SKKN HƯỚNG PHÁT TRIỂN TƯ DUY QUA BÀI TOÁN HÌNH

Kinh Nghiệm Hớng Phát Triển T Duy Qua Bài Toán Hình Học
phần I : đặt vấn đề
hi giải hoàn thành một bài toán nói chung và một bài
toán hình nói riêng. Các em học sinh thờng thỏa mãn
những gì đã làm đợc. Rất ít em còn trăn trở suy nghĩ tiếp nh :
K
a, Còn có thể giải bằng cách nào nữa không ? Còn có thể trình bầy
ngắn gọn hơn nữa không ?
b, Cũng giả thiết ấy thì còn kết luận ( Chứng minh) đợc những gì
nữa.
c, Và cuối cùng nếu thay đổi một hay vài điều kiện của giả thiết. Thì
kết luận mới thu đợc có gì đặc biệt .
Rõ ràng nếu tự giác làm đợc những công việc ấy sau khi giải một
bài toán hình thì vô cùng có ý nghĩa. Nó tạo ra cho các em một thói quen
tốt sau khi giải quyết xong một công việc nhằm đánh giá nhận xét đúng
mức, những gì đã làm, những gì cha làm đợc. Để từ đó rút ra bài học bổ
ích cho chính mình. Thiết nghĩ đó cũng là một cách học, cách hiểu bài
thêm sâu sắc hơn, cách học có tính chủ động và sáng tạo hơn. Tuy nhiên
trong thực tế đa số học sinh cha có thói quen làm nh vậy, mà nếu có cũng
chỉ là hình thức mà thôi. Do vậy là ngời giáo viên dạy toán cần phải hớng
dẫn cho học sinh thờng xuyên thực hiện công việc này, đặc biệt là các em
có năng lực về bộ môn. Từ suy nghĩ ấy tôi đã trăn trở và mạnh dạn đa ra
một hớng: Phát triển bài toán hình. Nhằm giúp các em tạo ra một thói
quen tốt sau khi giải một bài toán , đồng thời giúp các em yêu thích bộ
môn toán có thêm điều kiện để phát triển thêm về năng lực t duy Cùng
đồng nghiệp tham khảo trong cách tự "Thiết kế" ra những bài tập mới từ
những bài tập đã biết.
1
Kinh Nghiệm Hớng Phát Triển T Duy Qua Bài Toán Hình Học
phần II : nội dung
I/ Cơ sở lý luận

Chúng ta đã biết: Trong chơng trình toán 7 bộ môn hình học, các em
đã đợc làm quen với một định lý về tính chất ba đờng trung tuyến trong
tam giác.
Định lý: Trong một tam giác ba đờng trung tuyến cùng đi qua một
điểm, khoảng cách từ điểm ấy đến mỗi đỉnh có độ dài bằng 2/3 độ dài
trung tuyến kẻ từ đỉnh đó .
Về phần chứng minh định lí SGK - HH7 đã chứng minh cụ thể. Tuy
nhiên tôi cũng mạnh dạn đa ra một cách chứng minh khác, trên cơ sở đó ta
còn suy xét tiếp bài toán:
Chứng minh:
A


C1 G B
1

B A
1
. C
Giả sử ta gọi AA
1
, BB
1
, CC
1
. Là các trung tuyến của tam giác
ABC. ( A
1
, B
1

, C
1
lần lợt là trung điểm của BC, CA, AB ). Ta phải chứng
minh AA
1
, BB
1
, CC
1
cung đi qua một điểm. Thật vậy : Gọi AA
1
cắt BB
1
tại G. (Ta kí hiệu S là diện tích S
ABC
: đọc là diện tích của tam giác ABC ).
Ta luôn có: S
ABC 1
= S
ACA1
( Hai tam giác có chung đờng cao hạ từ A
và đáy BA
1
= CA
1
nên diện tích của chúng bằng nhau).
Từ chứng minh này ta có kết luận: Trong một tam giác đờng trung
tuyến chia tam giác đó thành hai phần có diện tích bằng nhau và bằng
2
1

diện tích tam giác ấy(*)
Từ kết luận (*) ta suy ra:
2
Kinh Nghiệm Hớng Phát Triển T Duy Qua Bài Toán Hình Học
S
AC A1
=
S
BC B1
(=


