Hướng dẫn học sinh vận dụng phép biến hình để giải một số bài toán ở trường trung học phổ thông nhằm phát triển khả năng sáng tạo của người học

i

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC






NGUYỄN THỊ THÙY LINH







HƢỚNG DẪN HỌC SINH VẬN DỤNG PHÉP BIẾN HÌNH ĐỂ
GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN Ở TRƢỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
NHẰM PHÁT TRIỂN KHẢ NĂNG SÁNG TẠO CỦA NGƢỜI HỌC



LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN


CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC
(BỘ MÔN TOÁN)
Mã số: 60 14 10

Người hướng dẫn khoa học: TS. LÊ ANH VINH





HÀ NỘI - 2013

2
DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT

ĐPCM: Điều phải chứng minh
THPT: Trung học phổ thông

3
DANH MỤC CÁC BẢNG


Trang
Bảng 3.1. Kết quả kiểm tra trước khi dạy thực nghiệm
79

Bảng 3.2. Điều tra ở lớp sau khi dạy thực nghiệm
80
Bảng 3.3. Điều tra về lượng bài tập về nhà được hoàn thành
81
Bảng 3.4. Kết quả làm bài kiểm tra sau khi dạy học thực nghiệm
81






4
MỤC LỤC

Trang
Lời cảm ơn
i
Danh mục các chữ viết tắt
ii
Danh mục các bảng
iii
Mục lục
iv
Mở đầu
1
Chƣơng 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI
NGHIÊN CỨU
7
1.1 Người học sáng tạo

7
1.1.1. Sáng tạo
7
1.1.2. Người học sáng tạo
8
1.2. Phép biến hình và vai trò trong chương trình THPT
9
1.2.1. Phép biến hình
9
1.2.2. Một số dạng bài tập cơ bản và phương pháp giải trong phép
biến hình ở trường trung học phổ thông

10
1.2.3. Vai trò của vận dụng phép biến hình để giải một số bài toán
trong chương trình trung học phổ thông

11
1.3. Vận dụng phép biến hình để giải một số bài toán ở trường THPT
12
1.3.1. Một vài bài toán vận dụng phép biến hình để giải
12
1.3.2. Cách nhận biết lớp các bài toán hình học có khả năng giải được
bằng phương pháp biến hình

13
1.4. Cơ sở thực tiễn của việc việc hướng dẫn học sinh vận dụng phép
biến hình để giải bài toán ở trường THPT

14
1.4.1. Tìm hiểu thực tiễn về dạy học phép biến hình ở trường THPT

14
1.4.2. Thực trạng việc hướng dẫn học sinh vận dụng phép biến hình
để giải một số bài toán ở trường THPT

21
Tiểu kết chương 1
22
Chƣơng 2: XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP VÀ HƢỚNG
DẪN HỌC SINH GIẢI CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG PHÉP
BIẾN HÌNH NHẰM PHÁT TRIỂN KHẢ NĂNG SÁNG TẠO
CỦA NGƢỜI HỌC



23
2.1. Một số kiến thức và kĩ năng cốt lõi
23

5
2.1.1. Yêu cầu về kiến thức
23
2.1.2. Yêu cầu về kĩ năng
24
2.2. Một số dạng bài tập cơ bản trong phép biến hình ở trường THPT
26
2.2.1. Nội dung kiến thức
26
2.2.2. Vài dạng bài tập cơ bản và phương pháp giải
29
2.3. Xây dựng và sử dụng hệ thống bài tập vận dụng Phép biến hình

nhằm phát triển khả năng sáng tạo của học sinh

41
2.3.1. Bài toán chứng minh
41
2.3.2. Bài toán dựng hình
51
2.3.3. Bài toán tìm tập hợp điểm
61
Tiểu kết chương 2
76
Chƣơng 3: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM
77
3.1. Mục đích, nhiệm vụ, đối tượng thực nghiệm sư phạm
77
3.1.1. Mục đích thực nghiệm sư phạm
77
3.1.2. Nhiệm vụ thực nghiệm sư phạm
77
3.1.3. Đối tượng thực nghiệm sư phạm
78
3.2. Phương pháp thực nghiệm sư phạm
78
3.2.1. Chọn mẫu
78
3.2.2. Phương pháp tiến hành
78
3.2.3. Xây dựng tiêu chí đánh giá
79
3.3. Kết quả thực nghiệm sư phạm

79
3.3.1. Phân tích định tính kết quả thực nghiệm sư phạm
79
3.3.2. Phân tích định lượng kết quả thực nghiệm sư phạm
79
3.3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm
81
Tiểu kết chương 3
82
KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ
83
1. Kết luận
83
2. Khuyến nghị
83
TÀI LIỆU THAM KHẢO
84






6
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Mục tiêu đào tạo của nhà trường phổ thông Việt Nam là hình thành
những cơ sở ban đầu và trọng yếu của con người mới – phát triển toàn diện
phù hợp với yêu cầu và điều kiện hoàn cảnh đất nước con người Việt Nam.
Trong giai đoạn hiện nay, mục tiêu đào tạo của nhà trường phổ thông

