- Trang chủ >>
- Khoa học tự nhiên >>
- Vật lý
Nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước lên sự gia tăng sóng âm (phonon âm) giam cầm trong siêu mạng pha tạp
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.29 MB, 63 trang )
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
Ngô Thị Mến
NGHIÊN CỨU ẢNH HƢỞNG CỦA HIỆU ỨNG
GIẢM KÍCH THƢỚC LÊN SỰ GIA TĂNG SÓNG ÂM
(PHONON ÂM) GIAM CẦM TRONG
SIÊU MẠNG PHA TẠP
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã số: 60 44 01
BẢN TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Cán bộ hướng dẫn : PGS.TS Nguyễn Vũ Nhân
Hà Nội- 2011
MỤC LỤC
Mở đầu …………………………………………………………………….1
Chƣơng I: Siêu mạng pha tạp và phƣơng trình động lƣợng tử cho phonon
âm (sóng âm) giam cầm trong bán dẫn
khối……………………………………………………………………… 4
I.1. Siêu mạng pha tạp…………………………………………………………….4
I.1.1. Bán dẫn siêu mạng………………………………………………………….4
I.1.2. Hàm sóng và phổ năng lượng của electron trong siêu mạng pha
tạp………………………………………………………………………………… 4
I.2. Phương trình động lượng tử và bài toán gia tăng phonon âm (sóng âm)
trong bán dẫn khối……………………………………………… 6
I.2.1.Xây dựng phương trình động lượng tử cho phonon trong bán dẫn
khối………………………………………………………………………………… 6
I.2.2.Lý thuyết gia tăng sóng âm ( phonon âm) trong bán dẫn khối (trường hợp
hấp thụ một phonon)…………………………………………………………8
I.2.3.Ảnh hưởng của quá trình hấp thụ nhiều photon lên hệ số gia tăng sóng
âm và điều kiện gia tăng sóng âm trong bán dẫn khối…………… 12
Chƣơng II: Phƣơng trình động lƣợng tử và hệ số gia tăng phonon âm
(sóng âm) giam cầm trong siêu mạng pha tạp và biểu thức giải
tích…………………………………………… 16
II.1. Phương trình động lượng tử của phonon âm (sóng âm) giam cầm trong
siêu mạng pha tạp……………………………………………… 16
II.1.1. Phương trình động lượng tử của phonon âm (sóng âm) giam cầm trong
bán dẫn siêu mạng……………………………………………………… 16
II.1.2. Phương trình động lượng tử của phonon âm (sóng âm) giam cầm trong
siêu mạng pha tạp…………………………………………………………27
II.2. Biểu thức giải tích của hệ số gia tăng phonon âm (sóng âm) giam cầm
trong siêu mạng pha tạp………………………………………… 34
II.2.1. Trường hợp khí electron không suy biến…………………………… 34
II.2.2. Trường hợp khí electron suy biến………………………………………36
Chƣơng III: Tính toán số và vẽ đồ thị cho siêu mạng pha tạp n-GaAs/ p-
GaAs……………………………………………………………………41
III.1. Tính toán số trường hợp khí electron không suy biến……………… 42
III.2. Tính toán số trường hợp khí electron suy biến……………………… 48
Kết luận……………………………………………………… 53
Tài liệu tham khảo……………………………………………………….54
Phụ lục……………………………………………………………………56
DANH MỤC HÌNH VẼ
Hình 3.1: hệ số gia tăng phonon âm trong siêu mạng pha tạp phụ thuộc tần số
trường laser
ứng với nhiệt độ 450 K (đường gạch), 480 K (đường liền),
500K(đường chấm)…………………………………………………… ……………42
Hình 3.2: hệ số gia tăng phonon âm trong siêu mạng pha tạp phụ thuộc biên
độ trường laser ứng với nhiệt độ 450 K (đường gạch), 480 K (đường liền), 500
K (đường
chấm)………………………………………………………………… ………………43
Hình 3.3: hệ số gia tăng phonon âm trong siêu mạng pha tạp phụ thuộc vào
nhiệt độ ứng với số sóng
81
9 10qm
(đường gạch),
91
8 10qm
(đường chấm),
91
8.1 10qm
(đường liền)……………………………………………………… …44
Hình 3.4: hệ số gia tăng phonon âm trong siêu mạng pha tạp phụ thuộc nồng
độ pha tạp ứng với nhiệt độ 480 K (đường gạch), 490 K (đường chấm), và 500
K (đường
liền)………………………………………………………………………………….…45
Hình 3.5: hệ số gia tăng phonon âm trong siêu mạng pha tạp phụ thuộc vào
chu kì siêu mạng d ứng với số sóng
81
8 10qm
(đường liền),
81
8.5 10qm
(đường chấm),
81
9 10qm
(đường gạch)……………… ….…46
Hình 3.6: hệ số gia tăng phonon âm trong siêu mạng pha tạp phụ thuộc số
sóng q ứng với nhiệt độ 450 K (đường gạch), 480 K (đường liền), 500 K
(đường
chấm)………………………………………………………… ……………47
Hình 3.7: A (đường liền ), B (đường chấm) là hàm của biên độ trường laser E
0
với
81
3.2 10qm
