ỨNG DỤNG MẢNG BĂM (HASH) ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ SO KHỚP XÂU (CHUỖI)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG
SÁNG KIẾN DỰ THI CẤP TỈNH
BÁO CÁO SÁNG KIẾN
ỨNG DỤNG MẢNG BĂM (HASH) ĐỂ GIẢI CÁC BÀI
TOÁN VỀ SO KHỚP XÂU (CHUỖI)
Tác giả: Ngô Trung Tưởng
Trình độ chuyên môn: Đại học
Chức vụ: Giáo viên
Nơi công tác: Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong
Nam Định, tháng 05 năm 2014
THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN
1. Tên sáng kiến:
ỨNG DỤNG MẢNG BĂM (HASH) ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ SO KHỚP
XÂU (CHUỖI)
2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến:
Giảng dạy lớp 10, 11 chuyên tin, đội tuyển HSGQG môn tin học
3. Thời gian áp dụng sáng kiến:
Từ năm học 2012-2013 đến nay
4. Tác giả:
Họ và tên: Ngô Trung Tưởng
Năm sinh: 1982
Nơi thường trú: 22/34 Trần Thái Tông, P Thống Nhất, TP Nam Định
Trình độ chuyên môn: Đại học
Chức vụ công tác: Giáo viên
Nơi làm việc: Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong
Địa chỉ liên hệ: 22/34 Trần Thái Tông, P Thống Nhất, TP Nam Định
Điện thoại: 0982.209.259
5. Đơn vị áp dụng sáng kiến:
Tên đơn vị: Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong
Địa chỉ: 76 Vỵ Xuyên

Điện thoại: 03503.640297
I. Điều kiện hoàn cảnh:
Trong lĩnh vực khoa học máy tính nói chung và trong thi cử nói riêng một
lớp các bài toán rất được quan tâm đó là bài toán xử lý xâu chuỗi. Một trong những
bài toán phổ biến mà chúng ta hay gặp là tìm kiếm xâu con trong xâu cho trước.
II. Thực trạng
Bài toán về xử lí xâu rất quen thuộc và thường gặp trong các bài tập về tin
học, nhưng trong quá trình giảng các lớp chuyên tin và đội tuyển HSGQG môn Tin
học, tôi nhận thấy các em học sinh giải quyết các bài toán này chưa thật sự thuần
thục và không hiệu quả, đặc biệt là trong thi cử. Chính vì vậy, tôi viết chuyên đề
này để giúp các em giải quyết các bài toán về xâu hiệu quả hơn.
III. Nội dung chuyên đề
1. Phát biểu bài toán
- Cho một xâu T gồm m kí tự
- Cho một xâu mẫu P gồm n kí tự
- Yêu cầu: cho biết xâu mẫu P xuất hiện bao nhiêu lần trong T và chỉ ra các vị trí
xuất hiện của P.
2. Thuật toán
Có rất nhiều thuật toán khác nhau để giải bài toán này như Brute-force approach
(vét cạn-độ phức tạp O(n*m)), KMP (độ phức tạp O(n+m)), Suffix Array…
Trong chuyên đề này tôi không đề cập đến các thuật toán trên mà chỉ tập trung vào
một thuật toán sử dụng mảng băm hay còn gọi một tên gọi khác là HASH. Đây là
một thuật toán rất hiệu quả đặc biệt là trong thi cử vì tốc độ thực thi nhanh, linh
hoạt trong xử lí và rất dễ cài đặt.
Mô tả thuật toán HASH
a. Các kí hiệu:
- Tập các chữ cái trong bảng chữ cái kí hiệu ∑
- Xâu T gồm m kí tự: T[1 m]
- Xâu mẫu P gồm n kí tự: P[1 n]
- Xâu con từ i đến j của xâu T là: T[i j]

