Vector phân cực của nơtron tán xạ trong tinh thể thuận từ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Đỗ Thu Trang
VECTOR PHÂN CỰC CỦA NƠTRON TÁN XẠ TRONG
TINH THỂ THUẬN TỪ
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Hà Nội – Năm 2011
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Đỗ Thu Trang
VECTOR PHÂN CỰC CỦA NƠTRON TÁN XẠ TRONG
TINH THỂ THUẬN TỪ
Chuyên ngành: Vật lý lý lý thuyết và vật lý toán
Mã số: 604401
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TS. NGUYỄN ĐÌNH DŨNG
Hà Nội – 2011
MỤC LỤC
Trang
MỞ ĐẦU …………………………………………………………… 3
Chương 1 - LÝ THUYẾT TÁN XẠ CỦA NƠTRON CHẬM TRONG TINH THỂ.5
1.1. Cơ sở lý thuyết tán xạ của nơtron chậm trong tinh thể………….……….5
1.2. Hiện tượng thuận từ trong vật rắn……………… ………………………9
1.3. Tán xạ của các nơtron phân cực trong chất thuận từ……………………12
Chương 2 - TÁN XẠ CỦA CÁC NƠTRON PHÂN CỰC TRONG TINH THỂ THUẬN
TỪ CÓ HẠT NHÂN PHÂN CỰC……………………………….… ………… 15
2.1. Thế tương tác của nơtron chậm trong tinh thể…………………………15
2.1.1. Yếu tố ma trận của tương tác hạt nhân…… ………………… 15

2.1.2. Yếu tố ma trận của tương tác từ…………………….………… 16
2.2. Tiết diện tán xạ vi phân của các nơtron phân cực trong tinh thể……….21
2.3. Tán xạ nơtron phân cực trong tinh thể thuận từ có các hạt nhân phân
cực………………………………………………………………………………….33
Chương 3 - TIẾT DIỆN TÁN XẠ TỪ CỦA CÁC NƠTRON PHÂN CỰC TRONG
TINH THỂ THUẬN TỪ………………………………………………………… 39
Chương 4 - VECTOR PHÂN CỰC CỦA CÁC NƠTRON TÁN XẠ TỪ TRONG TINH
THỂ THUẬN TỪ………………………………… ……………………….43
KẾT LUẬN…………………………………………………………… … 47
TÀI LIỆU THAM KHẢO………………………………………….……….48
MỞ ĐẦU
Trong những năm gần đây, việc nghiên cứu cấu trúc của tinh thể bằng phương
pháp quang học hạt nhân đang phát triển mạnh.
Các nơtron chậm (nơtron có năng lượng nhỏ hơn 1MeV) là công cụ độc đáo để
nghiên cứu động học của các nguyên tử vật chất và các cấu trúc từ của chúng [14, 15, 19,
20].
Hiện nay, để nghiên cứu các tính chất sâu của tinh thể, phương pháp quang học
nơtron đã được sử dụng rộng rãi.
Các nghiên cứu và tính toán về tán xạ không đàn hồi của các nơtron phân cực
trong tinh thể có các hạt nhân phân cực cho phép chúng ta nhận được các thông tin quan
trọng về các hàm tương quan spin của các hạt nhân…[15, 17].
Ngoài ra các vấn đề về nhiễu xạ bề mặt của các nơtron trên tinh thể phân cực cũng
đã được nghiên cứu [9,10, 13]. Các vấn đề về sự tiến động hạt nhân của các spin của các
nơtron phân cực trong tinh thể phân cực đã được nghiên cứu trong các công trình [15].
Trong luận văn này chúng tôi nghiên cứu tiết diện tán xạ của các nơtron phân cực
trong tinh thể thuận từ và vector phân cực của nơtron tán xạ trong tinh thể thuận từ.
Một phần kết quả của luận văn đã được báo cáo tại hội nghị vật lý lý thuyết toàn
quốc lần thứ 36 tổ chức tại thành phố Quy Nhơn tháng 8 năm 2011.
Nội dung của luận văn được trình bày trong 4 chương:
Chương 1: Cơ sở lý thuyết tán xạ của nơtron chậm trong tinh thể

