KINH NGHIỆM DẠY- HỌC: GIẢI BÀI TẬP “BẤT ĐẲNG THỨC” HƯỚNG KHẮC PHỤC SAI LẦM - TẠO LẬP MỚI HỆ THỐNG BÀI TẬP

TrườngTHCS Buôn Trấp Sáng kiến kinh nghiệm năm học: 2009 - 2010
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Đề tài:
KINH NGHIỆM DẠY- HỌC: GIẢI BÀI TẬP “BẤT ĐẲNG THỨC”
HƯỚNG KHẮC PHỤC SAI LẦM - TẠO LẬP MỚI HỆ THỐNG BÀI TẬP
Họ và tên : Phạm Thị Vỹ
Giáo viên trường trung học cơ sở Buôn Trấp
Trình độ chuyên môn : ĐẠI HỌC SƯ PHẠM – CHUYÊN NGÀNH TOÁN .
I/ LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Toán học là một trong những bộ môn khoa học tự nhiên, được phát sinh từ nhu cầu
thực tế của con người. Dạy toán là dạy hoạt động toán học cho học sinh, trong đó giải bài tập
là hình thức chủ yếu, do đó dạy học giải bài tập có một vị trí vô cùng quan trọng.
Đặc trưng của bài tập bộ môn toán nói chung, và thể loại toán về “bất đẳng thức” nói
riêng vô cùng rộng lớn và phong phú cả về thể loại, nội dung cũng như mức độ yêu cầu của
từng thể loại đó. Nó luôn là cơ sở, là nền tảng vững chắc cho bộ môn toán học và các bộ môn
khoa học tự nhiên khác. Loại bài tập này vận dụng được cho nhiều đối tượng học sinh trong
một lớp, một khối và trong nhiều cấp học. Đặc biệt dạng bài tập về bất đẳng thức được đánh
giá là loại bài nhằm phát triển tư duy trí tuệ của học sinh. Nó thường được đóng vai trò làm
câu khống chế điểm 9, điểm 10 trong các đề kiểm tra, đề thi hằng năm. Nhằm giúp giáo viên
chúng ta dễ dàng phát hiện, phân loại đối tượng học sinh, chọn lựa học sinh khá, giỏi trong
quá trình dạy học. Nếu học sinh biết giải và giải thành thạo loại toán này thì việc học bộ môn
toán sẽ không còn là rào cản hay thách thức đối với học sinh. Thế nhưng, theo nhận định chủ
quan của bản thân thì khả năng nhận thức, vận dụng kiến thức bộ môn toán vào thực tiễn cũng
như niềm đam mê toán học của học sinh hiện nay còn quá khiêm tốn.
Toán học là môn học luôn mang tính kế thừa, có nắm chắc kiến thức cơ bản về “bất
đẳng thức” biết vận dụng thành thạo kiến thức này trong việc giải bài tập thì may chăng mới
có thể mở rộng và nâng cao kiến thức sau này. Đó là cơ hội để bước vào trường chuyên, lớp
chọn, tương lai vào các trường đại học theo mong ước. Người ta thường nói ( móng có chắc
thì tường mới vững ).
Qua nhiều năm dạy học, qua nhiều kì kiểm tra và không ít lần được chọn bồi dưỡng
học sinh giỏi, bản thân tôi nhận thấy khả năng tiếp thu và vận dụng kiến thức của học sinh

cũng như việc ra đề kiểm tra về mảng kiến thức “bất đẳng thức” của một số không ít học sinh
và ngay cả giáo viên vẫn còn nhiều lúng túng. Đề bài thường mang tính khuôn mẫu hay sao
chép từ nhiều tài liệu khác nhau. Kết quả bài làm của học sinh còn đặt nặng tính may rủi. Nếu
mỗi giáo viên chúng ta cùng nhìn thấy được tầm quan trọng của loại toán này, biết dựa vào sự
phong phú và tính đa dạng của nó thì chắc chắn khi đứng lớp chúng ta có thể tự tin chủ động
được kiến thức. Khôn khéo lựa chọn phương pháp giải phù hợp đối với từng loại bài tập cụ
thể. Hơn thế, mỗi giáo viên chúng ta có thể linh hoạt hơn trong việc giúp học sinh khắc phục
sai lầm khi giải bài tập. Tự cải biên đề bài, ra đề bài phù hợp với khả năng của nhiều học sinh.
Có thể mở rộng, nâng cao kiến thức ngay trên một tiết học. Việc làm này không những phù
hợp với nhiều đối tượng học sinh, tạo cho không khí lớp học thêm phần sinh động mà còn
phát huy được tố chất toán học đang tiềm ẩn trong mỗi học sinh. Đáp ứng được nhu cầu đổi
mới phương pháp dạy học toán hiện nay. Thuận lợi cho giáo viên trong việc phụ đạo học sinh
yếu kém, đồng thời bồi dưỡng học sinh khá giỏi.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Người viết : Phạm Thị Vỹ
1
TrườngTHCS Buôn Trấp Sáng kiến kinh nghiệm năm học: 2009 - 2010
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Vậy làm thế nào để mỗi giáo viên chúng ta tự tin hơn, làm chủ được mảng kiến thức về
“Bất đẳng thức” khi truyền tải đến với học sinh, hướng dẫn và giúp học sinh biết tránh sai lầm
thường mắc khi giải loại bài tập này. Từ đó biết cải biên đề bài, tạo mới hệ thống bài tập, biết
vận dụng khả năng mở rộng kiến thức nhằm dễ dàng đạt được điểm tối đa trong các bài kiểm
tra, bài thi. Giáo viên khi thực thi tiết dạy, không còn quá lệ thuộc vào sách giáo khoa. Đặc
biệt hơn, đó là việc ra đề thi, đề kiểm tra ít có, hoặc không có sự trùng lặp đề năm nay với đề
năm trước, đề kì này với đề kì trước. Chấm dứt được sự ỉ lại hay mong chờ may rủi trong thi
cử, kiểm tra của học sinh. Đó chính là lí do mà đề tài cần quan tâm.
II/ ĐỐI TƯỢNG, CƠ SỞ VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:
1) Đối tượng nghiên cứu : Học sinh và một số giáo viên dạy toán của trường trung
học cơ sở Buôn Trấp và các trường lân cận trong huyện Krông Ana, Tỉnh Đắc Lắc.
2) Cơ sở nghiên cứu : Căn cứ vào chất lượng học sinh từ lớp 8 đến lớp 9 và học sinh

