SKKN MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM CỰC TRỊ TRONG MÔN TOÁN

Sở giáo dục và đào tạo hảI dơng
Kinh nghiệm
một số phơng pháp
tìm cực trị
Môn Toán
Năm 2005 2006
1
Phòng giáo dục cẩm giàng
trờng t.h.c.s cẩm Định

Kinh nghiệm
một số phơng pháp
tìm cực trị
Môn Toán
Họ và tên: Nguyễn Thị Thuý
đánh giá của nhà trờng
(Nhận xét, xếp loại)
2
Số phách
Kinh nghiệm
một số phơng pháp
tìm cực trị
Môn Toán
đánh giá của phòng giáo dục & đào tạo
(Nhận xét, xếp loại)
Tên tác giả :
Đơn vị :
phần I : đặt vấn đề
3
Số phách
I. cơ sở lý thuyết.

Trong giảng dạy bộ môn toán, việc giúp học sinh nắm chắc kiến thức
cơ bản, biết cách khai thác kiến thức, áp dụng kiến thức giải đợc nhiều loại
toán, nhiều dạng bài tập là hết sức quan trọng, bởi đó là một phơng tiện
tốt giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển t duy hình thành kĩ năng
kĩ xảo trong quá trình giải toán.
Môn toán có nhiều dạng bài tập, trong đó dạng toán tìm cực trị (giá
trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất) là những bài toán đi tìm cái lớn nhất, nhỏ
nhất, rẻ nhất, đắt nhất, ngắn nhất, dài nhất Qua những bài toán dẫn
dắt học sinh có thói quen đi tìm một giải pháp tối u cho một công việc cụ
thể trong cuộc sống thực tế. Điều đó cho thấy rằng toán cực trị là loại toán
rất gần gũi với thực tế và có nhiều ứng dụng trong thực tế hàng ngày. Nó
giúp học sinh rèn luyện nếp nghĩ khoa học, luôn mong muốn làm những
công việc đạt hiệu quả cao nhất, tốt nhất. Vì vậy, nó góp phần không nhỏ
vào việc phát triển trí tuệ, thúc đẩy niềm say mê học toán cho học sinh,
đặc biệt là các em học sinh khá giỏi.
Toán cực trị đợc đề cập nhiều trong các loại sách tham khảo, do vậy
giáo viên rất khó khăn trong việc su tầm và tuyển chọn, và một vấn đề
đặt ra ở đây là làm thế nào để học sinh nắm đ ợc phơng
pháp, t duy suy luận một cách có lô gíc khi giải toán cực
trị ?
Để góp phần vào việc giải quyết các vấn đề trên, bản thân là giáo
viên thờng xuyên giảng dạy và bồi dỡng học sinh giỏi môn toán lớp 8 và
lớp 9, tôi mạnh dạn su tầm, tuyển chọn một số dạng bài toán cực trị và
một số phơng pháp giải áp dụng cho từng dạng, hy vọng đem lại một
phần thuận lợi cho giáo viên khi thực hiện chuyên đề này trong quá trình
giảng dạy cho học sinh cấp trung học cơ sở nói chung và bồi dỡng học sinh
giỏi lớp 8, lớp 9 nói riêng.
II. những yêu cầu cần thiết.
4
1. Đối với giáo viên.

- Su tầm tài liệu, đọc, nghiên cứu để hệ thống hoá kiến thức, hệ thống
các dạng bài tập về cực trị.
- Tìm hiểu sâu về các bài toán cực trị trong nội dung chơng trình toán
ở bậc trung học cơ sở.
- Xây dựng đợc cơ sở lý thuyết để giải các bài toán cực trị.
- Tuyển chọn, phân loại đợc các dạng bài tập cơ bản và nêu lên các
phơng pháp chính giải từng dạng bài tập cực trị.
- Dự đoán đợc một số sai sót của học sinh có thể mắc phải và nêu đợc
những điểm cần chú ý khi giải các bài toán cực trị.
2. Đối với học sinh.
- Hiểu đợc bản chất của khái niệm cực trị và nắm đợc các bớc giải của
bài toán cực trị.
- Có kĩ năng nhận dạng đợc từng loại toán cực trị, vận dụng linh
hoạt và sáng tạo các phơng pháp giải toán cực trị vào từng bài tập
cụ thể từ đơn giản đến phức tạp.
- Thấy đợc những ứng dụng của toán cực trị trong thực tế.
Phần II : Nội dung
5
A. Một số dạng toán cực trị trong đại số.
I. Định nghĩa và chú ý.
1. Cho biểu thức f(x).
- Giá trị M đợc gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức f(x) nếu thoả
mãn hai điều kiện :
+Với mọi x để f(x) xác định thì f(x) M (M là hằng số) (1)
+ Tồn tại x
0
sao cho f(x
0
) = M (2)
- Giá trị m đợc gọi là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức f(x) nếu thoả

mãn hai điều kiện :
+ Với mọi x để f(x) xác định thì f(x) m (m là hằng số) (1 )
+ Tồn tại x
0
sao cho f(x
0
) = m (2 )
2. Kí hiệu : GTLN của hàm f là M = max f(x)
GTLN của hàm f là m = min f(x)
3. Tổng quát chung : Đối với biểu thức chứa nhiều biến ta cũng có định
nghĩa tơng tự.
4. Các bớc tìm cực trị : Từ các định nghĩa trên, thông thờng, để tìm
GTLN hoặc GTNN ta tiến hành theo 3 bớc nh sau :
- Bớc 1 : Xác lập bất đẳng thức dạng :
f(x) M hoặc f(x) m với M, m là các hằng số.
- Bớc 2 : Xét xem dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?
- Bớc 3 : Kết luận max hoặc min theo yêu cầu.
5. Chú ý : Nếu chỉ có điều kiện (1) hay (1) thì cha thể nói gì về cực trị của
một biểu thức.
Chẳng hạn, xét biểu thức
(x 1)
2
+ (x 3)
2
.
Mặc dù ta có A 0, nhng cha thể kết luận đợc minA, vì không tồn tại giá
trị nào của x để A = 0.
II. Các kiến thức thờng dùng.
1. x
2

