Véc tơ phân cực của nơtron tán xạ trong tinh thế sắt từ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN






Nguyễn Thanh Nga





VÉC TƠ PHÂN CỰC CỦA NƠTRON TÁN XẠ TRONG
TINH THỂ SẮT TỪ






LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2011

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN






Nguyễn Thanh Nga





VÉC TƠ PHÂN CỰC CỦA NƠTRON TÁN XẠ
TRONG TINH THỂ SẮT TỪ


Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán
Mã số : 60.44.01



LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS Nguyễn Đình Dũng





Hà Nội - 2011
MỤC LỤC
Mở đầu…………………………………………………………………………… 1
Chƣơng 1: Lý thuyết tán xạ của nơtron chậm trong tinh thể………………… 3
1.1. Hình thức luận thời gian của lý thuyết tán xạ……………………………… 3
1.2. Thế tương tác của nơtron chậm trong tinh thể…………………… 6
1.2.1. Yếu tố ma trận của tương tác hạt nhân………………… 6
1.2.2. Yếu tố ma trận của tương tác từ……………………………………….7
Chƣơng 2: Tán xạ của nơtron phân cực trong tinh thể phân cực…… 12
Chƣơng 3: Tán xạ từ của nơtron phân cực trong tinh thể sắt từ…………… 24
3.1. Tiết diện tán xạ từ vi phân của nơtron phân cực trong tinh thể…… 24
3.2. Tiết diện tán xạ từ vi phân của nơtron phân cực trong tinh thể sắt từ 26
Chƣơng 4: Véc tơ phân cực của nơtron tán xạ trong tinh thể sắt từ………….30
4.1. Véc tơ phân cực của nơtron tán xạ trong tinh thể …….………… 30
4.2. Véc tơ phân cực của nơtron tán xạ trong tinh thể sắt từ…………………….31
Kết luận ………………………………………………………………………… 33
Tài liệu tham khảo……………………………………………………………… 34

1
MỞ ĐẦU

Trong những năm gần đây, quang học nơtron phát triển mạnh trong việc
nghiên cứu sâu về cấu trúc của tinh thể. Tính hiệu quả lớn của phương pháp nhiễu
xạ nơtron được xác định bởi bản chất tự nhiên của nơtron như một hạt cơ bản.
Các nơtron chậm ( nơtron có năng lượng < 1MeV) là một công cụ độc đáo
trong việc nghiên cứu động học của các nguyên tử vật chất và các cấu trúc từ của
chúng
 
13,14,15
. Ở nhiệt độ thấp khi các hạt nhân của vật chất phân cực thì việc
nghiên cứu trạng thái phân cực của chùm nơtron tán xạ cho ta rất nhiều thông tin
quan trọng về quá trình vật lý, ví dụ như sự tiến động hạt nhân của các các nơtron
trong bia có các hạt nhân phân cực, sự phát xạ và hấp thụ phonon và magnon
 
11,17
…
Các nghiên cứu về tán xạ không đàn hồi của các nơtron phân cực trong tinh
thể phân cực cho phép ta nhận được các thông tin quan trọng về hàm tương quan

spin của các hạt nhân
 
7,15,16
…… Ngoài ra các vấn đề về nhiễu xạ bề mặt của
các nơtron trong tinh thể phân cực được đặt trong trường ngoài biến thiên tuần hoàn
cũng đã được nghiên cứu
 
5,6,7
.
Trong luận văn này, chúng tôi đã nghiên cứu sự tán xạ của nơtron chậm, lạnh.
(nơtron này có năng lượng nhỏ hơn rất nhiều 1MeV, do đó nó không đủ năng
lượng để gây ra hiện tượng sinh hủy hạt) trong tinh thể sắt từ và chỉ quan tâm đến
tương tác từ của nơtron với các nút mạng điện tử trong tinh thể. Từ đó nghiên cứu
véc tơ phân cực của nơtron tán xạ từ trong tinh thể sắt từ.
Nội dung của luận văn được trình bày trong 4 chương:
Chƣơng 1: Lý thuyết tán xạ của nơtron chậm trong tinh thể phân cực
Chƣơng 2: Tán xạ của các nơtron phân cực trong tinh thể phân cực.
Chƣơng 3: Tán xạ từ của các nơtron phân cực trong tinh thể sắt từ
Chƣơng 4: Véc tơ phân cực của nơtron tán xạ từ trong tinh thể sắt từ

2
Những kết quả của luận văn được trình bày trong phần kết luận. Kết quả
chính của luận văn đã được báo cáo tại hội nghị vật lý lý thuyết toàn quốc lần thứ
36 tại thành phố Quy Nhơn tháng 8 năm 2011.

