phương pháp giải các dạng toán về dãy tỉ số bằng nhau toán 7

A. ĐẶT VẤN ĐỀ
Một trong những yêu cầu đặt ra của cải cách là phải đổi mới phương pháp dạy học
theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh, dưới sự tổ chức hướng dẫn
của giáo viên. Học sinh tự giác, chủ động tìm tòi, phát hiện và giải quyết nhiệm vụ
nhận thức và có ý thức vận dụng linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học vào bài tập
và thực tiễn. Trong đó có đổi mới dạy học môn toán, Trong trường phổ thông, dạy
toán là dạy hoạt động toán học. Đối với học sinh có thể xem việc giải toán là hình thức
chủ yếu của hoạt động toán học. Quá trình giải toán đặc biệt là giải toán hình học là
quá trình rèn luyện phương pháp suy nghĩ, phương pháp tìm tòi và vận dụng kiến thức
vào thực tế. Thông qua việc giải toán thực chất là hình thức để củng cố, khắc sâu kiến
thức rèn luyện được những kĩ năng cơ bản trong môn toán.
Trong hoạt động dạy học theo phương pháp đổi mới, giáo viên cần giúp học sinh
chuyển từ thói quen thụ động sang thói quen chủ động. Muốn vậy giáo viên cần chỉ
cho HS cách học, biết cách suy luận, biết tự tìm lại những điều đã quên, biết cách tìm
tòi để phát hiện kiến thức mới. Các phương pháp thường là những quy tắc, quy trình
nói chung là các phương pháp có tính chất thuật toán. Tuy nhiên cũng cần coi trọng
các phương pháp có tính chất tìm đoán. Học sinh cần được rèn luyện các thao tác tư
duy như phân tích, tổng hợp, đặc biệt hoá, khái quát hoá, tương tự, quy lạ về quen.
Việc nắm vững các phương pháp nói trên tạo điều kiện cho học sinh có thể đọc hiểu
được tài liệu, tự làm được bài tập, nắm vững và hiểu sâu các kiến thức cơ bản đồng
thời phát huy được tiềm năng sáng tạo của bản thân và từ đó học sinh thấy được niềm
vui trong học tập.
Là một giáo viên toán trong quá trình tự học bồi dưỡng thường xuyên về đổi mới
phương pháp dạy học hiện nay bản thân cũng nhận thấy được yêu cầu trên là rất phù
hợp và thiết thực. Trong quá trình dạy học giải toán giáo viên phải biết hướng dẫn, tổ
chức cho học sinh tìm hiểu vấn đề phát hiện và phân tích mối quan hệ giữa các kiến
thức đã học trong một bài toán để từ đó học tìm được cho mình phương pháp giải
quyết vấn đề trong bài . Chỉ trong quá trình giải toán tiềm năng sáng tạo của học sinh
được bộc lộ và phát huy, các em có được thói quen nhìn nhận một sự kiện dưới những
góc độ khác nhau, biết đặt ra nhiều giả thuyết khi phải lý giải một vấn đề, biết đề xuất
nhữnh giải pháp khác nhau khi sử lý một tình huống.

1
Về khách quan cho thấy hiện nay năng lực học toán của học sinh còn rất nhiều thiếu
xót đặc biệt là quá trình vận dụng các kiến thức đã học vào bài tập và thực tiễn. Tỷ lệ
học sinh yếu kém còn cao các em luôn có cảm giác học hình khó hơn học đại số. Tình
trạng phổ biến của học sinh khi làm toán là không chịu nghiên cứu kĩ bài toán, không
chịu khai thác và huy động kiến thức để làm toán. Trong quá trình giải thì suy luận
thiếu căn cứ hoặc luẩn quẩn. Trình bày cẩu thả, tuỳ tiện …
Về phía giáo viên phần lớn chưa nhận thức đầy đủ về ý nghĩa của việc dạy giải
toán. Hầu hết giáo viên chưa cho học sinh làm toán mà chủ yếu giải toán cho học sinh,
chú ý đến số lượng hơn là chất lượng. Trong quá trình dạy học giải toán giáo viên ít
quan tâm đến việc rèn luyện các thao tác tư duy và phương pháp suy luận. Thông
thường giáo viên thường giải đến đâu vấn đáp hoặc giải thích cho học sinh đến đó,
không những vậy mà nhiều giáo viên coi việc giải xong một bài toán kết thúc hoạt
động . Giáo viên chưa thấy được trong quá trình giải toán nó giúp cho học sinh có
được phương pháp, kĩ năng, kinh nghiệm, củng cố, khắc sâu kiến thức mà còn bổ
xung nguồn kiến thức mới phong phú mà tiết dạy lý thuyết mới không thể có được.
Trong quá trình công tác bản thân tôi không ngừng học tập nghiên cứu và vận dụng lý
luận đổi mới vào thực tế giảng dạy của mình. Qua quá trình tập huấn, được sự cộng tác
của đồng nghiệp và sự chỉ đạo của ban giám hiệu nhà trường tôi đã tiến hành nghiên
cứu và vận dụng quan điểm trên vào công tác giảng dạy của mình và thấy rất có hiệu
quả. Nên tôi quyết định nghiên cứu đề tài:Phương pháp hướng dẫn học sinh khai
thác một số dạng toán về dãy tỉ số bằng nhau - Toán 7 tập 1 - Ở Trường THCS
Võ Lao.
Chính vì tôi được phân công giảng dạy ở lớp 7 trong các lớp tôi dạy đa số các
em có học lực trung bình khá trở lên vì thế các bài toán tôi đưa ra ở đây có một số bài
dành cho học sinh có lực trung bình và yếu, kém còn phần lớn các bài toán nâng cao
đưa thêm vào trong các tiết luyên tập dành cho học sinh có lực học khá. Nhằm nâng
cao khả năng tư duy mở rộng kiến thức cho học sinh giúp các em hiểu sâu sắc hơn
phương pháp giải dạng toán này
2