lớp 9 thi vào lớp 10 các trường THPT, trường THPT chuyên của các năm 1996-1997; 1997
-1998; 2001- 2002; 2002 - 2003; 2005 - 2006 và năm học này.
3) Phương pháp nghiên cứu : Phối hợp đồng loạt tất cả các phương pháp: “trò
chuyện”, “đàm thoại”, “phỏng vấn trực tiếp, gián tiếp”, “điều tra trên phiếu học tập, thông qua
kết quả các bài kiểm tra 15 phút, 45phút, 90 phút, đề thi học sinh giỏi các cấp, đề thi vào lớp
10 THPT qua nhiều năm,v..v.
Tài liệu nghiên cứu: Sách giáo khoa, sách giáo viên trong toàn cấp học. Các đầu sách
tham khảo xuất bản của bộ giáo dục và đào tạo nói về Bất đẳng thức. Sách nói về phương
pháp dạy học – dạy học giải bài tập ( của trường đại học sư phạm) .v..v
III/ NỘI DUNG VÀ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU :
1) Nhiệm vụ của đề tài : Thực ra, loại toán có dạng “bất đằng thức” các em đã tiếp cận
ngay từ cấp tiểu học. Tuy nhiên mức độ yêu cầu của bài tập chỉ mới dừng lại ở phạm vi: quan
sát so sánh, điền dấu ( >; < ) vào ô trống hoặc biểu thức nào lớn hơn ? vì sao ?. Đối với học
sinh lớp 6, lớp 7 các dạng bài tập về bất đẳng thức được tăng dần với mức độ từ thấp đến cao,
tuy nhiên cụm từ “bất đẳng thức” vẫn còn là bí mật. Có chăng cũng chỉ là dạng bài: so sánh
biểu thức A và biểu thức B; khẳng định sau đúng hay sai? Vì sao? ; chứng minh biểu thức A
> B hoặc A < B. Lên đến lớp 8 lớp 9, yêu cầu về mức độ nhận thức cũng như vận dụng kiến
thức có sự đòi hỏi cao hơn. Các em cũng đã biết vận dụng định nghĩa, tính chất và một số
phương pháp thông thường để giải bài tập bất đẳng thức, biết tìm điều kiện của chữ để một
biểu thức luôn dương, luôn âm, hay biểu thức này lớn hơn biểu thức kia. Vấn đề mà đề tài cần
quan tâm ở đây là: Mức độ hiểu biết, nhận thức và khả năng vận dụng kiến thức về “bất đẳng
thức” đối với cả giáo viên và học sinh cần phải đạt ở mức cao hơn, linh hoạt, sáng tạo hơn.
Đối với học sinh, là người được lĩnh hội kiến thức và vận dụng kiến thức nhằm phát
huy năng lực, phát triển trí tuệ. Để việc tiếp thu cũng như vận dụng có hiệu quả về mảng kiến
thức này, đòi hỏi các em phải có sự cần cù, chịu khó, biết liên tướng, ghép nối các kiến thức
đã được học một cách liên tục, lôgic, có hệ thống. Kiến thức có trước bao giờ cũng là tiền đề
cho kiến thức có sau. Và ngược lại, kiến thức có sau là sự kế thừa hoặc mở rộng từ kiến thức
có trước. Chính vì vậy học sinh phải có sự đam mê trong việc tự học, tự nghiên cứu và vận
dụng. Việc làm này, yêu cầu này đối với mọi học sinh thật không dễ chút nào.
- Đối với giáo viên, là người trực tiếp truyền tải kiến thức đến với học sinh, là người

