Đồ án ứng dụng maple để giải các bài toán về đại số tuyến tính

TỔNG LIÊN ĐOÀN LAO ĐỘNG VIỆT NAM

TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÔN ĐỨC THẮNG

KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN-TOÁN ỨNG DỤNG




ĐỒ ÁN TOÁN




ỨNG DỤNG MAPLE GIẢI CÁC BÀI TOÁN TRONG
ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH



Giảng viên hướng dẫn Ths LÊ TRUNG NGHĨA
Sinh viên thực hiện:
LÊ ĐỨC HÙNG 081343T
ĐẶNG QUỐC THÁI 081350T
ĐẶNG THỊ TUYẾT VÂN 081355T
ĐỖ THANH TƠ 083163T
BÙI THỊ TUYẾT NGA 083154T

Thành Phố Hồ Chí Minh, ngày 8 tháng 12 năm 2011
1


NHẬN XÉT CỦA GIẢNG VIÊN HƢỚNG DẪN
.………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
.………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
.………………………………………………………………………………………….……………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
2

MỤC LỤC

Phần 1 GIỚI THIỆU TỔNG QUÁT VỀ PHẦN MỀM MAPLE 5
Phần 2 ỨNG DỤNG MAPLE ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 14
CHƢƠNG 1: SỐ PHỨC 14
1.1 VÌ SAO PHẢI CÓ SỐ PHỨC: 14
1.2 DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC: 14
1.3 DẠNG LƢỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC: 16
1.4 CĂN CỦA SỐ PHỨC: 19
1.5 ỨNG DỤNG MAPLE ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOAN LIÊN QUAN ĐẾN SỐ PHỨC: 20
CHƢƠNG 2: MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 28
2.1 ĐỊNH NGHĨA VÀ KÝ HIỆU: 28
2.2 CÁC PHÉP TOÁN MA TRẬN: 28
2.3 PHÉP BIẾN ĐỔI SƠ CẤP – HẠNG CỦA MA TRẬN: 31
2.4 MA TRẬN KHẢ NGHỊCH: 33
2.5 PHƢƠNG TRÌNH MA TRẬN: 34
2.6 KHÁI NIỆM VỀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH: 34
2.7 PHƢƠNG PHÁP GAUSS GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH: 36
2.8 ỨNG DỤNG MAPLE ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ MA TRẬN: 36
CHƢƠNG 3: ĐỊNH THỨC 48
3.1 HOÁN VỊ 48
3.2 ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT CƠ BẢN. 48
3.3 ĐỊNH THỨC VÀ MA TRẬN KHẢ NGHỊCH 53
3.4 QUY TẮC CRAMER 54
3.5. ĐỊNH THỨC VÀ HẠNG CỦA MA TRẬN 56

3.6 ỨNG DỤNG MAPLE ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐỊNH THỨC 57
CHƢƠNG 4 KHÔNG GIAN VECTƠ 63
4.1 ĐỊNH NGHĨA 63
4.2 TỔ HỢP TUYẾN TÍNH 64
4. 3. ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH – PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH 65
4 .4 KHÔNG GIAN – TẬP SINH – CƠ SỞ VÀ SỐ CHIỀU 67
4.5 KHÔNG GIAN DÒNG 70
4.6 KHÔNG GIAN NGHIỆM 71
4.7 KHÔNG GIAN TỔNG 73
4.8 TỌA ĐỘ VÀ MA TRẬN CHUYỂN CƠ SỞ 73
4. 9. MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ KHÔNG GIAN VECTOR 78
4. 10. ỨNG DỤNG MAPLE ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ KHÔNG GIAN VECTOR 83
CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 89
5.1 ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT 89
5.2 NHÂN VÀ ẢNH CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 91
5.3 MA TRẬN BIÊ
̉
U DIỄN ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 93
3

5.4 KHÔNG GIAN ĐỐI NGẪU. 97
5.5 MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỨNG MINH 98
5.6 ỨNG DỤNG MAPLE GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 100
CHƢƠNG 6: SỰ CHÉO HÓA 104
6.1. TRỊ RIÊNG VÀ VECTOR RIÊNG 104
6.2 CHÉO HÓA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH – CHÉO HÓA MA TRẬN 108
6.3. MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA CHÉO HÓA 113
6.4. ỨNG DỤNG MAPLE ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ SỰ CHÉO HÓA 116
4

