DAO ĐỘNG KÍCH THÍCH BỀ MẶT TRONG NGƯNG TỤ BOSE – EINSTEIN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ






NGUYỄN MINH THU







DAO ĐỘNG KÍCH THÍCH BỀ MẶT TRONG
NGƯNG TỤ BOSE – EINSTEIN





KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

HÀ NỘI - 2014

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA VẬT LÝ






NGUYỄN MINH THU





DAO ĐỘNG KÍCH THÍCH BỀ MẶT TRONG
NGƯNG TỤ BOSE – EINSTEIN

Chuyên ngành : Vật lý lý thuyết



KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn khoa học: Tiến sĩ Nguyễn Văn Thụ



HÀ NỘI - 2014



LỜI CẢM ƠN


Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy hướng dẫn khoa học
TS.Nguyễn Văn Thụ, thầy đã tận tình giúp đỡ chỉ bảo và nghiêm khắc hướng
dẫn em để em có thể hoàn thành khóa luận này.
Trong quá trình học tập, trưởng thành và đặc biệt là giai đoạn thực hiện
khóa luận, em nhận được sự dạy dỗ ân cần, những lời động viên và chỉ bảo
của các thầy cô. Qua đây cho phép em bày tỏ sự biết ơn chân thành tới các
thầy cô trong tổ lý thuyết, khoa vật lý, trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 .
Xin chân thành cảm ơn các bạn trong nhóm chuyên đề: “ Ngưng Tụ
Bose – Einstein ”, những người đã cùng em san sẻ kiến thức, hun đúc quyết
tâm và cộng tác hiệu quả trong quá trình thực hiện khóa luận.
Một lần nữa em xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, tháng 5 năm 2014
Sinh viên

Nguyễn Minh Thu











LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận là những nghiên cứu của em dưới sự hướng dẫn tận tình,
nghiêm khắc của thầy TS.Nguyễn Văn Thụ. Bên cạnh đó em cũng được sự
quan tâm, tạo điều kiện của các thầy, cô giáo trong khoa vật lý trường Đại
Học Sư Phạm Hà Nội 2.
Vì vậy em xin cam đoan nội dung của đề tài: “ Dao động kích thích bề
mặt trong ngưng tụ Bose – Einstein ” là kết quả nghiên cứu, thu thập của
riêng em. Các kết quả thu được trong đề tài là trung thực, không có sự trùng
lặp với các đề tài khác.

Hà Nội, tháng 5 năm 2014
Sinh viên

Nguyễn Minh Thu

MỤC LỤC

Trang
LỜI CẢM ƠN
LỜI CAM ĐOAN
MỞ ĐẦU 1
1. Lí do chọn đề tài. 1
2. Mục đích nghiên cứu 2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu 2
4. Đối tượng nghiên cứu 2
5. Phương pháp nghiên cứu 2
6. Cấu trúc khóa luận 2
Chương 1: TỔNG QUAN VỀ NGƯNG TỤ BOSE – EINSTEIN 3
1.1. Thống kê Bose – Einstein. 3

1.2. Thực nghiệm về ngưng tụ Bose – Einstein 4
1.3. Ngưng tụ Bose – Einstein đối với khí Bose lí tưởng. 5
Chương 2: DAO ĐỘNG KÍCH THÍCH BỀ MẶT TRONG NGƯNG TỤ
BOSE – EINSTEIN 10
2.1. Phương trình Gross – Pitaevskii. 10
2.2. Tổng hợp các mức dao động 15
2.3. Gần đúng Thomas – Fermi 19
2.4. Ảnh hưởng của kích thước hữu hạn và trường trung bình ngoài 26
2.4.1. Ảnh hưởng của kích thước hữu hạn 26
2.4.2. Ảnh hưởng của trường trung bình ngoài 27
KẾT LUẬN 30
TÀI LIỆU THAM KHẢO 31


1

MỞ ĐẦU

1.Lí do chọn đề tài.
Ngưng tụ Bose – Einstein (BEC) là hiện tượng chuyển pha của các boson,
trong đó một lượng lớn các hạt boson cùng tồn tại trên cùng một trạng thái
lượng tử, khi nhiệt độ nhỏ hơn nhiệt độ chuyển pha.
Ngưng tụ Bose – Einstein đã được quan sát thành công bằng thực nghiệm
năm 1995, trong đó các nguyên tử rubidi và natri được giam trong một thể
tích nhỏ nhờ một từ trường và sau đó được làm lạnh xuống gần không độ
tuyệt đối bằng laser. Đó là BEC từ khí bose. Sau đó không lâu BEC từ khí
fermi cũng đã được thực nghiệm khẳng định.Việc tạo ra BEC là một quãng
thời gian dài và vất vả của các nhà nghiên cứu. Đầu thế kỉ 20 (năm 1920) khi
từ công thức lý thuyết trong ngưng tụ Bose – Einstein dự đoán sẽ xuất hiện
trạng thái BEC và mới chỉ nêu ra được tính chất cơ bản của nó. Đó là một

khối các hạt đồng nhất và có spin nguyên, chúng đều ở trong cùng trạng thái
cơ bản như nhau. Dừng lại ở đó cho tới khi chế tạo được BEC trong thực tế,
một loạt tính chất quan trọng chưa từng biết đến trước đây được phát hiện.
Đây là trạng thái của vật chất hoàn toàn mới, không giống với trạng thái vật
chất nào mà con người được biết. Ngưng tụ Bose – Einstein được tạo thành
thuần túy từ hiệu ứng lượng tử, dựa trên thống kê Bose – Einstein, vì thế nó
được coi là vật chất lượng tử với các tính chất rất đặc biệt: là một chất lỏng
lượng tử với tính kết hợp rất cao như các tia laser. Từ những tính chất cơ bản
của BEC người ta có thể suy ra nhiều loại linh kiện, thiết bị tinh vi, chế tạo
các chip nguyên tử thực hiện các chức năng cực kỳ đa dạng dùng trong các
giao thoa kế, máy kỹ thuật toàn ảnh, kính hiển vi đầu dò quét và xử lí thông
tin lượng tử. Khi áp dụng ngưng tụ Bose – Einstein người ta sử dụng phương
pháp trường trung bình:

2


0
( , ) ( ) ( , )
r t r r t

    
  
,
trong đó
( , )
r t




gây ra kích thích bề mặt theo hai cách: khai triển Fourier
(ảnh xung lượng của
,r k t

 
 
và dịch chuyển pha (solitons). Đó cũng là lý
do em chọn đề tài “Dao động kích thích bề mặt trong ngưng tụ Bose -
Einstein” để tìm hiểu về một trong hai cách gây ra kích thích bề mặt trong
ngưng tụ Bose – Einstein. Mặt khác em muốn tổng hợp kiến thức từ nhiều tài
liệu khác nhau nhằm tích lũy kiến thức cho bản thân.
2.Mục đích nghiên cứu
Bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học và thực hiện khóa luận tốt
nghiệp.
3.Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu tổng quát về ngưng tụ Bose – Einstein.
Tìm hiểu về các ảnh hưởng tới dao động kích thích bề mặt trong ngưng tụ
Bose – Einstein.
4.Đối tượng nghiên cứu
Dao động kích thích bề mặt trong ngưng tụ Bose – Einstein.
5.Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các phân bố thống kê cổ điển, lượng tử và các phương pháp giải
tích toán học.
6. Cấu trúc khóa luận
Chương 1: Tổng quan về ngưng tụ Bose – Einstein
Chương 2: Dao động kích thích trong bề mặt ngưng tụ Bose - Einstein

3

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ NGƯNG TỤ BOSE – EINSTEIN
1.1 Thống kê Bose – Einstein.
Cơ học lượng tử mô tả các tính chất và đặc tính riêng biệt của các hạt
của thế giới vi mô mà thông thường chúng ta không thể giải thích được nếu
dựa vào các quan niệm cổ điển. Các đặc tính đó là: lưỡng tính sóng – hạt của
các đối tượng vi mô, tính gián đoạn của các thông số vật lý đặc trưng cho hạt
vi mô, các đặc tính spin v.v
Từ các đặc tính sóng – hạt ta rút ra tính đồng nhất như nhau của các hạt
trong cơ học lượng tử. Khi các hạt hoán vị ta có thể thu được hàm sóng đối
xứng hoặc phản đối xứng.
Khi xét đến tính đồng nhất như nhau của các hạt cũng như tính đối xứng
của các hàm sóng ta có hai loại hệ lượng tử khác nhau và do đó ta tìm được
hai thống kê lượng tử quan trọng: Thống kê Bose – Einstein áp dụng cho hệ
boson và thống kê Fermi – Dirac áp dụng cho hệ fermi.
Năm 1920 nhà vật lý Ấn Độ Satayendra Nath Bose đưa ra các quy tắc về
sự phân bố thống kê các hạt quang tử (photon) không có khối lượng nghỉ.
Năm 1924 – 1925 khi khảo sát hệ boson (các hạt có spin nguyên) không
tương tác Albert Einstein đã mở rộng quy luật phân bố thống kê trên đây cho
các nguyên tử (là các hạt có khối lượng) và sau này trở thành tổng quát cho
mọi hạt vi mô có số lượng tử spin là số nguyên. Từ lý thuyết đó phát triển
thành một thống kê lượng tử mô tả các boson. Được gọi là thống kê Bose –
Einstein có dạng:


exp 1
l
l

l
g
n
kT

 


 

 
 
,
trong đó: E là năng lượng của hệ và 

, 

lần lượt là năng lượng và số hạt
trong trạng thái l.

4

1.2.Thực nghiệm về ngưng tụ Bose – Einstein
Ngưng tụ Bose – Einstein là một trạng thái đặc biệt của hệ boson giới
hạn trong một điện thế ngoài. Các nguyên tử được làm lạnh tới nhiệt độ rất
gần không độ. Theo điều kiện này, một phần lớn boson chiếm mức năng
lượng thấp nhất, đó là khi các boson giảm đến trạng thái không vận tốc.
Trạng thái mới này của vật chất lần đầu tiên được dự đoán vào năm 1924
bởi nhà vật lý và toán học Ấn Độ Satayendra Nath Bose, ông cho rằng sự
phân bố nhiệt của các photon không phải là phân bố Maxwell Boltzmann mà