3
CHƢƠNG 1 : LÝ THUYẾT TÁN XẠ CỦA NƠTRON CHẬM
TRONG TINH THỂ

1.1. Hình thức luận thời gian của lý thuyết tán xạ.
Dùng 1 chùm hạt nơtron chậm phân cực bắn vào bia (năng lượng cỡ dưới 1
MeV và không đủ để tạo ra quá trình sinh huỷ hạt), nhờ tính chất trung hoà về điện,
đồng thời moment lưỡng cực điện vô cùng nhỏ (gần bằng 0) nên nơtron không tham
gia tương tác điện, dẫn đến độ xuyên sâu của chùm nơtron vào tinh thể là lớn và

bức tranh giao thoa của sóng tán xạ sẽ cho ta thông tin về cấu trúc tinh thể và cấu
trúc từ của bia.
Trong trường hợp khi bia tán xạ cấu tạo từ số lớn các hạt ( ví dụ như tinh
thể), để tính toán tiết diện tán xạ một cách thuận tiện ta đưa vào lý thuyết hình thức
luận thời gian.
Giả sử ban đầu các hạt bia được mô tả bởi hàm sóng
n
, là hàm riêng của
toán tử Hamilton của bia
H
n
=E
n
n
(1.1)
Sau khi tương tác với nơtron sẽ chuyển sang trạng thái
n

. Còn nơtron có
thể thay đổi xung lượng và spin của nó. Giả sử ban đầu trạng thái của notron được
mô tả bởi hàm sóng
p

. Ta đi xác định xác suất mà trong đó nơtron sau khi tương
tác với các hạt bia sẽ chuyển sang trạng thái
p


và các hạt bia chuyển sang trạng
thái

n


Xác suất
|
W
n p np

của quá trình đó được tính theo lý thuyết nhiễu loạn trong
gần đúng bậc nhất sẽ bằng :
 
2
'| ' '
2
n p np n p n p
W n p V np E E E E




   


(1.2)
Trong đó:
V là toán tử tương tác của nơtron với các hạt bia.

4
''
, , ,

n p n p
E E E E
là các năng lượng tương ứng của hạt bia và nơtron trước và
sau khi tán xạ.
 
''n p n p
E E E E

  
- hàm delta Dirac.
 
 
''
''
1
2
n p n p
i
E E E E t
n p n p
E E E E e dt



   

   




(1.3)
Chúng ta quan tâm tới xác suất toàn phần
|
W
pp

của quá trình trong đó nơtron
sau khi tương tác với bia sẽ chuyển sang trạng thái
p


; nó nhận được bằng cách
tổng hóa các xác suất
|
W
n p np

theo các trạng thái cuối của bia và lấy trung bình theo
các trạng thái đầu. Bởi vì bia không luôn ở trạng thái cố định do đó ta phải tổng
quát hóa đối với trường hợp khi nó ở trong trạng thái hỗn tạp với xác suất của trạng
thái
n
là
n

. Theo đó ta có:
 
2
'| ' '
'

2
W
p p n n p n p
nn
n p V np E E E E



   





 
2
' ' '
'
2
n p p n p n p
nn
n V n E E E E



   


(1.4)
Ở đây chúng ta đưa vào kí hiệu hỗn hợp để cho các yếu tố ma trận:

pp
n p V np n V n

  


(1.5)
Như vậy là các yếu tố ma trận của toán tử tương tác của nơtron với hạt bia
lấy theo các trạng thái của nơtron và
pp
V

là toán tử tương đối với các biến số hạt bia
Thay phương trình (1.3) vào (1.4) ta được:
 
 
'
*
'| ' ' '
2
'
1
W'
p p n n
ii
E E t E E t
p p nn p p p p
nn
e dt n V n n V n e












(1.6)
,
nn
EE

là các trị riêng của toán tử Hamilton H với các hàm riêng là
n
,
n

, từ đó
ta viết lại trong biểu diễn Heisenberg:
 
 
'
''
nn
i
E E t
p p p p

n V n e n V t n




(1.7)

5
Ở đây:
 
''
ii
Ht Ht
p p p p
V t e V e



là biểu diễn Heisenberg của toán tử
pp
V

với toán
tử Hamilton.
Thay (1.7) vào (1.6), chú ý rằng trong trường hợp này ta không quan tâm tới
sự khác nhau của hạt bia trước và hạt bia sau tương tác, vì vậy công thức lấy tổng
theo
,nn

chính là vết của chúng và được viết lại:

 
 
| ' '
2
'
1
W
pp
i
E E t
p p nn p p p p
nn
e dt n V V t n














 
 

 
'
''
2
1
pp
i
E E t
p p p p
dte Sp V V t









(1.8)
Ở biểu thức cuối, biểu thức dưới dấu vết có chứa toán tử thống kê của bia

,
các phần tử đường chéo của ma trận của nó chính là xác suất
n

.
Theo qui luật phân bố Gibbs nếu hạt bia nằm ở trạng thái cân bằng nhiệt
động ta có hàm phân bố trạng thái là:
 

