- Trang chủ >>
- Khoa học tự nhiên >>
- Vật lý
Nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước lên sự gia tăng sóng âm (phonon âm) giam cầm trong siêu mạng pha hợp phần
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.19 MB, 61 trang )
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
Lê Thị Miền
NGHIÊN CỨU ẢNH HƢỞNG CỦA HIỆU ỨNG
GIẢM KÍCH THƢỚC LÊN SỰ GIA TĂNG SÓNG ÂM
(PHONON ÂM) GIAM CẦM TRONG SIÊU MẠNG HỢP
PHẦN
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Hà Nội - 2011
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
**********
Lê Thị Miền
NGHIÊN CỨU ẢNH HƢỞNG CỦA HIỆU ỨNG
GIẢM KÍCH THƢỚC LÊN SỰ GIA TĂNG SÓNG ÂM
(PHONON ÂM) GIAM CẦM TRONG SIÊU MẠNG HỢP PHẦN
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã số: 60 44 01
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Cán bộ hướng dẫn: PGS.TS Nguyễn Vũ Nhân
Hà Nội - 2011
1
MỤC LỤC
Mở đầu ………………………………………………………………………………….……….1
Chƣơng 1: Siêu mạng hợp phần và phƣơng trình đông lƣợng tử cho phonon âm
(sóng âm) trong bán dẫn khối………………… ……………… ………………….4
1.1. Siêu mạng hợp phần…………….……………………….…………………4
1.1.1. Bán dẫn siêu mạng………… ………………………………………… 4
1.1.2. Hàm sóng và phổ năng lượng của electron trong siêu mạng hợp
phần…… ………………… ………………………………………………………….4
1.2. Phương trình động lượng tử và bài toán gia tăng sóng âm (phonon âm)
trong bán dẫn khối…… ………………………………………………………………6
1.2.1.Xây dựng phương trình động lượng tử cho phonon trong bán dẫn
khối… ………………………… …………………………………………………….6
1.2.2.Lý thuyết gia tăng sóng âm (phonon âm) trong bán dẫn khối (trường hợp
hấp thụ một phonon)………… ……………………………………………………… 8
1.2.3.Ảnh hưởng của quá trình hấp thụ nhiều photon lên hệ số gia tăng sóng âm
và điều kiện gia tăng sóng âm trong bán dẫn khối…… … 12
Chƣơng 2: Phƣơng trình động lƣợng tử và hệ số gia tăng phonon âm (sóng âm)
giam cầm trong siêu mạng hợp phần … ……………………………………….….16
2.1. Phương trình động lượng tử của sóng âm (phonon âm) giam cầm trong siêu
mạng hợp phần.…………….…………………………………………… 16
2.1.1. Phương trình động lượng tử của sóng âm (phonon âm) giam cầm trong
bán dẫn siêu mạng……………………………………………………… 16
2.1.2. Phương trình động lượng tử của sóng âm (phonon âm) giam cầm trong
siêu mạng hợp phần…………………………… …………………………….…… 28
2.2. Biểu thức giải tích của hệ số gia tăng sóng âm (phonon âm) giam cầm trong
siêu mạng hợp phần………….………………………… ………………………… 35
2.2.1. Trường hợp khí electron không suy biến….…………… ………… 35
2.2.2. Trường hợp khí electron suy biến……….…………………… ……… 37
Chƣơng 3: Tính toán số và vẽ đồ thị cho siêu mạng hợp phần
GaAs-Al
0.3
Ga
0.7
As.………………………………………………………… ……… 42
3.1. Tính toán số trường hợp khí electron không suy biến…… …………… 42
3.2. Tính toán số trường hợp khí electron suy biến………….……………… 45
Kết luận……….…………………………………………………………………… 47
Tài liệu tham khảo….…………………………………………… ………… 48
Phụ lục……………….………………………………………………….……………50
2
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài:
Trong vài thập kỷ gần đây, công nghệ Laser phát triển mạnh và được áp dụng trong
nhiều lĩnh vực khoa học và kỹ thuật. Nhiều tác giả đã và đang quan tâm nghiên cứu các
màng mỏng và các cấu trúc nhiều lớp của vật liệu. Trong các hệ có cấu trúc nanô,
chuyển động của hạt dẫn bị giới hạn nghiêm ngặt dọc theo một hướng tọa độ với một
vùng có kích thước đặc trưng vào cỡ bậc của bước sóng De Boglie, các tính chất của
electron bị thay đổi đáng kể, đặc biệt một số tính chất mới khác biệt so với vật liệu
khối xuất hiện gọi là hiệu ứng kích thước. Các quy luật lượng tử đã bắt đầu có hiệu lực
đáng kể mà đặc trưng cơ bản nhất của hệ điện tử là phổ năng lượng bị biến đổi. Phổ
năng lượng của electron trở thành gián đoạn dọc theo hướng tọa độ bị giới hạn, do đó
đặc trưng của hạt dẫn trong các cấu trúc này tương tự như khí electron thấp chiều
1 4,9
.
