TÀI LIỆU ÔN TẬP THI TỐT NGHIỆP TOÁN 12 THPT

Phần 1: GIẢI TÍCH
CHƯƠNG I: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM.
I. TÓM TẮT KIẾN THỨC:
1).Sự đơn điệu của hàm số:
* Định nghĩa:
 
   =

( ) ( ) ( )
     
           ⇔ ∀ ∈ < ⇒ <
 
   =

( ) ( ) ( )
     
           ⇔ ∀ ∈ < ⇒ >
* Định lí:
 
   =

⇔

′
≥

∀ ∈

 
   =


⇔

′
≤

∀ ∈

Chú ý !"#$%&'()* +
* Chú ý:
• ,& - !./01%23 #45!./01%23 67$8#
• 9)xeùt:23 ;(<3= 
>./?
>.:

′

>./3;

′
 @
>A67%
>BC4D1%05 6801%23 
• 67$80$EF 03;
0G$%& !"#
2). Cực trị của hàm số:
a) Dấu hiệu 1 ,$H $



′

I J1=KL87%L
•
   + → −
$

5)<+
•
   − → +
$

5)<) 
→
A67%C4D1%05 6<;

b) Dấu hiệu 2 
•


 

  
 
 
′
=


⇒
 
′′

>


$

5)<) 
•


 

  
 
 
′
=


⇒
 
′′
<


$

5)<+
→

>.:


′

>./8)


+@+1M1N0G$8
>.:

′′

>.:
 

 
′′
DO 3 )05 6


5)<+&<) 
Chú ý: $

5)<;
   =
⇒

   
′
=


3).GTLN – GTNN của hàm số
   =
trên D :
* Định nghĩa:
PPPPPPPPPPPPP.QRARSTUV.WX.R.V.X.PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP
 YZ=[\5].AV;
   =
?
( )
( )
 


    
    
∀ ∈ ≤


⇔

∃ ∈ =


 Y=[\5].VV;
   =
?
( )
( )
 



    
    
∀ ∈ ≥


⇔

∃ ∈ =


4).Các đường tiệm cận của đồ thị hàm số:
a) Tiệm cận đứng:


5
 
  
±
→
= ±∞ ⇒ =
5364;
./8)


53;^ =0G53;_

 ⇒ =
5364;
b) Tiệm cận ngang:

 
5

   
→±∞
= ⇒ =
536;
.:
5


→+∞
và
5


→−∞
.

>40G@36
>`E7a4
( )
( )
 

 
=

 V 6
( )

  ≤
6
( )
 
@36
 V 6
( )
  >
6
( )
 
0G@36
5 ). Khảo sát hàm số:
 ./67$8;
 .:+1&b/3;7=2/&b":8;+83
DL/=[
 ./8K++DG<8K+DG<D/36 @
 A67%
 ./)N3D:$4;
 cd
Chú ý:
  !"@a$453;7=2/

′′
=
N3 
@<+D<) /a$45 );)<+<) 
  !#$6e 5e$4
 %&61)=f365a$4
II. CÁC DẠNG TOÁN ĐIỂN HÌNH:

SỰ ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Dạng 1: Xét tính đơn điệu của một hàm số:567%
Dạng 2: Định giá trị của tham số m để hàm số đồng biến (nghịch biến) trên TXĐ:O5g
'7-04)/
V 
( )

    
′
= + + ≠
/

  '
′
≥ ∀ ∈


 >

⇔

∆ ≤


  '
′
≤ ∀ ∈


 <


⇔

∆ ≤

CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Dạng 1: Tìm các điểm cực trị của một hàm số:OH &h1NH &h
PPPPPPPPPPPPP.QRARSTUV.WX.R.V.X.PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP
Dạng 2: Định giá trị của tham số m để hàm số đạt cực trị tại


:
X=2787
>./?
>.:
( )

  
′ ′
⇒

>A675 6+<<+
( )
 
  
′
⇒ =
→%/
>cKL8DL/=[OH &h1NH &h0)5+$J@i
F 03F0G

>,5 68iF 03
Dạng 3: Định giá trị của tham số m để hàm số luôn luôn có cực đại, cực tiểu:
X=2787
>./?
>.:

′

>.:

′
∆

>A675 65 G5 G@B9B.

