Bậc bé nhất của các đa thức chặn trên hàm đặc trưng euler poincare luận văn thạc sỹ toán học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

MAI TẤT THÀNH

BẬC BÉ NHẤT CỦA CÁC ĐA THỨC
CHẶN TRÊN HÀM ĐẶC TRƯNG EULER-POINCARE

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

VINH, 2011


1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

MAI TẤT THÀNH

BẬC BÉ NHẤT CỦA CÁC ĐA THỨC
CHẶN TRÊN HÀM ĐẶC TRNG EULER-POINCARE

Chuyên ngành: I S V Lí THUYT S
Mó s: 60.46.05
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học
TS. NGUYỄN THỊ HỒNG LOAN

VINH, 2011

2

MỤC LỤC
Trang
Mục lục...............................................................................................................02
Mở đầu................................................................................................................03
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị........................................................................05
1.1. Phổ, giá, chiều Krull của môđun................................................................05
1.2. Tập các iđêan nguyên tố liên kết của môđun...............................................06
1.3. Môđun đối đồng điều địa phương................................................................06
1.4. Dãy chính quy và độ sâu..............................................................................09
1.5. Phức Koszul..................................................................................................10
1.6. Phức đối ngẫu...............................................................................................11
1.7 Hệ tham số và số bội....................................................................................12
1.8. Bất biến kiểu đa thức p(M)...........................................................................14
Chương II. Bất biến pk(M).................................................................................17
2.1. Biểu diễn của Xk(x; M) qua số bội................................................................18
2.2. Bất biến pk(M)...............................................................................................19
2.3. Một số tính chất của bất biến pk(M)..............................................................22
Kết luận..............................................................................................................28
Tài liệu tham khảo.............................................................................................29


3

MỞ ĐẦU
Cho ( R, m) là một vành giao hoán, địa phương, Noether với iđêan cực
đại duy nhất m ; M là một R-mơđun hữu hạn sinh có chiều Krull dim M d ;

x ( x1 ,..., xd ) là một hệ tham số của M. Kí hiệu H i ( x; M ) là môđun đồng điều

Koszul thứ i của M đối với hệ tham số x. Theo Serre [9], đặc trưng EulerPoincare bậc cao Xk ( x; M ) của M đối với hệ tham số x được định nghĩa như
sau:

Xk ( x; M )  ( 1)i  k ( H i ( x; M ),
i k

với k 0,1,..., d Ở đây  (N) là kí hiệu độ dài của R-môđun N. Cho
n (n1,..., nd ) là bộ gồm d số nguyên dương, kí hiệu x(n) ( x1n1 ,..., xdnd ) . Khi
đó

x ( n)

cũng là hệ tham số của

M. Chúng ta có thể xét

Xk ( x(n); M )  ( 1)i  k ( H i ( x(n); M ) như là một hàm theo biến n. Hàm này nói
i k

chung khơng phải là đa thức theo biến n. Tuy nhiên Garcia Roig [7] đã chỉ ra
rằng khi n1 ... nd t thì hàm Xk ( x(t ); M ) theo biến t bị chặn trên bởi một đa
thức theo biến t và bậc nhỏ nhất của tất cả các đa thức theo biến t chặn trên
hàm này là không phụ thuộc vào việc chọn hệ tham số x.
Năm 1992, trong [5], Nguyễn Tự Cường đã chứng minh được rằng kết
quả trên vẫn đúng khi k = 1 (trong bài báo đó ơng đã kí hiệu
I M (n; x) Xk ( x(n); M )) , nghĩa là, bậc nhỏ nhất của tất cả các đa thức theo
biến n chặn trên hàm Xt ( x(n); M ) là không phụ thuộc vào việc chọn hệ tham
số x, bậc bé nhất này được kí hiệu là p(M) và được gọi là kiểu đa thức của

môđun M.
Năm 1996, trong bài báo [6], Nguyễn Tự Cường và Vũ Thế Khôi đã
mở rộng kết quả trên. Cụ thể là họ đã chứng minh được rằng bậc bé nhất của
tất cả các đa thức theo n chặn trên hàm Xk ( x(n); M ) không phụ thuộc vào việc
chọn hệ tham số x; bất biến này được kí hiệu là pk(M). Khi k = 1 thì bất biến


