Ứng dụng đường tròn lượng giác để giải một số bài toán dao động điều hòa

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC
TRƯỜNG THPT TAM ĐẢO

CHUYÊN ĐỀ
ÔN THI ĐẠI HỌC - CAO ĐẲNG MÔN VẬT LÍ
TÊN CHUYÊN ĐỀ
ỨNG DỤNG ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GIÁC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN
DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

Giáo viên: Lê Văn Tuệ
Tổ: Lí - Hóa - Sinh
Tam Đảo, tháng 03/2014
1
CHUYÊN ĐỀ
ÔN THI ĐẠI HỌC - CAO ĐẲNG MÔN VẬT LÍ LỚP 12
TÊN CHUYÊN ĐỀ
ỨNG DỤNG ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GIÁC
ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
I. Giáo viên: Lê Văn Tuệ
II. Đối tượng học sinh bồi dưỡng: lớp 12
Dự kiến số tiết bồi dưỡng: 4tiết
III. Hệ thống kiến thức sử dụng trong chuyên đề :
1.Dao động điều hòa
1.1. Phương trình động lực học của dao động và nghiệm của nó
Dao động cơ học là chuyển động qua lại quanh vị trí cân bằng.
Xét dao động của vật nặng (m) gắn với một lò xo có độ cứng k.
- Phương trình động lực học của vật :
2
'' 0x x
ω
+ =

với
2
k
m
ω
=
- Nghiệm của phương trình
2
'' 0x x
ω
+ =
có dạng
os( )x Ac t
ω ϕ
= +
trong đó A, ω, ϕ là
những hằng số, gọi là phương trình dao động.
1.2. Các đại lượng đặc trưng của dao động điều hòa
•
x là li độ là tọa độ của vật tính từ VTCB.
•
A là biên độ dao động, A > 0 và
axm
x A
=
.
•

+
t

ω ϕ
là pha dao động tại thời điểm t.
•

ϕ
là pha ban đầu,tức là pha
t
ω ϕ
+
tại thời điểm
0t
=
.
•

ω
là tần số góc của dao động,đơn vị là rad/s
1.3. Chu kỳ và tần số của dao động điều hòa
- Chu kỳ T là khoảng thời gian vật thực hiện được một dao động toàn phần
1t
T
N f
= =
(s)
với t là khoảng thời gian vật thực hiện được N dao động.
- Tấn số f là số dao động vật thực hiện được trong 1 giây:
1
f
T
=

(Hz).
1.4. Vận tốc và gia tốc trong dao động điều hòa
- Vận tốc
' sin( ) os( )
2
v x A t Ac t
π
ω ω ϕ ω ω ϕ
= = − + = + +
.
+ Khi
0x A v
= ± → =
tại 2 vị trí biên .
2
+ Khi
max
0x v A
ω
= → =
tại VTCB.
+ Vận tốc nhanh pha hơn li độ 1 lượng
2
π
.
- Gia tốc
2 2
os( ) os( )a Ac t Ac t
ω ω ϕ ω ω ϕ π
= − + = + +

và
2
a x
ω
= −
.
+ Gia tốc nhanh pha hơn vận tốc 1 lượng
2
π
.
+ Gia tốc ngược chiều với li độ và có độ lớn tỉ lệ với li độ.
+ Khi ở 2 biên
x A
= ±
⇒
2
max
a A
ω
=
.
+ Khi ở VTCB
0x
=
thì
0a
=
.
1.5. Điều kiện ban đầu sự kích thích dao động
Xét một vật dao động là con lắc lò xo.Kích thích vật bằng cách đưa nó ra khỏi vị trí cân

bằng một đoạn x
o
rồi thả tự do ( v
o
= 0 )
Nếu chọn gốc thời gian t = 0 thì lúc thả vật tự do ở li độ x
o
ta có điều kiện ban đầu sau :
( 0)
o
x t x
= =
và
( 0) 0v t
= =
ta có:
( 0) os
0,
( 0) sin 0
o
o
x t Ac x
A x
v t A
ϕ
ϕ
ω ϕ
= = =

⇒ = =


= = − =

Vậy phương trình dao động của dao động điều hòa là :
os
o
x x c t
ω
=
.
2. Hệ dao động
- Hệ dao động là hệ gồm vật dao động và vật tác dụng lực kéo về (lực phục hồi) gây nên dao
động
- Dao động của hệ xảy ra chỉ do tác dụng của nội lực gọi là dao động tự do. Một vật hay một
hệ dao động tự do theo một tần số góc xác định là tần số góc riêng của vật hay hệ đó.
3. Năng lượng trong dao động điều hòa
3.1. Sự bảo toàn cơ năng
Trong các con lắc mà ta xét ở chương này thì vật nặng chịu tác dụng của lực đàn hồi (
xF k= −
) hoặc trọng lực (
P mg=
) là các lực thế,do đó cơ năng của vật dao động được bảo toàn.
3.2. Biểu thức của động năng,thế năng,cơ năng
Xét con lắc lò xo dao động theo phương trình: x =
os( t+ )Ac
ω ϕ
.
•
Động năng của vật W
đ

=
2
1
2
mv
(J)
+ Động năng của vật tỉ lệ thuận với vận tốc
3
Biểu thức của động năng W
đ
=
2 2 2
1
sin ( )
2
m A t
ω ω ϕ
+
•
Thế năng của vật W
t
=
2
1
2
kx
(J)
+ Thế năng của vật tỉ lệ với li độ
Biểu thức của thế năng W
t

=
2 2
1
os ( )
2
kA c t
ω ϕ
+
.
•
Cơ năng của vật bằng tổng của động năng và thế năng của vật
W = W
t
+ W
đ
=
2
1
2
kx
+
2
1
2
mv
=
2
1
2
kA

=
2 2
1
2
m A
ω
( J).
Chú ý rằng :
2
k m
ω
=
, Cơ năng tỷ lệ với bình phương biên độ dao động A.
4. Tổng hợp dao động
4.1. Tổng hợp hai dao động cùng phương,cùng tần số
Phương trình dao động :
1 1 1
os( t+ )x Ac
ω ϕ
=
,
2 2 2
os( t+ )x A c
ω ϕ
=
.
1 2
os( t+ )x x x Ac
ω ϕ
⇒ = + =

trong đó :
Biện độ xác định là :
2 2
1 2 1 2 2 1
2 cos( )A A A A A
ϕ ϕ
⇒ = + + −
Pha ban đầu được xác định :
1 1 2 2
1 2 2 2
sin sin
tan
cos cos
A A
A A
φ φ
ϕ
φ φ
+
=
+
* Nếu hai dao động thành phần:
- Cùng pha:
1 2
2n A A A
ϕ π
∆ = ⇒ = +
và
1
ϕ ϕ

=
hoặc
2
ϕ ϕ
=
- Ngược pha:
1 2
(2 1)n A A A
ϕ π
∆ = + ⇒ = −
và
1
ϕ ϕ
=
(nếu A
1
> A
2
),
2
ϕ ϕ
=
(nếu A
1
< A
2
) .
- Vuông pha:
(2 1)
2

n
π
ϕ
∆ = +

2 2
1 2
A A A⇒ = +
4
- Lệch pha bất kỳ:
21
AA
−
< A <
21
AA
+
5. Mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều,biểu diễn dao động điều
hòa bằng vectơ quay. Phương pháp đường tròn lượng giác.
5.1. Chuyển động tròn đều và các đại lượng đặc trưng
* Chuyển động tròn đều là : “chuyển động chất điểm đi được những cung tròn bằng nhau
trong những khoảng thời gian bằng nhau.”
* Các đại lượng đặc trưng của chuyển động tròn đều :
+ Chu kỳ T là khoảng thời gian chất điểm đi hết một vòng trên đường tròn
+ Tần số f là số vòng chất điểm quay được trong một đơn vị thời gian
+ Liên hệ giữa chu kỳ và tần số
1
T
f
=