H
H
e
Sp e







Với:
1
z
kT



z
k
- hằng số Boltmann
T - Nhiệt độ
Giá trị trung bình thống kê của đại lượng Vật lý được tính theo các hàm phân bố là:
 
 
H
n
H
n
Sp e A

AA
Sp e







(1.9)
Kết hợp (1.8) và (1.9) ta được:
 
 
 
 
 
 
 
''
'| ' '
22
11
W
p p p p
H
ii
E E t E E t
p p p p
p p p p p p
H

Sp e V V t
dte Sp V V t dte
Sp e





 



 






 
 
'
''
2
1
pp
i
E E t
p p p p
dte V V t









(1.10)

6
Nếu chuẩn hóa hàm sóng của nơtron trên hàm đơn vị ( trên hàm

) thì tiết
diện tán xạ hiệu dụng được tính trên một đơn vị góc cầu và trên một khoảng đơn vị
năng lượng
2
p
d
d dE



, sẽ liên quan tới xác suất này bởi biểu thức sau:
   
 
 
2 2 2
'|
''

33
5
W
22
pp
i
E E t
pp
p p p p
p
d m p m p
dte V V t
d dE p p














(1.11)
Gạch trên đầu là trung bình theo các trạng thái spin của nơtron trong chùm các
nơtron ban đầu và tổng hóa các trạng theo các trạng thái spin trong chùm tán xạ

m - khối lượng nơtron
Trong công thức (1.11) đưa vào toán tử mật độ spin của nơtron tới


và sử dụng
công thức:

 
L Sp L



(1.12)
Do đó dạng tường minh của công thức (1.11) được viết lại là:
 
 
 
 
'
22
''
3
5
'
'
2
pp
i
E E t
p p p p

p
d m p
dte Sp V V t
d dE p













(1.13)
Trong đó:


- ma trận mật độ spin nơtron

1.2. Thế tƣơng tác của nơtron chậm trong tinh thể
Một chùm hạt nơtron phân cực khi đi vào trong tinh thể sẽ chịu tác dụng của
tương tác hạt nhân, tương tác trao đổi spin và tương tác từ gây ra bởi sự phân cực
của chùm nơtron và sự chuyển động của các electron, cả electron tự do lẫn electron
không kết cặp trong bia tinh thể
1.2.1. Yếu tố ma trận của tương tác hạt nhân
Ta xây dựng thế hạt nhân của nơtron và hạt nhân bia dưới dạng sau:

( ) ( )nnV r r R




(1.14)
Trong đó :
()A B sJ






nr
- vị trí của nơtron
R
- Vị trí của hạt nhân

7
,AB
- là các hằng số
J

- Spin của hạt nhân
s

- Spin của nơtron
Do đó thế tương tác của nơtron với hạt nhân thứ l là:
( ) ( )

l n n l
V r r R




(1.15)
Lấy tổng công thức (1.15) theo l từ 1 đến số hạt nhân trong bia ta sẽ tìm được thế
tương tác của nơtron với toàn bộ bia:

1
()
N
ln
l
V r R






(1.16)
Các yếu tố ma trận
'pp
V
thuộc toán tử tương tác hạt nhân V từ xung lượng
p

đến

'p

được ghi nhận trên cơ sở (1.16) có dạng:

 
()
1
2
l
i p p R
p p l l l
l
V A B sJ e












(1.17)
1.2.2. Yếu tố ma trận của tương tác từ.
Tương tác từ của nơtron với tinh thể có thể hiểu như tương tác của từ trường
được sinh bởi nơtron với các dòng điện của điện tử (các điện tử này là các điện tử
của các đám mây điện tử không kín của nguyên tử). Toán tử năng lượng của tương

tác dạng này có thể được biết dưới dạng
 
13,14
:
   
1
ll
l
V A r j r
c







(1.18)
Ở đó:
 
 
3
n l n
nl
ln
rr
Ar
rr





  



là véc tơ thế của trường ở điểm
l
r

được sinh bởi
nơtron nằm ở điểm
n
r

.
2
n nuc n
s
 


là mô men từ của nơtron,
1,913


là đại lượng mô men từ
của nơtron trong Manheton hạt nhân.
 
l

jr


là dòng điện được sinh bởi điện tử thứ
l
(dấu tổng trong công thức
(1.18) được lấy tổng theo tất cả các điện tử không liên kết cặp của tinh thể).

