- Trang chủ >>
- Khoa học tự nhiên >>
- Vật lý
Tán xạ từ bề mặt của các nơtron phân cực trên tinh thể phân cực đặt trọng từ trường ngoài biến thiên tuần hoàn
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (831.95 KB, 45 trang )
Luận văn thạc sĩ khoa học
1 Nguyễn Thị Thúy
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
=== ===
NGUYỄN THỊ THÚY
TÁN XẠ TỪ BỀ MẶT CỦA CÁC NƠTRON PHÂN CỰC
TRÊN TINH THỂ PHÂN CỰC ĐẶT TRONG TỪ
TRƢỜNG NGOÀI BIẾN THIÊN TUẦN HOÀN
Chuyên ngành : Vật lý lý thuyết và Vật lý toán
Mã số: 60 44 01
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Ngƣời hƣớng dẫn : PGS. TS. NGUYỄN ĐÌNH DŨNG
HÀ NỘI-2012
Luận văn thạc sĩ khoa học
2 Nguyễn Thị Thúy
MỤC LỤC
Lời cảm ơn 1
Mục lục 2
Mở đầu……………………………………………………………… 3
Chƣơng 1 - Lý thuyết tán xạ của nơtron chậm trong tinh thể……………………… 5
1.1.Cơ sở lý thuyết tán xạ của nơtron chậm trong tinh thể…………………… 5
1.2. Thế tương tác của nơtron chậm trong tinh thể………………………………9
Chƣơng 2 – Tán xạ của các nơtron phân cực trong tinh thể phân cực 12
Chƣơng 3 - Phản xạ gƣơng và khúc xạ của các notron trên tinh thể đƣợc đặt trong
từ trƣờng ngoài biến thiên tuần hoàn…………… …………………………20
Chƣơng 4 - Tán xạ từ của các nơtron phân cực trên mặt tinh thể phân cực đƣợc đặt
trong từ trƣờng ngoài biến thiên tuần hoàn trong điều kiện có phản xạ… 27
4.1. Tiết diện hiệu dụng của tán xạ từ không đàn hồi của các nơtron trên tinh thể
phân cực được đặt trong từ trường ngoài biến thiên tuần hoàn………………… 27
4.2. Tiết diện tán xạ từ bề mặt hiệu dụng của các nơtron trong trường hợp có phản
xạ toàn phần………………………………………………………………………38
Kết luận ………………………………………………… ………………42
Tài liệu tham khảo …… ………… ……………………………… 43
Luận văn thạc sĩ khoa học
3 Nguyễn Thị Thúy
MỞ ĐẦU
Trong những năm gần đây, sự tán xạ của nơtron chậm đã được sử dụng rộng rãi để
nghiên cứu vật lý các chất đông đặc.
Các nơtron chậm là một công cụ độc đáo trong việc nghiên cứu động học của các
nguyên tử vật chất và các cấu trúc từ của chúng. Điều này đã được kiểm chứng trong
các tài liệu [13,18,19].
Hiện nay, để nghiên cứu cấu trúc tinh thể, đặc biệt là cấu trúc từ của tinh thể,
phương pháp quang nơtron đã được sử dụng rộng rãi. Chúng ta dùng chùm nơtron chậm
phân cực bắn vào bia (năng lượng cỡ dưới 1 MeV và không đủ để tạo ra quá trình sinh
hủy hạt ). Nhờ nơtron có tính trung hòa điện, đồng thời môment lưỡng cực điện vô cùng
nhỏ (gần bằng 0) nên nơtron không tham gia tương tác điện dẫn đến độ xuyên sâu của
chùm nơtron vào tinh thể là rất lớn, và bức tranh giao thoa của sóng tán xạ sẽ cho ta
thông tin về cấu trúc tinh thể và cấu trúc từ của bia.
Nghiên cứu quang học nơtron phân cực giúp ta hiểu rõ hơn về sự tiến động spin
của các nơtron trong bia có các hạt nhân phân cực [2,13,15,16].
Các nghiên cứu và tính toán về tán xạ phi đàn hồi của các nơtron phân cực trong
tinh thể phân cực cho phép chúng ta nhận được các thông tin quan trọng về tiết diện tán
xạ của các nơtron chậm trong tinh thể phân cực, hàm tương quan spin của các nút mạng
điện tử… [18,19, 23]. Ngoài ra các vấn đề về nhiễu xạ bề mặt của các nơtron trong tinh
thể phân cực đặt trong trường ngoài biến thiên tuần hoàn và sự thay đổi phân cực của
nơtron trong tinh thể cũng đã được nghiên cứu trong các tài liệu [7,10,13].
Trong bài luận văn này, chúng tôi nghiên cứu: Tán xạ từ bề mặt của các nơtron
phân cực trên tinh thể phân cực đặt trong từ trƣờng ngoài biến thiên tuần hoàn.
Một phần kết quả của luận văn đã được báo cáo tại hội nghị vật lý của trường Đại
học Khoa Học Tự Nhiên – Đại Học Quốc Gia Hà Nội, tháng 10 năm 2012.