chịu trách nhiệm trong việc ra đề thi, kiểm tra, đánh giá chất lượng học sinh. Chất lượng day
học của thầy được đánh giá bằng sự cân, đo, đong, đếm qua sự đam mê, tự giác nghiên cứu và
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Người viết : Phạm Thị Vỹ
2
TrườngTHCS Buôn Trấp Sáng kiến kinh nghiệm năm học: 2009 - 2010
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
hiệu quả vận dụng kiến thức của học sinh thông qua các kì thi. Do đó, ngoài việc chăm lo
trang bị cho mình có một nghiệp vụ sư phạm vững vàng, một hành trang kiến thức vững chắc,
người giáo viên chúng ta cần phải thường xuyên học hỏi, tự trau dồi cho mình một kĩ năng và
nghệ thuật sư phạm trên bục giảng. Đặc biệt đối với loại bài tập “bất đẳng thức”, được mệnh
danh là loại bài tập khó dạy, khó học nhất. Như chúng ta đã biết, việc giải bài tập là một yêu
cầu quan trọng đối với mọi học sinh. Hơn nữa, loại bài tập về chứng minh “bất đẳng thức” rất
khó nêu lên một phương pháp tổng quát để chứng minh, do tính đa dạng của các bất đẳng thức
phải chứng minh cũng như các phương pháp chứng minh. Vì vậy, khi dạy bài tập loại toán
này, người dạy không chỉ đơn thuần cung cấp kiến thức mà còn dạy cho học sinh biết cách
suy nghĩ, tìm ra con đường giải. Từ đó rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức một cách linh
hoạt, sáng tạo để cải biên đề bài, tạo mới hệ thống bài tập. Nhằm hình thành tư duy, phát
triển năng lực trí tuệ cho học sinh. Đó là nhiệm vụ không thể xem nhẹ đối với mỗi giáo viên
chúng ta.
A: GIẢI BÀI TẬP “BẤT ĐẲNG THỨC”
Là giáo viên dạy toán, hẳn ai cũng thấy được việc dạy học sinh biết giải và giải thành
thạo bài tập về đẳng thức đã khó thì việc dạy giải bài tập về “bất đẳng thức” lại càng khó hơn.
Bởi lẻ khái niệm bất đẳng thức thức vô cùng phức tạp, một bất đẳng thức có thể đúng, nhưng
lại có thể sai, đúng trong miền xác định này nhưng lại sai trong miền xác định khác.
Ví dụ : 3x +1 > 2x + 5 có giá trị chân lí đúng với mọi x > 4 , nhưng lại sai với mọi x
≤
4 .
Ngôn ngữ của bất đẳng thức lại được diễn đạt theo nhiều nghĩa khác nhau ( >; < ;
;≤ ≥

; lớn ,
hơn, bé hơn, không lớn hơn, không nhỏ hơn). Nếu học sinh không nắm vững định nghĩa, tính
chất của bất đẳng thức thì e rằng việc giải bài tập dạng này thật là khó khăn. Để đạt được
nhiệm vụ chung nói trên, cả giáo viên và học sinh cần phải hiểu một cách sâu sắc và nắm
vững định nghĩa, tính chất của bất đẳng thức.
*Định nghĩa1:Hai biểu thức A và B được nối với nhau bởi một trong các quan hệ( <;
≤
; >;
≥
) thì ta nói có một bất đẳng thức. chẳng hạn: (A>B ; A < B ; A
≥
B ; A
≤
B) là các bất đẳng
thức
* Định nghĩa 2: A>B
⇔
A – B>0; A < B
⇔
A – B < 0; A
≥
B
⇔
A – B
≥
0 ;
A
≤
B
⇔

A – B
≤
0
* Tính chất của các quan hệ: Trong quan hệ ( < ; >) thì có tính chất bắc cầu. Trong quan hệ (
≤
;
≥
) thì có tính chất phản xạ, phản xứng, bắc cầu .
* Một số định lí thường dùng.
1. a > b
⇔
b<a 3. a + c > b
⇔
a > b – c
2. a > b
⇔
a
±
m > b
±
m 4.
a b
a c b d
c d
>

⇒ + > +

>


Tổng quát
1 1
2 2
1 2 1 2
.... ....
...........
n n
n n
a b
a b
a a a b b b
a b
>
>


>

⇒ + + + > + + +



>

(không trừ vế theo vế)
5.
. . 0
. . 0
a c b c c
a b

a c b c c
> ∀ >

> ⇔

< ∀ <

đặc biệt –a < -b
⇔
a > b
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Người viết : Phạm Thị Vỹ
3
TrườngTHCS Buôn Trấp Sáng kiến kinh nghiệm năm học: 2009 - 2010
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
6.
0
. .
0
a b
a c b d
c d
> ≥

⇒ >

> ≥

* Tổng quát :
1 1

2 2
1 2 1 2
0
0
. .... . ....
...............
0
n n
n n
a b
a b
a a a b b b
a b
> ≥