B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ.
CHƯƠNG I. CƠ SỞ LÝ LUẬN
1. Quan niệm vấn đề dạy học giải toán.
Dạy học giải toán bao gồm hai nội dung cơ bản:
+ Tìm tòi lời giải bài toán ( đường lối ).
+ Trình bày lời giải ( Diễn đạt ).
Trong quá trình giảng dạy hai nội dung này nhiều lúc tiến hành đồng thời nhưng
nhiều khi tách thành hai quá trình. Do vậy trong thực hành cần phân biệt hai nội dung
trên và độc lập với nhau vì:
Giải một bài toán khi có một đường lối là kết quả của một quá trình bao gồm nhiều
khâu và là cái đích cuối cùng của người làm toán song dù sao quá trình này vẫn là thứ
yếu bởi lẽ dù có kĩ thuật tốt có thành thạo trong các thao tác nhưng chưa có đường lối
thì chưa có lời giải bài toán. Mặt khác trong khâu thực hiện các thao tác khi đã có
phương hướng là giai đoạn lao động có tính chất kĩ thuật không chứa đựng những yếu
tố sáng tạo như trong giai đoạn tìm tòi lời giải.Chỉ trong quá trình tìm tòi lời giải học
sinh mới có cơ hội củng cố, khắc sâu kiến thức, rèn luyện các thao tác tư duy, phương
pháp suy luận, khả năng phán đoán và lập luận chứng minh, khả năng phát hiện kiến
thức mới, vấn đề mới …
Mặt khác khi đã có đường lối thì việc trình bày, diễn đạt mới dễ dàng, lôgic, trật tự,
khoa học. Rèn luyện được cho học sinh thói quen sử dụng kí hiệu, thuật ngữ chính xác
và từ đó phát triển được tư duy lôgic và ngôn ngữ chính xác. Giúp học sinh tự tin hơn,
chủ động hơn.
2. Rèn luyện phẩm chất trí tuệ thông qua giải toán.
a. Tính linh hoạt biểu hiện ở các mặt sau:
+ Kĩ năng thay đổi phương hướng giải quyết vấn đề phù hợp với sự thay đổi của các
điều kiện, biết tìm ra phương pháp mới để giải quyết vấn đề.
+ Kĩ năng xác lập sự phụ thuộc giữa các kiến thức theo trật tự ngược lại với cách đã
học.
+ Kĩ năng nhìn một vấn đề theo nhiều quan điểm khác nhau.
b. Tính độc lập biểu hiện:

+ Kĩ năng tự mình thấy được vấn đề cần giải quyết, tự mình giải đáp vấn đề đó
không đi tìm lời giải có sẵn, không dựa vào ý nghĩ của người khác.
+ Có khả năng đánh giá ý nghĩ của người khác và tự đánh giá ý nghĩ của bản thân.
c. Tính sáng tạo biểu hiện:
+ Tự mình biết tìm ra phương pháp ngắn gọn, hay nhất, phát hiện kiến thức mới từ
vấn đề.
3
+ Tự mình phát hiện vấn đề và đặt ra vấn đề ( Biết khai thác và phát triển bài toán,
biết vận dụng bài toán vào các vấn đề khác, biết tự mở rrộng kiến thức).
3. Các biện pháp để rèn luyện cho học sinh các phẩm chất trên:
+ Thường xuyên tập dượt cho học sinh khả năng dự đoán và suy luận có lý, dự đoán
thông qua quan sát, so sánh, khái quát, quy nạp, để học sinh tự mình phát hiện vấn đề.
+ Ngoài việc sử dụng thành thạo quy tắc, phương pháp nào đó cần đưa ra các bài
tập có cách giải quyết riêng.
+ Khuyến khích học sinh tìm nhiều lời giải khác nhau của một bài toán. Việc tìm
nhiều lời giải khác nhau của một bài toán gắn liền với việc nhìn vấn đề với nhiều khía
cạnh khác nhau mở đường cho sự sáng tạo phong phú.
+ Rèn luyện cho học sinh khả năng nhanh chóng chuyển từ tư duy thuận sang tư
duy nghịch
+ Dưa ra nhiều bài toán không theo mẫu.
Sau đay tôi xin đưa ra một số bài toán minh hoạ các công việc cần làm của giáo viên
khi hướng dẫn học sinh giải toán .
Tuy nhiên trên thực tế đối với việc giải các dạng bài toán và khai thác tìm tòi
lời giải cho từng dạng bài toán cần phải tường minh và chặt chẽ cho dù có nhiều
hướng khai thác khác nhau thì.
Yêu cầu đối với lời giải:
- Lời giải không có sai lầm
- Lập luận phải có căn cứ chính xác.
- Lời giải phải đầy đủ.
Ngoài yêu cầu nói trên dạy học luyện tập còn yêu cầu lời giải phải ngắn gọn,

đơn giản nhất, cách trình bày phải rõ ràng và hợp lý.Từ những yêu cầu trên đã đạt
được ta mới chuyển sang hướng khai thác bài toán sâu hơn các cách giải để tìm ra
phương án tối ưu cho bài toán được hay hơn.
Sau đây tôi xin đưa ra phương pháp tìm tòi lời giải của một bài toán:
+ Tìm hiểu nội dung:
- Bài toán cho biết gì ? Yêu cầu gì?
- Dạng toán nào?
- Kiến thức cơ bản cần có là gì?
+ Xây dựng chương trình giải:
Tức là chỉ rõ các bước cần tiến hành. Bước 1 là gì? Bước 2 giải quyết vấn đề gì?
+ Thực hiện chương trình giải:
4
Trình bày theo đúng các bước đã chỉ ra. Chú ý sai lầm thường gặp trong tính toán
+ Kiểm tra và nghiên cứu lời giải:
+ Sau đó tiến hành khai thác bài toán từ bài toán xuất phát để được bài toán
tương tự.
Để khai thác được những bài toán xuất phát đòi hỏi mỗi học sinh phải tự mình
giải được các bài toán này, do đó học sinh cần đọc kĩ đề bài, chính xác, tìm hiểu yêu
cầu của đề, vận dụng kiến thức đã học từ lớp dưới sao cho phù hợp với từng bài để
giải. Để đạt được điều đó các em phải nắm vững định nghĩa, tính chất, trình bày lời
giải logíc để có được lời giải nhanh và ngắn gọn nhất mới có đủ thời gian khai thác
được bài toán mới sâu hơn. Chính vì vậy trong quá trình hướng dẫn học sinh giải toán
thì học sinh phải đóng vai trò chủ đạo trong quá trình làm bài, từ đó mới phân tích
được các cách giải khác nhau tìm hướng đi cho bài toán được sinh động hơn. Khi
hướng dẫn học sinh giải dạng bài tập này tôi tách ra các phần:
1. Nội dung bài toán và phương pháp giải.
2. Ví dụ minh hoạ cho phương pháp giải đó.
3. Khai thác các cách giải để chọn phương án tối ưu.
4. Phát triển thành bài toán mới trên cơ sở bài toán có sẵn từ dễ cho đến khó.