+ Tốc độ góc của chuyển động tròn đều : Tốc độ góc
ω
là góc quay được
t
ϕ
ω
∆
=
∆
. Đơn
vị là rad/s.
5.2. Sự tương giao giữa một dao động điều hòa và chuyển động tròn đều
Một dao động điều hòa có dạng
os( )x Ac t
ω ϕ
= +
có thể được điểu diễn tương ứng với một
chuyển động tròn đều có:
- Bán kính của đường tròn bằng với biên độ dao động: R = A
- Vị trí ban đầu của vật trên đường tròn hợp với chiều dương trục ox một góc
ϕ
.
- Tốc độ quay của vật trên đường tròn bằng và Chiều quay của vật ngược chiều kim đồng hồ
⇒
"Một dao động điều hòa có thể được coi như hình chiếu của một vật chuyển động tròn đều
nằm trong mặt phẳng quỹ đạo”.
Ta có hình vẽ biểu diễn một dao động điều hòa
os( )x Ac t
ω ϕ
= +

như sau :

- Độ dài đại số của hình chiếu trên trục x của vectơ
OM
uuuur
chính là li độ x của dao động.
5
x
M
O
A
A
−
( )
−
( )
+
ϕ
P
- Khi véc tơ
OM
uuuur
quay đều với tốc độ góc
ω
quanh điểm O thì hình chiếu P của điểm M dao
động điều hòa trên trục ox thuộc mặt phẳng quỹ đạo của M với li độ bằng tọa độ hình chiếu của
M,biên độ bằng độ dài vectơ
OM
uuuur
,tốc độ góc đúng bằng tần số góc

ω
và pha ban đầu
ϕ
bằng góc
xOM tại thời điểm ban đầu
0t
=
.
6.Các dạng bài tập liên quan tới DĐĐH của con lắc lò xo
Các công thức tổng quát,các đại lượng đặc trưng
+ Tần số góc
k
m
ω
=
rad/s.
+ Chu kỳ
2
m
T
k
π
=
s.
+ Tần số
1
2
k
f
m

π
=
Hz.
** Chiều dài của lò xo:
- Nếu lò xo nằm ngang
+ Chiều dài lò xo tại VTCB :
cb o
l l=
,
o
l
là chiều dại tự nhiên của lò xo
+ Chiều dài lớn nhất của lò xo :
axm cb
l l A= +
+ Chiều dài nhỏ nhất của lò xo :
min cb
l l A= −
- Nếu lò xo treo thẳng đứng :
+ Lò xo sẽ bị giãn một đoạn
mg
l
k
∆ =
(m).
+ Chiều dài lò xo tại VTCB là :
cb o
l l l= + ∆
.
+ Chiều dài lớn nhất của lò xo là :

axm cb o
l l A l l A= + = + ∆ +
.
+ Chiều dài nhỏ nhất của lò xo là :
min cb o
l l A l l A= − = + ∆ −
.
** Lực đàn hồi
+ Con lắc lò xo nằm ngang :
dh
xF k=
.
- Tại VTCB lò xo không biến dạng
dh
0F =
.
- Tại vị trí biên li độ của vật đạt giá trị cực đại :
ax
A
m
dh
F K=
(N)
+ Con lắc lò xo treo thẳng đứng
( )+ ↓
- Tại vị trí x bất kỳ :
dh
( )F k l x= ∆ +
.
- Lực đàn hồi đạt giá trị cực đại tại vị trí thấp nhất

ax
( )
m
dh
x A F k l A= ⇒ = ∆ +
- Lực đàn hồi đạt giá trị cực tiểu tại vị trí cao nhất
min
( )
dh
x A F k l A= − ⇒ = ∆ −
6
Chú ý vì giá trị của
dh
0F ≥
nên
l A∆ ≤
thì
min
dh
0F =
.
** Lực phục hồi
+
ph
xF k= −
luôn hướng về vị trí cân bằng.
+ Độ lớn
2
ph
F k x m x

ω
= =
(N)
+ Tại VTCB
ph
0 0x F= ⇒ =
.
+ Tại vị trí biên li độ của vật đạt giá trị cực đại :
ax
2
A
m
ph
F m A K
ω
= =
(N)
** Cơ năng của con lắc lò xo
+
2 2 2 2 2
1 1 1 1
W W W mv kA
2 2 2 2
d t
kx m A
ω
= + = + = =
(J).
+ Giả sử
2 2

1 1 1
W W W W ( 1) ( 1)
2 2 1
d t t
n n kA kx n x A
n
= ⇒ = + ⇔ = + ⇔ = ±
+
+ Cơ năng của con lắc lò xo tỉ lệ với bình phương biên độ dao động và luôn là một hằng số.
+ Động năng và thế năng của vật biến thiên tuần hoàn theo thời gian với chu kỳ là
' , ' 2 , ' 2
2
T
T f f
ω ω
= = =
+ Ta sẽ vận dụng mối liên hệ giữa DĐĐH và chuyển động tròn đều để giải 1 số dạng bài tập của
con lắc lò xo như :
- Viết phương trình dao động,
- Tính thời gian,chu kỳ,tần số,tần số góc
- Tính các đại lượng đặc trưng như độ cứng k,khối lượng m
- Các bài toán thời gian liên quan tới các lực.
** *Bài toán xác định thời gian lò xo nén,thời gian lò xo giãn trong một chu kỳ dao
động.
-Ban đầu lò xo có chiều dài tự nhiên
o
l
- Sau khi treo quả nặng lò xo giãn ra 1 đoạn
mg
l

k
∆ =
.
7
A
−
A
−
O
A
O
x
x
l
∆
l
∆
ãngi
ãngi
A
énn
ình ( )h a A l
< ∆
ình ( )h b A l
> ∆
- Thời gian lò xo nén trong một chu kỳ chính là thời gian vật đi từ vị trí có li độ
x l
= −∆
đến
x A

= −
rồi quay lại
x l
= −∆
nghĩa là thời gian
( )l A l−∆ → − → −∆
.
- Thời gian lò xo giãn trong một chu kỳ chính là thời gian vật đi từ vị trí có li độ
x l
= −∆
đến
x A
=

rồi quay lại
x l
= −∆
nghĩa là thời gian
( )l A l−∆ → → −∆
.
+ Từ hình vẽ trên : Thời gian lò xo nén trong 1 chu kỳ là thời gian vật quay được góc
2
α
.Ta có
én
2
n
t
α
ω

=
với
os
l
c
A
α
∆
=
.
+ Thời gian lò xo giãn trong 1 chu kỳ là thời gian vật quét được góc
1
2
α π
+
Ta có :
1
ãn
2
gi
t
α π
ω
+
=
với
1
sin
l
A

α
∆
=
hoặc
ãn éngi n
t T t= −
.
IV. Hệ thống các dạng bài tập thường gặp
1.Bài toán về viết phương trình dao động điều hòa
2.Bài toán tính thời gian vật đi từ vị trí
1
x
đến vị trí
2
x
.
3.Bài toán xác định quãng đường vật đi được trong thời gian t
4.Bài toán tính quãng đường lớn nhất,nhỏ nhất vật đi được trong thời gian t.
5.Bài toán xác định số lần,thời điểm vật đi qua vị trí x sau thời gian t
6.Xác định thời điểm của vật khi đã đi qua vị trí x,N lần.
7.Bài toán xác định tốc độ trung bình của vật khi vật đi từ vị trí
1 2
x x→
8.Các dạng bài tập liên quan tới DĐĐH của con lắc lò xo
V. Hệ thống các bài tập cụ thể minh họa:
1.Dao động điều hòa
1.1.Bài toán về viết phương trình dao động điều hòa
1.1.1.Phương pháp giải
+ Bước 1 : Chọn hệ quy chiếu biểu diễn dao động điều hòa
- Xác định trục tọa độ: Có phương là phương dao động,gốc là VTCB O của vật,chiều dương

trùng với chiều ox,chiều âm hướng ngược lại.
8
x
O
A
A
−
2
M
1
M
l
−∆
2
α
énn
x
O
A
A
−
ãngi
1
M
l
−∆
π
1
α
1

