SOLITON TRONG NGƯNG TỤ BOSE – EINSTEIN

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ






DƢƠNG ĐÌNH LỊCH





SOLITON TRONG NGƢNG TỤ BOSE – EINSTEIN




KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC







HÀ NỘI - 2014

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA VẬT LÝ






DƢƠNG ĐÌNH LỊCH




SOLITON TRONG NGƢNG TỤ BOSE – EINSTEIN

Chuyên ngành : Vật lý lý thuyết



KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: Tiến sĩ Nguyễn Văn Thụ





HÀ NỘI - 2014

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên cho tôi bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc nhất tới TS.
Nguyễn Văn Thụ - ngƣời thầy đã luôn tận tình hƣớng dẫn, giúp đỡ và tạo điều
kiện thuận lợi nhất cho tôi trong suốt thời gian thực hiện khóa luận tốt nghiệp này.
Nhân dịp này tôi xin đƣợc bày tỏ tấm lòng biết ơn tới các thầy cô, bạn bè
và những ngƣời thân đã động viên giúp đỡ tôi trong suốt thời gian qua. Qua
đây cho phép em bày tỏ sự biết ơn chân thành tới các thầy cô trong tổ lý
thuyết, khoa vật lí trƣờng Đại Học Sƣ Phạm Hà Nội 2 đã tao điều kiện thuận
lợi nhất cho tôi dành thời gian hoàn thành khóa luận này.
Cuối cùng xin chân thành cảm ơn các bạn trong nhóm chuyên đề: “Ngƣng
Tụ Bose – Einstein”, những ngƣời đã cùng tôi san sẻ kiến thức, hun đúc
quyết tâm và cộng tác hiệu quả trong quá trình thực hiện khóa luận.
Một lần nữa tôi xin chân thành cảm ơn!
Hà nội, ngày 09 tháng 05 năm 2014
Tác giả khóa luận

Dƣơng Đình Lịch





LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận là những nghiên cứu của tôi dƣới sự hƣớng dẫn tận tình, nghiêm
khắc của thầy Tiến Sĩ Nguyễn Văn Thụ. Bên cạnh đó tôi cũng nhâ
̣
n đƣợc sự

quan tâm, tạo điều kiện của các thầy, cô giáo trong khoa vật lý trƣờng Đại
Học Sƣ Phạm Hà Nội 2.
Vì vậy tôi xin cam đoan nội dung của đề tài: “Soliton Trong Ngƣng Tụ
Bose – Einstein” không có sự trùng lặp với các đề tài khác.
Hà nội, ngày 09 tháng 05 năm 2014
Tác giả khóa luận

Dƣơng Đình Lịch





MỤC LỤC

Trang
LỜI CẢM ƠN
LỜI CAM ĐOAN
DANH MỤC BIỂU TƢỢNG
DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT
MỞ ĐẦU 1
1. Lý do chọn đề tài 1
2. Mục đích nghiên cứu 2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu 2
4. Đối tƣợng nghiên cứu 3
5. Phƣơng pháp nghiên cứu 3
6. Cấu trúc khóa luận 3
Chƣơng 1. TỔNG QUAN VỀ NGƢNG TỤ BOSE – EINSTEIN 4
1.1. Giới thiệu 4
1.2. Boson – và các thành phần chính 6

1.3. Thống kê Bose – Einstein 7
1.4. Ngƣng tụ Bose – Einstein đối với khí lí tƣởng 8
1.5. Lƣợng tử hóa lần 2 11
1.6. Một số kết quả cơ bản của thuyết tán xạ 13
1.7. Mô hình trƣờng thế tƣơng tác 14
1.8. Phƣơng trình Gross – Pitaevskill (GPE) 15



1.9. Phƣơng trình Srodinger n - hạt với thế hóa hàm

- tƣơng tác 17
Chƣơng 2.SOLITON SÁNG TRONG MỖI NGƢNG TỤ BOSE – EINSTEIN
2.1. Lịch sử soliton 21
2.2. Soliton quang 23
2.2.1. Vận tốc nhóm tán xạ 23
2.2.2. Sự tự điều pha 25
2.2.3. Soliton – loại sáng và tối 26
2.3. Soliton của phƣơng trình GPE – 1D 28
2.3.1. Phƣơng trình GPE – 1D 28
2.3.2. Các nghiệm Soliton 30
KẾT LUẬN 32
TÀI LIỆU THAM KHẢO 34





DANH MỤC BIỂU TƢỢNG


Tổng

Tích số
p Động lƣợng

Hằng số Plank

Gradient

Phƣơng trình hàm sóng

Phƣơng trình hàm sóng của một hạt
r Vectơ vị trí

Toán tử Laplacian
,,
x y z
  
Tần số theo x, y, z
H Hamiltonian
E Năng lƣợng
a Chiều dài tán xạ
n
n
x


Đạo hàm hạt thứ n



Liên hợp phức của






DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT

BEC Bose - Einstein Condensates
GPE The Gross-Pitaevskii equation
1D Một chiều
2D Hai chiều
FOCK Không gian Fock
NLSE Nonlinear Schodinger – equation