………………………………………………………………………….49
Hình 3.8: A (đường liền), B (đường chấm) là hàm của số sóng q với
8
0
3 10
V
E
m
……………………………………………………………………… 50
Hình 3.9: hệ số gia tăng phonon âm giam cầm trong siêu mạng pha tạp phụ
thuộc biên độ trường laser ứng với số sóng
81
2.5 10 m
(đường liền),
81
3 10 m
(đường gạch),
81
3.5 10 m
(đường chấm)……………………………………….51
Hình 3.10: hệ số gia tăng phonon âm giam cầm trong siêu mạng pha tạp phụ
thuộc tần số trường laser ứng với số sóng
81
2.5 10 m
(đường gạch),
81
3 10 m
(đường liền),
81
3.5 10 m
(đường chấm)……………………………………… 52
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài:
Ngày nay, vật lý chất rắn đang đi sâu vào việc nghiên cứu các màng mỏng
và các cấu trúc nhiều lớp. Trong các hệ có cấu trúc nanô, chuyển động của hạt
dẫn bị giới hạn nghiêm ngặt dọc theo một hướng tọa độ với một vùng có kích
thước đặc trưng vào cỡ bậc của bước sóng De Boglie, các tính chất của
electron bị thay đổi đáng kể, đặc biệt một số tính chất mới khác biệt so với vật
liệu khối xuất hiện gọi là hiệu ứng kích thước. Khi đó, các quy luật lượng tử
bắt đầu có hiệu lực mà đặc trưng cơ bản nhất của hệ điện tử là phổ năng lượng
bị biến đổi. Phổ năng lượng của electron trở thành gián đoạn dọc theo hướng
tọa độ bị giới hạn. Do đó, đặc trưng của hạt dẫn trong các cấu trúc này tương tự
như khí electron thấp chiều.
Với sự phát triển của vật lý chất rắn, công nghệ nuôi cấy tinh thể epytaxy
chùm phân tử (MBE) và kết tủa hơi kim loại hữu cơ (MOCV), cho phép tạo ra
nhiều hệ các cấu trúc thấp chiều như: hố lượng tử (quantum well), siêu mạng
(superlattice), dây lượng tử(quantum wire), chấm lượng tử (quantum dot).
Trong số các vật liệu mới đó, vài thập niên gần đây các nhà vật lý đặc biệt chú
ý tới bán dẫn siêu mạng. Bán dẫn siêu mạng có nhiều điểm ưu việt là do có thể
dễ dàng điều chỉnh các tham số, nên có thể tạo ra các bán dẫn siêu mạng có đặc
trưng cấu trúc và các hiệu ứng đáp ứng yêu cầu, mục đích sử dụng khác nhau.
Việc ra đời các nguồn bức xạ cao tần đã mở ra một hướng nghiên cứu mới
về các hiệu ứng cao tần gây bởi tương tác của các trường sóng điện từ cao tần
lên bán dẫn siêu mạng. Khi sóng điện từ cao tần (có tần số
thỏa mãn điều
kiện
1,
: thời gian hồi phục xung lượng) tương tác với vật liệu thì định
luật bảo toàn xung lượng bị thay đổi do sự tham gia của photon vào quá trình
hấp thụ và phát xạ phonon (trong đối số của hàm Delta - Dirac mô tả định luật
bảo toàn khi
1, ngoài năng lượng electron, phonon còn có cả đại lượng
liên quan tới năng lượng photon
l
,
l
là số nguyên). Kết quả là hàng loạt các
hiệu ứng mới xuất hiện - hiệu ứng cao tần. Khi đó electron có thể tương tác với
phonon và gây ra các hiệu ứng có bản chất mới khác hoàn toàn trường hợp
không có sóng điện từ cao tần (khi không có đại lượng liên quan tới năng
lượng photon
l
vào đối số của hàm Delta - Dirac).
Công nghệ laser giúp ta nghiên cứu một số hiệu ứng mới trong hệ cấu trúc
thấp chiều trong đó có hiệu ứng về gia tăng sóng âm (phonon âm). Trong bán
dẫn khối hiệu ứng này đã được nghiên cứu cả trường hợp khí electron suy biến
và không suy biến, cả quá trình hấp thụ một photon cũng như nhiều photon.
Trong siêu mạng pha tạp, hiệu ứng giảm kích thước lên sự gia tăng sóng âm
(phonon âm) không giam cầm cũng đã được nghiên cứu. Tuy nhiên, bài toán
về tốc độ gia tăng sóng âm (phonon âm) giam cầm trong siêu mạng pha tạp vẫn
còn để ngỏ.
Với những lý do ở trên, chúng tôi chọn nghiên cứu đề tài: “Nghiên cứu ảnh
hưởng của hiệu ứng giảm kích thước lên sự gia tăng sóng âm (phonon âm)
giam cầm trong siêu mạng pha tạp”.
Khóa luận này, chúng tôi sử dụng phương trình động lượng tử cho phonon
âm (sóng âm) giam cầm để xây dựng công thức tính hệ số gia tăng sóng âm
(phonon âm) giam cầm trong siêu mạng pha tạp. Từ đó, chúng tôi đã khảo sát
và tính toán số các kết quả thu được cho một siêu mạng pha tạp điển hình là: n
- GaAs/p - GaAs.
