Phương pháp biến đổi trường trọng lực và việc áp dụng chúng cho khu vực X thuộc thềm lục địa Việt Nam

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN



Phạm Ngọc Chiến




PHƢƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TRƢỜNG TRỌNG LỰC
VÀ VIỆC ÁP DỤNG CHÚNG CHO KHU VỰC X
THUỘC THỀM LỤC ĐỊA VIỆT NAM


Chuyên ngành: Vật lý Địa Cầu
Mã số: 60 44 15


LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC


NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. Nguyễn Đức Vinh


Hà Nội - 2012

MỤC LỤC

Trang

Lời cảm ơn
Mục lục
Danh mục bảng, hình vẽ

MỞ ĐẦU 1
CHƢƠNG 1: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TRƢỜNG TRONG MIỀN KHÔNG GIAN 3
1.1. Phương pháp trung bình hóa 4
1.2. Phương pháp tiếp tục giải tích trường 7
1.2.1. Bài toán tiếp tục giải tích trường lên nửa không gian trên. 9
1.2.2. Bài toán tiếp tục giải tích trường xuống nửa không gian dưới 11
1.3. Tính các đạo hàm bậc cao của thế trọng lực: 13
1.4. Tính đạo hàm ngang cực đại 18
CHƢƠNG 2: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TRƢỜNG TRONG MIỀN TẦN SỐ 19
2.1. Phép biến đổi Fourier 19
2.1.1. Định nghĩa 19
2.1.2. Các định lý về phổ 21
2.2. Biến đổi trường trong miền tần số 26
2.2.1. Lý thuyết chung về biến đổi trường trong miền tần số 26
2.2.2. Các công thức cơ bản để tiếp tục giải tích trường bằng phương pháp phổ 27
CHƢƠNG 3: MỘT SỐ KẾT QUẢ THỬ NGHIỆM TRÊN MÔ HÌNH VÀ KHU VỰC
X THỀM LỤC ĐỊA VIỆT NAM 32
3.1. Thuật toán và chương trình 32
3.2. Mô hình và kết quả thử nghiệm 33
3.3. Kết quả thử nghiệm cho vùng X thuộc thềm lục địa Việt nam 39

KẾT LUẬN 46
TÀI LIỆU THAM KHẢO 47



2

DANH MỤC BẢNG, HÌNH VẼ

Trang

Bảng 2.1. Đặc trưng tần số của các phép biến đổi trường trọng lực 31

Hình 1.1. Sơ đồ tính chuyển trường lên nửa không gian trên. 10
Hình 1.2. Minh họa cho công thức 1.34 13
Hình 1.3. Palet Malovisko (a), Vexelop (b), Chepkin (c) 17
Hình 1.4. Palet tính đạo hàm ngang 17
Hình 2.1. Vị trí của mặt quan sát, mặt tính chuyển và vật thể 28
Hình 3.1. Trường trọng lực của quả cầu và các đạo hàm 33
Hình 3.2. Trường trọng lực của cầu thể ở trung tâm 34
Hình 3.3. Trường trọng lực mô hình có ba cầu thể 34
Hình 3.4. Tính trung bình trường (bán kính 3 km) 35
Hình 3.5. Tính trung bình trường (bán kính 7 km) 35
Hình 3.6. Tính đạo hàm thẳng đứng (bậc 1) 36
Hình 3.7. Tính hạ trường xuống 1 km 36
Hình 3.8. Tính nâng trường lên 1 km 37
Hình 3.9. Tính nâng trường lên 3 km 37
Hình 3.10. Tính nâng trường lên 5 km 38
Hình 3.11. Tính đạo hàm ngang cực đại 38
Hình 3.12. Bản đồ trọng lực Bughe khu vực X 39

Hình 3.13. Sơ đồ cấu trúc kiến tạo khu vực X [4] 40
Hình 3.14. Bản đồ nâng trường lên 5 km 41
Hình 3.15. Bản đồ nâng trường lên 10 km 41
Hình 3.16. Bản đồ nâng trường lên 15 km 42
Hình 3.17. Bản đồ nâng trường lên 20 km 42
Hình 3.18. Bản đồ nâng trường lên 30 km 43
Hình 3.19. Tính đạo hàm ngang cực đại trên nền trường nâng mức 5 km 44
Hình 3.20. Tính đạo hàm ngang cực đại trên nền trường nâng mức 15 km 44
Hình 3.21. Tính đạo hàm ngang cực đại trên nền mức nâng 20 và 30 km 45




1
MỞ ĐẦU

Phương pháp thăm dò trọng lực là một trong những phương pháp địa vật lý
được sử dụng từ rất sớm và rộng rãi ở Việt Nam. Thăm dò trọng lực đã đóng góp
một vai trò rất lớn trong nghiên cứu địa chất, dầu khí những năm qua. Phương pháp
địa vật lý này rất có thế mạnh trong nghiên cứu cấu trúc địa chất, nhất là cấu trúc
sâu. Trong thăm dò dầu khí, thăm dò trọng lực cũng đóng vai trò đáng kể. Những
năm gần đây, thăm dò trọng lực rất được quan tâm trong việc nghiên cứu cấu trúc
địa chất vùng thềm lục địa.
Biến đổi trường trọng lực quan sát được là một trong các bài toán cơ bản và
quan trọng trong lĩnh vực phân tích và xử lý số liệu. Từ các số liệu quan sát được,
sau khi tiến hành các hiệu chỉnh cần thiết người ta có thể tính chuyển lên xuống các
mức khác nhau so với mức quan sát được, có thể tính các đạo hàm, làm trơn với các
mức độ khác nhau Nhìn chung, mục đích của bài toán biến đổi trường là để nhấn
mạnh thành phần nào đó của trường và giảm bớt ảnh hưởng của thành phần trường
mà ta chưa hoặc không quan tâm.