Việt Nam đã được cụ thể hoá trong các văn kiện của Đảng, đại hội đại biểu
toàn quốc lần thứ VIII Đảng cộng sản Việt Nam và kết luận của hội nghị
trung ương khoá IX, mục tiêu này gắn với chính sách chung về giáo dục và
đào tạo - “Giáo dục và đào tạo gắn liền với sự phát triển kinh tế, phát triển
khoa học kĩ thuật xây dựng nền văn hoá mới và con người mới”,
“Chính sách giáo dục mới hướng vào bồi dưỡng nhân lực, nâng cao dân trí,
bồi dưỡng nhân tài, hình thành đội ngũ lao động có trí thức, có tay nghề ”.
Môn Toán trong trường phổ thông giữ một vai trò, vị trí hết sức quan
trọng đó là môn học công cụ, nếu học tốt thì những tri thức trong toán cùng
với phương pháp làm việc trong Toán sẽ trở thành công cụ để học tốt những
môn học khác. Môn Toán góp phần phát triển nhân cách, ngoài việc cung cấp
cho học sinh hệ thống kiến thức, kĩ năng toán học cần thiết cho môn học, nó
còn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất của người lao động mới: cẩn
thận, chính xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc
thẩm mĩ. Và sách giáo khoa toán là tài liệu chính thống được sử dụng trong
nhà trường phổ thông. Một trong những nội dung của môn học trong sách
giáo khoa hình học 11 đó là “Phép biến hình”.
Phép biến hình là một vấn đề khó vì học sinh lần đầu tiên được làm
quen với khái niệm biến hình trong việc nghiên cứu hình học. Có rất nhiều bài
toán ở trường trung học phổ thông có thể sử dụng phép biến hình để có những
lời giải hay. Tuy nhiên, đa phần học sinh còn yếu và và chưa vận dụng được
kiến thức này trong quá trình giải toán. Nguyên nhân chính là do sự mới mẻ
trong kiến thức cũng như cảm giác sợ khi nghe đến mảng kiến thức này của

7
học sinh. Trong khi đó muốn vận dụng được phép biến hình vào giải toán cần
hiểu được thật kĩ về lý thuyết biến hình cũng như giải quyết được một số bài
toán cơ bản.
Thực tế cho thấy, cả giáo viên lẫn học sinh hiện nay khi dạy và học
phép biến hình thường chỉ dừng ở mức độ giải một số bài toán cơ bản nhất về

nhận dạng chứ chưa vận dụng được nhiều phép biến hình trong giải các bài
toán khác để phát triển tư duy sáng tạo và sự chủ động của học sinh trong chủ
đề này. Điều đó dẫn đến khi học sinh gặp một bài toán cần sử dụng phép biến
hình hơi khác những gì được học, sẽ gặp những lúng túng nhất định, thậm chí
là không phát hiện ra những sự liên kết giữa các bài toán có liên quan.
Dạy học hiện nay không chỉ đơn thuần là truyền thụ kiến thức mới mà
cần giúp người học tiếp thu một cách đơn giản nhất cũng như vận dụng những
kiến thức đó để làm bài tập một cách nhanh chóng. Ngoài ra, trong toán học
giáo viên cần hướng đến dạy cho học sinh vận dụng kiến thức đã học một
cách linh hoạt trong việc đa dạng hóa cách giải cũng như sáng tạo ra những
bài toán tương tự. Chúng tôi, vì vậy, đã chọn đề tài: “Hướng dẫn học sinh
vận dụng phép biến hình để giải một số bài toán ở trường trung học phổ
thông nhằm phát triển khả năng sáng tạo của người học” nhằm kích thích
và phát huy khả năng suy luận cũng như sự chủ động cho học sinh trong
chuyên đề này. Chúng tôi cũng hi vọng rằng hệ thống bài tập và phương pháp
giải được xây dựng trong đề tài này sẽ là một tài liệu tham khảo có giá trị
nhằm nâng cao năng lực dạy và học phép biến hình cho giáo viên và học sinh
các trường trung học phổ thông. Và quan trọng hơn hết, qua đề tài này tôi
muốn giúp cho các em phát triển khả năng sáng tạo trong việc giải toán mà
đặc biệt là biết vận dụng phép biến hình vào giải những bài toán hình học.
2. Lịch sử nghiên cứu
Một số đề tài đã được nghiên cứu có liên quan:
“Vận dụng phương pháp dạy học khám phá trong dạy học phép biến
hình lớp 11 trung học phổ thông (Ban nâng cao)” - Nguyễn Thị Hạnh Thúy,
trường Đại học Giáo dục năm 2011.

8
Ngoài ra, cũng có một số tài liệu tham khảo về vận dụng phép biến
hình, như: Cuốn Các phép biến hình trong mặt phằng của tác giả Nguyễn
Mộng Hy. Cuốn Bồi dưỡng học sinh phổ thông trung học - Hình học của nhà