LỜI NÓI ĐẦU
Tiến sĩ Thân Nhân Trung - vị quan dƣới thời vua Lê Thánh Tông đã từng nói: “Hiền tài là nguyên khí
của quốc gia,nguyên khí thịnh thì thế nƣớc mạnh mà hƣng thịnh,nguyên khí suy thì thế nƣớc yếu mà
thấp hèn. Vì thế các bậc đế vƣơng thánh minh không đời nào không coi việc giáo dục nhân tài, kén
chọn kẻ sĩ, vun trồng nguyên khí quốc gia làm công việc cần thiết”. Câu nói này luôn đúng với mọi
thời đại và ngay cả ngày nay trong thời đại của tri thức thì câu nói trên càng chứng minh đƣợc tính
đúng đắn một cách toàn diện của nó. Và mới hơn cả, Thứ Trƣởng Bộ Giáo Dục và Đào Tạo Nguyễn
Vinh Hiển đã từng nói: “Đổi mới phƣơng pháp dạy học phù hợp với mục tiêu, nội dung dạy học là yếu
tố có thể coi là xƣơng sống của đổi mới giáo dục phổ thông”. Vì vậy, từ hai câu nói trên đã cho ta thấy
rõ tầm quan trọng của giáo dục đối với đất nƣớc Việt Nam và việc đổi mới phƣơng pháp dạy học đang
trở thành một bài toán khó hay một vấn đề nan giải đối với nhà quản lý giáo dục. Làm sao để thu hút
ngƣời học tham gia vào bài nhiều hơn trƣớc đây để tránh tái diễn một hình ảnh không đẹp vốn dĩ có từ
lâu đời thầy đọc trò chép? Nếu ta để hình ảnh này còn xuất hiện nhiều tức là ta đang đi vào vết xe đổ
của quá khứ.Vậy đổi mới giáo dục nhƣ thế nào?
Môn Toán có một vai trò hết sức quan trọng. Bởi, nó là môn học nền tảng giúp ta nhận thức mọi môn
học khác nhƣ Vật lý, Hóa học, Sinh học hay áp dụng trong các vấn đề bài toán kinh tế hay kỹ
thuật…Nhƣng nó lại đƣợc đánh giá là môn học khó ở hai nghĩa đó là khó cả về ngƣời dạy và khó cả về
ngƣời học. Câu hỏi đặt ra là: Làm sao để học môn Toán vừa thuận lợi vừa hiệu quả hơn?
Maple là một phần mềm Toán học có khả năng ứng dụng trong mọi nội dung, mọi lĩnh vực nhƣ vật lý,
Hóa học hay áp dụng vào bài toán kinh tế…Với khả năng tính toán, minh họa trực quan, Maple là một
công cụ rất tốt giúp cho ngƣời học và ngƣời dạy thuận lợi hơn trong quá trình tìm hiểu nó ở các lĩnh
vực khác nhau. Nhƣng cũng chính vì sự đa dạng của phần mềm này nên trong khuôn khổ có hạn của
bài báo cáo, nhóm chỉ tập trung khai thác Maple ở lĩnh vực quan trọng nhất của nó đó là: Toán học.
Đặc biệt, nhóm xin khai thác tập trung ở mảng Đại số tuyến tính với những phạm trù không gian vectơ
và ánh xạ tuyến tính vì nó có mặt trong mọi ngõ ngách của Toán học và Khoa học ứng dụng… Vì vậy,
nhóm quyết định chọn đề tài báo cáo của nhóm là: “ỨNG DỤNG MAPLE GIẢI CÁC BÀI TOÁN
ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH”.
Với sự hƣớng dẫn tận tình của Thầy Lê Trung Nghĩa, nhóm em đã hoàn thành bài báo cáo đồ án toán
này. Dù đã cố gắng hết sức nhƣng do năng lực còn hạn chế nên nhóm không thể không tránh khỏi
những khiếm khuyết và thiếu sót. Kính mong Thầy thông cảm và đóng góp ý kiến cho nhóm để báo

cáo ngày càng tốt hơn. Nhóm em xin chân thành cảm ơn Thầy.

TPHCM, ngày 8 tháng 12 năm 2011
Sinh viên thực hiện
LÊ ĐỨC HÙNG 081343T
ĐẶNG QUỐC THÁI 081350T
ĐẶNG THỊ TUYẾT VÂN 081355T
ĐỖ THANH TƠ 083163T
BÙI THỊ TUYẾT NGA 083154T