1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Các tính chất thống kê lƣợng tử của các hệ hạt không thể phân biệt về cơ
bản đƣợc xác định bởi spin của các hạt. Boson là các hạt có spin nguyên và
đƣợc mô tả bởi hàm sóng đối xứng ngƣợc lại các hạt có spin bán nguyên
(fecmion) chúng đƣợc mô tả bởi hàm sóng phản đối xứng. Mặc dù trong giới
hạn cổ điển đặc biệt khi ở nhiệt độ cao, sự khác biệt giữa các hạt là rất nhỏ.
Tuy nhiên trong giới hạn ở nhiệt độ cực thấp
0T 
sự khác biệt mang tính

thống kê càng rõ ràng hơn.
Một hệ quả trực tiếp của tính đối xứng đề cập ở trên nhƣ trong trƣờng hợp
của các hạt fecmion, hai fecmion không thể chiếm cùng một trạng thái lƣợng
tử (bị chi phối bởi nguyên lý loại trừ Pauli). Áp dụng cho các boson nguyên lý
này không có hiệu lực. Sau này tính chất quan trọng của các boson sẽ đƣợc đề
cập trong ngƣng tụ Bose – Eistein (BEC), là một trạng thái của vật chất của
một chất khí loãng boson làm lạnh đến nhiệt độ rất gần với độ không tuyệt
đối (có nghĩa là, rất gần 0K hay -273,15°C [1]). Trong điều kiện nhƣ vậy các
boson chiếm đóng ở trạng thái cơ bản sẽ là vô hạn. Đặc điểm đáng chú ý này
đƣợc đƣa ra trong năm 1924 – 1925 bởi Satyendra Nath Bose và Albert
Einstein [2], [8] kết quả là một hình thức mới của vật chất.
Năm 1995 ngƣng tụ khí đầu tiên thu đƣợc bởi Eric Cornell và Carl
Wieman tại Đại học Colorado tại Boulder của NIST - JILA phòng thí
nghiệm, sử dụng khí nguyên tử rubidium đƣợc làm lạnh tới 170 nano
Kelvin (NK) [4] (1,7 × 10
-7
K). Vào năm 2001, Eric Cornenll Wolfgang
Ketterle và Carl Wieman nhận giải Nobel về vật lí do thực hiện đƣơ
̣
c về mặt
thực nghiệm của họ đối với ngƣng tụ Bose – Einstein. Trong tháng 11 năm

2

2010 photon đầu tiên BEC đã đƣợc quan sát [3]. Năm 2012 lý thuyết của
photon BEC đƣợc phát triển [5], [7].
Nghiên cứu về soliton nằm trong vật lý chất ngƣng tụ là một trong những
nghành khoa học lớn nhất của vât lý hiện đại. Về mặt lịch sử ngành này mới
phát triển gần đây. Vật lý chất ngƣng tụ nghiên cứu các tính chất vĩ mô của vật
chất, đặc biệt nó xét đến các pha “ngưng tụ’’ xuất hiện bất cứ khi nào số hạt

trong hệ là rất lớn và tƣơng tác giữa chúng là mạnh. Những pha ngƣng tụ kì lạ
bao gồm trạng thái siêu lỏng và ngƣng tụ Bose –Einstein xuất hiện trong những
hệ nguyên tử cụ thể ở nhiệt độ rất thấp gần nhiệt độ tuyệt đối. Khi nghiên cứu
về “soliton trong ngưng tụ Bose – Einstein” ta thu đƣợc một số tính chất mới
của vật chất bởi vì trạng thái ngƣng tụ Bose – Einstein (BEC) là một hệ trong
đó có số lƣợng tử lớn các hạt boson (các hạt có spin nguyên) cùng tồn tại trong
cùng một trạng thái cơ bản. Điều này có y
́
nghĩa to lớn cho việc nghiên cứu các
hiệu ứng lƣợng tử.
Trên cơ sơ
̉
đó tôi chọn đề tài “soliton trong ngƣng tụ Bose – Einstein”, này
nhằm tìm hiểu sâu sắc hơn về ngƣng tụ Bose – Einstein theo thuyết lƣợng tử.
Mặt khác, tôi muốn tổng hợp kiến thức từ nhiều tài liệu khác nhau nhằm tích
lũy kiến thức cho bản thân và mong muốn đây là tài liệu bổ ích cho các bạn
sinh viên.
2. Mục đích nghiên cứu
Bƣớc đầu làm quen với nghiên cứu khoa học và thực hiện khóa luận tốt
nghiệp
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu một cách tổng quan nhất về ngƣng tụ Bose –Einstein
Tìm hiểu về các soliton trong ngƣng tụ Bose –Einstein