8
Chúng ta đi tính yếu tố ma trận giữa các trạng thái của nơtron với các xung
lượng
p
và
p


với các trạng thái của bia (tinh thể)
a

và
a


ta có:
 
 
 
 
 
*

3
1
n
i p p r
n l n
p p a l a n
l
ln
rr
a V a j r e dr d
c
rr

  









  

  



(1.19)

Lấy tích phân theo (
d

) dọc theo các tọa độ của tất cả điện tử chứa trong
công thức (1.18). Như chúng ta đã biết các yếu tố ma trận của dòng điên bằng:

 
   
* * * *
00
1
2
a l a a l a a l a l a l a
j r i rot s
c
         
   
    


(1.20)
Trong đó:
l
s

là toán tử spin của điện tử thứ
l
,
0
2

e
e
mc



là Manheton Bohr
Số hạng đầu vế phải của công thức (1.20) mô tả dòng điện gây bởi chuyển
động quỹ đạo của các điện tử. Số hạng thứ hai vế phải của (1.20) mô tả phần spin
của dòng điện.
Trước mắt, chúng ta chỉ xem xét phần spin của dòng điện. Thay số hạng thứ
hai trong (1.20) vào (1.19) và đưa vào tọa độ tương đối
ln
r r R


.
Biểu diễn biểu thức để cho yếu tố ma trận (1.19) dưới dạng:

 
 
*
0
3
2
l
iqR
iqr
p p n l a l a l
l

eR
a V a dR e rot s dr
R
   




  











(1.21)
Ở đó:
q p p


  
là véc tơ tán xạ của nơtron.
Ta đã có [14]:
32
e4

iqR
RdR iq
Rq









và

 
**
ll
iqr iqr
l a l a l a l a l
e rot s dr iq e s dr
   

  

 
  

Thay vào (1.21), ta được:
 
 

2
0
4
,
l
iqr
p p l n n
l
a V a r a e s a s es e
m






  









   
(1.22)
Biểu thức trong dấu ngoặc tròn là tích vô hướng của các véc tơ.

9
2
0
2
0
e
r
mc


là véc tơ bán kính điện từ của electron
q
e
q



là véc tơ tán xạ đơn vị.
Trong biểu thức (1.22) các biến số spin của nơtron và của bia (tinh thể) được
tách riêng. Sự đơn giản hóa tiếp theo có thể đạt được nếu ta phân tách tổng theo
l

thành tổng hóa theo các điện tử của từng nguyên tử


và tổng theo tất cả các
nguyên tử của bia
j

. Chúng ta chỉ xem xét tán xạ từ khi trạng thái của mạng

không thay đổi, còn trạng thái
a
được chọn bởi tập hợp các hình chiếu của spin để
cho các nguyên tử.
Trong trường hợp này có thể viết:
j
j
l
z
N
iqR
iqr iqr
l
lj
a e s a e a e s a












  



 

(1.23)
Ở đó
j
z
là số các điện tử trong đám mây không lấp đầy của nguyên tử thứ
j
.
Đối với các nơtron chậm chúng ta chú ý rằng các nơtron này không gây ra
các phép chuyển các nguyên tử vào các trạng thái năng lượng kích thích mà chỉ làm
thay đổi sự định hướng spin của nguyên tử. Như vậy phép chuyển từ
a
sang
a


có dạng
m

sang
m


. Ở đó
,mm

là tập được chọn các số lượng tử spin để cho
các nguyên tử của bia (tinh thể) còn


là tập hợp các số lượng tử còn lại của
nguyên tử.
Từ định lý tổng quát của cơ học lượng tử ta suy ra rằng yếu tố ma trận trong trường
hợp cụ thể này có thể được biểu diễn dưới dạng :
 
 
 
1
jj
iqr
zz
j
iqr
j
jj
e s S
a e s a m S m m m
SS
























(1.24)
Với
j
z
j
Ss






là toán tử spin của nguyên tử thứ
j
.

10
j
S

là đại lượng spin của nguyên tử thứ
j
.
Biểu thức:

 
 
 
 
 
*
11
jj
iqr iqr
zz
jj
j j j j
j j j j
e s S e s S
F q m m d
S S S S



    









 



(1.25)
Trong đó
j

là hàm sóng của các điện tử của nguyên tử thứ
j
. (
j
d

là yếu tố
thể tích trong không gian phân bố của điện tử của nguyên tử thứ
j
), không phụ
thuộc vào số lượng tử
m
có nghĩa là không phụ thuộc vào sự định hướng của spin
của các nguyên tử và coi chúng như là đặc trưng khả năng tán xạ của nguyên tử. Đại
lượng này (
 
j
Fq


) được gọi là Form-factor từ của nguyên tử (chính xác hơn nên gọi
nó là Form-factor spin).
 
j
Fq

đặc trưng cho sự phân bố của mật độ spin trong
nguyên tử.
Biểu thức (1.23) và (1.24) cho phép biểu diễn ma trận (1.18) qua các yếu tố ma trận
 
j
m S m


của các toán tử spin của các nguyên tử riêng rẽ của bia (tinh thể). Kết hợp
biểu thức (1.22) đến (1.25) ta sẽ nhận được biểu thức cho toán tử của tương tác từ:
 
2
'0
4
( ) , ( )
j
iqR
p p j j n n
j
V r F q e S s es e
m


   