xuất bản giáo dục.
Nhưng các tài liệu này phần lớn hoặc là chỉ tập trung vào phương pháp
nhưng chưa có nhiều bài tập, hoặc là chỉ tập trung vào hệ thống hóa các bài
tập chứ chưa chú trọng đến các phương pháp giảng dạy môn học để phát triển
tư duy sáng tạo và sự chủ động của học sinh trong chủ đề này.
3. Mục tiêu nghiên cứu
Trong đề tài này, tôi sẽ xây dựng một hệ thống các bài tập, từ những
bài tập cư bản vận dụng định nghĩa, tính chất đến những bài toán đòi hỏi kĩ
năng phân tích, đánh giá, suy đoán, trừu tượng nhằm kích thích và phát huy
khả năng sáng tạo cũng như sự chủ động cho học sinh.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Thứ nhất, nghiên cứu những lí luận cơ bản nhất về người học sáng tạo.
Thứ hai, nghiên cứu về nội dung Phép biến hình trong chương trình THPT
hiện hành và các dạng bài toán cơ bản về phép biến hình. Tiếp theo, chúng tôi
sẽ nghiên cứu về dạng bài tập có thể vận dụng phép biến hình để giải.
Sau đó, chúng tôi sẽ nghiên cứu thực trạng quá trình vận dụng phép
biến hình để giải toán ở một số trường THPT trên địa bàn thành phố Hải
Phòng. Để xây dựng hệ thống bài tập vận dụng phép biến hình vào giải toán
và hướng dẫn học sinh phương pháp giải nhằm phát huy khả năng sáng tạo
cho người học.
Cuối cùng, chúng tôi sẽ áp dụng những nghiên cứu của mình để vận
dụng vào việc thực nghiệm sư phạm để đưa ra kết luận về tính khả thi của
đề tài.
5. Phạm vi nghiên cứu
Xây dựng hệ thống bài tập phong phú và đa dạng không chỉ hỗ trợ giáo
viên giảng dạy chương Phép biến hình trong mặt phẳng cho học sinh lớp 11

9
mà còn hướng dẫn học sinh vận dụng phép biến hình vào giải toán ở trường
THPT không chuyên. Một mặt do giới hạn về khuôn khổ luận văn, mặt khác

để phát triển khả năng sáng tạo cho người học nên hầu hết bài tập ở đây tôi
chủ yếu đưa ra gợi ý và hướng dẫn làm bài.
6. Mẫu khảo sát
Học sinh lớp 11A2 và 11A6 trường THPT Hàng Hải, Hải Phòng. Mỗi
lớp lấy 30 học sinh.
7. Vấn đề nghiên cứu
Vấn đề trước hết đó là vai trò của việc vận dụng phép biến hình trong
giải các bài toán ở trường THPT. Tiếp theo, chúng tôi sẽ là xây dựng hệ thống
bài tập về phép biến hình và những bài toán có thể vận dụng phương pháp
biến hình. Và cuối cùng là gợi ý và hướng dẫn học sinh giải để phát triển khả
năng sáng tạo cho các em học sinh ở trường THPT Hàng Hải, quận Ngô
Quyền, thành phố Hải Phòng.
8. Giả thuyết nghiên cứu
Vận dụng phương pháp dạy học phát triển tư duy sáng tạo để xây dựng
các dạng bài tập có dùng phép biến hình để giải cho học sinh trường THPT, sẽ
giúp học sinh phát huy khả năng sáng tạo cũng như sự chủ động trong việc hệ
thống hóa kiến thức, phát triển kĩ năng giải bài tập và khả năng ứng biến
trước những bài tập có cách phát biểu mới lạ.
9. Phƣơng pháp nghiên cứu
9.1. Nghiên cứu lí luận
Một là, nghiên cứu cơ sở lý luận để làm sáng tỏ khái niệm người học
sáng tạo.
Hai là, nghiên cứu chương trình, giáo trình, tài liệu hướng dẫn về
chuyên đề này, nội dung các sách tham khảo có liên quan để xác định mức độ
nội dung và yêu cầu về mặt kiến thức, kĩ năng giải bài tập mà học sinh cần
nắm vững.


10
9.2. Nghiên cứu thực tiễn

Trước hết, tìm hiểu nội dung, phương pháp và hình thức tổ chức việc
hệ thống hóa bài tập và lời giải cho chương phép biến hình ở các trường trung
học phổ thông theo phương pháp dạy học phát triển tư duy sáng tạo.
Sau đó, điều tra thực tiễn với giáo viên giảng dạy và với học sinh lớp
11 tại trường trung học phổ thông Hàng Hải, quận Ngô Quyền và một số
trường THPT khác trên địa bàn thành phố Hải Phòng từ các bạn đồng nghiệp.
9.3. Thực nghiệm sư phạm
Đầu tiên, chọn trong hai lớp 11 trường THPT Hàng Hải hai nhóm học
sinh đã dạy kiến thức về phép biến hình (mỗi nhóm 30 em lực học trung bình
khá trở lên) để kiểm tra khả năng vận dụng phép biến hình vào giải toán của
các em khi chưa được hướng dẫn. Tiếp theo, tiến hành phân tích và hướng
dẫn các em giải một số bài toán vận dụng phép biến hình trong 6 tiết. Sau đó,
Điều tra kín về ý kiến của học sinh sau các tiết thực nghiệm và kiểm tra lại
các em về kĩ năng vận dụng phương pháp biến hình để đưa ra những phân
tích.
Trên cơ sở phân tích định tính và định lượng kết quả thu được trong
quá trình thực nghiệm sư phạm để đánh giá tính khả thi và tính hiệu quả của
các biện pháp do đề tài đưa ra.
10. Các luận cứ
Việc hướng dẫn học sinh trong quá trình giải bài tập là vô cùng quan
trọng. Nó không chỉ định hướng cho học sinh trước những bài toán mới, gợi
mở những hướng giải quyết mới mà trong quá trình hướng dẫn và đặt câu hỏi
cho học sinh chúng ta phát hiển ra điểm yếu và điểm mạnh của học sinh để hỗ
trợ, giúp đỡ các em.
Vận dụng phép biến hình vào giải các bài toán hình học có ý nghĩa lớn.
Rất nhiều bài toán nếu dùng phương pháp thông thường rất phức tạp nhưng
khi áp dụng phương pháp bến hình thì bài toán được giải quyết rất gọn gàng.

