HÌNH THỨC LUẬN BOGOLIUBOV TRONG NGƯNG TỤ BOSE EINSTEIN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ






TRẦN THỊ HUẾ





HÌNH THỨC LUẬN BOGOLIUBOV TRONG
NGƯNG TỤ BOSE - EINSTEIN



Chuyên ngành: Vật lí lý thuyết


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC



Người hướng dẫn khoa học
TS. NGUYỄN VĂN THỤ

HÀ NỘI - 2014


LỜI CẢM ƠN
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Nguyễn Văn Thụ, người đã
tận tình giúp đỡ, chỉ bảo và cung cấp cho tôi những kiến thức nền tảng để tôi
hoàn thành bài khóa luận này. Thầy cũng là người giúp tôi ngày càng tiếp cận
và có niềm say mê khoa học trong suốt thời gian được làm việc cùng thầy.
Trong quá trình học tập, trưởng thành và đặc biệt là giai đoạn thực hiện
khóa luận, tôi nhận được sự dạy dỗ ân cần, những lời động viên và chỉ bảo
của các thầy cô. Qua đây, cho phép tôi bày tỏ sự biết ơn chân thành tới các
thầy cô trong tổ lý thuyết, khoa vật lý, trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2.
Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến những người thân trong
gia đình, bạn bè đã luôn giúp đỡ, động viên và tạo mọi điều kiện cho tôi trong
suốt quá trình học tập và hoàn thiện khóa luận này.


Hà Nội, tháng 5 năm 2014
Sinh viên

Trần Thị Huế

LỜI CAM ĐOAN

Tên tôi là: Trần Thị Huế, sinh viên khóa 2010 – 2014 khoa Vật lý –
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2.
Tôi xin cam đoan đề tài: “Hình thức luận Bogoliubov trong ngưng tụ
Bose - Einstein”, là kết quả nghiên cứu, thu thập của riêng tôi. Các luận cứ,
kết quả thu được trong đề tài là trung thực, không trùng với các tác giả khác.
Nếu có gì không trung thực trong khóa luận tôi xin hoàn toàn chịu trách
nhiệm trước hội đồng khoa học.


Hà Nội, tháng 5 năm 2014
Sinh viên

Trần Thị Huế









MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN
LỜI CAM ĐOAN
MỞ ĐẦU 1

1. Lí do chọn đề tài 1

2. Mục đích của đề tài 2

3. Đối tượng nghiên cứu 2

4. Phạm vi nghiên cứu 2

5. Phương pháp nghiên cứu 2

6. Bố cục của khóa luận 2

NỘI DUNG 3

CHƯƠNG 1: LÍ THUYẾT CHUNG VỀ NGƯNG TỤ BOSE - EINSTEIN 3

1.1 Hệ hạt đồng nhất 3

1.2 Làm lạnh nguyên tử 4

1.3 Ngưng tụ Bose - Einstein đối với khí boson lí tưởng 6

1.4. Quá trình thực nghiệm hình thành một ngưng tụ Bose - Einstein 10

CHƯƠNG 2: HÌNH THỨC LUẬN BOGOLIUBOV TRONG 11

NGƯNG TỤ BOSE - EINSTEIN 11

2.1. Khí boson đồng nhất 11

2.1.1. Phép biến đổi Bogoliubov 11

2.1.2 Các năng lượng kích thích ở trạng thái cơ bản 13

2.1.3. Sự suy giảm của ngưng tụ 14

2.1.4 Năng lượng ở trạng thái cơ bản 16



2.1.5 Các trạng thái với số lượng hạt xác định 18

2.2. Sự kích thích của khí bị bẫy 19

2.3. Nhiệt độ khác không 26

2.3.1. Gần đúng Hartree - Fock 27

2.3.2 Gần đúng Popov 30

2.3.3. Sự kích thích trong khối khí đồng nhất 31

2.3.4. Phép gần đúng bán cổ điển 32

KẾT LUẬN 36

TÀI LIỆU THAM KHẢO 37

1

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Trên thế giới, vào năm 1995 đã xảy ra một đột biến mới trong công nghệ. Đó
là việc tạo ra ngưng tụ Bose - Einstein (BEC) - một hiện tượng lượng tử kì lạ,
được quan sát thấy ở pha loãng khí nguyên tử.
Đầu thế kỉ 20 (1920) khi từ công thức lý thuyết trong ngưng tụ Bose -
Einstein dự đoán sẽ xuất hiện trạng thái BEC và mới chỉ nêu được tính chất
cơ bản của nó. Đó là một khối các hạt đồng nhất và có spin nguyên, chúng
đều ở trong cùng trạng thái cơ bản như nhau. Dừng lại ở đó cho tới khi chế
tạo được BEC trong thực tế, một loạt tính chất quan trọng chưa từng biết đến
trước đây đã được phát hiện. Đây là trạng thái của vật chất hoàn toàn mới,
không giống với trạng thái vật chất nào mà con người được biết.
BEC được chế tạo từ các nguyên tử kiềm và từ các nguyên tử Hidro bằng
cách làm lạnh và sau đó giam khối khí loãng nguyên tử trong một bẫy từ
mạnh. Đây là một tập thể các nguyên tử đồng nhất, chúng có một trạng thái
lượng tử, mô tả bằng cùng một hàm sóng, chúng có tính chất đồng bộ như các
photon của một chùm laze. Chính vì thế Gross - Pitaevskii chủ yếu nghiên
cứu trạng thái dừng, dựa trên giả thuyết tất cả các nguyên tử nằm ở trạng thái
cơ bản. Thực tế vẫn có một số lượng các nguyên tử không nằm ở mức cơ bản
mà nằm ở mức kích thích. Nên để tính được ảnh hưởng của các nguyên tử ở
mức kích thích người ta phải tính tới các dao động bề mặt. Và Bogoliubov đã
nghiên cứu các dao động bề mặt của ngưng tụ Bose - Einstein trên cơ sở
phương pháp lượng tử hóa lần 2.
Hướng đi này đã chế tạo ra BEC từ các nguyên tử Helli ở trạng thái
kích thích và hứa hẹn mang lại nhiều triển vọng ứng dụng trong tương lai.
Xuất phát từ việc tìm hiểu triển vọng ứng dụng BEC tôi lựa chọn đề tài
“Hình thức luận Bogoliubov trong ngưng tụ Bose - Einstein”
2