′
⇔ =
@37a3DI 
5-08 0H 3@


′
⇔ ∆ >
→%/ 

′
0G5
467%567%)jI 5-08 0H 
3@
>,5 68DL/=[

Dạng 4: Chứng minh với mọi giá trị của tham số m hàm số luôn luôn có cực đại, cực tiểu:
X=2787
>./?
>.:

′

>.:

′
∆

>B4


′
∆ >
DI 5-08 0H 3@
⇒

5 G5 G@B9B.
GTLN – GTNN CỦA HÀM SỐ
   =
TRÊN D :
Dạng 1: Tìm GTLN – GTNN của một hàm số trên khoảng
( )
 
:<3= 
 A67%
 V %@< &5

• B<+
  
$  

 
  
⇒ =
• B<)
  
  
(
 
  ⇒ =
Dạng 2: Tìm GTLN – GTNN của một hàm số trên đoạn
k  l 
:<3= 
Cách 1:
 .:

′

 ./8)$

11

′
=
1N

′

0G$8
 .:
     

     
với
  

  ∈

→
1888
→
05 6
Cách 2:
 A67%kl
→
05 6
CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ:
Dạng 1: Sự tương giao giữa 2 đồ thị:
a)Bài toán 1:./1);=f
( )



( )
  =
D
( )




( )
  =
> A677=2/1(1);
( )


D
( )



( ) ( )
   =

>Y3;7=2/1(1):51);=f
PPPPPPPPPPPPP.QRARSTUV.WX.R.V.X.PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPmPPPPPPP
b)Bài toán 2:?OB35 6J13;7=2/
<3= 
>nI7=2/o1DF7=2/1(1)(D57=2
/;o@B(D57-p5+
>A675 6Y3;7=2/:51);BD
>?<D1/88%='1);BD→,
5 6
Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số
( )
  =
: Phương trình có
dạng:

  
       
′
− = −
a)Tại
  
    

b)n3@k;7 &_e

 )  
′
=
/$

→
/&


Chú ý:
q q
* 
*  ) )⇔ =
 
* 
*  ) )⊥ ⇔ = −
III. BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1:./801%23 ;8



 

= +
 

5 


=


 
  +
−
=


r r

 


− +
=
−
,&-.
Ba 9801% V801%

( ) ( )
   −∞ − +∞

( ) ( )
  −

( )
 +
( )
+ +∞

( )

( ) ( )
  −∞ +∞

( ) ( )
  −∞ +∞
( ) ( )
  
Bài 2:B4&"

s −
01%
( )
m
D
01%
( )
m−

Bài 3:9)


( )
m 
m    t      = − + + + +
67$8
,&-.
u u
u u
− ≤ ≤

( ) ( )
m 
        = − − + − −
67$8
,&-.0G@

m 

m
m
   = − + − +
67$8 ,&-.
 ≤ ≤


t
m
 


+ −

=
−
pJ8Javw01x$Oyp ,&-.
r
m
 ≤ −
Bài 4:9)
m  
m       = − + − +
+<) +
 =

,&-.
 =
Bài 5: 9)
m 
m m m r    = − + + +

PPPPPPPPPPPPP.QRARSTUV.WX.R.V.X.PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPrPPPPPPP
,G@< ,&-.≥
B@<+D<)  ,&-.z
Bài 6:9)

r

  


− +
=

−
B@<+D<)  ,&-.{m
9+<+
 =
 ,&-."r
9+<) +
 = −
 ,&-."|
Bài 7:n35 6J1<;
( )
r 
       = = − + − +

/ !
 ≤
@(<+
 >
@<+D(<) 
Bài 8:B4
( )
m 

 m s
m
    = − − + +
5 G@<DK\8;

Bài 9:./].AV].VV;8

m 

 m   = + −
Ja1+



 
−
 
 
,&-.

k l

 r  
−
= =


k l

   
−
= = −


t r  = − + −
,&-.
k l
    t  
−

= = −

k l
  |  
−
= − = −

m
r
 
m
  = −
1+kπl
,&-.
k l
m  
r r m
   
π
π π
   
= = =
 ÷  ÷
   

( ) ( )
k l
    
π
π

= = =

r


 

= − + −
+
1+
[ ]
−

J
5 


=
1+

+
 
 
,&-.
( )

k l

+
   +

+
= =

( )
k l
 
+
+
  = =
Bài 10:./8364D; 

 




−
=
+

( )




 