3

4. Đối tƣợng nghiên cứu
Soliton trong ngƣng tụ Bose – Einstein
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
Phƣơng pháp nghiên cứu lý luận

Sử dụng thống kê cổ điển, lƣợng tử và các phƣơng pháp giải tích toán học
khác
Phƣơng pháp gần đúng trƣờng trung bình
6. Cấu trúc khóa luận
Ngoài phần mở đầu kết luận danh mục tài liệu tham khảo, nội dung của
khóa luận gồm 2 chƣơng:
Chƣơng 1. Tổng quan về ngƣng tụ Bose – Einstein
Chƣơng 2. Soliton trong mỗi ngƣng tụ Bose – Einstein

4


CHƢƠNG 1
TỔNG QUAN VỀ NGƢNG TỤ BOSE – EINSTEIN

Trong chƣơng này giới thiệu phần lý thuyết để mô tả ngƣng tụ Bose –
Einstein. Đầu tiên một số khái niệm về thống kê bose đƣợc trình bày trên cơ
sở khí bose lí tƣởng trong đó khuôn khổ của môn cơ học lƣợng tử hai sẽ đƣợc
áp dụng để sử lí và áp dụng cho hệ thống tƣơng tác nhiều hạt. Cùng với đó ta
đƣa ra một mô hình trƣờng thế đầy đủ để mô tả các tƣơng tác trong hệ khí
loãng. Sau đó phƣơng trình Gross – Pitaevskill (GPE) cho ta một cách diễn tả
ngƣng tụ trong giới hạn và từ một phƣơng trình schrôdinger có thể đƣa
ra phƣơng trình hàm sóng của hệ hạt. Cả hai phƣơng trình giúp ta đƣa ra đƣợc
các nghiệm soliton mà ta sẽ nghiên cứu sau.
1.1. Giới thiệu
Năm 1924, nhà vật lí học ngƣời Ấn độ Satyendia Nath Bose đã gửi Einstein
một bài báo trong đó ông bắt nguồn từ định luật Planck trong bức xạ của
photon nhƣ khí của hệ hạt đồng nhất. Einstein đã tổng quát hoá lý thuyết của
Bose thành khí lí tƣởng của hệ hạt đồng nhất nguyên tử hay phân tử mà số hạt
đƣợc bảo toàn và trong cùng năm đó ông dự đoán rằng ở nhiệt độ đủ thấp, các

hạt sẽ nằm trong cùng một trạng thái lƣợng tử gọi là ngƣng tụ Bose – Einstein
xảy ra đối với các hạt boson có spin nguyên.
Ngƣng tụ Bose – Einstein và quá trình ngƣng tụ đó đƣợc dự đoán la
̀
c ó
nhiều thuộc tính kì lạ. Trong nhiều năm thí nghiệm, vào năm 1995, nhóm
JILA ở một phòng thí nghiệm đƣợc điều hành bởi viện quốc gia về tiêu chuẩn
và công nghệ, đại học Clorado ở Boulder và viện công nghệ Massachusetts

5

(gọi tắt là MIT) đã thu đƣợc bằng chứng thuyết phục cho ngƣng tụ Bose –
Einstein trong khí loãng nguyên tử.
Việc thu đƣợc ngƣng tụ Bose – Einstein bằng thực nghiệm đánh dấu một
bƣớc ngoặt trong vật lí học, giúp ta có đƣợc một cái nhìn mới về khoa học,
giúp dự đoán một số tính chất mới của vật chất.
Ta biết rằng các hành vi động lực học của một chất khí ở nhiệt độ phòng
không bị ảnh hƣởng bởi thực tế một nguyên tử không thể phân biệt với
nguyên tử khác, phù hợp với nguyên lý bất định Heisenberg. Vị trí nguyên tử
đƣợc đánh dấu bởi bƣớc sóng De Broglie
2
2
2
,
dB
B
k mT









trong đó
B
k
là hằng số Boltzman, m là khối lƣợng nguyên tử, T là nhiệt độ khí
ở nhiệt độ phòng. Bƣớc sóng De Broglie nhỏ hơn rất nhiều so với khoảng
cách trung bình giữa các nguyên tử. Điều này có nghĩa là sóng vật chất của
các nguyên tử riêng lẻ là không tƣơng quan với nhau hoặc bị rối vào nhau và
chúng có thể đƣợc mô tả bởi thống kê Boltzman.
Khi khí đƣợc làm lạnh thì sự nhoè tăng lên và có nhiều hơn một nguyên tử ở
mỗi hình lập phƣơng kích thƣớc
dB

. Các hàm sóng của các nguyên tử liền kề
chồng chất, các nguyên tử mất đi sự giống nhau hoặc bị rối vào nhau và hành
vi của khí đƣợc chi phối bởi thống kê lƣợng tử. Do số lƣợng nguyên tử tăng đột
ngột tạo cơ hội tìm thấy nhiều hơn một nguyên tử ở trong cùng một trạng thái.
Chúng ta có thể suy nghĩ sóng vật chất trong khí bose nhƣ“dao động điều
hoà”, kết quả là ngƣng tụ Bose – Einstein là sự chiếm đóng vĩ mô ở trạng thái
cơ bản của các nguyên tử khí. Einstein đã miêu tả quá trình này nhƣ ngƣng tụ
không có tƣơng tác va
̀
làm cho nó là một mô hình quan trọng của thống kê cơ
học lƣợng tử.