4

này chính là bất biến kiểu đa thức p(M) được Nguyễn Tự Cường đưa ra trong
[5].
Mục đích của Luận văn là trình bày lại chi tiết các kết quả trong bài báo
[6] của Nguyễn Tự Cường và Vũ Thế Khôi: “On the partial Euler-Poincare
characteristics of certain systms of parametes in local rings”, Math Z . Vol
222, 383-390.
Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, Luận văn được
chia thành 2 chương.
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Nội dung chương này là trình bày các kiến
thức của Đại số giao hốn liên quan đến kết quả chính của bài báo [6] như:
Phổ, giá, chiều Krull của môđun, môđun đối đồng điều địa phương, dãy chính
quy và độ sâu, phức Koszul, phức đối ngẫu, hệ tham số và số bội, bất biến
kiểu đa thức. Ngồi ra, chúng tơi cịn trích dẫn một số kết quả nhằm phục vụ
cho các chứng minh ở phần sau.
Chương 2: Bất biến pk(M). Nội dung của chương này là trình bày kết quả
chính trong bài báo [6]: bất biến pk(M) và một số tính chất của pk(M).
Luận văn được hoàn thành vào tháng 11 năm 2011 dưới sự hướng dẫn và
chỉ dạy tận tình, nghiêm khắc của cô giáo TS. Nguyễn Thị Hồng Loan. Nhân
dịp này, tơi xin bầy lịng biết ơn sâu sắc tới cô. Đồng thời cũng xin được cảm
ơn thầy thầy giáo, cơ giáo Khoa Tốn, Khoa Sau đại học, Trường Đại học
Vinh, đã tận tình giúp đỡ trong suốt quá trình nghiên cứu đến hồn thành luận

văn. Tơi cũng xin cảm ơn các đồng nghiệp, bạn bè và gia đình đã tạo điều
kiện thuận lợi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song luận văn khơng tránh khỏi những
thiếu sót. Chúng tơi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy
giáo, cơ giáo và bạn đọc để luận văn được hồn thiện hơn.
Nghệ An, tháng 11 năm 2011
Tác giả


5

CHƯƠNG I. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong luận văn này, chúng tơi ln giả thiết (R, m) là vành giao hốn
có đơn vị, địa phương với iđêan cực đại duy nhất m và M là một R-môđun.

1.1

Phổ, giá, chiều Krull của môđun

1.1.1 Phổ của vành. Ký hiệu SpecR là tập tất cả các iđêan nguyên tố của
vành R. Khi đó SpecR được gọi là phổ của vành R.
Với mỗi iđêan I của R ta ký hiệu V ( I )  p  SpecR p  I .





1.1.2 Độ cao của iđêan. Một dãy giảm các iđêan nguyên tố của vành R :
p0  p1  ...  pn được gọi là một xích ngun tố có độ dài n .

Cho p  SpecR , cận trên của tất cả các độ dài của các xích nguyên tố
với p0 p được gọi là độ cao của p , ký hiệu là ht (p) . Nghĩa là:
ht (p) = sup{độ dài các xích nguyên tố với p0 p }.

Cho I là một iđêan của R, khi đó độ cao của iđêan I được định nghĩa:
ht ( I ) inf{ht (p) p  SpecR, p  I } .
1.1.3 Chiều Krull của mô đun. Cận trên của tất cả các độ dài của các xích
nguyên tố trong R được gọi là chiều Krull của vành R, ký hiệu là dim R .
Cho M là một R-mơđun. Khi đó dim( R / AnnR M ) được gọi là chiều
Krull của môđun M, ký hiệu là dim M.





1.1.4 Giá của môđun. Tập con SuppM p  SpecR M p 0 của SpecR được
gọi là giá của môđun M. Với mỗi x  M ta ký hiệu
AnnR x a  R ax 0 ;





AnnR M  a  R aM 0  a  R ax 0, x  M .



 



Ta có AnnR x và AnnR M (hoặc Annx và AnnM nếu không để ý đến
vành R) là những iđêan của M. AnnM được gọi là linh hố tử của mơđun M.
Hơn nữa nếu M là R-mơđun hữu hạn sinh thì


6

SuppM V ( AnnR M )  p  SpecR p  AnnR M





1.2 Tập các iđêan nguyên tố liên kết của môđun
1.2.1 Định nghĩa. Cho M là một R-môđun ta gọi iđêan nguyên tố p của R là
một iđêan nguyên tố liên kết của M nếu một trong hai điều kiện tương đương
sau được thoả mãn:
i) Tồn tại phần tử x  M sao cho Ann( x ) p ;
ii) M chứa một môđun con đẳng cấu với R / p .Tập các iđêan nguyên tố liên
kết của M được ký hiệu là Ass R M hoặc AssM nếu không để ý đến vành R.
Như vậy

AssM  p  SpecR p  Ann( x )víi x  M .
1.2.2 Mệnh đề. AssM  SuppM và mọi phần tử tối tiểu của SuppM đều
thuộc AssM .
1.2.3 Mệnh đề. Nếu M là R-mơđun Noether thì AssM là tập hợp hữu hạn.

