Ứng dụng phép biến đổi Laplace để giải một số bài toán phương trình, hệ phương trình vi phân

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ


TRẦN THỊ THÊM



ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE ĐỂ
GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH,
HỆ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN



KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Vật lý lí thuyết



Ngƣời hƣớng dẫn khoa học:
Th.S LÊ KHẮC QUYNH

HÀ NỘI - 2014


LỜI CẢM ƠN

Khóa luận được hoàn thành tại khoa Vật lý, Trường ĐHSP Hà Nội 2. Qua
đây em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới ThS. Lê Khắc Quynh - người thầy trực
tiếp hướng dẫn, giúp đỡ em trong quá trình nghiên cứu và hình thành khóa
luận này. Em xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Vật lý, các thầy
giáo, cô giáo trong khoa, đặc biệt là các thầy cô trong tổ Vật lý lý thuyết và
các bạn sinh viên khoa Vật lý trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều
kiện, giúp đỡ em trong quá trình hoàn thành khóa luận tốt nghiệp.
Do lần đầu thực hiện công tác nghiên cứu khoa học nên không tránh khỏi
những thiếu sót. Vì vậy em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của
các thầy cô giáo và các bạn để khóa luận của em được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 05 năm 2014
Sinh viên


Trần Thị Thêm


LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận được hoàn thành với sự nỗ lực của bản thân và sự hướng dẫn
tận tình của Th.S LÊ KHẮC QUYNH
Khóa luận là kết quả nghiên cứu của em, không trùng với bất kì đề tài nào

khác. Tất cả các kết quả trình bày trong khóa luận là hoàn toàn trung thực.
Em xin chịu trách nhiệm về kết quả nghiên cứu của mình.

Hà Nội, tháng 05 năm 2014
Sinh viên

Trần Thị Thêm

















MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1
CHƢƠNG 1:PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE 3
1.1.Định nghĩa phép biến đổi Laplace 3
1.1.1 Định nghĩa 3

1.1.2. Sự tồn tại của biến đổi Laplace 6
1.1.3.Lớp L 8
1.2. Các tính chất của phép biến đổi Laplace 10
1.2.1. Tính chất tuyến tính 10
1.2.2. Tính chất đồng dạng 11
1.2.3. Tính chất dời theo s 12
1.2.4. Tính chất dời theo t 13
1.2.5. Tính chất về đạo hàm của gốc 13
1.2.6. Tính chất đạo hàm của ảnh 15
1.2.7. Tính chất tích phân gốc 16
1.2.8. Tính chất tích phân ảnh 17
1.2.9. Tính chất ảnh của tích chập 18
1.3. Ảnh Laplace 19
1.3.1. Một số khái niệm 19
1.3.2. Định lý (Lerch) 20
1.3.3. Một số phương pháp tìm hàm gốc 20
1.4. Đạo hàm và tích phân của biến đổi Laplace 26
1.4.1. Đạo hàm của biến đổi Laplace 26
1.4.2. Tích phân của biến đổi Laplace 27
CHƢƠNG 2: ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE 29
2.1. Ứng dụng của phép biến đổi Laplace để giải một số


phương trình vi phân 29
2.1.1. Biến đổi laplace của đạo hàm 29
2.1.2 Phương trình vi phân với hệ số hằng số 30
2.1.3. Phương trình vi phân với điều kiện biên 32
2.1.4. Phương trình vi phân với hệ số đa thức 33
2.2. Ứng dụng của phép biến đổi Laplace để giải một số hệ
phương trình vi phân với hệ số là hằng số 37

2.3. Giải phương trình tích phân 43
2.4. Giải phương trình sai phân 43
2.5. Giải phương trình đạo hàm riêng tuyến tính với hệ số bằng số 44
2.6. Giải phương trình vi tích phân 47
Bài tập tham khảo 49
ĐÁP ÁN 51
KẾT LUẬN 55
TÀI LIỆU THAM KHẢO 56
Phụ lục 57







