
1 1 1 1 1
1 1
1 1 1 1
, , ', ', , , ', ',
, , , , ,
, , ', ', , , ', ',
, ,
, , ', '
,
, ( )
( ) , ,
( )
nl k q n l k nl k q n l k
t
t
n l n l p n l p
j j j
n l k q n l k nl k q n l k
t t
n l p j
n l n l
n
i a a a a H t
t
e
p At a a a a a a b b
c
C j a
1 1
1 1
1 1 1 1
', ',
, ,
, ', ',
, , ', '
,
, ( ) .
n l p
n l p j j j
l k q n l k
t
n l n l
p j
a a a b b
(1.35)
Thực hiện phép biến đổi toán tử (chú ý các hệ thức toán tử) ta có:
', ' ,
*
, , ', ', , , ', ',
, , ', '
, , ', ', ', ', ', ',
( ) ( ) ( )
( ) ( )
n l n l
n l k q n l k n l k q n l k
t t
n l n l
j j
n l k q n l k j n l k q j n l k
t
j
e
i a a k k q qA t a a
t m c
C j b b a a a a
(1.36)
Để giải phương trình (1.36) trước tiên ta giải phương trình vi phân thuần nhất:
0 0
', ' ,
*
, , ', ', , , ', ',
( ) ( ) ( )
t
n l n l
n l k q n l k n l k q n l k
t
e
i a a k k q qA t a a
t mc
(1.37)
tìm nghiệm của phương trình (1.36) bằng phương pháp biến thiên hằng số nghiệm
của phương trình (1.37).
Giải thiết ở
t
hệ ở trạng thái cân bằng nhiệt động:
, , ', ',
0
q
n l k q n l k
t
t
b a a
Ta tìm được nghiệm của phương trình (1.36):
1
1
, , ', '
, , ', ', , , ', ', ', ', ', ',
', ' , 1 2 2 1
*
( ) ( )
exp ( ) ( ) ( )
t
n l n l
j j
n l k q n l k n l k q n l k j n l k q j n l k
t
t
j
t
n l n l
t
i
a a C j b b a a a a
i ie
k k q t t qA t dt dt
m c
(1.38)
Luận văn tốt nghiệp
2011
Nguyễn Thị Quyên 16
Thay phương trình (1.38) vào (1.34), ta được:
1
1
, , ', ' , , ', '
, , ', ',
,
, , ', ', ', ', ', ',
', ' , 1 2 2
*
( ) ( )
( )
exp ( ) ( ) ( )
q q q n l n l n l n l
t t
n l n l
k j
t
j j
n l k q n l k j n l k q j n l k
t
t
n l n l
t
i
i b b C q C j
t
b b a a a a
i ie
k k q t t q A t dt
m c
1
dt
(1.39)
Vì
*
q q
C C
nên
2
, , ', ' , , ', ' , , ', '
( ) ( ) ( )
n l n l n l n l n l n l
C q C q C q
Chỉ lấy
j q
và trong gần đúng bậc hai theo hằng số tương tác
2
q
C
, bỏ qua sự đóng
góp của
q
t
b
.
Từ (2.8) ta được:
1
1
1
2
, , ', '
, , ', ',
, , ', ', ', ', ', ',
', ' , 1 2 2 1
*
( )
exp ( ) ( ) ( )
q q q n l n l
t t
n l n l k
t
q
n l k q n l k j n l k q j n l k
t
t
t
n l n l
t
i
i b b C q
t
b a a a a
i ie
k k q t t q A t dt dt
m c
(1.40)
Kí hiệu hàm phân bố của điện tử là
,
, , , ,
( )
n l
n l k n l k
t
n k a a
Do
( ) os
c
A t c t
nên:
1 1
0 0
2 2 2 2 1
* * * 2
( ) os( t ) sin( ) sin( )
t t
t t
ieE q ieE qie
q A t dt c dt t t
m c m m
Đặt
0
*
e E
z
q
m
(1.41)
Áp dụng công thức:
Luận văn tốt nghiệp
2011
Nguyễn Thị Quyên 17
sin( ) is t
( ).
iz t
s
s
e J z e
Với
( )
s
J z
là hàm Bessel đối số thực.