2
1

S
ABC
)
Nhng: S
ACA1
= S
GAB1
+ S
GA1C B1
S
BC B1
= S
GBA1
+ S

G A1C B1
Vậy : S
GAB1
= S
GBA1
( 1 )
Lại áp dụng kết luận (*) thì : S
GAB1
= S
GC B1
( =
2
1
S
GAC

)
S
GBA1
= S
GC A1
( =
2
1
S
GBC

) (2)
Từ (1), (2) Suy ra :
S

GAB1
= S
GC B1
=S
GC A1

Thế thì : S
GAC

=
3
2
. S
ACA1
Nhng lại có

GAC,

ACA
1
có chung độ dài đờng cao hạ từ C,
gọi là h chẳng hạn. Vậy ta có :

2
1
GA . h =
2
1
AA
1

.h Suy ra:
3
2
1
=
AA
AG
(3)
Tơng tự chứng minh trênta cũng có :
3
2
1
=
BB
BG

Bây giờ ta giả sử AA
1
cắt CC
1
tại G
'
.
Chứng minh tơng nh vậy tự ta cũng có :

3
2
1
'
=

AA
AG
(4)
Từ (3) và (4) . Suy ra AG
'
= AG vì ABC xác định nên G
'
trùng với G.
Chứng tỏ rằng : Ba đờng trung tuyến của một tam giác cùng đi qua
một điểm, khoảng cách từ điểm đó đến mỗi đỉnh bằng
3
2
độ dài trung
tuyến kẻ từ đỉnh đó. ( Giao điểm đó gọi là trọng tâm của tam giác)
( Chú ý: Cách giải trên hoàn toàn phù hợp với học sinh lớp 7. Bởi ở
bậc tiểu học các em đã học công thức tính diện tích của một số hình trong
đó có Tam giác). Nếu ta dừng lại ở đây thì chẳng nói làm gì. Điều đó cũng
có thể đợc bởi bài tập đã giải quyết xong. Tuy nhiên đã trình bày ở trên,
việc hớng dẫn cho học sinh cần phải có một thời gian phù hợp đủ để nhìn
nhận, đánh giá những cái đã làm đợc, cha làm đợc, ở các góc độ khác
chẳng hạn:
3
Kinh Nghiệm Hớng Phát Triển T Duy Qua Bài Toán Hình Học
Bài toán còn có thể giải quyết theo hớng nào hay hơn không ? Bài
toán này nếu giữ nguyên giả thiết ấy thì còn kết luận thêm đợc gì nữa?
Bài toán này nếu đặc biệt hóa giả thiết (và ngợc lại tổng quát hóa
giả thiết) một số điều kiện ( nếu đợc) thì thu đợc những kết luận mới
nào?
Riêng hai vấn đề trên tôi chỉ nêu ra có tính chất làm ví dụ dành cho
bạn đọc. Còn nội dung chủ yếu của Kinh nghiệm này tôi suy nghĩ và đa ra

một hớng Phát triển . Đó là nội dung hớng thứ ba
II. Nội dung biện pháp
Quay lại bài toán ta đã chứng minh đợc: Trong Tam giác ABC các
trung tuyến AA
1,
,BB
1
, CC
1
cùng đi qua một điểm G và:
3
2
111
===
CC
GC
BB
GB
AA
GA
Nh vậy thì:
3
2
111
===
CC
GC
BB
GB
AA

GA
Do đó:
1
3
1
3
1
3
1
1
1
1
1
1
1
=++=++
CC
GC
BB
GB
AA
GA
(5)
Phát triển I:
Từ bài toán suy xét thêm ta thấy: Tuy Tam giác ABC là bất kỳ nhng
AA
1,
,BB
1
, CC

1
Là ba trung tuyến của Tam giác - Là ba đờng đặc biệt, nên
G có tính chất đặc biệt nh vậy nghĩa là do đó mà ta có đẳng thức ( 5). Bây
giờ chuyển sự đặc biệt hóa thành khái quát rằng: Giả sử các đờng
AA
1,
,BB
1
, CC
1
là bất kỳ của Tam giác ABC và cùng đi qua một điểm K
bất kỳ nằm trong trong

ABC. Đẳng thức (5) có gì thay đổi theo . Thật
vậy: Cho K là một điểm bất kỳ của

ABC ( K nằm trong

ABC). Gọi
AK, BK, CK lần lợt cắt BC, CA, AB ở A
1,
,B
1
, C
1
.

