một số phương pháp tìm cực trị, giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

Khóa luận tốt nghiệp
LỜI NÓI ĐẦU
Bất kể một lĩnh vực nào trong cuộc sống cũng có những yếu tố vượt
trội, những cá nhân điển hình hay những thành tích cao nhất hay một kỷ lục
nào đó mà không ai vượt qua được đó là cái "nhất". Trong toán học cũng vậy,
trong mỗi lĩnh vực cũng có những đại lượng "lớn nhất" hay "nhỏ nhất" mà
người ta thường gọi là các bài toán cực trị, các bài toán này rất phổ biến trong
các đề thi vào lớp 10 THPT, hay thi vào các trường Cao đẳng, Đại học cũng
như các đề thi học sinh giỏi ở nhiều năm.
Tôi nhận thấy việc nghiên cứu các dạng toán và các phương pháp giải
toán cực trị , giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất ở cấp THCS, THPT là rất cần
thiết đối với mỗi học sinh. Vì vậy, tôi mạnh dạn nghiên cứu khóa luận “ Một
số phương pháp tìm cực trị, giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất ” giúp học
sinh hiểu rõ hơn về dạng toán này. Khóa luận này nghiên cứu, tìm tòi một số
phương pháp tìm cực trị nhằm giúp học sinh có cái nhìn tổng quát hơn về các
bài toán liên quan tới bất đẳng thức và toán cực trị.
Trong quá trình trình bày khóa luận không tránh khỏi sự thiếu sót do ý
kiến chủ quan của cá nhân, vì vậy rất mong được sự đóng góp chân thành của
các quý thầy cô giáo và các đọc giả để khóa luận này được phát huy hiệu quả.
Cuối cùng tôi xin cám ơn toàn bộ giảng viên trường Đại học Quảng Bình đã
tạo mọi điều kiện cho tôi học tập và sinh hoạt trong bốn năm qua. Cám ơn ban
lãnh đạo trường Đại học Quảng Bình đã tạo mọi điều kiện cho tôi hoàn thành
khóa luận này. Đặc biệt, tôi xin chân thành cám ơn thầy giáo Thạc sĩ Nguyễn
Quốc Tuấn đã nhiêt tình giúp đỡ, đóng góp và hướng dẫn cho tôi trong suốt thời
gian làm khóa luận này.
Đồng Hới: Tháng 5 năm 2012
Sinh viên
Nguyễn Thị Vân
GVHD : Th.s Nguyễn Quốc Tuấn SVTH : Nguyễn Thị Vân
1
Khóa luận tốt nghiệp

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Thông thường kiến thức về “cực trị, giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất’’là một trong những mảng kiến thức khó, ứng dụng của nó lại khá rộng
rãi. Không những có mặt trong phân môn đại số mà còn đóng góp một vai trò
quan trọng trong phân môn hình học. Nó không chỉ dừng lại ở chương trình
THCS mà còn là một phần quan trọng trong chương trình THPT.
Trong chương trình toán phổ thông cấp THCS, THPT nhiều mảng kiến
thức trong SGK đề cập đến rất ít tới bài toán này nhưng trong quá trình kiểm
tra lại gặp rất nhiều, ngay cả những học sinh nắm rất vững kiến thức SGK
nhưng khi gặp dạng toán này cũng lúng túng.
Các bài toán cực trị được liệt kê vào một trong những dạng toán khó. Để
giải được một bài toán cực trị bên cạnh phải nắm vững được các kiến thức cơ
bản của chương trình phổ thông còn phải biết vận dụng linh hoạt các kiến
thức đó vào giải bài tập. Điều đặc biệt là thông qua các bài toán cực trị người
học có thể vận dụng linh hoạt vào giải các loại toán khác như giải phương
trình, hệ phương trình, bất đẳng thức, chứng minh một yếu tố hình học.
Qua nghiên cứu kỹ nội dung kiến thức, đọc nhiều tài liệu và qua những
đóng góp tích cực của thầy giáo và bạn bè. Tôi mạnh dạn nghiên cứu đề tài
“ Một số phương pháp tìm cực trị, giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
hàm số ”.
2. Mục đích nghiên cứu
- Đề tài này có tác dụng giúp học sinh học tập môn Toán nói chung và
việc giải toán cực trị nói riêng được tháo gỡ phần nào những khó khăn.
- Trang bị cho học sinh một số kiến thức cơ bản nhằm nâng cao khả
năng tư duy và học tập bộ môn một cách chủ động.
- Tạo thêm hứng thú cho học sinh trong học tập môn Toán cũng như kích
thích sự đam mê tự học và tự tìm tòi nghiên cứu.
GVHD : Th.s Nguyễn Quốc Tuấn SVTH : Nguyễn Thị Vân
2

Khóa luận tốt nghiệp
- Giúp bản thân người học nắm được các bước cơ bản để tìm cực trị.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Đề tài đưa ra một số dạng toán cơ bản về bài toán"cực trị’’phù hợp với
trình độ nhận thức của học sinh và chỉ ra được những sai lầm thường mắc phải
của học sinh.
- Thông qua đề tài trang bị cho học sinh một số phương pháp giải các bài
toán cực trị cơ bản để học sinh vận dụng làm bài tập.
- Chọn lọc có hệ thống những bài tập mang tính tiêu biểu phù hợp với
từng nội dung phương pháp.
- Đề xuất một số phương pháp giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất, đồng thời rèn cho học sinh tìm tòi lời giải.
4. Phạm vi đề tài
Phát triển năng lực tư duy của học sinh thông qua giải toán tìm cực trị đối
với các học sinh chuyên và không chuyên toán.
5. Đối tượng nghiên cứu
Đề tài áp dụng cho nhiều đối tượng học sinh, đặc biệt trang bị các dạng
toán cực trị cơ bản cho học sinh lớp 12 ôn thi đại học.
6. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp khách quan: Qua kết quả học tập của bản thân trong quá
trình học tập ở THCS, THPT và trong quá trình học Đại học.
- Phương pháp đọc và nghiên cứu từ các nguồn tài liệu khác nhau.
Trích dẩn từ nguồn internet và các sách tham khảo.
- Phương pháp tham khảo, trao đổi ý kiến với thầy giáo hướng dẩn và
bạn bè.
7. Nội dung đề tài
Đề tài này được chia thành ba chương.
Chương 1 : Cơ sở lý thuyết
GVHD : Th.s Nguyễn Quốc Tuấn SVTH : Nguyễn Thị Vân
3