2. Mục đích của đề tài
Nghiên cứu hình thức luận Bogoliubov trong ngưng tụ Bose - Einstein
nhằm giới thiệu hình thức nghiên cứu của Bogoliubov trong ngưng tụ Bose -
Einstein và những ứng dụng quan trọng của BEC.
3. Đối tượng nghiên cứu
Các nguyên tử không nằm ở mức cơ bản mà nằm ở mức kích thích, xét các
dao động bề mặt của ngưng tụ Bose - Einstein trên cơ sở phương pháp lượng
tử hóa lần 2.
4. Phạm vi nghiên cứu
Đề tài nghiên cứu các nguyên tử ở mức kích thích và xét các dao động bề mặt
của ngưng tụ Bose - Einstein
5. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lí luận
- Sử dụng thống kê cổ điển, lượng tử và các phép tính giải tích toán học khác
- Đọc và tra cứu tài liệu
6. Bố cục của khóa luận
- Chương 1: Lí thuyết chung về ngưng tụ Bose - Einstein
- Chương 2: Hình thức luận Bogoliubov trong ngưng tụ Bose - Eienstein






3

NỘI DUNG
CHƯƠNG 1: LÍ THUYẾT CHUNG VỀ NGƯNG TỤ BOSE - EINSTEIN
Trong chương này sẽ giới thiệu về ngưng tụ Bose - Einstein, điều kiện để xuất

hiện ngưng tụ Bose - Einstein, làm lạnh nguyên tử để có được ngưng tụ Bose-
Einstein đối với khí boson lí tưởng và quá trình thực nghiệm hình thành một
ngưng tụ Bose - Einstein.
1.1 Hệ hạt đồng nhất
Ngưng tụ Bose - Einstein là một hiện tượng lượng tử kì lạ đã được quan
sát thấy ở pha loãng khí nguyên tử lần đầu tiên vào năm 1995 và bây giờ là đề
tài chính trong lí thuyết và thực nghiệm.
Einstein đã tổng quát hóa lí thuyết của Bose thành khí lí tưởng của hệ hạt
đồng nhất nguyên tử hay phân tử, mà số lượng hạt được bảo toàn. Cùng thời
gian đó, dự đoán với nhiệt độ đủ thấp , các hạt sẽ nằm trong cùng trạng thái
lượng tử thấp nhất của hệ. Hiện tượng đó gọi là ngưng tụ Bose - Einstein
(BEC), xảy ra đối với các hạt bốn có tổng số spin nguyên.
Ngưng tụ Bose - Einstein và quá trình ngưng tụ đó được dự đoán có
nhiều thuộc tính kì lạ và trong nhiều thí nghiệm đã cố gắng sản xuất ngưng tụ
Bose - Einstein ở trong phòng thí nghiệm. Cuối cùng vào năm 1995, nhóm
JILA ở một phòng thí nghiệm đã thu được bằng chứng thuyết phục cho ngưng
tụ Bose - Einstein trong khí loãng nguyên tử.
Ở MIT đã xác minh được tính năng hấp dẫn mà ngưng tụ Bose -
Einstein nguyên tử giống như laser, hay lúc này sóng nguyên tử có tính kết
hợp. Trong nhiều năm thí nghiệm đã thành công trong việc quan sát sự kết
hợp trực tiếp và đã giải thích bước đầu “nguyên tử laser” tạo ra một chùm
nguyên tử tử kết hợp, tương tự photon phát ra bởi laser quang học.
Các hành vi động lực học của một chất khí ở nhiệt độ phòng không bị
ảnh hưởng, bởi thực tế một nguyên tử không thể phân biệt với nguyên tử
4

khác, phù hợp với nguyên lí bất định Heisenberg, vị trí nguyên tử được đánh
dấu bởi bước sóng De Broglie
2
2

2
dB
B
k mT
π
λ
 
=
 
 
h
, k
B
là hằng số Boltzmann, m là
khối lượng nguyên tử, T là nhiệt độ của khí. Ở nhiệt độ phòng, bước sóng
DeBroglie nhỏ hơn rất nhiều lần so với khoảng cách trung bình giữa các
nguyên tử. Sóng vật chất của các nguyên tử riêng lẻ là không tương quan với
nhau hoặc là bị rối vào nhau và khí có thể được mô tả bởi thống kê
Boltzmann.
Vì khi khí được làm lạnh, sự nhòe tăng lên và có nhiều hơn một nguyên
tử ở mỗi hình lập phương kích thước
dB
λ
. Các hàm sóng của nguyên tử liền
kề sau đó chồng chất , các nguyên tử mất đi sự giống nhau và hành vi của khí
được chi phối bởi thống kê lượng tử. Thống kê Bose - Einstein tăng đột ngột
tạo cơ hội tìm nhiều hơn một nguyên tử trong cùng trạng thái, và chúng ta có
thể nghĩ sóng vật chất trong khí boson như “dao động điều hòa”. Kết quả là
ngưng tụ Bose - Einstein là sự chiếm đóng vĩ mô ở trạng thái cơ bản của khí.
Quá trình ngưng tụ không có tương tác làmột mô hình quan trọng của thống