Bài toán biến đổi trường thế nói chung đã được các thày giáo và nhiều thế hệ
sinh viên ở bộ môn Vật lý địa cầu, trường ĐH Khoa học Tự nhiên quan tâm nghiên
cứu. Nhiều phần mềm loại này có xuất sứ từ bộ môn đã được cả các cơ sở bên ngoài
trường sử dụng. Tuy nhiên, chúng ta đều biết, các bài toán biến đổi thông tin rất khó
tránh khỏi sự mất mát hoặc méo mó một phần nào đó của thông tin ban đầu. Trong
phạm vi bản luận văn này, học viên được giao nhiệm vụ tìm hiểu lý thuyết, xây dựng
chương trình và thử nghiệm xem xét một bài toán ứng dụng nhỏ của phép biến đổi
trường trong nghiên cứu địa chất trên một khu vực thuộc thềm lục địa Việt nam.
Bài toán đặt ra thuộc loại cơ bản, truyền thống, được trình bày trong các tài
liệu giáo khoa nhưng đối với một học viên mới làm quen với lĩnh vực địa vật lý,
nhiệm vụ đặt ra vẫn là mới mẻ. Các kết quả thử nghiệm có được mới chỉ là khởi đầu.
Luận văn với tiêu đề “Phương pháp biến đổi trường trọng lực và việc áp dụng
chúng cho khu vực X thuộc thềm lục địa Việt Nam” được trình bày trong ba chương:


2
Chƣơng 1: Các phương pháp biến đổi trường trong miền không gian
Chƣơng 2: Các phép biến đổi trường trong miền tần số
Chƣơng 3: Một số kết quả thử nghiệm trên mô hình và khu vực X thềm lục
địa Việt nam
Do thời gian và trình độ còn hạn chế, chắc chắn luận văn còn những khiếm
khuyết, rất mong được các thầy các cô chỉ bảo, bổ khuyết.

3
CHƢƠNG 1
CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TRƢỜNG TRONG MIỀN KHÔNG GIAN

Các dị thường trọng lực quan sát được phản ánh toàn bộ hiệu ứng trọng lực do
các yếu tố địa chất gây ra. Trong trường tổng cộng mỗi yếu tố địa chất đó đều có
đóng góp một phần nhất định. Vì vậy, trong khi giải quyết các nhiệm vụ địa chất cụ
thể, từ trường tổng đó phải tách ra được các thành phần trường riêng biệt có liên hệ
trực tiếp đến đối tượng cần nghiên cứu. Muốn vậy, người ta phải tiến hành biến đổi
trường quan sát được nhằm nhấn mạnh thành phần trường cần thiết (được coi là
phần hữu ích) và làm yếu đi các thành phần khác (được coi là nhiễu). Như vậy, các
phép biến đổi trường dị thường trọng lực có điểm chung như phép lọc nhiễu, phân
tách tín hiệu trong lý thuyết truyền tin. Mục đích chính của phép biến đổi trường
trọng lực (hoặc từ) là tách trường quan sát thành các thành phần tương ứng với đối
tượng địa chất nằm ở các độ sâu khác nhau.
Hiện nay có rất nhiều phương pháp biến đổi trường dị thường trọng lực. Tuỳ thuộc
vào phép biến đổi mà hàm số sau khi biến đổi có thể có thứ nguyên của hàm số xuất phát
(nhưng thuộc về mức khác) hoặc là các đạo hàm của hàm xuất phát. Các đạo hàm sau
khi biến đổi có thể thuộc mức xuất phát hoặc là mức mới. Các hàm biến đổi đôi khi có
thứ nguyên là tích của hàm xuất phát với toạ độ.

Dưới dạng toán học, tất cả các phép biến đổi đều được biểu diễn bằng công
thức sau đây [3]:
V
bđ
(x0,y0,z0)=

ddzyxKV
xp

 )0,0,0()0,,(
(1.1)
Trong trường hợp bài toán ba chiều, và:
V
bđ
(x0,z0)=


 dzxKV
xp
)0,0()0,(
(1.2)
Trong trường hợp bài toán hai chiều, trong đó:
+
( 0, 0, 0)
bd
V x y z
và
( 0, 0)
bd
V x z

là các hàm số đã được biến đổi.
+
)0,,(

xp
V
và
)0,(

xp
V
là các hàm số xuất phát (trường tổng).