11
Việc phát triển khả năng sáng tạo cho người học là một việc hết sức cần

thiết. Nó giúp cho học sinh không chỉ nhạy bén trong làm bài, linh hoạt trước
các tình huống để giải quyết bài toán nói riêng, trong học tập nói chung và
hơn thế nữa là áp dụng tính cách đấy vào cuộc sống.
11. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và khuyến nghị, tài liệu tham khảo, nội
dung chính của luận văn được trình bày trong 03 chương:
Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn của đề tài nghiên cứu
Chương 2: Xây dựng hệ thống bài tập vận dụng phép biến hình và
hướng dẫn học sinh giải các bài tập phép biến hình theo phương pháp dạy học
phát triển tư duy sáng tạo.
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm















12
CHƢƠNG 1
CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU
1.1. Ngƣiờ học sáng tạo

1.1.1. Sáng tạo
Sáng tạo là sáng tạo ngay từ bản thân!
Sáng tạo không đơn thuần chỉ là theo những gì đã được giảng dạy, sử
dụng lại kiến thức đã có, mà khởi đầu cho sáng tạo chính là sáng tạo ngay từ
bản thân. Để sáng tạo con người phải có đam mê và niềm tin. Vậy, như thế
nào là sáng tạo ngay từ bản thân?
“Sáng tạo luôn có được từ những người đang thực hiện sứ mệnh, do họ
có niềm tin và tình yêu với công việc họ làm. Và sáng tạo cũng chỉ có được từ
những con người tự do, biết suy nghĩ và có suy nghĩ độc lập. Vì vậy, khởi đầu
cho sáng tạo là không đòi hỏi, không bị lệ thuộc vào các điều kiện phải có
được như thế này, thế kia!”
Hiển nhiên, để sáng tạo thì cũng phải có chuyên môn sâu về các vấn đề
liên quan, nhưng sáng tạo không phải là sử dụng lại kiến thức đã có, mà sáng
tạo là vận dụng, tìm kiếm những điều mới mẻ và kết hợp chúng theo những
cách thức độc đáo mà trước đó không ai tưởng tượng được.
Vậy điều gì làm lên sự khác biệt của những con người sáng tạo? Đó là
họ không đi theo những suy nghĩ “dựa theo” mang tính lối mòn. Hầu hết,
những nhân vật thành công, những người sáng tạo đều được lôi cuốn bởi
những trải nghiệm mới. Cho nên, nếu muốn sáng tạo, chúng ta phải tập trung
vào những suy nghĩ cởi mở, tự do cùng những thông tin mà lối tư duy đó
mang lại.
Không đòi hỏi sự hoàn hảo, không luẩn quẩn do dự mãi với lập luận vô
nghĩa: “Chúng ta có thông minh không, có sáng tạo không?” – Bởi sáng tạo
không có sự đắn đo, mà là có “tâm hồn sáng tạo”, thoát khỏi sự kìm kẹp của
tâm thức ngay từ bước khởi đầu! Nếu đòi hỏi phải có như thế này, có như thế
kia mới sáng tạo, thì cái làm được đó không hẳn là sáng tạo.

13
Biết chấp nhận môi trường đang sống, từ hoàn cảnh từ thực tế, thích
ứng và vận dụng tất cả những gì mình có, tìm cách phát huy, đổi mới, độc đáo

thì đó chính là sáng tạo. - Sáng tạo không chờ đợi sự thay đổi, mà phải là
tích cực chủ động tạo ra thay đổi.
Như vậy, trước khi tìm kiếm các điều kiện và phương tiện để sáng tạo,
để có thể nắm bắt cơ hội và thành công thì điều trước tiên cần có là lòng tin
và sự đam mê; tự đặt ra thách thức cho bản thân, sẵn sàng ra khỏi vùng an
toàn, vượt qua thử thách…
Tóm lại, tính sáng tạo, sự sáng tạo chân chính hoàn toàn thoát ly khỏi
tâm lý so sánh nhỏ nhen, sánh so đố kỵ và nhất là phải vượt thoát khỏi cái tính
hay đổ thừa… Không đòi hỏi hoàn cảnh phải chiều theo ý mình, bởi một khi
có niềm tin, có khát vọng thì chính những khó khăn, khổ nhọc… có thể sẽ là
động lực khiến bạn cố gắng vươn lên hơn mà thôi.
Sáng tạo là một năng lực vô cùng quan trọng trong công việc và trong
chính đời sống. Đó là khả năng tìm thấy điều mới mẻ từ khả năng quan sát và
nhận biết, nó sẽ giúp bạn phát triển thêm những hiểu biết của mình, làm
phong phú những ý tưởng mới, để nhạy bén và sâu sắc hơn trong việc tìm
kiếm ý tưởng và giải quyết vấn đề.
Sáng tạo của bạn là sản phẩm của bạn, bởi sẽ chẳng ai có thể “nhận
thức” thay cho bạn được, vì vậy bạn phải có niềm tin để quyết tâm cố gắng. -
Người ta vẫn thường nói rằng, tiềm năng sáng tạo có sẵn ở tất cả mọi người
hay nói cách khác, sáng tạo là sáng tạo ngay từ bản thân!
1.1.2. Người học sáng tạo
Từ quan điểm về sáng tạo trên, tôi xin đưa ra ý kiến của mình về người
học sáng tạo:
Trước hết, xuất phát từ niềm đam mê học tập thì người học mới sáng
tạo được. Người học sáng tạo là người có khả năng tìm thấy điều mới mẻ từ
khả năng quan sát và nhận biết trong quá trình học tập của mình. Nó sẽ giúp
bạn phát triển thêm những hiểu biết của mình, làm phong phú những ý tưởng