kê cơ học lượng tử. Sự phân bố mật độ ngưng tụ được miêu tả bởi hàm sóng
đơn vi mô với biên độ và pha được xác định rõ, như một lĩnh vực cổ điển.
1.2 Làm lạnh nguyên tử
Ngưng tụ Bose - Einstein như một hiện tượng quan trọng trong nhiều lĩnh
vực vật lí, nhưng cho đến gần đây chỉ có bằng chứng cho ngưng tụ với Hêli
siêu lỏng. Trường hợp của Hêli siêu lỏng, tương tác mạnh tồn tại trong chất
lỏng làm thay đổi bản chất của quá trình chuyển đổi, với mục đích là đạt được
BEC trong khí nguyên tử loãng, khó khăn là làm mát khí tới nhiệt độ xung
quanh hoặc dưới 1µK, đồng thời ngăn chặn nguyên tử ngưng tụ trở thành
chất rắn hoặc chất lỏng. Ngưng tụ Bose bắt đầu với Hydro, trong thí nghiệm
nguyên tử Hydro đầu tiên được làm lạnh trong tủ lạnh thành pha loãng, sau đó
5

bị giam giữ bởi một từ trường và tiếp tục làm mát bằng bay hơi, cách làm này
đã tiến rất gần tới quan sát BEC, nhưng bị giới hạn bởi sự tương tác tái tổ hợp
của từng nguyên tử với các phân tử cùng dạng và bị giới hạn bởi tính hiệu quả
của việc phát hiện ngưng tụ.
Những kĩ thuật làm mát bằng laser, làm mát phân cực gradient và bẫy
từ tính quang học đã được phát hiện để làm lạnh và bẫy nguyên tử. Những kĩ
thuật này đã làm thay đổi sâu sắc bản chất làm lạnh. Nguyên tử ở nhiệt độ
dưới mK hiện nay thường được sử dụng trong một loạt các thí nghiệm,
nguyên tử kiềm rất thích hợp với các phương pháp dựa trên laser. Các con
đường thành công để có ngưng tụ Bose - Einstein là sự kết hợp hài hòa của
sự phát triển kĩ thuật làm lạnh cho Hydro và kiềm, một kim loại kiềm bốc hơi
lần đầu tiên làm lạnh và sau đó làm lạnh bằng bay hơi, làm mát bằng bay hơi
nguyên tử, năng lượng cao thoát ra khỏi mẫu nguyên tử vì vậy năng lượng
trung bình của nguyên tử còn lại giảm. Sự va chạm đàn hồi làm phân bố năng
lượng giữa các nguyên tử thay đổi, phân bố vận tốc của các nguyên tử này
tuân theo hình thức Maxwell - Boltzmann nhưng ở nhiệt độ thấp hơn, các
mẫu nguyên tử được làm lạnh bởi nhiều bậc cường độ và số lượng các nguyên

tử bị giam giữ giảm. Với kim loại kiềm, khi làm mát thì làm thế nào mật độ
nguyên tử trong khi làm mát không thay đổi hoặc thay đổi không đáng kể,
phương pháp quang học làm việc tốt nhất ở mức độ thấp, nơi mà ánh sáng
laser không hấp thụ hoàn toàn mẫu nguyên tử. Mặt khác đòi hỏi phải có mật
độ nguyên tử cao để đảm bảo làm mát nhanh chóng, yêu cầu tỉ lệ va chạm đàn
hồi cao, điều này phải đạt được trong một buồng chân không kéo dài tuổi thọ
của các khí bị giam giữ.
Cho bay hơi và làm mát thì nguyên tử mất đi phải được cách li nhiệt từ
môi trường xung quanh, điều này phải được thực hiện với các lĩnh vực điện,
vì ở nhiệt độ cực lạnh nguyên tử dính ở tất cả các bề mặt, phương pháp tốt
6

nhất cho chất kiềm là giam bằng từ trường. Sau khi nguyên tử bị giam giữ và
làm lạnh bằng laser, tất cả ánh sáng được tắt và xây dựng xung quanh nguyên
tử một điện thế. Điều này hạn chế các nguyên tử chỉ ở trong một khu vực nhỏ
của không gian. Nguyên tử chỉ có thể làm mát bằng bay hơi nếu thời gian cần
thiết là ngắn hơn nhiều so với thời gian sống của một nguyên tử trong bẫy, đòi
hỏi một cái bẫy giam kín chứa mật độ cao. Các thí nghiệm lần đầu tiên quan
sát BEC là sử dụng bẫy cực từ tuyến tính.
1.3 Ngưng tụ Bose - Einstein đối với khí boson lí tưởng
Theo công thức của thống kê Bose - Einstein, số hạt trung bình có năng
lượng trong khoảng từ
ε
đến
d
ε ε
+
là bằng

( )

(
)
exp 1
dN
dn
ε
ε
ε µ
θ
=
−
 
−
 
 
, (1.1)
trong đó
( )
dN
ε
là số các mức năng lượng trong khoảng từ
ε
đến
d
ε ε
+
.
Ta đi tìm
( )
dN

ε
. Theo quan điểm lượng tử, các hạt boson chứa trong
thể tích
V
có thể xem như các hạt sóng dừng De Broglie. Vì vậy có thể xác
định
( )
dN
ε
bằng cách áp dụng công thức
2
2
( )
2
N k V
dN k dk dk
k
π
∂
= =
∂
, khi đó số
các sóng dừng có chiều dài (mô đun) của vecto
k
r
và
k
đến
k dk
+

2
2
( )
2
k dk
dN k V
π
= . (1.2)
Theo hệ thức De Broglie, ta có biểu thức liên hệ giữa xung lượng
p
r
và
vecto sóng
k
r


p k
=
r
r
h
. (1.3)
Ta có thể viết công thức (1.2) dưới dạng

2
2 3
( )

2
p dp
dN p V
π
=
h
, (1.4)
7

nhưng đối với các hạt phi tương đối tính

2
2
p
m
ε
= . (1.5)
Từ đó

2 3
2
p dp m d
ε ε
=
, (1.6)
do đó theo (1.4) ta được

3
2 3
2

( )
2
m V
dN d
ε ε ε
π
=
h
. (1.7)
Bởi vì các hạt có thể định hướng spin khác nhau, nên số trạng thái khả
dĩ ứng với cùng giá trị của spin s của hạt g = 2s + 1. Do đó, số các mức năng
lượng trong khoảng
ε
đến
d
ε ε
+
bằng