− −
=

−



m
r
 


+
=
−


m
r m


 
−
=
− +
J


m



+

=
+
}

 r
m
 


− +
=
−
,&-.
0 1 1 1 *1 +1 1
.364
 = −
 =
 = ±
 =
,G@
m =
PPPPPPPPPPPPP.QRARSTUV.WX.R.V.X.PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPtPPPPPPP
.36
 =
 =
 =
 =
 = ±
,G@
Bài 11: B1

m
m      = − −
 ,%18<DDdB;
 c7=2/7 &;B+
( )
 r
2
 − −
 ,&-.
s r = +

m c  7=2  /  7   &  ;  B    7   &  1  1  DK  =f  ~
r s    *= +
 ,&  -.
r t r tu   = + = −

r c  7=2  /  7   &  ;  B    7   &  D G  @  DK  =f  ~

s  •
m
  *= −
 ,&-.
m  = − −

t c7=2/7 &;B+1);DKe 
u ?<D1B35 6J13;7=2/
m
m u m   − + − =

Bài 12: B1

m 
u s    = − +
,%18<DDd
( )

;
c7=2/7 &;B+)@1(53;7=2/

′′
=
 ,&-.
m € = − +

mcK81;=f~

   = + −
H  );1+
~)<+D<) ;
( )

 ,&-.




=


=



r.:3:/7~K+'Be•$D=f~
  = =

,&-.
m
r

3 =

Bài 13B1
m
m     = − −
,%18<DDdB;
9)Bh=f~
  − − =
+)7a3
,&-.
m > −

m.:3:/7~K+'Be•$D=f~
  = =

,&-.
s
r

3 =

r?<D1B35 6J103;7=2/

m
m   )− − =

Bài 14 :B1&"$
m
>m$

>$>P@B
,%18<DDdB;0"m
]\‚51);BDe .:3:/7~K+'BD7
 &;B+‚ ,&-.
|
r

3 =

m`8)Bhe1+)7a3
PPPPPPPPPPPPP.QRARSTUV.WX.R.V.X.PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPuPPPPPPP
,&-.
m <

Bài 15:B1B&"}$"$
r
P$


,%18<DDdB
?<D1B/0)
  )∆ =
hB+)7a3

,&-.
 )− < <

mc7=2/7 &;B
.+)@1(M

 ,&-.
r  € = −

.+)@ (Mm ,&-.

m = ± ⇒

n7 &11DK

&"r$>s ,&-.
r r = −

r.:3:/7~K+'BDwe1
Bài 16B1





+
=
−
,%18<DdB;
B4iM=f~&"$>05 G5 GhB+) (808

 
m./85K8i;
[ ]
−

,&-.
k l

 
m
  
−
= − =

k l
   
−
= = −
rc7=2/7 &;B+1);BDKe 
,&-.
  = − −

tc7=2/7 &;B+1);BDKe1
uc7=2/7 &;B7 &D G@DK=f~
 m  − − =
 ,&-.
   |   = − − = − +

|.:3:/7~K+'BDe\(
€./%8)B@\(58 &

Bài 17B1
( )
( )
r r

 
 
 
− +
=
−
,%18<DdB;DK
r =

]\
( )
)
*
5=f~H 
( )
4
D@3@0n35 6J101);
BD
( )
)
*

m]\5/7~K+'Be•$D=f~
  = =
.:3

:
r.:):0p$1&0H &H e•$
PPPPPPPPPPPPP.QRARSTUV.WX.R.V.X.PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP|PPPPPPP
CHƯƠNG II: HÀM LUỸ THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT
I. TÓM TẮT KIẾN THỨC:
1) Luỹ thừa:
* Các công thức cần nhớ:


 

 



   

−
= = =
* Tính chất của lũy thừa:

   
  
+
=

( )

 
 =





 
 
 
=
 ÷
 


 




−
=

( )


 
  =
* Quy tắc so sánh:
>cK{/
 
   > ⇔ >
>cKzz/

 
   > ⇔ <
2) Căn bậc n
 
  
   =




 


=
( )




 =

 
 =
3) Lôgarit:
* Định nghĩa:B1
    > ≠

51

  

α
α
= ⇔ =
* Tính chất:
51
51   51  51 


  
   
α
α
= = = =
* Quy tắc so sánh:
>cK{/
51 51
 
   > ⇔ >
>cKzz/
51 51
 
   > ⇔ <
>
51 51
 
   = ⇔ =
* Quy tắc tính:
( )
   
51  51 51

  
   = +

 

51 51 51
  

 

= −
51 51
 
 
α
α
=

51 51


 
α
α
=
 * Công thức đổi cơ số:
51
51
51







=
&
51 51 51
  
  =

51
51




=
 &
51 51 
 
  =

* Chú ý AG677a20:3 551$1N5$
AG2J0:3 55$
4) Bảng đạo hàm cần nhớ:
Đạo hàm của hàm số sơ cấp thường gặp Đạo hàm của hàm số hợp u = u(x)
( )