5

PHẦN 1
GIỚI THIỆU TỔNG QUÁT VỀ PHẦN MỀM MAPLE

1.GIỚI THIỆU
Maple là gói phần mềm toán học thƣơng mại phục vụ cho nhiều lĩnh vực đƣợc xây dựng và phát triển
bởi của hãng Waterloo phiên bản mới nhất là
Maple 15. Maple là một công cụ tuyệt vời hỗ trợ cho việc học tập và nghiên cứu toán học.Với Maple ta
có thể thực hiện đƣợc mọi điều từ những phép toán đơn giản nhất, sơ cấp nhất cho đến những tính toán
phức tạp nhất.
Không chỉ dừng lại ở việc hỗ trợ tính toán, Maple còn có khả năng lập trình. Ở phƣơng diện này, có thể
xem Maple nhƣ là một ngôn ngữ lập trình trong đó chúng ta có thể tạo ra những chƣơng trình và những
gói (package) để tái sử dụng.
Maple cung cấp nhiều công cụ trực quan, nhiều gói lệnh chuyên ngành phù hợp với các tính toán phổ
thông và bậc đại học, giao diện hoàn thiện hơn và hỗ trợ soạn thảo tốt hơn. Nhiều trƣờng đại học sử
dụng Maple để giảng dạy một số môn trong khung chƣơng trình đào tạo đã góp phần làm thay đổi cách
học toán, song song với lối giải toán truyền thống sinh viên có thể giải quyết bài toán với sự giúp đỡ
của Maple.

1.1 Các cửa sổ giao diện Maple 13
Maple 13 cung cấp hai loại giao diện:
 Classic Worksheet
 Standard Worksheet


Hình 1 . Giao diện classic
6



Hình 2 . Giao diện Standard
1.2. Quy tắc gõ lệnh
- Các lệnh của Maple đƣợc gõ sau dấu nhắc lệnh > , kết thúc lệnh bằng dấu chấm phẩy (;) nếu muốn
Maple hiển thị kết quả của việc tính toán, hoặc dấu hai chấm(:) nếu chỉ yêu cầu Maple tính toán mà
không hiển thị kết quả. Các bạn dùng phím Enter để yêu cầu Maple bắt đầu thực hiện tính toán.


- Để viết các lời giải thích câu lệnh bạn có thể viết chúng sau dấu thăng (#).

- Để xuống dòng trên cùng một dấu nhắc lệnh các bạn dùng tổ hợp phím Shift-Enter.

7

- Để gán giá trị cho biến ta dùng dấu hai chấm bằng (:=) .

- Có thể gọi lại kết quả vừa thực hiện bằng lệnh % (%% lấy kết quả trƣớc kết quả vừa thực hiện ).

- Các lệnh của Maple có thể chỉnh sửa, copy,…
1.3. Các thành phần cơ sở của Maple

1.3.1 Tập ký tự
- Bao gồm bảng chữ cái tiếng Anh
 Chữ hoa : A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z.
 Chữ thƣờng : a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z.
- Chữ số : 0, 1, 2, 3, 4,5, 6, 7, 8, 9.
Chú ý : Maple phân biệt chữ hoa – thƣờng .
- Tập các ký hiệu đặc biệt :

8

1.3.2 Toán tử cơ bản





1.3.3 Các hàm toán học cơ bản
Hàm
Ý nghĩa
Hàm
Ý nghĩa
Hàm
Ý nghĩa
abs(x)
x

sqrt(x)
x

exp(x)

e
x
ln(x)
Log
e
(x)
log10(x)
Log
10
(x)


max(x
1
,x
2
,
…)
Tính giá trị lớn
nhất của
x
1
,x
2
,…
min(x
1
,x
2
,…)

Tính giá trị
nhỏ nhất của
x
1
,x
2
, …
round(x)
Hàm làm
tròn giá trị x
sin(x)
Sin(x)
cos(x)
Cos(x)
tan(x)
Tg(x)
arcsin(x)
Arcsin(x)
arccos(x)
Arccos(x)
arcsin(x)
Arctg(x)

2. Tính toán trên Maple
- Maple có khả năng tính toán với những con số rất lớn với độ chính xác cao.
> 1000000!:# Tinh 1000000!
> length(%);#Chieu dai cua 1000000!
5565709

- Maple có đầy đủ các hàm tính toán từ đơn giản đến phức tạp.

> 2011+2012;
4023

> 30*11*2011;
663630

2.1 Tính toán trên số nguyên
Các hàm thông dụng :
Hàm
Ý nghĩa
Hàm
Ý nghĩa
Hàm
Ý nghĩa
factorial(n)
Tính n giai thừa
isqrt(n)
Căn bậc hai
nguyên của
n
iroot(x,n)
Căn bậc n
nguyên của x
ifactor(n)

Phân tích n thành
tích các thừa số
nguyên tố
irem(m,n)
Số dƣ khi

chia m cho
n
iquo(m,n)

Thƣơng khi
chia m cho n
igcd(x
1
,x
2
,
)

Ƣớc số chung
lớn nhất của x
1
,
x
2
,
ilcm(x
1
,x
2
, )