là phân bố Plank. Albert Einstein mở rộng điều này với một hệ lớn hạt bose
không tương tác và trình bày ý cơ bản của một ngưng tụ Bose – Einstein vào
năm 1925. Ông nhận ra rằng một phần lớn của các hạt chiếm trạng thái năng
lượng thấp nhất ở nhiệt độ thấp. Sau khi phát hiện ra tính siêu lỏng của Heli
lỏng vào năm 1938, F. London đề xuất các phương pháp gần đúng đầu tiên để
thực hiện một BEC bằng cách sử dụng chất siêu lỏng
4
He. Tuy nhiên, sự
tương tác giữa các hạt trong chất siêu lỏng
4
He vẫn mạnh hơn một hệ khí lý
tưởng đã được nghiên cứu bởi A.Einstein. Kết quả lý thuyết và thực nghiệm
cho thấy các phần nhỏ của các hạt ngưng tụ trong chất siêu lỏng
4
He ít hơn
khoảng 70% ở nhiệt độ không. Lý thuyết đầu tiên của tương tác khí bose
trong lĩnh vực BEC được xây dựng vào năm 1947 bởi Bogoliubov. Ông giới
thiệu hiệu chỉnh lượng tử của lý thuyết trường trung bình để tính sự tương tác
nguyên tử - nguyên tử trong khí bị giam cầm.
Các lý thuyết mang tính hiện tượng của tính siêu lỏng về quang phổ kích
thích của chất lỏng
4
He được xây dựng bởi Landau, mà sau này được bổ sung
bởi kết quả thực nghiệm tiên đề quang phổ kích thích. Các quan điểm lần lượt
là một trong những hiệu ứng hấp dẫn kết nối trạng thái BEC và chất siêu lỏng,
là chủ đề đã được nghiên cứu rộng rãi bởi nhiều nhà lý luận, bao gồm Landau
và Lifshitz, Penrose, và Penrose và Onsager.

5

Một phương diện quan trọng khác của BEC và siêu chảy là sự xuất hiện
của xoáy lượng tử đã được tiên đoán bởi Onsager và Feynmam, và lần đầu
tiên được quan sát thấy trong chất siêu lỏng
4
He và mới đây là trong nguyên
tử BEC. Ngưng tụ Bose – Einstein đầu tiên của nguyên tử
87
Rb được tạo
thành bởi nhóm JILA do E.Cornell và C.Wieman. Hai thành tựu thực nghiệm
đã được ghi nhận trong cùng một năm của nhóm Ketterle trong MIT cho
23
Na
và nhóm Hulet trong trường Đại học Rice cho
7
Li. Điều này có thể được thực
hiện bởi những cải tiến trong nguyên tử làm lạnh và kỹ thuật bẫy, là thí
nghiệm cho phép làm lạnh khí loãng của nguyên tử trung hòa xuống nhiệt độ
cực thấp.
Cuối cùng ngưng tụ của nguyên tử Hydro được tạo thành trong năm
1998. Có hai kỹ thuật làm lạnh để tạo ra các nguyên tử BEC loãng trong
phòng thí nghiệm bằng cách kết hợp tia laser làm lạnh và làm lạnh bay hơi.
Kỹ thuật làm lạnh đầu tiên dựa trên bẫy các nguyên tử do sự dịch chuyển
Zeeman trong bẫy từ - quang và làm lạnh chúng đến khoảng 10 µK. Sau đó
được bắn phá bởi các photon trong chùm tia laser phản lan truyền trong tất cả
ba hướng không gian. Kỹ thuật làm lạnh thứ hai được thực hiện bằng cách
loại bỏ đuôi năng lượng cao của phân bố nhiệt từ cái bẫy, do đó làm giảm
nhiệt độ dưới 1 µK. Cho đến nay, BEC đã được tạo ra với Rubidi, Natri,
Lithium, Hydrogen, Helium, Kali, Cesium, Ytterbium, Canxi và Stront. Ngoài
ra các yếu tố khác được quan tâm do từ trường lớn tương tác lưỡng cực –
lưỡng cực cũng được ngưng tụ, chẳng hạn như Chromium, Dysprosium và

gần đây hơn là Erbium.
1.3. Ngưng tụ Bose – Einstein đối với khí Bose lí tưởng.
Đối với khí Bose lí tưởng, theo công thức của thống kê Bose – Einstein,
số hạt trung bình có năng lượng trong khoảng từ  đến  +  là:

6

 


exp 1
dN
dn


 



 

 
 
, (1.1)
trong đó 
(

)
là số các mức năng lượng trong khoảng từ  đến  + .
Ta đi tìm 

(

)
. Theo quan điểm lượng tử các hạt boson chứa trong thể
tích  có thể xem như các hạt sóng dừng De broglie. Vì vậy có thể xác định

(

)
bằng cách áp dụng công thức
 
2
2
2
N k V
dN k dk dk
k


 

cho ta số các sóng
dừng có chiều dài (mô đun) của vectơ sóng 

⃗
từ  đến  + .
 
2
2
2

k dk
dN k V


. (1.2)
Theo hệ thức De broglie giữa xung lượng ⃗ và vectơ sóng 

⃗

p k

 

. (1.3)
Ta có thể viết công thức (1.2) dưới dạng

 
2
2 3
2
p dp
dN p V



,

(1.4)
nhưng đối với các hạt phi tương đối tính

2
2
p
m


⋅ (1.5)
Từ đó
2 3
2
p dp m d
 

. (1.6)
Do đó theo (1.4) ta được
 
3
2 3
2
2
m V
dN d
  



. (1.7)
Bởi vì các hạt có thể định hướng spin khác nhau, cho nên số trạng thái khả dĩ
ứng với cùng một giá trị của spin s của hạt là
2 1

g s
 
. Do đó, số các mức
năng lượng trong khoảng từ  đến  +  bằng:

 
3
2 3
2
2
m Vg
dN d
  



. (1.8)

7

Như vậy theo công thức (1.1) số hạt trung bình có năng lượng trong khoảng
từ  đến  +  là:

 
3
2 3
2
2
exp 1
m Vg d

dn
 

 




 

 
 

٫ (1.9)
vì số hạt toàn phần là N nên ta có phương trình sau:

 
3
2 3
0 0
2
2
exp 1
m Vg d
N dn
 

 



 
 

 

 
 
 

⋅

(1.10)

Phương trình này về nguyên tắc cho ta xác định thế hóa học . Ta xét một số
tính chất tổng quát của thế hóa học  đối với khí bose lí tưởng. Đầu tiên ta
chứng minh rằng:

0


. (1.11)
Thực vậy, số hạt trung bình


dn

chỉ có thể là một số dương. Do đó,
theo (1.9), điều kiện đó chỉ được thỏa mãn khi mẫu số ở (1.9) là luôn luôn
dương, nghĩa là khi
0



(để cho
exp
 


 
 
 
luôn luôn lớn hơn 1 với mọi giá
trị của ε).
Tiếp theo ta có thể chứng minh rằng μ giảm dần khi nhiệt độ tăng lên.
Thực vậy, áp dụng quy tắc lấy vi phân các hàm ẩn vào (1.10), ta được
2
2
0
0
0
2
0
exp
exp 1
exp 1
exp
1
exp 1
exp 1
d
d

d
d
 
 
 

 

 
 




 

 
 

 



 







 
 

 

 

 

 


 
 
 

 
   
   


 

 

 
  

 
 


 
 

 
 
 
 




٫ (1.12)
nhưng do (1.11) nên  −  > 0, do đó các biểu thức dưới dấu tích phân ở vế
phải của (1.12) là luôn luôn dương với mọi giá trị của ε, và vì vậy

8




< 0.

(1.13)
Do đó, khi nhiệt độ hạ xuống μ có thể tăng từ một giá trị âm đến một giá
trị lớn hơn (nhưng vẫn âm) và cuối cùng μ có thể đạt tới giá trị cực đại bằng
không ( = 0) ở một nhiệt độ T
0
xác định nào đó. Ta xác định T
0

bằng cách
đặt
0


,
0
 

trong phương trình (1.10)
3 3 2
3 2
0
2 3
2 3
0 0
0
2
2 1
2
exp 1
x
m Vg d m Vg xdx
N
e
 






 
 

 

 
 
 


, (1.14)
biết rằng
0
2,31
1
x
xdx
e




.
Ta được



 
1 3

4
2 3
2
0
2 3
2
2,31
N
m V
g


 

 
 

. (1.15)
Đối với tất cả các khí bose quen thuộc nhiệt độ đó là rất nhỏ. Chẳng hạn
như đối với
4
He, ngay cả với khối lượng riêng của chất lỏng Hêli vào cỡ 120
kg/m
3
ta được T
0
= 2‚19 K. Khi nhiệt độ đó khác không sẽ tồn tại một khoảng
nhiệt độ nào đó thấp hơn nhiệt độ tới hạn T
0
, nghĩa là:

0
0
 
 
. (1.16)
Trong khoảng nhiệt độ đó hiển nhiên μ = 0. Khi đó, đối với  < 

điều
kiện (1.10) chỉ có thể thỏa mãn khi số hạt 

< . Thực vậy, đối với  < 


và μ = 0 điều kiện (1.10) có dạng phương trình (1.14), từ đó

3 2
'
0
N
N


 

 
 
. (1.17)
Do số hạt toàn phần trong hệ lại không đổi, vì vậy kết quả vừa thu được
phải được đoán nhận vật lí một cách đặc biệt. Điều mà 


<  khi  < 


chỉ ra rằng số các hạt toàn phần N chỉ có một phần số hạt N
᾽
có thể phân bố
theo mức năng lượng một cách tương ứng với công thức (1.1) tức là:

9

 
 
3 2 '
3 2
2 3
0
2,31
2
exp 1 ex 1
m Vg d N d
dn
p
   

 


 
 
   

 
   
   

٫ (1.18)
các hạt còn lại  − 
᾽
cần phải được phân bố như thế nào đó khác đi, chẳng
hạn tất cả số đó nằm trên mức năng lượng thấp nhất, nghĩa là chúng hình như
nằm ở một pha khác mà người ta quy ước gọi là pha ngưng tụ.
Như vậy ở nhiệt độ thấp hơn T
0
một phần các hạt của khí bose sẽ nằm ở
mức năng lượng thấp nhất (mức năng lượng không) và các hạt còn lại sẽ được
phân bố trên các mức khác theo định luật
1
exp 1


 

 
 

Hiện tượng mà chúng ta vừa mô tả, trong đó một số hạt của khí bose
chuyển xuống mức “năng lượng không” và hai phần của khí Bose phân bố
khác nhau theo mức năng lượng được gọi là sự ngưng tụ Bose. Ở nhiệt độ
không tuyệt đối (T = 0) tất cả các hạt của khí bose sẽ nằm ở mức không.