- Chúng ta cần tìm tất cả các vị trí i thỏa mãn (1≤i≤m-n+1) mà T[i i+n-1]=P[1 n]
b. Mô tả thuật toán
Để đơn giản, giả sử rằng Σ = {a, b,…, z}, nghĩa là Σ chỉ gồm các chữ cái
Latin in thường. Để biểu diễn một xâu, thay vì dùng chữ cái, chúng ta sẽ chuyển
sang biểu diễn số ở hệ 26.
Ví dụ: xâu ‘abcd’ biểu diễn hệ 26: ‘a’*26
3
+ ‘b’*26
2
+ ‘c’*26
1
+ ‘d’*26
0
đổi ra số ở
hệ cơ số 10 tương ứng là: 65*26
3
+66*26
2
+67*26+68= 1188866.
Dễ thấy rằng, muốn so sánh 2 xâu bằng nhau khi và chỉ khi biểu diễn của 2 xâu ở
hệ cơ số 10 giống nhau.
Ví dụ xâu A=B ↔ Mã A = Mã B
Tuy nhiên nếu xâu quá dài thì Mã A, Mã B cũng rất lớn. Chính vì thế, ta lấy mod
cho 1 số base nguyên tố rất lớn nào đó ví dụ 10
9
+7, hay 2.10
9
+11…
A=B


Mã A mod base = Mã B mod base
Dễ dàng nhận thấy việc so sánh Mã A mod base với Mã B mod base rồi kết luận A
có bằng với B hay không là sai. Mã A mod base = Mã B mod base chỉ là điều kiện
cần để A bằng B chứ chưa phải điều kiện đủ. Tuy nhiên, chúng ta sẽ chấp nhận lập
luận sai này trong thuật toán Hash. Và coi điều kiện cần như điều kiện đủ. Trên
thực tế, lập luận sai này có những lúc dẫn đến so sánh xâu không chính xác và
chương trình bị chạy ra kết quả sai. Nhưng cũng thực tế cho thấy rằng, khi chọn
base là một số nguyên lớn, số lượng những trường hợp sai rất ít, và ta có thể coi
Hash là một thuật toán chính xác.
Trở lại bài toán ban đầu, chúng ta cần chỉ ra P xuất hiện ở những vị trí nào trong T.
Để làm được việc này, chúng ta chỉ cần duyệt qua mọi vị trí xuất phát có thể của P
trong T.
Giả sử vị trí đó là i, chúng ta sẽ kiểm tra T[i. . i + n − 1] có bằng với P hay không.
Để kiểm tra điều này, chúng ta cần tính được mã Hash của đoạn T[i. . i + n − 1] và
mã Hash của xâu P.
Để tính mã Hash của xâu P chúng ta chỉ cần làm đơn giản như sau:
HashP=0;
for (i=1;i<=n;i++)
HashP = (HashP*26 + P[i]) % base;
Phần khó hơn của thuật toán Hash là: Tính mã Hash của một đoạn con từ i đến j
T[i. . j] của xâu T (1 ≤ i ≤ j ≤ m).
Ví dụ sau: Xét xâu s= “cdeacx” và biểu diễn của nó dưới cơ số 26. Chúng ta cần
lấy mã Hash của đoạn con từ phần tử thứ 3 đến phần tử thứ 6, chỉ cần lấy mã Hash
của s[1. .6] trừ đi mã Hash của s[1. .2] nhân với 26
4
.
Để cài đặt ý tưởng này, chúng ta cần khởi tạo 26
�
mod base (0 ≤ i ≤ m) và mã Hash
của tất cả những tiền tố của s, cụ thể là mã Hash của những xâu s[1. . i] (1 ≤ i ≤ m).