Bội số
chung nhỏ
nhất của x
1

,
x
2
,
m mod n
Số dƣ khi chia
m cho n
Phép tóan
Kí hiệu
Phép tóan
Kí hiệu
Phép tóan
Kí hiệu
Cộng
+
Nhân
*
Giai thừa
!
Trừ
-
Chia
/
Mũ
^
9

isprime(n)
n có là số nguyên
tố không?Trả về

True / False
nextprime(n)
Số nguyên
tố liền sau n
prevprime(n
)
Số nguyên tố
liền trƣớc n
Ví dụ :
> factorial(5);
120

> ifactor(%);
( ) 2
3
( ) 3 ( ) 5


> isprime(17);
true

> nextprime(17);
19

> prevprime(17);
13

> isqrt(12);
3

> igcd(24,18);
6

> a:=123:b:=32:
>irem(a,b);
>iquo(a,b);
27

2.2 Tính toán trên biểu thức

Hàm
Ý nghĩa
Hàm
Ý nghĩa
Hàm
Ý nghĩa
expand(bt)
Khai triển
biểu thức bt
simplify(bt)
Đơn giản biểu
thức
factor(bt)
Phân tích đa
thức thành nhân
tử

nomal(pt)

Tối giản phân

thức

divide(bt1,bt2
)
Kiểm tra xem
bt1 có chia hết
cho bt2
không?
subs([x1=a1
,x2=a2, ],f(
x1,x2, ))
Tính giá trị của
f(x1,x2, ) với
x1=a1,x2=a2
collect
(bt,x)
Gom hạng tử
của bt theo
biến x
degree(bt)
Bậc của đa
thức bt
coeff(bt,x^n
)
Hệ số của x^n
trong đa thức bt

Ví dụ :
> bt1:=(x+y)*(2*x-1);
:= bt ( )x y ( )2 x 1

> expand(bt1);
  2 x
2
x 2 y x y

> collect(bt1,x);
 2 x
2
( )2 y 1 x y

10

> bt2:=(x+y)^3 - (x^2 + 2*y^2)*(x+3*y);
:= bt ( )x y
3
( )x
2
2 y
2
( )x 3 y

> simplify(bt2);
x y
2
5 y
3

> subs(x=3,y=5,bt);
40

2.3 Giới hạn, đạo hàm và tích phân
2.3.1 Tính giới hạn
- Cú pháp : limit(f(x),x=a); // Muốn xuất ra biểu thức tính giới hạn ta dùng Limit(f(x),x=a).
- Tính giới hạn bên trái : limit(f(x),x=a,left);
- Tính giới hạn bên phải : limit(f(x),x=a,right);
> limit(sin(x)/x,x=0);
1

> Limit(sin(x)/abs(x),x=0)=limit(sin(x)/abs(x),x=0);
lim
x 0
( )sin x
x
undefined

> limit(sin(x)/abs(x),x=0,left);
-1

> limit(sin(x)/abs(x),x=0,right);
1

2.3.2 Tính đạo hàm
- Đạo hàm cấp 1 : diff(f,x);
- Đạo hàm cấp n : diff(f,x$n);
- Đạo hàm riêng : diff(f, x1$n, [x2$n, x3], xj, [xk$m])
> diff(x*sin(x),x);
( )sin x x ( )cos x

> diff(x^5,x$3);

60 x
2

> diff(f(x),x$3);
d
d
3
x
3
( )f x

> diff(f(x,y),x);


x
( )f ,x y

> diff(f(x,y),y);


y
( )f ,x y

> diff(f(x,y),[x,y]);
 

2
y x
( )f ,x y

> diff(x^3*sin(y),x$2,y);
6 x ( )cos y

11

2.3.3 Tính nguyên hàm và tích phân
- Tính nguyên hàm : int(f,x);
- Tính tích phân cận a,b : int(f,x=a b);
> int(sin(x)*tan(x),x);
 ( )sin x ( )ln ( )sec x ( )tan x

> int(sin(x)*exp(x),x=1 3);
  
1
2
( )cos 1 e
1
2
( )sin 1 e
1
2
( )cos 3 e
3
1
2
( )sin 3 e
3

> int( exp(-x^2)*ln(x), x=0 infinity );
 

 
4
1
2
 ( )ln 2

2.4 Tính toán trên ma trận
2.4.1 Khai báo ma trận : Có 2 cách
Cách 1 : A:=matrix(m,n, [ dãy phần tử]) ;// dãy phần tử cách nhau bởi dấu phẩy (,).
> A:=matrix(2,2,[sin(x),cos(x),sin(2*x),cos(2*x)]);
:= A








( )sin x ( )cos x
( )sin 2 x ( )cos 2 x

Cách 2 : A:=array( [ [Dòng 1], [Dòng 2], ,[Dòng n] ] );
> A:=array([[1,2,3],[4,5,6]]);
:= A