Nội dung của luận văn được trình bày trong 4 chương:
Luận văn thạc sĩ khoa học
4 Nguyễn Thị Thúy
Chƣơng 1 - Lý thuyết tán xạ của nơtron chậm trong tinh thể
Chƣơng 2 – Tán xạ của các nơtron phân cực trong tinh thể phân cực
Chƣơng 3 - Phản xạ gƣơng và khúc xạ của các nơtron trên tinh thể đƣợc đặt trong
từ trƣờng ngoài biến thiên tuần hoàn
Chƣơng 4 - Tán xạ từ của các nơtron phân cực trên mặt tinh thể phân cực đƣợc đặt
trong từ trƣờng ngoài biến thiên tuần hoàn trong điều kiện có phản xạ
Luận văn thạc sĩ khoa học
5 Nguyễn Thị Thúy
CHƢƠNG I
LÝ THUYẾT TÁN XẠ CỦA NƠTRON CHẬM
TRONG TINH THỂ
1. 1.Cơ sở lý thuyết tán xạ của nơtron chậm trong tinh thể
Hiện tượng: Dùng 1 chùm hạt nơtron chậm phân cực chậm bắn vào bia (năng
lượng cỡ dưới 1MeV và không đủ để tạo ra quá trình sinh huỷ hạt), nhờ tính chất trung
hoà về điện, đồng thời moment lưỡng cực điện vô cùng nhỏ ( gần bằng 0) nên nơtron
không tham gia tương tác điện, dẫn đến độ xuyên sâu của chùm nơtron vào tinh thể là
lớn và bức tranh giao thoa của sóng tán xạ sẽ cho ta thông tin về cấu trúc tinh thể và
cấu trúc từ của bia
Một chùm hạt nơtron phân cực khi đi vào trong tinh thể sẽ chịu tác dụng của
tương tác hạt nhân, tương tác trao đổi spin và tương tác từ gây ra bởi sự phân cực của
chùm nơtron và sự chuyển động của các electron, cả electron tự do lẫn electron không
kết cặp trong bia tinh thể
Nguyên nhân sinh ra tương tác từ:
Nếu tính trung bình trong 1 chùm nơtron không phân cực thì moment spin sẽ bằng
0, moment từ trung bình của chùm cũng bằng 0 (
ssm
mag
,
0
là spin của nơtron,
µ=-1.1.913µ
0
với µ
0
là manheton của hạt nhân(
cm
e
proton
2
0
). Còn trong trường hợp
nơtron phân cực sẽ tồn tại một giá trị moment từ xác định. Sự chuyển động của các
electron tự do và các electron không kết cặp trong nguyên tử sẽ tạo ra từ trường ( từ
trường của các electron kết cặp triệt tiêu nhau), từ trường này và moment từ do sự
phân cực của chùm nơtron đó sẽ là 2 nguyên nhân gây ra tương tác từ giữa tinh thể và
chùm nơtron. Chính tương tác từ này sẽ cho ta thông tin về tính chất từ của bia
Nguyên nhân sinh ra tương tác spin:
Do nơtron có spin khi đi vào mạng tinh thể sẽ xảy ra tương tác trao đổi spin giữa
nơtron với hạt nhân và giữa nơtron với các electron trong nguyên tử, tương tác này tỉ lệ
Luận văn thạc sĩ khoa học
6 Nguyễn Thị Thúy
với tích vô hướng vectơ spin của nơtron với hạt nhân, cũng như giữa nơtron với
electron
Đối với phần thế hạt nhân, thông thường người ta tính trung bình thế của nó trên
toàn bộ tinh thể và coi nó là tổng của một phần hằng số và một lượng nhỏ biến thiên,
phần nhỏ này là gọi là giả thế Fecmi có ảnh hưởng không lớn lên tiết diện tán xạ so với
phần còn lại. Giá trị của phần hằng số được xác định từ thực nghiệm
Từ những phân tích định tính trên, để tính toán tiết diện tán xạ của chùm nơtron
một cách thuận tiện ta có thể chọn lý thuyết nhiễu loạn với phép xấp xỉ gần đúng Born.
Giả sử ban đầu hạt nhân bia được mô tả bởi hàm sóng
nn |,|
, là hàm riêng của
toán tử Hamilton của bia với năng lượng tương ứng là E
n
:
nEnH
n
||
Sau khi tương tác với nơtron, sẽ chuyển trạng thái khác |n
’
›.