Chương 2: Tán xạ của các nơtron phân cực trong tinh thể thuận từ có các hạt nhân phân
cực
Chương 3: Tiết diện tán xạ từ của các nơtron phân cực trong tinh thể thuận từ
Chương 4: Vector phân cực của nơtron tán xạ từ trong tinh thể thuận từ
Chương 1: LÝ THUYẾT TÁN XẠ CỦA NƠTRON CHẬM
TRONG TINH THỂ
1.1. Cơ sở lý thuyết tán xạ của nơtron chậm trong tinh thể
Hiện tượng: Dùng một chùm hạt nơtron chậm phân cực chậm bắn vào bia (năng
lượng cỡ dưới 1MeV và không đủ để tạo ra quá trình sinh huỷ hạt), nhờ tính chất trung
hoà về điện, đồng thời mômen lưỡng cực điện vô cùng nhỏ (gần bằng 0) nên nơtron
không tham gia tương tác điện, dẫn đến độ xuyên sâu của chùm nơtron vào tinh thể là
lớn và bức tranh giao thoa của sóng tán xạ sẽ cho ta thông tin về cấu trúc tinh thể và cấu
trúc từ của bia.
Một chùm hạt nơtron phân cực khi đi vào trong tinh thể sẽ chịu tác dụng của tương
tác hạt nhân, tương tác trao đổi spin và tương tác từ gây ra bởi sự phân cực của chùm
nơtron.
Giả sử ban đầu hạt nhân bia được mô tả bởi hàm sóng
| n〉
, là hàm riêng của toán tử
Hamilton của bia với năng lượng tương ứng là E
n
:
〉=〉 nEnH
n
||
( )
1.1
Sau khi tương tác với nơtron, sẽ chuyển trạng thái khác
|n
′

〉
.
Còn các nơtron sau khi tương tác có thể thay đổi xung lượng từ trạng thái ban đầu
của nơtron được mô tả bởi hàm sóng
| p〉

sang trạng thái
| 'p 〉

Xác suất W
n’p’|np
của quá trình đó được tính theo lý thuyết nhiễu loạn trong gần
đúng bậc nhất sẽ bằng:
( )
2
' '| ' '
2
' '
n p np n p n p
W n p V np E E E E


= + − −
 

( )
1.2
Trong đó:
V là toán tử tương tác của nơtron với hạt bia.
' '

, , ,
n p n p
E E E E
là các năng lượng tương ứng của hạt bia và nơtron trước và sau khi
tán xạ.
( )
' 'n p n p
E E E E

+ − −
- hàm delta Dirac.
( )
( )
' '
' '
1
2
n p n p
i
E E E E t
n p n p
E E E E e dt


+∞
− + − −
−∞
+ − − =
∫



( )
1.3
Chúng ta quan tâm tới xác suất toàn phần W
p’|p
của quá trình trong đó nơtron sau
khi tương tác với bia sẽ chuyển sang trạng thái
p
′

; nó nhận được bằng cách tổng hóa các
xác suất W
n’p’|np
theo các trạng thái cuối của bia và lấy trung bình theo các trạng thái đầu.
Bởi vì bia không luôn ở trạng thái cố định do đó ta phải tổng quát hóa đối với trường hợp
khi nó ở trong trạng thái hỗn tạp với xác suất của trạng thái
n
là
n

. Theo đó ta có:
( )
2
'| ' '
'
2
W ' '
p p n n p n p
nn
n p V np E E E E


 
= + − −
∑
 

( )
2
' ' '
'
2
'
n p p n p n p
nn
n V n E E E E

 
= + − −
∑

( )
1.4
Ở đây chúng ta đưa vào kí hiệu hỗn hợp để cho các yếu tố ma trận
'
' ' '
p p
n p V np n V n=
 
( )
1.5

Như vậy là các yếu tố ma trận của toán tử tương tác của nơtron với hạt bia lấy
theo các trạng thái của nơtron và V
p’p
là toán tử tương đối với các biến số hạt bia
Thay phương trình (1.3) vào (1.4) ta được:
( )
( )
' '
*
'| ' ' '
2
'
1
W ' '
p p n n
i i
E E t E E t
p p nn p p p p
nn
e dt n V n n V n e

+∞
− −
−∞
=
∑
∫
 

( )

1.6
E
n
, E
n’
là các trị riêng của toán tử Hamilton H với các hàm riêng là
n
,
'n
từ đó
ta viết lại trong biểu diễn Heisenberg:
( )
( )
'
' '
' '
n n
i
E E t
p p p p
n V n e n V t n
−
=

( )
1.7
Ở đây:
( )
' '
i i

Ht Ht
p p p p
V t e V e
−
=
 
là biểu diễn Heisenberg của toán tử V
p’p
với toán tử
Hamilton.
Thay (1.7) vào (1.6), chú ý rằng trong trường hợp này ta không quan tâm tới sự
khác nhau của hạt bia trước và hạt bia sau tương tác, vì vậy công thức lấy tổng theo n’, n
chính là vết của chúng và được viết lại
( )
( )
'
'| ' ' '
2
'
1
W '
p p
i
E E t
p p nn p p p p
nn
e dt n V V t n

+∞
−

+
−∞
=
∑
∫


( )
( )
{ }
'
' '
2
1
p p
i
E E t
p p p p
dte Sp V V t

+∞
−
+
−∞
=
∫


( )
1.8

Ở biểu thức cuối, biểu thức dưới dấu vết có chứa toán tử thống kê của bia

các
phần tử đường chéo của ma trận của nó chính là xác suất
n

.
Theo qui luật phân bố Gibbs nếu hạt bia nằm ở trạng thái cân bằng nhiệt động ta
có hàm phân bố trạng thái là
{ }
H
H
e
Sp e