10

CHƯƠNG 2: DAO ĐỘNG KÍCH THÍCH BỀ MẶT TRONG NGƯNG
TỤ BOSE – EINSTEIN
2.1. Phương trình Gross – Pitaevskii.
Để nghiên cứu khí tương tác không đồng nhất ta phải khái quát lý thuyết
Bogoliubov. Ta sẽ sử dụng lý thuyết Bogoliubov cho trường toán tử có dạng
tổng quát









0 0
0
i l

i
r r a r a
 

  

nghĩa là với trật tự gần đúng bậc nhất ở
nhiệt độ rất thấp, để đơn giản có thể thay thế toán tử



,
r t

với trường cổ
điển


0
,
r t

còn được gọi là tham số trật tự hoặc các hàm sóng của ngưng tụ.
Phương pháp này thực sự có ý nghĩa vật lý sâu sắc. Trong thực tế, sự thay thế
tương tự các chuyển đổi từ điện động lực học lượng tử để mô tả trường điện
từ cổ điển. Ta biết rằng điều này là hợp lý nếu có một số lượng lớn các photon
trong trạng thái gần đúng lượng tử. Trong trường hợp không giao hoán các
toán tử không quan trọng và ta có thể mô tả các trường điện từ bằng cách sử
dụng hàm cổ điển nghĩa là trường điện và từ tuân theo các phương trình
Maxwell. Trong trường hợp đó có sự xuất hiện của một số lượng lớn các

nguyên tử trong một trạng thái đơn lẻ (Bose – Einstein) cho phép sử dụng các
hàm cổ điển


0
,
r t

. Tuy nhiên ta vẫn chưa thiết lập phương trình chuyển
động của trường này. Với mục đích này ta nên nhớ các trường toán tử



,
r t


trong biểu diễn Heisenberg thỏa mãn chính xác phương trình:

 

 

 

   

 

 

2 2
' ' ' '
ex
, , , , , , ,
2
t
i r t r t H V r t r t V r r r t dr r t
t m

 
 
 
          
 
 

 



(2.1)
mà có thể thu được bằng cách sử dụng biểu thức

   
 
 
2
' '
' '
1

2
H dr V r r dr dr
m
  
 
       
 
 
 

,
cho Hamilton

H
và hệ thức giao hoán:

11

   
' ' '
( ), ( ) ( ), ( ), ( ) 0
r r r r r r


 
 
      
 
 
 

,
cho các toán tử trường. Việc thay thế



,
r t

cho


0
,
r t

đối với một thế thực
là không phù hợp. Nhưng là phù hợp nếu sử dụng một cách hiệu quả điện thế
không đàn hồi
e ff
V
khi áp dụng gần đúng Born. Thế
e ff
V
được tạo ra tương tự
tính chất tán xạ năng lượng thấp được cho bởi thế cơ bản V. Giả thiết rằng
hàm


0
,

r t

thay đổi chậm theo khoảng cách của thứ tự các độ lớn của lực
giữa các nguyên tử, người ta có thể thay thế r’ cho r cho đối số của
0

cuối
cùng thu được phương trình:
       
2 2
2
0 ex 0 0
, , , ,
2
t
i r t V r t g r t r t
t m
 
 
      
 

 


, (2.2)
với hằng số tương tác


eff

g V r dr


. Bằng cách biểu diễn tích phân này theo
độ dài tán xạ của sóng s, thu được mối liên hệ:
2
4
a
g
m



⋅ (2.3)
Tính đúng đắn của phương trình (2.2) và (2.3) không bị giới hạn bởi thế
không đàn hồi. Nhưng tổng quát cho các lực tùy ý biên độ của một sóng tán
xạ s cho ta các tham số tương tác liên quan. Phương trình (2.2) được xây dựng
một cách độc lập bởi Gross (1961) và Pitaevskii (1961) và chính là lý thuyết
chính để nghiên cứu khí bose loãng không đồng nhất ở nhiệt độ thấp. Nó là
đặc trưng chính của một loạt các phương trình nơi mà tham số thứ tự phải
được tính một cách phù hợp.
Ta đã dự đoán phương trình (2.2) cho tham số thứ tự
0

đóng vai trò
tương tự phương trình Maxwell trong điện động lực cổ điển. Ta có thể nói
rằng hàm sóng ngưng tụ thể hiện trong giới hạn cổ điển của sóng De broglie,
nơi mà các dạng hạt của vật chất không còn quan trọng. Tuy nhiên không
giống như các phương trình Maxwell, phương trình (2.2) chứa hằng số lượng

12

tử ћ một cách rõ ràng. Lý do khác biệt này là do mối liên hệ khác nhau giữa
năng lượng () và xung lượng () trong trường hợp của các photon và các
nguyên tử, trong đó hàm ý mối liên hệ khác nhau giữa các tần số

 

và
vectơ sóng
k p


của các sóng tương ứng. Đối với các photon mối liên hệ
cp

cho phân tán cổ điển
ck


. Đối với các nguyên tử mối liên hệ
2
2
p m

thay vì quy luật tán sắc
2
2
k m




có chứa hằng số ћ. Điều này
có ý nghĩa, đặc biệt trong hiện tượng kết hợp như nhiễu loạn phụ thuộc vào
giá trị của hằng số Planck. Một nét đặc biệt của phương trình Gross –
Pitaevskii (2.2) là sự phi tuyến của nó. Điều này xuất phát từ sự tương tác
giữa các hạt và đưa ra một suy luận đáng kể giữa ngưng tụ Bose – Einstein
trong khí nguyên tử và quang học phi tuyến. Ảnh hưởng của sự gắn kết và
tương tác là các đặc tính quan trọng có thể được nghiên cứu bắt đầu từ
phương trình Gross – Pitaevskii và làm cho vật lý của ngưng tụ Bose –
Einstein là một lĩnh vực phong phú của nghiên cứu thực nghiệm và lý thuyết.
Ta xét các điều kiện áp dụng của phương trình (2.2). Đầu tiên, tổng số
các nguyên tử là đủ lớn, vì chỉ trong trường hợp này là ta được sử dụng các
khái niệm về ngưng tụ Bose – Einstein. Thứ hai, để thay thế các toán tử với
lĩnh vực cổ điển ta phải giả thiết rằng điều kiện không loãng
1 3
a n