Còn nơtron có thể thay đổi xung lượng và spin của nó. Giả sử trạng thái ban đầu
của nơtron được mô tả bởi hàm sóng
,|,,| pp
là hàm riêng của toán tử Hamilton và
toán tử năng lượng E
p
:
,|,| pEpH
p
vàcó vectơ sóng là
k
Trạng thái của nơtron sau khi tương tác là
','|
p
với năng lượng E
p'
và vectơ sóng
là
'k
Theo lý thuyết nhiễu loạn, xác định xác suất để nơtron chuyển từ trạng thái
,| p
sang trạng thái
','|
p
mà không cần quan tâm tới trạng thái của bia được tính
theo công thức:
)(|,,||',','|
2
W
''
2
',
p'|p' npnp
nn
nn
EEEEpnVpn
(1.1.1)
Trong đó :
V: là toán tử tương tác của nơtron với hạt nhân bia ( thế nhiễu loạn gây ra sự
chuyển trạng thái, thế này bao gồm thế hạt nhân, thế trao đổi spin và thế từ)
nn
: thành phần chéo của ma trận mật độ hạt nhân bia
E
n,
E
n’
, E
p
, E
p’
là các năng lượng tương ứng của hạt nhân bia và nơtron trước và
sau khi tán xạ
Luận văn thạc sĩ khoa học
7 Nguyễn Thị Thúy
δ(E
n
+ E
p
E
n’
E
p‟
) – Hàm delta Dirac
δ(E
n
+ E
p
E
n’
E
p‟
)=
dte
tEEEE
i
npnp
)(
''
2
1
Ở đây chúng ta đưa vào kí hiệu hỗn hợp để cho yếu tố ma trận
=
Như vậy là các yếu tố ma trận của toán tử tương tác của nơtron với hạt bia lấy theo
các trạng thái của nơtron và là toán tử tương đối với các biến số hạt bia
Viết (1) dưới dạng tường minh:
dtenVnnVn
tEEEE
i
pppp
nn
nn
npnp
)(
|''|''
',
2
p|'p'
''
||'||'
1
W
dtenVnenVn
tEE
i
pp
tEE
i
pp
nn
nn
ppnn
)(
''
)(
''
',
2
''
||'.'||
1
dtenVnnVne
tEE
i
pppp
nn
nn
tEE
i
nnpp
)(
''''
',
)(
2
''
||'.'||
1
(1.1.2)
E
n'
, E
n
là các trị riêng của toán tử Hamilton với các hàm riêng |n›, |n'›, ta viết lại trong
biểu diễn Heisenberg
ntVnenVn
pp
tEE
i
pp
nn
|)(|'||'
''
)(
''
'
(1.1.3)
với
Ht
i
pp
Ht
i
pp
eVetV
''''
)(
Thay (1.1.3) vào (1.1.2), chú ý rằng trong trường hợp này ta không quan tâm tới sự
khác nhau của hạt bia trước và hạt bia sau tương tác, vì vậy công thức lấy tổng theo n‟,
n chính là vết của chúng và được viết lại:
Luận văn thạc sĩ khoa học
8 Nguyễn Thị Thúy
dtneVennVne
Ht
i
pp
Ht
i
pp
nn
nn
tEE
i
pp
||'||
1
W
''''
,
)(
2
p|'p'
'
dtentVVn
tEE
i
pppp
n
nn
pp
)(
''''
2
'
.'|)(.|
1
dttVVSpe
pppp
tEE
i
pp
)(
1
''''
)(
2
'
dttVVe
pppp
tEE
i
pp
)(.
1
''''
)(
2
'
(1.1.4)
Ở biểu thức trên, dưới dấu vết có chứa toán tử thống kê của bia ρ, các phần tử
đường chéo của ma trận của nó chính là xác xuất ρ
n
Theo quy luật phân bố Gibbs nếu hạt bia nằm ở trạng thái cân bằng nhiệt động ta
có hàm phân bố trạng thái
)(
H
H
eSp
e
với
Tk
z
1
(1.1.5)
trong đó k
z
- hằng số Boltzman, T- Nhiệt độ tuyệt đối
Giá trị trung bình thống kê của đại lượng Vật lý được tính theo các hàm phân bố
là:
= = Sp(ρA)= ( 1.1.6)
Do các detector hiện tại của chúng ta thường "mù" đối với sự định hướng spin
nên thông thường chúng ta lấy trung bình cho tất cả các trạng thái phân cực của nơtron
sau khi tán xạ:
dttVVSpe
pppp
tEE
i
pp
))((
1
WW
''''
)(
2
'
p|'p'pp'
'
(1.1.7)
Luận văn thạc sĩ khoa học
9 Nguyễn Thị Thúy
Trong đó :
)(
2
1
0
pI
là ma trận mật độ của nơtron tới, I là ma trận đơn
vị,
)(
0
Spp
là vectơ phân cực của nơtron,
là các ma trận Pauli.
Nếu chuẩn hóa hàm sóng của nơtron trên hàm đơn vị thì tiết diện tán xạ hiệu dụng
được tính trên một đơn vị góc khối và một khoảng đơn vị năng lượng ( ) là:
=
pp'
W
'
k
k
dttVVSpe
k
km
pppp
tEE
i
pp
))((
'
)2(
''''
)(
53
2
'
(1.1.8)
Như vậy với một cấu trúc tinh thể xác định, về mặt nguyên tắc chúng ta có thể
tính toán được tiết diện tán xạ của chùm nơtron phân cực tán xạ trên bia tinh thể. Trên
đây chúng ta đã xem xét hiện tượng, các loại tương tác tham gia và đi tới công thức
tổng quát của tiết diện tán xạ của chùm nơtron phân cực trong bài toán nghiên cứu
1.2. Thế tƣơng tác của nơtron chậm trong tinh thể
Thế tương tác giữa nơtron chậm và bia tinh thể gồm ba phần: thế tương tác hạt
nhân, thế tương tác từ và thế tương tác trao đổi giữa nơtron và hạt nhân , giữa nơtron và
electron tự do và electron không kết cặp trong bia tinh thể
Yếu tố ma trận của tương tác hạt nhân
Thế tương tác hạt nhân và tương tác trao đổi giữa nơtron và hạt nhân được cho bởi
giả thế Fermi:
l
llllnunuclear
RrIVV
(1.2.1)
Ở đây lấy tông theo tất cả các hạt nhân trong bia
r
- vectơ toạ độ của nơtron
l
R
- vectơ toạ độ của hạt nhân thứ l
ll
,
- là các hằng số ứng với hạt nhân thứ l
Phần gắn với tích
l
I
là phần tương tác trao đổi spin giữa nơtron và hạt nhân thứ l
Luận văn thạc sĩ khoa học
10 Nguyễn Thị Thúy
Yếu tố ma trận của tương tác từ.