2. Phƣơng pháp nghiên cứu:
Trong nghiên cứu lý thuyết, để nghiên cứu hiệu ứng giảm kích thước lên sự
gia tăng sóng âm, theo quan điểm cổ điển ta có thể sử dụng cách giải phương
trình động cổ điển Boltzmann. Trong lĩnh vực lượng tử, bài toán này có thể
được giải quyết theo nhiều phương pháp khác nhau như: lý thuyết nhiễu loạn,
phương trình động lượng tử, lý thuyết hàm Green hoặc phương pháp chiếu
toán tử. Mỗi phương pháp đều có ưu điểm và nhược điểm riêng nên tùy từng
bài toán mà ta lựa chọn phương pháp cụ thể.
Trong khóa luận này chúng tôi sử dụng phương pháp phương trình động
lượng tử cho phonon. Từ Hamiltonian của hệ điện tử phonon ta xây dựng
phương trình động lượng tử đối với hàm phân bố số phonon hoặc hàm phân bố
lượng tử tổng quát của phonon để nghiên cứu tốc độ thay đổi phonon âm (sóng
âm) trong siêu mạng pha tạp.
Từ biểu thức giải tích của tốc độ gia tăng phonon âm (sóng âm) trong siêu
mạng pha tạp, chúng tôi đã tiến hành tính toán số, và thảo luận kết quả thu
được đối với siêu mạng n - GaAs/p - GaAs cho trường hợp phonon âm (sóng
âm) giam cầm.
3. Bố cục luận văn:
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, khóa luận được
chia làm 3 chương:
Chương I: Siêu mạng pha tạp và phương trình động lượng tử.
Chương II: Phương trình động lượng tử và biểu thức giải tích của hệ số gia
tăng phonon âm (sóng âm) giam cầm trong siêu mạng pha tạp.
Chương III: Tính số cho siêu mạng pha tạp và vẽ đồ thị.
CHƢƠNG I:
Siêu mạng pha tạp và phƣơng trình động lƣợng tử cho phonon
âm (sóng âm) giam cầm trong bán dẫn khối
I.1. Siêu mạng pha tạp:
I.1.1. Bán dẫn siêu mạng:
Bán dẫn siêu mạng (superlattice) là vật liệu có cấu trúc tuần hoàn nhân
tạo gồm các lớp bán dẫn thuộc hai loại khác nhau có độ dày cỡ nanomet đặt kế
tiếp nhau.
Do cấu trúc tuần hoàn, nên trong bán dẫn siêu mạng các electron ngoài
chịu thế tuần hoàn của mạng tinh thể, còn phải chịu một thế phụ tuần hoàn do
siêu mạng tạo ra có chu kì lớn hơn nhiều lần so với hằng số mạng. Thế phụ này
được tạo ra do sự khác biệt của các đáy vùng dẫn của hai loại bán dẫn tạo
thành siêu mạng.
Bán dẫn siêu mạng gồm các lớp mỏng A có bề dày d
A
nằm xen kẽ giữa
các lớp mỏng B có bề dày d
B
. Chọn hướng vuông góc với các lớp bán dẫn làm
trục siêu mạng Oz. Khi đó, khoảng cách d = d
A
+ d
B
gọi là chu kì của siêu
mạng.
Dựa vào cấu trúc của hai lớp bán dẫn A và B, người ta chia bán dẫn siêu
mạng ra thành hai loại là: bán dẫn siêu mạng pha tạp và bán dẫn siêu mạng
thành phần.
I.1.2. Hàm sóng và phổ năng lượng của electron trong siêu mạng pha tạp:
Siêu mạng pha tạp là siêu mạng được tạo thành từ hai bán dẫn cùng loại
nhưng được pha tạp khác nhau. Ưu điểm của siêu mạng pha tạp là có thể điều
chỉnh các tham số của siêu mạng dễ dàng nhờ thay đổi nồng độ pha tạp.
Giả sử thế của siêu mạng được tạo ra theo chiều z. Khi bỏ qua sự phụ
thuộc của năng lượng vào thành phần vectơ k
z
, hàm sóng và phổ năng lượng
của electron trong siêu mạng pha tạp có dạng:
+ Hàm sóng:
0
,
1
z
z
s
ik jz
n k n
j
z e z jd
(1.1)
+ Phổ năng lượng:
1
2
np
n
(1.2)
Trong đó:
n
z
và
n
: hàm sóng và phổ năng lượng của electron trong hố lượng tử biệt
lập phụ thuộc vào n.
n: chỉ số lượng tử hóa.
S
0
: số chu kỳ của siêu mạng.
0
2
D
p
n
e
m
: tần số plasma gây bởi các tạp chất donor với nồng độ pha tạp
n
D
.
0
: hằng số điện.
e, m là điện tích và khối lượng hiệu dụng của electron.
Vậy hàm sóng của electron trong mini vùng n là tổ hợp của hàm sóng
theo mặt phẳng (x, y) có dạng sóng phẳng, và theo phương của trục z (trục của
siêu mạng) có dạng hàm Block:
0
,
1
z
s
ik r ik jz
nn
nk
j
r e u r e z jd
(1.3)
Và phổ năng lượng:
22
1
22
np
k
kn
m
(1.4)
I.2. Phƣơng trình động lƣợng tử và bài toán gia tăng phonon âm (sóng
âm) trong bán dẫn khối.