được
thỏa mãn và nhiệt độ của mẫu đủ thấp. Điều này cho phép ta bỏ qua các suy
giảm lượng tử và nhiệt của ngưng tụ và hàm ý rằng các tham số thứ tự được
chuẩn hóa với tổng số các nguyên tử
2
0
dr N
 

. Điều kiện tương tự cũng
cần thiết để rút ra được các lý thuyết Bogoliubov của khí bose tương tác yếu

và nó có nghĩa mật độ của ngưng tụ trùng với mật độ của khí:
2
0
( ) ( )
n r r
 
. (2.4)

13

Một điều kiện nữa là chỉ được sử dụng phương trình Gros-Pitaevskii
(2.2) để khảo sát những hiện tượng đang diễn ra trên một phạm vi lớn hơn
nhiều so với chiều dài tán xạ.
Trong thực tế, kết quả đối với khí loãng ta có thế bỏ qua để gần đúng
bậc nhất chỉ ra mối tương quan giữa các hạt và viết hàm sóng nhiều hạt của hệ
trong hình thức đối xứng (gần đúng Hartree- Fock)
     
1 2 1 2
1 1 1
( , , , )
a N a a a N
r r r r r r
N N N

    
   
    
    
, (2.5)
trong đó

a

là hàm số thu được từ việc giải phương trình Gross - Pitaevskii.
Một cách khác có thể thu được các phương trình phụ thuộc thời gian
(2.2) bằng cách sử dụng điều kiện dừng
0 0
0
i drdt Edt
t



 
    
 

 
 

, (2.6)
để tác dụng, thu được phương trình



 
0
0
,
,
r t

E
i
t r t





 

٫ (2.7)
đối với tham số trật tự, trong đó
 
2
2 2 4
0 ex 0 0
2 2
t
g
E V r dr
m
 
     
 
 


, (2.8)
là hàm năng lượng của hệ.
Xét các định luật bảo toàn kết hợp với phương trình (2.2). Trước hết,

phương trình đảm bảo việc bảo toàn các số nguyên tử


2
0
N dr
 

ta nhân
phương trình (2.2) với
0


và trừ liên hợp phức của kết quả, dễ dàng có được
một phương trình liên tục:
0
n
div j
t

 


, (2.9)

14

trong đó ta đã sử dụng phương trình (2.4) cho mật độ khí và đưa vào mật độ
dòng
 

 
0 0 0 0
,
2
i
j r t n S
m m
 
      

 
, (2.10)
ở đây, S là pha của các tham số xác định bởi




 
,
0
, ,
iS r t
r t n r t e 
. (2.11)
Từ (2.9) nó tương tự
0
dN dt

. Phương trình (2.10) chỉ ra vector

   
, ,
s
v r t S r t
m
 


, (2.12)
là vận tốc của dòng ngưng tụ, một đặc điểm đặc trưng của chất siêu lỏng.
Từ phương trình (2.2) suy ra năng lượng (2.8) của hệ cũng được bảo
toàn, nghĩa là
0
dE dt

. Điều này dễ dàng được kiểm tra bởi sự khác biệt
trực tiếp giữa (2.8) và các phương trình Gross - Pitaevskii (2.2). Kết quả này
được nghiệm đúng nếu thế năng bên ngoài không phụ thuộc thời gian. Cuối
cùng, phương trình cho mật độ xung lượng của khí có thể được viết dưới dạng
ex
i t
k i
ik
j V
m n
t x x

 
  
  


٫ (2.13)
trong đó:

22 2
0 0 0
0
2
. .
4 2
ik
i k i k
gn
ik c c
m x x x x

 
 
   
    
 
   
 


٫ (2.14)
là tensor năng xung lượng. Phương trình (2.13) chỉ ra rằng, khi không có mặt
của các trường ngoài
p m jdr




cũng được bảo toàn. Nó cũng đưa ra một
phương trình tường minh cho pha S của hằng số tương tác. Thay (2.11) vào
(2.12) ta được phương trình:

2
2 2
ex
1
0
2
2
s t
S mv V gn n
t
m n
 

     
 

 


. (2.15)

15

Nó là giá trị tại điểm ngoài của phương trình (2.9) và ghép với phương trình

(2.15) cho một phương trình sau cùng chính xác tương đương phương trình
Gross - Pitaevskii ban đầu. Hằng số planck trong (2.15) thông qua các số
hạng có độ chênh lệch của mật độ. Đây được gọi là áp suất lượng tử và là kết
quả trực tiếp của nguyên lý bất định Heisenberg. Điều này cho thấy tầm quan
trọng của ảnh hưởng lượng tử trong khí không đồng nhất.
Các phương trình Gross - Pitaevskii (2.2) có dạng đơn giản trong trường
hợp cố định các nghiệm mà hàm sóng ngưng tụ tiến triển theo thời gian theo
quy luật:

   
0 0
, ex
i t
r t r p

 
   
 
 

. (2.16)
Sự phụ thuộc thời gian được xác định bởi thế hóa

E
N




٫ (2.17)

trong khi phương trình Gross - Pitaevskii đưa về
     
2 2
2
ex 0 0
0
2
t
V r g r r
m

 

      
 
 

. (2.18)

2.2. Tổng hợp các mức dao động
Trong trường hợp ngưng tụ Bose – Einstein không đồng nhất tại nhiệt
độ không: Tổng hợp các mức dao động được mô tả bởi những nghiệm tuyến
tính của phương trình phụ thuộc thời gian Gross – Pitaevskii :
       
2
2
2
0 ex 0 0
, , , ,
2

t
i r t V r t g r t r t
t m
 

       
 

 


, (2.19)
và tương ứng những dao động cổ điển của tham số trật tự trong giới hạn của
những biên độ nhỏ. Bằng cách viết các tham số trật tự theo công thức:

















0 0
, exp exp exp
i i
r t i t r u r i t v r i t
  

      
,
suy ra biểu thức:

16


 

 


   


 
2
0
0
2
i i i i
v r H gn r v r g r u r
 


     
.
cụ thể là:
       
 
 
2
2
2
ex 0 0
2
2
i i t i i
u r V gn r u r g r v r
m
 
 
       
 
 


,
       
 
 
2
2
2
ex 0 0

2
2
i i t i i
v r V gn r v r g r u r
m
 

 
        
 
 


, (2.20)
cho chuẩn hạt Bogoliubov với biên độ u
i
và v
i
. Trong những phương trình này
 
2
0 0
n r
 
là nghiệm dừng của phương trình trạng thái Gross – Pitaevskii
       
2 2
2
ex 0 0 0
, , , ,

2
t
V r t g r t r t r t
m

 

      
 
 

.
Những nghiệm của (2.20) cho những tần số 

của nguyên tố kích thích của
hệ. Giả sử thế giam giữ hạt có dạng hàm điều hòa :
 
2 2 2 2 2 2
ex
1 1 1
2 2 2
t x y z
V r m x m y m z
  
  
.

(2.21)

Ngược lại, một hệ đồng nhất, trong đó những nghiệm của (2.20) làm rõ

hơn định luật tán sắc Bogoliubov:
 
1 2
2
2
2
2
gn p
p p
m m
 
 
 
  
 
 
 
 
, trong biểu diễn
của sự giam giữ không đều xung lượng không phải là một số lượng tử và do
đó các kích thích cơ bản sẽ bị phân loại theo tính đối xứng mới. Đối với bẫy
đối xứng xung lượng l và thành phần thứ ba m là những số lượng tử tự nhiên.
Trong hầu hết các thí nghiệm các trạng thái giam giữ chỉ có đối xứng trục.
Trong trường hợp này m vẫn là một số nhưng giá trị khác của l là liên kết bởi
thế ngoài.
Trong hình 2.1 chỉ ra kết quả cho tần số tổng hợp với
0
m

và

2
m

,
thu được bởi những nghiệm ở phương trình Bogoliubov (2.20) đối với trạng
 

 


   


 
2
0
0
2
i i i i
u r H gn r u r g r v r
 
    

17

thái thấp nhất của tính đa cực chẵn để khí của những nguyên tử Rb được giữ
trong bẫy dạng đĩa


z

 


.


Hình 2.1: Tần số (trong đơn vị của 

) của tổng hợp các trạng thái chẵn
nhỏ nhất  = 0 và  = 2, đối với N nguyên tử Rb trong bẫy JILA ( =
√
8).
Các điểm là những kết quả thực nghiệm của Jin et al.(1996). Những đường
liền biểu diễn giá trị của biểu thức trường trung bình (2.20). Những đường
nét đứt là kết quả tiệm cận trong giới hạn Thomas – Fermi. ở đây cho
3
3.37 10
a
a


 
.
Trong giới hạn của những bẫy cầu những trạng thái này trùng với mức
thấp nhất


0
l


và tương ứng mức kích thích


2
l

. Đặc điểm thú vị xuất

18

hiện từ cả những kết quả thực nghiệm và lý thuyết là sai số từ sự tiên đoán
của trạng thái không tương tác, những trạng thái đó là
2
 


. Những sai
số trở nên tăng rõ rệt khi N tăng. Trong giới hạn lớn N các đường cong lý
thuyết tiến đến một giá trị tiệm cận.
Trong số các dao động khác nhau biểu hiện bởi các khí bị giam giữ, đặc
biệt chú ý với dạng lưỡng cực. Dao động này tương ứng với chuyển động của
khối tâm của hệ dựa vào sự giam giữ điều hòa, dao động với tần số của bẫy
điều hòa (tần số này có thể khác nhau theo ba hướng). Tương tác cặp không
ảnh hưởng đến trạng thái này vì chuyển động của khối tâm là tách riêng với
mức độ tự do bên trong của hệ. Điều này được hiểu rõ nhất bằng cách xét các
phương trình phụ thuộc thời gian (2.19) và tìm nghiệm dưới dạng:











0 0
, , ,
i t iz t
r t e e x y z t
 


   
 
,

(2.22)

trong đó


0
r

là trạng thái cân bằng và để đơn giản ta coi một dao động dọc
theo trục z. Bằng cách thay đổi thích hợp biến  →  − , ta thấy (2.22) là
một nghiệm chính xác của phương trình phụ thuộc thời gian Gross –
Pitaevskii với điều kiện
m