1.3 Môđun đối đồng điều địa phương
Một dãy các R-môđun và các đồng cấu R-môđun

f i 1
fi

 M i  1 
 M i 
M i 1 

được gọi là một đối phức nếu Im fi  1  Ker fi với mọi i. Nếu dãy này là
một đối phức thì môđun thương Ker fi / Im fi  1 được gọi là môđun đối đồng
điều thứ i của đối phức này. Dãy trên được gọi là khớp tại mắt thứ i nếu
Im fi  1 = Ker fi . Ta gọi dãy này là khớp nếu nó khớp tại mọi mắt. Một dãy
khớp có dạng
f
g
0
 M ' 
M

M "
0
được gọi là một dãy khớp ngắn. Chú ý rằng dãy này là khớp khi và chỉ khi f
là đơn cấu, g là toàn cấu và Im f = Ker g
1.3.1 Định nghĩa. Cho I là iđêan của R. Với mỗi R-môđun N ta định nghĩa
 I ( M )   (0 M : I n ) .
n0

Nếu f : N  M là đồng cấu các R-mơđun thì ta có đồng cấu
f *   I ( N )   I ( M ) cho bởi f * ( x )  f ( x ). Khi đó nếu
f
g

0
 M ' 
M

M "
0

là một dãy khớp ngắn các R-môđun thì dãy cảm sinh


7
*

*

f
0
  I ( M ') 
 I ( M ) g  I ( M ") 
0

cũng khớp. Vì hàm tử  I ( ) có tính chất đã nêu ở trên nên ta nói  I (  ) là
hàm tử hiệp biến, khớp trái từ phạm trù các R-môđun đến phạm trù các Rmôđun. Hàm tử  I ( ) được gọi là hàm tử I-xoắn .
Một R-môđun E được gọi là môđun nội xạ nếu với mỗi đơn cấu
f : N  M và mỗi đồng cấu g : N  E , tồn tại một đồng cấu h : M  E sao

cho g hf . Cho E là một R-môđun và M là môđun con của E. Ta nói E là
một mở rộng cốt yếu của M nếu M  L 0 với mọi mơđun con L 0 của E.
Ta nói E là bao nội xạ của M nếu E là một mở rộng cốt yếu của M và E là một
môđun nội xạ. Chú ý rằng mỗi R-mơđun M đều có bao nội xạ và bao nội xạ

của M là xác định duy nhất sai khác một đẳng cấu. Vì thế ta kí hiệu bao nội xạ
của M là ER ( M ) hay E ( M ) .
1.3.2 Định nghĩa. Một lời giải nội xạ của một R-môđun N là một dãy khớp
0  N  E0  E1  E2  
trong đó mỗi Ei là mơđun nội xạ. Chú ý rằng mỗi môđun đều nhúng được vào
một môđun nội xạ, vì thế, mỗi mơđun đều có lời giải nội xạ.
1.3.3 Định nghĩa. Cho N là một R-môđun và I là một iđêan của R. Môđun
dẫn xuất phải thứ n của hàm tử I-xoắn  I ( ) ứng với N được gọi là môđun
n
đối đồng điều thứ n của N với giá là I, kí hiệu là H I ( N ) . Cụ thể, nếu

u

u

0
1 E 
0
N
 E0 
E1 

2

là giải nội xạ của N, tác động hàm tử  I    ta có đối phức
u

u1
0  ( E ) 
0   ( E0 )  

  ( E2 )  
1

n
*
*
Khi đó H I ( N ) Kerun / Imun 1 , tức là môđun đối đồng điều thứ n

của N với giá I chính là mơđun đối đồng điều thứ n của đối phức trên. Chú ý
*
*
rằng môđun Kerun / Imun 1 không phụ thuộc vào việc chọn lời giải nội xạ


8

của N. Sau đây là một số tính chất cơ bản của môđun đối đồng điều địa
phương.
1.3.4 Mệnh đề. Cho N là một R-môđun. Các phát biểu sau đây là đúng.
0
i) H I ( N )  I ( N )
i
ii) Nếu N là nội xạ thì H I ( N ) 0 với mọi i 1.
i
iii) Nếu N  I ( N ) thì H I  N  0 với mọi i 1.
i
i
i
iv) H I  M  là môđun I-xoắn với mọi I, tức là H I ( M )  I ( H I ( M )) . Đặc
j

i
biệt, H I ( H I ( M )) 0 với mọi j > 0.

0 N ' N  N" 0

1.3.5 Mệnh đề. Cho

là dãy khớp ngắn các R-mơđun. Khi đó tồn tại với mỗi số tự nhiên n một đồng
n
n 1
cấu  n : H I  N "  H I ( N ')

sao cho ta có dãy khớp dài




0
1 H 2 ( N ')  
0   I ( N ')   I ( N )   I ( N '') 
H I1 ( N ')  H I1 ( N )  H I1 ( N '') 
I
Các đồng cấu  n trong mệnh đề trên được gọi là các đồng cấu nối.

1.3.6 Mệnh đề. Đặt M M /  I  M  . Khi đó với mọi số tự nhiên n 1 ta có

H In ( M ) H In ( M ) .
Kết quả sau đây nói rằng chiều của một môđun hữu hạn sinh M là một
bất biến quan trọng của M có liên quan trực tiếp tới tính triệt tiêu của mơđun
đối đồng điều địa phương.

i
1.3.7 Mệnh đề. dimM sup  i H m ( M ) 0 .

Kí hiệu ara(I) là số tự nhiên t bé nhất sao cho có t phần tử của R sinh ra
I . Ta có kết quả sau.
i
1.3.8 Mệnh đề. H I  M  0 với mọi i  ara ( I ) .