Khóa luận tốt nghiệp
Toàn bộ chương 1 trình bày các vấn đề liên quan tới các bài toán về cực
trị: Định nghĩa, các định lý, các tính chất của bất đẳng thức, của hàm số, điều
kiện để có cực trị, các bước tiến hành để giải một bài toán cực trị…
Chương 2 : Một số phương pháp tìm cực trị
Trong khóa luận này tôi trình bày một số phương pháp tìm cực trị điển
hình.
I : Phương pháp dùng bất đẳng thức
II : Phương pháp dùng miền giá trị của hàm số
III : Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số
IV : Phương pháp dùng bất đẳng thức trong tam giác, tọa độ và véc tơ
Chương 3 : Một số sai lầm trong giải toán cực trị
Trong chương này tôi trình bày một số sai lầm của học sinh trong quá trình
giải bài toán cực trị.
GVHD : Th.s Nguyễn Quốc Tuấn SVTH : Nguyễn Thị Vân
4
Khóa luận tốt nghiệp
NỘI DUNG
CHƯƠNG I : CƠ SỞ LÝ THUYẾT
I: Định nghĩa giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
1.1. Định nghĩa giá trị lớn nhất của biểu thức
Cho biểu thức
( )
, , f x y
xác định trên miền D. Ta nói M là giá trị lớn nhất
của
( )
, , f x y
trên miền D nếu hai điều kiện sau được thoả mãn:
- Với mọi

( )
, , x y
thuộc D thì
( )
, , f x y

≤
M với M là hằng số
- Tồn tại
( )
0 0
, , x y
thuộc D sao cho
( )
0 0
, , f x y M=
1.2. Định nghĩa giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Cho biểu thức
( )
, , f x y
xác định trên miền D. Ta nói m là giá trị nhỏ
nhất của
( )
, , f x y
trên D nếu hai điều kiện sau được thoả mãn:
- Với
( )
, , x y
mọi thuộc D thì
( )

, , f x y
≥
m với m là hằng số
- Tồn tại
( )
0 0
, , x y
thuộc D sao cho
( )
0 0
, f x y m
=
II : Một số kiến thức cơ bản
2.1. Một số vấn đề về bất đẳng thức cần quan tâm
2.1.1 . Định nghĩa bất đẳng thức

0 0a b a b b a≥ ⇔ − ≥ ⇔ − ≤
dấu
" " a b= ⇔ =
2.1.2. Tính chất
• Tính chất 1:
a a
≥
• Tính chất 2:
a b
a c
b c
≥

⇒ ≥


≥

• Tính chất 3:
a b a c b c≥ ⇔ ± ≥ ±
GVHD : Th.s Nguyễn Quốc Tuấn SVTH : Nguyễn Thị Vân
5
Khóa luận tốt nghiệp
• Tính chất 4:
a b
a c b d
c d
≥

⇒ + ≥ +

≥

• Tính chất 5:
0
. .
0
a b
a c b d
c d
≥ ≥

⇒ ≥

≥ ≥


• Tính chất 6:
. . ; 0
. ; 0
; 0
a c b c c
a b a c bc c
ac bc c
≥ >


≥ ⇒ ≤ <


= =

• Tính chất 7:
1 1
. 0
a b
a b
a b
≥

⇒ ≤

>

• Tính chất 8:
0

2
n n
n n
a b
a b
n N
a b

≥ ≥
≥


⇒
 
≤ ∈
≥



• Tính chất 9:
2 1 2 1
2 1 2 1
n n
n n
a b
a b
n N
a b
+ +
+ +


≥
≥


⇒
 
∈
≥



• Tính chất 10:
1
x y
x y
a a
a
≥

⇒ ≥

>

• Tính chất 11
0 1
x y
x y
a a
a

≥

⇒ ≤

< <

2.1.3. Một số bất đẳng thức thường dùng
Xét biểu thức chứa biến
( )
P x
. Ta ký hiệu giá trị lớn nhất của biểu thức P
trên tập xác định D của biến là GTLN(P) hay maxP, còn giá trị nhỏ nhất của
P là GTNN(P) hay minP.
a) Cho
P A B
= +
thì
maxP maxA maxB= +
và
min in inP m A m B= +
Trong đó A và B là các biểu thức chứa các biến độc lập với nhau, hoặc nếu
A và B chứa cùng một biến thì cùng đạt GTLN (GTNN) tại một giá trị xác
định
0
x x=
, tức là
( )
0
maxA A x=
,

( )
0
maxB B x=
thì
( )
0
maxP P x=
.
b) Cho P =
1
A
với A
≥
0 thì
1
min
maxP
A
=
,
1
min P
maxA
=
GVHD : Th.s Nguyễn Quốc Tuấn SVTH : Nguyễn Thị Vân
6
Khóa luận tốt nghiệp
c) +
( )
2