 


và
2
z
m
  
 

. Các nghiệm tương ứng
một dao động điều hòa với tần số
z

cũng đúng đối với những biên độ lớn. sự
xuất hiện của trạng thái này đặc trưng cho giới hạn trong một dao động điều
hòa của bất kỳ hệ nào trong thế điều hòa tại nhiệt độ không cũng như nhiệt độ
hữu hạn và không phụ thuộc vào sự tương tác và thống kê. Thực tế là mức tần
số không bị ảnh hưởng bởi tương tác cặp cung cấp một hướng thử nghiệm của
số hạng chính xác của các phương thức khác nhau được sử dụng để giải các
phương trình chuyển động. Ngược lại thực nghiệm đo lường là một cách hữu
ích để kiểm tra sự điều hòa của bẫy và xác định đến độ chính xác cao giá trị
của tần số giam giữ.


19

2.3 Gần đúng Thomas – Fermi
Khi số lượng các nguyên tử trong bẫy tăng tần số góc của phương trình
Bogoliubov (2.20) đối với một số lượng tử cố định tiến tới một giá trị tiệm

cận. Giá trị tiệm cận đạt được khi thỏa mãn điều kiện Thomas – Fermi
0
1
h
N a a

. Trong giới hạn này có thể bỏ qua các lượng tử áp suất và
chuyển động được mô tả đúng cách của các thuyết thủy động lực học của chất
siêu lỏng. Trong giới hạn Thomas – Fermi của khí bose không đồng nhất ở
nhiệt độ không ta đã thu được các phương trình tương ứng có dạng:
 
0
n
div vn
t

 

, (2.23)
và

2
ex
1
0
2
t
m v mv V gn
t


 
   
 

 
. (2.24)

Trong các phương trình này trường mật độ và trường vận tốc có liên
quan đến trật tự tham số






,
, ,
iS r t
r t r t e  
thông qua mối liên hệ :

   
2
, ,
n r t r t
 
, (2.25)
và

   

, ,
v r t S r t
m
 

. (2.26)
Điều đó cho thấy các nghiệm cố định của phương trình (2.24) trùng với
kết quả của gần đúng Thomas – Fermi:
   
 
ex
1
TF TF t
n r V r
g

 
. Ngược lại các
phương trình phụ thuộc thời gian sau khi tuyến tính hóa có dạng đơn giản :


 
2
2
2
n c r n
t
 

 

  
 

, (2.27)
trong đó
0
n n n

 
là độ biến thiên trong cấu hình mật độ tương ứng với
cấu hình cân bằng và
2
ex
( ) ( )
t
mc r V r

 
. Đại lượng


c r
biểu hiện cho tốc
độ âm thanh định xứ. Sự đúng đắn của phương trình (2.24) và (2.27) dựa trên

20

giả thiết những biến đổi về không gian của mật độ liên tục không chỉ trong
trạng thái cơ bản mà còn trong quá trình dao động. Trong một hệ đồng nhất



ex
0
t
V


điều này tương đương với điều kiện là tổng hợp các tần số nhỏ hơn
nhiều so với các thế hóa hoặc bước sóng lớn hơn nhiều so với độ thẩm thấu
2
mgn



.
Trong trường

hợp đồng nhất các nghiệm của (2.27) là sóng âm
truyền với vận tốc Bogoliubov
c gn m

.
Các sóng âm cũng có thể truyền
trong trường hợp không đồng nhất, với điều kiện là ta tìm các nghiệm khác
nhau liên quan đến quy mô của hệ

để có thể sử dụng một vận tốc âm định xứ
đồng nhất. Các điều kiện cần thiết để có sóng âm trong ngưng tụ giam cầm là
phải thỏa mãn
1

qL

và
1
q


, trong đó L là chiều dài ngưng tụ, q là vectơ
sóng của sóng âm và

là độ thẩm thấu.
Nếu hệ bị biến dạng nhiều và có dạng hình điếu thuốc, đồng thời thỏa
mãn các điều kiện
1
qZ


và
1
qR


, đặc trưng cho sự truyền sóng một chiều
dọc theo trục z. Ở đây  và 

tương ứng là bán kính của ngưng tụ trong các
hướng và trục xuyên tâm. Trong trường hợp này có thể thay đổi vận tốc âm
trong miền trung tâm của bẫy được cho bởi
2
m


thay cho giá trị
Bogoliubov thông thường
m

. Việc giảm vận tốc âm đối với giá trị trung
tâm có trong thực tế là vận tốc âm dạng một chiều được xác định bởi mật độ
trung bình trong các hướng xuyên tâm và nhỏ hơn giá trị trung tâm của nó.
Trong thực nghiệm những sóng âm trong ngưng tụ Bose – Einstein các
khí có thể được tạo ra bằng cách tập trung một xung laze ở trung tâm của một
cái bẫy hình điếu thuốc. Một bó sóng dạng này truyền ra ngoài và có thể tạo
ảnh bởi các thời điểm khác nhau do vậy giá trị vận tốc âm thanh có thể được
đo trực tiếp. Theo lý thuyết dự đoán
 
0
2 2
m gn m


, trong đó 
(

)

là giá
trị của

mật độ trong trung tâm của bẫy. Đặc biệt với mật độ cao, mặc dù thí