4
+
)0,0,0( zyxK


và
)0,0( zxK


là các nhân biến đổi (đôi khi còn gọi là
các hàm trọng số).
Vì
)0,0,0( zyxK


và

)0,0( zxK


thường là các toán tử tuyến tính nên tất
cả các biến đổi tương ứng gọi là các biến đổi tuyến tính.
Phép biến đổi trường trọng lực và từ trong miền không gian chia làm ba
nhóm chính:
+ Trung bình hoá.
+ Tiếp tục giải tích các dị thường trọng lực (xem như là các hàm điều hoà).
+ Tính các đạo hàm bậc cao của thế trọng lực.
Chúng ta lần lượt xét đến các nhóm phương pháp trên.
1.1. Phƣơng pháp trung bình hóa
Việc phân chia các dị thường trọng lực ra thành các thành phần khu vực và địa
phương nhờ phương pháp trung bình hoá được sử dụng rộng rãi trong thực tế. Bản
chất của phương pháp trung bình hoá như sau: Xem trường trọng lực quan sát được
gồm hai thành phần, thành phần khu vực V
r
và thành phần địa phương V
l
.
V = V
r
+ V
l
(1.3)
Lấy trung bình trường quan sát được trong phạm vi của đường tròn bán kính
R. Giá trị trung bình đó được biểu diễn bằng tích phân sau [1,2,3]:
V
(0,0,0)=
2

1
R


2
00
( , ,0)V r rdrd





(1.4)
Bán kính R được chọn sao cho lớn hơn nhiều so với kích thước của các dị
thường địa phương và nhỏ hơn nhiều so với kích thước của các dị thường khu vực.
Khi thoả mãn điều kiện này thì thành phần khu vực được tách riêng ra từ trường
quan sát. Do các dị thường địa phương âm và dương bù trừ lẫn nhau trong khi đó
các thành phần khu vực ít bị thay đổi. Do đó V

V
r
, trường hợp đặc biệt nếu
trường khu vực thay đổi theo quy luật tuyến tính nó hoàn toàn không bị thay đổi khi
lấy trung bình, tức:
V
(0,0,0) = V
r
(0,0,0)
(1.5)

5
Sau khi tính được trường khu vực V
r
, trường dị thường địa phương tính theo
công thức:
V
l
= V -
V

(1.6)
Để làm sáng tỏ ý nghĩa vật lý của phương pháp trung bình hoá, người ta đưa
vào khái niệm về mức độ trung bình hoá, đó là tỷ số giữa trường được trung bình
hoá và trường xuất phát.
V
V


(1.7)
Mức độ trung bình hoá đồng thời đặc trưng cho mức độ chính xác của việc
tách trường địa phương.
Trong thực tế bán kính trung bình hoá R được chọn bằng phương pháp thực
nghiệm theo trường đo được bằng cách áp dụng phương pháp tại các điểm khác
nhau của trường với các bán kính trung bình khác nhau người ta vẽ đồ thị biểu diễn
sự phụ thuộc giữa trường trung bình và bán kính trung bình. Theo đồ thị [1] ta sẽ
chọn được bán kính trung bình tối ưu R
tư
, R
tư

được chọn là đại lượng R mà từ đó
Vz(R) không thay đổi theo R nữa, hoặc R
tư
là giá trị Vz(R) của R tương ứng với
điểm uốn.

Trong phương pháp trung bình hoá, ngoài cách lấy trung bình theo vòng tròn
người ta còn lấy trung bình theo các hình khác nhau. Một trong các hình hay được
dùng là hình vuông , nhờ có Pa-lét vuông mà khối lượng phép tính được giảm đi rất


6
nhiều. Phương pháp trung bình hoá cũng như phép biến đổi trường trong miền
không gian thường được thực hiện bằng Pa-lét. Người ta đưa ra các tiêu chuẩn để
đánh giá khả năng lọc của Pa-lét qua việc đánh giá độ sâu. Đó là quá trình theo dõi
sự biến đổi dị thường theo chiều sâu do một đơn vị nguồn điểm nằm tại độ sâu Z
chứa toàn bộ nguồn của dị thường cần tách ra.
Trong phương pháp trung bình hoá, để đánh giá độ sâu người ta thường đưa
vào một đại lượng gọi là đại lượng đặc trưng tương đối ký hiệu là N(z). Đại lượng
này được định nghĩa như sau:
Đặc trưng độ sâu tương đối N(z) là tỷ số giữa dị thường trọng lực đã biến đổi
và khi chưa biến đổi.
N(z) =
)(
)(
zMbt
zM

Nhờ biểu thức này ta sẽ biết vật thể ở độ sâu Z sau phép biến đổi dị thường của
nó biến đổi như thế nào.

M(z) - Dị thường trọng lực sau biến đổi.
M
bt
(z) - Dị thường trọng lực chưa biến đổi.
Các công thức này được Andrêep và Klusin xây dựng công thức tính như sau:
M
bt
(z) =

 
 

dJgd )()(
0
0 0
2
0
1
z
de
z






(1.8)
+
)(


g
là giá trị trung bình của trường dị thường được quan sát trên đường
tròn bán kính

nhận được sau khi tính toán với các giá trị đọc được tại các điểm
nút của Palét.
+
),(
0

J
là hàm Bessel loại 1 cấp 0, nó khác với hàm J
0
(x) và J
1
(x) giống như
sự khác biệt của
)( xCOS

và
)( xSIN

với COS(x) và SIN(x).
+

đóng vai trò như tần số vòng trong trường hợp hàm điều hoà.
Còn M(z) =
R
e

R
RJ






0
1
)(2
=
)(
2
2222
RZZRZ 
(1.9)




7
Thay M(z) và M
bt
(z) vào N(z) ta có:
N(z) =
)(
2
2222
2

RZZRZ
Z

(1.10)
với : Z- Độ sâu đến vật thể gây ra dị thường.
R- Bán kính trung bình hoá.
Theo công thức trên ta thấy N(z) là một hàm phụ thuộc vào độ sâu thế nằm Z.
Khảo sát hàm N(z) thấy Z
0
thì N(z)
0

Z

thì N(z)
1


Nhìn đồ thị ta thấy dị thường gây ra bởi các vật thể nằm ở độ sâu bằng khoảng
lấy trung bình Z = 2R và độ sâu hơn nữa là hầu như không thể thay đổi. N(
rz
) bắt
đầu tiệm cận với N(
rz
) = 1 từ
rz
= 2. Có thể chọn Z=2R làm độ sâu nghiên cứu.
R là bán kính trung bình hoá tối ưu. Có thể xác định R theo cách trình bày ở trên,
biết R tìm được ra Z.
1.2. Phƣơng pháp tiếp tục giải tích trƣờng.