Với sự phát triển của vật lý chất rắn, công nghệ nuôi cấy tinh thể epytaxy chùm
phân tử (MBE) và kết tủa hơi kim loại hữu cơ (MOCV), cho phép tạo ra nhiều hệ các
cấu trúc thấp chiều như: hố lượng tử (quantum well), siêu mạng (superlattice), dây
lượng tử(quantum wire), chấm lượng tử (quantum dot). Trong số các vật liệu mới đó,
các nhà vật lý đặc biệt chú ý tới bán dẫn siêu mạng. Bán dẫn siêu mạng có nhiều ưu
điểm là do có thể dễ dàng điều chỉnh các tham số, từ đó có thể tạo ra các bán dẫn siêu
mạng có đặc trưng cấu trúc và các hiệu ứng đáp ứng những yêu cầu và mục đích sử
dụng khác nhau.
Khi các nguồn bức xạ cao tần ra đời đã mở ra một hướng nghiên cứu mới về các
hiệu ứng cao tần gây bởi tương tác của các trường sóng điện từ cao tần lên bán dẫn siêu
mạng. Khi sóng điện từ cao tần (có tần số
thỏa mãn điều kiện
1,
: thời gian
hồi phục xung lượng) tương tác với vật liệu thì định luật bảo toàn xung lượng bị thay
đổi do sự tham gia của photon vào quá trình hấp thụ và phát xạ phonon (trong đối số
của hàm Delta - Dirac mô tả định luật bảo toàn khi
1, ngoài năng lượng electron,
3
phonon còn có cả đại lượng liên quan tới năng lượng photon
l
,
l
là số nguyên). Kết
quả là hàng loạt các hiệu ứng mới xuất hiện - hiệu ứng cao tần. Khi đó electron có thể
tương tác với phonon và gây ra các hiệu ứng có bản chất mới khác hoàn toàn trường
hợp không có sóng điện từ cao tần (khi không có đại lượng liên quan tới năng lượng
photon
l
vào đối số của hàm Delta - Dirac)
5 8,12 15
.
Công nghệ laser cho phép ta nghiên cứu một số hiệu ứng mới trong hệ cấu trúc thấp
chiều, trong đó có hiệu ứng về gia tăng sóng âm (phonon âm). Trong bán dẫn khối hiệu
ứng này đã được nghiên cứu cả trường hợp khí electron suy biến và không suy biến, cả
quá trình hấp thụ một photon cũng như nhiều photon. Trong siêu mạng hợp phần, hiệu
ứng giảm kích thước lên sự gia tăng sóng âm (phonon âm) không giam cầm đã được
nghiên cứu, bài toán về tốc độ gia tăng sóng âm (phonon âm) giam cầm trong siêu
mạng hợp phần đang còn để ngỏ.
Xuất phát từ những lý do trên, chúng tôi chọn nghiên cứu đề tài: “Nghiên cứu ảnh
hưởng của hiệu ứng giảm kích thước lên sự gia tăng sóng âm (phonon âm) giam cầm
trong siêu mạng hợp phần”.
2. Phƣơng pháp nghiên cứu:
Trong quá trình nghiên cứu về mặt lý thuyết, để nghiên cứu hiệu ứng giảm kích
thước lên sự gia tăng sóng âm ta có thể dùng các phương pháp khác nhau. Theo quan
điểm cổ điển, ta có thể sử dụng cách giải phương trình động cổ điển Boltzman. Trong
lĩnh vực lượng tử, bài toán này có thể được giải quyết theo nhiều phương pháp khác
nhau như: lý thuyết nhiễu loạn, phương trình động lượng tử, lý thuyết hàm Green hoặc
phương pháp chiếu toán tử. Mỗi phương pháp đều có những ưu điểm và nhược điểm
riêng nên tùy từng bài toán cụ thể mà ta lựa chọn phương pháp phù hợp.
Trong luận văn này, chúng tôi sử dụng phương pháp phương trình động lượng tử
cho phonon. Từ Hamiltonian của hệ điện tử phonon ta xây dựng phương trình động
lượng tử đối với hàm phân bố số phonon hoặc hàm phân bố lượng tử tổng quát của
phonon để nghiên cứu tốc độ thay đổi sóng âm (phonon âm) trong siêu mạng hợp phần.
4
Từ biểu thức giải tích của tốc độ gia tăng sóng âm (phonon âm) trong siêu mạng
hợp phần, chúng tôi tiến hành tính toán số và thảo luận kết quả thu được đối với siêu
mạng GaAs-Al
0.3
Ga
0.7
As cho trường hợp sóng âm (phonon âm) giam cầm.
3. Mục đích nghiên cứu
Bằng cách sử dụng phương trình động lượng tử cho sóng âm (phonon âm) giam
cầm chúng tôi xây dựng công thức tính hệ số gia tăng sóng âm (phonon âm) giam cầm
trong siêu mạng hợp phần. Từ đó, chúng tôi đã khảo sát và tính toán số các kết quả cho
một siêu mạng hợp phần điển hình là GaAs-Al
0.3
Ga
0.7
As trong hai trường hợp khí điện
tử không suy biến và có suy biến.
4. Bố cục luận văn:
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, luận văn được trình
bày làm 3 chương.
Một số vấn đề liên quan về siêu mạng hợp phần và phương trình động lượng tử
được trình bày ở chương I.
Trong chương II, phương trình động lượng tử được xây dựng cụ thể, từ đó xây
dựng được biểu thức giải tích của hệ số gia tăng sóng âm (phonon âm) giam cầm trong
siêu mạng hợp phần.