5
CHƯƠNG II
THỰC TRẠNG VỀ VẤN ĐỀ HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHAI THÁC MỘT SỐ
DẠNG TOÁN VỀ DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU TOÁN 7-TẬP I Ở TRƯỜNG
THCS VÕ LAO.
I. MỘT SỐ VẤN ĐỀ CHUNG.
1. Thuận lợi.
Giáo viên được trang bị đầy đủ về kiến thức và phương pháp giảng dạy. Được
sự quan tâm giúp đỡ của BGH nhà trường, các tổ khối chuyên môn đã tạo điều kiện và
luôn giúp đỡ chỉ bảo để bản thân tôi được nâng cao tay nghề. Hàng tháng tổ thường
xuyên mở các chuyên đề và triển khai thực hiện đến các giáo viên trong tổ. Đặc biệt là
tôi được trực tiếp dạy và chủ nhiệm các em nên tôi có điều kiện tiếp xúc và trao đổi
với các em. Qua đó tôi thấy đa số các em có khả năng chứng minh và khai thác được
một số bài toán dạng toán liên đến đường thẳng và đồ thị.
Về phía nhà trường có khá đầy đủ cơ sở vật chất phục vụ cho việc dạy và học,
có phòng học để phù đạo cho học sinh yếu kém,bồi dưỡng học sinh giỏi giúp các em
luyện tập nhiều hơn các dạng toán để nhớ được kiến thức một cách có hệ thống.
Học sinh phần đa có ý thức học tập. Phụ huynh đã quan tâm đến việc học tập
của con em mình, đã có tổ chức giúp đỡ những học sinh nghèo, học sinh có hoàn cảch
đặc biệt khó khăn.
2. Khó khăn.
Bên cạnh những thuận lợi còn không ít những khó khăn:
Đội ngũ giáo viên trong tổ có tuổi đời công tác còn trẻ nên phương pháp giảng dạy
còn nhiều hạn chế, còn ít kinh nghiệm trong công tác giảng dạy và giáo dục học sinh.
Các em học sinh chủ yếu là con em người dân tộc thiểu số. Điều kiện kinh tế
còn gặp nhiều khó khăn, chưa quan tâm nhiều đến các em trong việc học ở nhà do đó
các em lười học bài đặc biệt là việc làm bài tập ở nhà chưa đầy đủ. Mặt khác một số
học sinh chưa thấy được tầm quan trọng của việc học dẫn đến ý thức học của các em
chưa cao. Khả năng nhận thức của học sinh còn hạn chế chưa đồng đều. Một số em
còn nghỉ học nhiều, lười học dẫn đến bị rỗng kiến thức từ lớp dưới.

Trong một lớp học có nhiều đối tượng học sinh khác nhau nên việc truyền thụ
đầy đủ kiến thức trong từng tiết dạy của giáo viên đến học sinh rất khó khăn.
6
II. THỰC TRẠNG CỤ THỂ.
Trong quá trình giảng dạy một số dạng toán về dãy tỉ số bằng nhau ở lớp 7 tôi
thấy khả năng ghi nhớ kiến thức của học sinh còn hạn chế, chưa có hệ thống, chưa
biết trình bày chứng minh, phân tích lời giải, khai thác cho một bài toán dẫn đến việc
vận dụng kiến thức vào làm bài tập còn chậm.
Trình bày không có logíc, kĩ năng lập luận chứng minh còn hạn chế, hay sai sót
nhầm lẫn, diễn đạt thiếu mạch lạc, lập luận thiếu căn cứ, trình bày bài toán không biết
xuất phất từ đâu, đặc biệt là trong tiết luyện tập .
Quá trình giảng dạy trên lớp sau phần lí thuyết là phần các ví dụ được trình bày
phân tích chi tiết nhằm giúp các em học sinh hiểu được ý tưởng cũng như bản chất bài
toán, trên cơ sở này các em có thể hoàn toàn vận dụng sáng tạo vào các bài toán có nội
dung tương tự.
Thế nhưng qua thực tế giảng dạy tôi nhận thấy phần lớn cá em không nắm
vững tính chất, dấu hiệu nhận biết hoặc thuộc lí thuyết nhưng không biết vận dụng
vào bài tập đặc biệt vận dụng kiến thức liên quan còn rất yếu, nhất là trình bày lời giải
còn hạn chế, chưa logic khoa học, chính xác.
Trước khi đưa ra phương pháp hướng dẫn học sinh giải một số dạng toán này
tôi tiến hành khảo sát học sinh thu được kết quả như sau:
Năm học
TS
H
S
Giỏi Khá TB Yếu Kém
TS % TS % TS % TS % TS %
2014 - 2015 34 0 0 2 6 12 36 18 52 2 6
Qua kết quả khảo sát học sinh năm học tôi nhận thấy 58% học sinh có điểm yếu
kém khi giải dạng bài tập này. Nên tôi thiết nghĩ nếu để kết quả này duy trì ở cuối năm

thì chất lượng học sinh sẽ rất thấp không đảm bảo . Hơn nữa các dạng toán về dãy tỉ số
bằng nhau các em sử dụng thường xuyên trong suốt quá trình học tập và học lên lớp 8,
lớp 9 nữa. Để chất lượng học sinh được nâng lên đó là trách nhiệm của người giáo
viên trực tiếp giảng dạy. Từ đó bản thân tôi tìm ra những nguyên nhân tại sao học sinh
lại học yếu đến vậy? Yếu ở chỗ nào? Yếu ở dạng toán nào? Vì sao lại yếu? Thường
xuyên quan tâm đến điều kiện học tâp của các em, tác động đồng đều đến các đối
tượng học sinh trong lớp. Thì mới có cơ sở để phụ đạo và bồi dưỡng học sinh cho phù
hợp. Bên cạnh đó học sinh phải xác định đúng động cơ học tập, chăm chỉ thường
7
xuyên học và làm bài ở nhà. Mặt khác cần có sự ủng hộ nhiệt tình của phụ huynh học
sinh, sự quan tâm sát sao hơn nữa của nhà trường.
III. NGUYÊN NHÂN DẪN ĐẾN HỌC SINH KHÔNG KHAI THÁC ĐƯỢC MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ
DÃU TỈ SỐ BẰNG NHAU.
Giáo viên giảng dạy truyền thụ đủ nội dung kiến thức, vận dụng đúng phương
pháp. Tuy nhiên việc kết hợp các phương pháp chưa phù hợp đến từng đối tượng học
sinh.
Là một giáo viên trực tiếp giảng dạy lớp 7 tại trường tôi nhận thấy phần đông
học sinh không khai thác được một số dạng toán về dãy tỉ số bằng nhau với nhiều
những lí do khác nhau:
- Học sinh không nắm được hoặc không vận dụng được những tính chất, về dãy
tỉ số bằng nhau.
- Kỹ năng vận dụng lý thuyết vào giải bài tập, vận dụng kiến thức liên quan,
cách trình bày lời giải bài toán còn hạn chế.
Để giúp 58% học sinh chưa đạt mức trung bình này có được kết quả như mong
muốn bằng những kinh nghiệm đã tích luỹ được tôi xin đưa ra một số giải pháp hướng
dẫn học sinh giải và khai thác một số dạng toán về đồ thị và đường thẳng nàynhư sau.
CHƯƠNG III. BIỆN PHÁP VÀ GIẢI PHÁP
8
- Để một tiết dạy 2nhẹ nhàng thoải mải cho học sinh giúp các em nắm bài học
tốt khi khai thác các dạng toán về dãy tỉ số bằng nhau.