1.3.9 Mệnh đề. H mi ( M ) R-môđun Artin với mọi i. Hơn nữa H Ii ( M ) 0 với
mọi i > d và H md (M ) 0 .


9

1.4 Dãy chính quy và độ sâu
1.4.1 Định nghĩa. i) Một phần tử a  R được gọi là ước của 0 đối với M nếu
tồn tại một phần tử x  M , x 0 sao cho ax 0 .
ii) Phần tử a  R được gọi là M-chính quy nếu M aM và a không là ước
của 0 đối với M.
iii) Một dãy a1 ,..., an  R được gọi là một M-dãy chính quy nếu
M (a1 ,...., ai  1 ) M và ai là M / (a1 ,..., ai  1 ) M -chính quy với mọi i  ,...., n .

1.4.2 Mệnh đề. Cho x1,..., xn là dãy các phần tử thuộc iđêan cực đại m. Khi
đó các phát biểu sau là tương đương:
i) x1,..., xn là một dãy chính qui của M;
ii) Phần tử xi không là ước của 0 trong M / ( x1,, xi  1 )M , với mọi i  ,...., n;
iii) xi  p, p AssM / ( x1,, xi  1)M và  i  ,...., n .
1.4.3 Định nghĩa. Cho I là một iđêan tuỳ ý của R và x1,..., xr là một M-dãy
trong I. Khi đó x1,..., xr được gọi là dãy chính quy cực đại trong I nếu không
tồn tại y  I sao cho ( x1,..., xr , y ) là dãy chính quy trong M. Ta biết rằng mọi

dãy chính quy cực đại trong cùng một iđêan I đều có cùng độ dài. Do đó độ
dài của một dãy chính quy cực đại trong iđêan I được gọi là độ sâu của M
đối với iđêan I, ký hiệu depth( I , M ) . Đặc biệt, nếu I m thì depth(m, M )
được gọi là độ sâu của M và ký hiệu là depthM . Nếu x1,..., xr là một dãy
chính quy của M thì nó cũng là một phần hệ tham số của M. Do đó

depth M dim M .

Độ sâu của môđun M đối với một iđêan I được đặc trưng thơng
qua tính triệt tiêu của mơđun đối đồng điều địa phương như sau.
1.4.4 Mệnh đề. Cho I là iđêan của R ta có :





depth(I , M ) inf i H Ii ( M ) 0 .


10

1.4.5 Hệ quả. Giả sử iđêan I sinh bởi các phần tử x1,..., xn . Khi đó x1,..., xn
là dãy M-chính quy nếu và chỉ nếu depth( I ; M ) n .

1.5 Phức Koszul
1.5.1 Định nghĩa. Cho n phần tử x1,..., xn  R , ta kí hiệu x {x1,..., xn }. Phức
K(x) được định nghĩa như sau:
K ( x)...  K P d K p  1 d ... d K1 d K 0  0
K p  Rei ...i
p là R1

trong đó K0 = R, Kp = 0 nếu p > n và với 1  p n ,
n
{e /1 i1  i2  ...  i p n}
môđun tự do hạng ( p ) . với cơ sở i1...i p
.

Ánh xạ vi phân d : K p  K p  1 được định nghĩa như sau:
p

d (ei ...e p ) (  ) r xir ei ...i i ...i .
n
p
1
r  1 r 1
Nếu p = 1, ta đặt d(ei) = xi. Khi đó phức có dạng:
...  K P d K p  1 d ... d K1 d K 0  0
được gọi là phức Koszul.
Cho C là một phức các R-mơđun, kí hiệu C ( x) K ( x)  C và K ( x; M ) K ( x)  M .
x
1.5.2 Nhận xét. i) Nếu n = 1 thì K(x) có dạng 0  R 
R  0 .

Từ đó suy ra

K ( x) K ( x1 )  K ( x2 )  ...  K ( xn ) .

ii) Do tính chất M R L  L R M với M, L là các R-môđun nên phức Koszul
K(x) là bất biến (sai khác một đẳng cấu) với mọi hốn vị của x1 ,..., xn .
iii) Kí hiệu Hp(x;M) là đồng điều thứ p của phức Koszul. Từ định nghĩa ta suy
n

ra H 0 ( x; M ) M / xM với xM   xi M và H n ( x; M ) AnnM ( x)  M .
i 1

1.5.3 Định lý. Cho C là một phức các R-môđun, phần tử x  R và dãy khớp
0  C  C ( x)  C '  0,
trong đó C 'p1 C p , ánh xạ vi phân trên C’ trùng với ánh xạ vi phân trên C.
Khi đó ta có dãy khớp dài các R-mơđun đồng điều


11
p 1

...



H p (C )  H p (C ( x))  H p 1 (C ) (  1) H p 1(C )  ...

và xH p (C ( x)) 0 với mọi p 0.
1.5.4 Hệ quả. Cho các phần tử x1,..., xn  R . Khi đó ta có dãy khớp dài các
mơđun đồng điều
n
  H p  x1 ,, xn  1; M   H p  x1,,, xn ; M  
H p 1  x1,, xn 1; M   ...

trong đó n là phép nhân (-1)nx.
1.5.5 Định lý. i) Nếu các phần tử x1,..., xn là dãy M-chính quy thì H p ( x; M ) 0
với mọi p > 0.
ii) Cho R là vành địa phương với iđêan cực đại duy nhất m, M là một Rmôđun hữu hạn sinh, các phần tử x1,..., xn  m . Nếu H I ( x; M ) 0 thì x1,..., xn
là dãy M-chính quy.