1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Phép biến đổi Laplace là một trong các phép biến đổi tích phân có vai
trò quan trọng trong toán học nói chung và trong giải tích phức nói riêng. Nó
cùng với phép biến đổi Fourier là những phép biến đổi hữu ích thường được
sử dụng trong việc giải các bài toán phức tạp như giải phương trình vi phân,
phương trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân, phương trình vi tích phân…
Nghiên cứu cơ sở của phép biến đổi này người ta có thể biết được cơ sở
của phép tính toán tử để đưa các dạng phương trình trên về dạng đơn giản hơn.
Trong vật lý, phép biến đổi Laplace được dùng để giải các bài toán về
phân tích mạch điện, xử lý số liệu, dao động điều hoà, các hệ cơ học

Như vậy phép biến đổi Laplace không chỉ có ý nghĩa trong lý thuyết toán
học mà nó còn có nhiều ứng dụng trong các ngành khoa học khác.
Trên cơ sở đó và dưới sự hướng dẫn của Thạc sĩ Lê Khắc Quynh, em đã lựa
chọn đề tài “Ứng dụng phép biến đổi Laplace để giải một số bài toán
phương trình, hệ phương trình vi phân” nhằm nghiên cứu sâu hơn về phép
biến đổi này cũng như một số ứng dụng của nó trong thực tiễn.
2. Mục đích nghiên cứu
- Nghiên cứu hệ thống kiến thức cơ bản của phép biến đổi Laplace.
- Vận dụng phép biến đổi Laplace để giải một số dạng toán liên quan.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu về phép biến đổi Laplace và một số ứng dụng của nó.
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
Đề tài chủ yếu tập trung nghiên cứu phép biến đổi Laplace và một vài
ứng dụng của nó trên cơ sở thao tác đối với hàm một biến và một số lượng
nhỏ các hàm hai biến để tìm biến đổi Laplace, biến đổi Laplace ngược của


2

một số hàm số thông thường. Vận dụng phép biến đổi Laplace để giải một số
phương trình vi phân, phương trình sai phân, phương trình tích phân, phương
trình đạo hàm riêng
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lý thuyết.
- Phân tích đánh giá, tổng hợp kết quả.
6. Dự kiến đóng góp mới
Hiểu rõ bản chất của phép biến đổi Laplace và tìm được một vài ứng
dụng mới của phép biến đổi Laplace.

3

CHƢƠNG 1
PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE
1.1. Định nghĩa phép biến đổi Laplace
1.1.1 Định nghĩa
Cho
()ft
là hàm số xác định trên nửa khoảng
0;
. Nếu tích phân suy
rộng
0
()
st
e f t dt
(trong đó

s
là biến số phức) hội tụ thì nó được gọi là biến
đổi Laplace của
()ft
và được ký hiệu là
()L f t
.
Biến đổi Laplace của
()ft
là một hàm biến phức, kí hiệu là
()Fs
. Công
thức đầy đủ là
0
( ) ( ) ( )
st
F s L f t e f t dt
. (1.1)
Theo công thức trên, biến đổi Laplace của
()ft
là một tích phân suy
rộng nên biến đổi Laplace của
()ft
được viết dưới dạng khai triển như sau:

00
( ) ( ) ( ) lim ( ) .
T
st st
T

F s L f t e f t dt e f t dt
(1.2)
Cận dưới của tích phân bằng 0 nên
()Fs
chỉ mang thông tin về
()ft
với
0t
. Phép biến đổi Laplace biến mỗi hàm biến thực
()ft
thành một hàm biến
phức
0
( ) ( ) ( )
st
F s L f t e f t dt
.
Ví dụ 1. Tìm biến đổi Laplace của hàm hằng
1ft
, với mọi
0t

Lời giải:


0
00
1
( ) .1 lim .1 lim lim

st s
st st
ee
F s e dt e dt
s s s
(1.3)




4

Nếu
0s
thì tích phân trên sẽ phân kí nên không tồn tại biến đổi Laplace
xác định của hàm số đã cho.
Nếu s > 0 thì ta nhận được ngay
1
(1)L
s
, s > 0
Nếu s là biến phức với Re(s) >0 thì tương tự ta cũng có
1
(1)L
s
.
Thật vậy, trước tiên ta sử dụng công thức Euler

cos sin ,
i

e i R

và
1
i
e
(1.4)

Bây giờ ta cần chứng tỏ

st
st
e
e dt
s
(1.5)