6

1.2. Boson – Các thành phần chính
Các hạt cơ bản có thể đƣợc phân loại thành hai nhóm cụ thể là boson và
fecmion. Các hạt đó có thể là các hạt cơ bản nhƣ các electron và các quark
hoặc là các hạt phức hợp nhƣ proton hoặc hạt nhân nguyên tử, mỗi vật thể
hoặc là boson hoặc là fecmion.
Việc mỗi vật thể nhƣ vậy là một boson hay là fecmion phụ thuộc vào một
tính chất gọi là spin nội tại. Trong cơ học lƣợng tử, spin bị lƣợng tử hóa , các
hạt đo
́
đƣợc gọi là boson – mang tên nhà vật lí Satyendia Nath Bose ngƣời Ấn
Độ, có spin nội tại là một số nguyên: các boson có thể có spin nội tại bằng
0,1,2,3….
Các fecmion mang tên của nhà vật lí Enrico ngƣời Ý, spin của nó có các
giá trị bán nguyên
13
, ,
22
Mặc du
̀
có những giá trị kỳ lạ của các giá trị bán
nguyên của spin của fecmion, neutron, proton, và electron đều là các fecmion
với spin -
1
.
2
Bản chất của fecmion của hầu hết các hạt cơ bản xác định nhiều
tính chất của các vật xung quanh chúng ta. Đặc biệt, nguyên lý loại trừ Pauli
nói rằng: “hai fecmion cùng loại không bao giờ được tìm thấy tại cùng một vị
trí”. Nguyên lý loại trừ quy định quy định cấu trúc của nguyên tử mà hóa hoc

dựa vào đó, do đó các electron với cùng spin không thể ở cùng một vị trí nên
chúng nằm trên các quỹ đạo khác nhau bởi vậy vật chất không bị suy sụp.
Các boson thì thể hiện hoàn toàn trái ngƣợc với các fecmion chúng có thể
tìm thấy tại cùng một vị trí. Ánh sáng đƣợc cấu tạo từ các photon là các
boson, hai chùm sáng có thể chiếu sáng chính xác lên cùng một vị trí. Thực
vậy laser hoạt động dựa trên điều đó: các boson chiếm giữ cùng môt trạng thái
cho phép laser có thể tạo ra các chùm sáng kết hợp mạnh của chúng. Các chất
siêu lỏng và các chất siêu dẫn cũng đƣợc cấu tạo từ các boson.

7

Một ví dụ điển hình của các tính chất boson là ngƣng tụ Bose – Einstein
trong đó nhiều hạt giống nhau đóng vai trò nhƣ nhau nhƣ chỉ là một hạt – điều
mà các fecmion nằm tại các vị trí khác nhau không làm đƣợc . Ngƣng tụ Bose
– Einstein hình thành là do các boson mà chúng tạo bởi không giống các
fecmion, có thể chu
́
n g có các tính chất giống nhau. Vào năm 2001, Eric
Cornenll Wolfgang Ketterle và Carl Wieman nhận giải Nobel về vật lí do
thực hiện thành công về mặt thực nghiệm của họ đối với ngƣng tụ Bose –
Einstein.
1.3. Thống kê Bose – Einstein
Nhƣ ta đã biết boson có khả năng chiếm các trạng thái lƣợng tử. Năm 1924,
nhà vật lí ngƣời Ấn Độ Satyendia Nath Bose đã đƣa ra một định luật thay thế
về bức xạ của vật đen của Planck, trong đó ông áp dụng cơ học vật lí thống kê
và coi các phần tử nhƣ các hạt không thể phân biệt (Bose – 1924).
Khí bose là những hạt không thể phân biệt đƣợc mô tả bởi hàm sóng đối
xứng và không chịu sự chi phối của nguyên tử nguyên lí loại trừ Pauli; lí
thuyết này sau đó đƣợc Anbert Einstein để tạo thành thống kê lƣợng tử mô tả
các boson đƣợc gọi là thống kê Bose – Einstein cho biết sự chiếm đóng trung

bình của hạt thứ

với năng lƣợng


là
 
 
1
11
,
11
v
n
e z e


  