α
1
α
2
M
- Xác định gốc thời gian
0t
=
,nếu đề bài không cho thì thường chọn gốc thời gian là lúc bắt
đầu dao động.Nếu không xác định được thời điểm vật bắt đầu dao động thì chọn thời điểm
ban đầu là lúc vật đi qua VTCB theo chiều dương.
- Biểu diễn dao động điều hòa : Vẽ đường tròn lượng giác biểu diễn các giữ kiện của đầu bài
lên đường tròn lượng giác như : vận tốc,li độ ban đầu…
+ Bước 2 : Viết phương trình dao động
os( )x Ac t
ω ϕ
= +
(1)
+ Bước 3 : Dựa vào các điều kiện của bài toán đã
cho và các công thức liên quan để tim ra các giá trị
cụ thể của
, ,A
ω ϕ
rồi thay vào (1)
- Xác định
2
2
k
f
m T

π
ω π
= = =
- Xác định biên độ :
2 2 2
ax
2
ax
2 4 2
m
m
a
v
v a v
A x
ω ω ω ω ω
= = = + = +
Ngoài ra ta còn có thể tính
A
theo các đại lượng khác.
- Xác định
ϕ
:
Góc
ϕ
là góc hợp bởi
( và ) và là góc xOMOx OM
uur uuuur
Từ hình vẽ ta xác định
ϕ

theo chiều ban đầu.
⇒
Cuối cùng ta thay các giá trị của
, ,A
ω ϕ
vào phương trình (1).
1.1.2.Ví dụ minh họa
1. Hãy biểu diễn các PTDĐ sau trên đường tròn lượng giác
a.
10 os(2 )x c t
π
=
cm.
b.
5 os( )
2 2
x c t
π π
= −
cm.
HD:
a.
10 os(2 )x c t
π
=
cm. Ta vẽ đường tròn xác định
+ Biên độ
10A
=
cm.

+ Vì
0 OM
ϕ
= ⇒
uuuur
song song
với
Ox
uur
⇒
ban đầu tại thời điểm
0t
=
vật đang ở vị trí biên dương
10x A
= =
cm.
9
x
M
O
A
A
−
( )
−
( )+
ϕ
o
x

x
M
O
10
10
−
( )
−
( )
+
0
ϕ
=
0t
=
b.
5 os( )
2 2
x c t
π π
= −
cm.
Ta vẽ đường tròn xác định
+ Biên độ
5A
=
cm.
+ Vì
2
OM

π
ϕ
= − ⇒
uuuur
Vuông góc
với
Ox
uur
⇒
ban đầu tại thời điểm
0t
=
vật đang ở VTCB
0x
=
cm và đang chuyển động theo
chiều dương.
2. Một lò xo có độ cứng K = 50 N/m đặt nằm ngang, một đầu cố định vào tường, đầu còn lại gắn
vật khối lượng m = 500g. Kéo vật ra khỏi vị trí cân bằng một khoảng x =
3
cm và truyền cho vật
một vận tốc v = 10 cm/s theo chiều dương. Viết phương trình dao động của vật.
HD :
Tần số góc của dao động điều hòa: +
10r d /
k
a s
m
ω
= =

.
Biên độ dao động của vật được tính bởi công thức:

+
2 2
2
2
2 2
10
3 2
10
v
A x cm
ω
= + = + =
.
Từ hình vẽ ta có: Có hai vị trí trên đuờng tròn, mà ở đó đều có vị trí x =
3
cos
ϕ
3
2
=

ϕ
⇒ =
6
π
−
rad hoặc

ϕ
6
π
=
rad. Trên hình tròn thì vị trí B có
ϕ
=
6
π
−
tương ứng với
trường hợp (1) vật dao động đi theo chiều dương, còn vị trí C có
ϕ
6
π
=
ứng với trường hợp (2) vật
dao động đang đi theo chiều âm. Như vậy vị trí B là phù hợp với yêu cầu của đề bài.
Ta chọn
6
π
ϕ
= −
(rad).Vậy nghiệm của bài toán là
2cos(10 )
6
x t
π
= −
(cm).

3. (ĐH – 2011).Một chất điểm dao động điều hòa trên trục ox,trong thời gian
31,4s
chất điểm thực
hiện được
100
dao động toàn phần.Gốc thời gian là lúc chất điểm đi qua vị trí
2x cm
=
theo chiều
âm với tốc độ là .
40 3 /cm s
,lấy .
3,14
π
=
.Phương trình dao động của chất điểm là:
A.
6cos(20 )
6
x t
π
= −
cm B.
4cos(20 )
3
x t
π
= +
cm
C.

4cos(20 )
3
x t
π
= −
cm D.
6cos(20 )
6
x t
π
= +
cm
HD:
+
31,4
0,314( )
100
t
T s
N
∆
= = =
2 2
20
0,314T
π π
ω
⇒ = = =
(rad/s).
10

A
−
A
O
1
M
2
M
3
π
ϕ
=
( )
−
( )
+
x
M
O
5
5−
( )
−
( )
+
2
π
ϕ
= −
0t

=
2
O
x
B
C
( )
→ +
2
−
3
ϕ
+ Biên độ : A
2
= x
2
+
2
2
ω
v

2
2
2
(40 3)
2 16
20
= + =

⇒
4A =
(cm)
+ Tại thời điểm ban đầu t = 0 có x = 2 cm,v =
40 3−
cm/s vật chuyển động theo chiều âm,ta có
hình vẽ :
Từ hình vẽ thấy:
2 1
os
4 2
x
c
A
ϕ
= = =

3
π
ϕ
⇒ =
rad hoặc
3
π
ϕ
= −
rad
Trên đường tròn có 2 vị trí thỏa mãn nhưng vì vật chuyển động theo chiều(-) nên từ hình vẽ
3
π

ϕ
⇒ =
là thỏa mãn. Vậy ptdđ của vật là :
4cos(20 )
3
x t
π
= +
cm
⇒
đáp án B.
4. Một vật dao động điều hòa với tần số là 2hz,biết rằng khi vật đi qua VTCB thì có tốc độ là
16
π
cm/s.Chọn gốc thời gian là lúc chất điểm đi qua vị trí có li độ x =
2 2
cm và vận tốc đang có giá trị
dương.Phương trình dao động của vật là.
A.
2 os(4 )
6
x c t
π
π
= +
cm B.
4 os(4 )
4
x c t
π

π
= −
cm
C.
4 os(4 )
4
x c t
π
π
= +
cm D.
4 os(4 )
6
x c t
π
π
= −
cm
HD:
+
2 4f
ω π π
= =
(rad/s)
+ Khi vật đi qua VTCB thì tốc độ của vật đạt giá trị cực đại
max
v A
ω
=
⇒

ax
16
4
4
m
v
A
π
ω π
= = =
cm.
+ Tại thời điểm ban đầu
0t
=
ta có
2 2x =
cm,và
v
>0,vật chuyển động theo chiều dương,ta có
hình vẽ sau:
- Từ hình vẽ ta thấy
2 2 2
os
4 2
x
c
A
ϕ
= = =
4

π
ϕ
⇒ =
hoặc
4
π
ϕ
⇒ = −
Trên đường tròn có 2 vị trí
thỏa mãn,vì vật chuyển động theo chiều (+) nên ta chọn
4
π
ϕ
= −
là thỏa mãn.
Vậy ptdđ của vật là :
4 os(4 )
4
x c t
π
π
= −

⇒
đáp án B.
**Chú ý :
Khi làm bài trắc nghiệm tại thời điểm t=0 thì vận tốc :
sin 0v A
ω ϕ
= − <

+ Nếu vật chuyển động theo chiều (+) thì
0 sin 0 0v
ϕ ϕ
< ⇒ < ⇒ <
.
+ Nếu vật chuyển động theo chiều (-) thì
0 sin 0 0v
ϕ ϕ
< ⇒ > ⇒ >
.
+ Khi làm bài trắc nghiệm,nên đọc kỹ đề bài,xem xét 4 đáp án,nếu thấy ở 4 đáp án có các dữ kiện
cần tính giống nhau thì ta không cần tính dữ kiện đó nữa,mà lấy luôn dữ kiện đó để tính toán
tiếp.chú ý từng tính chất,ý nghĩa của từng khái niệm,định nghĩa thì sẽ rút ngắn được thời gian làm
bài.
11
2
M
O
1
M
2 2
( )
−
( )
+
4
−
4
ϕ
ϕ

x
- Như ví dụ 3(ĐH – 2011). Ta thấy :
+ 4 đáp án có cùng
20
ω
=
rad/s
⇒
20
ω
=
rad/s
+ Vật chuyển động theo chiều (-)
0
ϕ
⇒ >
⇒
loại A và B.
+ Ta nhận thấy A
C
khác A
D
sử dụng công thức độc lập với thời gian tìm được
4A =
cm
⇒
nhận
phương án C mà không cần tìm
ϕ
.Hoặc thấy vì