1 2 3
4 5 6


2.4.2 Các phép toán trên ma trận
- Các phép toán trên ma trận nằm trong gói LinearAlgebra. Để sử dụng ta dùng gói lệnh ta dùng
with(gói lệnh) .
- Phép cộng, nhân ma trận : lệnh evalm;
> with(linalg):
> A:=matrix(2,2,[1,x,2,1-x]):
> B:=matrix(2,2,[1,0,2,1]):
> evalm(A+B);








2 x
4 2 x

> evalm(A&*B);









1 2 x x
4 2 x 1 x

- Tạo ma trận đơn vị cấp n : IdentityMatrix ( n );
> IdentityMatrix(4);





















1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1

- Tính định thức của ma trận A: det(A);


12

> A:=matrix(2,2,[1,x,2,1-x]);
:= A








1 x
2 1 x

> det(A);
1 3 x

- Tính hạng của ma trận A: rank(A);
> rank(A);
2

- Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A: inverse(A) ;
> inverse(A);


















 1 x
 1 3 x
x
 1 3 x
2
 1 3 x

1
 1 3 x

2.5 Đồ thị hàm số
2.5.1 Hàm một biến : đồ thị 2D
Cú pháp : plot(f , x = a b );
Ý nghĩa: Vẽ đồ thị hàm số f theo biến x trên miền [a;b].Nếu không khai báo miền giá trị của x thì
Maple mặc định là [-10;10].
> plot(sin(x),x=-Pi Pi);

> plot(cos(x)+sin(x));

13

2.5.2 Hàm hai biến : đồ thị 3D
Cú pháp : plot3d(f , x = a b );

> plot3d({sin(x*y), x + 2*y}, x=-Pi Pi, y=-Pi Pi);


> plot3d(x*exp(-x^2-y^2), x=-2 2, y=-2 2, color=x);

14


PHẦN 2
ỨNG DỤNG MAPLE ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN TRONG
ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

CHƢƠNG 1 SỐ PHỨC

1.1 Vì sao phải có số phức
Đối với trƣờng số ta có rất nhiều trƣờng số nhƣ: N(tập hợp các số tự nhiên), Z( tập hợp các số
nguyên), Q( trƣờng số hữu tỷ), R(trƣờng số thực). Theo những kết quả mà các nhà toán học đã có đƣợc
trƣờng số thực là một trong những trƣờng số lớn nhất và có thể giải đƣợc nhiều bài toán khác nhau.
Nhƣng sau đó họ đã nhận thấy có nhiều bài toán không thể giải đƣợc trên trƣờng số thực, kết luận vô
nghiệm điển hình là các phƣơng trình bậc 2.Chúng ta cũng biết không phải phƣơng trình bậc 2 nào
cũng có nghiệm trong R.
Ví dụ
+1=0 (1)
Phƣơng trình trên hoàn toàn không có nghiệm thực. Điều này đồng nghĩa nếu ta giải phƣơng trình trên
trƣờng số thực ta sẽ kết luận nó vô nghiệm. Bài toán đặt ra là phải mở rộng trƣờng số thực bằng cách
xây dựng một trƣờng số mới lớn hơn trƣờng số thực để phƣơng trình (1) có nghiệm. Tập hợp số đó ta
gọi tên là trƣờng số phức ký hiệu là C. Khi đi sâu vào trƣờng số phức ta sẽ nhận thấy tất cả các phƣơng
trình có bậc lớn hơn bằng 1 đều có nghiệm chứ không riêng gì phƣơng trình (1).
Ta đặt :
C={(a,b)/a,b thuộc R}
Với một cặp (a,b) ta có một số phức. Trên trƣờng số phức ta vẫn có thể định nghĩa hai phép toán cơ bản
cho số phức là phép cộng và phép nhân :

(a,b) + (c,d)= (a+c,b+d)
(a,b).(c,d)=(ac-bd,ad+bc)
1.2 Dạng đại số của số phức
Đặt f: R-> C định bởi f(a)= (a,0). Ta có f đơn ánh. Ngoài ra, ta có phép cộng và nhân trong f(R)
trùng với phép cộng và nhân trong R
f(a) + f(b)= (a,0)+(b,0) =(a+b,0) = f(a+b)
f(a) . f(b) = (a,0).(b,0)= (ab,0) = f(ab)
Do đó, ta có thể đồng nhất số thực a với số phức (a,0). Điều này chứng tỏ rằng trƣờng số thực R là một
tập con của trƣờng số phức C. Ta chọn một số phức (0,1) và đặt tên nó là i. Ta có theo định nghĩa phép
nhân trên trƣờng số phức:
= i.i = (0,1).(0,1) =(0.0-1.1,0.1-1.0) =(-1,0)

Vậy ta có =-1
Ngoài ra, ta cũng có: số phức(0,b)=(0,1).(b,0)= (0.b-1.0,0.0+1.b) (2).