(1.1)
trong đó
1
kT




là hằng số Boltzmann,
()
  

là các thể hóa học và đặt

.ze


Các tính chất quan trọng của phân bố (1.1) cho thấy khi
0



thì
,n



điều này đƣợc giải thích là sự chiếm đóng của các trạng thái năng

8

lƣợng tiến tới

và trong trạng thái cơ bản là các trạng thái có mức năng
lƣợng thấp nhất; số lƣợng boson chiếm ở các trạng thái cơ bản sẽ là vô hạn.
Bởi vậy khi năng lƣợng của boson giảm, boson có xu hƣớng chiếm ở các
trạng thái cơ bản nhiều hơn cho tới khi tất cả các boson trong mẫu đều nằm ở

trạng thái cơ bản. Do đó phân bố là sự dự đoán sự tồn tại của sự chuyển pha
đến một trạng thái ngƣng tụ cơ bản của ngƣng tụ Bose – Einstein một trạng
thái hoàn mới của vật chất.
1.4. Ngƣng tụ Bose – Einstein đối với khí lí tƣởng
Để xác định (
n

) khi
0T 
, trong biểu thức (1.1) thì thế hóa học phải nằm
trong giới hạn có giá trị nhỏ hơn so với năng lƣợng của trạng thái cơ bản
( ).
o

  
Tổng số hạt trong hệ đƣợc xác định bởi công thức
( ).Nn




Để dự đoán số hạt ở trạng thái cơ bản tổng số N hạt đƣợc phân
chia làm 2 phần
11
0
11
,
11
o
oo

o
N N N
z e z e

 




   



(1.2)
trong đó giới hạn của nhiệt động lực học
( , , )
N
N V const
V

     
thì
tổng số hạng thứ hai trong phƣơng trình (1.2) có thể thay thế bằng tích phân
 
1
1
,
11
o
o

o
z
N N N f d
z z e







   



(1.3)


trong đó có
0,
o


và
 
f

là mật độ của ngƣng tụ, đƣợc xác định bởi công
thức

 
 
3
2
23
2
.
4
m
f






(1.4)

9

Trong một hệ không gian ba chiều của một hạt tự do có spin – 0 với năng
lƣợng
22
2
k
m



trong giới hạn cổ điển (

1z 
khi
0


) mật độ ngƣng tụ
o
N
N
là rất nhỏ. Trong đó khi cho
 
0 0, 1
o
Tz

   
biểu thức cho
o
N
là phân kì, chính điều này cho ta một gợi ý quan trọng cho sự hình thành
ngƣng tụ Bose – Einstein.
Ngƣng tụ Bose – Einstein chính là sự bão hòa của mật độ phân bố của trạng
thái kích thích. Trong toán học điều này có thể thấy bằng cách viết lại biểu
thức (1.3) với
()fx
xác định bởi (1.4), trong đó biểu thức của mật độ hạt
 
 
,
o

o
N




 
3
2
3
,
o
oo
dB
gz

   


   
(1.5)
trong đó
2
dB
B
h
mk T




gọi là bƣớc sóng de Broglie phụ thuộc vào nhiệt
độ và
 
3
3
2
2
1
n
n
z
gz
n




cho
1z 

thì hàm sóng sau đó bị chi phối bởi điều
kiện trên;
 
3
2
3
(1) 2,612
2
g



trong đó
 
z

kí hiệu của hàm Euler –
Riemann , do đó hệ này thực sự cho thấy sự bão hòa đã đƣa ra ở trên của các
phân bố trong trạng thái kích thích và quá trình ngƣng tụ Bose – Einstein bắt
đầu xảy ra khi
 
o
Max





 
 
3
3
.
2
dB
 

(1.6)
Khi
()
dB dB

T


điều này tƣơng ứng với một nhiệt độ tới hạn
c
T
cho quá
trình chuyển đổi pha Bose – Einstein

10


 
2
2
3
2
3
2
,
3
2
c
B
T
mk









(1.7)
mật độ của trạng thái cơ bản, cho
o
TT
theo (1.5) và kết hợp (1.7)
3
2
1.
o
c
NT
NT









(1.8)
Biểu thức (1.6) cung cấp cho ta một ví dụ cho sự chuyển pha Bose –
Einstein. Quá trình chuyê
̉
n pha này bắt đầu khi bƣớc sóng nhiệt de Broglie có

giá trị vào khoảng cách trung bình của các hạt


1
3
,



lúc này tính chất
sóng của các hạt tập hợp lại tạo thành “hàm sóng vĩ mô” của ngƣng tụ Bose –
Einstein.
Từ trƣớc tới giờ chỉ có trƣờng hợp đặc biệt của khí trong đó các hạt chuyển
động tự do trong không gian ba chiều, trƣờng hợp này
 
f

đƣợc xác định
bởi biểu thức (1.4). Ta có thể thấy trong vật lí có sự khác biệt với biểu thức
miêu tả về mật độ phân bố của ngƣng tụ, một số ví dụ:
 Trƣờng thế ngoài: tất cả các thí nghiệm với các loại khí loãng là sử
dụng các bẫy thế ngoại. Ta có thể thấy trƣờng thế ngoài này có ảnh hƣởng tới
dạng cụ thể của các biểu thức (1.4) đến (1.8) nhƣng sự tồn tại của giai đoạn
chuyển pha BEC không hề bị ảnh hƣởng.
 Chiều không gian: ta có thể hiển thị trong không gian hai chiều một quá
trình chuyển pha BEC của các boson ở trong bẫy ở một nhiệt độ tới hạn nằm
trong giới hạn nhiệt động lực học (trong trƣờng hợp này
0
c
T 