3
2 3
2
( )
2
m Vg
dN d
ε ε ε
π
=
h

. (1.8)
Như vậy theo công thức (1.2) số hạt trung bình có năng lượng trong
khoảng từ
ε
đến
d
ε ε
+
là

3
2 3
2
( ) ,
2
exp 1
m Vg d
dn
ε ε
ε
ε µ
π
θ
=
−
 
−
 
 
h

(1.9)
vì số hạt toàn phần là N, cho nên ta có phương trình sau đây

3
2 3
0 0
2
( ) .
2
exp 1
m Vg d
N dn
ε ε
ε
ε µ
π
θ
∞ ∞
= =
−
 
−
 
 
∫ ∫
h
(1.10)
Phương trình này về nguyên tắc cho ta xác định thế hóa học
µ
. Ta xét

một số tính chất tổng quát của thế hóa học
µ
đối với khí boson lí tưởng. Đầu
tiên ta chứng minh rằng

0.
µ
<

(1.11)
8

Thực vậy, hạt trung bình
( )
dn
ε
chỉ có thể là một số dương, do đó theo
(1.9), điều kiện đó chỉ thỏa mãn khi mẫu ở (1.9) là luôn luôn dương (nghĩa là
khi
0
µ
<
, để cho
exp
ε µ
θ
−
 
 
 

, luôn luôn nhỏ hơn 1 với mọi giá trị của
ε
).
Tiếp theo chúng ta có thể chứng minh rằng,
µ
giảm dần khi nhiệt độ
tăng lên. Thực vậy, áp dụng quy tắc lấy vi phân các hàm ẩn vào (1.10), ta
được
2
0
0
0
2
0
exp
exp 1
exp 1
.
exp
1
exp 1
exp 1
d
d
d
d
ε µ
ε ε
θ
ε ε

ε µ
ε µ
µ
θµ
θ
ε µ
θ
ε ε
ε ε
θ
ε µ
θ
θ
θ
ε µ
θ
∞
∞
∞
∞
−
 
 
 
∂
 − 
−  
∂  
−
−

 
 
 
∂
 
   
= − = −
−
∂
 
∂
 
−
 
∂
 
−
 
 − 
 
 
−
 
 
 
 
∫
∫
∫
∫

(1.12)
Nhưng do (1.11) nên
0
ε µ
− >
, do đó các biểu thức dưới dấu tích phân ở vế
phải của(1.12) là luôn luôn dương với mọi giá trị của
ε
, và vì vậy

0.
µ
θ
∂
<
∂
(1.13)
Do đó, khi nhiệt độ hạ xuống
µ
có thể tăng từ một giá trị âm đến giá trị lớn
hơn (nhưng vẫn âm) và
µ
có thể đạt tới giá trị cực đại bằng không (
µ
= 0), từ
phương trình (1.10)

3 3 2
3 2

0
2 3
2 3
0 0
2
,
2 1
2
exp 1
x
m Vg d m Vg xdx
N
e
ε ε
θ
ε µ
π
π
θ
∞ ∞
= =
−
−
 
−
 
 
∫ ∫
h
h

(1.14)
biết rằng

0
2,31.
1
x
xdx
e
∞
=
−
∫

(1.15)
9

Đối với tất cả các khí boson quen thuộc, nhiệt độ đó là rất nhỏ. Như đối với
4
He
, ngay cả đối với khối lượng riêng của chất lỏng Hêli vào cỡ 120kg/m
3
ta
được T
0
= 2,19 K.
Khi nhiệt độ đó khác không và vì vậy sẽ tồn tại một khoảng nhiệt độ nào
đó thấp hơn nhiệt độ tới hạn T
0
, nghĩa là

0
0 ,
θ θ
< <

(1.16)
Trong khoảng nhiệt độ đó hiển nhiên
0
µ
=
. Nhưng khi đó, với
0
θ θ
<
điều
kiện (1.10) chỉ có thể thỏa mãn khi số hạt
N N
′
<
. Thực vậy, với
0
θ θ
<
và
0
µ
=
điều kiện (1.10) có dạng phương trình (1.14), từ đó

3 2
0
.
N
N
θ
θ
 
′
=
 
 
(1.17)
Do số hạt trong hệ được bảo toàn, vì vậy kết quả vừa thu được phải được
chấp nhận. Điều mà
N N
′
<
khi
0
θ θ
<
chỉ ra rằng số hạt toàn phần N chỉ có
một phần số hạt
N
′
có thể phân bố theo mức năng lượng một cách tương ứng
với công thức (1.1) tức là

3 2

3 2
2 3
0
( ) .
(2,31)
2
exp 1 exp 1
m Vg d N d
dn
ε ε ε ε
ε
ε ε
θ
π
θ θ
′
= =
   
− −
   
   
h
(1.18)
Còn các hạt
,
N N
′
−
cần phải được phân bố khác đi, chẳng hạn tất cả các số
đó nằm trên mức năng lượng thấp nhất, nghĩa là chúng nằm ở một pha khác

mà người ta quy ước gọi là pha ngưng tụ.
Như vậy ở nhiệt độ thấp hơn T
0
một phần các hạt của khí boson sẽ nằm ở
mức năng lượng thấp nhất (năng lượng không) và các hạt còn lại sẽ được
phân bố trên các mức khác theo định luật

1
.
exp 1
ε
θ
 
−
 
 