- Thì trước hết các em phải có kiến thức, phải nắm vững được các phương pháp
giải từng dạng toán một .
- Phải nắm được mục đích yêu cầu của đề bài.
Tôi thử kiểm tra hai tiết dạy của hai lớp:
Lớp có tinh thần tự giác cao biết hiểu học hỏi coi bài trước tiếp thu bài học mới
thì các em cảm nhận tiết học tốt hơn, hiểu bài và nắm rõ bài học hơn.
Còn lớp có tinh thần học tập yếu, thì việc các em tiếp thu bài rất khó khăn, mơ
hồ.
Nên quan điểm của tôi là việc truyền thụ kiến thức cho các em là một vấn đề rất
quan trọng và việc các em nắm kiến thức đó lại là quan trọng hơn. Kiến thức các em
vừa được nghe có hiểu không và việc áp dụng nó như thế nào?
Khi đưa ra một bài toán mà giáo viên cần vạch ra được hướng đi đúng đắn cho
học sinh.
Đa số giáo viên chỉ dạy theo số lượng bài tập, tìm ra kết quả là song, không chỉ
ra và phân biệt các dạng toán cho các em, không khai thác xem bài toán này có bao
nhiêu cách giải, không hiểu được học sinh của mình có nắm được bài hay không.
Giáo viên phải vạch rõ nội dung chính của bài học giúp học sinh hiểu sâu bài,
từng chi tiết nhỏ, thông qua việc phân tích đề bài và đưa đến hướng giải một cách
đúng đắn hơn.
Mục tiêu dạy các dạng toán này là củng cố lí thuyết và rèn luyện kỹ năng cho
học sinh. Qua thực tế giảng dạy và khảo sát học sinh kết quả thu được là học sinh còn
mắc nhiều trong khi vận dụng lí thuyết vào giải bài tập và cách trình bầy lời giải. Để
giải được dạng bài tập này đòi hỏi học sinh cần phải theo trình tự các bước sau:
- Tìm hiểu nội dung bài toán.
- Chỉ rõ các bước cần tiến hành.
- Trình bày theo đúng các bước đã chỉ ra. Chú ý sai lầm thường gặp trong tính
toán.
- Kiểm xem lời giải có sai lầm không.
Sau đây tôi xin đưa ra một số ví dụ cụ thể:
A. LÍ THUYẾT.

9
I. Tỷ lệ thức
1. Định nghĩa
Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số
d
c
b
a
=
Các số hạng a và d gọi là ngoại tỉ, b và d gọi là trung tỉ.
2. Tính chất
- Tính chất 1 (tính chất cơ bản)
Nếu
a c
b d
=
thì ad = bc
- Tính chất 2 (tính chất hoán vị)
Nếu ad = bc và a, b, c, d khác 0 thì ta có các tỉ lệ thức:
; ; ;
a c a b d c d b
b d c d b a c a
= = = =
II. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:
1. Tính chất
- Từ tỉ lệ thức
d
c
b
a

=
ta suy ra
( )
db
db
ca
db
ca
d
c
b
a
±≠
−
−
=
+
+
==
- Mở rộng: Từ dãy tỉ số bằng nhau
f
e
d
c
b
a
==
Ta suy ra

a c e a c e a c e

b d f b d f b d f
+ + − +
= = = = =
+ + − +
(giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
2. Chú ý:
- Khi nói ba số x; y; z tỉ lệ với ba số a; b; c tức là ta có
x y z
a b c
= =
hay x:y:z = a:b:c
- Khi có dãy tỉ số
532
cba
==
ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số 2; 3; 5 ta cũng viết
a:b:c = 2:3:5.
- Vì tỉ lệ thức là một đẳng thức nên nó có tính chất của đẳng thức, từ tỉ lệ thức
d
c
b
a
=
suy ra
( )
2 2
1 2
1 2
1 2
. ; . . 0 ; ( , 0)

k a k c
a c a c a c
k k k k k
b d b d b d k b k d
   
= = = ≠ = ≠
 ÷  ÷
   
Từ
f
e
d
c
b
a
==
suy ra
3
3 3 2
;
a c e a c e a c e
b d f b d f b d f
 
     
= = = × × = ×
 ÷
 ÷  ÷  ÷
     
 
B. CÁC DẠNG TOÁN.

1. Dạng1: Tìm số hạng chưa biết.
Phương pháp: Áp dụng tính chất cơ bản tỉ lệ thức
10
- Nếu
. . .
. . ; ;
a c b c a d a d
a d b c a b c
b d d c b
= ⇒ = ⇒ = = =
- Muốn tìm ngoại tỉ chưa biết ta lấy tích của hai trung tỉ chia cho ngoại tỉ đã
biết, muốn tìm trung tỉ chưa biết ta lấy tích của hai ngoại tỉ chia cho trung tỉ đã
biết.
Bài tập 1:
Tìm x trong tỉ lệ thức sau:
( )
1 2
0,2 :1 : 6 7
5 3
x= +
Bài giải.
? Nêu cách làm (HSK)
? áp dụng kiến thức nào để tìm x
(HSG)
- Hướng dẫn học sinh biến đổi
? 6x+7=4 đã giải được chưa (HSTB)
- Yêu cầu học sinh lên bảng giải.
Ta có:

( )

1 2
0,2:1 : 6 7
5 3
x
= +

( )
( )
( )
( )
2
0,2
3
=
1
6x+7
1
5
2 1
0,2. 6x+7 = .1
3 5
2 6
0,2. 6x+7 .
3 5
4
0,2. 6x+7
5
1 4
. 6x+7
5 5

4 1
6x+7= :
5 5
4
6 7 .5
5
6 7 4
6 4 7
6 3
1

2
x
x
x
x
x
=
=
=
+ =
+ =
= −
= −
−
=
Chú ý: Với dạng toán này thì giáo viên hướng dẫn cho học sinh sử dụng tính chất:
“Muốn tìm ngoại tỉ chưa biết ta lấy tích của hai trung tỉ chia cho ngoại tỉ đã biết” ta
trình bày lời giải như trên. Cũng có thể đưa các tỉ lệ thức trên về tỉ lệ thức đơn giản
hơn rồi tìm x.

Bài tập 2: Tìm x biết
60
15
x
x
−
=
−
Bài giải:
11
?Nêu cách làm (HSK)
? Có mấy giá trị của x thỏa mãn.
(HSTB)
Ta có:
60
15
x
x
−
=
−
( ) ( )
( )
2
2
2
. 60 . 15
900
30
x x

x
x
= − −
=
=
⇒
x=-30 hoặc x= 30
Chú ý: - Ta thấy trong tỉ lệ thức có hai số hạng chưa biết nhưng hai số hạng đó giống
nhau nên ta đưa về luỹ thừa bậc hai có thể nâng cao bằng tỉ lệ thức.
- Trong bài toán 2 nếu ta linh động chỉnh sửa đề một tí thì trở thành bài toán
khó hơn.
Bài tập 3: Tìm x trong tỉ lệ thức:
37 3
13 7
x
x
−
=
+
Bài giải:
? Nêu cách làm (HSK)
- Yêu cầu học sinh lên bảng làm
? Ngoài cách 1 Còn cách nào khác
không. (HSG)
- GV hướng dẫn đưa về:
37 3
13 7
37 13
3 7
x

x
x x
−
=
+
− +
=
? áp dụng tính chất nào để giải(HSTB)
- Yêu cầu học sinh lên bảng giải
? Nhận xét
Ta có:
37 3
13 7
x
x
−
=
+
Cách1:

( ) ( )
7 37 3 13
259 7 3 39
10 220
22
x x
x x
x
x
− = +

− = +
=
⇒ =

Cách 2: Từ

37 3
13 7
37 13
3 7
x
x
x x
−
=
+
− +
=
áp dụng tính chất cơ bản của dãy tỉ số
bằng nhau ta có :
37 13 37 13 50
5
3 7 3 7 10
x x x x
− + − + +
= = = =
+
Từ đó suy ra:

37

5
3
37 3.5
37 15
22
x
x
x
x
−
=
− =
= −
⇒ =
12
Bài tập 4: Tìm x trong tỉ lệ thức

3 2 3 1
5 7 5 4
x x
x x
+ −
=
+ +
Bài giải:
? nêu cách làm
? Có nhận xét gì về bài toán này so với
bài tập 3(HSK)
- Yêu cầu học sinh lên bảng giải.
? Nhận xét cách giải này.(HSTB)

? Còn cách giải nào khác không.(HSG)
- GV hướng dẫn học sinh.
? Nhận xét tử và mẫu của đẳng thức.
(HSG)
? Có áp dụng được tính chất của dãy tỉ
số bằng nhau được (HSK)
không.
- Yêu cầu HS lên bảng giải
?Nhận xét hai cách giải (HSTB)
Ta có:
3x+2 3x-1
=
5x+7 5x+4
Cách 1: (áp dụng tính chất cơ bản của tỷ
lệ thức)
Từ:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
3 2 3 1
5 7 5 4
3 2 5 4 3 1 5 7
15 12 10 8 15 21 5 7
x x
x x
x x x x
x x x x x x
+ −
=
+ +
+ + = − +

+ + + = + − −
22 8 16 7
6 15
2,5
x x
x
x
+ = −
= −
⇒ = −
Cách 2: (áp dụng tính chất của dãy tỷ số
bằng nhau)
Từ:
3 2 3 1
5 7 5 4
x x
x x
+ −
=
+ +
áp dụng tính chất của dãy tỷ số bằng
nhau ta có:
3 2 3 1 (3 2) (3 1) 3
1
5 7 5 4 (5 7) (5 4) 3
x x x x
x x x x
+ − + − −
= = = =
+ + + − +

Từ đó suy ra:
3 2
1
5 7
x
x
+
=
+
(Trở về bài tập
3)

3 2 5 7
3 5 7 2
-2x= 5
5
x=
2
x x
x x
+ = +
− = −
−
⇒
Phân tích: Với cách 1 thì học sinh thường gặp khó khăn khi áp dụng tính chất
(a+b)(c+d) chính vì thế mà giáo viên cần định hướng cho học sinh giải theo cách 2
Giáo viên có thể hướng dẫn cho học sinh tính chất: a +m = b + m
⇒
a = b hoặc tính
chất: (a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd.

2. Dạng 2: Tìm nhiều số hạng chưa biết.
13
Bài tập 1: Tìm hai số x, y biết:
3 5
x y
=
và
16x y
+ =
Bài giải :
? Nêu cách làm.(HSTB)
? áp dụng kiến thức nào để làm.
(HSTB)
- Yêu cầu học sinh lên giải
? Nhận xét.(HSY)
?Còn cách làm nào khác không.(HSK)

? áp dụng kiến thức nào để làm. (HSK)
? Đặt
3 5
x y
=
=k thì ta suy ra x=? y=?
(HSTB)
? Tìm được k=? (HSY)
? Nhân xét 2 cách giải trên.( (HSTB)
Ta có:
3 5
x y
=

và
16x y
+ =
Cách 1: (áp dụng tính chất của dãy tỷ số
bằng nhau)
16
2
3 5 3 5 8
x y x y+
= = = =
+
Từ đó suy ra:

2 2.3 6
3
x
x x= ⇒ = ⇒ =

2 5.2 10
5
y
y y= ⇒ = ⇒ =
Vậy x = 6; y = 10 là giá trị cần tìm
Cách 2: (Đặt dãy tỷ số bằng k rồi biểu
diễn x, y qua k)
Đặt
3 5
x y
=
=k

⇒
3
5
x k
y k
=
=
(1)
Thay các giá trị này vào x + y = 16 ta
được:
3 5 16
8 16
2
k k
k
k
+ =
=
⇒ =
- Với k =2 thay(1)
ta được : x=2.3 =6
y=5.3 =15
Vậy x = 6, y = 10 là giá trị cần tìm.
Bài tập 3: Tìm 3 số x, y, z biết
2 3 4
x y z
= =
và x +y + z = 27
Bài giải:
? Nêu cách làm.(HSTB)

? áp dụng kiến thức nào để làm.
(HSTB)
Ta có:
2 3 4
x y z
= =
và x +y + z = 27
- Cách 1. Từ
2 3 4
x y z
= =
14
- Yêu cầu học sinh lên làm.
? Nhận xét.
- Yêu cầu HS lên bảng làm cách 2
? áp dụng kiến thức nào để làm.(HSK)
?Có mấy giá trị của k thỏa mãn.(HSTB)
? Nhận xét
áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau
ta có.

27
3
2 3 4 2 3 4 9
x y z x y z+ +
= = = = =
+ +
Từ đó suy ra:
3 2.3 6
2

x
x x
= ⇒ = ⇒ =

3 3.3 9
3
y
y y= ⇒ = ⇒ =

3 4.3 12
4
z
z z= ⇒ = ⇒ =
Vậy x=6, y=9, z=12 là giá trị cần tìm.
- Cách 2 : (Đặt dãy tỷ số bằng k rồi biểu
diễn x, y qua k)
Đặt

2 3 4
2
3
4
x y z
k
x k
y k
z k
= = =
⇒ =
=

=
(2)
Thay các giá trị này vào: x +y + z = 27 ta
được :
2 3 4 27
9 27
3
k k k
k
k
+ + =
=
⇒ =
Với k=3 thay vào
2 , 3 , 4x k y k z k
= = =
ta
được x=6, y=9, z=12
Vậy x = 6; y = 9; z = 12 là giá trị cần tìm.
Bài tập 4 : Tìm 3 số x,y,z biết
2 3 4
x y z
= =
và 2x + 3y - 5z = -21
Bài giải:
? Bài toán cho biết gì (HSY)
? Yêu cầu gì(HSY)
? Nêu cách làm.(HSTB)
? áp dụng kiến thức nào để làm.(HSK)
- Yêu cầu học sinh lên làm.