−
−
=
Với:
1
B
k T

=
B
k
- hằng số Boltzmann
T - Nhiệt độ

Giá trị trung bình thống kê của đại lượng vật lý được tính theo các hàm phân bố
là:
{ }
{ }
H
n
H
n
Sp e A
A A
Sp e



−
−
= =
∑
( )
1.9
Kết hợp (1.8) và (1.9) ta được:
( )
( )
{ }
( )
( )
{ }
{ }
' '
' '

'| ' '
2 2
1 1
W
p p p p
H
i i
E E t E E t
p p p p
p p p p p p
H
Sp e V V t
dte Sp V V t dte
Sp e



− +
+∞ +∞
− −
+
−
−∞ −∞
= =
∫ ∫
 
 
( )
( )
'

' '
2
1
p p
i
E E t
p p p p
dte V V t
+∞
−
+
−∞
=
∫


( )
1.10
Nếu chuẩn hóa hàm sóng của nơtron trên hàm đơn vị (trên hàm

) thì tiết diện
tán xạ hiệu dụng được tính trên một đơn vị góc cầu và một khoảng đơn vị năng lượng
2
d
d dE

Ω
, sẽ liên quan tới xác suất này bởi biểu thức sau:
( ) ( )
( )

( )
'
2 2 2
'|
' '
3 3
5
'
' '
W
2 2
p p
i
E E t
p p
p p p p
p
d m p m p
dte V V t
d dE p p

 
+∞
−
+
−∞
= =
Ω
∫


 
( )
1.11
Gạch trên đầu là trung bình theo các trạng thái spin của nơtron trong chùm các
nơtron ban đầu và tổng hóa các trạng thái theo các trạng thái spin trong chùm tán xạ
m - khối lượng nơtron
Trong công thức (1.11) đưa vào toán tử mật độ spin của nơtron tới


và sử dụng
công thức:
{ }
L Sp L


=
( )
1.12
Do đó dạng tường minh của công thức (1.11) được viết lại là:
( )
( )
( )
{ }
'
2 2
' '
3
5
'
'

2
p p
i
E E t
p p p p
p
d m p
dte Sp V V t
d dE p




+∞
−
+
−∞
=
Ω
∫


( )
1.13
Trong đó:


- ma trận mật độ spin nơtron
1.2. Hiện tượng thuận từ trong vật rắn
Xét mạng tinh thể mà nút mạng có một ion mang một vectơ mômen từ có độ lớn

xác định
0

. Giả sử có thể bỏ qua tương tác của các mômen từ này. Trong từ trường đều
có cường độ
B

và vectơ mômen từ


có thế năng:
BU



−=
( )
1.14
Theo thống kê trong trạng thái cân bằng nhiệt của mạng tinh thể ở nhiệt độ T, xác
suất để vectơ mômen từ của ion là


, nghĩa là thế năng của ion có giá trị xác định bởi
(1.14), tỉ lệ với hàm phân bố
Tk
B
Tk
U
bb
e

A
e
A



11
=
−
( )
1.15
Trong đó, A hệ số chuẩn hóa và k
b
là hệ số Boltzmann. Theo lý thuyết cổ điển
vectơ từ


có thể tùy ý trong không gian, mỗi hướng được xác định bởi các góc

và

trong tọa độ cầu


. Lấy trung bình theo tất cả các hướng của


ta nhận được giá trị
trung bình của thành phần
j



của véctơ


∫
∫
Ω
Ω
=
de
de
Tk
B
Tk
B
j
B
B








( )
1.16
Với

Ωd
là yếu tố góc khối. Nếu từ trường nhỏ thì ta có thể triển khai hàm số mũ
thành chuỗi theo
Tk
B
B



và trong mỗi tích phân chỉ giữ lại số hạng đầu khác 0.
Khi đó ta có:


4≈Ω
∫
de
Tk
B
B


∫ ∫ ∫∫
=Ω==Ω+≈Ω
TkTk
B
d
Tk
B
drd
Tk

B
de
BB
j
ij
B
j
ji
B
j
Tk
B
j
B
3
1
3
1
)1(
2









4

3
1
3
1
2
0
2
0 i
B
i
B
B
Tk
dB
Tk
=Ω=
∫
( )
1.17
Từ (1.16) và (1.17) ta thu được:
2
0
1
3
B
B
k T
 