Ta được:
1
exp ( ) ( ) exp sin( ) sin( )
1 1
* 1
( ) ( ) exp( is ) exp( il )
1
( ) ( ) exp ( ) ( )
1 1
,
t
ie i
q A t d t t t
t
m c
J J t t
s
l
s
l
J J i l s t il t t
s
l
s l
Từ (1.40) ta thu được phương trình động lượng tử cho phonon âm trong dây lượng
tử:
1
2
, , ', '
2
, , ', '
', ' , 1 1 1
( ) ( ) ( )
, ', '
,
( )
exp ( ) ( ) is
q q q n l n l
t t
n l n l
t
n l n l q
t
J J n k q n k
n l n l
s
l
s l
k
i
b i b C q
t
i
k k q t t t il t b dt
(1.42)
Đây là phương trình động lương tử tổng quát cho sóng âm (phonon âm)
trong dây lượng tử [8]. Từ phương trình này, ta tiếp tục biến đổi để thu được biểu
thức tổng quát cho hệ số hấp thụ sóng âm (phonon âm) trong dây lượng tử.
1.2.2. Biểu thức tổng quát cho hệ số hấp thụ sóng âm (phonon âm).
Sử dụng công thức chuyển phổ Fourier:
( )
1
( )
2
i t
q q
t
i t
q q
t
B b e dt
b B e d
Luận văn tốt nghiệp
2011
Nguyễn Thị Quyên 18
q q
t t
b i b
t
(1.43)
Từ phương trình (1.42) và (1.43) ta có
2
, , ', '
2
, , ', '
', ' , 1 1
( )
, ', '
( ) ( )
,
1
( ) ( )
2 2
1
( )
1
( )
2
exp ( ) ( ) is
i t i t
q q q
n l n l
n l n l
t
i t
q
n l n l
n k q n k
n l n l
k
J J
s
l
s l
i
B e d i B e d
C q
B e d
i
k k q t t t il
1
t dt
(1.44)
Do
q
t
b
, thêm thừa số
t
e
, trong đó:
0
(1.44) được viết lại ở dạng:
2
, , ', '
2
, , ', '
, ', '
', ' ,
( ) ( ) ( )
, ', '
,
1
( ) ( )
( ) exp ( ) ( )
exp ( ) ( )
i t
q q n l n l
n l n l
t
q n l n l
n l n l
J J n k q n k
n l n l
s
l
s l
k
i B e d C q
i
B k q k l t
i
k k q s
1 1.
i t dt d
(1.45)
Tính tích phân theo dt
1
ta có:
2
, , ', '
2
, , ', '
( )
', ' ,
( ) ( ) ( )
, ', '
,
1
( ) ( )
( )
( ) ( )
i t
q q n l n l
n l n l
i l s t
q
n l n l
J J n k q n k
n l n l
s
l
s l
k
i B e d C q
e
B d
i
k k q s i
(1.46)
Luận văn tốt nghiệp
2011
Nguyễn Thị Quyên 19
Dùng công thức chuyển phổ Fourier ta lại có:
( ( ) ) t
( ) ( )
i s l i t
q q
B e d B s l e d
Nên:
2
, , ', '
, , ', '
', ' ,
( ) ( ) ( )
, ', '
,
1
( ) ( )
( )
( ) ( )
i t
q q n l n l
n l n l
i t
q
n l n l
J J n k q n k
n l n l
s
l
s l
k
B e d C q
e
B s l d
k k q s i
(1.47)
Hay:
2
, , ', '
, , ', '
( )
, ', '
( )
( ) ( )
( ) ( )
,
', ' ,
1
( ) ( )
q q n l n l
n l n l
n k q n k
n l n l
k
B s l
q
J J
s
l
k k q s i
s l
n l n l
B C q
(1.48)
Đây là phương trình vô hạn với thành phần Fourier
( )
B s l
q
và không
thể giải được. Giả thiết trường bức xạ laser không ảnh hưởng đến tính chất dao
động của mạng tinh thể (bỏ qua hệ số tương tác điện tử - phonon bậc cao hơn hai)
s=l và lấy
q
, khi đó (1.48) có dạng:
2
, , ', '
, , ', '
( )
, ', '
1
2
( )
( ) ( )
', ' ,
1
( )
q n l n l
n l n l
n k q n k
n l n l
k
J
s
k k q s i
s
n l n l
C q
(1.49)
Đây là phương trình tán sắc của phonon âm trong dây lượng tử.