•  

α α
α
−
=
( )

•   •  
α α
α
−
=
PPPPPPPPPPPPP.QRARSTUV.WX.R.V.X.PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP€PPPPPPP


 
 
 
= −
 ÷
 
•

 •
 
 
= −
 ÷
 
( )
•





=
( )
•
•




=
( )
•
 1 =
( )
•
 •1  =
( )
•
1  = −
( )
•
1 •  = −
( )
•




1


=
( )
•

•

1



=
( )
•


1



= −
( )
•

•
1





= −
( )
•
 
+ +=
( )
•
•
 
+  +=
( )
•
5
 
  =
( )
•
• 5
 
   =
( )
•

5 

=
( )
•

•
5



=
( )
•

51
5


 
=
( )
•
•
51
5



 
=
t5ƒ&Lƒ51
HÀM SỐ LŨY THỪA HÀM SỐ MŨ HÀM SỐ LOGARIT
Dạng
 
α

=

α
O&g

 =

 < ≠

Chú ý:
 

  > > ∀
51

 =

 < ≠

Điều kiện
của x để hs
có nghĩa:
>
„
5
α
+
∈
@…
DK\$

>
5
α
−
∈
@…
DK
 ≠

>
5
α
∉
@…
DK
 >
@…
∀
@…DK
 >
Đạo hàm
Sự biến thiên

α
>

α
<
 >
 < <

 >
 < <


 +∞


 +∞

?

?

?

?
Đồ thị
A GH )
( )


VM117:
e1D5 G
H )
4

D
 6 

VM117:7%

e D5 GH 
)
4
D
 6 

6) Phương trình mũ, phương trình logarit:
PHƯƠNG TRÌNH MŨ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
PPPPPPPPPPPPP.QRARSTUV.WX.R.V.X.PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPsPPPPPPP
Dạng cơ
bản.

 =

 < ≠
O&g
51

 =

 < ≠
O&g
Cách giải
dạng cơ
bản.
+
 ≤
XDG3
>
 >

X@


51

 =
Chú ý`E
X5 G@



 =
Cách giải
các dạng
pt đơn
giản.
>9=DFO287e
   
   
   
     = ⇔ =

 < ≠

>9N†7e
( )
( )

 
  = >


>A1@D‡g%D
7%=2
>9=DFO287e
51   51      
 
       = ⇔ =

 < ≠
D
    >
1N
    >

>9N†7e
( )
51

  =

>Zƒ@D
Chú ý:9F 03$8;7=2
/
7) Bất phương trình mũ, bất phương trình logarit: 7=2787 =2<=7=2787
%7=2/ƒD51=-$E0_e7=2787ƒ@1N5G
@)$8F ;7=2/
Chú ý:
• ,%77=2/ƒ2%7%$E
• ,%77=2/51-NF 03$8;7=2/
II. CÁC DẠNG TOÁN ĐIỂN HÌNH VÀ BÀI TẬP ÁP DỤNG:

LUỸ THỪA
Dạng 1: Thu gọn một biểu thức
Bài 1: .:88) 4 

|t

t
m

| t
u
4
−
 
= + −
 ÷
 
KQ:
4 =

( )
( )
  r



m m m
€  ur € s6
− −
−

= − − − +
 KQ:
m
u
6 =


t 
m |  

m m
 r r 
m t    u t  m
−
 
 
   
=
 ÷  ÷
 
 
   
 
 
 KQ:
t

 =

( )

  m

 r t
t t 
r m r

−
−
 
     
= +
 
 ÷  ÷  ÷
     
 
 KQ:
rs

 =
J
t m m r


m
  t t
€ t
7
− − −
+
=

−
 KQ:
m7 =
}

 m  m 
8  
− −
=
KQ:
r

8

=


 m 
m 

r 

9
+
+
 
=
 ÷
 
KQ:

9 =
Bài 2:nI+5ƒ&LDKƒ* j

( )
m
€
r
 4   = >

t
m
r
  6   = >
PPPPPPPPPPPPP.QRARSTUV.WX.R.V.X.PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP

t
m
   =

m
m
 m 
m  m
 =
J
m
m s | m7 =
KQ:
t
€

4 =
|
r
6 =
m

 =
|
€

m

 
=
 ÷
 
s
€
m7 =
Dạng 2: So sánh hai lũy thừa
Bài 3Y18
q
( )

m
m 
−
−
D
( )

m
r
m 
−
−
q


π
−
 
 ÷
 
D
m

π
 
 ÷
 

q
r

m
−
 
 ÷
 
D

r
m
r
−
 
 ÷
 
q
m

D

m
LOGARIT
Dạng 1: Tính giá trị của một biểu thức có chứa logarit
Bài 4Tính logarit của một số
‚"51

r n"51
qr
r
t

51
t
 =
?"51
|
s
r

r
51 €7 =
m

m
51 s8 =
m

t

r
51
 €
9
 
=
 ÷
 

m
|
m m
51
m

 
=
 ÷
 
m

u
51  : =

t
51 r; =
m
51

, =
 m
t

51  

<  =
KQ:
4 =
6 = −
 = −

m
 =
m
€
7 =

m
8 = −
€
t

9 =
|
€
 = −

m
: =
; =

m
, =
u
t
< = −
Bài 5 : Tính luỹ thừa của logarit của một số

51 m
r4 =
s
51 m
|6 =
m
51 
s =
m

51 t
m



 
=
 ÷
 


51 

€7 =

 51 |
8
+
=
€
m r51 m
9
−
=
m m
51  m51 t
s
+
=
( )
51 
  

:  = >
 

m m
51  m51 t
|;
−
=
s4 =
m m6 =
u =
t =
 7 =
r8 =
m
€
m m
9 =
 =
ut

r: =
€
stmt
; =
PPPPPPPPPPPPP.QRARSTUV.WX.R.V.X.PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP
Dạng 2: Rút gọn biểu thức
Bài 6:ˆ‡\) 4
r
m
51 €51 €4 =

t

m
51 t51 s6 =
m
 t

51 51 
t
 =
m € u
51 u51 s51  =
m r t u €
51 51 m51 r51 t51 |7 =

r
51 m
51 m
8 =
 s
m
m
51 | 51 rs 51 |9 = + −
s
t |
 
51 r
51 € 51 
r 
€ t rs
−
 

= +
 ÷
 
4 =
€6 = −


 = −

m
 =
u

51 |
m
7 =
8 =
m
u 51 |9 = − +
s =
HÀM SỐ LŨY THỪA - HÀM SỐ MŨ - HÀM SỐ LOGARIT
Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm số
Bài 7:./67$8;8 

( )
m

u €  
−
= − +

 
( )


r m  
π
= − +

( )


m
u  
−
= + −

( )

m 
r
m    = − +
 J
( )

5 t u 
 +
− + +
=
 }
( )


51 m   = + +


m
51



=
−

( )

m
51  = −



51




−
=
+
‰
t
 m

51  



−
=
−
0



51 r t  = − + +
5

 m
 
 + += + −
KQ:

{ }
Š r'

( )
m
 
r
 
−∞ − ∪ +∞
 ÷
 


( ) ( )
 m −∞ − ∪ +∞

( ) ( )
 ∪ +∞
J
( )
u−
}
( ) ( )
  −∞ − ∪ − +∞

( )
−∞

{ }
Š '

( )
−
‰
( ) { }
 Š m+∞
0
( )
t−
5
[
)

+∞
Dạng 2: Tìm đạo hàm các hàm số
Bài 8.:+1;8 

m

 + =

( )

 m r 

   += − −



 +=

( )

 
1
 
 +
− +
=
J
 t

m 

m
 

 +
+ −
= +
}


r



−
=
KQ:

m m 1m
 
+  + +

( )

 | 

  ++ −

1
 
+ +


( )
( )
 
   
   
   
 + +
− + − +
− −
J
 t  t
5 m
m  5m m
m
   

+ +
+ − − +
− −
}
( )


 5 r
r 

 

− −

−
PPPPPPPPPPPPP.QRARSTUV.WX.R.V.X.PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP
Bài 9:./+1;8 

5  =



5


  = −

( )

5   = + +

( )

m
51  = −
J
( )

5   = −
}

5 



=
KQ:

 5 +

 5 



 +

( )


 5m

 −
J
( )
r5  
 


−
−
}
m
 5 

−

Dạng 3: Chứng minh một đẳng thức có chứa đạo hàm
Bài 10: B4 i34

 