C
ϕ
khác
D
ϕ
,ta sử dụng đường tròn lượng giác ta tìm
được
3
π
ϕ
=
⇒
nhận phương án C mà không cần tìm biên độ A.
1.1.3.Vận dụng.
1. Một vật dao động điều hòa trên một đoạn thẳng dài 10 cm,trong 20(s) đầu tiên vật thực hiện được
10 dao động.Viết PTDĐ của vật tại vị trí vật có li độ
2,5x cm=
và đang có vận tốc âm.
2. Một vật dđđh có chu kỳ là 4(s),biên độ là 5cm. Viết ptdđ của vật khi:
a.Vật ở vị trí có gia tốc cực tiểu và có vận tốc dương.
b.Vật có vận tốc cực đại và có giá trị âm.
3. Một vật dao động điều hòa có vận tốc cực đại và gia tốc cực đại lần lượt là
10 ( / )cm s
π
và
2 2
20 ( / )cm s
π
.Chọn gốc thời gian là lúc vật qua vị trí có li độ
2,5 2x =

cm và đang chuyển động
nhanh dần.
4. Vật dao động điều hòa với biên độ là 10cm,chu kỳ là 2s.Chọn gốc thời gian là lúc vật qua vị trí
có vận tốc dương và có giá trị bằng một nửa vận tốc tại vtcb,biết rằng vật đang chuyển động chậm
dần.Viết ptdđ của vật trên.
ĐS: 1.
5 os( )
3
x c t
π
π
= +
cm
2.a. Vật có gia tốc cực tiểu
0 0v
ϕ
> ⇒ <
4 os( )
2 2
x c t
π π
⇒ = −
cm.
b.
ax
0 0 à 0
m
v x v
ϕ
< ⇒ = >

suy ra
4 os( )
2 2
x c t
π π
⇒ = +
cm.
3.
ax
ax
m
m
a
v
ω
=
và
axm
v
A
ω
=
,ban đầu
2,5 2x =
cm động nhanh dần
⇒
vật hướng về vị trí cân
bằng O
⇒
vật chuyển động theo chiều âm

0
ϕ
⇒ >
5 os(2 )
8
x c t
π
π
⇒ = +
cm.
4. Biến đổi từ biểu thức của x và v ta có biểu thức
+
2 2
2 2
ax
1
m
x v
A v
+ =
,
ax
1
2
m
v v=
3
2
A
x⇒ = ±

+
0 0v
ϕ
> ⇒ <
,vật chuyển động chậm dần
3
5 3
2
A
x⇒ = =
cm
10 os( )
6
x c t
π
π
⇒ = −
cm.
1.2.Bài toán tính thời gian vật đi từ vị trí
1
x
đến vị trí
2
x
.
1.2.1.Phương pháp giải.
12
+ Bước 1: chọn hệ quy chiếu,biểu diễn các vị trí
1
x

và
2
x
trên đường tròn lượng giác
- Chọn chiều (+) trùng chiều với trục ox.
- Xác định vị trí,thời điểm ban đầu của vật và biểu diễn
1
x
và
2
x
,xác định chiều chuyển
động từ
1
x
đến
2
x
.
+ Bước 2: Xác định góc quét
ϕ
chắn cung vật đi được từ
1
x
đến
2
x
.
+ Bước 3: Thời gian quét cung vật đi được từ
1

x
đến
2
x
chính là thời gian vật đi được từ
1
x
đến
2
x
,
áp dụng công thức :
.
2
t T
ϕ ϕ
ω π
= =
(s).
1.2.2.Ví dụ minh họa
1. Một vật dđđh có phương trình
4 os(2 )
2
x c t
π
π
= −
cm.
Tính thời gian vật đi từ vị trí ban đầu tới vị trí
a.

2x
=
cm
b.
2 3x =
cm
c.
4x =
cm
HD:
+ ta thấy
2
π
ϕ
= −
⇒
véctơ
OM
uuuur
vuông góc với
ox
uur
và vật đang chuyển động theo chiều (+),vậy ban
đầu vật đang ở vị trí cân bằng O và đang chuyển động theo chiều dương.
a.Thời gian vật đi từ vị trí cân bằng
0 2x x cm
= → =
theo chiều (+).
Thời gian cần tính là thời gian vật đi được từ điểm
1

M
tới điểm
2
M
Từ hình vẽ góc chắn cung
1
M
2
M
là
ϕ
∆
ta có :
2 1
sin
4 2 6
π
ϕ ϕ
∆ = = ⇒ =
(rad). ADCT:
1
6.2 12
t
ϕ π
ω π
∆
∆ = = =
(s)
b.Thời gian vật đi từ
0x

=
tới
2 3x =
theo chiều (+)
Thời gian cần tính là thời gian vật đi được từ điểm
1
M
tới điểm
3
M
,
Từ hình vẽ dưới ta có :
2 3 3
sin
4 2 3
π
ϕ ϕ
∆ = = ⇒ ∆ =
(rad)
có :
1
3.2 6
t
ϕ π
ω π
∆
∆ = = =
(s).
c. Thời gian vật đi từ
0x =

tới
4x =
theo chiều (+).
Ta có hình vẽ như trên:(hình câu b)
Thời gian cần tính là thời gian vật đi được từ điểm
1
M
tới điểm
4
M
,
từ hình vẽ ta thấy:
1
OM
uuuur
vuông góc với
4
OM
uuuuur
⇒
2
π
ϕ
∆ =
(rad) có :
1
2.2 4
t
ϕ π
ω π

∆
∆ = = =
(s).
2. Một vật dao động có phương trình :
os( )x Ac t
ω ϕ
= +
.Tính thời gian
a.Vật đi từ vị trí
0x
=
theo chiều (+) tới vị trí
x A
= −
.
13
x
O
A
A
−
( )
−
( )
+
ϕ
∆
1
x
1

M
2
M
2
x
x
1
M
O
( )
−
( )
+
ϕ
4
−
4
2
2
M
x
1
M
O
( )
−
( )
+
ϕ
4

−
4
2 3
3
M
ϕ
4
M
b.Vật đi từ vị trí
3
2
A
x = −
đến vị trí
2
A
x =
theo chiều (+).
HD:
a.Ta biểu diễn các dữ kiện lên hình vẽ :
Thời gian cần tính là thời gian vật quét cung
1 2
M AM
và bằng thời gian vật đi từ
0x x A x A= → = → = −
Từ hình vẽ bên ta có: Góc chắn cung
1 2
M AM
là :
3

2 2
π π
ϕ π
∆ = + =
(rad).
⇒
3 3
. .
2 2.2 4
T
t T T
ϕ ϕ π
ω π π
∆ ∆
∆ = = = =
.
Cách 2: Ta có thể chia bài toán làm 2 giai đoạn tính riêng biệt từng phần sau đó cộng 2 kết quả lại với
nhau.
Thời gian vật đi từ
0x x A= → =
là
1
. .
2 2.2 4
T
t T T
ϕ π
π π
∆
∆ = = =

Thời gian vật đi từ
x A x A= → = −
là
2
. .
2 2 2
T
t T T
ϕ π
π π
∆
∆ = = =
Thời gian cần tính là
1 2
3
4 2 4
T T T
t t t∆ = ∆ + ∆ = + =
.
b. Thời gian vật đi từ vị trí
1
3
2
A
x = −
đến vị trí
2
2
A
x =

theo chiều (+).
- Thời gian cần tính là thời gian vật đi từ
1
3
0
2 2
A A
x x x
= − → = → =
.
Ta có hình vẽ bên:+
1
1 1
3
in
2 3
x
s
A
π
ϕ ϕ
= = ⇒ =
(rad)
+
2
2 2
1
in
2 6
x

s
A
π
ϕ ϕ
= = ⇒ =
(rad)
1 2
3 6 2
π π π
ϕ ϕ ϕ
⇒ ∆ = + = + =
(rad)
. .
2 2.2 4
T
t T T
ϕ π
π π
∆
⇒ ∆ = = =
.
VD3(ĐH – 2008).Một vật dđđh có biên độ là A,chu kỳ T,chọn gốc thời gian lúc
0t =
là lúc vật qua
VTCB thì trong nửa chu kỳ đầu tiên vận tốc của vật bằng không ở thời điểm:
A.
6
T
B.
4