,
n
P Q x y a a= + ≥ 
 
với a là hằng số, n
∈
N
*
Nếu có
( )
0 0
,x y
sao cho
( )
0 0
, 0Q x y =
thì min
( )
,P x y a=
với mọi
,x y
thuộc D
+
( )
2
,
n
P Q x y b b= − + ≤ 
 
với b là hằng số, n

∈
N
*
Nếu có (x
0
, y
0
) sao cho
( )
0 0
, 0Q x y =
thì
( )
min ,P x y b=
với mọi
,x y
thuộc D
d)
0A ≥
thì
( )
( )
2
2
max A maxA=
và
( )
( )
2
2

min minA A=
e) Bất đẳng thức Cô-si:
+
2a b ab+ ≥

( )
0, 0a b≥ ≥
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
a b=
+
2
a b
b a
+ ≥

( )
0, 0a b≥ ≥
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
a b=
 Tổng quát : Bất đẳng thức Cô-si
Cho
n
số thực không âm
n
a a a n ≥
1 2
, , , ( 2)

Ta có
n

n
n
a a a
a a a
n
+ + +
≥
L
1 2
1 2

.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
n
a a a= = =L
1 2
.
 Một vài hệ quả quan trọng:
-
n i
n
a a a n a i n
a a a
 
+ + + + + + ≥ ∀ > =
 ÷
 
L L
2
1 2

1 2
1 1 1
( ) vôùi 0, 1,
-
i
n n
n
a i n
a a a a a a
+ + + ≥ ∀ > =
+ + +
L
L
2
1 2 1 2
1 1 1
vôùi 0, 1,
- Cho
2n
số dương (
, 2n Z n
∈ ≥
):
( ) ( )
n n
a a a b b b
1 2 1 2
, , , , , , ,

ta có:

n n n
n n n n
a b a b a b a a a b b b+ + + ≥ +
1 1 2 2 1 2 1 2
( )( ) ( )
f) Bất đẳng thức Bunhiacopski
GVHD : Th.s Nguyễn Quốc Tuấn SVTH : Nguyễn Thị Vân
7
Khóa luận tốt nghiệp
Cho
2n
số dương (
, 2n Z n∈ ≥
):
( ) ( )
n n
a a a b b b
1 2 1 2
, , , , , , ,
ta có:

n n n n
a b a b a b a a a b b b+ + + ≤ + + + + + +L L L
2 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2
( ) ( )( )
Dấu “=’ xảy ra
n
i i

n
a
a a
b a
b b b
⇔ = = = = ⇒ =L
1 2
1 2
(quy öôùc neáu 0 0)

Bất đẳng thức Bunhiacopski mở rộng
Cho m bội số , mỗi bội số gồm n số không âm


( , , )( 1, )
i i i
a b c i m=
1 2 1 2 1 2 1 1 1
( ) ( ) ( )
m m m m m m m
n n n n n n
a a a bb b c c c a b c a b c+ + + ≤ + + + + + +
Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi tồn tại một bội số ( a ,b,…c) sao cho
i= 1,2…m thì
i
t
∃
sao cho:
1 1 1 2 2 2
, , , : : : : : : : :

i i i i i i n n n
a t a b t b c t c a b c a b c a b c= = = ⇔ = = =
 Hệ quả ( Bất đẳng thức Svác-xơ )
Cho hai dãy số
n n i
a a a b b b b i n> ∀ =
1 2 1 2
, , , vaø , , , vôùi 0 1,
ta luôn có:

n n
n n
a a a a
a a
b b b b b b
+ + +
+ + + ≥
+ + +
L
L
L
2 2
2 2
1 2
1 2
1 2 1 2
( )
Dấu “=’ xảy ra
n
n

a
a a
b b b
⇔ = = =L
1 2
1 2
g) Bất đẳng thức Trê-bư-sép.
+ Nếu
1 2

n
a a a≥ ≥ ≥
và
1 2

n
b b b≥ ≥ ≥

Thì
1 1 2 2 1 2 1 2
( ) ( ).( ).
n n n n
n a b a b a b a a a b b b+ ≥ + + + +
Dấu bằng xảy ra
1 2 1 2
;
n n
a a a b b b⇔ = = = = = =

, 2n Z n

∈ ≥
+ Nếu
1 2

n
a a a≥ ≥ ≥
và
1 2

n
b b b≤ ≤ ≤
thì

1 1 2 2 1 2 1 2
( ) ( ).( ).
n n n n
n a b a b a b a a a b b b+ ≤ + + + +
GVHD : Th.s Nguyễn Quốc Tuấn SVTH : Nguyễn Thị Vân
8
Khóa luận tốt nghiệp
Dấu “=” xảy ra
1 2 1 2
;
n n
a a a b b b⇔ = = = = = =
;
, 2n Z n∈ ≥
h) Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối
+
0.a ≥

Dấu “=” xảy ra
0a⇔ =
+
a a a− ≤ ≤
Dấu “=” xảy ra
0a⇔ =
+
a b a b+ ≤ +
Dấu “=” xảy ra
( )
0 ,ab a b⇔ ≥
cùng dấu)
+
a b a b− ≥ −
Dấu “=” xảy ra
( )
0 ,ab a b⇔ ≥
cùng dấu)
+
; 0a b ab≥ ≥

1 1
a b
⇒ ≤
Dấu “=” xảy ra
a b⇔ =
 Dạng tổng quát
Cho
1 2
, ,

n
a a a D∈
thì
1 2 1 2

n n
a a a a a a+ + + ≥ + +
;
Dấu “=” xảy ra khi đôi một cùng dấu.
l ) Định lý về dấu của tam thức bậc hai.
Cho tam thức bậc hai
2
( )f x ax bx c= + +

( 0)a
≠
Khi đó:
Nếu
0∆ <
thì
( )f x
luôn luôn cùng dấu với
a
,
x R
∀ ∈
Nếu
0
∆ =
thì

( )f x
luôn luôn cùng dấu với
a
,
x R
∀ ∈
,
2
b
x
a
−
≠
Nếu
0
∆ >
thì
( )f x
cùng dấu với a nếu x nằm ngoài khoảng 2 nghiệm và
trái dấu với a nếu x nằm trong khoảng 2 nghiệm
2.2. Một vài kiến thức cơ bản về hàm số:
2.2.1. Một số tính chất về hàm số
• Tính chất 1: Giả sử
BA ⊂
khi đó ta có:
a/
( ) ( )
x A x B
max f x max f x
∈ ∈