(1.19)
10

Hiện tượng mà chúng ta vừa mô tả, trong đó một số hạt của khí boson
chuyển xuống mức “năng lượng không” và hai phần của khí boson phân bố
khác nhau theo năng lượng được gọi là sự ngưng tụ Bose. Ở nhiệt độ không
tuyệt đối (T = 0) tất cả các hạt của khí boson sẽ nằm ở mức không.
1.4. Quá trình thực nghiệm hình thành một ngưng tụ Bose - Einstein
Quá trình ngưng tụ Bose - Einstein là quá trình chuyển pha: từ một hệ không
có dao động nhiệt (chỉ có dao động lượng tử) ở nhiệt độ T
0
> 0K nào đó.
Có thể được diễn tả như sau: Xét một hệ khí boson lý tưởng tức là các hệ có

spin nguyên và không tương tác lẫn nhau. Khi nhiệt độ của hệ khá lớn so với
0K thì tất cả các hạt của hệ đều ở mức năng lượng lớn hơn 0. Giảm dần nhiệt
độ của hệ thì các hạt trong hệ cũng dần ở những mức năng lượng thấp hơn.
Giảm dần nhiệt độ T
0
nào đó thì bắt đầu có những hạt (phải) có năng lượng
bằng 0 tăng dần và khi tới nhiệt độ 0K thì toàn bộ số hạt của hệ đều nằm ở
mức có năng lượng bằng 0.Quá trình này là quá trình chuyển pha từ pha
chuyển động nhiệt về pha không có chuyển động nhiệt. Đó chính là quá trình
ngưng tụ Bose - Einstein
Việc tạo ra ngưng tụ đó được tiến hành cụ thể như sau: Người ta giảm nhiệt
độ bằng cách làm lạnh. Sử dụng cách làm lạnh cho bay hơi các nguyên tử còn
nóng, sau đó cho khối khí loãng nguyên tử này giam trong một bẫy từ mạnh
để các nguyên tử không thể va chạm vào thành bình mà chỉ quanh quẩn ở khu
trung tâm. Để cho các nguyên tử còn nóng có thể bay thoát khỏi bẫy,người ta
dùng một từ trường yếu hoặc một sóng điện từ yếu tác động lên khối các
nguyên tử. Khi đó chỉ còn lại khối các nguyên tử chuyển động rất chậm, tức
là nhiệt độ khối nguyên tử đã hạ xuống rất rất thấp vào khoảng vài chục phần
tỉ kenvil cách 0K. Như thế là ta tạo ra được ngưng tụ Bose - Einstein với khối
khí đó.
11

CHƯƠNG 2: HÌNH THỨC LUẬN BOGOLIUBOV TRONG
NGƯNG TỤ BOSE - EINSTEIN
Trong chương này sẽ giới thiệu về khí boson đồng nhất, sự kích thích của khí
khi bị bẫy và ngưng tụ Bose - Einstein với nhiệt độ khác không.
Các hạt boson tuân theo thống kê Bose - Einstein. Đối với mô hình khí lí
tưởng (không có tương tác giữa các boson). Khi nhiệt độ đạt gần độ không
tuyệt đối thì tất cả các boson tồn tại ở cùng một trạng thái lượng tử với năng
lượng thấp nhất. Đó chính là ngưng tụ Bose - Einstein. Trong trường hợp một

hệ khí lí tưởng ba chiều tồn tại nhiệt độ chuyển pha mà hệ khí sẽ ngưng tụ ở
nhiệt độ thấp hơn nhiệt độ này. Đối với hệ khí boson có tương tác (mô hình
khí thực), theo lí thuyết có tồn tại nhiệt độ chuyển pha mà khí boson có thể
ngưng tụ ngay trong các hệ hai chiều (Bogoliubov - Pitaevskii).
2.1. Khí boson đồng nhất
2.1.1. Phép biến đổi Bogoliubov
Xét hệ được mô tả bởi Hamilton

0 1
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
( ) ( ),
h a a b b a a ba
ε ε
+ + +
= + + +
(2.1)
với
0
ε
và
1
ε
là những c - số. Các toán tử
ˆ
a
+
và
ˆ
a

lần lượt là toán tử sinh và hủy
boson trong trạng thái với xung lượng p, toán tử
ˆ
b
+
và
ˆ
b
tương ứng của trạng
thái với xung lượng –p
Các giá trị riêng và trạng thái riêng của hàm Hamilton này có thể thu được
bằng cách thực hiện phép biến đổi kinh điển. Phương pháp này đã được
chứng minh là rất hiệu quả và được sử dụng rộng rãi trong lí thuyết siêu dẫn
và từ tính cũng như trong các lĩnh vực khác.
Các toán tử sinh và hủy boson tuân theo các hệ thức giao hoán sau
ˆ ˆ
ˆ ˆ
, , 1
a a b b
+ +
 
 
= =
 
 
,and
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
, , , , 0.
a b b a a b a b

+ + + +
       
= = = =
       
(2.2)

12

Chúng tôi đưa ra các toán tử mới
ˆ
α

và
ˆ
β
theo định nghĩa

ˆ
ˆ
ˆ
ua vb
α
+
= + ,
ˆ
ˆ
ˆ
,
ub va
β

+
= + (2.3)
trong đó u và v là hệ số được xác định. Khi đó các toán tử này tuân theo các
hệ thức giao hoán
ˆ ˆ
ˆ ˆ
, , 1
α α β β
+ +
 
 
= =
 
 
,
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
, , , , 0
α β β α α β α β
+ + + +
       
= = = =
       
, (2.4)
giá trị của u, v là thực và tùy ý. Bằng cách thay (2.3) vào (2.4) và sử dụng(2.2)
ta thấy u và v phải thỏa mãn điều kiện:
u
2
– v
2

= 1, (2.5)
việc biến đổi nghịch đảo tương ứng với (2.3) là

ˆ
ˆ
ˆ
a u v
α β
+
= −
,
ˆ
ˆ
ˆ
b u v
β α
+
= −
. (2.6)
Bây giờ chúng ta thế (2.6) vào (2.1) và ta có kết quả

2 2 2
0 1 0 1
2 2
1 0
ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
2 2 ( ) 2 ( )
ˆ ˆ

ˆ ˆ
( ) 2 ( ).
h v uv u v uv
u v uv
ε ε ε ε α α β β
ε ε αβ β α
+ +
+ +
 
= − + + − +
 
 
+ + − +
 

(2.7)

Thực hiện triệt tiêu số hạng
ˆ ˆ
ˆ ˆ
αβ β α
+ +
+
bằng cách chọn u và v để hệ số của nó
bằng không

2 2
1 0
( ) 2 0.
u v uv

ε ε
+ − =
(2.8)
Các giá trị của u là tùy ý và chúng ta áp dụng điều kiện (2.5) thu được các
tham số của u và v là
u = cosht, v = sinht . (2.9)
Do đó các điều kiện (2.8) được viết là