4
A
B

H
A
1
H
1
C
B
1
C
1
Kinh Nghiệm Hớng Phát Triển T Duy Qua Bài Toán Hình Học
Ta gọi S là diện tích

ABC, S
1
là diện tích Tam giác KBC ,S
2
là dt

KCA ,S
3
là dt

KAB và h
a
,h
b
,h
c
là độ dài đờng cao của

ABC ứng với
cạnh :BC, CA , AB gọi h
1
, h
2
, h
3
lầnlợt là độ dài đờng cao của

KBC,

KCA ,

KAB hạ từ K ta có:
S =
2
1
BC.h
a
=
2
1
CA. h
b
=
2
1
AB.h
c

(6)
S
1
=
2
1
BC.h
1
, S
2
=
2
1
CA.h
2
, S
3
=
2
1
AB.h
3
(7) .
Từ (6) và (7) ta có
a
h
h
S
S
11

=
;
b
h
h
S
S
22
=
;
c
h
h
S
S
33
=
. Tiếp tục kẻ AH
vuông góc với BC tại H , KH
1
vuông góc với BC tại H
1
. Suy ra trong

AHA
1
có AH // KH
1
( cùng vông vói góc BC).
Vậy ta có :

1
11
AA
KA
AH
KH
=
hay
Do đó:
a
h
h
AA
KA
1
1
1
=

( Do ta gọi h
a
là độ dài đờng cao của

ABC ứng với cạnh BC h
1
là
độ dài đờng cao của

KBC hạ từ K ). Do đó
S

S
AA
KA
1
1
1
=
.
Tơng tự ta cũng có:
S
S
BB
KB
2
1
1
=
,
S
S
CC
KC
3
1
1
=

Từ đó suy ra:
S
SSS

S
S
S
S
S
S
CC
KC
BB
KB
AA
KA
3213
21
1
1
1
1
1
1
++
=++=++
.

Nhng S
1
+S
2
+ S
3

= S
KBC
+ S
KcA
+S
KAB
= S
ABC
= S.
Vậy
Chứng tỏ rằng :
1
1
1
1
1
1
1
==++
S
S
CC
KC
BB
KB
AA
KA

So sánh (5) và (5.1) ta thấy rằng chỉ cần điều kiện ba đờng thẳng bất
kỳ đi qua ba đỉnh của tam giác và đồng qui tại một điểm (*) thì đẳng thức

( 5) vẫn đúng. Nhng rõ ràng giải đợc bài toán này mức độ đòi hỏi sự hiểu
biết của học sinh phải cao hơn nhiều từ đó ta có bài toán mới:
Bài toán I :
Cho K là một điểm bất kỳ trong

ABC gọi AK, BK, CK lần lợt cắt
BC, CA, AB tại A1, B1, C1 .Chứng minh rằng:
5
S
1
+ S
2
+ S
3
S
= = 1
S S
Kinh Nghiệm Hớng Phát Triển T Duy Qua Bài Toán Hình Học
1
1
1
1
1
1
1
==++
S
S
CC
KC

BB
KB
AA
KA
Tiếp tục không dừng lại ở đây, ta lại suy xét thêm bài toán tơng tự
nh trên từ bài toán ban đầu ta đã mở rộng thêm bài toán đó là bài toán 1.
Bây giờ cũng từ kết quả của bài toán ban đầu ta có:
Thế thì ta có một hớng phát triển khác.
Phát triển II :
Từ nhận xét trên ta suy ra.
9
1
3
1
3
1
3
1
1
1
1
1
1
=++=++
GC
CC
GB
BB
GA
AA

(8).
Sở dĩ có đẳng thức (8) là do G là một điểm đặc - trọng tâm của Tam
giác. Vậy vấn đề đặt ra rằng nếu thay sự đặc biệt của vị trí điểm G thành
khai quát thành điểm K bất kỳ trong Tam giác. Thì đẳng thức (8) có còn
đúng không, hay ta sẽ thu đợc điều gì mới (*). Chỉ xét điểm đồng quy ở
trong Tam giác Thật vậy : ta cũng gọi K là một điểm bất kỳ trong

ABC gọi AK, BK, CK lần lợt cắt BC, CA, AB tại A
1
, B
1
, C
1
.Theo phát
triển I ta có:
S
S
AA
KA
1
1
1
=
,
S
S
BB
KB
2
1

1
=
,
S
S
CC
KC
3
1
1
=
.Vậy suy ra:
3211
1
1
1
1
1
S
S
S
S
S
S
KC
CC
KB
BB
KA
AA