14
mới, để nhạy bén và sâu sắc hơn trong việc tìm kiếm ý tưởng và giải quyết

vấn đề.
Người học sáng tạo là người biết vận dụng những lý thuyết vào bài tập,
vào thực hành, vào xây dựng chuỗi kiến thức,… và ngay cả vào việc đưa ra ý
kiến của mình về mảng kiến thức nào đó.
1.2. Phép biến hình và vai trò trong chƣơng trình THPT
1.2.1. Phép biến hình
Đây là một vấn đề khó vì học sinh lần đầu tiên được làm quen với khái
niệm phép biến hình trong việc nghiên cứu hình học. Để hiểu được khái niệm
biến hình, chúng ta cần làm cho học sinh hiểu thế nào là một “hình” theo
nghĩa tập hợp và đồng thời cũng chứa đựng nội dung của “hình” theo nghĩa
thông thường như hình tam giác, hình tứ giác, hình tròn, v.v…Việc hiểu hình
là một “tập hợp điểm” giúp chúng ta hiểu thêm một số khái niệm có liên quan
như giao của hai hình, hợp của hai hình, tập hợp A là một bộ phận của tập
hợp B và do đó trong lập luận chúng chúng ta có thể dùng các kí hiệu của lý
thuyết tập hợp như:
AB
. Để kí hiệu điểm A thuộc đường thẳng d, ta kí hiệu
Ad
hoặc muốn chỉ rõ M là giao điểm hai đường thẳng a, b ta kí hiệu
 
M a b
hay
M a b
.
Việc nghiên cứu hình học theo quan điểm biến hình đã được nhà Toán
học Đức là Felix Klein (1849 – 1925) hệ thống lại trong “Chương trình
Erlangen” năm 1872. Trong chương trình này, Klein đã sắp xếp hệ thống các
phép biến hình lại thành những nhóm biến hình khác nhau. Dựa vào các bất
biến của mỗi nhóm với các nhóm con của nó, Klein đã xác lập được mối quan
hệ giữa các thứ hình học để hệ thống hóa các thứ hình học theo quan điểm

mới và hiện đại. Thí dụ như về quan hệ giữa các nhóm biến hình hình học có
sắp xếp: Nhóm xạ ảnh

Nhóm afin

Nhóm đồng dạng

Nhóm dời hình.
Trong chương trình Hình học lớp 11 học sinh được học các phép hình
học cụ thể như phép tịnh tiến, phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm và phép
quay thông qua định nghĩa và tính chất cơ bản của các phép biến hình đó.

15
1.2.2. Một số dạng bài tập cơ bản và phương pháp giải trong phép biến
hình ở trường THPT
Dạng thứ nhất là xác định ảnh của một điểm, một hình qua phép biến
hình. Với dạng này chúng ta có thể sử dụng định nghĩa hoặc biểu thức tọa độ
của phép biến hình để giải.
Dạng thứ hai là tìm các yếu tố của phép biến hình khi biết hình và ảnh
của nó. Chẳng hạn như xác định trục đối xứng của một đa giác ta có thể sử
dụng tính chất: “Nếu một đa giác có trục đối xứng d thì qua phép đối xứng
trục d mỗi đỉnh của nó phải biến thành một đỉnh của đa giác, mỗi cạnh của đa
giác phải biến thành một cạnh của đa giác đó”.
Hay xác định tâm đối xứng của hình, nếu hình đã cho là một đa giác thì
sử dụng tính chất: “Một đa giác có tâm đối xứng I thì qua phép đối xứng tâm I
mỗi đỉnh của nó phải biến thành một đỉnh của đa giác, mỗi cạnh của đa giác
phải biến thành một cạnh đa giác song song và bằng cạnh ấy”. Nếu hình đã
cho không phải là đa giác thì sử dụng định nghĩa.
Bên cạnh đó, chúng ta có thể tìm tâm vị tự của hai đường tròn (I; R) và
(I; R’) bằng cách sử dụng kiến thức sau:

Nếu như I trùng I’ thì tâm vị tự là I như hình vẽ

Còn nếu I khác I’ và
'RR
thì tâm vị tự ngoài là O, tâm vị tự trong là O
1


16

Hay I khác I’ và
'RR
thì tâm vị tự là O
1

Ngoài ra, để tìm phép đồng dạng biến hình (h) thành hình (h’) chúng
ta có thể tìm cách biểu thị phép đồng dạng đó như kết quả của việc thực hiện
liên tiếp các phép đồng dạng quen biết.
Dạng thứ ba là các bài toán về mối liên quan giữa một số phép dời hình
quen biết. Hay cụ thể là, chứng minh phép dời hình này là kết quả của việc
thực hiện một số phép dời hình khác chúng ta có thể sử dụng định nghĩa của
các phép dời hình liên quan.
1.2.3. Vai trò của vận dụng phép biến hình để giải một số bài toán trong
chương trình trung học phổ thông
Hình học phẳng là một trong những phần kiến thức khó đối với đại đa
số học sinh, các bài toán thì có nhiều lời giải khác nhau. Một số dạng bài toán