I.2.1.Xây dựng phương trình động lượng tử cho phonon trong bán dẫn khối:
Hamiltonian của hệ điện tử phonon trong bán dẫn khối là:
2
,
1
( ) ( ) ( )
2
p p q q q q p q p q q
p q p q
e
H t p A t a a b b C a a b b
mc
(1.5)
Trong đó
p
a
và
p
a
(
q
b
và
q
b
) tương ứng là toán tử sinh và toán tử huỷ của
điện tử (phonon);
p
và
()pq
là trạng thái của điện tử trước và sau khi tán xạ;
p
)(q
là vectơ sóng của điện tử (phonon) trong bán dẫn
khối;
2
1
( ) ( )
2
e
p p A t
mc
là năng lượng điện tử;
q
là năng lượng của
phonon âm; c là vận tốc ánh sáng; m và e tương ứng là khối lượng và điện tích
của điện tử;
q
C
là hằng số tương tác điện tử - phonon,
)(tA
là thế vectơ. Trong
mối liên hệ với trường sóng điện từ,
)(tA
xác định bởi biểu thức:
2
,
1
( ) ( ) ( )
2
p p q q q q p q p q q
p
q p q
e
H t p A t a a b b C a a b b
mc
(1.6)
Từ (1.5) ta có:
2
,
1
, ( ) ( ) ,
2
, , ( ) .
q q q p p
t
t
t
p
k k k k k
k p k p
t
t
k p k
e
i b b H t p A t b a a
t m c
b b b C b a a b b
(1.7)
Thực hiện phép biến đổi và dựa vào các hệ thức toán tử, ta có:
q q q q p q p
tt
t
p
i b b C a a
t
(1.8)
Thiết lập phương trình cho
p q p
t
aa
:
Thực hiện biến đổi đại số toán tử biểu thức (1.8), ta thu
được:
2
''
'
1
, ( ) ' ( ) ,
2
p q p p q p p q p p p
t t t
tt
p
e
i a a a a H t p A t a a a a
t m c
''
',
, , ( )
p q p p q p
k k k k
k p k p k
tt
tt
k p k
h a a b b C a a a a b b
(1.9)
()
p q p p p q p q p
tt
eq
i a a A t a a
t mc
( ) ( ) (1.10)
pp
p k k p k k
k k k
tt
k
t
C a a b b a a b b
Từ (1.10) ta tìm được:
1
1
1 2 2
( ) ( )
exp ( )( ) ( ) 1.11
t
p q p p p
p k k p k k
k k k
t
tt
k
t
p p q
t
a a i dt C a a b b a a b b
e
i t t i qA t dt
mc
Thay (1.10) vào (1.8), ta có:
1
1
,
1 2 2
( ) ( )
exp ( )( ) ( ) 1.12
t
q q q q p p
p k k p k k
k k k
tt
tt
p k k
t
p p q
t
b i b C C dt a a b b a a b b
t
e
i t t i qA t dt
mc
Trong gần đúng bậc hai của
q
C
, có thể bỏ qua
1
q
t
b
, và sẽ thu được:
1
1
2
1
,
1 2 2
()
exp ( )( ) ( ) 1.13
t
q q q q p p q q
t t t
pk
t
p p q
t
b i b C n n dt b
t
e
i t t i qA t dt
mc
Với:
0
2 0 2 2 2
( ) sin( ) os( ) 1.14
cE
A t cE t dt c t
Thay (1.14) vào (1.13) đồng thời sử dụng biểu thức biến đổi:
n
n=-
exp( iz sin )= J ( ) exp( in )z
()
n
Jz
là các hàm Bessel đối số thực ta sẽ có :
1
2
1
00
11
22
,
()
exp ( )( ) is t 1.15
t
q q q q p p q q
t t t
p
p p q l s
ls
b i b C n n dt b
t
eE q eE q
i t t il t J J
mm
Phương trình (1.15) chính là phương trình động lượng tử của phonon trong
bán dấn khối.
I.2.2.Lý thuyết gia tăng sóng âm ( phonon âm) trong bán dẫn khối (trường hợp
hấp thụ một phonon):
Sử dụng công thức chuyển phổ Fourier:
()
1
()
2
it
t
it
t
B b e dt
b B e d
tt
b i b
t
(1.16)
Từ phương trình (1.15) và (1.16) ta có
1
2
1
00
11
22
,
()
exp ( )( ) is t 1.17
t
q q q q p p q q
t t t
p
l s p p q
ls
i b i b C n n dt b
eE q eE q
J J i t t il t
mm
Hay viết dưới dạng khác:
2
00
22
,
1 1 1
11
( ) ( )
22
()
1
( ) exp ( )( ) is t
2
i t i t
q q q
q p p q l s
p l s
t
it
q p p q
i B e d i B e d
eE q eE q
C n n J J
mm
dt B e d i t t il t
2
00
22
,
íl t
()
()
1
2 ( )
q p p q l s
p l s
i t il t
q
p p q
eE q eE q
C n n J J
mm
Be
d
i l i
Trong đó:
()x
là hàm Delta-Dirac.