++=++
.
Để cho bài toán khó thêm một chút , ta sẽ tạo tiếp ra các nút kiến
thức chẳng hạn: Do: S = S
1
+ S
2
+ S
3
( Trong phát triển 1 ) Nên :
1
32
1
321
1
1
S
SS
S
SSS
S
S
+
+=
++
=
=1+
1
3
1

2
S
S
S
S
+
, tơng tự :
2
3
2
1
2
1
S
S
S
S
S
S
++=
,
3
2
3
1
3
1
S
S
S

S
S
S
++=
.
Do đó:
6
AA
1
BB
1
CC
1
= = = 3
GA
1
GB
1
GC
1
S S S S
2
S
1
S
3
S
1
S
2

S
3
+ + = 3 + + + + + +
S
1
S
2
S
3
S
1
S
2
S
1
S
3
S
3
S
2
Kinh Nghiệm Hớng Phát Triển T Duy Qua Bài Toán Hình Học
Nhng ta chú ý rằng do K nằm trong

ABC nên diện tích các

KBC,

KCA,

KAB đều là các số dơng. Mặt khác trong đại số ta luôn
có: (a-b)
2
0 a, b
a
2
+ b
2


2ab a, b

a
b
b
a
+
2 a, b > 0 (*)
dấu " = " xảy ra khi a= b. áp dụng (*) vào trên ta có:
3+
1
2
2
1
S
S
S
S
+
+

2
3
3
2
S
S
S
S
+
+
3
1
1
3
S
S
S
S
+
3+2+2+2 =9
Dễ thấy dấu = xẩy ra khi S
1
= S
2
= S
3
điều này có đợc khi K trùng G
Do đó:
1
1

1
1
1
1
KC
CC
KB
BB
KA
AA
++
9 (8.1) So sánh (8) và (8.1) Ta thấy (8)
chỉ là một trờng hợp đặc biệt của (8.1). Từ đó ta có bài toán mới.
Bài toán II :
Chứng minh rằng:
Nếu K là một điểm bất kỳ trong

ABC và AK, BK,CK lần lợt cắt
BC, CA, AB tại A
1
,B
1
, C
1
thì luôn có:
1
1
1
1
1

1
KC
CC
KB
BB
KA
AA
++
9.
Suy xét tiếp tục bài toán ban đầu do có :
111
CC
GC
BB
GB
AA
GA
==
=
3
2
.
Suy ra:
111
GC
GC
GB
GB
GA
GA

==
=2 .
Vậy :
1
GA
GA
+
1
GB
GB
+
1
GC
GC
= 2 + 2+ 2 = 6 (9)
Phát triển III :
Từ đẳng thức (9) vấn đề đặt ra là nếu không hạn chế G mà thay G
( Trọng tâm) bởi một điểm K bất kỳ trong Tam giác, kết quả thu đợc có gì
đặc biệt so với (9). Thật vậy trong phát triển II ta có:
1
1
1
1
1
1
KC
CC
KB
BB
KA

AA
++
9

7
Lợi dụng bất đẳng
thức này ta suy xét
tiếp. Dễ thấy muốn có
KA thì ta lấy hiệu AA
1
và KA
1
. Từ đó ta bớt
mỗi vế của bất đẳng
thức trên đi 3 đơn vị ta
đợc:
A
B
B
1
C
1
A
1
C
Kinh Nghiệm Hớng Phát Triển T Duy Qua Bài Toán Hình Học
1
1
KA
AA

- 1+
1
1
KB
BB
- 1+
1
1
KC
CC
- 1 9 -3

1
11
KA
KAAA
+
1
11
KB
KBBB
+
1
11
KC
KCCC
6 .

1
KA

KA
+
1
KB
KB
+
1
KC
KC
6 (9.1)
So sánh (9) và (9.1) ta thấy rõ ràng (9) chỉ là trờng hợp đặc biệt
của (9.1) mà thô. Nh thế ta có bài toán tổng quát hơn bài toán mới:
Bài toán III :
Cho K là một điểm bất kỳ trong

ABC, gọi AK, BK,CK lần lợt cắt
BC, CA, AB tại A
1
,B
1
, C
1
.Chứng minh rằng :
1
KA
KA
+
1
KB
KB

+
1
KC
KC
6 .
Cứ tiếp tục suy xét tiếp bài toán và phát triển tiếp.
Phát triển IV :
Trong baì toán ban đầu ta có :
1
AA
GA
=
1
BB
GB
=
1
CC
GC
=
3
2
.
Thế thì :
GA
GA
1
=
GB
GB