17
đã học như: Chứng minh, dựng hình, quỹ tích,… hay gặp khó khăn với những
lời giải thông thường. Tuy nhiên, khi vận dụng đực kiến thức phép biến hình

vào giải quyết thì bài toán trở nên đơn giản hơn và lời giải lại hết sức gọn
gàng, dễ hiểu.
Mặt khác, để vận dụng đực phép biến hình vào giải một số bài toán
trong chương trình trung học phổ thông đòi hỏi người học cần có kiến thức
sâu sắc cũng như khả năng xâu chuỗi và vận dụng kiến thức đó.
Chính vì thế, việc vận dụng không chỉ giúp người học nắm vững
kiến thức mà sẽ có tác dụng lớn trong việc phát triển khả năng sáng tạo
của các em.
1.3. Vận dụng phép biến hình để giải một số bài toán ở trƣờng THPT
1.3.1. Một vài bài toán vận dụng phép biến hình để giải
Một là, bài toán chứng minh các tính chất hình học có thể tiến hành
theo hai bước. Thứ nhất, ta thực hiện một phép biến hình thích hợp và sau đó
sử dụng các tính chất của phép biến hình này để giải quyết các yêu cầu của
bài toán.
Hai là, để dựng một hình thỏa mãn điều kiện cho trước chúng ta cũng
giải theo hai bước cơ bản. Thứ nhất, ta dựng các điểm của hình theo cách sau:
“Để dựng một điểm M ta tìm cách xác định nó như là ảnh của một phép biến
hình hoặc xem điểm M như là giao của một đường cố định với ảnh của một
đường đã biết qua một phép biến hình”. Sau đó, đưa ra kết luận và biện luận
số lượng hình cần dựng
Ba là, tìm tập hợp điểm thỏa mãn một số điều kiện đã cho. Với bài toán
này ta cần chú ý: Nếu có một phép biến hình f xác định , biến một điểm E di
động thành điểm M và nếu ta tìm được tập hợp (h) của các điểm E thì tập hợp
điểm M là ảnh của hình (h) qua phép biến hình f.

1.3.2. Cách nhận biết lớp các bài toán hình học có khả năng giải được
bằng phương pháp biến hình

18
Về mặt nguyên tắc, bất kì bài toán hình học nào cũng có thể giải bằng

phương pháp tọa độ (còn gọi là phương pháp đại số). Tuy nhiên, nhiều bài
toán giải bằng phương pháp tổng hợp lại đi đến kete quả nhanh chóng, gọn
gàng và đẹp hơn nhiều. Cũng vậy, nhiều bài toán hình học có thể giải được
nhanh chóng và gọn gàng nếu biết sử dụng phương pháp vectơ.
Như chúng ta đã thấy, thường thì một bài toán hình học có thể giải
được bằng nhiều cách khác nhau, chí ít là một cách: phương pháp tổng hợp
hay phương pháp tọa độ. Tuy nhiên đứng trước một bài toán mới về hình học
ta nên xem xét cẩn thận để lựa chọn phương pháp giải phù hợp sao cho đạt
kết quả nhanh chóng, gọn và dễ dàng nhất.
Để có thể giải được một bài toàn hình học bằng phương pháp biến hình
trước hết phải nhận ra được dấu hiệu của lớp các bài toán có khả năng giải
được bằng phương pháp này. Tuy nhiên, không phải bài toán nào cũng giải
được bằng phương pháp biến hình. Một câu hỏi đặt ra là: Làm thế nào để
nhận biết một bài toán hình học nào đó có thể giải được bằng phương pháp
biến hình?
Muốn vậy, ta hãy trở lại phân tích những dạng bài toán ở mục 1.3.1. Cơ
sở của việc có thể sử dụng phép biến hình này nọ vào mỗi bài toán đã được
chỉ ra. Thường thì trong dữ kiện của mỗi bài toán và (hoặc) trong tính chất
của hình đòi hỏi phải thiết lập (chứng minh) hoặc trong điều kiện đòi hỏi ở
hình cần dựng đã xuất hiện những yếu tố có mối liên hệ đáng chú ý đến một
phép biến hình cụ thể nào đó.
Tóm lại, muốn nhận biết được một bài toán hình học nào đó có khả
năng giải được bằng phương pháp biến hình (cụ thể là phương pháp dời hình,
bao gồm tịnh tiến, đối xứng – tâm, đối xứng – trục, quay hoặc phép đồng
dạng,…), trước hết chúng ta phai xem xét, phân tích nội dung bài toán để tìm
ra yếu tố nào trong đó có mốt liên hệ đáng chú ý đến một phép biến hình cụ
thể nào đó. Sau đó vận dụng các tính chất của phép biến hình này mà tìm lời
giải hay đáp của bài toán được xét. Đặc biệt, đáng chú ý là phương pháp biến