). Một thay đổi
bất kì nào với bẫy thế có thể làm thay đổi toàn bộ tình trạng của hệ; nhƣng hệ
không gian hai chiều của boson trong bẫy cho thấy một quá trình thay đổi

11

nhiệt độ tới hạn
0
c
T 
; tuy nhiên trong hệ một chiều của các boson trong bẫy
không có sự chuyển pha BEC khi chúng ở nhiệt độ tới hạn.
 Boson không có khối lƣợng: cho
ck

 
nhƣ là một mối quan hệ giữa
độ phân tán và nhiệt độ tới hạn, các photon là những ví dụ điển hình cho
nguyên lý của tia laze.
Cần lƣu ý rằng trong quá trình chuyển pha BEC là một hiệu ứng lƣợng tử
thực sự không nhƣ sự chuyển pha động lực học Rắn  lỏng khí ở đây
tƣơng tác hạt đóng vai trò chủ yếu. Tuy nhiên trong thực tế giữa các phân tử
khí tồn tại sự tƣơng tác với nhau và điều này cho chúng ta thấy rằng chỉ với
mô hình khí lý tƣởng là không đủ cho một lí thuyết miêu tả những tƣơng tác
đã đƣa ra ở trên, ở phần sau chúng ta sẽ nghiên cứu ảnh hƣởng của tƣơng tác
trong BEC; qua đó chỉ ra rằng từ tính chất phi tuyến dẫn đến sự tồn tại của
soliton đƣợc suy ra trực tiếp từ tƣơng tác hạt.
1.5. Lƣợng tử hóa lần 2
Trong công thức lƣợng tử hóa lần hai của hệ hạt tƣơng tác trong một
trƣờng thế ngoài

ext
V
chúng đƣợc mô tả bởi hàm Hamiltonian có dạng nhƣ
sau
 
 
           
 
2
ex
1
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
, 1.9
22
t
r
r r r r r r r
H dr V r drdr V
m
     






    
 




với
 
ˆ
r

và
 
ˆ
r


là các toàn tử sinh cặp, hủy cặp tạo ra và hủy một hạt ở vi trí
r và
   
,r r r r
VV



là trƣờng thế tƣơng tác của hai hạt khi nói đến trƣờng thế
tƣơng tác giữa hai hạt là ám chỉ nói tới một xấp xỉ gần đúng nhất, áp dụng cho
các hệ khí nguyên tử nhƣ tƣơng tác bậc cao (ví dụ với tƣơng tác do nhiều hạt
gây ra) là không đáng kể cho các hệ nhƣ vậy.

12

Các tính chất của các boson của hệ đƣợc thể hiện bởi toán tử, ta có mối liên
hệ giao hoán cho các trƣờng toán tử nhƣ sau

   
 
ˆˆ
,,
rr
rr
  







(1.10.1)
       
ˆ ˆ ˆ ˆ
, 0 , .
r r r r
   
  

   

   
(1.10.2)
Trong khuôn khổ của sự lƣợng tử hóa lần hai, các mối quan hệ giao hoàn
này là sự biểu diễn đại số tƣơng đƣơng miêu tả tích chất của các hàm sóng
của boson, các trƣờng toán tử trƣờng có thể phân tích nhƣ sau

 
 
ˆ
ˆ
,
r
ra






 
 
ˆ
ˆ
r
ra



  



(1.11)
trong đó
 
a


là tập hợp đầy đủ hàm sóng của các hạt và
ˆˆ
a , a


là các toán tử
tƣơng ứng cho sự sinh hay hủy một phƣơng trình hàm sóng của boson


(một
boson ở trong trạng thái α).
Các toán tử này đƣợc tìm thấy trong không gian FOCK nhƣ sau
11
ˆ
, , , , 1 , , , 1, ,
oo
a n n n n n n n
   

  

(1.12.1)
11
ˆ
, , , , , , , 1, ,
oo
a n n n n n n
  




(1.12.2)
ở đây
1
, , , ,
o
n n n

là các trạng thái của hệ
o
n
là số hạt ở mức năng lƣợng 0
1
n
là số hạt ở mức năng lƣợng 1
…………………………………
Chèn (1.11) vào (1.10) ta đƣợc biểu thức thể hiện sự giao hoàn boson cho
ˆˆ
a , a


nhƣ sau




13

,
ˆˆ
,aa







, (1.13a)