Cơ sở của phương pháp tiếp tục giải tích trường các dị thường trọng lực và từ
là: Hàm thế được xem như một hàm điều hoà.
Theo lý thuyết trường thế, nếu biết trước sự phân bố của các hàm thế hay các
đạo hàm của chúng trong một miền nào đó không chứa vật thể gây dị thường, ta có
thể xác định chúng trong toàn bộ không gian kể cả phần bên trong của vật thể chỉ


8
trừ các điểm đặc biệt, tại đó tính điều hoà của hàm số không tồn tại. Việc xác định
hàm điều hoà V(x,y,z) và các đạo hàm của nó trong miền tồn tại hàm theo các giá
trị cho trước tại một miền hẹp nào đó được gọi là tiếp tục giải tích trường. Cần phải
chú ý rằng các đạo hàm của thế trọng lực và từ cũng là những hàm điều hoà.
Phương pháp tiếp tục giải tích các dị thường trọng lực và từ không những được
sử dụng rộng rãi để tách các dị thường mà đôi khi còn được sử dụng để xác định các
thông số của vật thể gây nên dị thường. Các dị thường do các vật thể có kích thước
khác nhau và nằm ở những độ sâu khác nhau sẽ bị biến đổi khác nhau trong quá
trình tiếp tục giải tích.
Để thấy rõ ý nghĩa của việc tiếp tục giải tích các dị thường trọng lực ta xét ví
dụ sau:
+ Hai quả cầu, một nằm ở độ sâu h có khối lượng M, một nằm ở độ sâu nh và
có khối lượng n
3
M. Các dị thường trọng lực do các quả cầu gây ra trên mặt đất tại
điểm trên tâm cầu tương ứng là:
V
z1
(0,0,0) =
2
h
kM

(1.11)
V
z2
(0,0,0) =
22
3
hn
Mkn
=
2
h
kMn
(1.12)
Tức là:
n
V
V
z
z

1
2
(1.13)
nếu tiếp tục giải tích các dị thường này lên độ cao H = h, thì:
V
z1
(0,0,-H) =
2
4h
kM

và V
z2
(0,0,-H) =
22
3
)1( nh
Mkn

Nên
3
2
2
1
(0,0, ) 4
(0,0, ) ( 1)
z
z
V H n
n
V H n




(1.14)
Khi n

1.
Như vậy, khi tiếp tục giải tích các dị thường trọng lực lên nửa không gian trên
thì các dị thường do các khối vật chất nằm nông hơn sẽ giảm đi rất nhiều so với các

dị thường có nguồn gốc sâu hơn.


9
Bây giờ ta lại tiếp tục giải tích các dị thường đó xuống nửa không gian bên
dưới đến độ sâu H=0.5h. Tương ứng ta có:
V
z1
(0,0,H)

=
2
4
h
kM
và V
z2
(0,0,H) =
22
3
)12(
4
nh
kMh

n
n
n
HV
HV

z
z

2
3
1
2
)12(
),0,0(
),0,0(


(1.15)
khi n>1.
Điều này chứng tỏ rằng, khi tiếp tục giải tích các dị thường trọng lực xuống
nửa không gian bên dưới thì dị thường khu vực V
z2
tăng lên chậm so với dị thường
địa phương V
z1
. Dị thường địa phương được làm rõ hơn qua phép biến đổi.
Sau đây là một số bài toán tiếp tục giải tích cụ thể.
1.2.1. Bài toán tiếp tục giải tích trường lên nửa không gian trên.
Nếu hàm điều hoà cho trước trên hình cầu hay trên mặt phẳng thì để xác định
hàm đó trong không gian ngoài người ta có thể sử dụng công thức Poisson.
Trong hệ toạ độ vuông góc, trục Z hướng xuống dưới, tích phân Poisson có dạng:
V(x,y,-z) =
 
 









2
23
222
)(x)-(
)0,,(
2
zy
ddVz
(1.16)
Trong đó: V(x,y,-z) là giá trị của hàm điều hoà tại điểm (x,y,-z)
V(
0,,

) là giá trị của hàm điều hoà tại điểm trên mặt phẳng x0y.
Trong hệ toạ độ trụ thẳng đứng (r,
,

z) có gốc toạ độ nằm tại hình chiếu của
điểm cần tính hàm trên mặt phẳng x0y thì tích phân Poisson trên sẽ có dạng:
V(x,y,-z) =





rdrd
zr
rVz



2
0 0
2322
)(
)0,,(
2
(1.17)
Nếu biến đổi tích phân Poisson trong hệ toạ độ vuông góc bằng cách lấy tích
phân theo biến

từ

ta sẽ thu được tích phân Poisson trong trường hợp hai
chiều:
V(x,-z) =




d
zx
Vz





22
)(
)0,(
(1.18)