//tinh 26
x
mod base
POW[0]=1;
for (i=1;i<=m;i++)
POW[i] = POW[i-1]*26 % base;
//tinh ma Hash xau s[1 i]
HashT[0]=0;
for(i=1;i<=m;i++)
HashT[i]=(HashT[i-1]*26+T[i])%base;
Để lấy mã Hash của T[i j] ta viết hàm sau:
long long getHash(long i, long j){
return(HashT[j]-HashT[i-1]*POW[j-i+1]+ base*base)%base;
}
Bài toán chính được giải quyết như sau:
for (i=1;i<=m-n+1;i++)
if (getHash(i,i+n-1)==HashP)
cout<<i<<” “;
c. Viết chương trình
Đây là chương trình đầy đủ và đã được chấm thành công trên hệ thống chấm bài
SPOJ
/>Chương trình viết bằng C++
#include <iostream>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <fstream>
using namespace std;
const long long base=1000000000+7;
long long hasha[1000005], hashb,POW[1000005];
string a,b;

long n,m;
ifstream fi ("substr.inp");
ofstream fo ("substr.out");
long long gethash(long i, long j){
return(hasha[j]-hasha[i-1]*POW[j-i+1] +base*base)
%base;
}
int main(){
//getline(cin,a,'\n');
getline(fi,a);
getline(fi,b);
n=a.size();
a=" "+a;
//getline(cin,b,'\n');
m=b.size();
b=" "+b;
//tinh hashb
hashb=0;
for (long i=1; i<=m; i++)
hashb= (hashb*26 + b[i])% base;
//tinh ham mu
POW[0]=1;
for (long i=1;i<=n;i++)
POW[i]=(POW[i-1]*26)% base;
//tinh hash xau a
hasha[0]=0;
for (long i=1; i<=n;i++)
hasha[i]=(hasha[i-1]*26+a[i]) % base;
//tim vi tri xau b trong a
for (long i=1; i<=n-m+1;i++)

if (hashb==gethash(i,i+m-1))
//cout<<i<<" ";
fo<<i<<" ";
//cin.get();
fi.close();
fo.close();
return 0;
}
d. Đánh giá:
Độ phức tạp của thuật toán là O(n + m). Nhưng điều quan trọng là: chúng ta có thể
kiểm tra 2 xâu có giống nhau hay không trong O(1). Đây là điều tạo nên sự linh
động cho thuật toán Hash.
4. Ứng dụng
Bài 1: Tiền tố và hậu tố
/>Xâu a được gọi là tiền tố của xâu b nếu xâu a trùng với phần đầu của xâu b. Ví
dụ pre là tiền tố củaprefix
Xâu a được gọi là hậu tố của xâu b nếu xâu a trùng với phần cuối của xâu b. Ví
dụ fix là hậu tố củasuffix
yenthanh132 vừa mới học về tiền tố và hậu tố nên hôm nay anh ta sẽ đố các bạn
một bài toán đơn giản về tiền tố và hậu tố như sau:
• Cho 2 xâu a,b gồm các kí tự latin thường ('a' đến 'z')
• Tìm 1 xâu c thỏa mãng:
1. Xâu a là tiền tố của xâu c
2. Xâu b là hậu tố của xâu c
3. Độ xài xâu c là ngắn nhất.
Input
• Dòng 1: Xâu a
• Dòng 2: Xâu b
Output
• Một dòng duy nhất là xâu c.

Giới hạn:
• 40% số test có độ dài 2 xâu a,b <= 1000 kí tự
• Trong toàn bộ test, độ dài 2 xâu a,b <= 10
5
kí tự
Ví dụ:
Input 1:
abca
cab
Output 1:
abcab
Input 2:
abc
abc
Output 2:
abc
(2 xâu a,b không nhất thiết phải khác nhau).
Hướng dẫn giải thuật:
- Tìm hậu tố dài nhất xâu a có phần chung tiền tố xâu b:
+ Với xâu a gọi ha[i] là mã hash của xâu a gồm các kí tự từ 1 đến i.
+ Với xâu b gọi hb[i] là mã hash cảu xâu b gồm các kí tự từ 1 đến i.
+ Tìm vị trí x mà tiền tố xâu b chung hậu tố xâu a ta chỉ so sánh mã hash của
xâu con b[1],…,b[x] với a[n-x+1],…,a[n] với n là độ dài xâu a. Duyệt x từ 1
đến độ dài xâu b tìm ra kết quả.
- Độ phức tạp O(N)
Chương trình:
#include <iostream>
#include <string>
#include <algorithm>
using namespace std;