15

Mà ta có do đặt i=(0,1) do đó (2) đƣợc viết lại là:
(0,b)=i(b,0).
Suy ra với z=(a,b) thuộc C, ta có:
z= (a,b)=(a,0) + (b,0)= (a,0) + i(b,0) = a+ib
Định lý 1.2.1 Như vậy với mọi số phức z bất kỳ ta đều có viết dưới dạng
z=a+ib với a,b thuộc R (2)
(2) được gọi là dạng đại số của số phức z.
a được gọi là phần thực của số phức z ký hiệu là Re(z) và
b được gọi là phần ảo của số phức z ký hiệu là Im(z).
Ví dụ : Cho số phức z= (10,-3). Ta có dạng đại số của số phức z là: z=10-3i trong đó phần thực
Re(z)=10 và phần ảo Im(z)=-3.
Vì với mọi số phức z ta chỉ có duy nhất một dạng biểu diễn duy nhất nên ta có :
a+ib=c+id  a=c, b=d với a,b,c,d thuộc R.
Đặc biệt: a+ib=0 a=b=0.
Tính chất này đƣợc xem là tính chất 1 của dạng đại số của số phức.
Tính chất 2: Vì trường số phức là tập lớn hơn trường số thực nên các phép tính thông thường trong R
vẫn đúng với C với điều kiện = -1 (đã chứng minh ở trên).
Ta gọi hai số phức bất kỳ có dạng:z=a+ib và z’=c+id. Ta có:
 z+z’= (a+c) +i(b+d);
 z-z’= (a-c)+i(b-d);
 z.z’=(a+ib)(c+id) = ac + iad + ibc + i2bd = (ac-bd) + i(ad+bc)
 = =
Ví dụ: Cho số phức z=(3,1) và z’=(5,6).
Ta có:
z+z’= 8 +7i

z-z’=-2-5i
z.z’= 9 +23i
=
Tính chất 3: Những hằng đẳng thức thực cũng đúng trong số phức.
Ví dụ: z= = 4+12i -9=-5+12i.
Định lý 1.2.2 Cho số phức z=a+ib ta gọi số phức liên hợp là z’=a-ib.Với mọi số phức z và z’ ta có:
i) z’=0=a-ib=0 => a=b=0 =>z=a+ib=0;
ii) z’’=z;
iii) Re(z)=(z+z’)/2 và Im(z)=(z-z’)/2i;
Chứng minh: Ta có: (z+z’)/2=( a+ib +a-ib)/2=a=Re(z).
(z-z’)/2i= (a+ib –a +ib)/2i= 2ib/2i=b=Im(z).
Nhận xét:
1) z=z’  a+ib=a-ib  ib=0  Im(z)=0 , nghĩa là z thuộc R.
2) z=-z’  a+ib= -(a-ib)  a+ib=-a+ib  a=0  Re(z)=0 nghĩa là: z=ib với b thuộc R. Trong
trƣờng hợp này ta gọi z là số thuần ảo.
Định nghĩa 1.2.3 Cho số phức z= a+ib. Ta gọi môđun hay giá trị tuyệt đối của z ký hiệu |z| =
là một số thực không âm.

16

Ví dụ: Với số phức z= 5-2i. Ta có:
|z|= = .
Định lý 1.2.4 Cho các số phức z và z’ ta có:
i) |z|=0

z=0;
ii) =z. ;
iii) |Re(z) | ≤ |z| và |Im(z)| ≤ |z|
iv) |z. (
v) |z +

Chứng minh:
Với i) ta có:
|z|= = 0  = 0  a=b=0  z=0.
Với ii) và iii) ta có kết quả hiển nhiên.

1.3 Dạng lƣợng giác của số phức
Do ta có tập C lớn hơn R do đó ta có thể biểu diễn số phức z= a+ib bởi một điểm M( x,y) trong mặt
phẳng với hệ trục Oxy ta có mặt phẳng phức tƣơng ứng:
Khi đó ta có OM=|z|.Ta gọi là đối số hay argument của z , ký hiệu: .
Những số thực a có argument bằng 0 biểu diễn bởi các điểm trên trục Ox và Ox đƣợc gọi là trục thực.
Những số thuần ảo ib có argument bằng 0 biểu diễn bởi các điểm trên Oy và ta gọi Oy là trục ảo.
17