Dùng công thức chuyển phổ Fourier ta lại có:
ís t
( ) ( )
i t il t i t
B e d B s l e d
Nên:
2
00
22
,
11
( ) ( )
22
()
()
1
1.18
2 ( )
i t i t
q q q
q p p q l s
p l s
it
q
p p q
i B e d i B e d
eE q eE q
C n n J J
mm
B s l e
d
i l i
Từ phương trình (1.18) ta có:
2
00
22
,
( ) ( )
()
( ) 1.19
p p q
q q q q
p
p p q
l s q
ls
nn
i B i B C
i l i
eE q eE q
J J B s l
mm
Từ (1.19) đặt
0
2
eE
a
m
( ) ; 0 1.20
()
p p q
p
q
p p q
nn
li
Ta sẽ có:
2
,
( ) ( ) ( ) ( ) 1.21
q q q l s q
ls
q
B C J aq J aq l B s l
Nhận xét rằng trong phương trình (1.21) các số hạng với
ls
bên vế phải
sẽ cho đóng góp hằng số tương tác điện tử - phonon bậc cao hơn số hạng với
ls
. Vậy có thể đặt l=s trong công thức (1.21) và thu được phương trình tán
sắc:
2
2
( ) ( ) ( ) 0 1.22
q q q l
l
q
B C J aq l
Từ phương trình tán sắc, ta thu được hệ số hấp thụ sóng âm:
2
2
( ) Im( )
1.23
q l p p q p p q q
lp
q
C J aq n n l
Coi sóng âm đồng nghĩa với phonon âm, từ công thức chung (1.23) ta
tính hệ số hấp thụ sóng âm
()q
cho bán dẫn:
Xét cho trường hợp khí điện tử suy biến và trong trường hợp hấp thụ
một photon, với giả thiết q>>p
F
;
F
, thu được hệ số hấp thụ sóng âm:
2
22
0
2
()
4 2 2
F
m eE q q m q m
qp
s m q q
Trong đó
là khối lượng riêng, s là vận tốc sóng âm,
0
eE
m
P
F
là xung lượng Fermi của điện tử;
()z
là hàm có bước nhảy:
1, 0
()
0, 0
z
z
z
Ở điểm
2qm
,
()q
sẽ đổi dấu và với:
22
FF
m p p q m
sẽ xuất hiện sự gia tăng sóng âm
( ) 0q
Đối với trường hợp bán dẫn không suy biến và hấp thụ một phonon: coi đối
số của hàm Bessel rất nhỏ sao cho
1aq
với
0
eE
m
.
Biểu thức đối với hàm phân bố của điện tử:
3/2
2
0
2
exp ;
2
p
p
n A A n
mkT mkT
(1.24)
Hằng số tương tác điện tử - phonon âm:
2
2
0
2
q
q
C
Vs
(1.25)
Với V
0
thể tích của tinh thể, thường chọn V
0
=1;
- hằng số thế biến dạng.
s – vận tốc sóng âm.
- mật độ tinh thể.
Đặt (1.24), (1.25) vào công thức chung (1.23). Chuyển từ tổng sang tích phân
theo
p
, thu được biểu thức đối với hệ số hấp thụ sóng âm trường hợp hấp thụ
một photon:
1/2 2
2
0
4
22
2
( ) exp 2
2 2 2
exp 2 exp 1.26
24
q
q
q q q q
nm
q S sh
s kT kT
q
S sh S
kT m
Ở đây :
2
2
q
m
S
q kT
K là hằng số Boltzmann;
N
0
là mật độ điện tử;
T là nhiệt độ của hệ.
Từ công thức (1.26), trong trường hợp bất đẳng thức
q
được thực hiện,
ta có
( ) 0q
và ứng với nó ta có hệ số hấp thụ sóng âm. Ngược lại, trong
vùng sóng âm thỏa mãn bất đẳng thức
q
ta có
( ) 0q
và có dạng
tường minh sau:
1/2 2
2
0
4
22
2
( ) 2
2 2 2
exp
4
nm
q sh sh S
s kT kT
q
S
m
(1.27)
Công thức (1.27) chứng tỏ lúc này hệ số hấp thụ sóng âm (
( ) 0q
) đã
chuyển thành hệ số gia tăng sóng âm (
( ) 0q
). Nghĩa là ta có hệ số gia tăng
sóng âm bởi trường bức xạ Laser trong bán dẫn không suy biến trong trường
hợp hấp thụ một photon.
I.2.3.Ảnh hưởng của quá trình hấp thụ nhiều photon lên hệ số gia tăng
sóng âm và điều kiện gia tăng sóng âm trong bán dẫn khối:
Ta cũng có thể viết hệ số hấp thụ sóng âm (1.23) dưới dạng khác:
2
2
()
q l p p q p q p q p q
lp
q C J aq n l l
(1.28)
Đặt
p q p q
l
trong trường hợp
1
, dùng công thức biến đổi:
22
2
22
l
l
Jl
Ta sẽ thu được:
2 2 2 2
2
2 2 2 2
()
qp
p
q C n
(1.29)
Trong đó:
0
eE
m
Sử dụng:
22
2 2 2 2
z
p q p q q q
q pq q p q
l
m m m m
22
2 2 2 2
z
p q p q q q
q pq q p q
l
m m m m
Công thức biến đổi tổng thành tích phân
2
3
0
1
. .
2
z
p
d dP P dP
Và xét bán dẫn không suy biến, ta sẽ có từ phương trình (1.26) phương trình
sau:
2
2
22
3
0 0 0
22
22
22
22
22
22
( ) . . exp exp
22
2
2 2 2 2
2 2 2 2
q
z
z
zz
zz
AC
PP
q d dP P dP
mkT mkT
q p q q p q
m m m m
q p q q p q
m m m m
(1.30)
Tiếp theo ta tính tích phân theo P
z
,
P
của (1.30), ta nhận được:
2
22
2
0
2
2
2
2
0
.