2 2
1 0
(cosh sinh ) 2 sinh cosh 0,
t t t t
ε ε
+ − =
(2.10)
hoặc

1
0
tanh 2 .
t
ε
ε
=
(2.11)
Từ kết quả này ta thấy
13


2

0
1
1
1
2
u
ε
ε
 
= +
 
 
và
2
0
1
1
1 ,
2
v
ε
ε
 
= −
 
 
(2.12)
trong đó

2 2

0 1
.
ε ε ε
= −
(2.13)
Thực hiện phép tính u
2
+ v
2
và 2uv, sau đó xét tỉ số
1
0
ε
ε
và thay vào (2.7) ta
thu được kết quả

0
ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
( ) .
h
ε α α β β ε ε
+ +
= + + −
(2.14)
Năng lượng ở trạng thái cơ bản là
0
ε ε

−
, nó có giá trị âm và trạng thái kích
thích tương ứng với việc bổ sung thêm hai loại boson độc lập có năng lượng
ε

tạo bởi các toán tử
ˆ
α
+
và
ˆ
β
+
, cho
ε
là thực, và
0 1
.
ε ε
>

Nếu
0 1
ε ε
<
, năng lượng kích thích có sự biến đổi, tương ứng với một sự bất
ổn định của hệ.
2.1.2 Các năng lượng kích thích ở trạng thái cơ bản
Sử dụng các kết quả ở phần trước đó ta đưa Hamilton
2

' 0
0
0 0 0 0
( 0)
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
( )( ) ( )
2
p p p p p p p p p
p p
N U
H n U a a a a n U a a a a
V
ε
+ + + +
− − − −
≠
 
= + + + + +
 
∑

thành dạng đường chéo. Chúng ta thực hiện việc chuyển đổi

ˆ ˆ
ˆ
p p p p p
a u v
α α
+

−
= −
,
ˆ ˆ
ˆ
,
p p p p p
a u v
α α
+
− −
= −
(2.15)
trong đó
ˆ
p
a
tương ứng với
ˆ
a
trong các mô hình đơn giản,
ˆ
p
a
−
tương ứng
ˆ
b
,
ˆ

p
α
tương ứng
ˆ
α
và
ˆ
p
α
−
tương ứng
ˆ
β
. Kết quả là

( )
2
0
0
0 0
( 0) ( 0)
1
ˆ ˆ
2 2
p p p p p
p p p p
N U
H n U
V
ε α α ε ε

+
≠ ≠
= + − + −
∑ ∑
, (2.16)
trong đó
14


( )
( )
( )
2 2
2
0 0 0
0 0 0 0 0 0
2 .
p p p p
n U n U n U
ε ε ε ε
= + − = +
(2.17)
Phổ năng lượng trên cho kết qủa chính xác tương ứng với kết quả đã tìm ra.
Cho p nhỏ, năng lượng là
p
sp
ε
=
, khi đó

p
sp
ε
=

(2.18)
Ở trạng thái kích thích, các toán tử sinh và hủy boson được đưa ra bởi

ˆ
ˆ ˆ
,
p p p p p
u a v a
α
+ +
−
= +
(2.19)

các hệ số thỏa mãn các điều kiện sau
u
2
- v
2
= 1, (2.20)
Tương ứng với phương trình (2.5) và được đưa ra bởi

2
1
1

2
p
p
p
u
ξ
ε
 
= +
 
 
 
và
2
1
1 ,
2
p
p
p
v
ξ
ε
 
= −
 
 
 

(2.21)

với
0
0 0
p p
n U
ξ ε
= +
. Vì thế, hệ sẽ được biểu hiện như một tập hợp các boson
không tương tác với năng lượng tuân theo phổ Bogoliubov. Trong gần đúng
bậc 3, bậc 4 của
ˆ
σψ
và
ˆ
σψ
+
có trong Hamilton, các kích thích được hạ xuống
và thay đổi các mức năng lượng có liên quan đến phổ Bogoliubov (2.17).
2.1.3. Sự suy giảm của ngưng tụ
Số hạt được cho bởi phương trình

0
( 0)
ˆ
ˆ ˆ
.
p p
p p
N N a a

+
≠
= +
∑

Khi có mặt các toán tử
ˆ
p
α
+
và
ˆ
p
α
, có dạng
(
)
(
)
2 2 2
0
( 0) ( 0) ( 0)
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
.
p p p p p p p p p p p
p p p p p p
N N v u v u v
α α α α α α
+ + +

− −
≠ ≠ ≠
= + + + − +
∑ ∑ ∑

(2.22)

Trong quá trình dẫn ra biểu thức này, chúng tôi đã sử dụng các hệ thức giao
hoán của các toán tử boson. Vì vậy, các số hạng toán tử nhận giá trị trung
15

bình bằng không ở trạng thái cơ bản. Về mặt ý nghĩa vật lý của biểu thức này
ta có thể nói rằng số hạng đầu tiên chính là số nguyên tử trong trạng thái
ngưng tụ. Số hạng thứ 2 biểu diễn sự thiếu hụt của ngưng tụ do các tương tác
khi không có một kích thích thực nào. Ở trạng thái cơ bản của khí không
tương tác, không phải tất cả các hạt đều có xung lượng bằng không vì tương
tác giữa các cặp hạt pha trộn với các nguyên tử ở các trạng thái khác. Do đó
xác suất của một nguyên tử đang trong trạng thái có momen xung lượng bằng
không giảm. Cuối cùng là điều kiện tương ứng với sự suy giảm của ngưng tụ
do sự có mặt của một kích thích thực. Đối với các toán tử có trạng thái riêng
của Hamilton (2.16) thì giá trị trung bình của
ˆ ˆ
p p
α α
+ +
−
và liên hợp Hermit của
nó biến mất và do đó các toán tử tương đương có thể được viết là

(

)
2 2 2
0
( 0) ( 0)
ˆ
ˆ ˆ
.
p p p p p
p p p p
N N v u v
α α
+
≠ ≠
= + + +
∑ ∑
(2.23)
Điều này cho thấy rằng khi một kích thích có xung lượng p ≠ 0 được thêm
vào hệ , giữ N
0
cố định, số hạt thay đổi một lượng

2 2
,
p
p p p
p
u v
ξ
ν
ε

= + =
(2.24)
khi đó giống như trước đây,
0
0 0
p p
n U
ξ ε
= +
. Ở vùng xung lượng lớn, số hạt
tương ứng với kích thích có chiều hướng tiến đến bằng đơn vị, vì các kích
thích cho các hạt tự do, trong khi số hạt hiệu dụng phân kì có xung lượng nhỏ
là ms/p.