Ngoài ra, ta có nếu cho một số phức z= a + ib = 0 và r=|z|= . Khi đó arg(z) là góc duy nhất
( sai khác một bội nguyên ) thỏa tính chất:

Định lý 1.3.1
i) Mọi số phức z đều được viết dưới dạng
z = r (cos (*)
trong đó r =|z| và . (*) được gọi là dạng lượng giác của số phức.
ii) Đảo lại, nếu số phức z được viết dưới dạng
z =
với và do đó đây chính là dạng lượng giác của z.
Chú ý: Theo công thức Euler ta có: r ( .
Chứng minh
Với i) ta có vế phải là: r ( cos ) = a +ib ( đpcm).
( Áp dụng tính chất trên)
Với ii) z= .Ta có:
.
Vậy |z|= . Nên ta có:

|z|(cos .
Ta suy ra:

Và do đó
Ví dụ
Cho số phức 1 +i = 2( ) = 2(cos )
Lƣu ý: Mọi số phức đều đƣợc viết dƣới dạng lƣợng giác nhƣng có những trƣờng hợp để xác định
argument của z không dễ dàng.
Định lý 1.3.2 Cho các số phức z, z .Khi đó:
i) arg(z
ii) arg(z/
Chứng minh
Với i) ta viết dƣới dạng lƣợng giác:
z=r(cos
Khi đó:
z.

Do đó:

18

Với ii) Với ta có:

Do đó:
arg(1/
Từ đây theo i) ta có:
arg ( )
Hệ quả 1.3.3
Cho các số phức z, dƣới dạng lƣợng giác:
z=r(cos

Khi đó:
i) z
ii) z

Định lý 1.3.4 ( Công thức Moivre)
Cho số phức z dưới dạng lượng giác: z =r(cos . Khi đó với mọi số nguyên n ta có:
(**)
Kết hợp với công thức Euler ta có:

Chứng minh. Ta thấy (**) luôn đúng với n = 0. Ta chứng minh định lý đúng với n .
Xét trƣờng hợp n . Theo giả thiết (**) luôn đúng với n = 1.Giả sử (**) đã đúng với n =k, nghĩa là ta
có:

Khi đó theo hệ quả trên ta có:

Vậy (**) vẫn đúng với n = k+1. Theo nguyên lý quy nạp ta có kết luận (**) vẫn đúng với mọi n
Ta xét trƣờng hợp ngƣợc lại với n . Đặt m = -n, thì m
Theo hệ quả trên ta có:
.
Nên theo kết quả trên ta suy ra:
.
Ví dụ
Tính .
Ta viết 1-i dƣới dạng lƣợng giác:
[cos(
Theo công thức Moivre ta có:
19


1.4. Căn của số phức

Định nghĩa 1.4.1
Căn bậc n>0 của số phức u là số phức z thỏa .
Định lý 1.4.2
Mọi số phức u đều có đúng n căn bậc n được định bởi:

Chứng minh. Ta viết u dƣới dạng lƣợng giác

Với z =

Với 0 .
Do đó ứng với k n căn bậc n khác nhau của u. Bây giờ ta cho k tùy ý thuộc Z dùng
thuật chia Euclide trong Z ta viết k dƣới dạng:

Khi đó:

Điều này chứng tỏ căn bậc n có đƣợc ứng với k trùng với căn bậc n ứng với r. Từ đó kết luận u có đúng
n căn bậc n ứng với k .
Ví dụ Tìm căn bậc 5 của 1.
Ta viết 1 dƣới dạng lƣợng giác:
1=cos0+isin0.
Theo công thức trên ta có căn bậc 5 của 1 là:

Đó là các số phức:

.


20

Nhận xét

Để tìm căn của số phức ta thƣờng viết dƣới dạng lƣợng giác rồi áp dụng công thức để tính. Nhƣng
không phải lúc nào cũng dễ dàng tính đƣợc argument của z. Ở trƣờng hợp này ta áp dụng phƣơng pháp
đại số nhƣng thƣờng chỉ hữu hiệu đối với căn bậc 2 mà thôi.
Định lý 1.4.5 Cho số phức u = a+ib 2 căn bậc hai đối nhau z = x+iy, trong đó:

Hơn nữa tích số xy luôn luôn cùng dấu với b ( nếu b khác 0).
Chứng minh: Gọi z = x + iy là một căn bậc hai của u = a + ib nên ta có:


Theo định lý Viet ta có

Suy ra:

Vì xy = b/2 nên xy luôn cùng dấu với b. Cuối cùng, nếu z là căn bậc 2 của u thì –z cũng là căn bậc 2
của u.