Tương tác từ của nơtron trong mạng tinh thể xuất hiện do các điện tử tự do chuyển
động. Và bản thân nơtron cũng có mômen từ sinh ra.
Mômen từ của nơtron là :
sgmm
nuneuneutron
Trong đó:
1.913
- độ lớn mômen từ hóa trên manhêton Bohr hạt nhân
g=2;
cm
e
proton
nu
2
s
- spin của nơtron tới
Thế vectơ do các electron tự do và electron không kết cặp gây ra là :
j
j
jjB
j
jelectron
j
Rr
RrSg
Rr
Rrm
rA
3
0
3
0
44
j
j
j
B
Rr
S
g
1
4
0
B
là manheton Borh
0
là hệ số từ thẩm của chân không
j
R
là tọa độ của electron thứ j
j
S
là vectơ mômen spin của electron thứ l
Vậy từ trường do các electron gây ra tại vị trí có tọa độ
r
là:
j
j
j
B
Rr
S
g
rArB
1
4
0
Dùng công thức giải tích vectơ:
abbabaabba
Ta có:
j
j
j
j
B
Rr
S
Rr
S
g
rB
11
4
2
0
Ta lại có:
0
1
2
j
Rr
Luận văn thạc sĩ khoa học
11 Nguyễn Thị Thúy
Nên:
j
j
B
Rr
S
g
rB
1
4
0
Vậy thế tương tác từ gây ra bởi sự phân cực của nơtron và từ trường của các
electron trong bia là:
j
j
j
B
nuneumag
Rr
Ss
g
gBmV
1
4
0
j
j
j
Bnu
Rr
Ss
1
0
Dấu
j
lấy tổng theo tất cả các electron tự do lẫn electron không kết cặp trong bia
tinh thể.
Tương tác trao đổi spin giữa electron và nơtron tới được cho bởi công thức:
j
jjexchange
RrSsFV
Trong đó F là hằng số.
Vậy thể tương tác tổng cộng là:
l
llllexchangemagnu
RrIVVVV
int
j j
j
j
j
Bnu
RrSsF
Rr
Ss
1
0
Như vậy khi xét bài toán của một chùm nơtron chậm không phân cực tán xạ trong
tinh thể, ngoài tương tác hạt nhân chúng còn tương tác từ và tương tác giữa nơtron và
electron tự do và electron không kết cặp trong bia tinh thể. Tiết diện tán xạ vi phân sẽ
gồm đóng góp ba phần được đặc trưng bởi ba loại tương tác ở trên.
Luận văn thạc sĩ khoa học
12 Nguyễn Thị Thúy
CHƢƠNG II
TÁN XẠ CỦA CÁC NƠTRON PHÂN CỰC TRONG TINH THỂ
PHÂN CỰC.
Đặc trưng cho tán xạ của các nơtron phân cực là sự giao thoa giữa tán xạ hạt nhân
và tán xạ từ, mà điều này đã không xảy ra khi nơtron không có sự phân cực. Khi
nơtron phân cực, biểu thức đối với tiết diện tán xạ vi phân có dạng như sau:
)(.
'
)2(
''
)(
53
2
'
2
'
tVVspdte
p
pm
dEd
d
pppp
tEE
p
pp
i
(2.1.1)
Trong đó :
: ma trận mật độ spin của nơtron
Trạng thái phân cực của chùm nơtron tới được cho bởi ma trận mật độ spin:
)(
2
1
0
pI
(2.1.2)
Trong đó:
2
1
là toán tử spin của nơtron
)(
0
spp
vecto phân cực của nơtron và bằng hai lần giá trị trung bình của spin của
nơtron trong chùm
I: ma trận đơn vị
Các thành phần của ma trận Pauli thỏa mãn các hệ thức sau:
i2
2
(2.1.3)
Chúng ta cần nhấn mạnh một điều là biểu thức (2.1.2) có dạng tổng quát để cho
chùm hạt có các spin là
2
1
. Điều này chỉ có thể suy ra trực tiếp từ các tính chất của các
ma trận Pauli. Rõ ràng rằng khi tiết diện tán xạ của các nơtron đòi hỏi các biểu thức để
cho vết các tích khác nhau của ma trận Pauli
Luận văn thạc sĩ khoa học
13 Nguyễn Thị Thúy
Từ các hệ thức giao hoán (2.1.3) ta dễ dàng tính được biểu thức các biểu thức cần
thiết :
1
2
1
spI
0)(
2
1
sp
)(
2
1
sp
isp )(
2
1
(2.1.4)
)(
2
1
sp
: Ten xơ hoàn toàn phản đối xứng
Vì nơtron tương tác với tinh thể bởi hai loại chủ yếu là tương tác hạt nhân và tương
tác từ. Do vậy đại lượng V
p‟p
được viết dưới dạng :
l j
j
Rqi
j
Rqi
lllpp
esesSeqFr
m
eJBAV
j
l
))(,()(
2
14
)(
2
1
0
2
'
(2.1.5)
Số hạng thứ nhất mô tả tương tác hạt nhân giữa nơtron với hạt nhân
Số hạng thứ hai mô tả tương tác từ của nơtron với nguyên tử.