> ≥

⇒ >



> ≥

( Không chia vế theo vế )
7. a>b
0
≥
⇒
,

n n
a b n Z
+
> ∀ ∈
8. a>b
0
≥
⇒
; 2
n n
a b n Z n
+
> ∀ ∈ ≥
9 . a>b và ab>0
⇒
1 1
a b
<
Chú ý: a
2

≥
0 với
∀
a
∈
R a
2
>0 với
∀

a
∈
R. a
≠
0
* Một số bất đẳng thức thường dùng trong khi giải bài tập .
+ Bất đẳng thức ( a
±
b)
2

≥
0 với
∀
a, b.
+ Bất đẳng thức Côsi ( cauchy) : với a
≥
0, b
≥
0 thì a + b
≥
2
ab
hoặc
2
a b
ab
+
≥
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b

+ Bất đẳng thức bunhiacôpxki :
( )
( ) ( )
2
2 2 2 2
ac bd a b c d+ ≤ + +
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
a b
c d
=
Bài tập toán loại “Bất đẳng thức” rất đa dạng và phong phú. Nó phong phú cả về thể
loại nội dung cũng như mức độ yêu cầu nên khi dạy loại toán này chúng ta cần nghiên cứu kĩ
nội dung đề bài, mức độ yêu cầu của đề bài, tìm hiểu xem, người học thuộc đối tượng nào. Từ
đó tìm và chọn lựa phương pháp giảng dạy phù hợp cho từng loại bài, đáp ứng phần lớn nhu
cầu của từng đối tượng cần học.
Cho dù sử dụng phương pháp dạy học nào thì trước khi dạy giải bài tập, giáo viên
chúng ta cần phải cho học sinh được ôn lại kiến thức lí thuyết bổ trợ cho bài tập. Nắm được lý
thuyết, hiểu và biết vận dụng, chắc chắn sẽ thành công phần lớn trong việc giải bài tập. Mặc
dầu chưa có một phương pháp tổng quát nào nói về chứng minh: “Bất đẳng thức”. Song từ
các bài tập cụ thể và yêu cầu cụ thể ta có thể đưa ra “Một số” phương pháp đại cương sau
dùng để giải bài tập dạng này.
+ Phương pháp so sánh.
+Phương pháp xét hiệu (dựa vào định nghĩa)
+ Phương pháp biến đổi tương đương (phương pháp biến đổi trực tiếp )
+ Phương pháp dùng bất đẳng thức có sẵn
+ Phương pháp phân tích số hạng
Để giúp giáo viên và học sinh thuận lợi, dễ dàng hơn trong việc dạy cũng như việc học
giải bài tập về bất đẳng thức, Ta có thể tạm chia các bài tập dạng này thành hai loại.
( Loại bài có sẵn thuật toán và loại bài chưa có sẵn thuật toán ). Sau đây là một số bài tập cụ
thể minh họa cho nhận định trên.

A.1/ Loại bài tập có sẵn thuật toán :
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Người viết : Phạm Thị Vỹ
4
TrườngTHCS Buôn Trấp Sáng kiến kinh nghiệm năm học: 2009 - 2010
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Đối với loại bài tập đã có thuật toán, khi dạy giáo viên chúng ta yêu cầu học sinh
không được xem nhẹ vì đây là cơ sở quan trọng để tiến tới giải các bài tập có nội dung khó
hơn, phức tạp hơn . Do vậy học sinh cần hiểu rõ thuật toán là:
+ Năm vững quy tắc giải đã học .
+ Nhận dạng đúng bài toán
+ Giải theo quy tắc một cách thành thạo .
Đối với học sinh lớp 6, lớp 7 các bài tập về “bất đẳng thức” cũng chỉ là dạng bài: so
sánh biểu thức A và biểu thức B; khẳng định sau đúng hay sai? Vì sao?. Chứng minh số A >
số B hoặc số A < số B, cụm từ “ bất đẳng thức” vẫn còn là bí mật.
Ví dụ 1: a) so sánh : 200
300
với 300
200
hoặc chứng minh 200
300
> 300
200

b) So sánh : -200
300
với -300
200
hoặc chứng minh -200
300

< -300
200

c)So sánh : 200
-300
với 300
-200
hoặc chứng minh
300 200
1 1
200 300
p
Để dạy loại bài tập này giáo viên chúng ta nên cho học sinh ôn lại kiến thức lũy thừa, nâng
một lũy thừa lên một lũy thừa, so sánh hai lũy thừa có cùng cơ số hoặc cùng số mũ. So sánh
các số nguyên âm, so sánh nghịch đảo của các số nguyên dương. Từ đó hướng dẫn các em
biến đổi các số đã cho về mục đích cần so sánh của mình, dùng phép biến đổi từng vế:
A = A
1
=A
2
= ... = A
n