Việc tính số, vẽ đồ thị và thảo luận đánh giá kết quả cho một siêu mạng điển hình
GaAs-Al
0.3
Ga
0.7
As được trình bày ở chương III
Với kết quả đã thực hiện được trong luận văn, một phần các kết quả đó được gửi
đăng trên tạp chí “Nghiên cứu Khoa học và Công nghệ Quân Sự”.
CHƢƠNG I
SIÊU MẠNG HỢP PHẦN VÀ PHƢƠNG TRÌNH ĐỘNG LƢỢNG TỬ
CHO SÓNG ÂM (PHONON ÂM) TRONG BÁN DẪN KHỐI
5
I.1. Siêu mạng hợp phần
I.1.1. Bán dẫn siêu mạng
Bán dẫn siêu mạng (superlattice) là vật liệu bán dẫn có cấu trúc tuần hoàn nhân
tạo gồm các lớp bán dẫn thuộc hai loại khác nhau có độ dày cỡ nanomet đặt kế tiếp
nhau.
Với cấu trúc có tính tuần hoàn, nên ở bán dẫn siêu mạng các electron ngoài sự
chịu thế tuần hoàn của mạng tinh thể, còn phải chịu một thế phụ tuần hoàn do siêu
mạng tạo ra có chu kì lớn hơn nhiều lần so với hằng số mạng. Thế phụ này được tạo ra
do sự khác biệt của các đáy vùng dẫn của hai loại bán dẫn tạo thành siêu mạng.
Bán dẫn siêu mạng gồm các lớp mỏng A có bề dày d
A
nằm xen kẽ giữa các lớp
mỏng B có bề dày d
B
. Chọn hướng vuông góc với các lớp bán dẫn làm trục siêu mạng
Oz. Khi đó, khoảng cách d = d
A
+ d
B
gọi là chu kì của siêu mạng.
Dựa vào cấu trúc của hai lớp bán dẫn A và B, người ta chia bán dẫn siêu mạng
ra thành hai loại là: bán dẫn siêu mạng pha tạp và bán dẫn siêu mạng hợp phần.
I.1.2. Hàm sóng và phổ năng lượng của electron trong bán dẫn siêu mạng hợp phần
Bán dẫn siêu mạng hợp phần là bán dẫn gồm các lớp bán dẫn A và B khác nhau
thỏa mãn hàng rào thế trong các hố lượng tử đa lớp trở thành đa lớp với hiệu ứng
đường ngầm, các hố lượng tử đa lớp trở thành bán dẫn siêu mạng hợp phần.
Hệ electron trong bán dẫn siêu mạng hợp phần là hệ electron chuẩn hai chiều.
Thế siêu mạng có ảnh hưởng rất ít đến chuyển động của electron theo phương vuông
góc với trục siêu mạng (trục z), còn chuyển động theo hướng z sẽ tương ứng với
chuyển động với một trường thế tuần hoàn với chu kỳ d. Kết quả là
22
n n z
*
k
(k ) (k )
2m
. (1.1)
6
Với
k
cố định, đường cong tán sắc
z
(k )
của bán dẫn phân thành các mini
vùng năng lượng
nz
(k )
, được ngăn cách nhau bởi mini vùng cấm có tâm tại vị trí
z
k0
và biên tại
z
k
d
.
Các đặc điểm định tính cấu trúc vùng năng lượng của các bán dẫn siêu mạng là
giống nhau đối với các siêu mạng khác nhau . Phổ
nz
(p )
bao gồm hàng loạt các vùng
năng lượng mini không chồng chập lên nhau. Khi chỉ số vùng năng lượng mini n tăng,
độ rộng của khe năng lượng mini bị giảm. Nếu năng lượng của mini vùng nhỏ hơn cực
đại của thế siêu mạng thì trong gần đúng liên kết mạnh năng lượng được mô tả như kết
quả của Shik
n z n n z
(k ) cos(k d)
, (1.2)
Trong đó
n
là một nửa độ rộng của mini vùng n,
n
là mức năng lượng trong hố
lượng tử cô lập, được xác định bởi tham số của siêu mạng
222
n
*2
n
2m d
Từ đó ta có phổ năng lượng của electron trong siêu mạng hợp phần ở trạng thái
n,k
có dạng:
22
2 2 2
,
2
cos( )
22
n
nk
k
n
kd
n
m m d
(1.3)
Cần lưu ý rằng
n
và
n
là những tham số có thể thay đổi được nhờ thay đổi
các tham số khác của siêu mạng.
Hàm sóng toàn phần của electron có thể phân thành hai thành phần, một phụ
thuộc vào z, còn thành phần kia chỉ phụ thuộc vào x và y
r x,y z
, (1.4)
Trong đó
x,y
là nghiệm phương trình đối với hạt tự do nên có dạng sóng phẳng.
7
Hàm sóng tổng cộng của electron trong mini vùng n của siêu mạng hợp phần
trong gần đúng liên kết mạng có dạng
0
1
0
1
e
z
S
ik r ik jz
n
j
xy
r e z jd
L L S
Trong đó L
x
, L
y
tương ứng là độ dài chuẩn hóa theo hướng x và y
I.2. Phƣơng trình động lƣợng tử và bài toán gia tăng sóng âm (phonon âm) trong
bán dẫn khối.