   
(1.26)
Như vậy khi xét bài toán của một chùm nơtron chậm không phân cực tán xạ
trong tinh thể, ngoài tương tác hạt nhân chúng còn tương tác từ. Do đó trong biểu
thức tiết diện tán xạ vi phân sẽ gồm đóng góp hai phần được đặc trưng bởi hai loại
tương tác ở trên
22
2
' ' '
nm
p p p
dd
d
d dE d dE d dE



  
(1.27)
Thay các biểu thức thế ở (1.17) và (1.26) vào (1.11) chúng ta tìm được dạng tường
minh của các số hạng trong (1.27)
2
2
()
(0) ( )

35
(2 )
pp
ll
i
E E t
iqR iqR t
n
ll
ll
p
d
mp
e e e dt
d dE p






















(1.28)



11
Và:
2
2
0
( ) ( ) ( ) ( )
m
jj
jj
p
d
p
r F q F q e e
d dE p
  









  






()
(0) ( )
1
(0) ( )
2
pp
jj
i
E E t
iqR iqR t
jj
dte S e e S t



















(1.29)
Với:
1
( ) ( ) ( )
4
s se e s se e e e
   
  

   
   
   
(1.30)
 
, , ,x y z



12
CHƢƠNG 2: TÁN XẠ CỦA CÁC NƠTRON PHÂN CỰC TRONG
TINH THỂ PHÂN CỰC

Đặc trưng cho tán xạ của các nơtron phân cực là sự giao thoa giữa tán xạ hạt
nhân và tán xạ từ, mà điều này đã không xảy ra khi nơtron không có sự phân cực.
Khi nơtron phân cực, biểu thức đối với tiết diện tán xạ vi phân có dạng như sau
[17]:
 
 
 

22
''
3
5
. . ( )
2
pp
i
E E t
nuc e p p p p
p
d m p
dt e Sp V V t
d dE p


  














(2.1)
Trong đó :


: ma trận mật độ spin của nơtron
Trạng thái phân cực của chùm nơtron tới được cho bởi ma trận mật độ spin:

0
1
()
2
Ip




(2.2)
Trong đó:


2
1
là toán tử spin của nơtron
0
()p Sp




là véc tơ phân cực của nơtron

I là ma trận đơn vị
Các thành phần của ma trận Pauli thỏa mãn các hệ thức sau:
2
2
i
     
    
     
    


(2.3)
Chúng ta cần nhấn mạnh một điều là biểu thức (2.2) có dạng tổng quát để
cho chùm hạt có các spin là
2
1
. Điều này chỉ có thể suy ra trực tiếp từ các tính chất
của các ma trận Pauli. Rõ ràng rằng khi tiết diện tán xạ của các nơtron đòi hỏi các
biểu thức để cho vết các tích khác nhau của ma trận Pauli
Từ các hệ thức giao hoán (2.3) ta dễ dàng tính được biểu thức các biểu thức
cần thiết:

13
1
1
2
SpI 

1
( ) 0

2
Sp




1
()
2
Sp
  
  

(2.4)
1
()
2
Sp i
   
   


1
()
2
Sp
         
         
  

xyz

: Ten xơ hoàn toàn phản đối xứng
'
,
pp
EE
- Năng lượng của nơtron trước và sau khi tán xạ
Vì nơtron tương tác với tình thể bởi hai loại chủ yếu là tương tác hạt nhân và
tương tác từ. Do vậy đại lượng
pp
V

được viết dưới dạng :

2
'0
1 4 1
( ) ( ) ( , ( ) )
22
j
l
iqR
iqR
p p l l l j j
lj
V A B J e r F q e S e e
m

   



    












     

(2.5)
Số hạng thứ nhất mô tả tương tác hạt nhân giữa nơtron với hạt nhân
Số hạng thứ hai mô tả tương tác từ của nơtron với nguyên tử.
l
R

- véc tơ tọa độ vị trí của hạt nhân thứ l
q p p


  
- véc tơ tán xạ
q

e
q



- véc tơ tán xạ đơn vị
j
S

- Spin của nguyên tử thứ j
Từ công thức (2.5) ta dễ dàng tìm được
'pp
V

và
'
()
pp
Vt
, ta viết thế
'
()
pp
Vt

trong biểu diễn Heisenberg là:
2
'0
1 4 1
( ) ( ) ( , ( ) )

22
j
l
iqR
iqR
p p l l l j j
lj
V A B J e r F q e S e e
m

   




    












     
(2.6)

14
'
2
0
()
1 4 1
( ) ( ) ( , ( ) )
22
j
l
pp
ii
Ht Ht
iqR
iqR
l l l j j
lj
Vt
e A B J e r F q e S e e e
m

   






   

















     

(2.7)
Như chúng ta thấy từ (2.1) và (2.2) tất cả các bài toán về tán xạ của các
nơtron phân cực trong các tinh thể từ dẫn đến việc cần thiết phải đi tính các vết của
toán tử
( , ( ) )
jj
L S e e



   
(2.8)