( ) exp
22
.2 2
1/ 2
!2
2
q
q
l
q
m n m q
q
q kT m
kT s
mq
I
q
q kT m
m
2
2
2
2
2
2
2
0
exp
22
1/ 2
1.31
!2
2
q
q
l
q
mq
q kT m
mq
I
q
q kT m
m
Cuối cùng ta thu được biểu thức giải tích cho hệ số hấp thụ sóng âm trong bán
dẫn bởi trường bức xạ Laser đối với quá trình hấp thụ nhiều photon như sau:
1/2 2
1/2
2 2 2
0
22
2
2
2
0
2
2
( ) exp exp
2 2 2 2 2
1/ 2
!2
2
exp
2
q
q
l
q
q
q
n m m m q
q
s kT q kT q kT m
mq
I
q
q kT m
m
mq
I
q
kT q kT
m
2
1.32
2
q
m
Từ (1.32) ta thấy rằng nếu bất đẳng thức sau được thực hiện:
22
22
22
1.33
22
22
m q m q
II
q kT m q kT m
mm
Thì
( ) 0q
,còn nếu:
22
22
22
1.34
22
22
m q m q
II
q kT m q kT m
mm
Ta có
( ) 0q
và có dạng tường minh như sau:
1/2 2
1/2
2 2 2
0
22
2
2
2
0
2
2
( ) exp exp
2 2 2 2 2
1/ 2
exp
!2
2
2
q
q
q
l
q
q
n m m m q
q
s kT q kT q kT m
mq
I
q
kT q kT m
m
m
I
q
q kT
m
2
1.35
2
q
q
m
Công thức (1.35) chứng tỏ rằng lúc này, hệ số hấp thụ sóng âm
( ) 0q
đã
chuyển thành hệ số gia tăng sóng âm
( ) 0q
. Nghĩa là một lần nữa ta thu
nhận được hệ số gia tăng sóng âm ở trong cả trường hợp hấp thụ nhiều photon
bởi trường bức xạ Laser.
CHƢƠNG II:
Phƣơng trình động lƣợng tử và hệ số gia tăng phonon âm (sóng
âm) giam cầm trong siêu mạng pha tạp và biểu thức
giải tích
II.1. Phƣơng trình động lƣợng tử của phonon âm (sóng âm) giam cầm
trong siêu mạng pha tạp.
II.1.1. Phương trình động lượng tử của phonon âm (sóng âm) giam cầm trong
bán dẫn siêu mạng:
Hamiltonian của hệ điện tử phonon âm giam cầm trong bán dẫn siêu mạng
khi có mặt trường bức xạ laser
)sin(
0
tEE
có dạng:
H = H
e
+ H
ph
+ H
e-ph
(2.1)
Trong đó:
H
e
=
knkn
kn
n
aatA
c
e
k
,,
,
))((
: năng lượng của các điện tử không tương tác
H
ph
=
qmqm
qm
qm
bb
,,
,
,
: năng lượng của các phonon âm không tương tác
H
e-ph
=
)(
,,
,
,,
,
,,
''
'
qmqm
kn
qkn
m
nn
qm
knn
m
q
bbaaIC
: năng lượng tương tác điện tử
phonon âm
H =
knkn
kn
n
aatA
c
e
k
,,
,
))((
+
qmqm
qm
qm
bb
,,
,
,
+
)(
,,
,
,,
,
,,
''
'
qmqm
kn
qkn
m
nn
qm
knn
m
q
bbaaIC
(2.2)
Gọi
t
qm
qmqm
bbtN
,
,,
)(
là số phonon âm giam cầm trung bình tại thời
điểm t.
Dưới tác dụng của trường laser, hệ điện tử phonon âm giam cầm trở nên
không cân bằng.
Phương trình động lượng tử cho phonon âm giam cầm có dạng:
t
qmqm
qm
Hbb
t
tN
i ,
)(
,,
,
,
, , , . , ,
()
, , ,
mq
m q m q e m q m q ph m q m q e ph
t t t
Nt
i b b H b b H b b H
t
(2.3)
Thay (2.2) vào (2.3) ta có:
t
tN
i
qm
)(
,
t
knkn
kn
nqmqm
aatA
c
e
kbb
,,
,
,,
))((,
+
t
qm
qmqmqm
qmqm
bbbb
''
''''''
,
,,,
,,
,
+
t
qm
qm
knn
qm
kn
qkn
m
nn
m
q
qmqm
bbaaICbb
''
''
'
''''
'
'
'
'
,
,
,,
,
,
,,
,,
)(,
Trong đó:
)(
,,
knkn
aa
là toán tử sinh (hủy) của điện tử ở trạng thái
kn
,
)(
,,
qmqm
bb
là toán tử sinh (hủy) của phonon âm giam cầm ở trạng thái
qm
,
)(
qk
là xung lượng của điện tử (phonon) trong mặt phẳng vuông góc với trục
của siêu mạng.
qm
,
tần số của phonon âm giam cầm.
)(tA
thế vecto của trường điện từ được xác định bởi:
)sin(
)(1
0
tE
dt
tAd
c
.