19

hình cũng thường gặp và được sử dụng trong giải bài toán quỹ tích và dựng
hình, nhất là toán dựng hình. Theo quan điểm của lí thuyết tập hợp thì hình là
một tập hợp điểm nào đó. Bởi vậy, việc dựng một hình hình học nào đólại quy
về dựng một số hữu hạn điểm đủ để xác định, cũng có nghĩa đủ để xác định
hình đó. Trong mặt phẳng, thông thường một điểm được xác định bởi giao hai
đường, trong đó có đường thẳng và đường conic mà đường tròn là một Elip
đặc biệt. Trong hai đường dùng để xác định điểm phải dựng là một trong các
giao điểm của chúng, thường thì một đường đã có sẵn trong dữ kiện bài toán
còn đường thứ hai là quỹ tích những điểm có tính chất đặc trưng nào đó và
được suy ra từ những đường đã cho trong dữ kiện của bài toán bởi một phép
biến hình nào đó. Phép biến hình này được phát hiện để sử dụng nhờ việc
phân tích cụ thể nội dung bài toán hình học được đặt ra như đã nói trên. Tóm
lại, có những bài toán chỉ xoay quanh việc sử dụng phương pháp biến hình
vào việc giải toán dựng hình, cũng có bài toán cần khai thác tính chất biến
hình nào đó mà từ đấy (có thể kết hợp với một vài tính chất hình học khác) để
tìm ra quỹ tích điểm. Tuy nhiên, cũng lưu ý thêm rằng trong nhiều trường hợp
khác, chúng ta lại giải được bài toán quỹ tích bằng phương pháp biến hình
nhờ vận dụng được tính chất hình học đặc trưng (kể cả định nghĩa) của phép
biến hình đó.
1.4. Cơ sở thực tiễn của việc việc hƣớng dẫn học sinh vận dụng phép biến
hình để giải bài toán ở trƣờng THPT
1.4.1. Tìm hiểu thực tiễn về dạy học phép biến hình ở trường THPT
Thứ nhất, xét về nội dung chương trình thì đây là nội dung của chương
1 sách giáo khoa Hình học 11 (chương trình chuẩn). Chương này được chia
thành 8 bài và ôn tập chương như sau:
§1. Phép biến hình và §2. Phép tịnh tiến (2 tiết)
Sau khi học xong, học sinh cần đạt được những yêu cầu sau:
- Nắm được định nghĩa các phép biến hình, một số thuật ngữ và kí hiệu liên
quan đến nó.

20
- Nắm được định nghĩa về phép tịnh tiến. Hiểu được phép tịnh tiến hoàn toàn
xác định khi biết vectơ tịnh tiến.
- Biết được biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến. Biết vận dụng nó để xác định
tọa độ ảnh của một điểm, phương trình đường thẳng là ảnh của một điểm,
phương trình đường thẳng cho trước qua một phép tịnh tiến.
- Hiểu được tính chất cơ bản của phép tịnh tiến là bảo toàn khoảng cách
§3. Phép đối xứng trục (1 tiết)
Sau khi học xong, học sinh cần đạt được những yêu cầu sau:
- Hiểu được định nghĩa, tính chất và biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục
qua các trục tọa độ.
- Nắm được thế nào là trục đối xứng của một hình và hình có trục đối xứng
- Dựng được ảnh của một điểm, một đoạn thẳng, một tam giác, một đường
tròn qua một phép đối xứng trục.
- Biết cách xác định trục đối xứng của một hình và nhận biết một hình có trục
đối xứng.
- Nhận biết được một hình H
’
là ảnh của một hình H qua một phép đối xứng
trục.
- Biết quy lạ về quen, phát triển trí tưởng tượng, suy luận logic.
- Tích cực trong phát hiện và chiếm lĩnh tri thức.
§4. Phép đối xứng tâm (1 tiết)
Sau khi học xong, học sinh cần đạt được những yêu cầu sau:
- Hiểu được định nghĩa, tính chất cúa phép đối xứng tâm
- Nắm được biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua tâm O
- Nắm được thế nào là tâm đối xứng của một hình và hình có tâm đối xứng
- Biết dựng ảnh của một điểm, một đoạn thẳng, một tam giác, một đường tròn
qua một phép đối xứng tâm.
- Biết cách xác định tâm đối xứng của một hình và nhận biết một hình có tâm

đối xứng.

21
- Biết xác định toạ độ ảnh của một điểm, đường thẳng, đường tròn… qua
phép đối xứng tâm O
- Biết quy lạ về quen, phát triển trí tưởng tượng, suy luận logic.
- Tích cực trong phát hiện và chiếm lĩnh tri thức.
§5. Phép quay (1 tiết)
Sau khi học xong, học sinh cần đạt được những yêu cầu sau:
- Nắm vững định nghĩa và tính chất của phép quay.
- Biết xác định chiều quay và góc quay.
- Dựng được ảnh của một điểm, một đoạn thẳng, một tam giác qua phép quay.
- Rèn luyện tư duy logic cho học sinh.
- Rèn luyện một số thao tác tư duy cơ bản.
- Liên hệ được với nhiều vấn đề có trong thực tế với phép quay.
§6. Khái niệm về phép dời hình và hai hình bằng nhau (1 tiết)
Sau khi học xong, học sinh cần đạt được những yêu cầu sau:
- Nắm được định nghĩa và các tính chất của phép dời hình.
- Biết được các phép tịnh tiến, phép đx trục, đx tâm, phép quay đều là phép
dời hình.
- Biết được khi thực hiện liên tiếp 2 phép dời hình ta được một phép dời hình.
- Nắm được định nghĩa của hai hình bằng nhau.
- Vẽ được ảnh của một hình đơn giản qua phép dời hình.
- Bước đầu vận dụng phép dời hình trong một số bài tập đơn giản.
- Rèn luyện tư duy logic, tư duy tổng hợp cho học sinh.
- Hiểu được thế nào là hai hình bằng nhau.
- Biết được toán học có ứng dụng trong thực tế.
§7. Phép vị tự (1 tiết)
Sau khi học xong, học sinh cần đạt được những yêu cầu sau:

- Nắm được định nghĩa và các tính chất của phép vị tự.
- Biết được ảnh của đường tròn qua phép vị tự.