B = B
1
= B
2
= ... = B
n

Nếu A
n
> B
n
thì A > B
Giải: Câu a) 200
300
=
( )
( )
100
3
100
200 8000000=

300
200
=
( )
( )
100
2
100
300 90000=
Vậy 200
300
> 300
200

Câu b và câu c: Từ kết quả câu a và các quy tắc so sánh hai số hai số nguyên âm, so sánh

nghịch đảo của hai số nguyên dương ta suy ra được :
b) -200
300
< -300
200
c)
300 200
1 1
200 300
p
Với loại bài tập này, giáo viên lưu ý cho học sinh nên tạo lập mới đề bài, xây dựng
thành một hệ thống bài tập mới ( bằng cách thay đổi cơ số hoặc số mũ ). Việc làm này tạo cho
học sinh thói quen luôn nghiên cứu, mở rộng khả năng hiểu biết. Nhằm rèn luyện kĩ năng tư
duy, phát triển trí tuệ cho học sinh.
Ví dụ 2: Chứng minh biểu thức sau : A =
1 1 1
....
1.2 2.3 2009.2010
+ + +
< 1
Đây là một dạng bài quen thuộc, phổ biến rộng rãi trong toàn cấp học. Vận dụng được cho
nhiều đối tượng học sinh, nó tính chất giúp học sinh phát triển trí tuệ, hình thành năng lực tư
duy, rèn luyện kĩ năng trình bày lời giải bài tập. Vì vậy, khi dạy loại toán này giáo viên chúng
ta yêu cầu học sinh nhận xét đặc điểm của từng phân số, tìm ra điểm giống nhau của các phân
số, từ đó rút ra được công thức tổng quát chung cho mọi phân số, tiến hành thực hiện công
thức theo thuật giải.
Ta có :
( )
1 1 1
. 1 1n n n n

= −
+ +
với n
∈
N
*
khi đó :
1 1 1 1 1 1
;
1.2 1 2 2.3 2 3
= − = −
nên
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Người viết : Phạm Thị Vỹ
5
TrườngTHCS Buôn Trấp Sáng kiến kinh nghiệm năm học: 2009 - 2010
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
A =
1 1 1 1 1 1
...
1 2 2 3 2009 2010
− + − + + −
=
1 1
1 2010
−
=
2009
2010
Vậy A < 1

Cũng bài toán đó, song tùy từng đối tượng sinh mà giáo viên đặt ra các mức yêu cầu khác
nhau, chẳng hạn
+ Đối với lớp 6, 7 thì yêu cầu: Chỉ ra được công thức tổng quát, vận dụng công thức để tính
giá trị của biểu thức A.
+ Đối với lớp 8, lớp 9 thì yêu cầu: Chỉ ra và chứng minh được được công thức tổng quát. Dựa
vào công thức, dùng khả năng tư duy, lập luận để khẳng định A < 1 hoặc A không là số tự
nhiên .
Tương tự như dạng bài trên, sau khi giải bài tập giáo viên cho học sinh nêu hướng tạo lập hệ
thống bài tập mới có nội dung tương tự nhằm phát triển năng lực trí tuệ của các em.
Ví dụ 3: Cho a < b .Chứng tỏ rằng :
a) 2a +1 < 2b + 1 ; b) 4a + 1 < 4b + 5 ; c) a(a+2) < (a +1)
2
Với dạng toán này, yêu cầu học sinh ôn lại kiến thức về liên hệ giũa thứ tự và phép cộng ,
phép nhân. vận dụng tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép cộng, liên hệ giữa thứ tự và phép
nhân để chứng minh. Với câu b thì cho học sinh dùng thêm tính chất bắc cầu để kết luận .
Mỗi loại bài tập trên đều có thể triển khai đồng thời cho nhiều đối tượng học sinh trong
một lớp, nhiều lớp trong một khối. Chính vì vậy mỗi giáo viên chúng ta trước khi dạy dạng
này cần nghiên cứu kĩ, tìm hiểu nội dung, mức độ yêu cầu cho từng đối tượng học. Để từ đó
cân nhắc, chọn lọc, sắp đặt số lượng bài tập từ dễ đến khó, phân chia bài tập theo nhiều mức
độ, đảm bảo tính hệ thống, lôgic, phù hợp cho từng đối tượng học sinh. Được như vậy thì giờ
học mới trở nên lí thú, cuốn hút được học sinh, phù hợp phong trào “Xây dựng trường học
thân thiện, học sinh tích cực”. Giáo viên tăng cường cho học sinh cải biên đề bài, tạo ra hệ
thống bài tập mới ( bằng cách thay đổi một số dự kiện thích hợp ). Việc làm này không ngoài
mục đích khích lệ tinh thần tự học, phát huy tính sáng tạo, phát triển năng lực trí tuệ, khơi dậy
tố chất toán học đang tiếm ẩn trong mỗi học sinh.
 Ưu điểm và hạn chế: Các dạng bài đã nêu trên cơ bản đều đơn giản, dễ hiểu, dễ vận
dụng. dễ cải biên đề bài. Kiến thức được nâng dần từ dễ đến khó, giúp cho học sinh thuộc diện
đại trà cảm nhận được học toán không phải là quá khó. Từ đó giúp các em bớt đi mặc cảm lo
sợ khi học toán. Thấy được vẫn còn tia hy vọng về khả năng học toán. Phát huy được tính tích
cực, sáng tạo của học sinh khá giỏi. Giúp cho giáo viên dễ dàng truyền thụ kiến thức, cũng