ˆ ˆ ˆ ˆ
, 0 ,a a a a








. (1.13b)
Sử dụng hệ thức này áp dụng cho trong các trạng thái hàm sóng
 


Ví dụ:
 
   

*
,
r
r r r


  



các toán tử sinh, hủy có thể biểu diễn qua biểu thức
của toán tử trƣờng chúng đóng vai trò quan trọng về sau
 
 
 
 
**
ˆˆ
ˆˆ
,.
r
r
a dr r a dr r

  
   



   




(1.14)
1.6. Một số kết quả cơ bản của thuyết tán xạ
Để đơn giản hơn ta bỏ qua thế năng ngoài, chuyển động tƣơng đối của hai
nguyên tử xác định xác định bởi Hamiltonian
2
2
,
2
rel
rel
rel r
HV


  



(1.15)
với
rel
r r r


(về sau chỉ đơn giản kí hiệu “r”) và
2




nhƣ là độ giảm
khối lƣợng. Nhƣ ta đã biết trong cơ học lƣợng tử cho một hố thế hữu hạn (V(r
>b) =0) các hàm sóng là nghiệm của phƣơng trình Srodinger
,
rel
HE



nghiệm này có thể viết dƣới dạng nhƣ sau
 
   
ikr
ok
r
e
r f n
r


, (1.16)
trong đó
 
o
r

là kí hiệu của hàm sóng tới và
()

kk
f f n C
gọi là biên độ
tán xắc phụ thuộc vào
'
r
n
r

. Trong khu vực tìm cận nó đƣợc cho bởi
b,r 
2
kb
cùng với thế tán sắc V kết hợp vào hàm sóng thành một biểu thức

14

duy nhất nằm trong biểu thức của
 
k
fn
, cho các nguyên tử khí (khoảng cách
giữa các hạt:


1
3
p



điều này có nghĩa là trong trạng thái loãng
1
2
3
b, kbp


tƣơng tác giữa các cặp hạt đƣợc giải thích một cách đầy đủ bởi
biên độ tán sắc, nhƣ các nguyên tử khí hiếm khi chúng ở đủ gần nhau ta sẽ
thấy rõ hơn “hiệu ứng trung bình” của trƣờng thế. Hơn nữa cho
0,k 
ví dụ
0,T 
trong trƣờng hợp này biên độ tán sắc trong giới hạn này không phụ
thuộc vào n, lúc này
1
3
b,p


2
kb
cho ta biết về một sóng – s tán sắc thuần
túy

 
0
:,
k
k

f n a

 

(1.17)
a

đƣợc gọi là chiều dài tán sắc sóng – s dùng để miêu tả các tƣơng tác nguyên
tử trong giới hạn nhiệt độ cực thấp loãng.
Giá trị của
a
có thể xác định bằng phép đo thực nghiệm và có thể là dƣơng
(tác dụng tƣơng tác là đẩy trong giới hạn sóng – s) là âm (tác dụng tƣơng tác
là hút) phụ thuộc vào từng loại nguyên tử.
1.7. Mô hình trƣờng thế tƣơng tác
Trong giới hạn nhiệt độ cực thấp một mô hình thế tƣơng tác đơn giản có
chiều dài tán sắc tƣơng đƣơng có thể thay thế cho một mô hình trƣờng thế
chính xác, ta có
   
,V r r g r r


  

(1.18)
với hằng số liên kết
2
4
,ga
m




(1.19)
đáp ứng yêu cầu này thay mô hình (1.18) vào (1.9) cho ta kết quả

15

         
2
2
ex
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
( ) .
22
tr
r r r r r
g
H dr V r dr
m
     
  

    





Trong các phần sau này toán tử Hamilton sẽ đóng vai trò chủ đạo, không
chỉ nhƣ vậy nó sẽ giúp ta nhƣ là một khởi đầu cho việc mô tả một trƣờng
trung bình của ngƣng tụ dẫn tới phƣơng trình Gross - Pitaevskill, đó là một
phƣơng trình Schrodinger phi tuyến mà, các nghiệm của phƣơng trình này
là các nghiệm soliton.
1.8. Phƣơng trình Gross – Pitaevskill (GPE)
Trong phƣơng trình Heisenberg sự phụ thuộc vào thời gian của toán tử
đƣợc xác định bởi phƣơng trình Heisenberg của chuyển động
   
       
2
2
ex
ˆ
ˆˆ
, , ,
ˆ ˆ ˆ
, , , , ,
2
t H H H
t H H H
i r t r t H
V r t g r t r t r t
m

  







    




(1.21)
trong đó
ˆ
H
H
biểu thị trong hình thức luận lƣợng tử hóa lần hai (1.20) trong
biểu diễn Heisenberg. (1.21) có dạng của một phƣơng trình Srodinger không
tuyến tính cho các trƣờng toán tử và do đó đôi khi đƣợc gọi là“lượng tử
NLSE”.
Từ lí thuyết lƣợng tử của các hàm Hamiltơn (1.9) và (1.20) mô tả đầy đủ
tính chất của các hạt trong hệ tuy nhiên trong trƣờng hợp của ngƣng tụ Bose –
Einstein của khí loãng ở nhiệt độ cực lạnh
 