l j
j
Rqi
j
Rqi
lllpp
esesSeqFr
m
eJBAV
j
l
))(,()(
2
14
)(
2
1
0
2
'
(2.1.6)
l
Ht
i
j
j
Rqi
j
Rqi
lll
Ht
i
pp
eesesSeqFr
m
eJBAetV
j
l
))(,()(
2
14
)(
2
1
)(
0
2
'
(2.1.7)
Như vậy nhận thấy từ (2.1.1)đến (2.1.7) tất cả các bài toán về tán xạ của các nơtron
phân cực dẫn đến việc phải đi tính vết của toán tử
))(,( esesSL
jj
(2.1.8)
Luận văn thạc sĩ khoa học
14 Nguyễn Thị Thúy
Trong tích với toán tử khác và với các ma trận Pauli, kết quả của tính toán đó
được biểu diễn dưới dạng của biểu thức (2.1.8),trong đó
j
M
là:
))(( eSeSM
jjj
(2.1.9)
Như vậy chúng ta chứng minh một số công thức tính vết dưới đây để tính tiết
diện tán xạ:
Công thức (1):
MLsp
)(
2
1
))(,(
2
1
)(
2
1
eeSspLsp
))(
2
1
eeSSsp
eeSSL )(
))(
2
1
)(
2
1
eeSSspLsp
)(
SeeS
)(
SeeS
MeSeS
)(
Công thức (2):
pMLpsp
)(
2
1
Lpsp )(
2
1
))(,()(
2
1
eeSpsp
))()(()(
eeSSpLp
peeSS )(
pSeeS )(
pSeeS ))((
pMpeSeS
)(
Công thức (3):
pMiLpsp
)(
2
1
Lpsp
)(
2
1
))(,()(
2
1
eeSpsp
))(()()(
eeSSpLp
}){(
2
1
Lpsp
Luận văn thạc sĩ khoa học
15 Nguyễn Thị Thúy
eeSpSp )(
pSeeiSiLpsp )(
2
1
pMipeSeSi
)(
Công thức (4):
pMiLpsp
)(
2
1
Lpsp )(
2
1
))(,()(
2
1
eeSpsp
))()(()( eeSSpLp
eeSpSp )(
pSeeiSiLpsp )(
2
1
pMipeSeSi
)(
Công thức (5):
2121
2
1
MMLLsp
21
2
1
LLsp
))(,)()(,(
2
1
21
eeSeeSsp
eeSSeeSSsp )()(
2
1
2211
eeSeeS
eeSSSeeSSSsp
)()(
)()(
2
1
21
212121
eSeeeSeSeSSeSeSS
21212121
)()(
)()())(()((
21212121
eSeeeSeSeSSeSeSS
)(()((
221221
SeeSeSeSeeSS
)()()(
221221
SeeSeSeSeeSS
212211
)()( MMSeeSSeeS
Công thức (6):
2121
2
1
MMiLLsp
21
2
1
LLsp
))(,())(,(
2
1
21
eeSeeSsp
Luận văn thạc sĩ khoa học
16 Nguyễn Thị Thúy
eeSSeeSSsp
t
)()(
2
1
2211
eeSeeS
eeSSSeeSSSsp
t
ttt
)()(
)()(
2
1
21
212121
tttt
ieeSeeSieSeSiSeSeiSS
)()()()(
21212121
eSeeSeSSeSeSi
)()()(
211211
212211
)()( MMieSeSeSeSi
Công thức (7):
pMMiLLpsp
2121
)(
2
1
21
)(
2
1
LLpsp
))(,())(,)((
2
1
21
eeSeeSpsp
eeSSeeSSpsp
xyyxxx
)()()(
2
1
2211
eeSeeSp
eeSSpSeeSpSSpsp
xyyx
xxxyyxxx
)()(
)()(
2
1
21
212121
pieeSeeSieSeSiSeSeiSS
y
yxx
x
x
y
yxx
x
x
)()()()(
21212121
peSeeSeeSeSSeSeSSi
)()()()(
21212121
pMMi
21
Công thức (8):
)()()()(
2
1
21212121
MMpMpMpMMLLpsp
Sử dụng công thức tính vết trên ta đi tính tiết diện tán xạ
)(
''
tVVsp
pppp
l
Rqi
lll
l
eJBAsp
)(
2
1
'
'''
'
)(
2
1
.
l
Rqi
Ht
i
lll
Ht
i
l
eeJBAe
+
j j
Ht
i
j
Rqi
j
Ht
i
j
Rqi
j
eLeqFeLeqFr
m
jj
'
''
2
0
2
''
)()()
2
14
(
l j
Ht
i
j
Rqi
j
Ht
i
Rqi
lll
eLeqFer
m
eJBA
j
l
'
''0
2
'
)(
2
14
)(
2
1
Luận văn thạc sĩ khoa học
17 Nguyễn Thị Thúy
j l
Ht
i
Rqi
lll
Ht
i
j
Rqi
j
eeJBAeLeqFr
m
l
j
'
'''0
2
'
)(
2
1
)()
2
14
(
=
'
)(
2
1
ll
lll
JBAsp
.