0 x Dấu = xảy ra

x = 0
Mở rộng : [f(x)]
2n
0 , x R , n Z. Khi đó ta có
[f(x)]
2n
+ M M ; -[f (x)]
2n
+ m m. Dấu = xảy ra

f(x) = 0
2. a/ x 0 Dấu = xảy ra

x = 0
6
b/ x + y x + y Dấu = xảy ra

x, y cùng dấu
c/ x - y x - y Dấu = xảy ra

x, y cùng dấu vàx >y
3. a/ a
2
+ b
2
2ab , a, b. Dấu = xảy ra

a = b

b/
2
a
b
b
a
+
a > 0, b > 0. Dấu = xảy ra

a = b
4. Bất đẳng thức Cô-si
a/ Cho 2 số không âm a và b ta có :

ab
2
ba

+
. Dấu = xảy ra

a = b
b/ Cho 3 số không âm a, b và c, ta có :

3
abc
3
cba

++
. Dấu = xảy ra

a = b = c.
c/ Tổng quát : Cho n số không âm a
1
, a
2
, , a
n

,
ta có :

n
a aa
n21
+++
a
1
a
2
a
n
. Dấu = xảy ra

a
1
= a
2
= = a
n

5. Bất đẳng thức Bu-nhi-a-côp-xki
a/ Cho hai cặp số a, b và x, y ta có :
(ax + by)
2
(a
2
+ b
2
) (x
2
+ y
2
). Dấu = xảy ra

ay = bx
b/ Tổng quát : Cho 2n số a
1
, a
2
, , a
n
, b
1
, b
2
, , b
n
, ta có :
a
1

b
1
+ a
2
b
2
+ + a
n
b
n
)
2
( a
1
2
+ a
2
2
+ + a
n
2
) ( b
1
2
+ b
2
2
+ b
n
2

)
Dấu = xảy ra


n
n
2
2
1
1
b
a

b
a
b
a
==
III. Một số phơng pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
1. Phơng pháp nhóm so sánh.
Để tiến hành giải bài toán tìm GTLN, GTNN ta có thể dùng các phép biến
đổi đại số để nhóm các số hạng và đa bất đẳng thức ban đầu về các dạng sau :
p = A
2
+ k k,
p = -B
2
+ l l,
p = A
2

+ B
2
+ m m,
p = A.B
2
+ n n với A 0,
p = A.B k.l với A k > 0, B l > 0.
7
Tất nhiên là dấu đẳng thức phải xảy ra trong miền xác định của các biến số.
Ngoài ra, đôi khi ta sử dụng các tính chất đồng biến, nghịch biến của hàm số,
chẳng hạn : M N, a > 1 a
M
a
N
;
M N, 0 < a < 1 a
M
a
N
;
A B > 0, > 0 A


B


;
A B > 0, < 0 A

B

.
Lu ý rằng nếu ta sử dụng nhiều bất đẳng thức so sánh thì dấu = xảy ra
phải mang tính đồng thời ở các đẳng thức đó.
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức :
1/ A = x
4
+ 4x
2
3;
2/ B = x
4
+ 2x
3
+ 3x
2
+ 2x + 1;
3/ C = (x 1)
2
+ (x
2
1)
4
+ (x
3
1)
6
.
Giải :

1/ Vì x
4
, x
2
0 nên suy ra A 0 + 0 3 A -3. Dấu = xảy ra x = 0
Vậy minA = -3 khi x = 0
Cách khác :
Ta có A = x
2
(x
2
+ 4) 3 3. Dấu = xảy ra x
2
(x
2
+ 4) = 0 x = 0
Vậy minA = -3 khi x = 0
2/ Ta có B = (x
2
+ x + 1)
2
=
16
9
4
3
2
1
x
2

2









+






+
Vì
4
3
4
3
2
1
x
2
+

+
, dấu = xảy ra khi x =
2
1

.
Nên minB =
16
9
x =
2
1

.
3/ Dễ thấy C 0. Dấu = xảy ra khi (x 1)
2
= (x
2
1)
4
= (x
3
1)
6
= 0 x
= 1

Vậy minC = 0, khi x = 1
Ví dụ 2 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
M = - x
2
+ 2x + 6
Giải :
Ta có B = - x
2
+ 2x + 6 = -(x
2
2x) + 6 = -( x 1)
2
+ 7
Vì -( x 1)
2