10
Đối với điểm có toạ độ (0,-h) nằm tại độ cao h thì:
V(0,-h) =




d
h
Vh




22
)0,(
(1.19)
Trên cơ sở các biểu thức dạng (1.18),(1.19) người ta đã xây dựng các palet
dùng cho việc tính chuyển trường lên các mức cao hơn mặt quan sát [1,2,3].
Để có thể tính toán trực tiếp mà không sử dụng palet, có thể đưa (1.18) về

dạng đơn giản hơn [6]. Biểu thức (1.18) không phụ thuộc vào gốc tọa độ mà phụ
thuộc vào hiệu -x nên ta có thể đặt gốc tọa độ ở vị trí trái nhất của tuyến quan sát.
Ta chia đoạn tuyến quan sát ra các khoảng  đều nhau, sao cho điểm quan sát nằm
ở trung tâm khoảng chia ấy. Giả sử có m điểm quan sát thì khoảng tích phân sẽ là từ
0 đến m như hình 1.1.

Hình 1.1. Sơ đồ tính chuyển trƣờng lên nửa không gian trên.

Biểu thức (1.18) có thể biến đổi như sau [6]:
V(x,-z) =
22
0
1 ( ,0)
()
m
zV
d
xz








22
/2
1
/2

1
( ,0)
()
j
j
m
j
j
z
Vd
xz










=
=
1
()
1
( ,0)
m
j
j

j
V C x




(1.20)
Ở đây,
( ,0)
j
V

là giá trị trường quan sát, còn các hệ số
()
j
Cx
được xác định :
()
j
Cx
= arctg
/2
j
x
z

  
- arctg
/2
j

x
z

  
(1.21)


11
Công thức (1.20) và (1.21) khá thuận tiện cho việc tính toán, trong khóa luận
này chúng tôi sẽ tính toán theo các công thức này. Trong thực tế, giá trị trường ở độ
cao z được tính ở cùng tọa độ quan sát, nghĩa là x
1
=
1
, x
2
=
2

1.2.2. Bài toán tiếp tục giải tích trường xuống nửa không gian dưới
Việc tiếp tục giải tích các hàm điều hoà xuống nửa không gian bên dưới phức
tạp hơn nhiều so với việc tiếp tục giải tích xuống nửa không gian bên trên. Bài toán
tiếp tục giải tích xuống nửa không gian bên dưới là bài toán không ổn định với mỗi
biến đổi nhỏ của hàm xuất phát sẽ cho giá trị của hàm được tiếp tục giải tích xuống
dưới bị sai lệch đi rất nhiều.
Hiện nay có rất nhiều phương pháp để tính chuyển trường xuống nửa không
gian bên dưới nhưng ta chỉ xét đến một vài phương pháp thường được sử dụng.
* Phƣơng pháp thứ 1 :
Để tiếp tục giải tích trường ta sử dụng trực tiếp công thức Poisson tương tự
(1.18) [2]:

V(0,0) =




22
),(
h
hVh




d
(1.22)
Do hàm số chưa biết V(
h,

) nằm dưới dấu tích phân nên để giải bài toán này
ta phải giải phương trình tích phân. Có thể giải phương trình này bằng phương pháp
gần đúng liên tiếp. Bản chất của phương pháp đó như sau:
Trường ở độ cao h so với mặt quan sát sẽ có độ lớn nhỏ hơn so với độ lớn
trường tại mặt quan sát, ta có độ chênh lệch đó, tạm gọi là
V
1

( giả sử trục z hướng
xuống dưới):
V
1


= V(0,0) – V(0,-h) (1.23)
Tương tự, giữa trường ở mặt quan sát và trường ở độ sâu h:
V
1

= V(0,h) – V(0,0) (1.24)
ở đây ta giả sử hiệu số này không đổi khi h thay đổi [3,5], lúc đó với mức gần
đúng bậc nhất thì:
V(0,h) = V(0,0) +
V
1

(1.25)
hay:
V(0,h) = 2V(0,0) – V(0,-h) (1.26)


12
Sau đó tiếp tục tính chuyển trường lên mức –2h thì ta sẽ có hiệu số giới nội
trong khoảng (-h,-2h) và ký hiệu hiệu số giới nội này là

2
V, ta sẽ có công thức
gần đúng:
V(0,h) = V(0,0) +
V
1

+


2
V (1.27)
hay :
V(0,h)=3V(0,0) – 3V(0,-h) + V(0,-2h) (1.28)
Tiếp tục làm như trên đến hiệu số thứ n thu được công thức gần đúng:
V(0,h) =
),0()1(
1
1
0
khVC
k
n
n
k
k





(1.29)
Thay các hàm số V(0,-kh) trong công thức trên bằng tích phân Poisson và tách
riêng số hạng đầu tiên của tổng, ta có:
V(0,h) = (n+1)V(0,0) +














d
hk
Vkh
C
k
n
k
n
k
222
1
1
1
)0,(
)1(
(1.30)
Với:
C




1
1
k
n
)!()!1(
)!1(
knk
n


(1.31)
Để tính tích phân này người ta thay bằng tổng các tích phân có cận giới nội,
khi đó:
V(0,h) = (n+1) V(0,0) +
i
i
i
KV