1.5.6 Định lý. Cho R là vành Noether, J ( y1,..., yn ) là iđêan của vành R và
M là R-môđun hữu hạn sinh thoả mãn JM M . Đặt q sup{i / H i ( y : M ) 0} .
Khi đó mọi dãy M-chính quy cực đại trong J đều có độ dài là n-q.

1.6 Phức đối ngẫu
Cho

D :...  D n  ...  D0  D1  ...D n  ...

là một phức các R-môđun. Khi đó, D* được gọi là phức đối ngẫu của vành R
nếu thỏa mãn những điều kiện sau:
i) D* bị chặn, tức là D n 0 với n đủ lớn.
ii) Các môđun đồng điều H i ( D* ) hữu hạn sinh với mọi i;
iii) Dn là các R-môđun nội xạ với mọi n;
iv) Với mọi phức C * thỏa mãn các điều kiện (i) và (ii) ta đều có
HomR ( HomRC * , D* ), D* ) C * ,
ở đây  là tựa đẳng cấu trong phạm trù các phức.
Chú ý rằng, nếu R là vành đầy đủ thì R ln có phức đối ngẫu và nếu R
có phức đối ngẫu thì R là vành catenary, tức là, mọi dãy các iđêan nguyên tố
nằm giữa hai iđêan nguyên tố p  q đều có cùng độ dài.


12

1.7 Hệ tham số và số bội
1.7.1 Định nghĩa. Cho M là R-môđun hữu hạn sinh trên vành Noether địa
phương R với iđêan cực đại m. Một hệ gồm d phần tử với d dim M ,
x {x1,..., xd }  m thoả mãn: l ( M / xM )   được gọi là một hệ tham số của M.

1.7.2 Định lý. Cho R là vành Noether địa phương với iđêan cực đại m, M

là R-môđun hữu hạn sinh. Đặt s(M) = min{s: tồn tại a1,..., as  R thoả mãn

l (M / (a1,..., as )M )  } Khi đó s(M) = dimM.
1.7.3 Định lý. Cho R là vành Noether địa phương với iđêan cực đại m, M là
R-môđun hữu hạn sinh. Nếu các phần tử x1,..., xt  m thì
dimR M / (x1,, xt )M d  t .
Đẳng thức xảy ra nếu x1,..., xt  m là một phần của hệ tham số.
1.7.4 Định nghĩa. Cho R là vành Noether địa phương với iđêan cực đại m, M
là R-môđun hữu hạn sinh với dim M d , q là iđêan định nghĩa của M (tức là
l ( M / qM )   ). Khi đó hàm số sau được gọi là hàm Hilbert-Samuel.

Fq,M (n) l (M / q n1M ) .
1.7.5 Định lý đa thức Hilbert. Tồn tại đa thức Pq,M(n) với hệ số hữu tỉ bậc d
sao cho với n đủ lớn thì Pq,M  n  Fq,M (n) . Hơn nữa tồn tại số nguyên
e0  q; M   0 , e1  q; M  ,, ed  q; M 
sao cho

Pq,M  n   e0  q; M 

n d
d

 

 e1  q; M   nd 1d  1    ed (q; M ) .

Số e0 (q; M ) gọi là số bội Zariski - Samuel. Khi q sinh bởi hệ tham số
x {x1,..., xs } ta kí hiệu e0 (q; M ) e( x; M )
1.7.6 Định lý. Với những giả thiết như trên ta có:
d

e( x; M )   (  )i l ( H i ( x; M ))
i 0


13

trong đó H i ( x; M ) là mơđun đồng điều thứ i của phức Koszul K(x;M).
1.7.7 Định nghĩa. Cho R là vành Noether địa phương với iđêan cực đại m, M
là một R-môđun hữu hạn sinh. Một hệ các phần tử x {x1,..., xs } của R sao cho
l ( M )( x1,..., xs ) M   được gọi một hệ bội của môđun M.
Nếu s = 0 ta có thể hiểu điều kiện trên có nghĩa là l (M )   . Khi đó số
bội hình thức e( x; M ) của mơđun M đối với hệ bội x được định nghĩa quy nạp
theo n như sau:
e( ; M ) l ( M ) .