T
C.
8
T
D.
2
T
HD: Giả sử tại
0t =
vật ở VTCB
0x
=
và đang chuyển động theo chiều dương như hình vẽ :
Trong nửa chu kỳ đầu tiên vật quét cung
1 2
M AM
,
0v
=
lần đầu tiên tại vị trí
Biên dương
x A
=
.Thời điểm cần tính là thời gian vật đi từ vị trí
0x x A
= → =
theo
chiều dương. Từ hình vẽ có:
2 2 4
T

t T
π ϕ
ϕ
π
∆
∆ = ⇒ = =
14
A
1
M
x
A
−
( )
+
2
M
O
( )
−
π
2
π
x
1
M
O
( )
−
( )

+
1
ϕ
3
2
A
−
2
A
2
M
2
ϕ
x
O
A
A
−
( )
−
( )
+
1
M
2
M
2
π
Đáp án B.
VD4: Một vật dđđh có biên độ là A,chu kỳ T.

Thời gian giữa hai lần liên tiếp li độ của vật đạt giá trị cực đại là
A.
3
T
B.
2
T
C.
6
T
D.
12
T
HD:
Li độ x của vật đạt giá trị cực đại tại 2 vị trí biên
+Giả sử
axm
x A= −
là vị trí li độ đạt giá trị cực đại lần thứ nhất

axm
x A=
là giá trị cực đại lần thứ Hai.Vậy thời gian giữa 2 lần liên
tiếp li độ đạt giá trị cực đại là thời gian vật đi từ vị trí
x A= −
tới
axm
x A=
Góc quét
2 2

T
t T
ϕ
ϕ π
π
∆
∆ = ⇒ ∆ = =
.
VD5:(sgk vật lý cơ bản).Một vật dđđh phải mất
0,25s
để đi từ điểm có vận tốc bằng 0 tới điểm tiếp
theo vẫn như vậy.Khoảng cách giữa hai điểm là 36cm.Tính :Chu kỳ,tần số,biên độ.
HD:
Trên hình vẽ vận tốc
0v =
tại 2 vị trí biên âm
x A
= −
và biên dương
x A
=
với góc quét là :

2 2
T
t T
ϕ
ϕ π
π
∆

∆ = ⇒ ∆ = =
Theo bài ra thời gian vật đi từ vị trí
0 0v v
= → =
là
1
0,25s 0,25 0,5 2 z
2
T
T s f h
T
⇒ = ⇒ = ⇒ = =
.
+ Theo bài ra vật đi từ vị trí
0 0v v
= → =
ứng với
0x A x x A
= − → = → =
hết quãng đường là 36 cm,từ hình vẽ ta thấy
2 36 18A A cm= ⇒ =
.
Lưu ý:
+ Ta thấy 1 chu kỳ,vật quay được 1 vòng tròn quét được 1 góc
360
o
ϕ
=
+ Một đường tròn chia làm 4 phần bằng nhau,thời gian quét từng phần đó là như nhau và đều
bằng

4
T
,đều quét được góc
2
π
ϕ
=
+ Vật quét được nửa đường tròn ứng với thời gian là
2
T
1.2.3.Vận dụng
1.Một vật DDĐH có phương trình :
10 os( )x c t
ω
=
cm .Tính thời gian vật đi từ vị trí
a.
5x cm
= −
đến
5x cm=
.
b.
5x cm= −
đến
10x cm=
.
c.
10x cm
= −

đến
5x cm
=
.
15
O
axm
x A
=
axm
x A
= −
( )
−
( )
+
1
M
2
M
π
x
O
A
A
−
( )
−
( )
+

π
0v
=
0v
=
d.
5 3x cm= −
đến
5 2x cm=
.
e.Vật có gia tốc cực đại đến vị trí tiếp theo mà tại đó vật có vận tôc đạt giá trị cực tiểu.
2.(CĐ – 2010).Một vật dao động điều hòa có chu kỳ T,gốc thời gian lúc vật qua VTCB,vận tốc của
vật bằng 0 lần đầu tiên tại thời điểm nào:
A.
2
T
B.
6
T
C.
4
T
D.
8
T
3.(CĐ – 2009).Một vật DĐĐH dọc theo trục tọa độ nằm ngang ox với chu kỳ T.Vtị trí cân bằng và
mốc thế năng tại gốc tọa độ.Tính từ lúc vật có li độ dương lớn nhất,thời điểm đầu tiên mà động năng
bằng thế năng là:
A.
4

T
B.
8
T
C.
12
T
D.
6
T
ĐS:
1.a.
6
T
t =
b.
3
T
t =
c.
3
T
t =
d.
7
24
T
t =
e.
2

T
t =
2.
4
T
t =
đáp án C.
3.Thời gian cần tính là thời gian vật đi từ
2
2
A
x A x= → =
hoặc
2
2
A
x A x= − → = −
.và là
8
T
.Đáp án
1.3.Bài toán xác định quãng đường vật đi được trong thời gian t
1.3.1.Phương pháp giải
+ Bước 1 : Xác định vị trí ban đầu,xác định chiều
chuyển động của vật trên đường tròn lượng giác.
+ Bước 2 : Từ công thức
.
2
t T
ϕ ϕ

ω π
= =
ta xác định góc mà vật quét được

.2
.
t
t
T
π
ϕ ω
= =
rad.
Từ hình vẽ ta có thể nhận thấy nếu vectơ
OM
uuuur
quét được 1 góc
π
thì vật đi được quãng
đường là 2A mà không phụ thuộc vào vị trí đầu và vị trí cuối.Vậy khi
OM
uuuur
quay được 1 góc
n
ϕ π
=
thì hình chiếu của M luôn đi được quãng đường là
2S nA=
( n nguyên).
Nếu góc

1
n
ϕ π ϕ
= +
thì quãng đường cần tính là
1
2S nA S= +
.Với
1
S
là quãng đường vật
quét được góc
1
ϕ
.
** Chú ý :
+ Sau một chu kỳ T vật luôn quét được 1 góc
2
ϕ π
=
ứng với quãng đường đi được là
4S A=
,trong nửa chu kỳ
2
T
t =
thì quãng đường vật đi được là 2A.Trong một phần tư chu kỳ
4
T
t =

tính từ
vị trí biên hay CTCB thì quãng đường vật đi được là A còn tính từ các vị trí khác thì quãng đường
đi được khác A
16
x
O
A
A
−
( )
−
( )
+
π
A
A
+ Tại thời điểm ban đầu vật xuất phát từ đâu thì sau
t nT
=
vật quay trở lại đúng vị trí ban đầu đó.
1.3.2.Ví dụ minh họa.
1.Một vật DĐĐH có phương trình :
4 os(4 )
2
x c t
π
π
= +
cm.Tính quãng đường vật đi được :
a.Trong 2 s kể từ vị trí ban đầu.

b.Trong 3,25 s kể từ vị trí
2x = −
cm ngược chiều dương.
c.Trong 2,325 s từ VTCB theo chiều dương.
HD:
Ban đầu vật đang ở vị trí cân bằng và đang chuyển động theo chiều âm,ta biểu diễn bằng véctơ
OM
uuuuur
a.Trong 2 s vật quét được góc
. 2.4 8t
ϕ ω π π
= = =
rad.
⇒
Quãng đường đi được là
2.8 16 64S A A cm
= = =
.
b.Trong 3,25 s
⇒

. 3,25.4 13t
ϕ ω π π
= = =
rad.
⇒
Quãng đường đi được là
2.13 26 104S A A cm= = =
.
c.Trong 2,325 s