(1.32)
Với
)(
1
)1()1(
1
1
1
1

22
1
1
1
1
kh
arctg
kh
arctgC
hk
dkh
CK
ii
k
n
n
k
kk
n
k
n
k
i
i
i






















(1.33)
Dựa vào công thức trên có thể thành lập các Pa-let để tính chuyển trường
xuống nửa không gian dưới.
* Phƣơng pháp thứ 2.
Phương pháp này sử dụng định lý trung bình của Gauss. Trong trường hợp bài
toán hai chiều, ông cho rằng giá trị trung bình của hàm thế trên vòng tròn chính
bằng giá trị của hàm tại tâm vòng tròn đó:


13
V(0,0) =


drV

r

),(
2
1
(1.33)
Thay phép lấy tích phân bằng phép lấy tổng và giới hạn số điểm lấy tổng bằng
4, như trên hình 1.2:
V(0,0) = [V(-h,0) + V(h,0) + V(0,-h) + V(0,h)]/4 (1.34)
V(0,h) = 4V(0,0) – V(-h,0) - V(h,0) - V(0,-h) (1.35)


Hình 1.2. Minh họa cho công thức 1.34

Trong trường hợp bài toán 3 chiều, ta thay giá trị trung bình của hàm trên vòng
tròn bằng giá trị trung bình của hàm trên hình cầu với 6 điểm đặc trưng, trong đó có
4 điểm nằm trên mặt phẳng xích đạo và 2 điểm ở 2 cực [5]:
V(0,0,h) = 6V(0,0,0) – V(0,0,-h) - 4
)(rV
(1.36)
)(rV
=
4
1
[V(-h,0,0) + V(h,0,0) + V(0,-h,0) + V(0,h,0)] (1.37)
nhờ các công thức trên ta có thể tiếp tục giải tích xuống nửa không gian dưới theo
phương pháp mạng lưới.
1.3. Tính các đạo hàm bậc cao của thế trọng lực:
Khi phân tích các số liệu trọng lực, việc tính toán các đạo hàm bậc cao của thế
trọng lực đóng vai trò quan trọng. Trong nhiều trường hợp các đạo hàm bậc cao cho

phép đơn giản nhiều các thông số của vật thể. Việc tính các đạo hàm bậc cao hơn so
với các thành phần đo được cũng cho phép người ta phân chia trường thành các
thành phần khu vực và địa phương riêng biệt.


14
Để tìm các công thức tính đạo hàm bậc cao của thế trọng lực theo các giá trị
quan sát được trên mặt đất, người ta có thể vi phân công thức Poisson (1.16) hay
(1.17) hoặc dùng nghiệm của bài toán Neuman. Bài toán Neuman là bài toán tính
hàm V(x,y,z) trong miền

bị giới hạn bởi mặt S và thoả mãn các điều kiện sau :
+ Hàm V(x,y,z) liên tục trong toàn bộ miền

, kể cả mặt S.
+ V(x,y,z) trong miền

phải thoả mãn phương trình Laplax (điều kiện để
V(x,y,z) là hàm điều hoà).
+ Đạo hàm theo pháp tuyến của hàm V trên mặt S phải nhận giá trị cho trước.
Hàm thế trọng lực là hàm thoả mãn cả 3 điều kiện trên. Trong hệ toạ độ Đề
các, nghiệm của bài toán Neuman ngoài được xác định bằng công thức:
V(x,y,z) =
 
 






2
1
222
)(x)-(
)0,,(
2
1
zy
ddV
z



(1.38)
Như vậy là khi xác định được V
z
trên mặt phẳng z=0 (tức là xác định được
g
trên mặt phẳng quan sát) người ta có thể dựa vào công thức trên để tính hàm thế V.
Sau khi đã xác định được hàm V, bằng cách lấy đạo hàm theo các toạ độ tương ứng
người ta có thể xác định được các đạo hàm với các bậc khác nhau của thế trọng lực.
Trên cơ sở này công thức tổng quát để tính các đạo hàm bậc cao của thế trọng
lực có dạng:
 




dd
zyx

zyx
V
zyx
zyxV
pnm
pnm
z
pnm
pnm


















 
2
1

)()(
1
)0,,(
2
1),,(
(1.39)
Trong thực tế để tiện lợi cho việc tính toán, người ta thường viết các công thức
tính đạo hàm trong hệ toạ độ trụ. Sau đây là một số công thức thường dùng trong
thực tế:
V(0,0,-z) =






2
0 0
22
2
1
)(
)0,,(
2
1
zr
rdrdrV
z
(1.40)
V








2
0 0
22
2
2
3
)(
cos)0,,(
2
1
),0,0(
zr
drdrrV
z
z
x
(1.41)
V








2
0 0
22
2
2
3
)(
sin)0,,(
2
1
),0,0(
zr
drdrrV
z
z
y
(1.42)


15
V









2
0 0
22
22222
2
5
)(
)sincos2)(0,,(
2
1
),0,0(
zr
rdrdzrrrV
z
z
xx
(1.43)

V








2
0 0

22
22222
2
5
)(
)cossin2)(0,,(
2
1
),0,0(
zr
rdrdzrrrV
z
z
yy
(1.44)
V









2
0 0
22
3
2

5
)(
2cos)0,,(
2
3
),0,0(
zr
drdrrV
z
z
(1.45)
V








2
0 0
22
22
2
5
)(
)2)(0,,(
2
1

),0,0(
zr
rdrdzrrV
z
z
zz
(1.46)

V







2
0 0
22
2
2
5
)(
cos)0,,(
2
3
),0,0(
zr
drdzrrV
z

z
xz
(1.47)

