SKKN BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI, HỆ QUẢ VÀ ỨNG DỤNG

BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI, HỆ QUẢ VÀ ỨNG DỤNG
I/ Mở đầu: Bất đẳng thức cô si là BĐT rất quan trọng trong toán học, áp dụng nhiều
trong bài tập chứng minh BĐT và những bài tập tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
của một biểu thức.
Nhưng BĐT Cô-si không được đề cập trong sách giáo khoa toán cấp hai mà chỉ có
trong một bài tập của sách bài tập toán 9.
Hệ quả của BĐT Cô-si cũng không kém phần quan trọng, áp dụng rất nhiều vào việc
tìm GTLN,GTNN của một biểu thức. Nhưng hệ quả của BĐT Cô-si khôngdược đề
cập trong sách toán cấp 2. Đối với giáo viên nhất là giáo viên dạy nâng cao hoặc bồi
dưỡng không thể bỏ qua được việc nghiên cứu và áp dụng BĐT Cô-si và hệ quả của
nó cho các bài tập toán ở cấp 2.
II/ Nội dung:
a/ Bất đẳng thức Cô-si: Với hai số không âm thì trung bình cộng luôn lớn hơn hoặc
bằng trung bình nhân của nó.
Cụ thể: Với a
≥
0;b
≥
0 thì
ab
ba
≥
+
2
đấu bằng xảy ra khi a=b
b/ Hệ quả 1: Nếu tổng của hai số dương, không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi hai
số đó bằng nhau.
Cụ thể:
abba 2≥+
mà a+b=S không thay đổi nên

4
.2
2
S
baabS ≤⇔≥
vậy max

a.b=
ba
S
=⇔
4
2
c/ Hệ quả 2: Nếu tích của hai số dương không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi hai
số đó bằng nhau.
Cụ thể:
abba 2≥+
mà a.b không đổi nên
pba 2≥+
vậy min (a+b)=2
bap =⇔
III/ Áp dụng:
Ví dụ 1: Chứng minh rằng: M=
2
1
2
2
2
≥
++

++
aa
aa
với mọi giá trị của a. Dấu dẳng thức
xảy ra khi nào?
Gợi ý: Ta có:
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
22
2
2
2
++
+++=
++
+
++
++
=
++
++

aa
aa
aaaa
aa
aa
aa
Vì
1
2
++ aa
0≥
;
0
1
1
2
≥
++ aa
nên áp dụng BĐT Cô-si ta có:
1
2
++ aa
+
2
1
1
.12
1
1
2

2
2
=
++
++≥
++ aa
aa
aa
vậym
ax
M=2
Dấu dẳng thức xảy ra khi:



−=
=
⇔=+⇔=++⇔
++
=++
1
0
0)1(11
1
1
1
2
2
2
a

a
aaaa
aa
aa
Ví dụ 2: Cho a,b,c là các số dương. Chứng minh:
2
222
cba
ba
c
ca
b
cb
a ++
≥
+
+
+
+
+
Gợi ý: Áp dụng BĐT Cô-si ccho các số không âm có:

a
cb
cb
acb
cb
a
=
+

+
≥
+
+
+ 4
.2
4
22
;
b
ca
ca
bca
ca
b
=
+
+
≥
+
+
+ 4
.2
4
22
;
c
ba
ba
cba

ba
c
=
+
+
≥
+
+
+ 4
.2
4
22
Cộng vế theo vế của 3 BĐT trên ta có:
24
)(2
)(
222
cbacba
cba
ba
c
ca
b
cb
a ++
=
++
−++≥
+
+

+
+
+
(đpcm)
Ví dụ 3: Cho P=
)5)(3(
8
xx −+
với -3<x<5 Tìm GTNN của P và giá trị tương ứng của
x
Ta giải bài này bằng cách dùng hệ quả 1 của BĐT Cô-si:
Đặt A=
)5)(3( xx −+
nhận xét P>0 nên P đạt min khi A đạt max khi và chỉ khi (x+3)
(5-x) đạt max
Xét tổng (x+3) +(5-x) = 8 là số không đổi. Vậy tích (x+3)(5-x) đạt max
⇔
x+3=5-x
⇔
2x=2
⇔
x=1
(TMĐK) .Thay x=1 vào P
⇒
min P=2 khi x=1
Ví du 4:Cho biểu thức:
)0(
3
72
2

>
+
= x
x
x
M
.Tìm x để M đạt giá trị nhỏ nhất.Tính giá
trị nhỏ nhất đó
Gợi ý:
x
x
x
x
N
24
33
72
2
+=
+
=
vì
0
24
;0
3
≥≥
x
x
áp dụng hệ quả 2 của BĐT Cô-si

Xét tích
8
24
.
3
=
x
x
không thay đổi
⇒
x
x 24
3
+
đạt min
⇔
x
x 24
3
=
⇔
26=x
(vì x>0)
Thay
26=x
vào N ta có minN=
24
⇔
26=x
Ví dụ 5: Tìm GTNN của:

)10
1
3
,
)1(
1
1
,
<<
−
+=
>
−
+=
x
x
x
x
Bb
x
x
xAa
Ta biến đổi A để áp dụng được BĐT Cô-si cho hai số dương:
1
1
1
−
−
x

vàx

Ta có :
1
1
1
)1( +
−
+−=
x
xA
theo BĐT Cô-si:
2
1
1
).1(2
1
1
)1( =
−
−≥
−
+−
x
x
x
x
Vậy A
≥
2+1=3

⇒
min A=3
⇔
21)1(
1
1
1
2
=⇔=−⇔
−
=− xx
x
x
(loại x=0 vì x>1)
Ta biến đổi B sao cho áp dụng được BĐT Cô-si
3
1
)1(3
3
1
3
3
1
3
+
−
+
−
=+
−

+−=
−
+=
x
x
x
x
x
x
xx
x
x
B
Vì 0<x<1 nên
và
x
x
0
)1(3
>
−
0
1
>
− x
x
áp dụng BĐT Cô-si ta có:
32
1
)1(3

≥
−
+
−
x
x
x
x

Vậy B
≥
332 +
Suy ra min B =
332 +

x
x
x
x
−
=
−
⇔
1
)1(3







+
=
−
=
⇔=+−⇔
)(
2
33
2
33
0362
2
KTMĐTx
x
xx
Vậy min B=
32
⇔
2
33 −
=x
Ví dụ 6:Cho a>0, b>0, c>0. Tìm GTNN của: E=
ba
c
ac
b
cb
a
+

+
+
+
+

Ví dụ này dành cho bạn đọc.
IV/ Kết luận: BĐT Cô-si và hệ quả rất quang trọng trong việc chứng minh BĐT và
tìm GTLN,GTNN của biểu thức nên chúng ta cần khai thác và tìm hiểu sâu hơn về
BĐT này.
Cô Trần Thị Thu Yến - Tổ Toán