=
Gọi N là số ion trong một đơn vị thể tích mật độ mômen từ của vật rắn trong từ

trường
B

bằng:
2
0
1
3
B
M N NB
k T
 
= =


( )
1.18
Đại lượng
M

được gọi là độ từ hóa. Vectơ
M

song song và cùng chiều với từ
trường
B

nên tinh thể đang xét có tính thuận từ. Ta định nghĩa độ từ cảm

theo công

thức:
BM


=
( )
1.19
Từ (1.18) và (1.19) ta có:
N
Tk
B
2
0
3
1

=
( )
1.20
Bây giờ ta tính giá trị trung bình

theo thuyết lượng tử. Toán tử mômen tỉ lệ
với toán tử spin:
s

=
( )
1.21
Ba thành phần
zyx

sss ,,
không thể chéo hóa đồng thời và ta chọn
z
s
là một ma
trận chéo hóa. Thành phần
z
s
chỉ có giá trị riêng gián đoạn cách nhau một đơn vị, thay
đổi từ -s đến s nên tất cả trạng thái (2s+1) giá trị. Phép lấy trung bình bây giờ là trung
bình theo (2s+1) trạng thái riêng của ma trận
z
s
ssssmmmms
z
,1, ,1,, −+−−==
( )
1.22
Theo thuyết lượng tử:
mem
mem
Tk
B
s
sm
Tk
B
s
sm
B

B








∑
∑
−=
−=
=
( )
1.23
Ta xét ví dụ đơn giản với s=1/2. Khi đó s
z
có 2 trạng thái riêng
2
1
−
và
2
1
.
Chọn từ trường
B

song song với trục Oz ta có

2
1
2
1
2
1
,, ±±=±==
zzzz
ssBBs



( )
1.24
Cho nên
Tk
B
Tk
B
z
BB
ee
2
2
1
2
1
2
1



−
−=−−


Tk
B
Tk
B
z
BB
ee
2
2
1
2
1
2
1


=


( )
1.25
Tk
B
Tk
B

BB
ee
2
2
1
2
1

−
=−−


( )
1.26
Tk
B
Tk
B
BB
ee
2
2
1
2
1

=


mem

mem
Tk
B
s
m
Tk
B
s
m
B
B








∑
∑
±=
±=
=
2
1
2
1
Tk
B

th
ee
ee
B
Tk
B
Tk
B
Tk
B
Tk
B
BB
BB
22
1
2
1
22
22





=
+
−
=
−

−
( )
1.27
Khi
B

đủ bé (1.27) trở thành
B
Tk
B
z

2
1

=
( )
1.28
Để so sánh với (1.17) ta kí hiệu
2
0

là giá trị trung bình của toán tử
2

2222
0
s

==

( )
1.29
Ta biết rằng giá trị riêng của s
2
trong tất cả các trạng thái đều bằng
)1(
2
+= sss
( )
1.30
Nên ta có
)1(
2
0
+= ss

( )
1.31
Thay s=1/2 vào (1.29) ta thu được
22
0
4
3

=
( )
1.32
Vậy từ (1.27) ta lại suy ra công thức (1.17)
Từ công thức (1.28) ta lại suy ra công thức (1.17)
Từ công thức (1.29) ta có thể viết lại (1.20)

2
3
1

N
Tk
B
=
Đó là định luật Curie
1. 3. Tán xạ của các nơtron phân cực trong chất thuận từ
Chúng ta xét tán xạ của các nơtron trong miền thuận từ trong trường hợp giới
hạn không tương tác trao đổi giữa các spin của các nguyên tử. Vì các spin không tương
quan với nhau khi không tồn tại sự tương tác giữa chúng, tán xạ của các nơtron trong
trường hợp này là tán xạ đàn hồi và sự phân bố góc được cho bởi công thức:
)())(1(
3
2
22
0
qFrSSN
d
d


+=
Ω
( )
1.33
Bây giờ chúng ta đi xét ảnh hưởng của tương tác trao đổi của các spin lên tán xạ
trong miền thuận từ và đi tìm sự phân bố của các nơtron theo năng lượng

Chúng ta sẽ xuất phát từ biểu thức cơ sở cho tiết diện tán xạ
'
2
( )
2
0 '
'
'
'
( ) ( ) ( ) ( )
j j
iq R R
j j
jj
p
d p
r F q F q e e e
d dE p
  


 
− −
= −
Ω
∑ ∑
 

 
'

( )
'
1
(0) ( )
2
p p
i
E E t
j j
e S S t dt
 

+∞
−
−∞
⋅ 〈 〉
∫


( )
1.34
Thay thế biểu thức:
''
)1(
3
1
)()0(
jjjj
SStSS




+=〉〈
( )
1.35
sẽ dẫn tới công thức (1.9). Khi tính đến tương tác trao đổi chúng ta sẽ có biểu thức chính
xác cho miền thuận từ:



〉〈=〉〈 )()0(
3
1
)()0(
''
tSStSS
jjjj
( )
1.36
có tính đến sự tương quan giữa các hình chiếu của các spin của các nguyên tử. Sự không
tồn tại sự tương quan giữa các hình chiếu của các spin là do tính chất đẳng hướng của
Hamiltonnian trao đổi
)()(
'
'
' jj
jj
jj
SSRRIH
∑