)(
2
1
''' lll
JBA
.
)(
'
tRqiRqi
ll
ee
+
'
''
2
0
2
).(.).()
2
14
(
jj
jjjj
LqFLqFr
m
sp
)(
'
tRqiRqi
jj
ee
'
''0
2
)(
2
14
.)(
2
1
lj
jjlll
LqFr
m
JBAsp
)(tRqi
Rqi
j
l
ee
'
0
2
).()
2
14
(
il
jj
LqFr
m
sp
. [
)(
2
1
''' lll
JBA
]
)(
'
tRqi
Rqi
l
j
ee
(2.1.10)
Ta đi tính từng số hạng của công thức (2.1.10):
Số hạng 1=
'
)(
2
1
ll
lll
JBAsp
)(
2
1
''' lll
JBA
)(
'
tRqiRqi
ll
ee
=
'
0
)(
2
1
))((
2
1
ll
lll
JBApIsp
)(
2
1
''' lll
JBA
)(
'
tRqiRqi
ll
ee
'
0
)(
2
1
))((
2
1
ll
lll
JBApIsp
)(
2
1
''' lll
JBA
)(
'
tRqiRqi
ll
ee
))((
2
1
)(
2
1
))((
2
1
''''
'
0
tJBAAJBAApIsp
llllllll
ll
)(
''
'
))()((
4
1
tRqiRqi
llll
ll
eetJJBB
)(
'0'
'''0'0''l
'
)(
4
)(
4
1
)(
2
1
2
1
tRqiRqi
llll
lllllllllll
ll
ll
eetJJpBB
i
tJJBBtJpABJpABAA
)(
'0'
'''0'0''l
'
)(
4
)(
4
1
)(
2
1
2
1
tRqiRqi
llll
lllllllllll
ll
ll
eetJJpBB
i
tJJBBtJpABJpABAA
'
2
'
'
)1(
4
1
lllllll
ll
JJBAA
)(
'
tRqiRqi
ll
ee
(2.1.11)
Luận văn thạc sĩ khoa học
18 Nguyễn Thị Thúy
Số hạng 2=
'
''
2
0
2
).(.).()
2
14
(
jj
jjjj
LqFLqFr
m
sp
)(
'
tRqiRqi
jj
ee
'
''
2
0
2
0
).(.).()
2
14
())((
2
1
jj
jjjj
LqFLqFr
m
pIsp
)(
'
tRqiRqi
jj
ee
'
''
2
0
2
)().().()
2
14
(
jj
jjjj
tMMqFqFr
m
.
)(
'
tRqiRqi
jj
ee
+
0'
'
'
2
0
2
)().().()
2
14
( ptMMqFqFr
m
jj
jj
jj
)(
'
tRqiRqi
jj
ee
(2.1.12)
(Trong tính toán trên ta đã áp dụng các công thức tính vết (5) và (6))
Số hạng 3
'
''0
2
)(
2
14
.)(
2
1
lj
jjlll
LqFr
m
JBAsp
.
)(
'
tRqi
Rqi
j
l
ee
'
''0
2
0
)(
2
14
.)(
2
1
))((
2
1
lj
jjlll
LqFr
m
JBApIsp
.
)(
'
tRqi
Rqi
j
l
ee
'
''0
2
0
)(.)(
2
1
2
14
))((
2
1
lj
jjlll
LqFJBAr
m
pIsp
)(
'
tRqi
Rqi
j
l
ee
)()(
2
1
))((
2
14
'''0'
'
0
2
tMJqFBMpqFAr
m
jljljjl
lj
+
])([.)(.
0''
ptMiJqFB
jljl
)(
'
tRqi
Rqi
j
l
ee
))(
2
14
0''
'
0
2
pMqFAr
m
jjl
lj
)(
'
tRqi
Rqi
j
l
ee
(2.1.13)
(Trong tính toán trên ta đã áp dụng các công thức tính vết (1) và (2) (3))
Số hạng 4=
'
0
2
).()
2
14
(
jl
jj
LqFr
m
sp
)(
2
1
''' lll
JBA
)(
'
tRqi
Rqi
l
j
ee
=
'
0
2
0
).()
2
14
())((
2
1
jl
jj
LqFr
m
pIsp
)(
2
1
'''
lll
JBA
)(
'
tRqi
Rqi
l
j
ee
)( ).(
2
1
).().()
2
14
(
''
'
0'0
2
tJMBqFMpAqFr
m
ljlj
jl
jlj
+
)(][.).(
'0'
tJpMiBqF
ljlj
.