≤
b/
( ) ( )
min min
x A x B
f x f x
∈ ∈
≥
Trong đó A và B là các biểu thức chứa các biến độc lập với nhau, hoặc nếu
A và B chứa cùng một biến
• Tính chất 2: Nếu
( )
, , 0f x y ≥
với mọi
x
thuộc
D
, ta có:
GVHD : Th.s Nguyễn Quốc Tuấn SVTH : Nguyễn Thị Vân
9
Khóa luận tốt nghiệp
a/
( ) ( )
2
x D x D
max f x max f x
∈ ∈
=

b/

( ) ( )
2
min min
x D x D
f x f x
∈ ∈
=
• Tính chất 3 :

1 2
/ ( ) ( )) ( ) ( )
x D x D x D
a max f x g x max f x max g x
∈ ∈ ∈
+ ≤ +

)1(

1 2
/ ( ) ( )) ( ) ( )
x D x D x D
b min f x g x min f x min g x
∈ ∈ ∈
+ ≤ +

)2(
Trong đó
1 2
,D D
lần lượt là miền xác định của

( ) ( )
,f x g x
. Dấu bằng trong
)1(
xảy ra khi có ít nhất một điểm
0
x
mà tại đó
( )f x
và
( )g x
cùng đạt giá trị
lớn nhất. Tương tự nếu tồn tại
0
x
thuộc
D
mà tại đó
gf ,
cùng đạt giá trị
nhỏ nhất thì
)2(
có dấu bằng.
• Tính chất 4:
( ) min( ( ))
x D
x D
max f x f x
∈
∈

= − −
• Tính chất 5 : Nếu đặt
( )
x D
M max f x
∈
=
,
)(min xfm
Dx
∈
=
thì
{ }
( ) ,
x D x D
max f x max M m
∈ ∈
=
.
• Tính chất 6:Giả sử
{ }
1
; ( ) 0D x D f x= ∈ ≤
và
{ }
0)(;
2
≥∈=
xfDxD

thì
{ }
2
1
( ) ( );min ( )
x D
x D x D
min f x min max f x f x
∈
∈ ∈
= −
Chú ý: Khi nói đến giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của một hàm số, bao giờ
cũng phải tìm TXĐ. Cùng một hàm số
)(xf
nhưng xét trên hai TXĐ khác
nhau thì nói chung giá trị lớn nhất tương ứng khác nhau.
2.2.2. Một số kiến thức thường dùng
1. Định lý
Giả sử hàm số
( )f x
đạt cự trị tại điểm
0
x
. Khi đó nếu
( )f x
có đạo hàm
tại điểm
0
x
thì

( )
0
' 0f x =

2. Dấu hiệu 1
GVHD : Th.s Nguyễn Quốc Tuấn SVTH : Nguyễn Thị Vân
10
Khóa luận tốt nghiệp
Giả sử hàm số
( )f x
liên tục trên
( )
,a b
chứa điểm
0
x
và có đạo hàm trên
khoảng
( )
,a b
. Không nhất thiết phải có đạo hàm tại
0
x
nên khi đó
a)
( )
( )
( )
( )
0

0
' 0; ,
' 0; ,
f x x a x
f x x x b

< ∀ ∈


> ∀ ∈


thì hàm số đạt cực tiểu tại
0
x
b)
( )
( )
( )
( )
0
0
' 0; ,
' 0; ,
f x x a x
f x x x b

> ∀ ∈



< ∀ ∈


thì hàm số đạt cực đạt tại
0
x
3. Dấu hiệu 2
Giả sử hàm số
( )f x
có đạo hàm cấp 1 trên khoảng ( a, b) chứa điểm
0
x

và
( )
0
' 0f x =
và
( )
0
'' 0f x ≠
thì
a)
( )
( )
0
0
' 0
'' 0
f x

f x

=


<


thì hàm số đạt cực đai tại
0
x
b)
( )
( )
0
0
' 0
'' 0
f x
f x

=


>


thì hàm số đạt cực tiểu tại
0
x

4. Định lí viet:
Giả sử
1 2
,x x
là nghiệm của phương trình bậc hai
2
0ax bx c+ + =
thì

1 2
1 2
b
x x
a
c
x x
a

+ = −




=


III: Các bước cơ bản để giải toán cực trị
Bước 1: Chứng minh bất đẳng thức:
, ),( yxf
≥ m (hoặc

, ),( yxf
≤ M) với ∀
, , x y D∈
.
Bước 2: Chỉ ra giá trị
0 0
x , , Dy ∈
để:
( )
0 0
, f x y m=
hoặc
( )
0 0
, f x y M=
Bước 3 : Kết luận: Với giá trị
0 0
x , , Dy ∈
thì
( )
; f x y
đạt:

( )
0 0
,
,
x y D
maxf x y M
∈

=
;
( )
0 0
,
min ,
x y D
f x y m
∈
=

GVHD : Th.s Nguyễn Quốc Tuấn SVTH : Nguyễn Thị Vân
11
Khóa luận tốt nghiệp
CHƯƠNG II : CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM CỰC TRỊ
I : Phương pháp dùng bất đẳng thức
1.1. Nội dung phương pháp
Dựa trực tiếp vào định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
( )
( )
( )
0 0 0 0
, , ,
, ,
, : ,
f x y M x y D
M maxf x y
x y D f x y M
≤ ∀ ∈


= ⇔

∃ ∈ =



( )
( )
( )
0 0 0 0
, , ,
, ,
, : ,
f x y m x y D
m Minf x y
x y D f x y m
≥ ∀ ∈

= ⇔

∃ ∈ =


Như vậy, khi tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
, ),( yxf
trên
miền D nào đó, ta tiến hành theo hai bước:
+ Chứng minh một bất đẳng thức
+ Tìm
0 0

x , , Dy ∈
sao cho dấu “=” xảy ra
1.2. Các kiến thức liên quan
Tất cả các bất đẳng thức thường dùng
1.3. Bài tập vận dụng
VD1: Cho x
1
, x
2
, , x
2004
thoả mãn
2005
200421
=+++
xxx
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y =
1 11
200421
−++−+−
xxx
Giải
GVHD : Th.s Nguyễn Quốc Tuấn SVTH : Nguyễn Thị Vân
12
Khóa luận tốt nghiệp
Vận dụng bất đẳng thức
a b a b− ≥ −
Dấu "=" xảy ra khi
0ab ≥
.