22
2
2
)(
L
m
q
Vv
C
s
m
q
hệ số tương tác điện tử phonon âm
V thể tích tinh thể;
hằng số biến dạng;
s
v
vận tốc âm;
mật độ của tinh thể
TÍNH:
1. Số hạng thứ 1:
t
eqmqm
Hbb ,
,,
=
t
knkn
kn
nqmqm
aatA
c
e
kbb
,,
,
,,
))((,
=
tA
c
e
k
kn
n
,
t
knkn
qmqm
aabb
,,
,,
,
= 0
t
eqmqm
Hbb ,
,,
= 0 (2.4)
2. Số hạng thứ 2
t
phqmqm
Hbb ,
,,
=
t
qm
qmqmqm
qmqm
bbbb
''
''''''
,
,,,
,,
,
=
''
''
,
,
qm
qm
t
qmqm
qmqm
bbbb
''''
,,
,,
,
Tính:
''''
,,
,,
,
qmqm
qmqm
bbbb
=
''''''
,,
,
,,
,
)(
qqmm
qm
qmqm
qm
bbbb
= 0
t
phqmqm
Hbb ,
,,
= 0 (2.5)
3. Số hạng thứ 3:
t
pheqmqm
Hbb
,
,,
=
t
qm
qm
knn
qm
kn
qkn
m
nn
m
q
qmqm
bbaaICbb
''
''
'
''''
'
'
'
'
,
,
,,
,
,
,,
,,
)(,
=
'
'
'' '
'
'
,
, ,,
m
nn
qm knn
m
q
IC
t
qmqm
kn
qkn
qmqm
bbaabb )(,
''''''
,,
,
,
,,
Tính:
)(,
''''''
,,
,
,
,,
qmqm
kn
qkn
qmqm
bbaabb
=
kn
qkn
qmqm
qmqmqmqm
qmqm
aabbbbbbbb
,
,
,,
,,,,
,,
''''''''''
)()(
=
''''
,,
,,
,,
qqmm
qmqm
qqmm
bb
kn
qkn
aa
,
,
''
t
pheqmqm
Hbb
,
,,
=
t
qm knn
kn
qkn
qm
qqmmqqmm
qm
m
nn
m
q
aabbIC
'' '
''''''
'
'
'
'
, ,,
,
,
,
,,,,
,
,
)(
=
knn
m
nn
m
q
IC
,,
,
'
'
t
kn
qkn
qm
aab
,
,
,
'
-
knn
m
nn
m
q
IC
,,
,
'
'
t
kn
qkn
qm
aab
,
,
,
'
(2.6)
Thay (2.4), (2.5), (2.6) vào (2.3) ta có:
t
tN
i
qm
)(
,
knn
m
nn
I
,,
,
'
'
t
kn
qkn
qm
m
q
t
kn
qkn
qm
m
q
aabCaabC
,
,
,
,
,
,
''
t
tN
i
qm
)(
,
knn
m
nn
I
,,
,
'
'
tqmFCtqmFC
kn
qkn
m
q
qkn
kn
m
q
,,,,
,
,
,
,
'
'
(2.7)
Với
tqmF
kn
qkn
,,
,
,
'
=
qm
qkn
kn
baa
,
,
,
'
Tương tự ta viết phương trình động cho
tqmF
px
py
,,
1
2
,
,
t
tqmF
i
px
py
,,
1
2
,
,
=
t
qmpypx
Hbaa ,
,,,
21
(2.8)
t
tqmF
i
px
py
,,
1
2
,
,
=
t
eqmpypx
Hbaa ,
,,,
21
+
t
phqmpypx
Hbaa ,
,,,
21
+
t
pheqmpypx
Hbaa
,
,,,
21
Tính
1. Số hạng thứ 1:
t
eqmpypx
Hbaa ,
,,,
21
=
t
kn
knkn
nqmpypx
aatA
c
e
kbaa
11
1111
121
,
,,
1,,,
,
=
tA
c
e
k
kn
n
1
,
11
1
t
knkn
qmpypx
aabaa
1111
21
,,
,,,
,
1111
21
,,
,,,
,
knkn
qmpypx
aabaa
=
qmpypx
knknknkn
pypx
baaaaaaaa
,,,
,,,,
,,
21
11111111
21
=
qm
kp
nxpy
knkp
ny
kn
px
baaaa
,
,
,,
,,
,
,
,
11
12
1112
1
11
1
(2.9)
2. Số hạng thứ 2
t
phqmpypx
Hbaa ,
,,,
21
=
t
qmqm
qm
qmqmpypx
bbbaa
1111
11
1121
,,
,
,,,,
,
=
11
11
,
,
qm
qm
t
qmqmqmpypx
bbbaa
111121
,,,,,
,
111121
,,,,,
,
qmqmqmpypx
bbbaa
=
21
,, pypx
aa
1111
,,,
,
qmqmqm
bbb
=
21
,, pypx
aa
1111
,,,
qqmmqm
b
(2.10)
3. Số hạng thứ 3:
t
pheqmpypx
Hbaa
,
,,,
21
=
t
qm
knn
qmqm
kn
qkn
m
nn
m
qqmpypx
bbaaICbaa
11
1
'
11
1111
11
11
'
1
1
'
11
1
121
,
,,
,,
,
,,
,,,
,
=
1
'
11
11
1
'
11
1
1
,
,
,,
m
nn
qm
knn
m
q
IC
t
qmqm
kn
qkn
qmpypx