Ta có:
2 3 4
x y z
= =
và 2x + 3y - 5z = -21
- Cách 1:
Đặt

2 3 4
2
3
4
x y z
k
x k
y k
z k
= = =
⇒ =
=
=

15
? Tìm được k=?(HSTB)
Với k=3 thì x=? y=? z=?(HSTB)
? Nêu cách làm cách 2.(HSG)
? Có áp dụng ngay được tính chất của
dãy tỉ số bằng nhau được không. .
(HSK)
? Ta làm như thế nào. (HSG)

- Yêu cầu học sinh lên bảng giải.
? Nhận xét.
Thay các giá trị này vào: 2x + 3y - 5z =
-21ta được :
4 9 20 21
-7 21
3
k k k
k
k
+ − = −
= −
⇒ =
Với k=3 thay vào
2 , 3 , 4x k y k z k
= = =
ta
được x=6, y=9, z=12
Vậy x = 6; y = 9; z = 12 là giá trị cần tìm.
- Cách 2: Từ
2 3 4
x y z
= =
suy ra
2 3 5
4 9 20
x y z
= =
áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta
có:

2 3 5 2 3 5 21
3
4 9 20 4 9 20 7
x y z x y z+ − −
= = = = =
+ − −
Suy ra:
3 6
2
3 9
3
3 13
4
x
x
y
y
z
z
= ⇒ =
= ⇒ =
= ⇒ =
Vậy x = 6; y = 9; z = 12 là giá trị cần tìm.
Nhận xét: Qua các ví dụ trên thì ta thấy nếu điều kiện đi kèm mà đơn giản thì ta nên
áp dụng tính chất của dãy tỷ số bằng nhau, còn nếu điều kiện đi kèm mà phức tạp thì ta
nên đặt dãy tỷ số bằng k rồi biểu diễn các yếu tố (x, y, z, ) cần tìm qua k, sau đó thay
vào điều kiện đi kèm để tìm k rồi tìm x, y, z , Điều đó được thể hiện qua các bài
toán sau
Bài toán 5:

Tìm 3 số x, y, z biết
2 3 4
x y z
= =
và
2 2 2
2 3 5 405x y z+ − = −
Bài giải:
? Bài toán yêu cầu gì.(HSY)
?Nêu cách làm.(HSG)
? áp dụng kiến thức nào để làm.(HSK)
- Yêu cầu HS lên bảng giải.
Ta có:

2 3 4
x y z
= =
và
2 2 2
2 3 5 405x y z+ − = −
-Cách1:
Đặt:
16
? Ta tìm được bao nhiêu giá trị của k
thỏa mãn.(HSTB)
? Có mấy cặp x,y,z thỏa mãn yêu cầu
bài toán.(HSTB)
?Còn cách giải nào khác không.(HSG)
? Nêu cách làm. (HSG)
? áp dụng kiến thức nào để làm.

(HSG)
- GV hướng dẫn học sinh biến đổi để
áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng
nhau.
- Yêu cầu học sinh lên làm.
? Ta tìm được mấy giá trị x,y,z thỏa
mãn.(HSTB)
? Nhận xét về 2 cách giải trên.
2 3 4
2
3
4
x y z
k
x k
y k
z k
= = =
⇒ =
=
=

Thay vào
2 2 2
2 3 5 405x y z+ − = −
ta được:
2 2 2
2
2.4 3.9 5.16 405
9

k k k
k
+ − = −
=

Nên k =3 hoặc
3k
= −
.
Với k=3 thay vào
2 ; 3 ; 4x k y k z k
= = =
ta được x=6, y=9, z=12 .
Với k=-3 thay vào
2 , 3 , 4x k y k z k
= = =
ta được x=-6, y=-9, z=-12
Vậy x= 6; y = 9; z = 12 hoặc x = -6; y = -9;
z = -12 là giá trị cần tìm.
-Cách 2:
Từ
2 3 4
x y z
= =
suy ra
2 2 2 2 2 2
2 3 5
4 9 16 8 27 90
x y z x y z
= = ⇒ = =

Áp dụng tinh chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
2 2 2 2 2 2
2 3 5 2 3 5 405
9
8 27 90 8 27 90 45
x y z x y z+ − −
= = = = =
+ − −
Từ đó suy ra:

2
2
2
2
2
2
9 36 6
4
9 81 9
9
9 144 12
16
x
x x
y
y y
z
z z
+ = ⇒ = ⇒ = ±
+ = ⇒ = ⇒ = ±

+ = ⇒ = ⇒ = ±
Vậy x= 6; y = 9; z = 12 hoặc x = -6;
y = -9; z = -12. Là giá trị cần tìm.
Bài toán 6: Tìm 3 số x, y, z biết
2 3 4
x y z
= =
và x.y.z = 648
Bài giải:
17
? Bài toán yêu cầu gì(HSY)
? nêu cách làm.(HSG)
? áp dụng kiến tức nào để tìm x,y,z.
(HSG)
Yêu cầu học sinh lên bảng làm.
Nhận xét.
Ta có:
2 3 4
x y z
= =
và x.y.z = 648
Đặt

2 3 4
2
3
4
x y z
k
x k

y k
z k
= = =
⇒ =
=
=
Thay vào x.y.z = 648 ta được
24k
3
=648
3
3 3
27
3
3
k
k
k
=
=
=
Với k=3 thay vào
2 ; 3 ; 4x k y k z k
= = =
ta được x=6, y=9, z=12 là giá trị cần tìm.
Nhận xét: Qua các ví dụ trên thì ta có thể đưa ra các trường hợp tổng quát sau:
Bài tập 7: Tìm x, y, z biết = = =
Lời giải:
? Nhận xét bài toán này.(HSK)
?Có nên đặt biểu thức này bằng k

không.(HSK)
? Nêu cách làm.(HSK)
? áp dụng kiến thức nào để làm.
(HSK)
- Yêu cầu học sinh lên làm.
- GV gợi ý và giúp học sinh.
? Với = 2 thì x= ?(HSTB)
? Với = 2 thì y= ? (HSTB)
Ta có: Áp dụng nh chất của dãy tỉ số bằng
nhau :
= = = = = 2
Suy ra: x+y+z = .
Khi đó: y+z = - x
x+z = - y
x+y = - z
Do đó:
+ = 2
= 2 ⇔ x =
+ = 2
= 2 ⇔ y =
+ = 2
= 2 ⇔ z = -
Vậy: x = ; y = ; z = - .
18
? Với = 2 thì z= ? (HSTB)
? Nhận xét.
Nhận xét : Bài chỉ cho dãy tỉ số bằng nhau chứ không cho thêm mối quan hệ khác
như những bài trước. Khác những bài trước, học sinh thấy mới lạ. Vậy thì làm thế
nào? Liệu có làm xuất hiện mối quan hệ khác từ dãy tỉ số bằng nhau không?
Bài tập 8: Tìm a, b, c biết rằng: 2a = 3b = 4c và a - b + c = 35