Với số phức s = a + ib khác 0 tùy ý, theo công thức Euler ta có:
cos sin
a ib t
st at at
e dt e dt e bt dt i e bt dt
(1.6)
Sử dụng nguyên hàm từng phần ta nhận được:
-
-
22
- cos(- ) sin(- ) sin(- ) - cos(- )
at
st

e
e dt a bt b bt i a bt b bt
ab
(1.7)
Mặt khác ta cũng có:

-( )

22
[cos(- ) sin(- )]( - )
-
- -( )
a ib t
st at
e e e bt i bt a ib
s a ib
ab

-
22
- cos(- ) sin(- ) sin(- ) - cos(- )
at
e
a bt b bt i a bt b bt
ab

Từ đó suy ra đẳng thức (1.5) đã được chứng minh.
Hơn nữa, nếu lấy Re(s) > 0 thì ta có:
- - - -
1

lim lim . lim lim 0
s a ib a
at
e e e e
e

Khi đó ta cũng thu được đẳng thức (1.3).


5

Ví dụ 2. Tìm biến đổi Laplace của hàm sau
sinf t t

Lời giải:
Theo định nghĩa ta có
00
(sin ) sin lim sin
T
st st
T
L t e tdt e tdt

Áp dụng công thức tích phân từng phần ta có
-
2
-
2 2 2
0
(cos .sin )

(sin ) lim -
1
1 (cos .sin ) 1
lim
1 1 1
st
s
e t s t
Lt
s
es
s s s
với Re(s)> 0.
3. Tìm biến đổi Laplace của hàm sau
01
11
t khi t
ft
khi t

Lời giải:



0
( ) ( )
st
L f t e f t dt

1
1
0
01
1
lim
st st
st
te e
e dt
s s s


2
1
Re( ) 0
s
e
s
s
.
Ví dụ 4. Tìm biến đổi Laplace của các hàm
( ) sin , ( ) cos , 0, -
2
f t bt g t bt b b

Lời giải:


6

Ta có:

00
(sin ) sin lim sin
st st
L bt e btdt e bt dt

-
22
-
2 2 2 2
22
0
lim - .cos .sin
lim - .cos .sin

st
s
e
b bt s bt
sb
eb
b b s b
s b s b
b
sb


00

(cos ) cos lim cos
st st
L bt e btdt e bt dt

-
22
-
2 2 2 2
22
0
lim .sin - .cos

lim .sin - .cos


st
s
e
b bt s bt
sb
es
b b s b
s b s b
s
sb

1.1.2. Sự tồn tại của biến đổi Laplace
1.1.2.1 Đòi hỏi tính liên tục
Định nghĩa: Một hàm
f

được gọi là gián đoạn nhảy(gián đoạn loại một)
tại điểm
0
t
nếu cả hai giới hạn sau tồn tại và hữu hạn
0
0
lim
tt
f t f t
,
0
0
lim
tt
f t f t

Nhưng
00
f t f t

Ví dụ 5. Hàm
2
2
( 1) khi 0
()
2 khi 0
tt
ft
tt

.


7

Ví dụ 6.
2
2
khi 0
()
0 khi 0
t
et
ft
t

0t
.
Ví dụ 7. Hàm
1
12
ft
tt
có điểm gián đoạn tại
1t
và
2t

nhưng không là điểm gián đoạn nhảy tại đó vì:

12
11
lim - , lim
( - 1)( - 2) ( - 1)( - 2)
tt
t t t t

Định nghĩa: Một hàm
f
được gọi là liên tục từng khúc trên đoạn
0;
nếu thỏa mãn các điều kiện sau đây
a) Tồn tại giới hạn
0
lim 0
t
f t f

b)
f
liên tục trên mọi khoảng (0,b) trừ ra tại một số điểm hữu hạn
12
, , ,
n
t t t
trong
0,b
mà chúng là các điểm gián đoạn nhảy.
1.1.2.2 Sự hội tụ
,

, v
2
t
f t e

T :
2
00
lim lim
TT
st st t st
TT
e e dt e dt
,
T
.
.
Định nghĩa:
Tích phân (1.1) được goi là hội tụ tuyệt đối nếu tồn tại giới hạn
-
0
lim ( )
st
e f t dt