≠
−−=

Thay (1.36) vào (1.34) và tính đến sự tương quan của các spin chỉ phụ thuộc vào
hiệu các toạ độ của các nút (để đơn giản chúng ta xét tinh thể cấu tạo từ các nguyên tử
cùng loại) chúng ta sẽ nhận được tiết diện vi phân của tán xạ của nơtron
)(
'
)())(1(
3
2
22
0
'
2


q
p
P
p
p
qFrSSN
dEd
d

+=
Ω
( )
1.37

Với
[ ]
1
)1()(
2
1
)(
−
−
+=
∫
∑
SStedteP
i
Rqi
ti
q
j






( )
1.38
〉〈=
−
= )()0()(,
0

'
tSSt
EE
j
pp


( )
1.39
Các đại lượng trong công thức (1.34) và (1.38) có ý nghĩa sau:
S
0
(0): Là toán tử spin trong nút nằm ở gốc toạ độ ở thời điểm ban đầu
P
q
(ω): Hàm mô tả sự phân bố góc và năng lượng của các nơtron tán xạ. Trong
đó
1)( =
∫
+∞
∞−

dP
q
( )
1.40
Chương 2: TÁN XẠ CỦA CÁC NƠTRON PHÂN CỰC TRONG TINH THỂ CÓ
HẠT NHÂN PHÂN CỰC
2.1. Thế tương tác của nơtron chậm trong tinh thể
Khi chùm nơtron chậm tiến vào mạng tinh thể thì chúng sẽ tham gia vào tương tác

hạt nhân và tương tác từ.
2.1.1. Yếu tố ma trận của tương tác hạt nhân
Ta xây dựng thế hạt nhân của nơtron và hạt nhân bia dưới dạng sau:
( ) ( )n nV r r R

= −


Trong đó:
1
( )
2
A B sJ

= +


n
r
- vị trí của nơtron
R
- Vị trí của hạt nhân
A, B- là các hằng số
J

- Spin của hạt nhân
s

- Spin của nơtron
Do đó thế tương tác của nơtron với hạt nhân thứ l là:

( ) ( )
l n n l
V r r R

= −


( )
2.1
Lấy tổng công thức (2.1) theo l từ 1 đến số hạt nhân trong bia ta sẽ tìm được thế
tương tác của nơtron với toàn bộ bia:
( )
1
( )
n
n n l
l
V r r R

=
= −
∑


( )
2.2
Các yếu tố ma trận
'p p
V
thuộc toán tử tương tác hạt nhân V từ xung lượng

p

đến
'p

được ghi nhận trên cơ sở (2.1) có dạng:
( ')
'
l
i p p R
p p l
l
V e

−
=
∑

 
( )
2.3
2.1.2. Yếu tố ma trận của tương tác từ
Tương tác từ của nơtron với tinh thể được hiểu như tương tác của từ trường được
sinh bởi nơtron và dòng điện của các electron (các điện tử này là các điện tử của các đám
mây không kín của nguyên tử). Toán tử năng lượng của tương tác dạng này có thể được
viết dưới dạng:
( ) ( )
1
n l l
l

V A r j r
c
 
=
 
∑


 
( )
2.4
Ở đó:
( )
( )
3
n n
n
n
r r
A r
r r

× −
=
−


là vector thế của trường ở điểm
r


được sinh ra bởi
nơtron nằm ở điểm
n
r

;
2
n nuc n
S
 
=

là moment từ của nơtron (

=-1,913 là đại lượng
moment từ của nơtron trong manheton hạt nhân);
( )
l
j r


là dòng điện được sinh ra bởi
điện tử thứ
r
Dấu tổng trong công thức được lấy tổng theo tất cả các điện tử không liên kết cặp
của tinh thể
Chúng ta đi tính yếu tố ma trận giữa các trạng thái của nơtron với xung lượng
p
và
'

p
với các trạng thái của bia (tinh thể) tương ứng
a

và
a

′
Ta có:
( )
( )
( )
( )
( )
'
'
3
1
n
i p p r
n l n
p p a l a n
l
l n
r r
a V a j r e dr d
c
r r



−
∗
′
× −
′
= Ψ Ψ
−
∑
∫∫
 
  


 
( )
2.5
Lấy tích phân theo (
d

) lấy dọc theo các tọa độ của tất cả các điện tử chứa trong
công thức (2.4)
Như chúng ta đã biết, yếu tố ma trận của dòng điện bằng:
( )
( )
( )
0 0
1
2
a l a a l a a l a l a l a
j r i rot s

c
 
∗ ∗ ∗ ∗
′ ′ ′ ′
Ψ Ψ = Ψ ∇ Ψ − Ψ ∇ Ψ + Ψ Ψ
  
( )
2.6
Trong đó:
l
s

là toán tử spin của điện tử thứ l
0

: manheton Bohr
0
2
e
e
m c

 
=
 
 