Sự suy giảm của trạng thái cơ bản ở nhiệt độ không được tính bằng cách xét
số hạng thứ hai trong phương trình (2.22) và thấy số hạt trên mỗi đơn vị thể
tích trong trạng thái kích thích

( )
3
2 2
3
2
( 0)
1 1
,
3
2
ex p p
p p

dp ms
n v v
V
π
π
≠
 
= = =
 
 
∑
∫

h
h
(2.25)
16

là mật độ các hạt không ngưng tụ trong không gian
3
ξ
, với
ξ
là độ dài tổng
hợp. Sự suy giảm này có thể thu được bằng cách sử dụng kết quả (2.18) với
các
2
0
4
a

U
m
π
=
h
và tìm thấy

( )
1/2
3
8
.
3
ex
n
na
n
π
=
(2.26)
Trong việc tìm ra kết quả này, chúng tôi đã giải thích sự suy giảm của
ngưng tụ là nhỏ và biểu thức (2.25) chỉ được tính đến khi khoảng cách giữa
các hạt lớn hơn so với chiều dài tán xạ.
2.1.4 Năng lượng ở trạng thái cơ bản
Việc tính các giá trị bậc cao của năng lượng đòi hỏi phải vượt qua được gần
đúng bậc không, trong đó tương tác hiệu dụng được thay bằng
2
0
4
a

U
m
π
=
h
.
Khi đó p
2
được tìm bằng cách xét các biểu thức năng lượng E
0
ở trạng thái cơ
bản, đó là một trong những kết quả thu được từ biểu thức (2.16).

( )
2
0
0
0 0 0
1
.
2 2
p p
p
N U
E n U
V
ε ε
= − + −
∑
(2.27)

Một cách hình thức thì phép lấy tổng có giá trị vào bậc
2
0
U
, ta có thể thấy
bằng cách mở rộng tổng cho p lớn. Trong lí thuyết nhiễu loạn, sự tương tác sẽ
được đưa vào quá trình chuyển đổi sang trạng thái trung gian, khi hai hạt
tương tác tùy ý có xung lượng cao. Để tính được giá trị phù hợp của năng
lượng ở trạng thái cơ bản người ta phải sử dụng một tương tác hiệu dụng
U(p
c
), trong đó có tính đến các trạng thái trung gian với xung lượng lớn hơn
p
c
. Do đó năng lượng ở trạng thái cơ bản là

( )
2
0
0 0 0
( )
( ) 1
.
2 2
c
c
p p
p p p
N U p
E n U

V
ε ε
<
= − + −
∑
(2.28)
17

Với tương tác hiệu dụng
( )
c
U U p
=
%
,
cho năng lượng E và cho các giá trị p
c

nhỏ thu được từ

( , ; ) ( , ; )
U k k E T k k E
′ ′
≈
%


1
2 2
,

1
( , ; ) ( , ; ),
c
k k k
k
T k k E E i T k k E
V m
σ
−
′′ ′′
<
′′
 
′ ′′ ′′
− − +
 
 
∑
h

bằng cách thay thế T=U
0
. Đó là kết quả tương tác cho p
c
=0 và E=0. Phần ảo
của các kết quả tương tác là do thành phần
i
σ
ở mẫu số của năng lượng trong
2 2

2
( , ) ( , ; )
4
m
f k k T k k E k m
π
′ ′
= − = h
h
tỷ lệ thuận với E
1/2
và triệt tiêu khi
E=0. Tương tác hiệu dụng khi cho p
c
nhỏ và năng lượng bằng không được
cho bởi


2
0
0
0
( )
1
( ) .
2
c
c
p p p
p

U
U p U
V
ε
<
= +
∑
(2.29)
Các biểu thức này thể hiện tương tác U(p
c
)

( )
2
2
0 0
0
0 0 0
0
1
.
2 2 2
p p
p
nU
N U
E n U
V
ε ε
ε

 
= − + − −
 
 
 
∑
(2.30)
Nếu chúng ta chọn giới hạn trên của xung lượngplà lớn so với ms nhưng lại
nhỏ so với
a
h
, thì kết quả không phụ thuộc vào p
c
và sử dụng điều kiện n
0
≈n,
ta tìm thấy

3
2 2
2 3 1/2
0 0 0
2 1/2
8 128
1 ( ) .
2 15 2 15
E n U ms n U
ms na
V
π π

   
= + = +
 
 
   
h
(2.31)
Số hạng đầu tiên chỉ ra thứ tự độ lớn của sự thay đổi năng lượng, là số lượng
của các toán tử với số sóng nhỏ hơn nhiều độ dài kết hợp, đây là kết quả
mong đợi lần đầu tiên thu được từ Lee và Yang.
18

2.1.5 Các trạng thái với số lượng hạt xác định
Các Hamilton ban đầu

0
0
, ,
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
,
2
p p p p q p q p p
p p p q
U
H a a a a a a
V
ε
+ + +
′ ′

+ −
′
= +
∑ ∑

có tổng số hạt được bảo toàn. Giả sử rằng toán tử hủy hạt có giá trị trung bình
khác không được chỉ ra trong phương trình