8

Nếu

L f t
hội tụ tuyệt đối, thì:
''
0,
TT
st st
TT
e f t dt e f t dt
khi
T
,
với mọi
'TT
. Từ đó suy ra rằng
L f t
cũng hội tụ theo nghĩa thông
thường.
.
Định nghĩa:
Tích phân (1.1) được goi là hội tụ đều đối với s trong một miền nào đó
của mặt phẳng phức nếu với mỗi
0
tồn tại số
0
T
sao cho với mọi
0
TT
ta có
st

T
e f t dt
, với mọi
s
.
1.1.3 Lớp L
Trong phần này ta sẽ chỉ ra một lớp lớn các hàm có biến đổi
Laplace.Trước tiên ta sẽ tìm hiểu khái niệm bậc mũ của một hàm.
Định nghĩa.
Một hàm
f
có bậc mũ nếu tồn tại hằng số
0M
và một số sao cho
.
t
f t M e
với một số
0
tt

Một số ví dụ: Hàm mũ
t
f t e
có bậc mũ λ = a,trong khi
n
f t t
i
0
n

.
sin ,costt
1
tan t
0.Tuy nhiên hàm
2
t
f t e
f

tt
ee

0t
.


9

.
Định lý: Nếu
f
liên tục từng khúc trên đoạn
[0, )
và có bậc mũ λ, thì
biến đổi Laplace của
f
tồn tại và hội tụ tuyệt đối với Re(s) > λ.
f
1

M
0
0t
sao cho
1
t
f t M e
0
tt
.
f
0;
2
M
sao cho
2
f t M
0
0;tt
.
t
e

0
0;t
M
t
f t Me
0t
.

0 0 0
T T T
x iy t
st xt iyt
e f t dt e f t dt e e f t dt


0
0
T
xt
T
xt
Me
M e dt
x


xT
M Me
xx
.
Cho
T
Re sx
ta suy ra

0

T
st
M
e f t dt
x
. (1.8)
Re s
.


10

8.
t
f t e
, với
0;
:
00
0
1
T
st
st
t st t
e
L e e e dt e dt
ss
.
Re s

Re Res
.
1.2. Các tính chất của phép biến đổi Laplace
1.2.1. Tính chất tuyến tính
Cho các hàm
k
f
có chỉ số mũ và biến đổi Laplace tương ứng là
k
và
k
F
;
k =1, 2, …, n. Khi đó biến đổi tuyến tính của hàm
1
n
kk
k
f t c f t
với c
k
là
các hằng số được xác định bởi:

1
( ) ( )
kk
n
k
F s c F s

(1.9)
Chứng minh:
Theo định nghĩa và tính chất tuyến tính của tích phân ta có

11
-
11
00
0
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
k k k k
k k k k
nn
st st
kk
nn
st
kk
F s L f t e c f t dt c e f t dt
c e f t dt c F s

với Res > max λ
k.
Ví dụ 9. Tìm biến đổi Laplace của hàm Hyperbolic

-
( ) sinh , ( ) cosh
22
at at at at

e e e e
f t at g t at

Lời giải:
Theo tính chất tuyến tính của biến đổi Laplace ta có


11

-
-
- 1 1 1 1
( ( )) ( ) - ( ) -
2 2 2 -
at at
at at
ee
L f t L L e L e
s a s a

-
-
1 1 1 1
( ( )) ( ) ( )
2 2 2 -
at at
at at
ee
L g t L L e L e
s a s a

Ví dụ 10. Tìm biến đổi Laplace của

3
2 sin4
t
f t t e t
.
Lời giải:
Ta có:
.
33
2 sin4 2 sin4
tt
L f t L t e t L t L e L t


22
2 1 4
3 16s s s
với
Re 3s
.
1.2.2. Tính chất đồng dạng
Cho hàm
f
có chỉ số mũ λ,
L f F

và hằng số c > 0. Khi đó
1
( ) , Re
s
L f ct F s
cc
(1.10)
Chứng minh:

Ta có:
-
0
( ) ( )
st
L f ct e f ct dt

Đặt
u ct
thì
1
,,
u
du cdt dt du t
cc
.
us
0
11
c
s

L f ct e f u du L
c c c
, với
Re s

Ví dụ 11. Tìm biến đổi Laplace của hàm sau
sinf t bt
, b > 0.