Khi s = 0 ta đặt

Khi s > 0 ta đặt (0 : x1) M {m  M : mx1 0} . Do l ( M )( x1,..., xs ) M   nên dễ
l (0: x1 ) M ) / ( x2 ,..., xs )(0: x1) M  

dàng suy ra

tức x2 ,..., xs là hệ bội của (0:x1)M. Theo giả thiết quy nạp
e( x2 ,..., xs ; M / xM ) và e( x2 ,..., xs ;(0: x1) M )

đã được định nghĩa. Khi đó ta đặt
e( x; M ) e( x2 ,..., xs ; M / xM  e( x2 ,..., xs ;(0: x1) M )
Dưới đây là một số tính chất cơ bản của số bội e( x; M ) .
1.7.8 Một số tính chất của số bội hình thức e(x; M).

i) 0 e( x; M ) l (M / xM ). Đặc biệt nếu tồn tại i  N sao cho x1n M 0 với
số tự nhiên n nào đó thì e( x; M ) 0.
ii) e( x; M ) 0 nếu và chỉ nếu s  dim M .
iii) Cho n1, …, nd là số nguyên dương. Khi đó
n

n

e( x11 ,..., xdd ; M ) n1,..., nd e( x; M ).
iv) Giả sử 0  M '  M  M ''  0 là dãy khớp các R-môđun hữu hạn sinh và x
là M’ , M, M’’. Khi đó e( x; M ) e( x; M , )  e( x; M ,, ).
v) Mỗi hệ tham số x {x1,..., xs } là một hệ bội. Khi đó số bội hình thức
e( x; M ) chính là số bội Zariski–Samuel e(q; M) với q là iđêan sinh bởi hệ

tham số x của M.
vi) Công thức Auslander-Buchsbaum:
d

l R ( M / ( x1 ,..., xd ) M )  e( x; M )  e( xi 1,..., xd ;( x1,..., xi  1 ) M : x1 / ( x1,..., xi  1) M ) .
1


14

1.8 Bất biến kiểu đa thức p(M)
Cho x ( x1 ,..., xd ) là một hệ tham số của M và n (n1 ,..., nd ) là một bộ
n
n
gồm d số nguyên dương. Khi đó x( n) ( x1 1 ,..., xd d ) cũng là hệ tham số của

M . Do đó ( M / x(n) M ) có thể xem như là hàm số theo biến n1 ,..., nd . Hàm

độ dài này nhận giá trị trong tập các số nguyên không âm.
Năm 1985, R.Y.Sharp đặt ra câu hỏi: ( M / x(n) M ) có phải là đa thức
theo khi n1 ,..., nd đủ lớn (kí hiệu là n1 ,..., nd 0 hoặc n 0 ). Chú ý rằng
e( x1n1 ,..., xdnd ; M ) n1...nd e( x; M ) .
Vì vậy vấn đề của R.Y.Sharp có thể phát biểu như sau:
Hàm số

n

n

I M (n, x) ( M / ( x1 1 ,..., xd d ) M )  n1...nd e( x; M )

Có phải là đa thức theo n khi n 0 ?
Năm 1986, J.L.Garcia và D.Kirby đã chỉ ra rằng nói chung hàm I M (n, x)
không phải là đa thức theo n khi n 0
Năm 1990, Nguyễn Tự Cường [5] đã chỉ ra rằng nói chung hàm I M (n, x)
khơng phải là đa thức theo n khi n 0 là hệ tham số x phải là p-dãy khơng
điều kiện.
Vì vậy vấn đề đặt ra tiếp theo là điều gì sẽ xảy ra khi I M (n, x) khơng cịn
là một đa thức theo n nữa ?
1.8.1 Bổ đề. Cho x ( x1 ,..., xd ) là một hệ tham số của M và n (n1 ,..., nd )
là một bộ d số nguyên dương. Khi đó
( M /( x1n1 ,..., xdnd ) M ) n1...nd ( x1 ,..., xd ; M ).
Chứng minh. Khi d = 1, xét dãy khớp
1
R / x1R  x
 R / x12 R  R / x1R  0.

Áp dụng hàm tử tenxơ * R M và chú ý rằng R / aR R M M / aM , ta
nhận được dãy khớp
x

1
M / x1M 
M / x12 M  M / x1M  0.

Suy ra

( M / x12 M ) 2( M / x1M ) .


15

( M / x1n1 M ) n1( M / x1M )

Tương tự ta sẽ đi đến

Bây giờ giả sử d > 1. Đặt E M / x1n1 M và F M /( x2 ,..., xd ) M .
Khi đó theo giả thiết quy nạp theo d ta được
( M /( x1n1 ,..., xdnd ) M ) ( E /( x2n2 ,..., xdnd ) E ) n2 ...nd ( E /( x2 ,..., xd ) E )
( F / x1n1 F ) n1...nd ( M /( x1 ,..., xd ) M ).
Bổ đề được chứng minh



1.8.2 Hệ quả. I M (n, x) n1...nd I M ( x).
Chứng minh.

I M (n, x) ( M /( x1n1 ,..., xdnd ) M )  e( x(n); M )

Theo Bổ đề 1.6.1 và do e( x (n); M ) n1...nd e( x; M ) , ta có
I M (n; x) n1...nd ( M /( x1 ,..., xd ) M )  n1...nd e( x; M )
n1...nd (( M / ( x1 ,..., xd ) M )  e( x; M )) n1...nd I M ( x).
Do đó

I M (n, x) n1...nd I M ( x)