ˆ ˆ
( ) ( ) ( ).
r r r
ψ ψ δψ
= +

Khi các hạt bị cô lập, số lượng các hạt là cố định và do đó giá trị trung bình
của toán tử hủy hạt biến mất. Giả sử toán tử hủy hạt có giá trị trung bình khác
không, tương tự như giả định với các toán tử cho các trường điện từ nhờ các
photon có thể được xử lí theo cách cổ điển. Trong cả hai trường hợp đều tổng
hợp các toán tử với số lượng khác nhau của các hạt hay photon. Ta đi tìm
trạng thái của một chất khí boson chứa một số hạt xác định bằng cách đưa ra
các toán tử

1/2
0 0
ˆ
ˆ ˆ ˆ
( 1)
p p
c a N a
+ −

= +
,
1/2
0 0
ˆ
ˆ ˆ ˆ
( 1)
p p
c a N a
+ + −
= +
,
( 0),
p
≠

(2.32)
với

0 0 0
ˆ
ˆ ˆ
,
N a a
+
=

là toán tử với số lượng hạt có xung lượng bằng không. Đánh giá một cách
chính xác ta có thể thấy các toán tử này tuân theo các hệ thức giao hoán khi
thực hiện trên bất kì toán tử nào. Trong đó, khi toán tử có momen xung lượng

bằng không thì một số hạt không bị biến mất. Ngoài ra các toán tử
ˆ ˆ
p p
c c
+
tương
ứng với
ˆ ˆ
p p
a a
+
khi cho p≠0. Chỉ giữ đến các số hạng bậc hai đối với toán tử
ˆ
p
c

và
ˆ
p
c
+
, chúng ta viết Hamilton cho trạng thái ngưng tụ với tổng số hạt N
đượcxác định là
19

( )
( ) ( ) ( ) ( )
1/2 1/2 1/2 1/2
0
0 0 0

0 0 0 0 0
( 0)
ˆ
( 1)
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
2 1 2 1 .
2
p p p p p p p p p
p p
N N U N U
H U c c c c N N c c c c N N
V V V
ε
+ + + +
− − − −
≠
 
 
−
 
 
= + + + + + + + + +
 
 
 
 
 
 
 

∑


(2.33)

Khi thay
0
ˆ
N
bởi giá trị xác định của nó là N
0
và bỏ qua các số hạng liên quan
0
1
N
và
1
N
, phương trình này trở nên đồng nhất với phương trình
( )( ) ( )
2
0
0
0 0 0 0
( 0)
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
,
2
p p p p p p p p p

p p
N U
H n U a a a a n U a a a a
V
ε
+ + + +
− − − −
≠
 
= + + + + +
 
∑

với việc thay thế
ˆ
p
a
và
ˆ
p
a
+
bởi
ˆ
p
c
và
ˆ
p
c

+
. Các toán tử được xác định bởi

1/2 1/2
0 0 0 0
ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
( 1) ( 1) .
p p p p p p p p p
d u c v c u a N a v a N a
+ + + − + −
− −
= + = + + +
(2.34)

Nó tương tự như phương trình (2.19), các Hamilton quy về phương trình
(2.16) nhưng các toán tử
ˆ
p
d
thay cho
ˆ
p
α
. Điều này cho thấy việc bổ sung một
kích thích ở trạng thái cơ bản với xung lượng p là tổng hợp của việc bổ sung
một hạt có xung lượng p cùng với việc loại bỏ một hạt từ ngưng tụ và việc
loại bỏ một hạt với xung lượng -p đi bằng cách cho thêm một hạt để ngưng tụ.
Thực tế là tổng số hạt vẫn không thay đổi. Đặc trưng vật lý của độ dài sóng

kích thích có thể hiểu được bằng cách sử dụng điều kiện u
p
≈v
p
. Vì vậy, đối
với N
0
lớn,
ˆ
p
d
+
là tỷ lệ với
0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ
p p
a a a a
+ +
−
+
, đó chính là đóng góp của ngưng tụ
vào
ˆ ˆ
p p p p
a a
+
′ ′ ′
+
∑
tạo ra sự thăng giáng mật độ. Điều này khẳng định bản chất

của phonon khi bị kích thích có bước sóng dài.
2.2. Sự kích thích của khí bị bẫy
Chúng ta xét các toán tử Hamilton
2
2
0
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,
2 2
U
H dr r r V r r r r r r
m
ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ
+ + + +
 
= − ∇ + +
 
 
∫
h

và biểu thức
20


ˆ ˆ
( ) ( ) ( ),
r r r
ψ ψ δψ

= +

tương ứng với việc thăng giáng khỏi ngưng tụ. Ngoài ra để cho dễ dàng hơn
khi tính đến sự thay đổi số hạt chúng ta sử dụng toán tử
ˆ ˆ ˆ
K H N
µ
= −
. Trong
các biến đổi,
ˆ
K
có thể được viết là
(
2
2
0
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ
( ) ( )
2
K H N E dr r r
m
µ δψ δψ
+
= − = + − ∇
∫
h

[ ]

{
}
2
22
2 * 2
0
0
ˆ ˆ ˆ ˆ
( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .
2
U
V r U r r r r r r r
ψ µ δψ δψ ψ δψ ψ δψ
+ +

 
 
+ + − + +

 
 

(2.35)
Sử dụng toán tử
ˆ
K
để mô tả ngưng tụ Bose - Einstein. Sử dụng kí hiệu ma
trận và bỏ qua c - số, chúng ta có thể viết

1

ˆ ˆ ˆ
,
2
K
+
= Ψ ΜΨ
(2.36)
trong đó

ˆ
ˆ
ˆ
δψ
δψ
+
 
Ψ =
 
 
, (2.37)
và
(
)
( )
2
2 2 2
0 0
2
*2 2 2
0 0

2 2
.
2 2
m V U U
M
U m V U
ψ µ ψ
ψ ψ µ
 
− ∇ + + −
 
=
 
− ∇ + + −
 
h
h


(2.38)
Giá trị của hai vecto A
+
và B được xác định bằng

* *
1,2
( ) ( )
A B drA r B r
α α
α

=
=
∑
∫
, (2.39)
α là chỉ số dưới của các thành phần vecto.