Phương pháp sóng riêng phần cho bài toán tán xạ trong lý thuyết trường lượng tử


x ng t

Nguynh

i hc Khoa hc T 
Khoa V
Lu V: 60 44 01
ng dn: GS.TSKH. Nguy
o v: 2011


Abstract. 












: p






 ; 



 ;








; m gi  
   m gi
. Ph





































 ; 










; 












.

Keywords. ; Vt; ; ng t; V

Content

Trong nhng tin b quan trng trong hiu bit c
v     ng t /1-u
nht hp dng t s cung c s khoa h nhn
thng v  d  t c m
 ci bin st hp dt qu u khnh:
  Planck ca ht  ng cao c
Pl
sM»


ng ca hat,
1/2
Pl
MG
-
=
  ng Planck,
G
- là hằng số hấp dẫn  - 
ng truy, trong gii hn
( )
/ts®¥
ng biu din eikonal 
biu din Glauber (leading term ) vi pha ph thung. S hng b -
 c nhic
 i.
Kt qu u ca B c s hng b c nht cho s
h   t hp dng t, bng c hai
n th. /8-
9/. Vi thi s.

Ma Bn Lu ng cao ca ht
qua vic gi ng t v
nhau -n c n,
c gi t hp dng tu mt
s hiu ng t c tho lun n Lu m phn m u, hai
t lun, bn ph lu tham kho.

-
n. Vi

nh ng t.

I. Cỏc phng phỏp gii phng trỡnh Schrodinger

1.Phng phỏp khai trin theo súng riờng phn


2
2
( ) ( ) ( )
2
U r r E r
m
ộự
ờỳ
- ẹ + y = y
ờỳ
ởỷ
r r r
h
.
chuyng ca ht t khon
i v bng tng ci
in
Y

out
Y
:

( ) ( , )
ikr
ikz
e
r e f
r
Y = + q j
r

Quay v a
()
l
Rr
dng:

2
22
1
0
d dR
r R R
dr dr
rr
ổử
m
ữ
ỗ
ữ
- + l =
ỗ

ữ
ỗ
ữ
ỗ
ốứ

biờn tỏn x theo súng riờng phn


2
00
1
( ) (cos ) (2 1)( 1) (cos )
2
l
i
l l l
ll
f gP l e P
ik
ƠƠ
d
==
q = q = + - q
ồồ


2. Phng phỏp hm Green

22
( ) ( ) ( )k r U r r
ộự
ẹ + y = y
ờỳ
ởỷ
r r ur
,
c vit li d

3
0
( ) ( ) ' ( , ') ( ') ( ')r r d r G r r U r ry = f + y
ũ
r r r ur r r
,
u ki
()ry
ur
phi bao gn
ng truyn theo chia tru
 vit li dng:


'
.3
0
1
( ) ' ( ) ( ')
4

'
ik r r
ik r
e
r A e d r U r r
rr
-
y = - y
p
-
ò
rr
rr
ur r r
rr

Biên độ tán xạ theo sóng riêng phần


(0) ( ')
0
0
( ) ' ' ( ' ) 1
ib
k
f b db J kb e
i
¥
c
éù

q = q -
êú
ëû
ò


3. Phương pháp chuẩn cổ điển
 Schrodinger (, nghim cng :

iS(x)/
ey=
h

Th c :

22
iS/ iS/
2
()
2
U x e Ee
m
x
éù
¶
êú
- + =
êú
¶
ëû

hh
h


2
11
'' '
22
S S E U
m i m
+ = -
h

Trong gii hn c 
0®h

22
2
k
E
m
=
h


:

2 2 2
'( )
()

22
S x k
Ux
mm
=-
h

u thc

2 2 2
2
2
( ' ) ' onst
z
L
Sm
U k U b z dz c
-
= - + +
ò
h
h

T ng:

22
2
( ' ) '
3/ 2
1

(2 )
z
L
im
U b z dz
k
ikz
ee
-
-+
ò
y=
p
h
(
  c vit:

3 ' ' 2 2 '
2
'
22
2
12
( ', ) ' ( )
4
exp ( ' ) '
ik x ikx
z
L
m

f k k d x e v b z e
im
U b z dz
k
-
-
= - +
p
éù
êú
´ - +
êú
êú
ëû
ò
ò
rr
rr
h
h

Biên độ tán xạ tính theo chuẩn cổ điển là

(0) ( )
0
0
( ) ( ) 1
ib
k
f bdbJ kb e

i
Ơ
c
ộự
q = q -
ờỳ
ởỷ
ũ


4. Liờn h gia biờn tỏn x theo súng riờng phn v biờn tỏn x eikonal.
c bng:

( ) ( )
l
2i
l
l0
1
f( ) 2l 1 P cos e 1
2ik
d
qq
Ơ
=
ộự
= + -
ởỷ
ồ

V ng cao, coi
( )
max
ka l:
thay cho vic
ly tng theo l bl.
l
2i (k)
l
0
1
f(k, ) dl(2l 1)P (cos ) e 1
2ik
d
qq
Ơ
ộự
= + -
ởỷ
ũ


q
nh
sin
22
qq
ổử
ữ
ỗ

ằ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ốứ


2k 2l 1
(2l 1)sin (2l 1)sin .2k sin
2 2k 2 2k 2
q q q
ổ ử ổ ử ổ ử
+
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
+ = + =
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
ố ứ ố ứ ố ứ


II. Cỏc hiu ng hp dn

1. Tỏn x hon ton hp dn
Xu p bin t -Gordon cho h i
ng - t "thng hp dn t:

1
( ) 0D g g D
g
m mn
m
- Y =
-
,
D ieA
m m m
= ả -


det ( )g g x gg
mn
mn
= = -
,
()Ax
m
n t.
p d ct
t
( ) 0Ax
m
=
ng nn Schwarzschild c n ca
ht bia chuyng chm ( khng ca h so vi
s
c

bi nghim cng:

1
2 2 2 2 2 2 2
22
1 1 ( sin )
GM GM
ds dt dr r d d
rr
-
ổ ử ổ ử
ữữ
ỗỗ
ữữ
= - - + - + q + q f
ỗỗ
ữữ
ỗỗ
ữữ
ỗỗ
ố ứ ố ứ
.
ng kh d c

( )
( 1) ( 1)
21
i
Gs l l N N
N

ộự
= + - +
ờỳ
ởỷ
+

c hng thuc bc b yc s
dng trong gii hn eikonal
l đƠ
bng vic khai trin tim cn bin s c
theo s o ca l. Kt qu ta nhc:

( )
2
23
11
log
2
2
l
Gs
Gs l O
l
ll
ộ ự ổ ử
ữ
ỗ
ờỳ
ữ
d ằ - - + +

ỗ
ữ
ỗ
ờỳ
ữ
ỗ
ốứ
ởỷ


2. Cc im ca biờn tỏn x
dn li biu th x c trong


2
2
0
( , ) 1
2
l
i
ikb
is
f s t d be e
Ơ
d
ộự
=-
ờỳ
ởỷ

p
ũ


i bin Mandelstam
2
tk-=

vit li biu th :

1
(0)
(1 ) 4
( , ) 4
2 ( )
iGs
iGs iGs
i s iGs
f s t s
iGs t
-
-
ổử
G-
ữ
ỗ
ữ
=p
ỗ
ữ

ỗ
ữ
ỗ
p G -
ốứ


3
2
2 (1 )
(1 )
iGs
Gs iGs t
t iGs s
ổử
G - -
ữ
ỗ
ữ
=
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
G+
ốứ
(2.2.8)

( )

( )
1
2
1
2
(1)
1
2
4
( , ) 4
iGs
iGs iGs
iGs
Gs
f s t s
t
iGs
-
-
ổử
G-
ữ
ỗ
ữ
= - p
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ

p-
G+
ốứ


( )
( )
1
2
1
2
2
iGs
iGs
Gs t
s
iGs
t
ổử
G-
-
ữ
ỗ
ữ
=-
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ

G+
ốứ
-


3. Tỏn x hp dn cú k thờm tng tỏc in t
ca ht th ngoi metric Reissner-
Nordstom nh im in tớch tnh. t chuyng nhanh
nhc bng vii gian bp bi
hp vi metric Reissner-Nordstom:

1
22
2 2 2 2 2
22
22
11
GM GQ GM GQ
ds dt dr r d
rr
rr
-
ổ ử ổ ử
ữữ
ỗỗ
ữữ
= - - + + - + + W
ỗỗ
ữữ
ỗỗ

ữữ
ỗỗ
ố ứ ố ứ
,

( )
( )
( ')
(1)
1 ( ')
2( ')
( , )
1 ( ' )
i Gs QQ
i Gs QQ
Gs QQ t
f s t
s
i Gs QQ
t
-
ổử
G - -

ữ
ỗ
ữ
=
ỗ
ữ

ỗ
ữ
ỗ
G + -
ốứ
-

- c s dc ng t c t
c s d t
ng hp dng t.
- c ri vm c trong
n nn o ca tr-
i v t hin t
- i vi hu n t p dn vn ti ri
khi s d          hng b    ng
truyu n t p dn s b n v 
 b
References
I. TIẾNG VIỆT
1. Lý thuyết trường hấp dẫn
2. Hạt cơ bản, 
3. Cơ học lượng tử
4. Cơ sở lý thuyết trường lượng tử
II. TIẾNG ANH
1.              
Nucl. Phys. B304, pp. 867-876.
2. D.Amati, M.Ciafaloni and G.Veneziano
Effects from Planckian Energy SuperstriInt. J. Mod Phys. A3, pp1615-1561. .
3.          
Nucl.Phys.B371, pp 246-252.

4.          
Nucl.Phys.B388, pp.570-592.
5. Nguyen S-Line Path Approximation for the
Studying Planckian-Nuo Cim A, N110A pp. 459-473.
6.      -Line Path Approximation for the High-Energy
Elastic and Inelastic           
p.547-553. Proceedings of the 4
th
International Workshop on Graviton and
Astrophysics heid in Beijing, from October 10-15, 1999 at the Beijing Normal
University, China, Ed. Liao Liu, et. al. World Scientific Singapore (2000)pp.319-333.
7. 
Journal Pramana, India, 51, pp. 413-418.
8. Nguyen Suan Han and Nguyen Nhu Xuan (2002),     
Eikonal     -print arxiv: gr-qc/0203054, 15
mar 2002, 15p; European physical journal c, Vol 24, pp.643-651.
9.            
Eikonal Approximation in the Quasi-Pot-print arxiv: 0804.3432 v2
[quant-ph]. To be published in european physical journal c (2008)
10.        -print arxiv:
0806.3217v2[nucl-th].

11. Charles Poole Herbert Goldstien and John Safko. Classical Mechanics.
Addison Wesley.
-Jacobi Theory and
6, 1983.
-Jacobi/action-angle
quantum mechanics”. Physical Review D, 28(10):24912502, 1983.
-Jacobi Theory”.
Physical Review Letters, 99(17), 2007.


Nucl. Phys. B304, pp. 867-876.
A.K. Kapoor R.S. Bhalla and P.K. Panigrahi. -Jacobi
formalism and the bound state spectra”. arXiv, quant-ph/9512018v2, 1996.
16. J.J. Sakurai. Modern Quantum Mechanics. Pearson Education, 2007.