Ta có:

1 1
2 2
2004 2004
1 1
1 1

1 1
x x
x x
x x
− ≥ −
− ≥ −
− ≥ −
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta được:
1 2 1 2 2004
1 1 1
n
E x x x x x x= − + − + + − ≥ + + +
−

  
12004
1 11
sã
+++

= 2005 - 2004 = 1
Vậy E = 1.Dấu "=" xảy ra khi

1 2 2004
, , 0x x x ≥
và
1 2 2004
2005x x x+ + + =
VD2: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
2000 21
−++−+−=
xxxy

Giải
Dạng hàm số khiến ta nghĩ đến áp dụng bất đẳng thức:
baba
+≤+
đối với
1000 cặp giá trị tuyệt đối.
Ta có :

( ) ( ) ( )
1 2000 2 1999 999 1000y x x x x x x= − + − + − + − + + − + −

( )
[ ]
1 1
1 2000 1999 min 1999 1;2000y x x y x= − + − ≥ ⇒ = ⇔ ∈

( )
[ ]
( )
[ ]

2 2
1000 1000
2 1999 1997 min 1997 2;1999

999 1000 1 min 1 999,1000
y x x y x
y x x y x
= − + − ≥ ⇒ = ⇔ ∈
= − + − ≥ ⇒ = ⇔ ∈
Vậy
2
1 3 5 1999 1000 1000000Min y = + + + + = =
VD 3: Tìm GTNN của
2 2
1 4 4 4 12 9A x x x x
= − + + − +
Giải
Với bài này ta áp dụng
2
A A=
GVHD : Th.s Nguyễn Quốc Tuấn SVTH : Nguyễn Thị Vân
13
Khóa luận tốt nghiệp
Ta có : A =
2
(1 2 )x
−
+
2
(2 3)x

−
=
1 2x
−
+
2 3x
−

≥

1 2 2 3x x
− + −
= 2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
( ) ( )
1 3
1 2 2 3 0
2 2
x x x− − ≥ ⇔ ≤ ≤
Vậy min A = 2 dấu “=” xảy ra

1 3

2 2
x⇔ ≤ ≤

VD 4: Tìm GTNN của biểu thức sau
K =
( ) ( )
2 1 1 2 1 1x x x x+ + + + + − +

Giải
Điều kiện :
1x
≥ −

( ) ( )
2 1 1 2 1 1K x x x x= + + + + + − +

( ) ( )
2 2
1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 2
x x
x x x x
⇔ + + + − +
⇔ + + + − + ≥ + + + − + =

( ) ( )
2 1 1 1 1 0K x x⇔ = ⇔ + + − + ≥
Vì
1 1 0x
+ + >
nên
1 1 0 0x x
− + ≥ ⇔ ≤
Vậy minK = 2 xảy ra “=” khi
1 0x
− ≤ ≤
VD 5 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A, với x
≥

1,y ≥ 2 , z ≥ 3

Giải
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm 1 và x - 1 ta có:

( )
( )
1
1 1 1
1. 1
2 2 2
x
x x
x
x
−
+ −
− ≤ = ⇒ ≤
(1)
Tương tự :
GVHD : Th.s Nguyễn Quốc Tuấn SVTH : Nguyễn Thị Vân
14
Khóa luận tốt nghiệp

( )
( )
( )
2
2 2
1 2 2 1

2 .
2 2
2 2 2 2 2
y
y
y y
y
y
−
−
+ −
− = ≤ = ⇒ ≤
(2)

1 1 3 3 3 1
3 3( 3) .
2
3 3 2 3 2 3
z z z
z z
z
+ − −
− = − ≤ = ⇒ ≤
(3)
Cộng các vế (1)(2)(3) ta được:

2
1 3 1 1 1
2 2
2 2 2 3 2 2 2 3

y
x z x y z
A
x y z x
y z
−
− −
= + + ≤ + + = + +

Dấu "=" xảy ra
1 1
2 2
3 3
x
y
z
− =


⇔ − =


− =


2
4
6
x
y

z
=


⇔ =


=


1 1 1
2
2 2 3 2
maxA = + +
2
4
6
x
y
z
=


⇔ =


=


VD 6: Cho x,y z > 0 và x + y + z =1. Tìm giá trị lớn nhất của P

1 1 1
x y z
P
x y z
= + +
+ + +
Giải
Sử dụng hệ quả của bất đẳng thức Cô-si

n i
n
a a a n a i n
a a a
 
+ + + + + + ≥ ∀ > =
 ÷
 
L L
2
1 2
1 2
1 1 1
( ) vôùi 0, 1,
Ta phân tích:

1
1
1 1
x

x x
= −
+ +
ta có:
GVHD : Th.s Nguyễn Quốc Tuấn SVTH : Nguyễn Thị Vân
15
Khóa luận tốt nghiệp