như ra đề kiểm tra phù hợp nhiều đối tượng. Đáp ứng được nhu cầu đổi mới phương pháp dạy
học hiện nay. Hơn thế nữa là thuận lợi cho giáo viên trong việc phụ đạo yếu kém, củng cố kiến
thức cơ bản, bồi dưỡng cho học sinh khá giỏi ngay trong một tiết học.
- Hạn chế : Đôi khi giáo viên không chủ động được thời gian ( vì lượng bài tập đưa ra quá
nhiều). Nề nếp lớp học không theo ý muốn.
A.2/ Loại bài tập chưa có sẵn thuật toán:
Loại bài tập này chiếm một số lượng khá lớn, nó gây cho học sinh và cả giáo viên
không ít khó khăn, dẫn đến tâm lí sợ và ngại, thiếu tự tin vào khả năng của mình. Đây là một
trở ngại lớn cho chí tiến thủ vươn lên trong học tập của học sinh và trong dạy học của giáo
viên. Khi dạy học sinh giải bài tập dạng này, giáo viên chúng ta không chỉ đơn thuần cung cấp
lời giải mà quan trọng hơn là dạy cho học sinh biết cách suy nghĩ, tìm ra con đường hợp lí để
giải bài toán. Bởi vì “tìm được cách giải một bài toán là một điều phát minh” ( Pôlia – 1975).
Để giúp giáo viên và học sinh thuận lợi hơn trong khi trình bày lời giải dạng toán này, ta có
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Người viết : Phạm Thị Vỹ
6
TrườngTHCS Buôn Trấp Sáng kiến kinh nghiệm năm học: 2009 - 2010
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
thể sử dụng một số phương pháp đại cương thông thường. Thông qua lượng đồ giải toán 4
bước của Pôlia.như sau.
B1:Tìm hiểu kĩ nội dung bài tập B2: Xây dựng chương trình giải
B3: Thực hiện chương trình giải B4: Nghiên cứu lời giải
Mỗi giáo viên đều phải hiểu được, đây không phải là một thuật toán để giải bài tập, mà nó chỉ
mang tính chất hướng dẫn, gợi ý giúp cho giáo viên vận dụng vào từng bài cụ thể. Đó cũng là
sáng tạo trong dạy học .
Sau đây là một số ví dụ cụ thể minh họa cho nhận định trên.
a) Dùng phương pháp xét hiệu :
Ví dụ :Chứng minh rằng :
a)
2 2

1 1 2
1 1 1a b ab
+ >
+ + +
với a.b>1 b) a
2
+ b
2

1
2
≥
với a + b
≥
1
c) a
3
+ b
3
> a
2
b+ab
2
với a>0; b>0 d) a
4
+ b
4
> a
3
b + ab

3
với a>0; b>0
e) ( a
10
+ b
10
)(a
2
+b
2
)
≥
(a
8
+ b
8
)( a
4
+b
4
)
Đối với loại bài tập này, giáo viên cho học sinh quan sát kĩ đề bài, tìm hiểu xem bài
toán cho biết điều gì, yêu cầu ta phải làm gì ?. Để giải được bài tập dạng này ta cần liên hệ
giữa cái đã cho và cải phải tìm, dùng phương pháp phân tích để biết vận dụng những kiến thức
nào ?. Nếu khó quá, học sinh không thể trả lời thì giáo viên chúng ta nên có một số câu hỏi
phụ, nhằm gợi ý, giúp học sinh xây dựng được chương trình giải. Sau đó giáo viên phối hợp
với học sinh cùng thực hiện chương trình giải theo hướng đã định .
Xét hiệu, biến đổi biểu thúc về dạng phân thức ( bằng các phép toán thông thường ). Sau đó lí
luận dấu của tử và mẫu dẫn tới phân thức không âm rồi kết luận
2 2

1 1 2
1 1 1a b ab
+ >
+ + +
Cụ thể : câu a) Xét hiệu :
2 2
1 1 2
1 1 1a b ab
+ −
+ + +
=
( )
( )
( )
( )
2 2
2 2
2 2
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
ab a ab b
a ab b ab
a ab b ab
+ − − + − −
− + − = +
+ + + +
+ + + +
( )
( )

( )
( )
( )
( )
2 2
2 2
1 1 1
1 1 1 1
a b a b a b
b a a b
ab a b
a ab a ab
− −
−
 
+ = −
 ÷
+ + +
+ + + +
 
=
( ) ( )
2 2
2 2
.
1
1 1
b a a ab b ba
ab
a b

− + − −
+
+ +
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
2
2 2 2 2
1
1 1 1 1 1 1
b a ab a b a b ab
a b ab a b ab
− + − − −
=
+ + + + + +
Vì ab >1
⇒
ab - 1>0; (a –b)
2