0 , x -( x 1)
2
+ 7 7. Dấu = xảy ra khi x = 1
8
Vậy max B = 7 x = 1
2. Phơng pháp dùng bất đẳng thức Cô-si.
Cũng giống nh khi sử dụng các bất đẳng thức khác, có khi ta phải tiến hành
việc tách, nhóm, thêm, bớt, chia nhân các số hạng để đa về dạng có thể áp dụng
trực tiếp.
Ví dụ : Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức :
1/ A = x
2
x1

;
2/ B =
x
1x
;
3/ C =
xyz
3zxy2yzx1xyz ++
.
Giải :
1/ Điều kiện 0 x 1.
áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số không âm ta đợc :
A = x
( )
2
1
2
x1x
x1xx1
22
222
=
+
=
Dấu = xảy ra x
2
= 1 x
2
x
2

=
2
1
x =
2
1
. Vậy max A =
2
1
2/ Điều kiện x 1, ta có
B =
( )
2
1
x
2
1x1
x
1x1
x
1x
=
+


=

Dấu = xảy ra 1 = x 1 x =2. Vậy max B =
2
1

3/ Điều kiện x 1, y 2, z 3, ta có :
C =
z
3z
y
2y
x
1x
+

+

=
z
)3z(3
.
3
1
y
)2y(2
.
2
1
x
)1x(1
+

+

z2
3z3
.
3
1
y2
2y2
.
2
1
x2
1x1 +
+
+
+
+
=
32
1
22
1
2
1
++
Dấu = xảy ra 1 = x 1 ; 2 = y 2 ; 3 = z 3 x = 2, y = 4, z = 6.
9
Vậy max C =

++
3
1
2
1
1
2
1
.
IV. Những dạng toán thờng gặp.
Dạng 1 : Cực trị của đa thức dạng tam thức bậc hai.
1. Kiến thức cần thiết.
Giả sử cho đa thức f(x) xác định trên R
Đa f(x) về dạng : f(x) = k
[ ]
2
)x(g
(k là hằng số)
a/ Nếu f(x) = k +
[ ]
2
)x(g
thì min f(x) = k g(x) = 0
b/ Nếu f(x) = k
[ ]
2
)x(g

thì max f(x) = k g(x) = 0
2. Một số ví dụ.
Ví dụ 1 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
A = x
2
x + 1
Giải :
Ta có A = x
2
x + 1 = x
2
2x.
2
1
+
4
1
+
4
3
=
2
2
1
x

+
4
3
Vì
2
2
1
x







0 x nên
2
2
1
x

+
4
3

4
3
Dấu = xảy ra
0
2
1
x =

2
1
x =
Vậy min A =
2
1
x =
2
1
Ví dụ 2 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
B = - x
2
+ 4x + 5
Giải :
Ta có B = -x
2
+ 4x + 5 = 9 (x 2)

2
Vì - (x - 2 )
2
0 x nên 9 (x - 2 ) 9
Dấu = xảy ra x 2 = 0 x = 2
Vậy max B = 9 x = 2
Ví dụ 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
D = (x+1)
2
+ (x + 3 )
2
Giải :
10
Ta có D = 2(x +2 )
2
+ 2 2 x
Vì: 2(x + 2 )
2
0 x 2(x +2 )
2
+ 2 2
Dấu "=" xảy ra x = -2. Vậy min D = 2 x = -2
3. Một số nhận xét.
a/ Cho tam thức bậc hai: P = ax
2
+ bx + c (a 0)
Ta có P = ax
2
+bx + c = a(x
2

+
a
b
x) + c (do a 0)
= a (x +
a2
b
)
2
+ c -
a4
b
2
= a (x +
a2
b
)
2
+
a4
bac4
2

Đặt
a4
bac4
2

= k
Do (x +

a2
b
)
2
0 nên
- Nếu a > 0 thì a.(x +
a2
b
)
2
0 do đó P k
min P = k x +
a2
b
= 0 x = -
a2
b
- Nếu a < 0 thì a.(x +
a2
b
)
2
0 do đó P k
max P = k x = -
a2
b
b/ Dựa vào tính chất biến thiên của hàm số là tam thức bậc hai
f(x) = ax
2
+ bx + c (a 0)

+ Khi a > 0 : Parabol quay bề lõm lên phía trên hàm số có cực tiểu.
+ Khi a < 0: Parapol quay bề lõm xuống dới hàm số có cực đại.
- Từ đó ta đi đến kết luận : Mỗi tam thức bậc hai đều có một cực trị (hoặc giá
trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất)
Dạng 2 : Cực trị của hàm đa thức nhiều biến.
1. Kiến thức cần thiết.
Cho F = F
1
+ F
2
thì : maxF = maxF
1
+ maxF
2
.
(minF = minF
1
+ minF
2
).
Trong đó F
1
, F
2
là các biểu thức chứa biến đối lập với nhau hoặc có chứa
cùng biến thì cùng đạt giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất ) tại một bộ giá trị xác
định của biến.
11
2. Một số ví dụ.
Ví dụ 4 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

A = 5x
2
- 12xy + 9y
2
- 4x + 4
Giải :
A = x
2
- 4x + 4 + 4x
2
- 12xy + 9y
2
= (x - 2)
2
+ (2x - 3y)
2
A 0, dấu "=" xảy ra
( )
( )





2
2
y3x2
2x

=
=
3
4
y
2x
Vậy min A = 0





=
=
3
4
y
2x
Ví dụ 5 : a/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
B = x
2
+ xy + y
2
3x 3y + 2009
b/ Tìm giá trị của x; y để biểu thức :
N = a