Sử dụng công thức:
Luận văn tốt nghiệp
2011
Nguyễn Thị Quyên 20
0
0 0
1 1
i x x
x x i x x
với
0
Cho phương trình (1.49) ta được biểu thức cho hệ số hấp thụ sóng âm:
2
, , ', '
, , ', '
( )
, ', '
2
( ) ( ) ( ) .
', ' ,
( ) Im ( )
( )
n l n l
n l n l
n k q n k
n l n l
k
J k k q s
n l n l
s
s
q
C q
(1.50)
Đây là biểu thức tổng quát cho hệ số hấp thụ sóng âm trong dây lượng tử [8].
Biểu thức này là chung cho cả khí điện tử suy biến và khí điện tử không suy biến.
1.2.3. Hệ số hấp thụ sóng âm (phonon âm) trong trường hợp hấp thụ một photon.
Dưới đây ta sẽ giả thiết khí điện tử không suy biến và tính toán cụ thể cho đối
số của hàm Bessel rất nhỏ (do
chứa số hạng E
0
– trường bức xạ laser là yếu)
0
* 2
1
e
qE
m
Ta có gần đúng:
2 2 2 2
1 0 1s
s
J J J J
Loại trường hợp s=0 do vi phạm định luật bảo toàn năng lượng.
Theo định nghĩa:
2
0
1
1 1 2
i
s i
s
i
x
J x
i s i
Và tính chất hàm Bessel:
( ) ( 1) ( ) ( )
s
s s s
J x J x J x
Ta có:
2
2 2
1 1
2
J J
2
2
, , ', '
, , ', '
( )
, ', '
( ) ( ) ( ) ( ) .
', ' , ', ' ,
( ) ( )
2
n l n l
n l n l
n k q n k
n l n l
k
k k q k k q
n l n l n l n l
q C q
(1.51)
Luận văn tốt nghiệp
2011
Nguyễn Thị Quyên 21
Sử dụng:
+ Chọn chiều vecto
q
trùng với chiều vecto
k
(trùng với trục của dây).
+ Giả thiết khí điện tử không suy biến, áp dụng phân bố Fermi – Dirac:
2 2
, . ,
*
1
exp exp
2
c
n l n l n l
B
k
n k k
k T m
Trong đó:
,
B
k T
k
B
là hằng số Boltzmann.
+ Sử dụng công thức chuyển tổng thành tích phân:
2
L
dk
Với L là chiều dài dây;
+ Sử dụng tính chất của hàm Delta:
1, 0
( )
0, 0.
z
z
z
Thực hiện tính toán ta thu được bểu thức đối với hệ số hấp thụ sóng âm đối với
trường hợp hấp thụ một photon như sau:
* 2
2
, , ', ' , , ', '
5 2
, , ', '
*
2 2
', '
2 2
( ) ( ) ( , )
4
exp .
2
n l n l n l n l
n l n l
c
n l
Lm
q C q q
q
m
a
q
(1.52)
Trong đó:
2 2
, ', '
*
;
2
c c
n l n l q
q
a
m
*
/2
, , ', '
2
*
/2
2
( , ) exp
2 2
exp .
2 2
q
q
q
n l n l
q
m a
q e sh
q
m a
e sh
q
(1.53)
k