≥
0 và mẫu thức >0 nên
( ) ( )
( ) ( )
( )
2
2 2

1
0
1 1 1
a b ab
a b ab
− −
≥
+ + +
Vậy
2 2
1 1 2
1 1 1a b ab
+ >
+ + +
với ab >1.dấu “ = “ xảy ra
⇔
a = b
Tương tự với các câu c, câu d: Giáo viên cho học sinh xét hiệu, phân tích đa hức thành nhân
tử ( bằng các phương pháp nhóm, đặt nhân tử chung ). Lưu ý các nhân tử phải có dạng theo
mong muốn ( không âm hoặc luôn dương ). Sau đó lập để suy ra điều cần chứng minh. Giáo
viên nhấn mạnh cho học sinh, phải luôn xét điều kiện để dấu “ = “ xảy ra .
Chẳng hạn :
Câu c: a
3
+ b
3
- a
2
b - ab
2

=
( ) ( )
2
0a b a b− + ≥
vì a>0; b>0 ; (a-b)
2

≥
0
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Người viết : Phạm Thị Vỹ
7
TrườngTHCS Buôn Trấp Sáng kiến kinh nghiệm năm học: 2009 - 2010
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Vậy a
3
+ b
3
> a
2
b+ab
2
với a>0; b>0 . dấu “ = “ xảy ra
⇔
a = b
Câu d: (a
4
+ b
4
) – (a

3
b + ab
3
) =
( )
( )
2
2 2
0a b a ab b− + + ≥
vì (a-b)
2

≥
0; (a
2
+ab+b
2
)>0
Vậy a
4
+ b
4
> a
3
b + ab
3
với a>0; b>0. dấu “ = “ xảy ra
⇔
a = b
Câu e:( a

10
+ b
10
)(a
2
+b
2
) - (a
8
+ b
8
)( a
4
+b
4
) =
( ) ( )
2
2 2 2 2 4 2 2 4
0a b a b a a b b− + + ≥
vì a
2
b
2

≥
0;
( a
2
–b

2
)
≥
0; (a
4
+a
2
b
2
+b
4
) > 0
Vậy ( a
10
+ b
10
)(a
2
+b
2
)
≥
(a
8
+ b
8
)( a
4
+b
4

). Dấu “ = ” xảy ra
⇔
2 2
2 2
0; 0
0
a b a b
a b
a b

= = ±

⇔


= =
=


b)Phương pháp biến đổi tương đương (phương pháp biến đổi trực tiếp )
Để giải được loại bài tập chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp biến đổi tương
đương, trước tiên giáo viên cho học sinh hiểu rõ và nắm vững quy trình biến đổi tương đương
của bất đẳng thức như sau: Để chứng minh A
≥
B ta biến đổi tương đương như sau:
A
≥
B
⇔
...

⇔
C
≥
D
Cuối cùng bất đẳng thức C
≥
D là đúng . Khi đó ta kết luận A
≥
B đúng ( đpcm)
Ví dụ 1: Chứng minh rằng : với
∀
a,b,c,d,e,
∈
R thì : a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
+ e
2

≥
a ( b+c+d+e)
Muốn giải được bài tập này bằng phương pháp trên, giáo viên cho học sinh nhận xét
các hạng tử của vế trái và các hạng tử sau khi khai triển của vế phải, từ đó giúp các em thấy
được sự cần thiết phải nhân thêm số 2 vào cả hai vế. Khai triển, chuyển vế và đưa về dạng
tổng các bình phương của các biểu thức. Sau đó dùng lập luận và kết luận bài toán. Cụ thể bài

toán được giải như sau.
a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
+ e
2

≥
a( b+c+d+e)
⇔
2(a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
+ e
2
)
≥
2a( b+c+d+e)
⇔
4(a

2
+b
2
+c
2
+d
2
+e
2
) - 4a(b+c+d+e)
≥
0
⇔
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2
4 4 4 4 4 4 4 4a ab b a ac c a ad d a ac c− + + − + + − + + − +
≥
0
⇔
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2 2 2 2a b a c a d a e− + − + − + − ≥
0 . Bất đẳng thức đúng .
Vậy a
2
+ b
2
+ c
2
+ d

2
+ e
2

≥
a( b+c+d+e) với
∀
a,b,c,d,e,
∈
R .
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = 2b = 2c = 2d = 2e hay b = c = d = e =
2
a
Ví dụ 2: Cho a
≥
0 ; b
≥
0 chứng minh :
2
a b
ab
+
≥
( Bất đẳng thức Côsi)
Vì a
≥
0 ; b
≥
0
⇒

a + b
≥
0 và ab
≥
0
ab⇒
≥
0 .
Ta có
2
a b
ab
+
≥

⇔
( )
2
2
2 2 2 2
4 2 4 2 0
2
a b
ab a b ab a ab b ab a ab b
+
 
≥ ⇔ + ≥ ⇔ + + ≥ ⇔ − + ≥
 ÷
 
⇔

( )
2
0a b− ≥
bất đẳng thức đúng với mọi a, b không âm.
Vậy
2
a b
ab
+
≥
với mọi a
≥
0 ; b
≥
0 .
Ví dụ 3 : Chứng minh rằng : a)
2
2 2
2 2
a b a b+ +
 