2
b
2
+ ab + 2a + 2b đạt giá trị lớn nhất
Giải :
a/ Ta có B = x
2
2x + 1 + y
2
2y +1 + xy x y + 1 + 2006
= (x 1)
2
+ (y 1)
2
+ xy x y + 1 + 2006
=
20062006)1y(
4
3
2
1y
)1x(
2
2
++

+
Dấu "=" xảy ra





=
=

+
01y
0
2
1y
)1x(





=
=
1y
1x
Vậy min B = 2006 x = y = 1
b/ Ta có: 2N = 2a
2

2b
2
+ 2ab + 4a + 4b
= (a b)
2
(a 2)
2
(b 2)
2
+ 8 8
Dấu "=" xảy ra





=
=
=
02b
02a
0ba
a = b = 2
Vậy max N = 4 a = b = 2
Ví dụ 6 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
D = m
2
- 4mp + 5p
2
+ 10m - 22p + 28.

Giải :
12
Ta có D = m
2
4mp + 4p
2
+ p
2
2p + 1 + 10m 20p + 27
= (m 2p)
2
+ (p 1)
2
+ 10(m 2p) + 27
Đặt m 2p = t D = t
2
+ 10t + (p 1)
2
+ 27
= t
2
+ 10t + 25 + (p 1)
2
+ 2
= (t + 5)
2
+ (p 1)
2
+ 2 2
Dấu "=" xảy ra

=
=+
01p
05t





=
=
1p
5t




=
=
1p
5p2m




=
=

1p
3m
Vậy min D = 2



=
=
1p
3m
3. Một số nhận xét.
- Đối với hàm đa thức nhiều biến, học sinh cần phải linh hoạt trong việc
tách hạng tử để làm xuất hiện tổng các luỹ thừa bậc chẵn của một biểu thức hay
tổng các hằng đẳng thức (a b)
2
nh

đã trình bày ở ví dụ 4, ví dụ 5.
- ở ví dụ 5, phần b thay cho việc biến đổi N ta biến đổi 2N khi đó bài toán
đợc thực hiện thuận lợi hơn.
- Bên cạnh đó, có những tình huống xảy ra nh ở ví dụ 6 thì có thể học sinh
sẽ lúng túng trong sự xuất hiện của 10(m 2p). Khi đó dùng phơng pháp đổi
biến (đặt ẩn phụ) nh đã trình bày thì sẽ đa đợc bài toán về dạng của ví dụ 5.
4. Một số bài tập.
4.1. Tìm giá trị của x ; y để các biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất :
a/ -x
2
+ 2xy 4y
2
+ 2x + 10y + 5

b/ -5x
2
5y
2
+ 8x 6y 1
4.2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
x
2
+ 2y
2
2xy 4y

+ 5
4.3. Tìm cặp (x ; y) để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất :
x
2
+ 26y
2
10xy + 14 76y + 56
Dạng 3 : Cực trị của hàm phân thức đại số.
1. Kiến thức cần thiết.
+ Để giải dạng toán này ta chủ yếu dùng phơng pháp tách phần nguyên.
+ Cho P =
A
1
với A > 0 thì max P =
Amin
1
; min P =
Amax

1

Bằng cách áp dụng tính chất trên ta có thể đa bài toán tìm cực trị của phân
thức về bài toán tìm cực trị của đa thức.
13
2. Một số ví dụ.
Ví dụ 7 : Tìm x N để
3x2
8x7


đạt giá trị lớn nhất.
Giải :
Đặt A =
3x2
8x7


2A =
3x2
16x14


=
3x2
5)3x2(7

+
= 7 +
3x2

5

Nhận thấy A lớn nhất 2A lớn nhất
3x2
5

lớn nhất
2x 3 là số dơng nhỏ nhất.
Mà x N nên 2x 3 dơng nhỏ nhất bằng 1 x = 2
Vậy max(2A) = 12 maxA = 6 x = 2.
Ví dụ 8 : Tìm x Z để M =
5x
x7


đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải : Ta có M =
5x
)7x(


=
5x
)25x(


= -1 +
5x
2

Để M nhỏ nhất thì
5x
2

nhỏ nhất x 5 là số âm lớn nhất.
Mà x Z nên x 5 = -1 x = 4
Vậy min M = -1 2 = -3 khi x = 4.
Ví dụ 9 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =
4x2x
1
2
+
.
Giải : Ta có P =
4x2x
1
2
+

=
3)1x(
1
2
+

Nhận thấy P nhỏ nhất (x 1)
2
+ 3 nhỏ nhất.
Mà (x 1)

2
0 với x (x 1)
2
+ 3 3
Do đó (x 1)
2
+ 3 đạt GTNN bằng 3 x = 1. Vậy min P =
3
1

x =
1.
Ví dụ 10 : Tìm GTLN và GTNN của biểu thức Q =
1x
3x4
2
+
+
.
Giải : a/ Ta có Q =
1x
1x4x4x
2
22
+
++
=
1
1x
)2x(

2
2

+
+
Do
1x
)2x(
2
2
+
+
0 với x Q -1 với x. Dấu = xảy ra x = -2
Vậy min Q = -1 x = -2
14
b/ Ta có Q =
1x
1x4x44x4
2
22
+
++
=
1x
)1x2()1x(4
2
22
+
+
=