typedef long long ll;
const ll BASE=1000000000+11;
string a,b;
ll ha[100005],hb[100005],POW[100005];
long n,m;
bool kt(long x){
ll xa,xb;
long n=a.size()-1;
xb=hb[x];
xa=(ha[n]-ha[n-x]*POW[x]+BASE*BASE)%BASE;
if (xa==xb) return 1;
else return 0;
}
int main(){
getline(cin,a);
a='@'+a;
getline(cin,b);
b='@'+b;
//tinh ham mu
POW[0]=1;
for (long i=1;i<a.size();i++)
POW[i]=POW[i-1]*26 % BASE;
//tinh hash xau a
ha[0]=0;
for (long i=1;i<a.size();i++)
ha[i]=(ha[i-1]*26+a[i])% BASE;
//tinh hash xau b
hb[0]=0;
for (long i=1;i<b.size();i++)
hb[i]=(hb[i-1]*26+b[i])% BASE;

//tim hau to xau a la tien to xau b
long res=0;
for (long i=1;i<min(b.size(),a.size());i++)
if (kt(i)) res=i;
a.erase(0,1);//xoa ki tu @ them vao a
b.erase(0,1);//xoa ki tu @ them vao b
//cout<<res<<endl;
cout<<a+b.substr(res,b.size()-res);
//cin.get();
}
Bài 2: Sắp xếp Mã bài: VMSORT
Kì thi VM đang dần đi đến những vòng thi cuối cùng. Trong khi các thí sinh hăng
say với những bài tập hóc búa, mang đậm tính chất Marathon thì các admin VNOI
cũng phải đối mặt với những vấn đề rất nan giải, chẳng hạn như thống kê số lượng
thí sinh, số lượng thí sinh giải được từng bài tập
Trong không khí căng thẳng của cuộc đua, ban tổ chức đã quyết định tặng một món
quà đặc biệt cho các bạn. Và món quà đó chính là bài tập này!
Bạn sẽ phải giúp các admin làm một nhiệm vụ sau: Cho dữ liệu mô tả các thí sinh
tham gia mỗi một trong K vòng của cuộc thi VNOI Marathone 20xx, hãy tính xem
có bao nhiêu thí sinh tham gia ít nhất một vòng thi.
Input
• Dòng 1: Ghi số nguyên dương K (1 ≤ K ≤ 5).
• K nhóm dòng sau: Mỗi nhóm thể hiện dữ liệu của một vòng thi: Dòng đầu
ghi số nguyên N (1 ≤ N ≤ 200) là số lượng thí sinh tham gia vòng thi đó. N
dòng sau, mỗi dòng ghi một nick của thí sinh, dưới dạng một xâu khác rỗng,
độ dài không quá 20 kí tự (đảm bảo xâu không chứa khoảng trống). Trong
mỗi nhóm dòng mô tả một vòng thi, không có tên thí sinh nào được lặp lại
hai lần.
Output
• Ghi ra một số nguyên duy nhất là số thí sinh tham gia ít nhất một vòng thi.

Example
Input:
3
4
flashmt
ll931110
technolt
tuananhnb93
3
mr_invincible
conankudo
ll931110
3
khanhptnk
hphong
technolt
Output:
8
Hướng dẫn thuật toán:
- Mỗi xâu mã hóa dưới dạng số lưu vào một phần tử của mảng, sắp xếp lại
mảng, đếm số lượng số khác nhau trong mảng.
- Độ phức tạp O(K.N+N logN)
Chương trình C++
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <string>
using namespace std;
const long long BASE=1000000000+11;
long n,k,m=0;
long long hash;