1 1 1 1 1 1
1 1 1 3
1 1 1 1 1 1
P
x y z x y z
 
= − + − + − = − + +
 ÷
+ + + + + +
 
(1)
Áp dụng hệ quả của bất đẳng thức Cô-si ta có

( ) ( ) ( )
( )
1 1 1
1 1 1 9
1 1 1
1 1 1
3 9
1 1 1
x y z

x y z
x y z
x y z
 
+ + + + + + + ≥ 
 ÷
 
+ + +
 
 
⇔ + + + + + ≥
 ÷
+ + +
 

1 1 1 9
1 1 1 4x y z
 
⇔ + + ≥
 ÷
+ + +
 
(2) ( do
1x y z+ + =
)
Thay (2) vào (1) ta có

1 1 1 9 3
3 3
1 1 1 4 4

P
x y z
 
⇒ = − + + ≤ − =
 ÷
+ + +
 
Dấu “=” xảy ra
1 1 1
1
1
3
x y z
x y z
x y z
+ = + = +


⇔ ⇔ = = =
 
+ + =



3 1
4 3
maxP x y z⇒ = ⇔ = = =
VD 7 : Cho
5
, 0;

4
x y x y> + =
,
4 1
4
S
x y
= +
Tìm GTNN của S
Giải
Vận dụng hệ quả của bất đẳng thức Cô-si ta có

( )
1 1 1 1 1
4 25
4
x x x x y
x x x x y
 
+ + + + + + + + ≥
 ÷
 

( )
( )
4 1
4 4 25
4
4 1 25
5

4 4
x y
x y
S
x y x y
 
 
⇔ + + ≥
 
 ÷
 
 
⇒ = + ≥ =
+
GVHD : Th.s Nguyễn Quốc Tuấn SVTH : Nguyễn Thị Vân
16
Khóa luận tốt nghiệp
Dấu “=” xảy ra
4 1
5 1
4 4
x y x
x y y
= =
 
 
⇔ ⇔
 
+ = =
 

 
Vậy
1
minS 5; 1,
4
x y= = =
VD 8 : Cho
, , 0x y z >
,
x y z y z z x x y
P
y z z x x y x y z
+ + +
= + + + + +
+ + +
Tìm GTNN của P
Giải
Ta có :
x y z y z z x y x
P
y z z x x y x x y y z z
 
   
= + + + + + + + +
 ÷  ÷
 ÷
+ + +
   
 

1 1 1 3
x y z x y z
y z z x x y y z z x x y
   
 
+ + = + + + + + −
 ÷
 ÷  ÷
+ + + + + +
 
   

( )
1 1 1
3x y z
y z x z x y
 
= + + + + −
 ÷
+ + +
 


( ) ( ) ( )
1 1 1 1
3
2
y z x z x y
y z x z x y
 

= + + + + + + + −
 
 ÷
 
+ + +
 
Áp dụng hệ quả của bất đẳng thức Cô-si ta có

( ) ( ) ( )
1 1 1
9
1 3
9 3
2 2
y z x z x y
y z x z x y
x y z
y z x z x y
 
+ + + + + + + ≥ 
 ÷
 
+ + +
 
⇒ + + ≥ − =
+ + +
(1)
Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cô-si

2; 2; 2

x y z x x z
y x x z z x
+ + ≥ + ≥ + ≥
(2)
Kết hợp (1), (2) ta có

3 15
6
2 2
P ≥ + =
. Dấu “=” xảy ra
;
, , 0
x y z
x y z
= =

⇔

>

GVHD : Th.s Nguyễn Quốc Tuấn SVTH : Nguyễn Thị Vân
17
Khóa luận tốt nghiệp

;
15
min
, , 0
2

x y z
P
x y z
= =

⇒ = ⇔

>

VD 9: Cho
, 0;
1
a b
a b
>


+ =


2 2
1 1
A
ab a b
= +
+
Tìm GTNN của A
Giải
Áp dụng hệ quả của bất đẳng thức Cô-si
i

n n
n
a i n
a a a a a a
+ + + ≥ ∀ > =
+ + +
L
L
2
1 2 1 2
1 1 1
vôùi 0, 1,
Phân tích:

2 2 2 2
1 1 1 1 1
2 2ab a b ab a b ab
+ = + +
+ +
Áp dụng hệ quả của bất đẳng thức Cô-si cho 2 số nguyên dương
,a b
ta có:
( )
2
2 2 2 2
1 1 4 4
4
2 2ab a b ab a b
a b
+ ≥ = =

+ + +
+
(1)
Mặt khác : Áp dụng bất đẳng thức Cô-si

( )
2
2
2
2 2
2
1 1
2 2
2 2
a b
ab
a b
ab
ab
ab
+
≥
+
 
⇔ ≤
 ÷
 
⇔ ≤ ⇒ ≥
(2)
Cộng (1) và (2) ta có

2 2
1 1 1
4 2 6
2 2
A
ab a b ab
= + + ≥ + =
+
Dấu “=” xảy ra
2 2
2
1
2
1
a b ab
a b
a b

+ =

⇔ ⇔ = =
 
+ =



GVHD : Th.s Nguyễn Quốc Tuấn SVTH : Nguyễn Thị Vân
18
Khóa luận tốt nghiệp

Vậy MinA= 6
1
2
a b
⇔ = =
VD 10: Cho
x y z
x y z

>


+ + =


, , 0
1 1 1
4
.
Tìm GTLN của
P
x y z x y z x y z
= + +
+ + + + + +
1 1 1
2 2 2
.
Giải :
Ta tách các số
x x x= +2

.
Cách1: Áp dụng hệ quả của bất đẳng thức cô-si ta có :

x y z x x y z x x y z x y z
   
= ≤ + + + = + +
 ÷  ÷
+ + + + +
   
1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1
2 16 16
(1)
tương tự
x y z x y y z x y z
   