  += +
i

  +
′
− =


5



=
+
i


 +
′
+ =

r

 
 + +

−
= +
i
m    
′′′ ′
− − =
PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
Bài 11]%87=2/ 

r
m
 r
−
=


t
u

 u 
 − −
=



 m m t
m s
  − + −
=



€  m
 r
  − + −
=
J
   
t mt 
 + −
− =
}
t |
| m

m €
r
 
 
+ +
− −
=

   
   m m m
     − − − −
+ + = − +
t
‹$
"
 

ur
+


 s |

m € ur
 
   
=
 ÷  ÷
   
‰
 
m u  m
   − − +
=
KQ:

r
m
 
 
 

{ }
|−

 m 


 
− ±
 
 

{ }
 m− −
J
{ }

}
st
m
 
 
 

{ }


{ }
t

{ }
m
‰
{ }
−
Bài 12]%87=2/ 


$>u
>
$>|
"| 
 
m sm u 
 +
− + =


| | s 
 −
+ − =
 
 
 s  
 +
− + =

Js
$>r
Prm
$>t
>|" }t
$>r
‹t
$>
‹|t"
PPPPPPPPPPPPP.QRARSTUV.WX.R.V.X.PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPmPPPPPPP



t  €
 
 t t
 +
   
− + =
 ÷  ÷
   

m
t t 
 −
− =

( ) ( )
r t r t 
 
− + + =
‰
(
)
(
)
t  u t  u 
 
+ + − =
0
s mtu €r 
  

− + =
*5
( )
s   m  t 
 
 + − + − =
KQ:

{ }
m−

{ }
m
51 

{ }
|
51 

{ }
−
J
m


 
− −
 
 
}

{ }


{ }
−

{ }
r

{ }

‰
{ }
±
0
{ }
−
5
{ }

Bài 13]%87=2/ 

( )
 
51 51   + + =

( ) ( )
 
51 m 51  m − + − =


( ) ( ) ( )
51  51  51  m  + − − = +

( ) ( )
r r r
51  51  51 u + − − =
J51
r
$>51

$>51
u
$"t }
( ) ( )
m m m
51  51  51 t + + − =
51
m
$"51
s
r$>t>




 r
51 u51 r + =

( ) ( )
 m


 
51  51  | − + − =
‰
( ) ( )
 
 
51 s |  51 m 
 − −
+ − = +
0
 

r 5  5 
+ =
− +
5

 


51 m51 51   + + =

m m
m 51 51 m  − =
51
m
m
$
‹€"‹$

1
( )
m
51 rm   

− = +
7
[ ]
m m
51 t r51   + − =
KQ:

{ }


{ }
−

 t

 
− +
 
 

∅
J
{ }
r 
}

{ }
m

{ }
u t+



u
 
 
 

|
r

m 

 
 
 
+
 
 ÷
 
 
 
‰
{ }
m

0
{ }

+ +
5

 

 
 
 

{ }
m€

{ }

1
{ }
 −
7
{ }
r
BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
Bài 14]%87=2/ 
PPPPPPPPPPPPP.QRARSTUV.WX.R.V.X.PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPrPPPPPPP

r
u €
−

>

 t

s
m
+
 
<
 ÷
 

u

s m

+
≤


u


r
 − −
 
>
 ÷
 
J


r t r
m t

 

 

− +
+
 
>
 ÷
 
}
 m | m 
u  m
  + + −
<
KQ:

s

r
 
+∞
 ÷
 

|



 
− +∞
 ÷
 

(
]
(
]
 m −∞ − ∪ −

( )
m−
J
( )

}
( )
r−∞
Bài 15]%87=2/ 


t  mt
 
+ ≥

 m 
t t m

 − −
− >

 u |
  |
 + +
+ >
 
tr t |
  
+ ≤
J
r  
u  r t
  −
− − >
 }

r
r u 51 €
 +
− <


m m € 
 −
− + >

 
 

r  m
 
− −
≥ +

( )
  
t m  t m
   + − −
− > −
‰

  

 
 

−
− +
≤
−

(
] [
)
5
;0 log 2;−∞ ∪ +∞

( )
+∞


( )
m− +∞

[ ]

J
( )
+∞
}
( ) ( )
r
 51 m−∞ ∪ +∞

( )
+∞




 


 

( )
m+∞
‰
[
)

+∞
Bài 16]%87=2/ 

( ) ( )
r r
51 | 51  + > −

( )


51 r t r − − ≤

( ) ( )
 
51 t 51 m  r + < − −

( )
 m

51 51  ≤
J
( ) ( )
€ €

51  51 m
m
 − − − >
}

m

 m
51 


−
≥ −

( )
m−

[
) (
]
m  t|− − ∪

||
t
€
 
− −
 ÷
 

[
)
m+∞
J
( ) { }
m Š r+∞
}

 

m m
 
÷

 
Bài 17]%87=2/ 


 
m m
51 m51  + >

 