V







2
0 0
22
2
2
5
)(
sin)0,,(
2
3
),0,0(
zr
drdzrrV
z
z
yz
(1.48)
2V








2
0 0
22
3
2
5
)(
2sin)0,,(
2
3
),0,0(
zr
drdrrV
z
z
xy
(1.49)
Ngoài những công thức để tính đạo hàm bậc một và hàm bậc hai như trên,
trong thực tế người ta còn sử dụng công thức tính đạo hàm bậc ba V
zzz
vì nó cho độ
phân giải cao. Để tính V
zzz

người ta sử dụng công thức Laplax. Tại một điểm bất
kỳ theo phương nằm ngang V
zzz
được xác định theo công thức:






 )2(
12
1
)2(
12
1
)(
3
4
)(
3
4
)(
2
51
)(
2
haVhaVhaVhaVaV
h
aV

zzzzzzzz
(1.50)
với, a, (a-h), (a-2h), (a+h), (a+2h) là các điểm nằm trên một đường thẳng và
cách nhau một khoảng là h.
Ngoài công thức trên còn sử dụng một công thức khác:
V
 
)()0(
4
2
hVV
h
zzzzz

(1.51)
)(hV
z
là giá trị trung bình của V trên đường tròn bán kính h.


16
Để đưa các công thức tính đạo hàm 3 chiều về trường hợp 2 chiều ta lấy tích
phân biến

từ (-
,
) trong bài toán Neuman và trong hệ Đềcac:
V(x,-z) =
 





d
zx
LnV
z
2
1
22
)(
1
)0,(
1




(1.52)
Công thức tổng quát để tính đạo hàm hai chiều là:
 




d
zx
Ln
aa
a

VzxV
aa
a
p
z
m
x
pm
z
p
z
m
x
pm
2
1
22
)(
1
)0,(
1
),(







(1.53)

Sau đây là một số công thức tính đạo hàm trong trường hợp 2 chiều:
V










d
z
Vz
zx
22
)0,(
1
),0(
(1.54)
V











d
z
Vz
xz
22
)0,(
1
),0(
(1.55)
V





d
z
VzVzVz
zxxxx
2
22
)0,(
1
),0(),0(),0(







(1.56)
V











d
z
z
Vz
zzz
222
22
)(
)0,(
1
),0(
(1.57)
V






d
z
z
Vz
zxz
222
)(
)0,(
2
),0(





(1.58)
Trong trường hợp 3 chiều các công thức tính V
x
, V
y
,V
xx
,V
yy
,V
zz
và trong

trường hợp hai chiều các công thức tính V
x
,V
z
khi z=0 là các tích phân đặc biệt,
chúng chỉ hội tụ với những điểm đặc biệt của hàm số V. Để tránh khó khăn này ta
thay V(r,
0,

) bằng V(r,
0,

)– V(0,0,0). Việc thay thế này không ảnh hưởng tới kết
quả tính, nhờ các thay thế này mà các thành phần sẽ nhận các giá trị giới nội [3,5].
Để tính gần đúng tích phân trên trong trường hợp 3 chiều, người ta chia toàn
bộ diện tích lấy tích phân bằng những vòng tròn đồng tâm và các tia xuyên tâm. Với
hướng tính như vậy, rất nhiều palet được xây dựng giúp cho việc tính toán các đạo
hàm được tiện lợi như palet Malovisco, palet Vexelop, palet Chepkin để tính đạo
hàm thẳng đứng và palet để tính đạo hàm ngang [5].


17

Hình 1.3. Palet Malovisko (a), Vexelop (b), Chepkin (c)


Hình 1.4. Palet tính đạo hàm ngang
Nhìn chung, các sách giáo khoa kinh điển về thăm dò từ và trọng lực
[1,2,3,4,5,6] đều không đưa các công thức giải tích để có thể tính toán các đạo hàm
bậc cao của thế trọng lực. Trong trường hợp bài toán hai chiều, một số tác giả đề

xuất cách tính đơn giản theo định nghĩa đạo hàm [6,8]:
(1.59)



18
(1.60)
Công thức (1.59), (1.60) để tính đạo hàm theo phương nằm ngang và thẳng đứng.
1.4. Tính đạo hàm ngang cực đại
Việc tính đạo hàm ngang (tương tự (1.59) hay trong miền tần số) không có gì
mới lạ, bài toán này nhằm xác định điểm uốn của đường cong quan sát. Điểm uốn
của đường cong trường trọng lực quan sát thường là nơi chuyển tiếp giữa hai khối
có mật độ khác nhau.
Với số liệu quan sát trên diện, ta có thể tính được đào hàm theo cả chiều x và y
như sau:
(1.61)
Hướng của véc tơ gradient tổng xác định theo qui tắc hình bình hành:
(1.62)
Giá trị cực đại H[G(x,y,z)] và điểm có cực đại X
max
được xác định bằng đa
thức bậc 2 dạng: a X
2
max
+ b X
max
+ c . Đây là đường cong hồi qui đi qua điểm
xem xét và hai điểm lân cận.