1
=
GC
GC
1
=
2
1
.
Suy ra
GA
GA
1
+
GB
GB
1
+
GC
GC
1
=
2
1
+
2
1
+
2
1

=
2
3
. (10)
Có đợc đẳng thức (10) là do G là trọng tâm của

ABC . Bây giờ
nếu ta thay G bởi một điểm K bất kỳ trong

ABC thì tổng
KA
KA
1
+
KB
KB
1
+
KC
KC
1
Có gì đặc biệt so với (10)
Ta suy xét tiếp nh sau: vì
1
1
AA
KA
=
S
S

1
(Trong phát triển 1)
Suy ra:
11
1
KAAA
KA

=
1
1
SS
S


1
1
AA
KA
=
1
1
SS
S

Nhng S - S
1
= S
1
+ S

2
+ S
3
- S
1
= S
2
+ S
3
Vậy
KA
KA
1
=
32
1
SS
S
+
Tơng tự:
KB
KB
1
=
13
2
SS
S
+
,

KC
KC
1
=
21
3
SS
S
+
Do đó:
KA
KA
1
+
KB
KB
1
+
KC
KC
1
=
32
1
SS
S
+
+
13
2

SS
S
+
+
21
3
SS
S
+
8
Kinh Nghiệm Hớng Phát Triển T Duy Qua Bài Toán Hình Học
Ta tiếp tục phát triển tiếp bài toán để bài toán khó thêm, khi giải
quyết đòi hỏi ngời làm toán phải hiểu biết kiến thức rộng hơn. Chẳng hạn
nh ta đã chứng minh đợc:
2+
a
b
b
a
với mọi a,b > 0 dâú (=) khi a = b
Thế thì :
2+
b
c
c
b
,
2+
c
a

a
c
với mọi a,b,c > 0
Nên:
6
+
+
+
+
+
c
ba
b
ca
a
cb
với mọi a,b,c > 0

36111 ++
+
++
+
++
+
c
ba
b
ca
a
cb

9
++
+
++
+
++
c
cba
b
cba
a
cba
.
(a+b+c)






++
cba
111

9

(**) với mọi a,b,c > 0 dấu (=) sẩy ra khi a
= b = c.

Lại có:
32
1
SS
S
+
+
13
2
SS
S
+
+
21
3
SS
S
+
=
32
1
SS
S
+
+1+
13
2
SS
S
+

+1+
21
3
SS
S
+
+1-3
=
31
321
SS
SSS
+
++
+
13
321
SS
SSS
+
++
+
21
321
SS
SSS
+
++
- 3
= (S

1
+S
2
+S
3
)






+
+
+
+
+
133221
111
SSSSSS
- 3
=
2
1
( )
133221
SSSSSS +++++

+
+
+
+
+
133221
111
SSSSSS
-3
Nhng do S
1
,

S
2
,

S
3
là các số dơng nên theo (**) ta lại có:

( )
133221
SSSSSS +++++

+
+
+
+
+
133221
111
SSSSSS


9
Vậy :
2
1
( )
133221
SSSSSS +++++






+
+
+
+

+
133221
111
SSSSSS
- 3


2
1
.9 3
Hay:
32
1
SS
S
+
+
13
2
SS
S
+
+
21
3
SS
S
+

2
1
.9 - 3 =
2
3
Nên:
KA
KA
1
+
KB
KB
1
+
KC
KC
1



2
3
(10.1).
Từ (10) và (10.1) ta thấy rằng (10) chỉ là một trờng hợp đặc biệt
của (10.1) mà thôi .Điều đó chính là do G chỉ là một trờng hợp đặc biệt
của K. Từ đó ta có bài toán mới:
9
Kinh Nghiệm Hớng Phát Triển T Duy Qua Bài Toán Hình Học
Bài toán IV
Chứng minh rằng: Nếu K là một điểm bất kỳ trong

ABC và AK, BK,CK
lần lợt cắt BC, CA, AB tại A
1
,B
1
, C
1
thì:

KA
KA
1
+
KB
KB
1
+
KC
KC
1



2
3
.
Phát triển V : Trong bài toán ban đầu ta có :
1
AA

GA
=
1
BB
GB
=
1
CC
GC
=
3
2
.Suy ra:
GA
AA
1
=
GB
BB
1
=
GC
CC
1
=
2
3
. Do đó :
GA
AA