22
- Tìm ảnh của một điểm, ảnh của một hình đơn giản qua phép vị tự
- Biết phân biệt hai phép tự khác nhau khi nào.
- Biết cách tính biểu thức tọa độ của ảnh của một điểm và phương trình đường
thẳng cho trước qua một phép vị tự.
- Biết cách tìm tâm vị tự của hai đường tròn.
- Rèn luyện tư duy logic, tư duy hình học.
- Liên hệ được với thực tế.
§8. Phép đồng dạng (1 tiết)
Sau khi học xong, học sinh cần đạt được những yêu cầu sau:
- Hiểu được định nghĩa phép đồng dạng.
- Hiểu được tính chất cơ bản của phép đồng dạng và hai hình đồng dạng.
- Nhận biết được phép dời hình và phép vị tự là trường hợp riêng của phép
đồng dạng.
- Biết được phép đồng dạng có được là thực hiện liên tiếp hai phép biến hình.
- Nhận biết được các hình đồng dạng trong thực tế.
Thứ hai, tiến hành điều tra về việc dạy và học nội dung phép biến hình
ở trường THPT thông qua phiếu dưới đây:
PHIẾU ĐIỀU TRA HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC PHÉP BIẾN HÌNH
Câu 1: Theo thầy (cô) vai trò của phép biến hình trong chương trình
THPT như thế nào?
Rất quan trọng
Quan trọng nhưng không nhiều
Bình thường
Không cần có trong chương trình học
Câu 2: Theo Thầy (cô) những khó khăn lớn nhất trong dạy học phép biến

23
hình là gì?
Kiến thức mới
Thiếu giáo cụ trực quan
Học sinh thụ động
Kiến thức trừu tượng, khó hiểu
Câu 3: Thầy (cô) đã dạy phép biến hình như thế nào?
Dạy cho đủ chương trình
Dạy qua kiến thức và chỉ làm một vài bài tập trong sách giáo
khoa
Luyện tập bài tập cho học sinh biết cách nhận dạng phép
biến hình và xác định ảnh qua phép biến hình
Dạy theo chuẩn sách giáo khoa và vận dụng phép biến hình
giải một số bài toán khác
Câu 4: Theo Thầy (cô) cần điều chỉnh gì ở nội dung kiến thức và bài tập
phép biến hình trong sách giáo khoa (ban cơ bản)
Bỏ phần này
Giảm chương trình
Giữ nguyên như cũ
Thêm chương trình

24
Theo điều tra bằng phiếu đối với giáo viên, đa số chỉ dạy qua kiến thức
và chỉ làm một vài bài tập trong sách giáo khoa. Trong tiết dạy chỉ luyện tập
bài tập cho học sinh biết cách nhận dạng phép biến hình và xác định ảnh qua
phép biến hình. Nhiều giáo viên cho rằng, cần giảm tải nội dung này bởi đây
không phải là nội dung thực sự cần thiết.

PHIẾU ĐIỀU TRA HOẠT ĐỘNG HỌC PHÉP BIẾN HÌNH
CỦA HỌC SINH

Câu 1: Em thấy sau khi học phép biến hình Em thấy vai trò của phần này
như thế nào?
Rất quan trọng
Quan trọng nhưng không nhiều
Bình thường
Không cần có trong chương trình học
Câu 2: Những khó khăn của em khi học phép biến hình
Kiến thức cơ bản nắm chưa chắc
Khả năng tưởng tượng, tư duy hàm, tư duy lôgic còn hạn chế
Có tâm lí sợ học môn hình học
Nội dung ít thi nên tâm lý không tập trung




25
Câu 3: Em có nhận xét gì về nội dung phép biến hình giáo viên đã dạy?
Kiến thức ít
Kiến thức không sâu
Chủ yếu là luyện tập bài tập cho học sinh biết cách nhận
dạng phép biến hình và xác định ảnh qua phép biến hình
Dạy theo chuẩn sách giáo khoa và vận dụng phép biến hình
giải một số bài toán khác
Câu 4: Em mong muốn gì về nội dung phép biến hình trong sách giáo
khoa?
Bỏ phần này
Thêm kiến thức sâu về phần này
Có cũng được mà không có nội dung này cũng được
Nội dung như hiện tại là ổn

Qua điều tra thấy đa số học sinh chưa có hứng thú với nội dung này.
Các em không tập trung nhiều vào việc giải toán có liên quan đến phép biến
hình dẫn đến tâm lý không thích học về mảng nội dung này.
1.4.2. Thực trạng việc hướng dẫn học sinh vận dụng phép biến hình để giải
một số bài toán ở trường THPT
Đối với giáo viên, đa số giáo viên chưa thực sự tạo ra tâm thế hứng thú,
sẵn sàng lĩnh hội tri thức môn học để thúc đẩy tính tích cực tư duy của học
sinh, khắc phục tâm thế ngại, sợ khi tiếp cận nội dung chương học. Hình thức