long long a[100005];
string s;
int main(){
cin>>k;
for (int test=0;test<k;test++){
cin>>n;
getline(cin,s);
for (long i=0;i<n;i++){
getline(cin,s);
hash=0;
for (int j=0;j<s.size();j++)
hash=(hash*256+s[j])% BASE;
a[m++]=hash;
}
}
sort(a,a+m);
long dem=1;
for (long i=1;i<m;i++)
if (a[i]!=a[i-1]) dem++;
cout<<dem;
cin.get();
return 0;
}
Bài 3 – Xâu con – COCI 2006-2007
Steve chiến thắng trong một lần cá cược và John phải mời anh ấy đi xem phim.
Trong khi chờ đợi Steve, John để ý một thông báo trên màn hình quảng cáo phía
trên chỗ anh đang đứng.
Steve đến muộn nên John đã để ý trên màn hình quảng cáo một thời gian và thấy
rằng có một vài thông báo xuất hiện trên màn hình nhiều hơn một lần. Tự nhiên,
anh ấy viết tất cả các thông báo ra giấy. John muốn biết chiều dài của xâu dài nhất

xuất hiện ít nhất hai lần (xuất hiện trong hai vị trí khác nhau trên trang giấy)?
Yêu cầu: Hãy giúp John trả lời câu hỏi đó.
Dữ liệu vào cho trong tệp SUBSTR.INP
- Dòng 1 chứa số nguyên L (1≤L≤200000) là độ dài mà Jonh đã viết trên giấy.
- Dòng 2 chứa một xâu có độ dài L gồm các kí tự chữ thường trong bảng chữ
cái tiếng anh.
Kết quả ghi ra tệp SUBSTR.OUT một số duy nhất là độ dài dài nhất của xâu xuất
hiện ít nhất hai lần trong xâu đã cho. Nếu không tồn tại xâu con thỏa mãn đưa ra số
0.
SUBSTR.INP SUBSTR.OUT
18
trutrutiktiktappop
4
Hướng dẫn:
- Nhận xét:
+ Nếu tồn tại một xâu con dài nhất độ dài l xuất
hiện ít nhất 2 lần trong xâu s.
+ Tồn tại một xâu con có độ dài l-1 xuất hiện ít
nhất 2 lần trong s và không tồn tại xâu con có độ
dài l+1 thỏa mãn yêu cầu đầu bài.
- Từ nhận xét trên ta sử dụng thuật toán tìm kiếm nhị
phân theo độ dài xâu con cần tìm.
- Mỗi xâu con độ dài l, ta sẽ tính mã hash của tất cả
các xâu con lưu vào mảng.
- Nếu mảng vừa tạo tồn tại ít nhất 2 phần tử giống
nhau tức là tồn tại ít nhất 2 xâu con có độ dài l
thỏa mãn.
- Tìm l có độ dài dài nhất thỏa.
- Độ phức tạp của thuật toán Nlog
2

(N)
Chương trình viết bằng C++
#include <fstream>
#include <string>
#include <algorithm>
using namespace std;
const long long base=1000000000+11;
ifstream fi("substr.inp");
ofstream fo("substr.out");
long n;
char s[200005];
long long hash[200005],POW[200005],a[200005];
long long gethash(long i, long j){
return (hash[j]-hash[i-1]*POW[j-i+1]+
base*base)% base;
}
bool kt(long x){
for (long i=1;i<=n-x+1;i++)
a[i-1]=gethash(i,i+x-1);
sort(a,a+n-x+1);
for (long i=1;i<n-x+1;i++){
if (a[i]==a[i-1])return 1;
}
return 0;
}
int main(){
fi>>n;
for (long i=1;i<=n;i++) fi>>s[i];
POW[0]=1;
for (long i=1;i<=n;i++)