I.2.1.Xây dựng phương trình động lượng tử cho phonon trong bán dẫn khối:
Hamiltonian của hệ điện tử phonon trong bán dẫn khối là:
2
,
1
( ) ( ) ( )
2
p p q q q q p q p q q
p q p q
e
H t p A t a a b b C a a b b
mc
(1.5)
Trong đó
p
a
và
p
a
(
q
b
và
q
b
) tương ứng là toán tử sinh và toán tử huỷ của
điện tử (phonon);
p
và
()pq
là trạng thái của điện tử trước và sau khi tán xạ;
p
,
(q)
là vectơ sóng của điện tử (phonon) trong bán dẫn
khối;
2
1
( ) ( )
2
e
p p A t
mc
là năng lượng điện tử;
q
là năng lượng của
phonon âm; c là vận tốc ánh sáng; m và e tương ứng là khối lượng và điện tích của điện
tử;
q
C
là hằng số tương tác điện tử - phonon,
)(tA
là thế vectơ. Trong mối liên hệ
với trường sóng điện từ,
)(tA
xác định bởi biểu thức:
2
,
1
( ) ( ) ( )
2
p p q q q q p q p q q
p
q p q
e
H t p A t a a b b C a a b b
mc
(1.6)
Từ (1.5) ta có:
8
2
,
1
, ( ) ( ) ,
2
, , ( ) .
q q q p p
t
t
t
p
k k k k k
k p k p
t
t
k p k
e
i b b H t p A t b a a
t m c
b b b C b a a b b
(1.7)
Thực hiện phép biến đổi và dựa vào các hệ thức toán tử, ta có:
q q q q p q p
tt
t
p
i b b C a a
t
(1.8)
Thiết lập phương trình cho
p q p
t
aa
:
Thực hiện biến đổi đại số toán tử biểu thức (1.8), ta thu
được:
2
''
'
1
, ( ) ' ( ) ,
2
p q p p q p p q p p p
t t t
tt
p
e
i a a a a H t p A t a a a a
t m c
''
',
, , ( )
p q p p q p
k k k k
k p k p k
tt
tt
k p k
h a a b b C a a a a b b
(1.9)
()
p q p p p q p q p
tt
eq
i a a A t a a
t mc
( ) ( ) (1.10)
pp
p k k p k k
k k k
tt
k
C a a b b a a b b
Từ (1.10) ta tìm được:
1
1
1 2 2
( ) ( )
exp ( )( ) ( ) 1.11
t
p q p p p
p k k p k k
k k k
t
tt
k
t
p p q
t
a a i dt C a a b b a a b b
e
i t t i qA t dt
mc
Thay (1.10) vào (1.8), ta có:
9
1
1
,
1 2 2
( ) ( )
exp ( )( ) ( ) 1.12
t
q q q q p p
p k k p k k
k k k
tt
tt
p k k
t
p p q
t
b i b C C dt a a b b a a b b
t
e
i t t i qA t dt
mc
Trong gần đúng bậc hai của
q
C
, có thể bỏ qua
1
q
t
b
, và sẽ thu được:
1
1
2
1
,
1 2 2
()
exp ( )( ) ( ) 1.13
t
q q q q p p q q
t t t
pk
t
p p q
t
b i b C n n dt b
t
e
i t t i qA t dt
mc
Với:
0
2 0 2 2 2
( ) sin( ) os( ) 1.14
cE
A t cE t dt c t
Thay (1.14) vào (1.13) đồng thời sử dụng biểu thức biến đổi
10,11
:
exp( iz sin )= J ( )exp( in )
n
z
n
()
n
Jz
là các hàm Bessel đối số thực ta sẽ có :
1
2
1
00
11
22
,
()
exp ( )( ) is t 1.15
t
q q q q p p q q
t t t
p
p p q l s
ls
b i b C n n dt b
t
eE q eE q
i t t il t J J
mm
Phương trình (1.15) chính là phương trình động lượng tử của phonon trong bán
dấn khối.
I.2.2. Lý thuyết gia tăng sóng âm (phonon âm) trong bán dẫn khối (trường hợp hấp
thụ một phonon):
Sử dụng công thức chuyển phổ Fourier:
10
()
1
()
2
it
t
it
t
B b e dt
b B e d
tt
b i b
t
(1.16)
Từ phương trình (1.15) và (1.16) ta có
1
2
1
00
11
22
,
()
exp ( )( ) is t 1.17
t
q q q q p p q q
t t t
p
l s p p q
ls
i b i b C n n dt b
eE q eE q
J J i t t il t
mm
Hay viết dưới dạng khác:
2
00
22
,
1 1 1
11
( ) ( )
22
()
1
( ) exp ( )( ) is t
2
i t i t
q q q
q p p q l s
p l s
t
it
q p p q
i B e d i B e d
eE q eE q
C n n J J
mm
dt B e d i t t il t
2
00
22
,
íl t
()
()
1
2 ( )
q p p q l s
p l s
i t il t
q
p p q
eE q eE q
C n n J J
mm
Be
d
i l i
Trong đó:
()x
là hàm Delta-Dirac.