1x
)1x2(
4
2
2
+


Do
1x
)1x2(
2
2
+


0 với x Q 4. Dấu = xảy ra x =
2
1

Vậy maxQ = 4 x =
2
1
Ví dụ 11 : Tìm GTNN của M =
1x2x
6x8x3
2
2
+
+

.
Giải : ĐKXĐ : x 1
Ta có M =
2
2
)1x(
1)1x(2)1x2x(3

++
=
2
2
)1x(
1)1x(2)1x(3

+
=
2
)1x(
1
1x
2
3

+


Đặt y =
1x
1

, khi đó M = 3 2y + y
2
= (y 1)
2
+ 2 2
Dấu = xảy ra y = 1
1x
1

= 1 x = 2
Vậy min M = 2 x= 2
3. Một số nhận xét.
- Khi giải toán cực trị của hàm phân thức, học sinh cần phải biết biến đổi
linh hoạt để tách phần nguyên.
- Có những biểu thức tồn tại cả GTLN và GTNN nh bài toán đã trình bày ở
ví dụ 10, cho nên học sinh cần định hớng cách phân tích bài toán để làm xuất
hiện những tình huống theo yêu cầu bài toán nêu.
4. Một số bài tập.
Tìm GTNN, GTLN(nếu có) của các biểu thức sau :
A =
5x4x
6x6x2
2
2
++
++
; B =
1x
7x8x

2
2
+
+
; C =
5x4x2
1
2
+
D =
1x2x
3x4x3
24
24
++
++
(x R)
Dạng 4 : Cực trị của hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối.
1. Kiến thức cần thiết.
a/f(x) = f(x) nếu f(x) 0 ; f(x) = - f(x) nếu f(x) < 0
b/f(x) + g(x) f(x) + g(x). Dấu "=" xảy ra f(x).g(x) 0
15
c/f(x) - g(x) f(x) - g(x). Dấu "=" xảy ra f(x).g(x) 0
vớif(x) g(x)
d/ Giả sử max f(x) = A, min f(x) = a với f(x) xét trên đoạn [a
1
;b
1
]
+ Nếu f(x) 0 ta có max f(x) = max f(x)=A trên [a

1
;b
1
]
min f(x) = minf(x)= a trên [a
1
;b
1
]
+ Nếu : max f(x) 0 còn min f(x) 0 trên [a
1
;b
1
] :
Ta có : maxf(x)= max(A ; a)
minf(x)= 0
+ Nếu f(x) < 0 ta có maxf(x)= - minf(x) trên [a
1
;b
1
]
minf(x) = - maxf(x) trên [a
1
;b
1
]
2. Một số ví dụ.
Ví dụ 12 : Tìm GTLN của A = 2000 1999x 1
Giải : Vì x 1 0 x -1999x 1 0 x
Do đó A = 2000 1999x 1 2000 x. Dấu = xảy ra x = 1

Vậy max A = 2000 x = 1.
Ví dụ 13 : Tìm GTLN của B = x + 8 x
Giải :
Cách 1 : Xét khoảng giá trị của x.
a/ Nếu x < 0 thì x = -x và 8 - x = 8 - x khi đó B = 8 - 2x
b/ Nếu 0 x 8 thì x = x và 8 - x = 8 - x khi đó B = x + 8 - x = 8
c/ Nếu x > 8 thì x = x và 8 - x = x - 8 khi đó B = x + x - 8 = 2x - 8
So sánh các giá trị của B trong 3 khoảng trên ta có :
min B = 8 0 x 8
Cách 2 : Sử dụng bất đẳng thức.
f(x) + g(x) f(x) + g(x). Dấu "=" xảy ra f(x).g(x) 0
Ta có B = B = x + 8 x x + 8 - x= 8
Dấu = xảy ra x(8 - x) 0 x(x - 8) 0 0 x 8
Vậy min B = 8 0 x 8
Ví dụ 14 : Tìm GTNN của C = x - 2 + x - 5 + 15
Giải :
Cách 1 : Xét khoảng giá trị của x.
a/ Nếu x < 2 thì x - 2 = 2 - x và x - 5 = 5 - x khi đó
16
C = 2 x + 5 x + 15 = 22 2x
b/ Nếu 2 x 5 thì x 2 = x 2 và x 5 = 5 x, khi đó
C = x - 2 + 5 - x + 15 = 18
c/ Nếu x > 5 thì x 2 = x 2 và x 5 = x 5, khi đó
C = x - 2 + x - 5 + 15 = 2x + 8
So sánh các giá trị của C trong 3 khoảng trên ta có :
min C = 18 2 x 5
Cách 2 : Sử dụng bất đẳng thức 1b) đã nêu ở trên.
Vì x - 2 + x - 5 = x - 2 + 5 - x x - 2 + 5 - x = 3
Dấu "=" xảy ra (x - 2)(5 - x) 0 2 x 5
Do đó : C = x - 2 + x - 5+ 15 3 + 15 = 18