Trong tích với toán tử khác và với các ma trận Pauli, kết quả của tính toán đó
được biểu diễn dưới dạng của biểu thức (2.10) ,trong đó
j
M

là:
))(( eSeSM
jjj






(2.9)
Như vậy chúng ta sẽ chứng minh một số công thức (2.10) dưới đây, để tính
tiết diện tán xạ:
Công thức 1:
 
1
2
Sp L M





CM:
 
 

11
( ) , ( )
22
Sp L Sp S e e
   


     

 
 
1
)
2
Sp S S e e
   


     



eeSSL )(

 
S e e S
       
   


 
 
11
()
22
Sp L Sp S e e S
         
    
  

 
S e e S
   
 



)(

SeeS 

()S e eS M  





15
Công thức (2):
 

 
1
()
2
Sp p L Mp



  

CM:
 
 
   
 
 
11
,
22
Sp p L Sp p S e e
   


       
;
( ) ( )( ( ) )p L p S S e e
         
   


 
 
S e S e S p
         
   


 
 
 
1
()
2
Sp p L S e e S p
      
 
  
  

 
()S e e S p
    




 
()S e eS p M p

  




   

Công thức (3):
 
1
()
2
Sp p L i M p





   

CM:
 
 
1
2
Sp p L


  
 
 
1

( ) , ( )
2
Sp p S e e
   


      

     
 
p L p S S e e
           
     


 
S p e S e p
           
     



 
 
1
()
2
Sp p L i S p i e e S p
     
 

   

  


 
()i S e Se p

  


  

i M p






Công thức (4):
 
1
()
2
Sp p L i M p


  



   



16
CM:
 
 
1
2
Sp p L


  
 
 
1
( ) , ( )
2
Sp p S e e
    


       

( ) ( )( ( ) )p L p S S e e
           
     


()p S p S e e
           
     


=
 
S p S e e p
           
     




 
 
1
()
2
Sp p L i S p i e e S p
        
 
   



 
()i S e Se p


   


  

i M p

  




Công thức (5):


 
1 2 1 2
1
2
Sp L L M M


CM:


12
1
2
Sp L L 
  



12
1
, ( ) , ( )
2
Sp S e e S e e
   


       

  


1 1 2 2
1
( ) ( )
2
Sp S S e e S S e e
           
   
  



1 2 1 2 1 2 1 2
1
( ) ( ) ( ) ( )
2

sp S S S e e S S S e e S e e S e e
                       
       
   
   
1 2 1 2 1 2 1 2
( ) ( )S S e S e S S e S e S e e e S e
               
   
   
   

1 2 1 2 1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( )S S e S e S S e S e S e e e S e
               
   

 
 
   
 
1 2 2 1 2 2
S S e e S e S e S e e S
           
   

 
 
   
 

1 2 2 1 2 2
S S e eS eS e S e eS   

     
    

 
 
 
1 1 2 2
()S e eS S e eS  

   
  

 
12
MM





17
Công thức (6):
 
1 2 1 2
1
2
Sp L L i M M



  




CM:


12
1
2
sp L L





12
1
( , ( ) ) ( , ( ) )
2
sp S e e S e e
    


        

   



1 1 2 2
1
( ) ( )
2
t
Sp S S e e S S e e
           
    
  


1 2 1 2
1
()
2
tt
Sp S S S e e S
         
     



1 2 1 2
( ) ( ) ( )
tt
S S e e S e e S e e
             
     



1 2 1 2 1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( )
t t t t
S S i e S e S i S e S e i S e e S e e i
               
   
   
   



1 1 2 1 1 2
( ) ( ) ( )i S eS e S S eS e eS e
   
      
   
     
     

 
 
 
1 1 2 2
()i S eS e S eS e

    

   

   

12
i M M

  



Công thức (7):


1 2 1 2
1
()
2
sp p L L i M M p





  

CM:


12
1
()

2
sp p L L



 
 
 
 


12
1
( ) , ,
2
sp p S e e S e e
    


         

   


1 1 2 2
1
( ) ( )
2
yy
sp p S S e e S S e e

           
    
  

    
1 2 1 2 1 2
1
2
yy
sp p S S p e S e S p S S e e

                  
        
   

    
12
yy
p S e e e S e
       
  



 

 
 
1 2 1 2
1

.
2
Sp S S p e S e S p
             
     
  

 
 
   
 

1 2 1 2
S e S e p e S e e S e p
                 
     



18
1 2 1 2 1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( )
yy
S S i e S e S i S S e e i S e e S e e i p
              
   
   

   


 
1 2 1 2 1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( )i S S eS e S S eS e eS e eS e p
       
       
       

       
       

 
 
 
 
1 1 2 2
i S e eS S e eS p

   

 
   
  

12
i M M p







Công thức 8:
 
 
     
1
2 1 2 1 2 1 2
1
2
Sp p L L M M p M p M p M M

  
       

CM:
 
 
 
 
 
 
 
 
1
2 1 1 2 2
11
22
Sp p L L Sp p S S e e S S e e
       

  
   