Dùng công thức chuyển phổ Fourier ta lại có:
ís t
( ) ( )
i t il t i t
B e d B s l e d
Nên:
11
2
00
22
,
11
( ) ( )
22
()
()
1
1.18
2 ( )
i t i t
q q q
q p p q l s
p l s
it
q
p p q
i B e d i B e d
eE q eE q
C n n J J
mm
B s l e
d
i l i
Từ phương trình (1.18) ta có:
2
00
22
,
( ) ( )
()
( ) 1.19
p p q
q q q q
p
p p q
l s q
ls
nn
i B i B C
i l i
eE q eE q
J J B s l
mm
Từ (1.19) đặt
0
2
eE
a
m
( ) ; 0 1.20
()
p p q
p
q
p p q
nn
li
Ta sẽ có:
2
,
( ) ( ) ( ) ( ) 1.21
q q q l s q
ls
q
B C J aq J aq l B s l
Nhận xét rằng trong phương trình (1.21) các số hạng với
ls
bên vế phải sẽ cho
đóng góp hằng số tương tác điện tử - phonon bậc cao hơn số hạng với
ls
. Vậy có thể
đặt l = s trong công thức (1.21) và thu được phương trình tán sắc:
2
2
( ) ( ) ( ) 0 1.22
q q q l
l
q
B C J aq l
Từ phương trình tán sắc, ta thu được hệ số hấp thụ sóng âm:
2
2
( ) Im( )
1.23
q l p p q p p q q
lp
q
C J aq n n l
12
Coi sóng âm đồng nghĩa với phonon âm, từ công thức chung (1.23) ta tính hệ số
hấp thụ sóng âm
()q
cho bán dẫn:
Xét cho trường hợp khí điện tử suy biến và trong trường hợp hấp thụ một
photon, với giả thiết q>>p
F
;
F
, thu được hệ số hấp thụ sóng âm:
2
22
0
2
()
4 2 2
F
m eE q q m q m
qp
s m q q
Trong đó
là khối lượng riêng, s là vận tốc sóng âm,
0
eE
m
P
F
là xung lượng Fermi của điện tử;
()z
là hàm có bước nhảy:
1, 0
()
0, 0.
z
z
z
Ở điểm
2qm
,
()q
sẽ đổi dấu và với:
22
FF
m p p q m
sẽ xuất hiện sự gia tăng sóng âm
( ) 0q
Đối với trường hợp bán dẫn không suy biến và hấp thụ một phonon: coi đối
số của hàm Bessel rất nhỏ sao cho
1aq
với
0
eE
m
.
Biểu thức đối với hàm phân bố của điện tử:
3/2
2
0
2
exp ;
2
p
p
n A A n
mkT mkT
(1.24)
Hằng số tương tác điện tử - phonon âm:
2
2
0
2
q
q
C
Vs
(1.25)
Với V
0
thể tích của tinh thể, thường chọn V
0
=1;
- hằng số thế biến dạng.
s – vận tốc sóng âm.
- mật độ tinh thể.
13
Đặt (1.24), (1.25) vào công thức chung (1.23). Chuyển từ tổng sang tích phân theo
p
,
thu được biểu thức đối với hệ số hấp thụ sóng âm trường hợp hấp thụ một photon:
1/2 2
2
0
4
22
2
( ) exp 2
2 2 2
exp 2 exp 1.26
24
q
q
q q q q
nm
q S sh
s kT kT
q
S sh S
kT m
Ở đây :
2
2
q
m
S
q kT
K là hằng số Boltzmann;
N
0
là mật độ điện tử;
T là nhiệt độ tuyệt đối của hệ.
Từ công thức (1.26), trong trường hợp bất đẳng thức
q
được thực hiện, ta có
( ) 0q
và ứng với nó ta có hệ số hấp thụ sóng âm. Ngược lại, trong vùng sóng âm
thỏa mãn bất đẳng thức
q
ta có
( ) 0q
và có dạng tường minh sau:
1/2 2
2
0
4
22
2
( ) 2
2 2 2
exp
4
nm
q sh sh S
s kT kT
q
S
m
(1.27)
Công thức (1.27) chứng tỏ lúc này hệ số hấp thụ sóng âm (
( ) 0q
) đã chuyển
thành hệ số gia tăng sóng âm (
( ) 0q
). Nghĩa là ta có hệ số gia tăng sóng âm bởi
trường bức xạ Laser trong bán dẫn không suy biến trong trường hợp hấp thụ một
photon.
I.2.3. Ảnh hưởng của quá trình hấp thụ nhiều photon lên hệ số gia tăng sóng âm và
điều kiện gia tăng sóng âm trong bán dẫn khối:
Ta viết hệ số hấp thụ sóng âm (1.23) dưới dạng khác:
14
2
2
()
q l p p q p q p q p q
lp
q C J aq n l l
(1.28)
Đặt
p q p q
l
trong trường hợp
1
, dùng công thức biến đổi:
22
2
22
l
l
Jl
Ta sẽ thu được:
2 2 2 2
2
2 2 2 2
()
qp
p
q C n
(1.29)
Trong đó:
0
eE
m
Sử dụng:
22
2 2 2 2
z
p q p q q q
q pq q p q
l
m m m m
22
2 2 2 2
z
p q p q q q
q pq q p q
l
m m m m
Công thức biến đổi tổng thành tích phân
2
3
0
1
. .