)(
'
tRqi
Rqi
l
j
ee
Luận văn thạc sĩ khoa học
19 Nguyễn Thị Thúy
'
0'0
2
).().()
2
14
(
jl
jlj
pMAqFr
m
)(
'
tRqi
Rqi
l
j
ee
(2.1.14)
( Trong tính toán trên ta áp dụng công thức tính vết (1) và (2))
Trong các kết quả trên để đơn giản vấn đề ta bỏ qua sự tương quan giữa các spin
của các hạt nhân. Và ta tiến hành tổng quát hóa theo tất cả các trạng thái của hệ .
Thay các kết quả (2.1.9), (2.1.10), (2.1.11), (2.1.12) vào (2.1.8)ta tính được:
)(
''
tVVsp
pppp
'
2
'
'
)1(
4
1
lllllll
ll
JJBAA
)(
'
tRqiRqi
ll
ee
+
+
'
''
2
0
2
)().().()
2
14
(
jj
jjjj
tMMqFqFr
m
)(
'
tRqiRqi
jj
ee
+
0'
'
'
2
0
2
)().().()
2
14
( ptMMqFqFr
m
jj
jj
jj
)(
'
tRqiRqi
jj
ee
))(
2
14
0''
'
0
2
pMqFAr
m
jjl
lj
)(
'
tRqi
Rqi
j
l
ee
'
0'0
2
).().()
2
14
(
jl
jlj
pMAqFr
m
)(
'
tRqi
Rqi
l
j
ee
(2.1.15)
Đây chính là vết trong công thức tính tiết diện tán xạ tổng quát trong trường
nơtron phân cực và các spin của các hạt nhân không tương quan với nhau. Công thức
này sẽ được áp dụng trong từng trường hợp khi ta tính toán tán xạ nơtron phân cực trên
từng chất riêng biệt.
Luận văn thạc sĩ khoa học
20 Nguyễn Thị Thúy
CHƢƠNG III
PHẢN XẠ GƢƠNG VÀ KHÚC XẠ CỦA CÁC NOTRON TRÊN
TINH THỂ ĐƢỢC ĐẶT TRONG TỪ TRƢỜNG NGOÀI BIẾN
THIÊN TUẦN HOÀN
Chúng ta đi phân tích phản xạ gương và khúc xạ của các nơtron trong tinh thể
được đặt trong từ trường ngoài biến thiên.
Giả sử, các nơtron tiến tới đơn tinh thể với các hạt nhân không phân cực được đặt
trong từ trường ngoài biến thiên tuần hoàn.
krHjtrHitrHtrH )(sin)(cos)(),(
011
(3.1)
ở đó:
)(),(
10
rHrH
: không phụ thuộc thời gian
: tần số của từ trường ngoài hiệu dụng
Phương trình mô tả tán xạ của các nơtron trong trường hợp này có dạng:
),(.)(
2
2
trHrV
mt
i
nr
(3.2)
ở đó: m- khối lượng của nơtron
n
là momen từ của nơtron
: là vecto tạo từ các ma trận Pauli
Hàm sóng ban đầu của các nơtron là bó sóng
0
0
0
0
0
0
,)(
0
0
ttr
C
C
r
tt
tt
(3.3)
Đặt (3.1) vào (3.2), chúng ta có :
Luận văn thạc sĩ khoa học
21 Nguyễn Thị Thúy
ttrHrHrV
mt
i
yxzr
sincos
2
10
2
(3.4)
Dùng công thức :
ttee
yx
ti
x
ti
zz
sincos
2
1
2
22
(*)
Dựa vào công thức (*) Hamiltonien của phương trình (3.4) có thể viết dưới dạng :
zz
ti
x
ti
zr
eeHrHrV
m
22
10
2
2
(3.5)
Đưa vào những hàm sóng mới
~
nhờ các biểu thức sau :
~
22
~
;
zz
titi
ee
(3.6)
Ý nghĩa vật lý của (3.6) là
và
~
có thể chuyển đổi qua nhau nhờ phép quay
xung quanh trục z đi một góc
t
. Có nghĩa là khi ta tiến hành các phép biến đổi (3.6)
chúng ta đã chuyển sang hệ tọa độ quay. Lấy đạo hàm biểu thức (3.6) theo thời gian,
chúng ta nhận được :
t
eie
i
i
t
i
zz
titi
z
~
2
~
2
2
(3.7)
Đặt (3.6) vào (3.7) và nhân hai vế của đẳng thức từ phía trái với toán tử
2/exp
z
ti
chúng ta nhận được :
~
10
2
~
22
xzr
rHrHrV
mt
i
~
2
~
,.