≤ + + + = + +
 ÷  ÷
+ +
   
1 1 1 1 1 1 1 1 2 1
2 16 16
(2)

x y z x y z z x y z
   
≤ + + + = + +
 ÷  ÷
+ +
   
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2

2 16 16
( 3)
Cộng (1)(2)(3) ta được

P
x y z x y z x y z
 
     
≤ + + + + + + + +
 
 ÷  ÷  ÷
     
 
1 2 1 1 1 2 1 1 1 2
16

x y z x y z
   
≤ + + = + + =
 ÷  ÷
   
1 4 4 4 1 1 1 1
1
16 4
( với
1 1 1
4
x y z
+ + =
)

Dấu “=” xảy ra khi
3
1 1 1
4
4
x y z
x y z
x y z
= =



⇔ ⇔ = = =
 
+ + =



Vậy
1MaxP
=
khi
x y z= = =
3
4
.
Cách 2: Ta có
GVHD : Th.s Nguyễn Quốc Tuấn SVTH : Nguyễn Thị Vân
19
Khóa luận tốt nghiệp

x y z x x y z x x y z
x y z
x yz
+ + = + + + ≥
⇒ ≤
+ +
4
2
4
2 4 . . .
1 1
2
4
,
Mặt khác:
x x y z x x y z
 
≤ + + +
 ÷
 
4
1 1 1 1 1 1 1 1 1
. . .
4

x y z x y z
 
⇒ ≤ + +
 ÷

+ +
 
1 1 2 1 1
2 16
Tương tự ta có: :
x y z x y z
 
≤ + +
 ÷
+ +
 
1 1 1 2 1
2 16


x y z x y z
 
≤ + +
 ÷
+ +
 
1 1 1 1 2
2 16
Cộng các vế của bất phương trình ta có

1 1 1 1
.4 1
16
P
x y z

 
≤ + + =
 ÷
 
. ( với
1 1 1
4
x y z
+ + =
)
Dấu “=” xảy ra khi
3
1 1 1
4
4
x y z
x y z
x y z
= =



⇔ ⇔ = = =
 
+ + =




1MaxP

=

x y z⇔ = = =
3
4
VD 11 : Tìm GTLN của tích xyz với x, y, z là các số dương thoả mản :



z a
x y z s
+ + =


≥

trong đó s, a là những số dương cho trước và a < s
Giải
Ta dự đoán dấu “=” xảy ra khi xyz đạt GTLN là
x y z= =
Xét trường hợp
3
s
a
≤
thì áp dụng bất đẳng thức cô-si ta có
GVHD : Th.s Nguyễn Quốc Tuấn SVTH : Nguyễn Thị Vân
20
Khóa luận tốt nghiệp

3 3
3 3
x y z s
xyz
+ +
   
≤ =
 ÷  ÷
   
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
3
s
x y z
= = =
Lúc đó, GTLN(xyz) =
3
3
s
 
 ÷
 
Xét trường hợp
3
s
a >
Theo bất đẳng thức cô-si, ta có :
2
2
x y
xy

+
 
≤
 ÷
 
(1)
Ta có :
3 2
2
x y
x y a x y z s a x y a a
+
+ + ≤ + + = < ⇒ + < ⇒ <
Từ
2
x y
a z
+
< ≤
Ta có
( )
0
2 2 2
x y x y x y
a z a z a z a
+ + +
     
− − ≤ ⇔ ≤ + −
 ÷  ÷  ÷
     

(2)
Từ (1),(2) và áp dụng dụng bất đẳng thức Cô-si ta có :

2 2 2 2
x y x y x y x y
xyz z a z a
+ + + +
     
≤ ≤ + −
 ÷ ÷  ÷ ÷
     

2
2
2 2
2 2
x y x y
z a
s a
a
 + + 
  
+ −
 ÷ ÷
 ÷
−
 
  
 ÷
≤ =

 ÷
 ÷
 
 ÷
 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
z a=
và
2
s
x y
= =

( )
GLNN xyz
=
2
2
s a
a
−
 
 ÷
 
VD 12: Cho biểu thức
1
=++
zxyzxy
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
444

zyxP
++=
GVHD : Th.s Nguyễn Quốc Tuấn SVTH : Nguyễn Thị Vân
21
Khóa luận tốt nghiệp
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski đối với
),,( zyx
và
),,( xzy
22222222222
)(1))(()(1 zyxxzyzyxzxyzxy
++≤⇒++++≤++=

)1(
Mặt khác,áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski đối với
)1,1,1(
và
2 2 2
, , ),x y z
ta có:
2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4
(1. 1. 1. ) (1 1 1 ) .( )x y z y z x+ + ≤ + + + +
)2(
Từ
)1(
và
)2(
suy ra:
4 4 4

1
1 3( ) 3
3
y z x P P≤ + + = ⇒ ≥
Dấu “=” xảy ra
1
1
3
xy yz zx
x y z
x y z
y z x
+ + =



⇔ ⇔ = = = ±
 
= =



Vây
1 1
min
3
3
P x y z= ⇔ = = = ±
VD 13: Cho
, 0

2 3
6
x y
x y
>



+ =


Tìm
min A x y
= +
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có

( )
( )
2
2
2 3 2 3
2 3 . .x y x y
x y
x y
 
 
+ = + ≤ + +
 ÷
 ÷

 ÷
 
 

( ) ( )
2 2
2 3 2 3
6
2 3
A x y
x y
+ +
⇒ = + ≥ =
 
+
 ÷
 
với
2 3
6
x y
 
+ =
 ÷
 

Dấu “=” xảy ra
y
x
x y

x y
x y
x y
x y



=



=
+ +
  
⇔ ⇔ ⇔ = =
  

 

+ =
 
+ =



3
2
2 3
2 6 3 6
;

6 6
2 3
6
2 3
6
GVHD : Th.s Nguyễn Quốc Tuấn SVTH : Nguyễn Thị Vân
22
Khóa luận tốt nghiệp
Vậy
( )
2
2 3
2 6 3 6
in ,
6 6 6
m A x y
+
+ +
= ⇔ = =
VD 14: Cho
, ,x y z
là ba số dương và
1x y z
+ + ≤
,
P x y z
x y z
= + + + + +
2 2 2
2 2 2