Số hạng đầu vế phải của công thức (2.6) mô tả dòng điện gây bởi chuyển động
quỹ đạo của các điện tử
Số hạng thứ hai là phần spin của dòng điện

Trước mắt chúng ta chỉ xem xét phần spin của dòng điện
Đặt số hạng thứ hai của (2.6) vào (2.5) và đưa vào tọa độ tương đối
l n
r r R− =
  
,
biểu diễn biểu thức để cho yếu tố ma trận (2.5) trong dạng
( )
( )
0
3
2
l
iqR
iqr
p p n l a l a l
l
e R
a V a dR e rot s d
R
  
−
∗
′ ′
 
′
= − × Ψ Ψ
 
 
 

∑
∫ ∫
 
 


( )
2.7
Ở đó:
q p p
′
= −
  
là vector tán xạ của nơtron.
Người ta đã chứng minh được rằng [17]:
3 2
4
iqR
RdR iq
e
R q

−
= −
∫



Và
( )

l l
iqr iqr
l a l a l a l a l
e rot s dr iq e s dr
∗ ∗
′ ′
Ψ Ψ = − × Ψ Ψ
∫ ∫

 

Thay vào (2.7) chúng ta sẽ nhận được
( )
( )
2
0
4
,
l
iqr
p p l n n
l
a V a r a e s a S eS e
m


′
 
 
′ ′

= − −
 
 
 
 
 
∑

 

 
( )
2.8
Biểu thức trong dấu ngoặc tròn là tích vô hướng của các vector,
2
0
2
0
e
r
m c
=
là
vector bán kính điện từ của electron.
q
e
q
=



vector tán xạ đơn vị
Trong biểu thức (2.8) các biến số spin của nơtron và của bia (tinh thể) được tách
riêng. Sự đơn giản hóa trong tương lai có thể đạt được nếu ta phân tách tổng hóa theo l
thành tổng hóa theo các điện tử của từng nguyên tử

∑
và tổng theo tất cả các nguyên tử
của bia (tinh thể)
j
∑
. Chúng ta chỉ xem xét các tán xạ từ khi trạng thái của mạng không
thay đổi, còn trạng thái
)
a a
được đặc trưng bởi tập hợp được chọn các hình chiếu của
spin để cho các nguyên tử
Trong trường hợp này, có thể viết
j
j
l
z
N
iqR
iqr iqr
l
l j
a e s a e a e s a




 
 
′ ′
=
 
 
 
 
 
∑ ∑ ∑
 
( )
2.9
Ở đó:
j
z
là số các điện tử trong đám mây không lấp đầy của nguyên tử thứ j.
Đối với các nơtron chậm chúng ta có thể chú ý rằng các nơtron này không gây ra
các phép chuyển các nguyên tử vào các trạng thái kích thích năng lượng mà chỉ làm thay
đổi định hướng của spin của nguyên tử
Như vậy: phép chuyển từ
) )
a a
′
→
có dạng
) )
m m
 
′

→
ở đó
m
,
m
′
là tập hợp
được chọn các số lượng tử spin để cho các nguyên tử của bia. Còn

là tập hợp các số
lượng tử còn lại của nguyên tử. Từ các định lý tổng quát của cơ học lượng tử ta suy ra
rằng yếu tố ma trận trong trường hợp cụ thể này biểu diễn dưới dạng:
( )
( )
( )
1
j
iqr
z
N
j
iqr
j
j j
e s S
a e s a m S m m m
S S





 
 
 
 
 
′ ′
=
 
 
 
+
 
 
 
∑ ∑




( )
2.10
Ở đó:
j
z
j
S s


=

∑


là toán tử spin của nguyên tử thứ j.
Còn
j
S
là đại lượng spin
Biểu thức
( )
( )
( )
( )
( )
1 1
j
iqr iqr
z
N
j j
j j j j
j j j j
e s S e s S
F q m m d
S S S S
 
 
 
  
∗

 
 
= = Ψ Ψ
 
+ +
 
 
∑ ∑
∫
 
 

( )
2.11
Ở đó:
j
Ψ
là hàm sóng của các điện tử của nguyên tử thứ j (
j
d

là yếu tố thể tích
trong không gian phân bố của điện tử của nguyên tử thứ j) không phụ thuộc vào số lượng
tử m. Có nghĩa là không phụ thuộc vào sự định hướng của các spin của các nguyên tử và
coi chúng như đặc trưng khả năng tán xạ của nguyên tử. Đại lượng này được gọi là “form
factor” từ của nguyên tử (
( )
j
F q


) (chính xác hơn gọi là “form factor spin”)
( )
j
F q

đặc trưng cho sự phân bố mật độ spin trong nguyên tử
Khi
j
z
=1 thì form factor từ của nguyên tử
( )
j
F q