  
        

=
   
 
 
 
 
1 1 2 2
1
2
ll
Sp p S S e e S S e e
            
     




  
1 2 1 2
1
2
l l l l
Sp p S S p S e e S
           
       



     

1 2 1 2
l l l l
p S S e e p S e e S e e
               
       


 

 
 
1 2 1 2l l l l l l
S S e S e S
     
           
           


      



 
 
12 l l l
S e S e

   
     
     

  


   
 

12
l
l l l
e S e e S e p
     
     
     

  


   
1 2 1 2 1 2l l l
S S S e S e e S e S
         
     
     

  


     
1 2 1 2 1 2
l
l l l
e S e e S e p S S S e S e
           
     
     

   


     
1 2 1 2 1 2
l
l l l
e S e S e S e e S e p S S
           
     
     


   



       
1 2 1 2 1 2
l

l l l
S e S e e S e S e S e e S e p
             
     
     




       
1 2 1 2 1 2 1 2
l l l l l
S S S e S e e S e S e S e e S e p
           

   


       
1 2 1 2 1 2 1 2
S S S e S e e S e S e S e e S e p
                

   


       
1 2 1 2 1 2 1 2
l l l l l
S S S e S e e S e S e S e e S e p

           

   



19

     
 
1 1 2 1 1 2
l l l l l
S e S e S S e S e e S e p
       
   
   
   

     
 
2 2 1 1 2 2
S e S e S e S e S e S e p
            
   
   
   

     
 
1 2 2 1 2 2

l l l l l
S S e S e e S e S e S e p
       
   
   
   

       
1 1 2 2 2 2 1 1
l l l l l l
S e S e p S e S e S e S e S e S e p
           
       
     
       

     
 
2 2 1 1 2 2
S e S e S e S e S e S e p
            
   
   
   

 
 
   
 
 

1 1 2 2 2 2 1 1
S eS e p S eS e S eS e p S eS e
       
     
       
             

   
 
2 2 1 1
S e S e S eS e p
  
  
  
      

     
1 2 1 2 1 2
M p M M p M M M p  
     

Vậy:
1
2
 
 
     
1
2 1 2 1 2 1 2
1

2
Sp p L L M M p M p M p M M

  
       

Sử dụng các công thức (2.10) vừa chứng minh ở trên, ta tìm được biểu thức
tổng quát cho vết, xác định tiết diện tán xạ vi phân của các nơtron theo (2.1)
 
''
()
nuc e p p p p
Sp V V t

  



'
' ' '
'
11
( ) . ( )
22
ll
ii
Ht Ht
iqR iqR
nuc e l l l l l l
ll

Sp A B J e e A B J e e

    



   
  

   
   








'
2
2
0 ' '
'
41
( ) ( )
2
jj
ii
Ht Ht

iqR iqR
j j j j
jj
r F q e L e F q e L e
m















'
2
0 ' '
'
1 4 1
( ) . ( )
22
j
l
ii

Ht Ht
iqR
iqR
l l l j j
lj
A B I e r e F q e L e
m


















'
2
0 ' ' '
'
4 1 1

( ) ( )
22
j
l
ii
Ht Ht
iqR
iqR
j j l l l
jl
r F q e L e A B I e e
m























(2.11)
Đặt
 
'
0
()
'
( , )
l
l
iqR
iqR t
ll
X q t e e







Trước hết ta đi tính vết dưới dấu tích phân trong công thúc (2.11) bằng cách
tách vết của tổng bằng tổng các vết của chúng và tính từng số hạng:

20
I=

   
' ' ' '
'
11
( , )
22
l
nuc e l l l l l l l
ll
Sp A B J A B J X q t

    

   


   
   


 


=
     
0 ' ' ' '
'
1 1 1
( , )
2 2 2

nuc e l l l l l l l l
ll
Sp I p A B J A B J X q t
     
    



  
  

  
  





0
11
( ) ( )
22
nuc e l l l l l
ll
Sp I p A A A B J t
  
  
  




   






 
' ' '
11
()
24
l l l l l l l ll
B J A B J B J t X t
     
  









 
' 0 ' ' '
'
1 1 1

2 2 4
nuc e l l l l l l l
ll
Sp IA A p A A IA B J t
   
   


   






 
0 ' ' ' 0 '
1 1 1
4 4 4
l l l l l l l l l
p A B J t IB A J p B A J
         
    
  

   
' ' 0 ' ' '
11
( , )
88

l l l l l l l l l l
IB B J J t p B B J J t X q t
         
    









 
' ' 0 ' ' 0
'
11
0 0 0
22
nuc e l l l l l l l l
ll
A A AB p J t B A p J
   
 
   
      


     
' ' ' 0 ' '

11
,
44
l l l l l l l l l l
B B J J t B B p i J J t X q t
    
 





 
' ' 0 ' ' 0
11
22
nuc e l l l l l l l l
ll
A A A B p J t B A p J
   




   