 51 51 
+ >
−


 
51 51 r r  + − ≥


51 m51 m

51 
 


− +
<
−
J
( )
t
51 t r 

− > −
}


m
51  r  
 +
− ≥ −


( ) ( )
 |∪ +∞

( )


[
)

 
r
 

∪ +∞


 

( )

J
( )
+∞
}
( )
−∞
PPPPPPPPPPPPP.QRARSTUV.WX.R.V.X.PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPtPPPPPPP
PPPPPPPPPPPPP.QRARSTUV.WX.R.V.X.PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPuPPPPPPP
CHƯƠNG III : NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
I. TÓM TẮT KIẾN THỨC :
A.Nguyên hàm
+ 9…B1}$$8,Œ$5 &;}$,
 Œ
b
$"}$
 ,∀ ∈
>95:
     * 8  = +
∫
>.:

•
     *   = +

∫

   )  * )   * = +
∫ ∫
0M08

[ ]
           *   *   *± = ±
∫ ∫ ∫
+Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp thường dùng.
B1avO1• 
( )
( )
( )







5 
 
5
1 
 1


1


1

 


* 
*  
)* ) 

 * 
*   

+ * + 

 *  

*  
*  
*  

*  

α
α
α
α
+
=
= +
= +

= + ≠ −
+
= + ≠
= +
= + < ≠
= +
= − +
= +
= − +
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
 5 1
1 5 
*  
*  
= − +
= +
∫
∫
( )
( )

( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )






 
5




5

1 

 1
 

1
 
1


   
) 
) 
 
  * 

*   
  
+ * + 


 * 
) 
  *   

  *   

*   
  
*   
  
α
α
α
+
± ±
±
±
±
± = +

+
= ± +
±
= +
= +
± = ± +
± = − ± +
= ± +
±
= − ± +
±
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
B. Tích phân:
+ 9…
       




  * 8  8  8 = = −
∫
>.:


   
 
 
)  * )   *=
∫ ∫

[ ]
       
  
  
    *   *   *± = ±
∫ ∫ ∫

     
  
  
  *   *   *= +
∫ ∫ ∫
zz
PPPPPPPPPPPPP.QRARSTUV.WX.R.V.X.PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP|PPPPPPP
C. Ứng dụng của tích phân trong hình học
+ .:3:/7~
>.:):D6)p$1&
II. CÁC DẠNG TOÁN ĐIỂN HÌNH :
NGUYÊN HÀM
Dạng 1 Tìm nguyên hàm của một hàm số bằng định nghĩa và tính chất.
..=f= &C1DF &;ID3  @D6
e% &=fO
⇒
0H %

Dạng 2: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến.
Th1:.:R"
k  l •      *
∫

>9N" $
• *   *⇒ =
>R"
k  l •        *   *
∫ ∫
=
Th2.:R"
   *
∫
V 0G:=[J1=1:7a@4(
18) 4 /@)I= 

 

 
 
 
−
−
/N$"

 

π π
−

 
∈
 
 


 

 
 
 
+
+
/N$"

 

π π
−
 
∈
 ÷
 
Dạng 3: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp nguyên hàm từng phần:

*= = =*
∫ ∫
= −

Chú ý:

>?+@5$D4N "5$DD"a_p5+$
>?+@ƒq5=[8D4N "4DD"a_p5+$
>?+@ƒD5=[8NO&g
Dạng 4 Tìm nguyên hàm của một hàm số thoả điều kiện cho trước.
.
n./\ &;o1
n.&F 03o1D1\ &/=[B&D1\ &
⇒
 &
-/
*Tích phân:
Dạng 1 Tính tích phân bằng định nghĩa và tính chất.
.
.=f=:7ao1DF:7a;ID3  @D6e% &
=fO
⇒
0H %
Dạng 2
+ Tính tích phân


 }$$
∫
bằng phương pháp đổi biến dạng 1:
.
n9N$" F 031)$+&L
⇒
$"

′

n9I6
 $"
⇒
"
⇒
"
α
 $"
⇒
"
⇒
"
β
\
α

β
1%0N'
nm c


 }$$
∫
DF:7aKJ1K6K::7a
Chú ý:
>9I/7%I6
>Bj87e0N7:7a) 4=K :7a@+
PPPPPPPPPPPPP.QRARSTUV.WX.R.V.X.PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP€PPPPPPP