⇒

. 2,325.4 9,3 9 0,3t
ϕ ω π π π π
= = = = +
rad.
⇒
Quãng đường cần tính
1 2
S S S= +
.
+
1
S
là quãng đường vật quét góc
1 1
9 2.9A 18A 72S cm
ϕ π
= ⇒ = = =
.
+
2
S
là quãng đường vật quét góc
2
0,3
ϕ π
=
rad.
+ Sau khi vật đi được quãng đường

1
S
tức là vật quét được
góc
1
9
ϕ π
=
thì vật đang ở VTCB O và đang chuyển động
theo chiều dương như hình vẽ:
- Gọi
1 2
M M
uuuuuur
là véctơ quét được. Góc
2
0,3
ϕ π
=
.Từ hình vẽ bên
Ta thấy
2 2
sin .sin
x
x A
A
ϕ ϕ
= ⇒ =

1

4.sin 0,3 3,24S x cm
π
⇒ = = =
Vậy tổng quãng đường vật đi được là
1 2
72 3,24 75,24S S S cm= + = + =
2.Một vật DĐĐH dọc theo trục ox có phương trình :
2 os(4 )
3
x c t
π
π
= −
cm.Kể từ thời điểm ban đầu
quãng đường vật đi được trong 1,125s đầu tiên là:
A.
18cm
B.
17,23cm
C.
16cm
D.
10cm
HD:
+ Ban đầu vật đang ở vị trí
1
1x cm=
và đang chuyển động theo chiều dương.
+ Trong 1,125 s
⇒

. 1,125.4 4,5 4 0,5t
ϕ ω π π π π
= = = = +
rad.
⇒
Quãng đường cần tính
1 2
S S S= +
.
+
1
S
là quãng đường vật quét góc
1
4 2.4A 8A 16S cm
ϕ π
= ⇒ = = =
.
+
2
S
là quãng đường vật quét góc
0,5
ϕ π
=
rad.
17
x
2

M
O
4
4
−
( )
−
( )
+
2
ϕ
1
M
x
M
- Sau khi vật đi được quãng đường
1
S
tức là vật quét được góc
1
4
ϕ π
=
ứng với 2 chu kỳ thì vật đang
ở vị trí ban đầu
1
1x cm=
đang chuyển động theo chiều dương như hình vẽ:
+ Giả sử vật quét được 1 góc
0,5

ϕ π
=
. Chính là góc
1 3
0,5M OM
π
=
+
1
1 1
1
os
2 3
x
c
A
π
ϕ ϕ
= = ⇒ =
.
+
1 2 2 1
0,5
6
π
ϕ π ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
= = + ⇒ = − =
.
+
2

2 2 2
os .sin 2. os 3
6
x
c x A c cm
A
π
ϕ ϕ
= ⇒ = = =
.
Từ hình vẽ bên ta suy ra quãng đường
2 1 2 2 2 1 2 2
1 2 3 1,27
S x M M x x M A Ox
cm
= + = + −
= + − =
Vậy tổng quãng đường vật đi được là
1 2
16 1,27 17,27S S S cm= + = + =
.
3.Một DĐĐH dọc theo trục ox có phương trình :
10 os( )
2
x c t
π
π
= −
cm
Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ

1
1,5t s=
tới
2
13
3
t s=
là
A.
40 5 3+
cm B.
50 5 3+
cm C.
50 5 2+
cm D.
60 5 5−
cm
HD:
+ Ta có
2
π
ϕ
= −
nên ban đầu vật đang ở vị trí cân bằng O và đang chuyển động theo chiều dương.
* Ta tính quãng đường
1
S
vật đi được trong thời gian
1
1,5t s=

đầu
+ Có
1
1
2 3
2
4 2 4
t T T
T s t
T
π
ω
= = ⇒ = ⇒ = +
.Vì ban đầu vật ở vị trí cân bằng theo chiều dương nên
sau thời gian
1
3
4
T
t =
vật đi được quãng đường là
1
2 3S A A A= + =
* Ta tính quãng đường
2
S
vật đi được trong thời gian
2
13
3

t s=
+ Ta có góc quét
2
13
4
3 3
t
π π
ϕ ω π
= = = +
+ Quãng đường vật đi được
2
8S A S= +
Với
8A
là quãng đường vật đi khi quay
góc
4
π
còn
S
là quãng đường vật quay góc
3
π
.Sau khi vật quay được 1 góc
4
π
thì vật quay trở lại
vị trí cân bằng ban đầu và tiếp tục quay thêm 1 góc
3

π

như hình vẽ
+ Ta có:
3
sin .sin
3 3 2
x A
x S A
A
π π
= ⇒ = = =
cm.Quãng đường
2
3
8
2
A
S A= +
.
18
x
A
−
A
( )
−
O
( )
+

x
1
M
x S
=
3
π
3
π
x
2
M
2
2
−
( )
−
2
ϕ
3
M
( )
+
2
x
1
M
1
x
1

ϕ
O
+ Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ
1
1,5t s=
tới
2
13
3
t s=
là
2 1
3 3
8 3 5 50 5 3
2 2
A A
S S S A A A∆ = − = + − = + = +
cm.Chọn đáp án B.
4.Một vật dao động điều hòa đi từ điểm M trên quỹ đạo đến vị trí cân bằng hết thời gian là
3
T
.Trong
thời gian
5
12
T
tiếp theo vật đi được quãng đường là 15cm.Vật tiếp tục đi thêm 0,5s nữa thì trở về vị
trí ban đầu.Xác định chu kỳ và biên độ A của dao động.
A.
2 , 5T s A cm= =

B.
4 , 5T s A cm= =
C.
0,5 , 4T s A cm= =
D.
2 , 10T s A cm= =
.
HD:
+ Vật dao động điều hòa thì sau mỗi chu kỳ T thì vật lại trở về vị trí ban đầu
+ Từ dữ kiện đầu bài ta có :
5
0,5 2
3 12
T T
T s T s= + + ⇒ =
.
+ Trong thời gian
5
12
T
vật quay được một góc
5 2 5
.
12 6 2 3
T
T
π π π π
ϕ
= = = +
.

ứng với cung
BD
trên đường tròn
+ Quãng đường vật đi được tương ứng là
2 2S OC CN OC ON A ON
= + = − = −
+ Có
os
3 2 2
ON OC A
c ON
OC
π
= ⇒ = =
+ Vậy
3
2 15 10
2
A
S OC ON A cm= − = = ⇒ =
.Chon đáp án D.
1.3.3.Bài toán tính quãng đường lớn nhất,nhỏ nhất vật đi được trong thời gian t.
1.3.3.1.phương pháp giải
Từ tính chất của DĐĐH ta nhận thấy : Vận tốc của vật lớn nhất khi qua VTCB,nhỏ nhất khi đi
qua hai vị trí biên,vì thế trong cùng một khoảng thời gian quãng đường vật đi được càng lớn khi vật
càng ở gần VTCB và càng nhỏ khi vật ở gần vị trí biên.Ta sử dụng mối liên hệ giữa DĐĐH và chuyển
động tròn đều.
Ta có
.2
.

t
t
T
π
ϕ ω
= =
rad.

*.TH1 .nếu t <
2
T
hay góc quét
.t
ϕ ω
=
<
π
.
+ Quãng đường lớn nhất vật đi được là quãng đường từ
1 2
x x→
đối xứng qua trục sin như
hình (a) trên
ax
2 sin
2
m
S A
ϕ
⇒ =

19
x
D
O
( )
−
( )
+
B
N
M
3
π
2
π
C
A
x
O
A
A
−
( )
+
ϕ
1
x
1
M
2

M
2
x
sin
axm
S
ình ah
x
O
A
A
−
( )
+
ϕ
2
M
osc
min
S
ìnhh b
+ Quãng đường nhỏ nhất vật đi được là quãng đường từ
1 2
x x→
đối xứng qua trục cos như
hình (b) trên
min
2 (1 os )
2
S A c

ϕ
⇒ = −
.
*TH2. nếu t >
2
T
hay góc quét
.t
ϕ ω
=
>
π
.
- Ta tách
1
n
ϕ π ϕ
= + ⇒
quãng đường cần tính
1
2S nA S= +
với
1
S
là quãng đường vật quét
được góc
1
ϕ
.
- Quãng đường lớn nhất

1
ax 1 ax
2 2A( sin )
2
m m
S nA S n
ϕ
= + = +
.
- Quãng đường nhỏ nhất
1
min 1min
2 2A( 1 os )
2
S nA S n c
ϕ
= + = + −
.
1.3.3.2.Ví dụ minh họa
VD1.(CĐ – 2008).Một DĐĐH dọc theo trục ox quanh VTCB O với biên độ A và chu kỳ T.Trong
khoảng thời gian
4
T
quãng đường lớn nhất vật có thể đi được là
A.
A
B.
3A
2
C.