Hệ quả 1.6.2 nói lên rằng nếu hàm I M (n; x) khơng phải là một đa thức thì
ít nhất hàm đó cũng bị chặn trên bởi đa thức n1...nd I M ( x) . Định lý sau đây
khái quát tính chất trên.
1.8.3 Định lý. Bậc nhỏ nhất của các đa thức theo các biến n1 ,..., nd chặn trên
hàm số I M (n, x) là độc lập với việc chọn hệ tham số x .
Chứng minh. Cho t là số tự nhiên và đặt t (t ,..., t ) là bộ d số nguyên bằng
nhau. Khi đó bậc bé nhất của tất cả các đa thức theo t chặn trên hàm I M (t ; x)
không phụ thuộc vào x . Ký hiệu bất biến này là p( M ) và p ( x) là bậc bé
nhất của tất cả các đa thức chặn trên hàm I M (n; x) . Rõ ràng là p( M )  p ( x).
Bây giờ cho m (m1,..., md ) là một bộ d số với mi ni , i 1,..., d . Ta sẽ chứng
minh rằng I M (m; x) I M ( n; x) . Bằng quy nạp theo d ta nhận thấy có thể giả
sử rằng mi ni với mọi i  d . Khi đó ta có
( x1n1 ,..., xdnd 11 ) M : xdmd /( x1n1 ,..., xdnd 11 ) M ) ( x1n1 ,..., xdnd 11 ) M : xdd /( x1n1 ,..., xdnd 11 ) M


16

Vậy ta suy ra I M (m; x) I M ( n; x) . Do đó I M (t ; x) I M (n; x) khi t ni ,
i 1,..., d . Điều này chứng tỏ rằng p( M )  p ( x). Vậy p( M )  p( x) với mọi

hệ tham số x .
Từ định lý trên ta có định nghĩa sau đây.
1.8.4 Định nghĩa. Bậc bé nhất của tất cả các đa thức chặn trên I M (n; x) là
một bất biến của M . Bất biến này được gọi là kiểu đa thức của M và ký hiệu
là p ( M ) .
1.8.5 Chú ý. Để thuận tiện ta xem bậc của đa thức không bằng   . Khi đó ta
thấy rằng: M là môđun Cohen-Macaulay khi và chỉ khi p ( M )   và M là
môđun Cohen-Macaulay suy rộng khi và chỉ khi p ( M ) 0 . Vậy kiểu đa thức
của mơđun có thể xem như là một độ đo tốt và xem mơđun đó gần với tính
Cohen-Macaulay.
Dựa vào công thức giới hạn của Lech về số bội
lim (n1...nd )  1 ( xnn1 ,..., xdnd ; M ) e( x1 ,..., xd ; M ),

min( ni )  

ta dễ dàng suy ra bất đẳng thức p ( M ) dim M  1.


17

CHƯƠNG II.

BẤT BIẾN pk(M)

Cho ( R, m) là một vành giao hoán, địa phương, Noether với iđêan cực
đại duy nhất m ; M là một R-mơđun hữu hạn sinh có chiều Krull là d;
x ( x1 ,..., xd ) là một hệ tham số của M . Kí hiệu Hi(x; M) là môđun đồng điều

Koszul thứ i của M đối với hệ tham số x. Theo Serre [9], đặc trưng EulerPoincare bậc cao Xk ( x; M ) của M đối với hệ tham số x được định nghĩa như
sau:

Xk ( x; M )  ( 1)i  k ( H i ( x; M ),
i k

với k = 0, ..., d. Ở đây  (N) là kí hiệu độ dài của R–môđun N. Cho
n (n1,..., nd ) là bộ gồm d số nguyên dương, kí hiệu x(n) ( x1n1 ,..., xdnd ) . Khi đó
x(n)

cũng

là

hệ

tham

số

của

M.

Chúng

ta

có

thể

xét

Xk ( x(n); M )  ( 1)i  k ( H i ( x(n); M ) như là một hàm theo biến n. Hàm này
i k
nói chung khơng phải là đa thức theo biến n. Tuy nhiên Garcia Roig [7] đã chỉ
ra rằng khi n1 = ... = nd = t thì hàm Xk ( x(t ); M ) theo biến t bị chặn trên bởi một
đa thức theo biến t và bậc nhỏ nhất của tất cả các đa thức theo biến t chặn trên
hàm này là không phụ thuộc vào việc chọn hệ tham số x.
Năm 1996, Nguyễn Tự Cường và Vũ Thế Khôi [6] đã chứng minh
được rằng bậc bé nhất của tất cả các đa thức theo n chặn trên hàm

Xk ( x(n); M ) không phụ thuộc vào việc chọn hệ tham số x; bất biến này được
kí hiệu là pk(M). Khi k = 1 thì bất biến này chính là bất biến kiểu đa thức được
Nguyễn Tự Cường đưa ra trong [5] mà chúng tơi đã trình bày trong Chương1.
Mục đích của chương này là trình bày lại chi tiết các kết quả trong bài báo [6]
của Nguyễn Tự Cường và Vũ Thế Khôi: “On the partial Euler-Poincare


18

characteristics of certain systems of parametes in local rings”, Math Z . Vol
222, 383-390.
Cũng như chương trước, trong chương này, chúng tôi vẫn luôn giả thiết
( R, m) là một vành giao hoán, địa phương, Noether với iđêan cực đại duy

nhất m ; M là một R-môđun hữu hạn sinh có chiều Krull là d.