Vậy min C = 18 2 x 5
Ví dụ 15 : Tìm GTNN của
M = x + 1 + x + 2 + + x + 99 + x + 100
Giải :
Ta có M = x + 1 + -x - 100+ + x + 50 + -x - 50
Vì có x + 1 + -x - 100 x + 1 - x - 100 = 99
dấu "=" xảy ra -100 x -1
Tơng tự .
x + 50 + -x - 50 1. Dấu "=" xảy ra - 51 x - 50
Do đó M 1 + 3 + + 97 + 99 = 2500. Dấu "=" xảy ra - 51 x - 50
Ví dụ 16 : Tìm GTNN của B = x - 1 + x - 2 + x - 3
Giải :
Xét C = x - 1 + x - 3
= x - 1 + 3 - x x - 1 + 3 - x = 2
C = 2 (x - 1)(3 - x) 0 1 x 3
Mặt khác x - 2 0. Dấu "=" xảy ra x = 2
Do đó B = x - 1 + x - 2 + x - 3 2 + 0 = 2
Dấu "=" xảy ra



=

2x
3x1
x = 2
Vậy min B = 2 x = 2
3. Một số nhận xét.
17
- Để thực hiện giải bài toán cực trị của hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối, học

sinh cần nắm đợc định nghĩa giá trị tuyệt đối của một số hay 1 biểu thức và linh
hoạt vận dụng các tính chất của trị tuyệt đối trong quá trình giải.
- Các ví dụ 13, 14 trong phần lời giải của cách 2 và các ví dụ 15, 16 ta đã sử
dụng tính chất : "Hai số đối nhau thì có giá trị tuyệt đối bằng nhau, từ đó vận
dụng bất đẳng thức 1b để tìm ra lời giải bài toán một cách nhanh chóng.
- Với một bài toán cực trị có thể tồn tại nhiều cách giải, chẳng hạn ở ví dụ
16 có thể giải bằng cách khác là xét khoảng giá trị của x để phá dấu giá trị tuyệt
đối, song giải pháp này không khoa học nh lời giả đã chọn. Do đó học sinh cần
phải có sự quan sát, phân tích bài toán để tìm ra hớng đi thích hợp, khoa học.
4. Một số bài tập.
Tìm GTNN, GTLN ( nếu có ) của các biểu thức :
a) x - 1 + x -2
b) 51 - 4x - 2
c) x - 1 + x - 2 + 2x - 5
d) x - 2 + x - 4+ x - 6 + + x - 102
Số các biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối là lẻ .
Dạng 5 : Cực trị của hàm căn thức.
Ví dụ 17 : Tìm GTNN của M = (x - 1994)
2
+ (x - 1995)
2
Giải :
Ta đa bài toán này về dạng hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối bằng cách áp
dụng hằng đẳng thức :
2
A
= A.
Ta có : M = x 1994 + x 1995
= x 1994 + 1995 x x - 1994 + 1995 x = 1
M 1. Dấu "=" xảy ra (x - 1994)( 1995 - x) 0

1994 x 1995
Vậy min M = 1 1994 x 1995
Ví dụ 17 : Tìm GTNN của N= (x - 1999)
2
+ (x - 2000)
2
+ (x - 2001)
2
H ớng dẫn :
Ta đa bài toán này về dạng hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối, sau đó áp dụng
ví dụ 16 để giải.
Kết quả : min N = 2 x = 2000
Ví dụ 22: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
M= 2 - x + 1+ x
18
Giải:
2 - x 0
Điều kiện để tồn tại căn thức : <=> -1 x 2
1+ x 0
Do M > 0 nên M lớn nhất <=> M
2
lớn nhất
Ta có M
2
= 2 - x + 1+ x +2 (2 - x)(1 + x) = 3 + 2 (2 - x)(1 + x)
= 3 + 2 2 + x - x
2
= 3 + 2 9/4 - (x - 1/2)
2
Do đó M

2
lớn nhất <=> (x - 1/2)
2
= 0 <=> x = 1/2
=> max M
2
= 6 <=> x =1/2. Vậy max M = 6 <=> x=1/2
1
Ví dụ 23: Tìm giá trị nhỏ nhất của N = -
x + x + 1
Giải :
TXĐ: x 0
Dễ thấy N < 0 do đó N nhỏ nhất <=> {N} lớn nhất <=> (x + x + 1) nhỏ nhất
<=> x nhỏ nhất mà x 0 => min x= 0
Vậy min N = -1 <=> x = 0
Cách 2: 1 1
Vì x 0 nên 1 => - - 1 , dấu bằng xảy ra <=> x= 0
x + x + 1 x + x + 1
Vậy min N = -1<=> x= 0
Ví dụ 23: Tìm giá trị nhỏ nhất của
1 1 a
2
+ 2
A = + -
2(1 + a) 2(1 - a) 1 - a
3
Giải:
Trớc hết ta thu gọn biểu thức A:
TXĐ: a 0 , a 1
1 - a + 1+ a a

2
+ 2 1 a
2
+ 2
A = - = -
2(1- a) 1 - a
3
1 - a 1 - a
3
1+ a +a
2
-a
2
-2 a - 1 1
= = = -
(1 - a)(1 + a +a
2
) (1 - a)(1 + a +a
2
) 1 + a +a
2
Dễ thấy A < 0 nên A nhỏ nhất <=> {A} lớn nhất <=> (a
2
+ a + 1) nhỏ nhất
19
mà a 0 =>min (a
2
+ a + 1) = 1 <=> a = 0
Khi đó min A = - 1 <=> a = 0
Ví dụ 24: Tìm cực trị của biểu thức :