0T 
của các nguyên tử khí, một
phép tính gần sẽ miêu tả một cách phù hợp nhất về các tính chất của ngƣng tụ
từng phần, tất nhiên tác dụng nhƣ sự thiếu hụt của ngƣng tụ bởi các tƣơng tác
bậc cao với những ngƣng tụ khác hoặc các nguyên tử nhiệt không đƣợc tính
toán trong bất cứ mô tả nào. Trong các miêu tả dƣới đây phƣơng pháp

16

Bogolivbov sẽ đƣợc trình bày để ta thu đƣợc các phƣơng trình GPE, có nhiều
cách biểu diễn tác dụng của trƣờng trung bình một trong những cách đó là sử
dụng phƣơng pháp tách biến . Mục đích là phân biệt một cách rõ ràng tác
dụng của các trƣờng toán tử trong BEC: dƣới đây (1.11) sau này thƣờng đƣợc
viết nhƣ sau
       
00
ˆˆ
ˆ
, , , 2, 1.2r t r t a r t
  

với
 
ˆ
,rt

là toán tử miêu tả trạng thái kích thích, cho ngƣng tụ ở trạng thái
cực lạnh
 
0T 
trong trạng thái loãng này các nguyên tử khí chiếm đóng ở
trạng thái thấp nhất
0
N
N
tiến gần tới trạng thái đồng nhất, trong khi phần biểu
diễn nhiễu loạn xác định bởi
ˆ


trong (1.22) rất nhỏ
'
0
1.
NN
NN

Trong các
trƣờng hợp gần đúng các giả thiết sau đây là đúng:
 Cho N
0
lớn thì không có ý nghĩa vật lí về sự khác biệt giữa các trạng
trạng thái N
0
và N
0
+ 1 hạt; theo (1.12.1) các tác dụng của toán tử
0
ˆ
a
và
0
ˆ
a


trong trạng thái – FOCK có thể thay gần đúng này bởi
 
00
1NN


 
ˆ
,tr

biểu diễn cho phần tƣơng đối nhỏ của các hạt không ngƣng tụ
có thể gọi là một “nhiễu loạn nhỏ’’.
Do đó trong các trƣờng toán tử có thể viết nhƣ sau;
 
00
ˆ
,tNr



hàm
sóng ngưng tụ trong đó
0

đã đƣợc chuẩn hoá
 
2
0
,1dr r t




cùng với một

giá
trị nhỏ
 
ˆ
,tr



       
00
1.
ˆ
2
ˆ
, , , 3,r t N r t r t
  




17

cuối cùng thay (1.23) vào các phƣơng trình lƣợng tử - NLSE (1.21) và bỏ qua
tất cả các số hạng có chứa sự kích thích
ˆ

sẽ đƣa ta đến phƣơng trình Gross
-Pitaevskill (GPE) cho hàm sóng của ngƣng tụ
       
2

2
2
0 ex 0 0 0
, , , , ,
2
tt
i r t V r t gN r t r t
m
  

     




(1.24)
trong đó gần đúng Bogoliubov nói chung là khá đúng trong trƣờng hợp cực
lạnh của khí (T<<T
C
) với N
0
>> N = N – N
0
nhƣ trong trƣờng hợp của“thiếu
hụt lượng tử” nhỏ những trƣờng hợp này gần đúng này không có giá trị, một
ví dụ điển hình là chất siêu lỏng
4
,He
trong đó tƣơng tác hạt là lớn dẫn đến
một sự thống trị của sự suy giảm lƣợng tử chiếm ƣu thế (

0
90%
NN
N





).
Tuy nhiên ngay cả đối với các nguyên tử khí với
0T 
có một nguyên tắc
không có sự biến mất suy giảm lƣợng tử do tƣơng tác giữa các hạt, điều này
có thể miêu tả bằng cách đƣa vào tính toán số hạng bậc cao hơn
ˆ

khi thay
(1.23) vào (1.21) dẫn đến cái gọi là phƣơng trình Bogolivbov – De Gennses
mô tả kích thích nhỏ của ngƣng tụ.
1.9. Phƣơng trình Srodinger n - hạt với thế hóa hàm

- tƣơng tác
Trong bức tranh Srodinger sự phụ thuộc vào thời gian của hệ đƣợc thể hiện
theo một cách rõ ràng bởi các trạng thái
( ),
s
t



với phƣơng trình của
chuyển động đƣa ra bởi phƣơng trình Srodinger
ˆ
,
ts
iH


(1.25)
trong đó
ˆ
s
H
là toán tử Srodinger – Hamiton đƣa ra bởi (1.20). Các trạng thái
của
hệ

có thể mở rộng trong không gian FOCK nhƣ sau