đơn giản chỉ là biểu diễn phần
Furie của mật độ spin
Khi
j
z
>1 công thức (2.11) dễ dàng được biến đổi. Chúng ta sẽ ký hiệu
( )
r

+

và
( )
r

−


là các hàm spin của các điện tử ở lớp không lấp đầy tương ứng với các spin
1
2
±
(tương đối với hướng của spin của nguyên tử
j
S

tạo từ các hàm này
Các tổ hợp phản đối xứng để cho các lớp không lấp đầy của nguyên tử sao cho nó
mô tả trạng thái với spin tổng cộng S và đặt nó vào hàm
j
Ψ
ở công thức (2.11). Coi các
giá trị riêng của toán tử
( )
j
s S



là
2
S
khi đó spin của điện tử thứ

cộng spin của nguyên tử
và
( )

1
2
S +
khi được trừ đi thay vào công thức (2.11) ta nhận được biểu thức sau đối với
form factor spin:
( ) ( ) ( )
{ }
2 2
1
2
iqr
F q e N r N r dr
S
 
+ + − −
= −
∫
   
( )
2.12
Ở đó
N
+
và
N
−
là các số điện tử trong nguyên tử với các spin tương ứng là
1
2
+

và
1
2
−
. Như vậy, các hàm điện tử được giả định là được chuẩn hóa. Từ (2.12) chúng ta
cho
0q=

( ) ( )
1
0 1
2
F N N
S
+ −
= − =
Do vậy, hiển nhiên
( )
2N N S
+ −
− =
. Biểu thức cuối cùng có thể suy ra trực tiếp từ
biểu thức (2.11). Biểu thức (2.11), cho phép ta thu được ý nghĩa đơn giản của form factor
spin
( )
F q

như thành phần Furie của mật độ spin của nguyên tử
Quay về biểu thức (2.8) chúng ta thấy rằng các phép biến đổi (2.9) và (2.10) cho
phép biểu diễn yếu tố ma trận (2.7) qua các yếu tố ma trận

( )
'
j
m S m

của các toán tử spin
của các nguyên tử riêng rẽ của bia (tinh thể). Kết hợp các biểu thức từ (2.8) đến (2.9)
chúng ta sẽ nhận được biểu thức sau để cho toán tử của tương tác từ
( )
( )
( )
2
0
4
,
j
iqR
p p j j n n
j
V r F q e S S eS e
m


′
= − −
∑


  


  
( )
2.13
Như vậy, tương tác từ của nơtron trong mạng tinh thể xuất hiện do các điện tử tự
do chuyển động. Và bản thân nơtron cũng có mômen từ sinh ra. Thế đặc trưng cho tương
tác này được cho bởi biểu thức
( )
2.13
Trong đó:
2
0
2
0
e
r
m c
=
m - khối lượng nơtron
1.913

= −
- độ lớn mô men từ hóa trên manhêton Bohr hạt nhân
j
S

- Spin của nguyên tử thứ j
l
R

- là véc tơ tọa độ vị trí hạt nhân thứ l

( )
'q p p= −
  
- véc tơ tán xạ
q
e
q
=


- véc tơ tán xạ đơn vị
s

- spin của nơtron tới
( )
*
( )
( 1)
j
iqr
z
j
j j j j
j j
e s S
F q d
S S




  
=
+
∑
∫




 
j

là hàm sóng của nguyên tử thứ j
Như vậy khi xét bài toán của một chùm nơtron chậm không phân cực tán xạ trong
tinh thể, ngoài tương tác hạt nhân chúng còn tương tác từ. Do đó, biểu thức tiết diện tán
xạ vi phân sẽ gồm đóng góp hai phần đặc trưng bởi hai loại tương tác ở trên
'
2
'
2
'
2
p
m
p
n
p
dEd
d
dEd

d
dEd
d
Ω
+
Ω
=
Ω


( )
2.14
Ta thay các biểu thức (1.13), (2.13) vào (2.14) ta tìm được dạng tường minh của
các số hạng trong (2.14)
dteee
p
pm
dEd
d
tRqiRqi
tEE
i
ll
ll
p
n
ll
pp
)()0(
)(

'
'
53
2
'
2
'
'
.
'
)2(






−−
+∞
∞−
−
∫
∑
=
Ω



( )
2.15

2
2
0 '
'
'
'
( ) ( ) ( ) ( ).
m
l l
ll
p
d
p
r F q F q e e
d dE p
  


 

= −

Ω

∑ ∑
 
}
'
'
( )

(0) ( )
'
1
. (0) ( )
2
p p
l l
i
E E t
iqR iqR t
l l
dte S e e S t
 

+∞
−
− −
−∞
∫
 
 