19
CHƢƠNG 2
CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TRƢỜNG TRONG MIỀN TẦN SỐ

Ta sẽ chuyển sang việc nghiên cứu các phép biến đổi trường bằng phương
pháp phổ. Để thực hiện việc này phải sử dụng phép biến đổi Fourier và các ứng
dụng của nó trong miền tần số ta sẽ xem xét qua về phép biến đổi Fourier và các
định lý về phổ [3,4].
2.1. Phép biến đổi Fourier
2.1.1. Định nghĩa
Một hàm F(x) không tuần hoàn bất kỳ và có giới hạn nào đó có thể được biểu
diễn dưới dạng tích phân Fourier:
F(x)=



deS
xj



)(
1
(2.1)
Trong đó:
S(
dxexF
xj








)()
(2.2)
Theo (II-1) và (II-2) với j=
1
,

là tham số đo bằng Radian/m.
Hàm số không tuần hoàn F(x) được biểu diễn bằng tổng vô cùng lớn các hàm
có các thành phần tuần hoàn vô cùng nhỏ, rất gần với tần số. Người ta gọi mối quan
hệ giữa F(x) và S(

) là phép biến đổi Fourier, trong đó

là tần số, S(

) là phép
biến đổi Fourier, trong đó

là tần số, S(

) là phổ phức của hàm F(x),
)(

S

là
Modun của phổ:
)(Im)(Re)(
22

SssS 
(2.3)
Trong đó, Res(

) là phần thực của phổ.
Ims(

) là phần ảo của phổ.
Góc
)(Re
)(Im
)(



s
s
Arctg
(2.4)
gọi là phổ pha.
Biến đổi Fourier 2 chiều của F(x,y) có dạng:


20
F(x,y)=

()
1
( , )
2
j uv vv
S u v e dudv


 


(2.5)
ở đây
S(u,v)=
 





dxdyeyxF
vyuxj )(
),(
2
1

(2.6)
là phổ của hàm F(x,y), u và v là các tần số.
Trong hệ toạ độ cực thì x=rcos


, y=rsin

, u=

cos

, v=

sin

,
dxdy=rdrd

, dudv=

d

d

.
Khi đó, nếu x, y biến thiên từ

thì r biến đổi từ 0

còn

từ 0

2


và

,

cũng bị biến đổi như vậy nếu u và v biến thiên từ

.
Chuyển sang hệ toạ độ cực, ta có:
F(

,r
)=




ddeS
jr )sinsincos(cos
2
0 0
),(
2
1



=
=





ddeS
jr )cos(
2
0 0
),(
2
1



(2.7)
Lấy tích phân vế trái và vế phải của biểu thức trên theo

và đặt:
F(r)=



drF

2
0
),(
2
1
(2.8)
là giá trị trung bình của F(r,


) trên đường tròn bán kính
22
yxr 

và






2
0
),(
2
1
)( dSS
(2.9)
là giá trị trung bình của
),(

S
trên đường tròn bán kính
và
F(r)=




ddeS

jr )cos(
0
2
0
)(
2
1


 
(2.10)
22
vu 



21
hay
F(r)=




dedS
jr


 2
0
)cos(

0
)(
2
1
(2.11)
về mặt toán học [4] ta có:
2
0
0
cos( )
2 ( )
jr
e d J r

  
  



(2.12)

cuối cùng :
F(r)=

drJS )()(
0
0


(2.13)

Lập luận tương tự như trên, ta có:
S(

)
rdrrJrF )()(
0
0




(2.14)
Trong đó: J
)(
0
r

là hàm Bessel trụ bậc 0, (2.13) và (2.14) gọi là biến đổi
Hanken bậc 0.
2.1.2. Các định lý về phổ
* Định lý về phép cộng:
Giả sử hàm F(x)=

k
k
xF )(
thì
S(

)=

dxexF
xj
k
k






)(
=
)()(








k
k
xj
k
k
SdxexF
(2.15)
nghĩa là phổ của tổng các hàm bằng tổng của phổ các hàm thành phần. Định lý này
chứng tỏ rằng phép biến đổi Fourier là tuyến tính.

 Định lý về dịch chuyển:
Giả sử, F

(x) = F(x-

), thì khi đó:
S
( ) ( ) ( )
j x j x
F x e dx F x e dx





 
  

(2.16)
Nếu đặt biến t=x-

thì chúng ta nhận được:


22
S
( ) ( )
j j t
e F t e dt
 








(2.17)
hay
( ) ( )
j
S e S





(2.18)
Như vậy để nhận được phổ của hàm số dịch chuyển theo trục x một khoảng


phải lấy phổ của hàm biến x nhân với
jx
e


.
* Định lý về phổ của đạo hàm:
Nếu F’(x)=
x

F


thì
S
1
'
( ) ( )
jx
F x e dx







(2.19)
lấy tích phân từng phần ta có
S
1
( ) ( ) ( )||
j x j x
F x e j F x e dx










(2.20)
Bởi vì F(x)
0
khi x

(đây là một trong những điều kiện đủ Diricle) cho
nên phần tử thứ nhất bằng 0 và
S
(1)
( ) ( ) ( )jS
  

(2.21)
Tương tự như thế, ta có phổ của đạo hàm bậc n
S
()
( ) ( ) ( )
n
n
jS
  

(2.22)
* Định lý về phổ của đạo hàm theo tham số:
Giả sử F
( , ) ( , )
z

x z F x z
z



thì khi đó:
( ) ( , )
jx
z
S F x z e dx
z









(2.23)
Đối với các hàm điều hòa như thế và đạo hàm của trường trọng lực hoặc từ thì
có thể viết [4]:
( , ) ( , )
j x j x
F x z e dx F x z e dx
zz




 




(2.24)