12

Lời giải:
Theo tính chất đồng dạng của biến đổi Laplace ta có:
1
sin
s
L bt F
bb
. Do
sinf t t

Mà
2
1
1
F s L f t
s
.
Từ đó ta suy ra

1 1 1
(sin ) .
2 2 2

1
sb
L bt F
b b b
sb
s
b
.
Tương tự ta có:
22
cos
b
L bt
sb

1.2.3. Tính chất dời theo s
Cho
F s L f t
với Re(s) > 0.
Khi đó ta có:
at
F s a L e f t
, với số thực a và Re(s) > a. (1.11)
Chứng minh:
Với
Re sa

ta có:
-( - )
-
00
( - ) ( ) ( ( )) ( ( ))
s a t
st at at
F s a e f t dt e e f t dt L e f t

Ví dụ 11. Tìm biến đổi Laplace của
,
at
f t te a
.
Lời giải:
Vì
2
1
L t F s
s
với
Re 0s
nên

2
1
()
()
at
L te F s a

sa
với
Resa
.



13

1.2.4. Tính chất dời theo t
Cho
,Re 0L f t F s s
. Với
0a

Ta có
as
a
L f t a u t e F s

Trong đó
1,
0,
at
khit a
u u t a
khit a


Cũng có thể viết dưới dạng ngược

1-
( ( )) ( ). ( - )
as
a
L e F s u t g t a
. (1.12)
Chứng minh:
Ta có

0
( - ) ( ) ( - ) ( ) ( - )
a
st st
a
a
L f t a u t e f t a u t dt e f t a dt

Đặt
– v t a
thì
t v a

- ( )
-
( - ) ( )
s v a
a
L f t a e f v dv

Do
f
là hàm gốc nên
0fv
khi v < 0. Vì vậy
- ( )
- - -

-
0
( - ) ( )
( ) ( )
s v a
vs as as
L f t a e f v dv
e f v dv e e F s

Trong thực tế ta thường gặp dạng sau đây
-
( ) ( ) ( )
a
as
L g t u t e L g t a
.
1.2.5. Tính chất về đạo hàm của gốc
Cho
( ) ( )L f t F s
, giả sử
()
()

k
ft
tồn tại và là hàm có biến đổi Laplace,
( 1)
(0 )
k
f
tồn tại với
1, ,kn
. Khi đó

( 1)
()
2
(0 ) '(0 ) (0 )
( ) ( ) .
n
nn
n
f f f
L f t s F s
s s s
(1.13)

Chứng minh:


14

Với

1n
ta có

0 0 0
'( ) '( ) ( ) ( ) ( )
0
st st st st
L f t e f t dt e df t e f t s e f t dt
t


( ) (0 )sF s f
.
Điều này nghĩa là (1.13) đúng với
1n
.
Giả sử (1.12) đúng với
*
nN
. Khi đó
( 1) ( )
( ) ( ') ( )
NN
L f t L f t


( 1)
2
'(0 ) ''(0 ) (0 )
'( )

N
N
N
f f f
s L f t
s s s
.
Theo trên ta có
'( ) ( ) (0 )L f t sF s f
nên suy ra

( 1)
( 1)
2
'(0 ) ''(0 ) (0 )
( ) ( ) (0 )
N
NN
N
f f f
L f t s sF s f
s s s


()
1
21
(0 ) '(0 ) (0 )
( )
N

N
N
f f f
s F s
s s s
.
Điều này nghĩa là (1.13) đúng với
1nN
. Theo nguyên lý quy nạp
toán học, (1.13) đúng với
*n
.
Ví dụ 12. Tìm biến đổi Laplace của
( ) cos ,f t at a
.
Lời giải:
Ta đã biết
22
sin
a
L at
sa
với
Re 0,sa
.
Nếu
0a
thì
22
1

[cos ] (sin )' . sin
ss
L at L at L at
a a s a
, với
Re 0s
.
Nếu
0a
thì
22
1
[cos ] [1]
s
L at L
s s a
, với
Re 0s
.
Vậy với mọi hằng số
a
, ta có
22
[cos ]
s
L at
sa
, với
Re 0s
.