1
+
GB
BB
1
+
GC
CC
1
=
2
3
+
2
3
+
2
3
=
2
9
(11).
Cũng lý luận nh trên thay điểm G ( Đặc biệt ) bởi điểm K (Bất kỳ)
trong

ABC thì kết quả thu đợc có gì đặc biệt hơn (11) không ?
Thật vậy: Trong

ABC gọi K là điểm bất kỳ, AK, BK, CK lần lợt
cắt BC, CA, AB tại A

1
,B
1
,C
1
. Ta kẻ KD vuông góc với AH tại D, kẻ AH
vuông góc với BC tại H, kẻ KH
1
vuông góc với BC tại H
1
.
Ta có:

AHA
1
~

ADK(g.g)
Do đó suy ra:

Vậy:
KA
AA
1
= =
BChBCh
BCh
a
a
**

2
1
**
2
1
**
2
1
1

=
1
SS
S

Nhng S - S
1
= S
1
+ S
2
+ S
3
- S
1
= S
2
+ S
3
Nên

Vậy :
KA
AA
1
=
1
SS
S

=
32
SS
S
+
.Tơng tự ta cũng có:
13
1
SS
S
KB
BB
+
=
,
21
1
SS
S
KC
CC

+
=
.Do đó :
10
AA
1
AH ha
= =
KA AD ha - h
1
A
B
A
1
C
B
1
C
1
ha
ha - h
1
AA
1
S
=
KA S
2
+ S
3

Kinh Nghiệm Hớng Phát Triển T Duy Qua Bài Toán Hình Học
KA
AA
1
+
KB
BB
1
+
KC
CC
1
=
133221
SS
S
SS
S
SS
S
+
+
+
+
+
Vì S = S
1
+ S
2
+ S

3
Nên:
KA
AA
1
+
KB
BB
1
+
KC
CC
1
=






+
+
+
+
+
133221
111
SSSSSS
.
( )

321
SSS ++
=
2
1
[ ]
133221
SSSSSS +++++






+
+
+
+
+
133221
111
SSSSSS



2
9
( Theo phát triển 4 )
Vậy
9*

2
1
111
++
KC
CC
KB
BB
KA
AA
=
2
9
(11.1)
So sánh (11) và (11.1) ta thấy rõ ràng (11.1) bao hàm cả (11). Hay
nói cách khác bài toán ban đầu chỉ là một trờng hợp của bài toán mới này
mà thôi. Ta có bài toán mới:
Bài toán V . Cho K là một điểm bất kì trong

ABC, gọi AK,
BK,CK lần lợt cắt BC, CA, AB tại A
1
,B
1
, C
1
.Chứng minh rằng:
2
9
111

++
KC
CC
KB
BB
KA
AA
Cứ tiếp tục nh vậy ta phát triển bài toán từ những dấu hiệu của bài
toán ban đầu
Vì rằng:
2
111
===
GC
GC
GB
GB
GA
GA
ta lại suy xét tiếp.
Phát triển VI: Từ kết quả trên ta suy ra rằng:
82*2*2**
111
==
GC
GC
GB
GB
GA
GA

(12)
Bây giờ nếu thay trọng tâm G bởi một điểm K bất kỳ trong Tam
giác ABC. Thì kết quả mới thu đợc so với ( 12 ) có gì đặc biệt (?). Từ suy
nghĩ đó ta lại biến đổi tiếp tục.
Do:
32
11
SS
S
KA
KA
+
=
, , ,,
( theo phát triển 4)
Vậy:
111
**
KC
KC
KB
KB
KA
KA
=
3
21
2
31
1

32
**
S
SS
S
SS
S
SS
+
++
Nhng vì: a
2
+b
2
ab2

a,b
Suy ra : x + y

2 x.y

x,y

0 (**)
áp dụng : (**) ta có
S
1
+S
2
21

2 SS

S
1
+S
3
31
2 SS

11
KB
1
S
2
=
KB S
3
+S
1
KC
1
S
3
=
KC S
1
+ S
2
Kinh Nghiệm Hớng Phát Triển T Duy Qua Bài Toán Hình Học
S

2
+S
3
32
2 SS
Nên: ( S
1
+S
2
) . (S
2
+S
3
) . (S
1
+S
3
)

8 . (S
1.
S
2.
S
3
)
2
Vì S
1
, S

2
, S
3
là các số dơng nên
( S
1
+S
2
) . (S
2
+S
3
) .(S
1
+S
3
)