1
M =
2000 - 1 -x
2
Giải :
TXĐ: - 1 x 1
+ Do x [-1 ; 1] nên 2000 - 1 -x
2
2000 , dấu bằng xảy ra <=> x = 1
1 1
Nên M =
2000 - 1 -x
2
2000
Vậy min M = 1/2000 <=> x = 1
+ Do 1 -x
2
1 => 2000 - 1 -x
2
2000 - 1 => 2000 - 1 -x
2
1999
Nên M 1/1999 , Dấu bằng xảy ra <=> x = 0
Vậy max M =1/1999 <=> x = 0
* Một số bài tập :
1) Tìm cực trị của A = x - 1 + 5 - x
2) Tìm giá trị nhỏ nhất của
5 - 3x
M =
1 - x

2

1
3) Tìm cực trị của B =
15 - 1 - x
2
4) Cho hàm số y = x - 1 - 2 x - 2 + x + 7 - 6 x - 2
Tìm giá trị nhỏ nhất của y .
* Nhận xét :
- Với bài toán tìm cực trị của hàm căn thức , trớc khi giải học sinh cần lu ý
đặt điều kiện để tồn tại căn thức và nếu bài toán chứa căn dạng A
2
thì ta đa đợc
về dạng hàm cha dấu gía trị tuyệt đối nh ví dụ 20 , 21 .
- Có trờng hợp ta không thể tìm trực tiếp cực trị của một biểu thức mà đi
tìm cực trị của bình phơng biểu thức đó cần lu ý biểu thức đó phải dơng nh bài
toán đã trình bày ở ví dụ 22 .
VI - Cực trị có điều kiện
20
Loại toán cực trị có điều kiện rất đa dạng và phong phú . Cách giải dạng
này cơ bản phải vận dụng linh hoạt đợc điều kiện của bài và phải kết hợp thành
thạo những bớc biến đổi trung gian , vó thể phải sử dụng thêm bất đẳng thức đã
biết nh bất đẳng thức Cauchy , Bunhiacopxky hay một số bất đẳng thức phụ khác
mà ta cần chứng minh .
Ví dụ 25 : Cho x + y = 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x
2
+ y
2

Giải

Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxky
Ta có : ( 1 . x + 1. y )
2
( 1 + 1 ) ( x
2
+ y
2
)
Hay : 2 ( x
2
+ y
2
) ( x + y )
2
mà x + y = 2
Nên 2 ( x
2
+ y
2
) 4 => x
2
+ y
2
2 tức là A 2
x= y
dấu bằng xảy ra <=> => x = y = 1
x + y =2
Ví dụ 26: Cho 5x + 2y = 10 .Tìm giá trị lớn nhất của A = 3xy - x
2
- y

2
Giải :
10 - 5x
Từ 5x + 2y = 10 => y =
2
3x (10 - 5x ) 10 - 5x
2
30x - 15x
2
100 - 100x + 25x
2
=> A = - x
2
- = - x
2
-
2 2 2 4
= 1/4 (- 59x
2
+ 160x - 100 ) = 125/59 - 59/4 ( x - 80/59 )
2
125/59
Dấu " = " xảy ra <=> x = 80/59
x = 80/59
Vậy maxA = 125/59 <=>
y = 95/59
Ví dụ 27 :
a) Cho 2 số dơng x, y thoả mãn x + y = 1
1 1 1 1
Tính giá trị nhỏ nhất của M = 1 + 1 + 1 - 1 -

x y x y
Giải :
21
( x + 1 ) ( y + 1 ) ( x - 1 ) ( y-1 )
M =
x
2
y
2
Vì x + y = 1 nên x -1 = -y và y -1 = -x do đó
( x + 1 ) ( y + 1 ) xy ( x + 1 ) (y + 1 ) x + y + xy + 1 2 + xy 2
M = = = = = 1+
x
2
y
2
xy xy xy xy
2
Vì xy > 0 nên M nhỏ nhất <=> nhỏ nhất <=> xy lớn nhất mà x + y = 1=
const
xy
nên xy lớn nhất <=> x = y = 1/2
2 1
Vậy min M = 1 + = 9 <=> x = y =
1/4 2
16 x
2
+ 4x + 1
b ) Tìm giá trị nhỏ nhất của B = Với x > 0
2x

Giải: 1
B = 8x + 2 +
2x
1
Do x > 0 và tích 8x . = 4 không đổi nên tổng của chúng nhỏ nhất <=>
2x
1
8x = <=> 16x
2
= 1 <=> x = 1/4
2x
1
Vậy min B = 8 . 1/4 + 2 + = 4 +2 = 6 <=> x = 1/4
2. 1/4
Ví dụ 28 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1 2
B = + với 0 < x < 1
x 1 - x
Giải :
22
1 2 1-x 2x 1 - x 2x
M = + = +1 + + 2 = + + 3
x 1-x x 1-x x 1- x
1- x 2x
Đặt = a ; = b . Do 0 < x < 1 => 1 - x > 0 = > a > 0 , b > 0
x 1 - x
áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dơng a và b ta có :
1 - x 2x 1- x 2 x
a + b 2ab <=> + 2 +
x 1 - x x 1 - x

1 - x 2x
<=> + 2 2
x 1 - x
Do đó M = a +b 2 2 + 3 , dấu bằng xảy ra <=>
Ví dụ 29: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức
N= 2x + 3y - 4z biết rằng x,y,z