Bài giải:
? Bài toán yêu cầu gì(HSY)
?Muốn tìm được a,b,c ta làm như thế
nào.(HSTB)
? áp dụng kiến thức nào để làm.
(HSTB)
? có mấy cách làm bài này.(HSK)
- Yêu cầu học sinh lên bảng làm.
? Nêu cách làm cách 2.(HSK)
- Yêu cầu học sinh lên làm.
? Có mấy giá trị k thỏa mãn.(HSTB)
Ta có: 2a = 3b = 4c
⇒
= =
⇒
= =
- Cách 1:
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.
= = =
6 4 3
a b c− +
− +
= = 7
Hay: + = 7
⇒
a = 7.6 = 42
+ = 7
⇒
b = 7.4 = 28
+ = 7

⇒
c = 7.3 = 21
Vậy: a = 42 ; b = 28 ; c = 21
- Cách 2: Đặt
6
6 4 3
b=4k
c=3k
a b c
k a k= = = ⇒ =
Thay a=6k ; b=4k ; c=3k vào a-b+c=35
6k-4k+3k=35
5k=35
k=7
Với k= 7 thay vào a=6k; b=4k; c=3k ta được
a=42; b=28; c=21
Bài tập 10: Tìm x
1
, x
2
, x
3
, … x
9
biết rằng:

3 91 2
3 9
1 2

9 8 7 1
x x
x x
− −
− −
= = = =
và x
1
+ x
2
+ x
3
+ ……+ x
9
= 90
Bài giải:
? Bài toán yêu cầu gì(HSY)
? Nêu cách làm.(HSK)
? áp dụng kiến thức nào để làm.
(HSG)
Theo nh chất của dãy tỉ số bằng nhau ta
có:
19
- Giáo viên gợi ý học sinh làm.
- Yêu cầu học sinh lên bảng làm.
? Với
1
1
1
1 ?

9
x
x
−
= ⇒ =
(HSTB)
? Nhận xét cách giải bài toán trên.

( )
( )
( )
3 91 2
1 2 3 9
1 2 3 9
3 91 2

9 8 7 1
1 2 3 9
9 8 7 1
1 2 3 9
1 2 3 9
x xx x
x x x x
x x x x
− −− −
= = = =
− + − + − + + −
=
+ + + +
+ + + + − + + + +

=
+ + + +
=
90 45
45
−
= 1
Suy ra:
+
1
1
1
1 9 1 10
9
x
x
−
= ⇒ = + =

+
2
2
2
1 8 2 10
8
x
x
−
= ⇒ = + =
+

3
3
3
1 7 3 10
7
x
x
−
= ⇒ = + =
………………
+
9
9
9
1 1 9 10
1
x
x
−
= ⇒ = + =
Vậy: x
1
= x
2
= x
3
= … = x
9
= 10.
A. Tổng quát: Tìm các số x, y, z thoả mãn

x y z
a b c
= =
(1) và x +y + z =d (2) ( trong
đó a, b, c, a+b+c
0
≠
và a, b, c, d là các số cho trước)
Cách giải:
- Cách 1: đặt
. ; . ; .
x y z
k x k a y k b z k c
a b c
= = = ⇒ = = =
thay vào (2)
Ta có k.a + k.b + k.c = d
( )
d
k a b c d k
a b c
⇒ + + = ⇒ =
+ +
Từ đó tìm được
.
; ;
a d bd cd
x y z
a b c a b c a b c
= = =

+ + + + + +
- Cách 2: Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có
. . .
; ;
x y z x y z d a d b d c d
x y z
a b c a b c a b c a b c a b c a b c
+ +
= = = = ⇒ = = =
+ + + + + + + + + +
B. Hướng khai thác từ bài trên như sau.
20
- Giữ nguyên điều kiện (1) thay đổi đk (2) như sau:
*
1 2 3
m x m y m z e+ + =
*
2 2 2
1 2 3
n x n y n z f
+ + =
*
3 3 3
1 2 3
n x n y n z f+ + =
*x.y.z = g
- Giữ nguyên điều kiện (2) thay đổi đk (1) như sau:
1 2 3 4
;
x y y z

a a a a
+ = =
+
3
1
2 4
;
a
x y
a
y a z a
= =

+
2 1 4 3
;a x a y a y a z= =
+
1 2 3
b x b y b z= =
+
1 3 3 2
2 1
b x b z b z b y
b y b x
a b c
− −
−
= =
+
3 3

1 2 2
1 2 3
z b
x b y b
a a a
−
− −
= =
- Thay đổi cả hai điều kiện
3. Dạng 3: Chứng minh liên quan đến dãy tỉ số bằng nhau.
Để Chứng minh tỷ lệ thức :
a c
b d
=
Ta có một số phương pháp sau :
Phương pháp 1 : Chứng tỏ rằng : ad= bc .
Phương Pháp 2 : Chứng tỏ 2 tỷ số
;
a c
b d
có cùng một giá trị nếu trong đề bài đã cho
trước một tỷ lệ thức ta đặt giá trị chung của các tỷ số tỷ lệ thức đã cho là k từ đó tính
giá trị của mỗi tỷ số ở tỉ lệ thức phải chứng minh theo k.
Phương pháp 3:
Dùng tính chất hoán vị, tính chất của dãy tỷ số bằng nhau, tính chất của đẳng
thức để biến đổi tỷ số ở vế trái (VT) thành vế phải (VP), tỷ số ở VP thành VT hoặc
biến đổi VT=C, VT=C rồi suy ra VT=VP.
Phương pháp 4:
Dùng tính chất hoán vị, tính chât của dãy tỷ số bằng nhau, tính chất của đẳng
thức để từ tỷ lệ thức đã cho biến đổi dần thành tỷ lệ thức phải chứng minh.

Bài tập 1: Cho a, b, c, d khác 0 từ tỷ lệ thức:
a c
b d
=
hãy suy ra tỷ lệ thức:
a b c d
a c
− −
=
.
Bài giải :
21
? Bài toán yêu cầu gì (HSY)
? Có những cách nào để chứng minh tỉ
lệ thức.(HSK)
? Nêu cách chứng minh.(HSK)
- Yêu cầu học sinh lên bảng làm.
? Còn cách nào khác không.(HSG)
(VT= VT =A)
? Áp dụng kiến thức nào để cm.(HSK)
- Yêu cầu học sinh lên bảng làm.
? Còn cách nào khác ngoài 2 cách
trên.(HSG)
? Nêu cách làm.(HSG)
? áp dụng kiến thức nào để cm.(HSG)
? Nêu cách khác (HSG)
- Yêu cầu học sinh lên bảng làm.
? Còn cách nào khác nữa không.
(HSG)
? Nêu cách chứng minh.(HSG)

? áp dụng kiến thức nào để cm.(HSK)
- Cách 1: Xét tích +
( )
c a-b =ac-bc (1)
+
( )
a c-d =ac-ad (2)
Từ
a c
= ad=bc (3)
b d
⇒
Từ (1), (2), (3) suy ra (a-b)c= a(c- d)
suy ra
a-b c-d
=
a c
- Cách 2: Đặt
a c
= =k a =bk
b d
c =dk
⇒
Ta có:
( )
b k-1
a-b bk-b k-1
= = = ,(b 0) (1)
a bk bk k
+ ≠