2
z
p
d dP P dP
Và xét bán dẫn không suy biến, thì từ phương trình (1.26) ta có phương trình sau:
2
2
22
3
0 0 0
22
22
22
22
22
22
( ) . . exp exp
22
2
2 2 2 2
2 2 2 2
q
z
z
zz
zz
AC
PP
q d dP P dP
mkT mkT
q p q q p q
m m m m
q p q q p q
m m m m
(1.30)
Tiếp theo ta tính tích phân theo P
z
,
P
của (1.30), ta nhận được:
15
2
22
2
0
2
2
2
2
0
.
( ) exp
22
.2 2
1/ 2
!2
2
q
q
l
q
m n m q
q
q kT m
kT s
mq
I
q
q kT m
m
2
2
2
2
2
2
2
0
exp
22
1/ 2
1.31
!2
2
q
q
l
q
mq
q kT m
mq
I
q
q kT m
m
Cuối cùng ta thu được biểu thức giải tích cho hệ số hấp thụ sóng âm trong bán dẫn bởi
trường bức xạ Laser đối với quá trình hấp thụ nhiều photon như sau:
1/2 2
1/2
2 2 2
0
22
2
2
2
0
2
2
( ) exp exp
2 2 2 2 2
1/ 2
!2
2
exp
2
q
q
l
q
q
q
n m m m q
q
s kT q kT q kT m
mq
I
q
q kT m
m
mq
I
q
kT q kT
m
2
1.32
2
q
m
Từ (1.32) ta thấy rằng nếu bất đẳng thức sau được thực hiện:
22
22
22
1.33
22
22
m q m q
II
q kT m q kT m
mm
16
Thì
( ) 0q
, còn nếu:
22
22
22
1.34
22
22
m q m q
II
q kT m q kT m
mm
Thì ta có
( ) 0q
và có dạng tường minh như sau:
1/2 2
1/2
2 2 2
0
22
2
2
2
0
2
2
( ) exp exp
2 2 2 2 2
1/ 2
exp
!2
2
2
q
q
q
l
q
q
n m m m q
q
s kT q kT q kT m
mq
I
q
kT q kT m
m
m
I
q
q kT
m
2
1.35
2
q
q
m
Công thức (1.35) chứng tỏ rằng lúc này, hệ số hấp thụ sóng âm
( ) 0q
đã chuyển
thành hệ số gia tăng sóng âm
( ) 0q
. Nghĩa là một lần nữa ta thu nhận được hệ số
gia tăng sóng âm ở trong cả trường hợp hấp thụ nhiều photon bởi trường bức xạ Laser.
17
CHƢƠNG II
PHƢƠNG TRÌNH ĐỘNG LƢỢNG TỬ VÀ HỆ SỐ GIA TĂNG SÓNG ÂM
(PHONON ÂM) GIAM CẦM TRONG SIÊU MẠNG HỢP PHẦN
II.1. Phƣơng trình động lƣợng tử của sóng âm (phonon âm) giam cầm trong siêu
mạng hợp phần.
II.1.1. Phương trình động lượng tử của sóng âm (phonon âm) giam cầm trong bán
dẫn siêu mạng:
Hamiltonian của hệ điện tử phonon âm giam cầm trong bán dẫn siêu mạng khi có
mặt trường bức xạ laser
)sin(
0
tEE
có dạng:
H = H
e
+ H
ph
+ H
e-ph
(2.1)
Trong đó:
H
e
=
knkn
kn
n
aatA
c
e
k
,,
,
))((
: năng lượng của các điện tử không tương tác
H
ph
=
qmqm
qm
qm
bb
,,
,
,
: năng lượng của các phonon âm không tương tác
H
e-ph
=
)(
,,
,
,,
,
,,
''
'
qmqm
kn
qkn
m
nn
qm
knn
m
q
bbaaIC
: năng lượng tương tác điện tử phonon âm
H =
knkn
kn
n
aatA
c
e
k
,,
,
))((
+
qmqm
qm
qm
bb
,,
,
,
+
)(
,,
,
,,
,
,,
''
'
qmqm
kn
qkn
m
nn
qm
knn
m
q
bbaaIC
(2.2)
Gọi
t
qm
qmqm
bbtN
,
,,
)(
là số phonon âm giam cầm trung bình tại thời điểm t.
Dưới tác dụng của trường laser, hệ điện tử phonon âm giam cầm trở nên không
cân bằng.
Phương trình động lượng tử cho phonon âm giam cầm có dạng:
t
qmqm
qm
Hbb
t
tN
i ,
)(
,,
,
18
t
pheqmqm
t
phqmqm
t
eqmqm
qm
HbbHbbHbb
t
tN
i
,,,
)(
,,.,,,
,
(2.3)
Thay (2.2) vào (2.3) ta có:
t
tN
i
qm
)(
,
t
knkn
kn
nqmqm
aatA
c
e
kbb
,,
,
,,
))((,
+
t
qm
qmqmqm
qmqm
bbbb
''
''''''
,
,,,
,,
,
+
t
qm
qm
knn
qm
kn
qkn
m
nn
m
q
qmqm
bbaaICbb
''
''
'
''''
'
'
'
'
,
,
,,
,
,
,,
,,
)(,
Trong đó:
)(
,,
knkn
aa
là toán tử sinh (hủy) của điện tử ở trạng thái
kn
,
)(
,,
qmqm
bb
là toán tử sinh (hủy) của phonon âm giam cầm ở trạng thái
qm
,
)(
qk
là xung lượng của điện tử (phonon) trong mặt phẳng vuông góc với trục của
siêu mạng.
qm
,
tần số của phonon âm giam cầm.