bbaabaa
1111
11
11
'
1
21
,,
,
,
,,,
,
1111
11
11
'
1
21
,,
,
,
,,,
,
qmqm
kn
qkn
qmpypx
bbaabaa
1111
11
1
12
'
1
,,,
,
,
,
,
qmqmqm
kn
px
kp
ny
bbbaa
qmqmqmpy
qkn
pk
xn
bbbaa
,,,,
,
,
,
11112
11
'
1
11
1
11
,,
qqmm
2
11
1
11
'
1
,
,
,
,
py
kn
px
qkn
aaaa
(2.11)
Thay (2.9), (2.10), (2.11) vào (2.8) ta được:
t
tqmF
i
px
py
,,
1
2
,
,
tA
c
e
k
kn
n
1
,
11
1
t
qm
kp
nxpy
knkp
ny
kn
px
baaaa
,
,
,,
,,
,
,
,
11
12
1112
1
11
1
11
11
,
,
qm
qm
t
qqmmqmpypx
baa
111121
,,,,,
1
'
11
11
1
'
11
1
1
,
,
,,
m
nn
qm
knn
m
q
IC
t
py
kn
px
qkn
qqmm
qmqmqmpy
qkn
pk
xnqmqmqm
kn
px
kp
ny
aaaa
bbbaabbbaa
2
11
1
11
'
1
11
11112
11
'
1
11
11111
11
1
12
'
1
,
,
,
,
,,
,,,,
,
,
,,,,
,
,
,
,
tA
c
e
p
y
2
t
qmpypx
baa
,,,
21
tA
c
e
p
x
1
t
qmpypx
baa
,,,
21
qm
,
t
qmpypx
baa
,,,
21
1
11
1
1
,
,
m
yx
qm
m
q
IC
t
qmqmqmpyqpxqmqmqmqpypx
bbbaabbbaa
,,,,,,,,,,
11112111111121
1
'
11
'
11
,,
,
knn
m
nn
m
q
IC
t
py
kn
px
qkn
aaaa
2
11
1
1
'
1
,
,
,
,
t
tqmF
i
px
py
,,
1
2
,
,
qmxy
tA
c
e
ptA
c
e
p
,12
tqmF
px
py
,,
1
2
,
,
1
11
1
1
,
,
m
yx
qm
m
q
IC
t
qmqmqmpyqpxqmqmqmqpypx
bbbaabbbaa
,,,,,,,,,,
11112111111121
1
'
11
'
11
,,
,
knn
m
nn
m
q
IC
t
py
kn
qkn
px
aaaa
2
11
1
'
1
1
,
,
,
,
t
tqmF
px
py
,,
1
2
,
,
qmyx
tA
c
e
ptA
c
e
p
i
,21
tqmF
px
py
,,
1
2
,
,
1
11
1
1
,
,
m
yx
qm
m
q
IC
i
t
qmqmqmpyqpxqmqmqmqpypx
bbbaabbbaa
,,,,,,,,,,
11112111111121
1
'
11
'
11
,,
,
knn
m
nn
m
q
IC
i
t
py
kn
px
qkn
aaaa
2
11
1
1
'
1
,
,
,
,
(2.12)
Giải (2.12): giải phương trình vi phân không thuần nhất với điều kiện F
=
0
t
F
FtA
c
e
ptA
c
e
p
i
qmyx
,21
F
F
ttA
c
e
ptA
c
e
p
i
qmyx
,21
(2.13)
Lấy tích phân 2 vế của (2.13) từ
t
:
2.12
Fln
1,1211
dttA
c
e
ptA
c
e
p
i
qmyx
t
F
m
t
qmyx
dttA
c
e
ptA
c
e
p
i
1,1211
exp
Giải phương trình vi phân không thuần nhất:
)(tF
tm
t
qmyx
dttA
c
e
ptA
c
e
p
i
1,1211
exp
(2.14)
)(
'
tF
tm
'
t
qmyx
dttA
c
e
ptA
c
e
p
i
1,1211
exp
qmyx
tA
c
e
ptA
c
e
p
i
,1211
)(tF
(2.15)
Thay (2.15) vào (2.12) thu được:
tm
'
t
qmyx
dttA
c
e
ptA
c
e
p
i
1,1211
exp
qmyx
tA
c
e
ptA
c
e
p
i
,1211
)(tF
qmyx
tA
c
e
ptA
c
e
p
i
,21
)(tF
1
'
11
'
11
,,
,
knn
m
nn
m
q
IC
i
t
kn
py
qkn
px
aaaa
11
2
1
'
1
1
,
,
,
,
1
11
1
1
,
,
m
yx
qm
m
q
IC
i
t
qmqmqmpyqpxqmqmqmqpypx
bbbaabbbaa
,,,,,,,,,,
11112111111121
tm
'
=
i
'
11
'
1 1 1
,
,,
mm
q
nn
nnk
CI
t
kn
py
qkn
px
aaaa
11
2
1
'
1
1
,
,
,
,
11
1
11
,
,
mm
q x y
mq
CI
1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1
, , , , , , , , , ,x p y p q m q m q m q x p q y p m q m q m q
t
a a b b b a a b b b