15

1.2.6. Tính chất đạo hàm của ảnh
Cho
( ) ( )L f t F s
với
0
Res
. Khi đó ta có:

()
( ) ( ) ( ), ,
nn
L t f t F s n
0
Res
(1.14)
Chứng minh:
Với
1n
, ta nhận thấy hàm
( ) ( )
n
t f t
có cùng chỉ số tăng với
()ft
.
Hơn nữa

0
( ) ( )
st
F s e f t dt

00
'( ) ( ) [ ( )] ( )
st st
F s te f t dt e tf t dt L tf t
,
0
Res
.
Điều này nghĩa là (1.12) đúng với
1n
. Giả sử (1.12) đúng với
*
nN
,
Khi đó
1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
NN
L t f t L t t f t

( 1)
()
( ) ( ) ( ) '( ) ( )
N
N

L t f t s F s s

( 1) *
( ), ,
N
F s N
với
0
Res
.
Điều này chứng tỏ (1.12) đúng với
1nN
.
Theo nguyên lý quy nạp toán học, (1.12) đúng với
*n
.
Ví dụ 13. Tìm biến đổi Laplace của
( ) sinf t t at
và
2
( ) sinf t t at
, trong
đó
a
là hằng số.


Lời giải:
Ta có
2 2 2 2 2

2
sin ( )sin
()
d a sa
L t at L t at
ds s a s a
,


16

Suy ra
23
2
2 2 2 2 2 3
2 6 2
sin ( ) sin
( ) ( )
d sa s a a
L t at L t t at
ds s a s a
.
1.2.7. Tính chất tích phân gốc
Cho
()ft
liên tục và thỏa mãn
( ) ( )L f t F s
. Khi đó,
hàm
0

( ) ( )
t
g t f d
là nguyên hàm của
()ft
và
0
()
()
t
Fs
L f d
s
.
Chứng minh:
Vì
0
( ) ( )
t
g t f d
liên tục, do đó
()gt
đo được. Giả sử
()ft
có chỉ số
tăng
0
, khi đó với mọi
01
, ta có

00
| ( )| ( ) | ( )|
tt
g t f d f d


0 0 0
( ) ( ) ( )
1
0
0
0
t
t
t
M
M e d e M e
.
Vậy
()gt
là hàm gốc.
Do
0
( ) ( )
t
g t f d
nên
'( ) ( )g t f t
, nếu đặt

( ) [ ( )]G s L g t
thì

( ) [ ( )] [ '( )] ( )F s L f t L g t sG s
.
Do vậy
()
()
Fs
Gs
s
hay
0
()
()
t
Fs
L f d
s
.
Ví dụ 14. Tìm biến đổi Laplace của
0
sin
( ) ( )
t
u
f t Si t du
u
.
Lời giải:

Do
sin 1
arctan arctan
2
t
Ls
ts
nên ta có

0
sin 1 sin 1 1
( ) arctan
t
ut
L Si t L du L
u s t s s
với
Re 0s
.


17

1.2.8. Tính chất tích phân ảnh
Nếu
( ) ( )L f t F s
và
()ft
t
là hàm gốc thì

()
()
s
ft
L F u du
t
, trong đó
Re
( ) lim ( )
z
z
ss
F u du F u du
.
Chứng minh:
Đặt
()
( ) , ( ) [ ( )]
ft
g t G s L g t
t
.
Ta có
'( ) ( ) ( ) [ ( )] ( )G s L t g t L f t F s
nên
()Gs
là một nguyên
hàm của
()Fs

. Theo giả thiết
()gt
là hàm gốc nên
(Re ) ( Re 1)
00
| ( )| | ( )|
z t z t
G z e g t dt M e dt


( Re 1)
0
Re 1 Re 1
zt
e M M
M
t
zz
,
Trong đó
Re 1 0z
,

là chỉ số tăng của
g
. Từ đó suy ra
Re
lim ( ) 0
z
Gz

và
Re
( ) ( ) 0 ( ) lim ( ) ( )
z
s
G s G s G s G z F u du
,


( ) ( )
s
G s F u du
hay
()
()
s
ft
L F u du
t
.
Ví dụ 15. Tìm biến đổi Laplacecủa
sin
()
t
ft
t
.
Lời giải:
Ta đã biết rằng
2

1
( ) sin
1
F s L t
s
với
Re 0s
. Do đó


18


2
sin 1
arctan arctan
12
s
t du
Ls
t u s
với
Re 0s
.
1.2.9. Tính chất ảnh của tích chập
Định nghĩa tích chập. Cho hai hàm số
()ft
và
()gt
liên tục từng khúc.