( )
2.16
Với
[ ][ ]
),(
4
1

)()(



eeeseseses −=−−
zyx ,,, =

2.2. Tiết diện vi phân tán xạ của các nơtron phân cực trong tinh thể phân cực
Đặc trưng cho tán xạ của các nơtron phân cực là sự giao thoa giữa tán xạ hạt nhân
và tán xạ từ, mà điều này đã không xảy ra khi nơtron không có sự phân cực. Khi nơtron
phân cực, biểu thức đối với tiết diện tán xạ vi phân có dạng như sau:
{ }
'
2 2
( )
' '
3 5
'
'
. ( )
(2 )
p p
i
E E t
nuc e p p p p
p
d m p
dte Sp V V t
d dE p



  

+∞
−
+
−∞
=
Ω
∫


( )
2.17
Trong đó:


: ma trận mật độ spin của nơtron
nuc

: ma trận mật độ spin của hạt nhân
e

: ma trận mật độ spin của electron
Trạng thái phân cực của chùm nơtron tới được cho bởi ma trận mật độ spin:
)(
2
1
0





pI +=
( )
2.18
Trong đó:


2
1
là toán tử spin của nơtron
0
( )p Sp

 
=
là vectơ phân cực của nơtron và bằng hai lần giá trị trung
bình của spin của nơtron trong chùm
I là ma trận đơn vị
Các thành phần của ma trận Pauli thỏa mãn các hệ thức sau:
2
2
i
     
    
     
    
− =
+ =

( )
2.19
Chúng ta cần nhấn mạnh một điều là biểu thức (2.18) có dạng tổng quát để cho
chùm hạt có các spin là
2
1
. Điều này chỉ có thể suy ra trực tiếp từ các tính chất của các
ma trận Pauli. Rõ ràng rằng khi tiết diện tán xạ của các nơtron đòi hỏi các biểu thức để
cho vết các tích khác nhau của ma trận Pauli
Từ các hệ thức giao hoán (2.19) ta dễ dàng tính được biểu thức các biểu thức cần
thiết:
1
1
2
1
( ) 0
2
SpI
Sp


=
=
1
( )
2
Sp
  
  
=

( )
2.20
1
( )
2
1
( )
2
Sp i
Sp
   
         
   
         
=
= − −
xyz

: Ten xơ hoàn toàn phản đối xứng
'
,
p p
E E
- Năng lượng của nơtron trước và sau khi tán xạ
Vì nơtron tương tác với tinh thể bởi hai loại chủ yếu là tương tác hạt nhân và
tương tác từ. Do vậy đại lượng V
p’p
được viết dưới dạng
2
' 0

1 4 1
( ) ( ) ( , ( ) )
2 2
j
l
iqR
iqR
p p l l l j j
l j
V A B J e r F q e S e e
m

   
 
 
= + − × −
 
 
 
 
∑ ∑







     
( )

2.21
Số hạng thứ nhất mô tả tương tác hạt nhân giữa nơtron với hạt nhân
Số hạng thứ hai mô tả tương tác từ của nơtron với nguyên tử.
l
R

- vectơ tọa độ vị trí của hạt nhân thứ l
'q p p= −
  
- vectơ tán xạ
q
e
q
=


- vectơ tán xạ đơn vị
j
S

- Spin của nguyên tử thứ j
Từ công thức (2.21) ta dễ dàng tìm được
'p p
V
+
và
'
( )
p p
V t

, ta viết thế
'
( )
p p
V t
trong
biểu diễn Heisenberg là:
2
' 0
1 4 1
( ) ( ) .( , ( ) )
2 2
j
l
iqR
iqR
p p l l l j j
l j
V A B J e r F q e S e e
m

   
−
+
 
 
= + − −
 
 
 

 
∑ ∑







     
( )
2.22
'
1
( ) ( )
2
l
i
Ht
iqR
p p l l l
l
V t e A B J e


 
= +

 
 


∑





2
0
4 1
( ) .( , ( ) )
2
j
i
Ht
iqR
j j
j
r F q e S e e e
m

  
−

 

− −

 


 

∑





    
( )
2.23
Như chúng ta thấy từ (1.17) và (1.18) tất cả các bài toán về tán xạ của các nơtron
phân cực trong các chất sắt từ (tinh thể từ) dẫn đến việc cần thiết phải đi tính các vết của
toán tử
( , ( ) )
j j
L S e e
 
= −

   
( )
2.24
Trong tích với toán tử khác và với các ma trận Pauli, kết quả của tính toán đó được
biểu diễn dưới dạng của biểu thức (2.24), trong đó
j
M

là:
))(( eSeSM

jjj





−=
( )
2.25
Như vậy chúng ta sẽ chứng minh một số công thức tính vết dưới đây, để tính tiết
diện tán xạ:
Công thức 1:
{ }
1
2
Sp L M

=


CM:
( )
{ }
1 1
( ) , ( )
2 2
Sp L Sp S e e
   
= −


     
( )
{ }
1
)
2
Sp S S e e
   
= −
 
     


eeSSL )(−=
( )
S e e S
       
   
= −