0
1
( ) ( ) ( , )
44
l l l l l l l l ll
i
B B J J t B B J J t p X q t
    


    








 
' ' 0
'
1
2
l l l l l
ll
A A A B p J t



  






     
' 0 ' 0 '
11
,
2 4 4
l l l l l l l l l l l l l
i
B A p J B B J J t B B J J t p X q t
  

   


    


II=
 
       
24
22
0 0 ' ' '
2

'
1 16 1
,
24
nuc e j j j j j j
jj
Sp I p r F q F q L L t X q t
m


   










     
24
22
0 ' '
2
'
1 16 1
24
nuc e j j j j

jj
Sp I r F q F q L L t
m

  











21
       
24
22
0 0 ' ' '
2
'
1 16 1
,
24
j j j j j j
jj
p r F q F q L L t X q t
m














     
24
22
0'
2
'
16 1
4
j j j j
jj
r F q F q M M t
m












       
' 0 '
,
j j j j j j
F q F q i M M t p X q t



  



  

         
24
22
0 ' 0 '
2
'
16 1
,
4
j j j j j j j j

jj
r F q F q M M t i M M t p X q t
m






  




   

  

III
   
     
2
0 0 ' ' '
'
1 1 4 1
,
2 2 2
nuc e l l l j j j l
lj
Sp I p A B J r F q L t X q t

m
   

    



  









 
   
2
0 ' '
'
1 1 4 1
2 2 2
nuc e l l l j j
lj
Sp I A B J r F q L t
m



   



  









 
     
2
0 0 ' ' '
'
1 1 4 1
,
2 2 2
l l l j j j l
lj
p A B J r F q L t X q t
m
   

  














   
2
0 ' '
'
1 4 1
22
nuc e l j j
lj
Sp I A r F q L t
m

  











 
       
22
0 ' ' 0 0 ' '
'
1 1 4 1 1 4 1
2 2 2 2 2
l l j j l j j
lj lj
I B J r F q L t p A r F q L t
mm
   

   


  






 
     
2

0 ' ' '
1 4 1
,
22
l l j j j l
B J r F q L t X q t
m















   
 
22
0 ' 0 ' 0
'
1 4 1 4 1
0 ( ) ( )
2 2 2

nuc e l j l j l j j
lj
B r F q J M t A r F q M t p
mm

   


  



  

  

   
2
0 ' 0 '
1 4 1
,
22
l j l j j l
B r F q J i M p X q t
m














   
 
22
0 ' 0 ' 0
'
1 4 1 4 1
( ) ( )
2 2 2
l j l j l j j
lj
r B F q J M t r AF q M t p
mm








  


  

   
2
0 ' 0 '
1 4 1
( ) ,
22
l j l j j l
r B F q J i M t p X q t
m














22
IV=
 
     
2

0 0 ' ' ' '
'
1 4 1 1
2 2 2
nuc e j j l l l l j
jl
Sp I p r F q L A B J t X qt
m
   

    













     
22
0 ' 0 ' '
''
1 4 1 1 4 1
2 2 4 2

nuc e j j l j j l l
jl jl
Sp I r F q L A I r F q L B J t
mm


    


  







       
22
0 0 ' 0 0 ' '
''
1 4 1 1 4 1
,
2 2 4 2
j j l j j l l l j
jl jl
p r F q L A p r F q L B J t X q t
mm
     


    










     
 
22
0 ' 0 ' 0
'
1 4 4 1
0
42
nuc e l j l j l j j
jl
r B F q J t M r A F q M p
mm

   


  




  

  

     
2
0 ' ' 0 '
4
,
4
j l l j l j
i
r F q B J t M p X q t
m













     
 

22
0 ' 0 ' 0
'
1 4 4 1
42
l j l j l j j
jl
r B F q J t M r A F q M p
mm








  

  

     
2
0 ' ' 0 '
4
,
4
j l l j l j
i
r F q B J t M p X q t

m













Vậy:
''
()
nuc e p p p p
Sp V V t I II III IV

  


   


 
' ' 0
'
1

2
l l l l l
ll
A A A B p J t


  






     
' 0 ' 0 '
11
,
2 4 4
l l l l l l l l l l l l l
i
B A p J B B J J t B B J J t p X q t
  

   


    


         

24
22
0 ' 0 '
2
'
16 1
,
4
j j j j j j j j
jj
r F q F q M M t i M M t p X q t
m






  




   

  

       
 
22

0 ' 0 ' 0
'
1 4 1 4 1
2 2 2
l j l j l j j
lj
r B F q J M t r AF q M t p
mm








  

  

     
2
0 ' 0 '
1 4 1
,
22
l j l j j l
r B F q J i M t p X q t
m














     
 
22
0 ' 0 ' 0
'
1 4 4 1
42
l j l j l j j
jl
r B F q J t M r A F q M p
mm









  

  