8 S
1.
S
2
. S
3

Vậy
111
**
KC
KC

KB
KB
KA
KA


= 8
Hay:
111
**
KC
KC
KB
KB
KA
KA


8 (12.1)
Đối chiếu so sánh (12) và ( 12.1) ta thấy (12) chỉ là một trờng hợp
đặc biệt của (12.1) mà thôi. Nghĩa bài toán ban đầu là một trờng hợp của
bài toán mới này. Ta có bài toán mới :
Bài toán VI :
Chứng minh rằng: Nếu K là một điểm bất kì trong

ABC, gọi AK,
BK,CK lần lợt cắt BC, CA, AB tại A
1
,B
1

, C
1
thì:
111
**
KC
KC
KB
KB
KA
KA
8

.
Không dừng lại ở đây ta lại tiếp tục suy xét. Từ phát triển 1 ta đã
chứng minh đợc:
S
S
AA
KA
1
1
1
=

Suy ra :
1
1
KA
AA

=
1
S
S
.
Tơng tự ta có:
1
1
KB
BB
=
2
S
S
,
1
1
KC
CC
=
3
S
S
.
Vậy thì
1
1
KA
AA
.

1
1
KB
BB
.
1
1
KC
CC
=
1
S
S
.
2
S
S
.
3
S
S
.
Để tạo thêm mức khó của bài toán ta phát triển tiếp vấn đề này:
Phát triển VII:
Vì ta có: S = S
1
+ S
2
+S
3

Nên:
1
S
S
.
2
S
S
.
3
S
S
=
3
321
2
321
1
321
**
S
SSS
S
SSS
S
SSS ++++++
=

++








++








++
3
2
3
1
2
3

2
1
1
3
1
2
111
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
.
Nhng ta luôn có:
a
2
+b
2

2ab (

a,b)
b

2
+c
2

2bc (

b,c)
12
8 S
1.
S
2
. S
3

S
1.
S
2
. S
3

Kinh Nghiệm Hớng Phát Triển T Duy Qua Bài Toán Hình Học
c
2
+a
2

2ca (

c,a)
Suy ra: a
2
+b
2
+c
2

ab+bc+ca(

a,b,c) (***)
dấu (=) xảy ra khi a=b=c.
Do S
1
, S
2
, S
3
dơng. Nên ta hạn chế điều kiện cho a,b,c dơng thì
(***) vẫn đúng
Từ (***) suy ra:
a
2
+b
2
+c
2
-ab - bc - ca

0

a,b,c


(a+b+c)( a
2
+b
2
+c
2
-ab - bc - ca)

0 (

a,b,c > 0)


(a+b+c)( a
2
+b
2
+c
2
+2ab+2bc+2ca- 3ab -3bc - 3ca)

0


(a+b+c)
( )

[ ]
abbaccba 3)(3
2
+++


0


(a+b+c)
3
-3c(a+b)(a+b+c)-3ab(a+b+c)

0

(a+b+c)
3
-3(a+b).c.(a+b+c)-3ab(a+b)- 3abc

0


( )
[ ]
3
cba ++
-3 (a+b).c.
( )
[ ]
cba ++

- 3ab(a+b) -3abc

0


(a+b)
3
+c
3
- 3ab(a+b) - 3abc

0


(a+b)
3
-3ab(a+b) + c
3
-3abc

0


a
3
+b
3
+c
3
-3abc

0. Vậy: a
3
+b
3
+c
3


3abc(

a,b,c > 0)(**) áp dụng
(**) ta có:
1+
1
3
1
2
S
S
S
S
+
=
3
3
1
3
3
3

1
2
3
3
)()()1(
S
S
S
S
++

3
3
1
3
3
1
2
3
1
S
S
S
S
=3
3
2
1
32
S

SS
.
Vậy: 1+

3
3
2
1
32
S
SS
Tơng tự: 1+
3
2
3
1
S
S
S
S
+

3
3
2
3
21
S
SS

1+
2
3
2
1
S
S
S
S
+

3
3
2
2
31
S
SS

Từ đó ta suy ra rằng:








++

++








++
3
2
3
1
2
3
2
1
1
3
1
2
111

S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S

3.3.3
3
2
321
213132
)( SSS
SSSSSS
=27
Đến đây, nhờ các phép biến đổi ta đã làm cho mất hết các dấu hiệu
về diện tích mà chỉ còn đại lợng số, nghĩa là:
13
S
2
S
3
+
S