2
rHrV
mt
i
eff
r
(3.8)
ở đó :
2
,0,
01
rHrHrH
eff
(Từ trường hiệu dụng)
Luận văn thạc sĩ khoa học
22 Nguyễn Thị Thúy
Như vậy, các nghiệm của phương trình Schodinger (3.2) có thể tìm được dựa vào biểu
thức sau :
~
~
2
2
~
2
0
0
ti
ti
ti
e
e
e
z
(3.9)
Bây giờ chúng ta đưa vào các hàm sóng mới :
cossin
sincos
2
~
~
~
y
i
e
(3.10)
ở đó :
2
0
1
H
H
Arctg
2
0
2
1
2
)(
HHH
eff
Các hàm sóng mới
thỏa mãn các phương trình sau :
,
2
2
rHrV
mt
i
effr
(3.11)
,
2
2
rHrV
mt
i
effr
(3.12)
Với điều kiện ban đầu :
0
0
22
0
0
0
0
zy
ti
i
ee
0
0
~
0
~
0
0
0
22
,,
0
ttr
C
C
ttr
C
C
ee
zy
ti
i
(3.13)
Luận văn thạc sĩ khoa học
23 Nguyễn Thị Thúy
Như vậy, phép quay (3.10) cho phép chúng ta nhận được phương trình độc lập cho
và
, điều này đã làm đơn giản đi rất nhiều việc giải bài toán về phản xạ gương và
khúc xạ của các nơtron khi tồn tại từ trường ngoài biến thiên.
Bây giờ chúng ta xét một trường hợp cụ thể khi tấm kim loại có độ dày là
, mặt
của tấm kim loại trùng với mặt phẳng (yOz), trục Ox hướng vào phía trong tấm kim loại
và thế năng của phương trình Schodinger có dạng :
0
0
VrV
khi
khi
khi
x
x
x
0
0
(3.14)
0
0
00
HrH
khi
khi
khi
x
x
x
0
0
(3.15)
0
0
11
HrH
khi
khi
khi
x
x
x
0
0
(3.16)
Nếu chúng ta coi các nơtron tới chuyển động từ trái sang phải, khi đó, các nghiệm của
các phương trình (3.11), (3.12) sẽ tìm được dưới dạng sau :
dEerCtr
tE
i
EE
,
(3.17)
Ở đó
r
E
là các nghiệm của phương trình sau :
rErrHrV
m
EEeffr
,
2
2
Vì bó sóng ban đầu tập trung quanh
0
k
cho nên năng lượng của nơtron trong bài
toán của chúng ta bằng biểu thức sau :
22
0
22
k
E
m
(3.18)
Dựa vào (3.14)
(3.16) đặt
r
E
dưới dạng :
Luận văn thạc sĩ khoa học
24 Nguyễn Thị Thúy
||
0||
()
ik r
EE
r e X
Chúng ta sẽ nhận được các phương trình sau cho
)(X
E
22
2
( ) ( )
2 2 2 2
ox
x E E
k
XX
mm
(3.19)
Cho miền x<0 và x >
22
2
( ) ( ) ( )
2 2 2 2
ox
x eff E E
k
V H X X
mm
(3.20)
Cho miền
x0
Giải các phương trình (3.19) và (3.20) chúng ta nhận được:
||
0||
||
0||
0||
()
||
ox ox
xx
ox
ik x ik x
ik r
ik x ik x
ik r
E
ik x
ik r
e e A e
r
e B e D e
e G e
khi
khi
khi
x
x
x
0
0
(3.21)
ở đó
2
2
2
()
2
x ox eff
m
k k V H
Từ điều kiện ban đầu (3.3) và (3.18) và từ điều kiện chuẩn hóa của các nghiệm
dừng:
'
'
*
EErdrr
EE
Chúng ta nhận được các hệ số phân tích
E
C
dưới dạng sau:
rderttr
C
C
C
tE
i
EE
0
*
0
0
0
,
~
~
(3.22)
Như vậy, chúng ta đã thấy rõ việc chuyển sang hệ tọa độ quay chỉ làm thay đổi
phần hàm sóng Spin của hàm sóng ban đầu của nơtron. Điều này cho phép chúng ta phân
Luận văn thạc sĩ khoa học
25 Nguyễn Thị Thúy
tích hệ phương trình đã nhận được sử dụng phương pháp giống như phương pháp giải bài
toán chuyển động qua hàng rào thế khi không tồn tại từ trường ngoài.
Từ điều kiện liên tục của hàm sóng
r
và các đạo hàm của chúng trên các biên
x=0 và
x
chúng ta sẽ nhận được hệ các phương trình sau:
1
xx
x
X
ox ox x x
ik ik
ik
ik
x x ox
A B D
k k A k B k D
B e D e G
k e B k e D k G
(3.23)
Giải hệ này ta sẽ được :
22
22
sin
sin 2 cos
ox x x
ox x x ox x
k k k
A
k k k ik k
(3.24)
22
2
x
ox x ox
ik
ox x ox x
k k k
B
k k k k e
(3.25)
22
2
sin 2 cos
ox x
ox x x ox x x
ik k
G
k k k ik k k
(3.26)
Vì
x
k
phụ thuộc vào tần số
của trường ngoài cho nên các biên độ phản xạ
A
,
khúc xạ
B
và của sóng truyền qua
G
cũng phụ thuộc vào tần số của từ trường ngoài
.
Chúng ta nghiên cứu trường hợp tinh thể chiếm một nửa không gian x>0 và mặt
tinh thể trùng với (yOz). Để cho trường hợp này thì các nghiệm của các phương trình
(3.11), (3.12) sẽ là các biểu thức biểu diễn qua các hàm sóng :
||
||
||
||
.
.
o
ox ox
o
x
ik x ik x
ik r
E
ik x
ik r
e e A e
r
e B e
khi
khi
0
0
x
x
(3.27)