3A
D.
2A
HD:
+ Ta có
2 2
. . .
4 2 2 4
T
t t
T T
π π π ϕ π
ϕ ω
= = = = ⇒ =
+ Ta thấy
4
T
<
2
T

ax
2 sin 2 .sin 2
2 4
m
S A A A
ϕ π
⇒ = = =
.Vậy chọn đáp án D.
VD2.Một vật DĐĐH có phương trình

5 os(2 )
6
x c t
π
π
= +
cm.Tính quãng đường lớn nhất và nhỏ nhất
vật đi được trong 2,25s đầu tiên.
HD:
+ Ta có
2
1T s
π
ω
= =
<
2,25st =
( thuộc TH2)
+ Góc quét
. 2,25.2 4,5 4 0,5t
ϕ ω π π π π
= = = = +
với
1
1
0,5
2 4
ϕ π
ϕ π
= ⇒ =

rad.
- Quãng đường lớn nhất vật đi được là:
1
ax 1 ax
2 2A( sin ) 2.5.(4 sin ) 47,1
2 4
m m
S nA S n cm
ϕ π
= + = + = + ≈
.
- Quãng đường nhỏ nhất vật đi được là:
1
min 1min
2 2A( 1 os ) 2.5.(4 1 os ) 42,93
2 4
S nA S n c c cm
ϕ π
= + = + − = + − ≈
.
***Chú ý
+ Trong một phần tư chu kỳ
4
T
t =
thì quãng đường lớn nhất mà vật đi được là
2A
,quãng
đường nhỏ nhất vật đi được là
(2 2)A −

.
20
1.3.4.Vận dụng
1.Một vật DĐĐH có biên độ là 6 cm.Tính quãng đường vật đi được trong thời gian
a. 2s đầu tiên
b. 10s kể từ vị trí cân bằng và đang chuyển động theo chiều dương.
Biết tần số dao động của vật là :
1
z
4
f h=
2.Một vật DĐĐH có biên độ là A,chu kỳ là T.Ban đầu vật đang ở vị trí có li độ cực đại âm.Tính
quãng đường vật đi được trong thời gian
11
12
T
đầu.
3.Một vật DĐĐH có phương trình.
4 os(2 )
6
x c t
π
π
= +
.Tính quãng đường vật đi được từ thời điểm
ban đầu tới thời điểm
7
3
s
tiếp theo.

ĐS:
1.Tần số góc của vật là
2 /
2
f rad s
π
ω π
= =
.Ta tính được góc quét
ϕ
cho từng trường hợp.
a.
2S A
=
b.
10S A
=
2.
22S A
=
.
3. Góc quét
7 14 2
.2 4
3 3 3
π π
ϕ π π
= = = +
.
+ Quãng đường vật đi được

1 2
S S S= +
+ Với
1
8 32S A cm= =
là quãng đường vật đi được ứng với góc quét
4
π
.
+ Ta vẽ hình tính được quãng đường
2
3
2 3
2
A
S cm= =

ứng với góc
2
3
π
,Vật đi từ vị trí
2 3 0x cm x= → =
theo chiều âm.
+ Tổng quãng đường vật đi được là :
1 2
32 2 3 35,46S S S cm= + = + =
.
1.4.Bài toán xác định số lần,thời điểm vật đi qua vị trí x sau thời gian t
1.4.1.Xác định số lần vật đi qua vị trí x trong thời gian t

** Phương pháp
- Ta xác định vị trí ban đầu,chiều chuyển động ban đầu của vật,biểu diễn trên đường tròn
lượng giác.
- Xác định góc quét
.t
ϕ ω
=
+ Ta nhận thấy: Trong 1 chu kỳ T vật dao động quay được 1 góc
2
ϕ π
=
thì vật luôn luôn qua vị trí
x bất kỳ 2 lần và chỉ qua 2 vị trí biên
x A
=
và
x A
= −
một lần.
+ Nếu
2n
ϕ π
=
thì số lần vật qua vị trí x bất kỳ
khác 2 vị trí biên là
2N n=
lần.
21
x
O

A
A
−
( )
−
( )
+
2
ϕ π
=
x
x
+ Số lần vật qua vị trí biên là
N n
=
lần.
+ Nếu
1
2n
ϕ π ϕ
= +
thì số lần vật qua vị trí x bất kỳ khác vị trí
biên là
1
2N n n= +
,với
1
n
là số lần vật qua vị trí x khi vật quét góc
1

ϕ
.Ta sẽ dựa vào hình
vẽ để xác định số lần còn lại.
1.4.2.Xác định thời điểm của vật khi đã đi qua vị trí x,N lần.
+ Với bài toán này ta vận dụng và kết hợp với bài toán xác định thời gian của vật khi đi từ vị trí
1 2
x x→
và bài toán xác định số lần vật qua vị trí x trong thời gian t.
1.4.3.Ví dụ minh họa.
1.Một vật dao động DĐĐH với phương trình
3 os(2 )x c t
π π
= +
cm.Kể từ thời điểm ban đầu hãy xác
định số lần vật qua vị trí:
a.
1,5x cm=
trong 4s đầu tiên
b.
1,5x cm= −
trong
6
5
s
đầu tiên
c.
3x cm=
trong
2,75s
đầu tiên

HD.
+ Tại thời điểm ban đầu vật đang ở vị trí
3x cm
= −
sau đó chuyển động theo chiều dương.
a. Ta có
. 4.2 8t
ϕ ω π π
= = = ⇒
số lần vật qua vị trí
1,5x cm=
trong 4s đầu tiên là
2 2.4 8N n= = =
lần với
4n =
.
b.
6
. .2 2,4 2 0,4
5
t
ϕ ω π π π π
= = = = +
số lần vật qua vị trí
1,5x cm= −
là
1 1
2 2N n n n= + = +
với
1

n
là số lần vật đi qua
1,5x cm= −
và quét góc
1
0,4
ϕ π
=
.
+ Từ thời điểm ban đầu vật đi qua. Vị trí
1,5x cm= −
2 lần rồi sau đó vật trở
Về vị trí ban đầu
3x cm= −
và tiếp tục quét góc
1
0,4
ϕ π
=
từ vị trí
1 2
M M→
.Từ hình vẽ bên ta có
1 1
os os 3 os0,4 0,93
x
c x Ac c cm
A
ϕ ϕ π
−

= ⇒ = = − = −
Vậy khi quét góc
1
0,4
ϕ π
=
vật qua vị trí
0,93x cm= −
mà chưa tới vị trí
1,5x cm= −
KL: vậy trong
6
5
s
đầu tiên vật đi qua vị trí
1,5x cm= −
đúng 2 lần.
c.Ta có
. 2,75.2 5,5 2.2 1,5t
ϕ ω π π π π
= = = = +
Véctơ
OM
uuuur
quay được 1 góc
4
π
vật đi qua vị trí biên
3x cm=

2 lần.Sau đó vật trở về vị trí ban đầu biên âm
3x cm= −

22
x
1
M
O
3
3
−
( )
+
1
ϕ
x
1,5
−
2
M
x
O
3
3−
( )
+
1,5
π
0t
=

M
Và tiếp tục quay thêm 1 góc
1
1,5
ϕ π
=
và qua vị trí
3x cm=
Thêm 1 lần nữa.
Vậy trong
2,75s
đầu tiên số lần vật đi qua vị trí
3x cm=
là 3 lần.
2( ĐH – 2008).Một chất điểm DĐĐH theo phương trình
3sin(5 )
6
x t
π
π
= +
(x tính bằng cm,t tính
bằng giây).Trong một giây đầu tiên từ thời điểm
0t
=
chất điểm đi qua vị trí có li độ
1x cm
= +
bao
nhiêu lần.