Định lý 1.4.6 Phương trình bậc hai a , luôn luôn có các nghiệm
định bởi:

Với quy ước

là một trong hai căn bậc hai của số phức

.
1.5 Ứng dụng Maple để giải các bài toán liên quan đến số phức
Trong Maple quy định số phức i là I
1.5.1 Tạo số phức
Ta có các lệnh cơ bản sau :
- Để gán biến z là số phức a + bi ta nhập lệnh:
z:=a+b*I.

- Để tạo số phức a +bi ta nhập lệnh:
complex(a,b).
- Để tạo số phức bi ta nhập lệnh:
complex(b).
21

1.5.2 Các phép toán trên số phức
Các phép toán cộng , trừ, nhân, chia hay lũy thừa tƣơng ứng là các ký hiệu +, -,*, /. Nhƣng thông
thƣờng kết quả thu đƣợc khi ta thực hiện những phép toán trên các số phức không phải là dạng đại số
do đó ta sử dụng hàm sau để cho kết quả dạng đại số nhƣ mong muốn:
evalc(…)
- Để xác định phần thực của z ta nhập lệnh:
re(z);
- Để xác định phần ảo của z ta nhập lệnh:
im(z);
- Để xác định modun của z ta nhập lệnh:
abs(z);
- Để xác định argument của z ta nhập lệnh:
argument(z);
- Để xác định số phức liên hợp của z ta nhập lệnh:
conjugate(z);
- Để đơn giản biểu thức ta nhập lệnh:
simplify(expr) với expr là biểu thức.
1.5.3 Căn của số phức, giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình
- Để xác định căn bậc n của số phức ta nhập lệnh:
solve(x^n=z,x)
- Để giải phƣơng trình hay hệ phƣơng trình hoặc hệ bất phƣơng trình eqns với các biến vars. Nếu có
nhiều phƣơng trình hoặc bất phƣơng trình thì eqns là {eqn1,eqn2,…}; nếu nhiều biến thì vars là
{var1,var2…} với dòng lệnh sau đây:
solve(eqns,vars)

Trên đây là những dòng lệnh cơ bản nhất khi tính toán trên số phức. Để hiểu rõ hơn về những dòng
lệnh này, ta sẽ xét những ví dụ cụ thể với mục đích duy nhất là làm sáng tỏ những dòng lệnh trên.
Bài 1.1

Nhập vào Maple ta có:
> (1+I)^3 + (3-I)*(1+I);


Nhập vào Maple ta có:
> (2-I)^5 +(2+I)^5;



Bài 1.2

Nhập vào Maple ta có:
> Z:=x+iy;

22

> solve({(1+2*i)*x + (2+i)*y +(3+2*i)*z = 7+6*i,(3-6*i)*x +(2-5*i)*y +(1-6*i)*z = 5-18*i},{x,y});

Vậy nghiệm của hệ phƣơng trình trên là:


Bài 1.3:

Nhập vào Maple ta có:

> z2:=1;

> z2:=evalc(z2); // Đƣa z2 về dạng đại số.

> simplify(abs(z2));// Mô đun của z2.

> simplify(argument(z2));// Argument của z2.

Vậy số phức z2 đƣợc viết dƣới dạng lƣợng giác là:
Z2 = 1 * (cos0 +isin0) = 1.

Nhập vào Maple ta có:

> z1:=(sqrt(3)-I);

> z1:=evalc(z1);

> simplify(abs(z1));


> simplify(argument(z1));

Vậy số phức z1 đƣợc viết dƣới dạng lƣợng giác là:
Z1 = 2. (cos +isin ).
Bài 1.4

Ta có: |z| = r = .
với cos và sin .
Vậy ta có .

23

Nhập vào Maple ta có:
> z:= (1+i*sqrt(3))^150;
>

Bài 1.5
.
Nhập vào Maple ta có:
> with(linalg):
> z:=-1+I*sqrt(3);

> abs(z);

> argument(z);

Vậy theo công thức Moivre ta có:


Nhập vào Maple ta có:
> z1:=-1+I*sqrt(3);

> abs(z1);

> argument(z1);

> z2:=-1-I*sqrt(3);

> abs(z2);

> argument(z2);


Vậy theo công thức Moivre :


Vậy .

24

Bài 1.6

Nhập vào Maple và giải:
> solve(z^4 = I,z);

Vậy căn bậc 4 của I là:




> solve(z^3= 2-2*I,z);

Vậy căn bậc 3 của 2- 2i là:


Bài 1.7

Nhập vào Maple ta có:
> z:=x+i*y;

> A:=(1 + z + z^2 + z^3 + z^4 +z^5 + z^6)*(1 -z);

> B:= simplify(A);



Nhập vào Maple ta có:
> z:=cos((2*pi)/7) + i*sin((2*pi)/7);
:= z 








cos
2 
7
i








sin

2 
7