3
S
1
Kinh Nghiệm Hớng Phát Triển T Duy Qua Bài Toán Hình Học

1
1
KA
AA
.
1
1
KB
BB
.
1
1
KC
CC

27
Điều này nếu ta đặc biệt hóa điểm K trùng với trọng tâm G của Tam
giác ABC thì dễ thấy dấu bằng xẩy ra nghĩa là.
Rõ ràng bài toán ban đầu chỉ là trờng hợp đặc biệt của bài toán này.
Ta có bài toán mới .
Bài toán VII :
Cho K là một điểm bất kì nằm trong

ABC, gọi AK, BK,CK lần lợt
cắt BC, CA, AB ở A

1
,B
1
, C
1
.Chứng minh rằng:
1
1
KA
AA
.
1
1
KB
BB
.
1
1
KC
CC

27.
Phần III: Kết luận
Cứ tiếp tục nh vậy nếu sau mỗi một bài toán chúng ta hớng dẫn cho
học sinh dành một khoảng thời gian nhất định để suy xét bài toán theo một
trong ba hớng, mà tôi đã đa ra. Thiết nghĩ đó cũng là một phơng pháp học
toán và làm toán rất bổ ích và lý thú làm đợc điều đó với học sinh sẽ tạo ra
sự hiểu bài sâu hơn có nhiều phơng pháp giải hơn và đơng nhiên sẽ tìm đ-
ợc phơng pháp hay nhất. Với ngời dạy ngoài việc tìm ra nhiều lời giải của
bài toán còn tạo ra cách thiết kế một loạt các bài toán có cùng dạng với

bài toán ban đầu.
Trong quá trình bồi dỡng học sinh giỏi khối 8 - 9 tôi đã đa ra để
thực nghiệm. Ban đầu các em còn bỡ ngỡ, sau đó tỏ ra thích thú, say mê.
Đặc biệt là hai hớng đầu các em tỏ ra hiểu và say mê tìm nhiều phơng
pháp giải từ đó chọn đợc phơng pháp hay. Còn phơng pháp này một số đã
biết tự thiết kế ra bài toán mới. Tôi nghĩ đó cũng chỉ là thành công bớc đầu
và hết sức nhỏ bé.
Do đặc điểm của nội dung kiến thức. Kinh nghiệm này tôi chỉ đa ra
để áp dụng cho các em khối lớp 8 - 9 nên một số kiến thức về bất đẳng
thức chỉ phù hợp với các em đã học qua lớp 8 và đang học lớp 9.
14
AA
1
BB
1
CC
1
. . =3.3.3 = 27
GA
1
GB
1
GC
1
Kinh Nghiệm Hớng Phát Triển T Duy Qua Bài Toán Hình Học
Bài toán ban đầu bằng sự suy xét nh vậy ta có thể khai thác đợc
nhiều điều bổ ích. Sau đây xin giới thiệu hai bất đẳng thức cũng đợc phát
triển từ bài toán đó. Đề nghị các bạn cùng tham gia.
1/
8

27
**
111

KC
CC
KB
BB
KA
AA

2/
2
111

++
++
KCKBKA
KCKBKA
Trên đây chỉ là kinh nghiệm của cá nhân nên không thể tránh khỏi
những hạn chế .Tôi rất mong đợc sự đánh giá góp ý của các bạn đồng
nghiệp và Hội đồng khoa học các cấp để kinh nghiệm ngày càng đợc hoàn
thiện hơn.


Tài liệu tham khảo
15
Kinh Nghiệm Hớng Phát Triển T Duy Qua Bài Toán Hình Học
1/ Bất đẳng thức: Nguyễn Vũ Thanh
2/ Các chuyên đề môn toán: Trơng Công Thành

Nguyễn Hữu Thảo
Mục lục
Phần1: Đặt vấn đề 1
Phần2: Nội dung 2
I. Cơ sở lý luận 2
II Nội dung biện pháp 4
Phần 3: Kết luận 15







16
Kinh NghiÖm Híng Ph¸t TriÓn T Duy Qua Bµi To¸n H×nh Häc

17
Kinh NghiÖm Híng Ph¸t TriÓn T Duy Qua Bµi To¸n H×nh Häc

18
Kinh NghiÖm Híng Ph¸t TriÓn T Duy Qua Bµi To¸n H×nh Häc
19