POW[i]=(POW[i-1]*26) % base;
hash[0]=0;
for (long i=1;i<=n;i++)
hash[i]=(hash[i-1]*26+s[i]-'a')% base;
long l=1,r=n,g;
while (l<r){
g=(l+r+1)/2;
if (kt(g)) l=g;
else r=g-1;
}
if (kt(r)) fo<<r;
else fo<<0;
return 0;
}
Bài 4 - DTKSUB – Tìm chuỗi con dài nhất xuất hiện K lần
/>Sau những kỳ công trong những cuộc chinh phục các cấu trúc dữ liệu đặc biệt,
tình bạn giữa piratevà duyhung123abc ngày càng trở nên khăng khít. Rồi bỗng một
ngày nọ, duyhung123abc bỗng ra đi không một lời từ biệt, chỉ để lại một mẫu giấy
cho pirate. Mẩu giấy viết rằng : "Em ơi, anh còn nặng nợ toán lý hóa anh, chưa thể
một lòng theo đuổi tin học. Em hãy làm nốt công việc mà anh em ta còn dang
dở !". pirate đọc xong, nước mắt giàn giụa. Nếu khi hai người gặp nhau, vui sướng
như khi Engels gặp Marx, thì trong giây phút chia ly này, lòng pirate đau đớn như
khi Đỗ Phủ tiễn người tri kỉ Lý Bạch lên đường.
Mất đi người anh cả, pirate như con thuyền mất phương hướng. Cuối cùng, sau
những đêm không ngủ, anh quyết định rằng mình sẽ đợi cho đến
khi duyhung123abc trả xong nợ công danh và quay trở về sẽ tiếp tục nghiên cứu
các cấu trúc dữ liệu đặc biệt. Còn bây giờ, anh ta sẽ đi một con đường mới, đi vào
một thế giới mới, thế giới của các THUẬT TOÁN VỀ CHUỖI. Tuy cô độc một
mình, nhưng với niềm tin của mình, pirate đã lên đường ngay mà không có chút do
dự.

Nhưng trớ trêu thay, vạn sự khởi đầu nan. Thử thách đầu tiên mà con người trẻ
tuổi này gặp phải thật đau đầu. Anh ta được cho trước một chuỗi S có độ dài N và
một số K. Thử thách được hoàn thành chỉ khi anh ấy đưa ra được độ dài của chuỗi
dài nhất xuất hiện ít nhất K lần trong chuỗi S. Làm sao đây ! Vừa vực dậy sau một
cú sốc lớn, pirate rất cần sự giúp đỡ của các bạn để không mất đi sự nhiệt huyết của
mình !
Input
Dữ liệu vào gồm 2 dòng:
• Dòng 1: Hai số nguyên N và K (1 ≤ N ≤ 50000; 1 ≤ K ≤ 200).
• Dòng 2: Chuỗi S có độ dài N (gồm các chữ cái in thương viết liên tiếp
nhau).

Output
Dữ liệu ra gồm một dòng duy nhất là độ dài của chuỗi dài nhất xuất hiện ít nhất
K lần trong chuỗi S.
Example
Input:
5 2
xxxxx
Output:
4
- Lưu ý: Một chuỗi A[1 m] được gọi là xuất hiện trong chuỗi B[1 n] K lần khi
và chỉ khi tồn tại K vị trí i phân biệt sao cho A[1 m] = B[i i+m-1].
Hướng dẫn:
- Giải thuật giống bài 3, thay vì tìm xâu con dài nhất xuất hiện ít nhất hai lần
bằng xâu con xuất hiện ít nhất k lần.
- Độ phức tạp của thuật toán Nlog
2
(N)
Chương trình viết bằng C++

#include <iostream>
#include <string>
#include <algorithm>
using namespace std;
const long long base=1000000000+7;
long n,k;
char s[50005];
long long hash[50005],POW[50005],a[50005];
long long gethash(long i, long j){
return (hash[j]-hash[i-1]*POW[j-i+1]+
base*base)% base;
}
bool kt(long x){
for (long i=1;i<=n-x+1;i++)
a[i-1]=gethash(i,i+x-1);
sort(a,a+n-x+1);
long count=1,max=1;
for (long i=1;i<n-x+1;i++){
(a[i]==a[i-1])? (count++):(count=1);
if (max<count) max=count;
}
if (max>=k) return 1;
return 0;
}
int main(){
cin>>n>>k;
for (long i=1;i<=n;i++) cin>>s[i];
POW[0]=1;
for (long i=1;i<=n;i++)
POW[i]=(POW[i-1]*26) % base;