≥
 ÷
 
b)
2
2 2 2
3 3
a b c a b c+ + + +
 

≥
 ÷
 
Đối với ví dụ này, giáo viên yêu cầu học sinh biến đổi trực tiếp, khai triển hằng đẳng
thức vế trái, quy đồng, chuyển vế, phân tích đa thức thành nhân tử rồi nhận xét .
Minh họa câu b cụ thể như sau:
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Người viết : Phạm Thị Vỹ
8
TrườngTHCS Buôn Trấp Sáng kiến kinh nghiệm năm học: 2009 - 2010
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2
2 2 2
3 3
a b c a b c+ + + +
 
≥
 ÷
 
⇔
2 2 2 2 2 2
2 2 2
3 9
a b c a b c ab ac bc+ + + + + + +
≥
⇔
3a
2
+ 3b
2

+3c
2

≥
a
2
+ b
2
+ c
2
+2ab + 2ac +2bc
≥

( ) ( ) ( )
2 2 2
a b a c b c− + − + − ≥
0 đúng Vậy
Vậy
2
2 2 2
3 3
a b c a b c+ + + +
 
≥
 ÷
 
với mọi a,b không âm. Dấu”=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c
Ví dụ 4: Chứng minh rằng : a
2
+ 4b

2
+ 4c
2

≥
4ab - 4ac + 8bc
Ta nhận thấy các hạng tử vế trái có dạng bình phương của một số hoặc một biểu thức,
các hạng tử vế phải là số chẵn luôn có dạng hai lần tích của hai biểu thức, nếu chuyển về một
vế nhóm các hạng tử một cách thích hợp thì có thể viết được dưới dạng bình phương của một
biểu thức. Sau đó lí luận biểu thức không âm và ta có điều phải chứng minh, Cụ thể cách giải
như sau:
Ta có : a
2
+ 4b
2
+ 4c
2

≥
4ab - 4ac + 8bc
⇔
: a
2
+ 4b
2
+ 4c
2
- 4ab + 4ac - 8bc
( )
( )

2 2 2
4 4 4 4 8 0a ab b c ac bc− + + + − ≥ ⇔

( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2.2 . 2 2 2 2 0a b c a b c a b c− + − + ⇔ − + ≥
Ví bất đẳng thức sau đúng nên a
2
+ 4b
2
+ 4c
2

≥
4ab - 4ac + 8bc đúng .dấu “=” xảy ra khi và
chỉ khi a +2c = 2b
* Ưu điểm : Với các ví dụ và hai phương pháp giải trên, cơ bản vận dụng các phép biến
đổi hằng đẳng thức, nhân đơn đa thức, phân tích thành nhân tử đơn giản, dể hiểu. Phù hợp
nhiều đối tượng học sinh. Thỏa mãn được nhu cầu người học. Gây được nhiều hứng thú cho
học sinh trong giờ học. Học sinh tích cực xây dựng bài, đáp ứng đổi mới phương pháp dạy
học trong giai đoạn hiện nay.
* Hạn chế: Một số bài khó nhìn ra được hằng đẳng thức, đòi hỏi phải phân tích kĩ học
sinh mới có thể hiểu, mặt khác đối tượng học không được đồng đều nên đôi khi giáo viên
không chủ động được thời gian. Nề nếp lớp học không theo ý muốn.
c)Phương pháp dùng bất đẳng thức có sẵn :
Trong giải bài tập, các bất đẳng thức có sẵn đóng một vai trò vô cùng quan trọng. Nó là
công cụ sắc bén giúp ta giải quyết nhanh, chính xác được nhiều bài tập mà ta tưởng chừng như
không thể giải được. Vì vậy trước khi giải loại bài tập này, giáo viên chúng ta cần cho học
sinh hiểu và nắm vững một số bất đẳng thức thông dụng đối với chương trình thực học.
+ Bất đẳng thức có dạng bình phương :

( )
2
0a b± ≥
với mọi a, b.
+Bất đẳng thức Côsi(cau chy): Với hai số không âm a và b ta có
2
a b
ab
+
≥
hay a + b
ab≥
Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi a = b.
+Bất đẳng thức Bunhiacôpxki:
( )
( ) ( )
2
2 2 2 2
ac bd a b c d+ ≤ + +
.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
a b
c d
=
Sau đây là một số ví dụ minh họa giải bằng phương pháp dùng bất đẳng thức có sẵn.
Ví dụ : loại bài dùng bất đẳng thức có “dạng bình phương”
a) Mức độ thấp: Chứng minh rằng : a
2
+ b
2

+c
2

≥
ab + bc + ca
Bất đẳng thức dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu được phổ biến thông
dụng nhất đối với chương trình cấp trung học cơ sở. Vận dụng phù hợp được cho nhiều đối
tượng học sinh. Trước khi dạy giải bài tập này, giáo viên cho học sinh ôn lại tính chất mở rộng
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Người viết : Phạm Thị Vỹ
9