1 1 1
.
Tìm GTNN của P
Giải:
Ta thấy P là biểu thức đối xứng với
x y z, ,
. Ta dự đoán minP đạt được khi
x y z= = =
1
3
Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có
( )
x x
x
x
β
α β α
   
+ + ≥ +
 ÷  ÷
   
2
2 2 2
2
1
với
,
α β
là những số thỏa mãn
x

x
x
x
α
α β β β
= = ⇔ = =
2
1
1 1
9
, Chọn
1, 9
α β
= =
Ta có :
( )
2
2 2 2 2
2 2
1 9 1 1 9
1 9
82
x x x x
x x
x x
     
+ + ≥ + ⇒ + ≥ +
 ÷  ÷  ÷
     
,(1)

Tương tự :

( )
y y y y
y y
y y
 
   
+ + ≥ + ⇒ + ≥ +
 ÷
 ÷  ÷
   
 
2
2 2 2 2
2 2
1 9 1 1 9
1 9
82
(2)

( )
z z z z
z z
z z
     
+ + ≥ + ⇒ + ≥ +
 ÷  ÷  ÷
     
2

2 2 2 2
2 2
1 9 1 1 9
1 9
82
(3):
Cộng (1)(2)(3) ta có:
P x y z x y z
x y z
x y z
 
 
= + + + + + ≥ + + + + +
 
 ÷
 
 
2 2 2
2 2 2
1 1 1 1 1 1 1
( ) 9
82
,
GVHD : Th.s Nguyễn Quốc Tuấn SVTH : Nguyễn Thị Vân
23
Khóa luận tốt nghiệp
Áp dụng hệ quả của bất đẳng thức Cô-si
Ta có
x y z x y z
+ + ≥ =

+ +
1 1 1 9
9

Ta tách
x y z x y z
x y z x y z x y z
     
+ + + + + = + + + + + + + +
 ÷  ÷  ÷
     
1 1 1 1 1 1 1 80 1 1 1
( ) 9 ( )
9 9
1 1 1 1 80 1 1 1 2 1 1 1 80 9
( ) ( ) 82
9 9 3 9
x y z x y z
x y z x y z x y z x y z
     
+ + + + + + + + ≥ + + + + + ≥
 ÷  ÷  ÷
+ +
     
Vậy
82P ≥
, dấu “=” xảy ra
x y z
x y z
x y z


= =

⇔ ⇔ = = =


+ + ≤

1 1 1
1
3
1
Vậy
1
82
3
MinP x y z
= ⇔ = = =
VD 15:Cho
, , 0
1
a b c
abc
>


=

và
2 2 2 2 2 2

bc ca ab
P
a b a c b c b a c a c b
= + +
+ + +
.
Tìm MinP
Giải
Đặt :
Ta có:
P
α β γ
βγ γα αβ
β γ γ α α β
α β α γ β γ β α γ α γ β
= + + = + +
+ + +
+ + +
2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1
 
1 1 1 1 1 1
Cách 1: Theo bất đẳng thức bunhiacopski

( )
α β γ
α β γ β γ α γ α β
β γ α γ α β
 

+ + += + + + +
 ÷
 ÷
+ + +
 
2
2

( )
α β γ
β γ α γ α β
β γ α γ α δ
 
≤ + + + + + + +
 ÷
 ÷
+ + +
 
2 2 2
GVHD : Th.s Nguyễn Quốc Tuấn SVTH : Nguyễn Thị Vân
24
Khóa luận tốt nghiệp

α β γ
α β γ
β γ α γ α δ
 
≤ + + + +
 ÷
 ÷

+ + +
 
2 2 2
2( )

( )
( )
P
α β γ
α β γ
α β γ
β γ α γ α δ α β γ
+ +
⇒ = + + ≥ = + +
+ + + + +
2
2 2 2
1
2( ) 2

αβγ
≥ =
3
3 3
2 2
(Với
1
αβγ
=
)

Dấu “=” xảy ra
1
1
α β γ
α β γ
αβγ
= =

⇔ ⇔ = = =

=


1a b c
⇒ = = =

3
1
2
MinP a b c
⇒ = ⇔ = = =
Cách 2: Phân tích :

( )
P
α β γ α β β γ γ α
α β γ
β γ γ α α β
+ + +
= + + + + + − + +

+ + +
2 2 2
1
4 4 4 2

( )
α β γ β γ α γ α β
α β γ
β γ γ α α β
     
+ + +
= + + + + + − + +
 ÷  ÷  ÷
 ÷  ÷  ÷
+ + +
     
2 2 2
1
4 4 4 2
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
( )
P
α β γ β γ α γ α β
α β γ
β γ γ α α β
     
+ + +
= + + + + + − + +
 ÷  ÷  ÷
 ÷  ÷  ÷

+ + +
     
2 2 2
1
4 4 4 2

( )
α β γ β γ α γ α β
α β γ
β γ γ α α β
+ + +
≥ + + − + +
+ + +
2 2 2
1
2 . 2 . 2 .
4 4 4 2

( ) ( )
α β γ α β γ α β γ
≥ + + − + + = + +
1 1
2 2

αβγ
≥ =
3
3 3
2 2

3
2
P
⇒ ≥
Dấu “=” xảy ra
1
1
α β γ
α β γ
αβγ
= =

⇔ ⇔ = = =

=


1a b c
⇒ = = =

3
1
2
MinP a b c
⇒ = ⇔ = = =
VD 16: Cho
( )
{ }
, , / 0 2;0 2;0 2; 3D x y z x y z x y z= ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ + + =
GVHD : Th.s Nguyễn Quốc Tuấn SVTH : Nguyễn Thị Vân

25