)(tA
thế vecto của trường điện từ được xác định bởi:
)sin(
)(1
0
tE
dt
tAd
c
.
22
2
2
)(
L
m
q
Vv
C
s
m
q
hệ số tương tác điện tử phonon âm
V thể tích tinh thể;
hằng số biến dạng;
s
v
vận tốc âm;
mật độ của tinh thể
TÍNH:
1. Số hạng thứ 1:
t
eqmqm
Hbb ,
,,
=
t
knkn
kn
nqmqm
aatA
c
e
kbb
,,
,
,,
))((,
19
=
tA
c
e
k
kn
n
,
t
knkn
qmqm
aabb
,,
,,
,
= 0
t
eqmqm
Hbb ,
,,
= 0 (2.4)
2. Số hạng thứ 2
t
phqmqm
Hbb ,
,,
=
t
qm
qmqmqm
qmqm
bbbb
''
''''''
,
,,,
,,
,
=
''
''
,
,
qm
qm
t
qmqm
qmqm
bbbb
''''
,,
,,
,
Tính:
''''
,,
,,
,
qmqm
qmqm
bbbb
=
''''''
,,
,
,,
,
)(
qqmm
qm
qmqm
qm
bbbb
= 0
t
phqmqm
Hbb ,
,,
= 0 (2.5)
3. Số hạng thứ 3:
t
pheqmqm
Hbb
,
,,
=
t
qm
qm
knn
qm
kn
qkn
m
nn
m
q
qmqm
bbaaICbb
''
''
'
''''
'
'
'
'
,
,
,,
,
,
,,
,,
)(,
=
'
'
'' '
'
'
,
, ,,
m
nn
qm knn
m
q
IC
t
qmqm
kn
qkn
qmqm
bbaabb )(,
''''''
,,
,
,
,,
Tính:
)(,
''''''
,,
,
,
,,
qmqm
kn
qkn
qmqm
bbaabb
=
kn
qkn
qmqm
qmqmqmqm
qmqm
aabbbbbbbb
,
,
,,
,,,,
,,
''''''''''
)()(
=
''''
,,
,,
,,
qqmm
qmqm
qqmm
bb
kn
qkn
aa
,
,
''
t
pheqmqm
Hbb
,
,,
20
=
t
qm knn
kn
qkn
qm
qqmmqqmm
qm
m
nn
m
q
aabbIC
'' '
''''''
'
'
'
'
, ,,
,
,
,
,,,,
,
,
)(
=
knn
m
nn
m
q
IC
,,
,
'
'
t
kn
qkn
qm
aab
,
,
,
'
-
knn
m
nn
m
q
IC
,,
,
'
'
t
kn
qkn
qm
aab
,
,
,
'
(2.6)
Thay (2.4), (2.5), (2.6) vào (2.3) ta có:
t
tN
i
qm
)(
,
knn
m
nn
I
,,
,
'
'
t
kn
qkn
qm
m
q
t
kn
qkn
qm
m
q
aabCaabC
,
,
,
,
,
,
''
t
tN
i
qm
)(
,
knn
m
nn
I
,,
,
'
'
tqmFCtqmFC
kn
qkn
m
q
qkn
kn
m
q
,,,,
,
,
,
,
'
'
(2.7)
Với
tqmF
kn
qkn
,,
,
,
'
=
qm
qkn
kn
baa
,
,
,
'
Tương tự ta viết phương trình động cho
tqmF
px
py
,,
1
2
,
,
t
tqmF
i
px
py
,,
1
2
,
,
=
t
qmpypx
Hbaa ,
,,,
21
(2.8)
t
tqmF
i
px
py
,,
1
2
,
,
=
t
eqmpypx
Hbaa ,
,,,
21
+
t
phqmpypx
Hbaa ,
,,,
21
+
t
pheqmpypx
Hbaa
,
,,,
21
Tính
1. Số hạng thứ 1:
t
eqmpypx
Hbaa ,
,,,
21
=
t
kn
knkn
nqmpypx
aatA
c
e
kbaa
11
1111
121
,
,,
1,,,
,
=
tA
c
e
k
kn
n
1
,
11
1
t
knkn
qmpypx
aabaa
1111
21
,,
,,,
,
1111
21
,,
,,,
,
knkn
qmpypx
aabaa
=
qmpypx
knknknkn
pypx
baaaaaaaa
,,,
,,,,
,,
21
11111111
21
=
qm
kp
nxpy
knkp
ny
kn
px
baaaa
,
,
,,
,,
,
,
,
11
12
1112
1
11
1
(2.9)
2. Số hạng thứ 2
21
t
phqmpypx
Hbaa ,
,,,
21
=
t
qmqm
qm
qmqmpypx
bbbaa
1111
11
1121
,,
,
,,,,
,
=
11
11
,
,
qm
qm
t
qmqmqmpypx
bbbaa
111121
,,,,,
,
111121
,,,,,
,
qmqmqmpypx
bbbaa
=
21
,, pypx
aa
1111
,,,
,
qmqmqm
bbb
=
21
,, pypx
aa
1111
,,,
qqmmqm
b
(2.10)
3. Số hạng thứ 3:
t
pheqmpypx
Hbaa
,
,,,
21
=
t
qm
knn
qmqm
kn
qkn
m
nn
m
qqmpypx
bbaaICbaa