Tích chập của
()ft
và
()gt
kí hiệu là
* ( )f g t
được định nghĩa là
* ( ) ( ) ( )f g t f g t d
(1.15)

Trường hợp đặc biệt, nếu
()ft
và
()gt
thoả mãn
( ) 0 0
( ) 0
f khi
g t khi t

Thì

0
* ( ) ( ) ( )
t
f g t f g t d
. (1.16)
Tích chập có tính chất giao hoán, nghĩa là
* ( ) * ( )f g t g f t
.

Thật vậy,
1 1 1
00
* ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
tt
f g t f g t d f t f d t

1 1 1
0
( ) ( ) * ( )
t
f t g d g f t
.
Định lý: Giả sử
( ) ( ), ( ) ( )L f t F s L g t G s
,
()ft
và
()gt
là các
hàm liên tục từng khúc trên một khoảng hữu hạn của . Nếu ta xem
()ft
và
()gt
xác định trên , triệt tiêu trên khoảng
( ;0)
thì

* ( ) ( ). ( )L f g t F s G s
. (1.17)

Chứng minh:

( ). ( ) ( ) ( )F s G s L f t L g t


12
1 1 2 2
00
( ) ( )
ss
f e d g e d



19


12
()
1 2 1 2
00
( ) ( )
s
e f g d d


12
()
1 2 1 2
( ) ( )

s
D
e f g d d
.
Ở đây D là góc phần tư thứ nhất trên mặt phẳng toạ độ. Thực hiện phép
đổi biến
12
t
,
2
thì miền D đổi thành miền D
1
bao bởi trục thực
dương và đường phân giác của góc phần tư thứ nhất. Khi đó ta có:

( ). ( )F s G s
1
( ) ( )
st
D
e f t f dtd


00
( ) ( )
t
st
e f t f d dt

* ( ) * ( )L g f t L f g t
.
1.3. Ảnh Laplace
1.3.1. Một số khái niệm
Định nghĩa: Nếu
L f t F s
thì biến đổi Laplace ngược được định
nghĩa bởi tích phân sau

1
L F s f t
(1.18)

Hàm
ft
được gọi là hàm gốc.
Một vấn đề đặt ra ở đây là có thể có hàm
g t f t
mà vẫn có
1
L F s g t
hay không ?
Bởi vì sự thay đổi của một hàm tại một hay một số hữu hạn điểm không
làm thay đổi giá trị của tích phân (Riemann).
Ví dụ trên cho ta thấy rằng
1
L f s
có thể có nhiều hơn một hàm, thậm
chí là vô hạn.
Bây giờ ta sẽ chỉ ra những điều kiện để tồn tại hàm gốc và chứng minh

rằng nếu hàm gốc tồn tại là duy nhất.


20

1.3.2. Định lý (Lerch)
Các hàm xác định liên tục trên
0;
có biến đổi Laplace ngược hoàn
toàn xác định.
Tính chất của biến đổi Laplace ngược (tính chất tuyến tính).
Cho các hàm
k
f
và các hàm ảnh tương ứng
k
Fs
,
k
c
là các hằng số, k
=1, 2, …, n. Khi đó

11
11
nn
k k k k
kk
L F s L c F s c f t
(1.19)

Tính chất này được suy ra từ tính chất tuyến tính của L và đẳng thức
được xác định trong miền xác đinh chung của các
k
F

1.3.3. Một số phương pháp tìm hàm gốc
a) Áp dụng một số tính chất của phép biến đổi Laplace
- Theo tính chất tuyến tính
Muốn tìm hàm gốc của biểu thức có dạng
11

kk
c F s c F s
ta chỉ
việc tìm hàm gốc của các
kk
F s L f t
.
Khi đó sẽ có
1 1 1 1

k k k k
c F s c F s L c f t c f t
, tức hàm
gốc cần tìm là
11
kk
c (t)+ +c (t)ff
.
Chẳng hạn muốn tìm hàm gốc của hàm

2
14
( )
4
Fs
s
s

Ta tìm tìm hàm gốc của các hàm
1
s
và hàm
2
4
4s
. Khi đó ta sẽ có hàm
gốc cần tìm là
1 1 1
2
14
1 2sin
4
f t L F s L L t
ss

- Theo tính chất đồng dạng.