0 và thoả mãn hệ phơng trình
2x + y + 3z = 6 (1)
3x + 4y - 3z =4 (2)
Giải :
Từ hệ phơng trình điều kiện ta có: 5x + 5y = 10 <=> x + y =2 <=> y = 2 -
x (*)
Thay (*) vào (1) : 2x + 2 -x +3z =6 <=> x + 3z =4 <=> z = 4/3 - x/3 (**)
Thay (*) và (**) vào biểu thức N:
( )
3
2
33
4
3
16
362
33
4
4232432 +=++=

+=+=
xx
xx
x
xxzyxN

do x

0 nên x/3 + 2/3

2/3 , dấu "=" xảy ra <=> x =0
x =0
Vậy min N = 2/3 <=> y = 2
z = 4/3
Ta lại có : y

0 nên từ (*) => x

2
z

0 nên từ (**) =>x

4 , từ đó => x

2
Do đó x/3 + 2/3

2/3 + 2/3 = 4/3 , dấu bằng xảy ra <=> x =2
Vậy max N = 4/3 <=> x =2, y = 0 , z = 2/3
23
Ví dụ 30: Cho x,y,z là các số thoả mãn hệ phơng trình :
x + y + z = 5
xy + yz + zx = 8
Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của x,y,z
Giải :
x + y + z =5 y + z = 5 - x
Xét hệ phơng trình <=>
xy + yz + zx = 8 yz = 8 + x
2
- 5x
Do đó y, z là nghiệm của phơng trình :
t
2
- (5 - x)t + x
2
- 5x + 8 = 0 (1)
Ta có

= (5 - x)
2
- 4(x
2
- 5x + 8 ) = -3x
2
+10x - 7
y , z có giá trị lớn nhất , bé nhất <=> phơng trình (1) có nghiệm
tức là <=> -3x

2
+10x - 7

0 <=> 3x
2
-10x + 7

0
<=> (x - 1) ( 3x - 7)

0 <=> 1

x

7/3
Vì vai trò x , y , z nh nhau nên 1

y

7/3 ; 1

z

7/3 . Vậy giá trị lớn
nhất của chúng là 7/3 và giá trị nhỏ nhất là 1 .
* Một số bài tập :
1) Cho x , y , z là các số không âm và :
1=++ xzyzxy
Tìm giá trị bé nhất của biểu thức : A = x
2

+ y
2
+ z
2

2) Cho x , y là 2 số thoả mãn đẳng thức sau :

4
4
1
2
2
2
2
=++
y
x
x

Tìm giá trị của x , y để tích xy đạt giá trị bé nhất
3) Cho a , b , c , x thoả mãn hệ phơng trình :
x + a + b + c = 1
x
2
+ a
2
+ b
2
+ c
2

= 1
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của x .
* Một số nhận xét :
Cùng với sự linh hoạt trong việc vận dụng dữ kiện của bài toán và kết
hợp thành thạo những bớc biến đổi trung gian , học sinh cần phải nắm dợc 2
hệ quả của bất đẳng thức Cauchy :
* Hệ quả 1 : x > 0 , y > 0 và xy = k
2
( không đổi )
Thì x + y nhỏ nhất <=> x = y
* Hệ quả 2 : x > 0 , y > 0 và x + y = k
2
( không đổi )
24
Thì xy lớn nhất <=> x = y
Nội dung phần lý thuyết này tôi đã sử dụng ở ví dụ 27 a , b )
VII- Sáng tạo bài toán cực trị:
Trong quá trình giảng dạy , việc khai thác kiến thức và sáng tác ra
những bài toán khác tơng tự từ một bài toán là vấn đề hết sức quan trọng bởi
lẽ đó là cơ sở để học sinh hiểu sâu kiến thức phát triển t duy , hình thành kỹ
năng , kỹ xảo .
Cùng với sự sáng tác và su tầm tôi xin trình bày nội dung phần này qua
một số ví dụ sau :
Ví dụ 31 : Từ bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
A = x
2
- x + 1 đã trình bày ở VD1
Ta có thể phát triển thành bài toán sau :
Tìm giá trị nhỏ nhất của B = ( x
2

- x + 1)
2

Giải : Mặc dù B

0 nhng giá trị nhỏ nhất của B không phải = 0 vì :
x
2
- x + 1

0
Ta có : x
2
- x + 1 = ( x -1/2)
2
+ 3/4

3/4 , dấu "=" xảy ra <=> x = 1/2
Do đó B nhỏ nhất <=> ( x
2
- x + 1 ) nhỏ nhất .
Vậy min B = ( 3/4 )
2
= 9/16 <=> x = 1/2
Ví dụ 32 : Cho a < b < c < d là bốn số thực tuỳ ý , Với giá trị nào của x thì
biểu thức :
f(x) = x - a + x - b + x - c + x - d đạt giá trị nhỏ nhất .
Giải :
Ta có f(x) = ( x - a + x - d ) + ( x - b + x - c )
mà : x - a + x - d = x - a + d - x

x - a + d - x
Do a < d => x - a + x - d

d - a
dấu "=" xảy ra <=> ( x - a ) (d - x)

0 <=> a

x

d
Tơng tự : x - b + x - c

c - b , dấu "=" xảy ra <=> b

x

c
=> f(x)

d + c - a - b
a

x

d
dấu "=" xảy ra <=> => b

x

c
b

x

c
Vậy min f(x) = d + c - a - b <=> b

x

c
- Từ bài toán trên ta có thể biến đổi thành bài toán sau :
Tìm giá trị nhỏ nhất của M = x + 1 + x + 2 + + x + 99 + x + 100
25