hash[0]=0;
for (long i=1;i<=n;i++)
hash[i]=(hash[i-1]*26+s[i]-'a')% base;
long l=1,r=n,g;
while (l<r){
g=(l+r+1)/2;
if (kt(g)) l=g;
else r=g-1;
}
if (kt(r)) cout<<r;
else cout<<0;
cin.get();
return 0;
}
Bài 5 - Palindrome dài nhất – PALINY
/>Cho xâu S. Tìm xâu đối xứng dài nhất gồm các kí tự liên tiếp trong S
Input
Dòng 1: N (số ký tự của xâu S; N<=50 000)
Dòng 2: Xâu ký tự độ dài N
Output
1 dòng duy nhất gồm độ dài của xâu đối xứng dài nhất
Example
Input:
5
abacd
Hướng dẫn:
- Nhận xét:
+ Nếu tồn tại một xâu con đối xứng dài nhất độ dài
chẵn l xuất hiện trong xâu s.
+ Tồn tại một xâu con đối xứng có độ dài l-2 xuất

hiện trong s và không tồn tại xâu con có độ dài l+2
thỏa mãn yêu cầu đầu bài.
- Từ nhận xét trên ta sử dụng thuật toán tìm kiếm nhị
phân theo độ dài chẵn xâu con cần tìm.
- Tương tự ta xét với độ dài xâu con độ dài lẻ.
- Độ phức tạp của thuật toán Nlog(N)
Chương trình viết bằng C++
#include <iostream>
#include <string>
#include <algorithm>
const long long base=1000000000+7;
using namespace std;
long n,res;
char s[50002],t[50002];
long long hashs[50002],hasht[50002],POW[50002];
long long gethash(long long x[],long a, long b){
return (x[b]-x[a-1]*POW[b-a+1]+base*base)%base;
}
bool ok(long k){
for (long i=1;i<=n-k+1;i++)
if (gethash(hashs,i,i+k-1)==gethash(hasht,n-k-
i+2,n-i+1)) return 1;
return 0;
}
int main(){
cin>>n;
for (long i=1;i<=n;i++){
cin>>s[i];
t[n+1-i]=s[i];
}

//tinh hash xau s
hashs[0]=0;
hasht[0]=0;
for (long i=1;i<=n;i++){
hashs[i]=(hashs[i-1]*26 + s[i]-'a')% base;
hasht[i]=(hasht[i-1]*26 + t[i]-'a')% base;
}
POW[0]=1;
for (long i=1;i<=n;i++)
POW[i]=POW[i-1]*26 % base;
//tim kiem nhi phan do dai le
long l=1,r=n,mid;
while (l<r){
mid=(l+r+1)/2;
if (mid % 2==0) mid++;
if (ok(mid)) l=mid;
else r=mid-2;
}
res=r;
//tim kiem nhi phan do dai chan
l=1;r=n;
while (l<r){
mid=(l+r+1)/2;
if (mid %2!=0) mid++;
if (ok(mid)) l=mid;
else r=mid-2;
}
if (res<r) res=r;
cout<<res;
cin.get();

}
5. Tổng kết:
a. Thuật toán:
Ý tưởng thuật toán Hash dựa trên việc đổi từ hệ cơ số lớn sang hệ thập phân, so
sánh hai số thập phân lớn bằng cách so sánh phần dư của chúng với một số đủ lớn.
b. Ưu điểm:
Ưu điểm của thuật toán Hash là cài đặt rất dễ dàng. Linh động trong ứng dụng và có
thể thay thế các thuật toán chuẩn ‘hầm hố’ khác.
c. Nhược điểm:
Nhược điểm của thuật toán Hash là tính chính xác. Mặc dù rất khó sinh test để có
thể làm cho thuật toán chạy sai, nhưng không phải là không thể. Vì vậy, để nâng
cao tính chính xác của thuật toán, người ta thường dùng nhiều modulo khác nhau để
so sánh mã Hash (ví dụ như dùng 3 modulo một lúc).