A.7 lần B.6 lần C.4 lần D.5 lần
HD:
+ Ta viết lại phương trình
3sin(5 ) 3 os(5 )
6 3
x t c t
π π
π π
= + = −
cm
+ Ban đầu tại
0t =
vật đang ở vị trí
1,5x cm=
và đang chuyển động theo chiều dương.
+ Có
. 1.5 4t
ϕ ω π π π
= = = +
+ Véctơ
OM
uuuur
quay được 1 góc
4
π
vật đi qua vị trí
1x cm= +
4 lần.
Sau đó vật trở về vị trí ban đầu
1,5x cm=

đang chuyển động theo
chiều dương và tiếp tục quay thêm 1 góc
1
ϕ π
=
như hình vẽ bên:
+ Ta thấy vật quay được góc
1
ϕ π
=
ứng với vật quay từ điểm

1 2
M M→
tới điểm vị trí
1,5x cm= −
thì dừng lại và qua vị trí
1x cm= +
được 1 lần.
Vậy trong một giây đầu tiên từ thời điểm
0t =
chất điểm đi qua vị trí có li độ
1x cm= +
tất cả là 5
lần.Chọn đáp án D.
3.(ĐH – 2011).Một chất điểm DĐĐH theo phương trình
2
4 os( )
3
x c t

π
=
(x tính bằng cm,t tính bằng
s).Kể từ
0t =
,chất điểm đi qua vị trí có li độ
2x cm= −
lần thứ 2011 tại thời điểm.
A.3015s B.6030s C.3016s D.6031s
HD:
+ Ta thấy
0
ϕ
=
ban đầu tại
0t
=
vật đang ở vị trí biên dương
4x cm
=
,
2
3T s
π
ω
= =
+ Ta tách
2011 2010 1
= +
.

+ Nhận thấy cứ sau mỗi một chu kỳ T thì vật luôn luôn đi qua vị trí
2x cm
= −
đúng 2 lần.Sau đó
vật lại trở về vị trí ban đầu
4x cm
=
+ Vật đi qua
2x cm= −
lần thứ 2010 hết
1
2010
1005 3015s
2
t T T= = =
và sau đóvật đang ở
4x cm=
như hình vẽ:
+ Vật đi qua
2x cm= −
thêm 1 lần nữa từ vị trí
'M M→
ứng với thời gian
23
x
O
3
3
−
( )

+
π
0t
=
1
M
1,5
2
M
1
x
O
4
4
−
( )
+
2
3
π
ϕ
=
0t
=
M
2
−
( )
−
vật đi từ vị trí

2
A
x A x= → = −
và góc quét được là
2
2
1s
3
t
π ϕ
ϕ
ω
= ⇒ = =

Vậy kể từ
0t =
,chất điểm đi qua vị trí có li độ
2x cm= −

lần thứ 2011 tại thời điểm là
1 2
3015 1 3016st t t= + = + =
.Chọn đáp án C.
4.Một vật DĐĐH dọc theo trục ox,có chu kỳ là T,biên độ là A.Thời điểm ban đầu vật đang ở vị trí
có vận tốc cực đại và đang chuyển động theo chiều dương.Vật đi qua vị trí có vận tốc bằng 1 nửa
vận tốc cực đại lần thứ 9 tại thời điểm
A.
13
6
T

t =
B.
8
3
T
t =
C.
10
3
T
t =
D.
3t T=
HD:
+ Tại thời điểm ban đầu vật có vận tốc cực đại nghĩa là tại vị trí cân bằng và đang chuyển động theo
chiều dương.
+ Ta có
2 2
2 2
ax
1
m
v x
v A
+ =
mà theo bài ra
ax
1
2
m

v v=
vậy vận tốc v bằng 1 nửa vận tốc cực đại tại vị trí
3
2
A
x =
và
3
2
A
x = −
+ 1 chu kỳ T có 2 lần vật qua vị trí
3
2
A
x =
và 2 lần vật qua vị trí
3
2
A
x = −
như vậy trong 1 chu
kỳ có 4 lần vật qua vị trí có
ax
1
2
m
v v=
.
⇒

sau
1
2t T=
vật qua vị trí
ax
1
2
m
v v=
8 lần.
+ Sau khi đi được
1
2t T=
thì vật đang ở vị trí
0x =
và đang chuyển
động theo chiều dương như hình vẽ
- Vật qua vị trí
ax
1
2
m
v v=
một lần nữa ứng với vật đi từ vị trí
3
0
2
A
x x= → =
theo chiều dương ( Vật quay từ

1O
M M→
) vật quay được 1 góc
2
3 6
T
t
π
ϕ
= ⇒ =

⇒
Vậy kể từ thời điểm ban đầu vật đi qua vị trí có vận tốc bằng 1 nửa vận tốc cực đại lần thứ 9 tại
thời điểm
1 2
13
2
6 6
T T
t t t T= + = + =
.Chon đáp án A.
1.4.4. Vận dụng
1. Một chất điểm DĐĐH theo phương trình
8 os(4 )x c t
π π
= +
cm.
a.Xác định số lần vật qua vị trí
8x cm=
và

4x cm= −
trong 2,25s đầu
b.Xác định số lần vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương trong 4,125s đầu
24
x
A
A
−
( )
−
( )
+
M
3
2
A
3
π
3
2
A
−
O
M
O
0t
=
c.Kể từ thời điểm ban đầu xác định thời điểm vật qua vị trí
4x cm
=

lần thứ 2013.
2. Một chất điểm DĐĐH có biên độ A,chu kỳ T
a.Xác định thời điểm vật đi qua vị trí
2
A
x = −
lần thứ 2012.Biết tại
0t =
vật đang ở vị trí có li độ
cực đại dương.
b.Xác định thời điểm vật có gia tốc
ax
1
2
m
a a=
lần thứ 6 ,ban đầu vật đang ở vị trí cân bằng theo
chiều dương.
c.Xác định số lần và thời điểm vật đi qua vị trí
2
2
A
x =
trong
3
2
T
biết ban đầu vật đang ở vị trí có
gia tốc cực tiểu.
3.Một chất điểm DĐĐH có phương trình

2 os(2 )
6
x c t
π
π
= +
cm.Hỏi chất điểm đi qua vị trí có li độ
2x cm
= +
lần thứ 2014 tại thời điểm nào?
ĐS :
1.Ban đầu vật đang ở vị trí biên âm
a. Góc quét là
9t
ϕ ω π
= =
Trong 2,25s đầu số lần vật đi qua vị trí,
8x cm=
,
4x cm= −
lần lượt là 5 lần và 9 lần
b. Góc quét là
16,5 16
2
t
π
ϕ ω π π
= = = +
,mỗi chu kỳ vật đi qua VTCB theo chiều dương một lần.
+ Số lần vật đi qua VTCB theo chiều dương trong 4,125s đầu là 9 lần

c.Thời điểm vật đi qua vị trí
4x cm=
lần thứ 2013
+ Ta tách
2013 2012 1= +
+ Vật đi qua vị trí
4x cm=
2012 lần hết 1006T.
Lúc này vật đang ở vị trí ban đầu
8x cm
= −
và tiếp tục đi qua
4x cm
=
1 lần nữa ứng với thời gian vật đi
từ
8 4x cm x cm= − → =
hết
3
T
. Vậy Thời điểm vật đi qua vị trí
4x cm
=
lần thứ 2013 là
1006 503,17
3
T
t T s= + =
.
2.Ban đầu vật đang ở vị trí

x A
=
a.+ Ta tách
2012 2010 2
= +
+ Vật đi qua vị trí
2
A
x = −
2010 lần hết 1005T. Lúc này vật đang
ở vị trí ban đầu
x A
=
và tiếp tục đi qua
2
A
x = −
2 lần nữa ứng với
25
x
8
8
−
( )
−
( )
+
M
4
3

π
O
M
O
x
O
A
A
−
( )+
1
ϕ π
=
0t =
M
2
A
−
( )−
2
T
6
T
3
π