11
1
'
11
1111
11
11
'
1
1
'
11
1
121
,
,,
,,
,
,,
,,,
,
=
1
'
11
11
1
'
11
1
1
,
,
,,
m
nn
qm
knn
m
q
IC
t
qmqm
kn
qkn
qmpypx
bbaabaa
1111
11
11
'
1
21
,,
,
,
,,,
,
1111
11
11
'
1
21
,,
,
,
,,,
,
qmqm
kn
qkn
qmpypx
bbaabaa
1111
11
1
12
'
1
,,,
,
,
,
,
qmqmqm
kn
px
kp
ny
bbbaa
qmqmqmpy
qkn
pk
xn
bbbaa
,,,,
,
,
,
11112
11
'
1
11
1
11
,,
qqmm
2
11
1
11
'
1
,
,
,
,
py
kn
px
qkn
aaaa
(2.11)
Thay (2.9), (2.10), (2.11) vào (2.8) ta được:
t
tqmF
i
px
py
,,
1
2
,
,
tA
c
e
k
kn
n
1
,
11
1
t
qm
kp
nxpy
knkp
ny
kn
px
baaaa
,
,
,,
,,
,
,
,
11
12
1112
1
11
1
11
11
,
,
qm
qm
t
qqmmqmpypx
baa
111121
,,,,,
22
1
'
11
11
1
'
11
1
1
,
,
,,
m
nn
qm
knn
m
q
IC
t
py
kn
px
qkn
qqmm
qmqmqmpy
qkn
pk
xnqmqmqm
kn
px
kp
ny
aaaa
bbbaabbbaa
2
11
1
11
'
1
11
11112
11
'
1
11
11111
11
1
12
'
1
,
,
,
,
,,
,,,,
,
,
,,,,
,
,
,
,
tA
c
e
p
y
2
t
qmpypx
baa
,,,
21
tA
c
e
p
x
1
t
qmpypx
baa
,,,
21
qm
,
t
qmpypx
baa
,,,
21
1
11
1
1
,
,
m
yx
qm
m
q
IC
t
qmqmqmpyqpxqmqmqmqpypx
bbbaabbbaa
,,,,,,,,,,
11112111111121
1
'
11
'
11
,,
,
knn
m
nn
m
q
IC
t
py
kn
px
qkn
aaaa
2
11
1
1
'
1
,
,
,
,
t
tqmF
i
px
py
,,
1
2
,
,
qmxy
tA
c
e
ptA
c
e
p
,12
tqmF
px
py
,,
1
2
,
,
1
11
1
1
,
,
m
yx
qm
m
q
IC
t
qmqmqmpyqpxqmqmqmqpypx
bbbaabbbaa
,,,,,,,,,,
11112111111121
1
'
11
'
11
,,
,
knn
m
nn
m
q
IC
t
py
kn
qkn
px
aaaa
2
11
1
'
1
1
,
,
,
,
t
tqmF
px
py
,,
1
2
,
,
qmyx
tA
c
e
ptA
c
e
p
i
,21
tqmF
px
py
,,
1
2
,
,
1
11
1
1
,
,
m
yx
qm
m
q
IC
i
t
qmqmqmpyqpxqmqmqmqpypx
bbbaabbbaa
,,,,,,,,,,
11112111111121
1
'
11
'
11
,,
,
knn
m
nn
m
q
IC
i
t
py
kn
px
qkn
aaaa
2
11
1
1
'
1
,
,
,
,
(2.12)
Giải (2.12): giải phương trình vi phân không thuần nhất với điều kiện F
= 0
t
F
FtA
c
e
ptA
c
e
p
i
qmyx
,21
23
F
F
ttA
c
e
ptA
c
e
p
i
qmyx
,21
(2.13)
Lấy tích phân 2 vế của (2.13) từ
t
:
2.12
Fln
1,1211
dttA
c
e
ptA
c
e
p
i
qmyx
t
F
m
t
qmyx
dttA
c
e
ptA
c
e
p
i
1,1211
exp
Giải phương trình vi phân không thuần nhất:
)(tF
tm
t
qmyx
dttA
c
e
ptA
c
e
p
i
1,1211
exp
(2.14)
)(
'
tF
tm
'
t
qmyx
dttA
c
e
ptA
c
e
p
i
1,1211
exp
qmyx
tA
c
e
ptA
c
e
p
i
,1211
)(tF
(2.15)
Thay (2.15) vào (2.12) thu được:
tm
'
t
qmyx
dttA
c
e
ptA
c
e
p
i
1,1211
exp
qmyx
tA
c
e
ptA
c
e
p
i
,1211
)(tF
qmyx
tA
c
e
ptA
c
e
p
i
,21
)(tF
1
'
11
'
11
,,
,
knn
m
nn
m
q
IC
i
t
kn
py
qkn
px
aaaa
11
2
1
'
1
1
,
,
,
,
1
11
1
1
,
,
m
yx
qm
m
q
IC
i
t
qmqmqmpyqpxqmqmqmqpypx
bbbaabbbaa
,,,,,,,,,,
11112111111121
tm
'
=
i
'
11
'
1 1 1
,
,,
mm
q
nn
nnk
CI
t
kn
py
qkn
px
aaaa
11
2
1
'
1
1
,
,
,
,