( )
d k-1
c-d dk-d k-1
+ = = = ,(d 0) (2)
c dk dk k
≠
Từ (1) và (2) suy ra:
a-b c-d
=
a c
- Cách 3: Từ
a c b d
= =
b d a c
⇒
Ta có:
a-b a b b d c-d
= - =1- =1- =
a a a a c c
Do đó:
a-b c-d
=
a c
- Cách 4:
Từ:

a c a b a-b
= = = (t/c)
b d c d c-d
⇒

a a-b a-b c-d
= =
c c-d a c
⇒ ⇒
-Cách 5:
Từ:
22

a c b d
= =
b d a c
b d
1- =1-
a c
a-b c-d
=
a c
⇒
⇒
⇒
Nhận xét: Bằng cách chứng minh tương tự từ tỉ lệ thức
a c
b d
=
ta có thể suy ra các tỉ
lệ thức sau:
;
a b c d a b c d
b d a c
± ± + +

= =
(Tính chất này gọi là tính chất tổng hoặc hiệu tỉ lệ thức).
Bài tập 2: chứng minh rằng nếu
2
a bc=
thì
(*)
a b c a
a b c a
+ +
=
− −
(với a
, )b a c≠ ≠
Bài giải:
? Bài toán yêu cầu gì(HSY)
? Nêu cách chứng minh(HSG)
- Yêu cầu học sinh lên bảng làm.
? Nêu cách làm khác(HSK)
? áp dụng kiến thức nào để chứng
minh.(HSK)
- Yêu cầu học sinh lên bảng làm.
? Nêu cách làm khác.(HSG)
(VT= VP)
? áp dụng kiến thức nào để chứng
minh.(HSK)
- yêu cầu học sinh lên bảng giải.
? Nhận xét cách cách giải trên.
(HSTB)
- Cách 1:

Từ :

2

a b a b a b
a bc
c a c a c a
a b c a
a b c a
+ −
= ⇒ = = =
+ −
+ +
⇒ =
− −
- Cách 2: Đặt
.
.
a c
k a b k
b a
c a k
= = ⇒ =
=
Ta có:

( )
( )
( )
(1)

1
1
, 0
1 1
b k
a b bk b k
b
a b bk b b k k
+
+ + +
= = = ≠
− − − −
( )
( )
( )
(2)
1
1
0 ,
1 1
a k
c a ak a k
a
c a ak a a k k
+
+ + +
= = = ≠
− − − −
Từ (1) và (2) suy ra:
a b c a

a b c a
+ +
=
− −
- Cách 3: Ta có

( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
2
,
, 0
a a b
a b
VT
a b a a b
a ab bc ab
do a bc
a ab bc ab
b c a
c a
a b VP
b c a c a
+
+

= =
− −
+ +
= = =
− −
+
+
= = ≠ =
− −
23
Do đó:

a b c a
a b c b
+ +
=
− −
Nhận xét: Ngược lại từ
a b c a
a b c b
+ +
=
− −
ta cũng suy ra được a
2
= bc
Từ đó ta có bài toán cho
a b c a
a b c b
+ +

=
− −
chứng minh rằng nếu 3 số a, b, c đều khác 0 thì
từ 3 số a, b, c có 1 số được dùng 2 lần, có thể lập thành 1 tỉ lệ thức .
Bài tập 3: Cho
a c
b d
=
. Chứng minh rằng:
( )
2012
2012 2012
2012 2012 2012
( )
a c
a c
b d b d
+
+
=
+ +
Bài giải:
? Bài toán yêu cầu gì(HSY)
? Nêu cách làm chứng minh.(HSK)
? áp dụng kiến thức nào để chứng
minh.(HSG)
- GV hướng dẫn học sinh làm.
? Nhận xét bài toán trên so với những
bài đã làm.(HSTB)
= = ≠

⇒ =
=
+ +
=
+ +
+
=
+
+
= =
+
2012 2012 2012 2012
2012 2012 2012 2012
2012 2012 2012 2012
2012 2012
2012 2012 2012
2012
2012 2012
a c
§Æt k (k 0)
b d
a k.b
c k.d
a c (kb) (kd)
Ta cã :
b d b d
k .b k .d
b d
k (.b d )
k (1)

b d
và
+ +
=
+ +
+ +
= = =
+ +
2012 2012
2012 2012
2012 2012 2012
2012
2012 2012
(a c) (kb kd)
(b d) (b d)
[k(b d)] k (b d)
k (2)
(b d) (b d)

Từ (1) và (2)
suy ra:
( )
2012
2012 2012
2012 2012 2012
( )
a c
a c
b d b d
+

+
=
+ +
Bài tập 4: Cho
a c
b d
=
. Chứng minh rằng:
5 3 5 3
5 3 5 3
a b a b
c d c d
+ −
=
+ −
Bài giải:
? Bài toán yêu cầu gì.(HSY)
? Nêu cách làm chứng minh.(HSTB)
? áp dụng kiến thức nào để chứng
- Cách 1: ta có
24
minh.(HSK)
- Yêu cầu học sinh lên bảng làm.
? Còn cách nào khác không(HSG)
? nêu cách làm.(HSK)
? áp dụng kiến thức nào để chứng
minh.(HSK)
- Yêu cầu học sinh lên bảng thực
hiện.
? Nhận xét 2 cách giải trên.(HSTB)

5 3 5 3
(1)
5 3 5 3
5 3 5 3
(2)
5 3 5 3
a c a b
b d c d
a b a b
c d c d
a b a b
c d c d
= ⇔ =
+
⇒ = =
+
−
= =
−

Từ (1) và (2)
5 3 5 3
5 3 5 3
a b a b
c d c d
+ −
=
+ −

(Đpcm).
- Cách 2: Đặt

c=kd
a c
k a kb
b d
= = ⇒ =
( )
( )
( )
( )
5 3
5 3 5 3
;(1)
5 3 5 3 5 3
5 3
5 3 5 3
;(2)
5 3 5 3 5 3
b k
a b kb b b
c d kd d d k d
b k
a b kb b b
c d kd d d k d
+
+ +
+ = = =
+ + +

−
− −
+ = = =
− − −
Từ (1) và (2)
5 3 5 3
5 3 5 3
a b a b
c d c d
+ −
=
+ −

(Đpcm).
Bài tập 5: Cho
a c
b d
=
. Chứng minh:
2 2
2 2
a b ab
c d cd
+
=
+
Bài giải:
? Đối với bài toán này ta chứng minh
như thế nào.(HSTB)
? Nêu cách làm.(HSK)

- Yêu cầu học sinh lên bảng làm.
? Còn cách nào khác.(HSG)
? Nêu cách làm.(HSG)
- Cách 1:
2 2 2 2
2 2 2 2
a c a b
b d c d
a b ab a b
c d cd c d
= ⇒ =
+
⇒ = = =
+
Vậy:
2 2
2 2
a b ab
c d cd
+
=
+
(Đpcm).
- Cách 2: Đặt
25