2.1 Biểu diễn của Xk ( x; M ) qua số bội
2.1.1 Bổ đề. Giả sử x ( x1,..., xt ) là một hệ bội của M. Cho j và k là hai số
nguyên dương sao cho t  j k  0 . Khi đó

j

e( x j 1,..., xt ;( H k ( x1,..., x j ); M )   e( x1,..., xt (0: xi ) H
i k

k  1( x1,..., xi 1;M )

j

  e( xi 1,..., xt ;(0 : xi )
i k 1

e( xi 1,..., xt ;(0 : xi )

H k ( x1,.., xi 1;M )

H k  1( x1,.., xi 1;M )

) l ((0: xi )

)

), ở đây

H k ( x1,.., xi 1;M )

) nếu i = t.

Chứng minh. Chứng minh bằng quy nạp theo j.
Dễ dàng kiểm tra thấy bổ đề đúng với j = 1.

Nếu j > 1. Từ dãy khớp các môđun đồng điều Koszul
0  H k ( x1 ,, x j 1; M) / xjH k ( x1, , xj 1; M)  H k (x1, , x j ;M)  (0 : x j )

Hk-1 x1,, xj 1;M 

và tính chất cộng tính của số bội, ta có
e( x j 1,..., xt ; H k ( x1,..., x j  1; M )) = e( x j 1,..., xt ;(0: x j ) H ( x ,.., x ;M ) )
j 1
k 1 1
+ e( x j 1,..., xt ; H k ( x1,..., x j  1; M ) / x j H k ( x1,..., x j  1; M )) =
e( x j 1,..., xt (0: x j )

H k  1( x1,..., x j 1;M )

)

+ e( x j 1,..., xt (0: x j ) Hk ( x1,..., x j 1;M ) ) + e( x j 1,..., xt ; H k  1 ( x1,..., x j  1; M )) .
Do đó từ giả thiết qui nạp ta suy ra điều phải chứng minh.



Từ bổ đề trên, ta có ngay hệ quả sau.
2.1.2 Hệ quả. Giả sử x {x1,..., xt } là một hệ bội của M. Khi đó
t

Xk ( x; M )   e( xi 1,..., xt ;(0: xi )
i k

)
H k  1( x1,..., xi 1;M ) .

0


19

Từ Hệ quả 2.1.2, chúng ta có một số hệ quả thú vị. Trước hết, vì số bội
là một số nguyên không âm nên chúng ta nhận được kết quả quen biết sau đây
của Serre.
2.1.3 Hệ quả. Giả sử x {x1,..., xt } là một hệ bội của M. Khi đó Xk ( x; M ) 0
với mọi k 0.
Chú ý rằng X0 ( x; M ) e( x; M ). Từ đó suy ra
X1 ( x; M ) l ( H 0 ( x; M )  X0 ( x; M ) l ( M / ( x) M )  e( x; M ).
Vì vậy từ Hệ quả 2.1.2 ta có cơng thức bội Auslander - Buchsbaum [3]:
2.1.4 Hệ quả. Giả sử x {x1,..., xt } là một hệ bội của M. Khi đó
i

e( x; M ) l ( M / ( x) M )   ei (xi 1, , xt ;( x1,, xi  1)M : xi / ( x1,, xi  1)M ).
i 1

2.2 Bất biến pk(M)
2.2.1 Bổ đề. Cho phần tử a  R và s là một số nguyên dương tùy ý. Khi đó:
'

i) l (0 : a s ) l (0 : a s ) với mọi s’  s;
M
M
s

ii) l (0 : a ) M  sl (0 : a ) M .

Chứng minh. i) Ta có
,

,

0  (0: a s ) M  (0: a s ) M  (0: a s ) M / (0: a s ) M  0
là dãy khớp các R–mơđun. Từ đó suy ra
,

,

l ((0: a s ) M / (0: a s ) M )  l (0: a s ) M l (0: a s ) M .
,

Do đó l (0: a s ) M l (0: a s ) M với mọi s’  s.
ii) Bằng quy nạp theo s, ta suy ra điều cần chứng minh.



2.2.2 Bổ đề. Cho x {x1,..., xd } là một hệ tham số của M và n n1,..., nd là bộ
d số nguyên dương tùy ý. Khi đó với k 0,1,...,d, ta có:
i) Xk ( x1 1 ,..., xd d ; M ) n1...nd Xk ( x; M ).
n

n

n
t
n
t

ii) Xk ( x1 1 ,..., xd d ; M ) Xk ( x11 ,..., xdd ; M ) với mọi t1 n1,..., td nd .

Chứng minh. i) Khi k = 0, ta có X0 ( x; M ) e( x; M ). nên Bổ đề đúng với k = 0.