 


 
 
 
−
−
/N$"

 

π π
−
 
∈
 
 


 

 
 
 
+
+
/N$"

 

π π

−
 
∈
 ÷
 
+ Tính tích phân
R" }k $l •$$


∫
bằng phương pháp đổi biến dạng 2.
.
n9N" $
⇒
"
• $ 
n9I6$"
⇒
" $"
⇒
" 
nm: c:7aRDF:7aKJ1K6K::7a
Chú ýŽ7e18=f[7 
>.:7a;5$9N"5$
>.:7a@C69N"C6
>.:7a;$D1$ƒ5•
Dạng 3 Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần:
BG4
  
 



 
 *=  = = *= −
∫ ∫
Chú ý:
>?+@5$D4N "5$DD"a_p5+$
>?+@ƒq5=[8D4N "4DD"a_p5+$
>?+@ƒD5=[8NO&g
Dạng 4 Tính tích phân hàm phân thức hữu tỉ
 
 


 
*
 
∫
>V 64_
≥
64=K^ /4
>V 64_z64=K^ 
• ?+^ @3O7=278731N=DF+:7a
*

α
∫
• ?+^ DG30)+1^ @M3_&0G•
>V @>?@AB>C&1
>V 0G/87eI+

Dạng 5: Tính tích phân của một số hàm lượng giác.
 ?+
 1     1 1 *  *  *
β β β
α α α
∫ ∫ ∫
>?OG4I:I)8I1N3 8:7a
%
 ?+
  1
 
* *
β β
α α
∫ ∫
>V ‘OG4+65•OG4I
 ?+
 1 '  *
β
α
∫
>9N"$
 ?+
1  '  *
β
α
∫
>9N"1$
Dạng6: Tính tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối. (D
 


  *

∫

PPPPPPPPPPPPP.QRARSTUV.WX.R.V.X.PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPsPPPPPPP
>./3;}$"
>V }$"DG31N@3=0G@31 (kl
1N@(3$"1N$"83p5+0G (kl/

 

  *

∫
"
 

  *

∫
>V }$"@3$"∈/
 

  *

∫
"
   
 

  *   *
 
∫ ∫
+
*Chú ý>B@)$E )i8 &3
>V @F 23/I=2<G4
* Ứng dụng của tích phân
Dạng 1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 1 đường cong và 3 đường thẳng.
Công thức:
B1&"}$5e1+kl0@3:/7~K+'=f1
B&"}$D8=f~$"$"&"5
 


3   *=
∫
Dạng 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường và 2 đường thẳng.
Công thức:
B1&"}$@BD&"$@Bb5e1+kl,@3:
/  7~  K  +  '    =f  B  Bb  D  8  =f  ~  $  "    $  "    5  
   


3     *= −
∫
Phương pháp giải toán:
nA677=2/1(1)*BDBb
n.:3:/7~-/
TH1:V 7=2/1(1)DG31,@3:/7~
-/5

k    l


3     *= −
∫
TH2V 7=2/1(1)@35$

∈
,@3:/
7~-/5


    k    l k    l

 
  
3     *     *     *
= − = − + −
∫ ∫ ∫
TH3V 71(1)@835$

$

∈
$

z$

,@3:/
7~-/5

[ ] [ ] [ ]

 

           

 
  
3     *     *     *= − + − + −
∫ ∫ ∫
Chú ý:
• V 71(1)@F 235=2<=f[7m
• ?+185=f[7N3;+180=f1$"
• V 181=fBDBb/6M8%7}$"$
• V 18H 874+7/@)Dd/)$8/7~1N:G
H I1N3 ;F /
• B@)/7=2/ (1);=f13:/7~
   


3     *= −
∫
Dạng 3:Thể tích của một vật thể t•òn xoay
PPPPPPPPPPPPP.QRARSTUV.WX.R.V.X.PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP
.):;D6)’p$1&0/7~K+'=f1B@7=2
/&"}$D8=f~$"$"&"H &$ H e1$5

 



E   *= Π
∫

III. BÀI TẬP ÁP DỤNG :
Bài 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
( )

   *+
∫
( )
m
 s *−
∫

 
m

 *

 
−
 ÷
 
∫
( )
( )

r m    *− +
∫
5)

$ $
 >m *
∫
( )
( )
m
u     *+ +
∫
m 

r t 
|
 
*

+ −
∫


€

*

−
∫
9)
$
 > $*
∫
10)


$5$
*
∫
11)
1$1u$*
∫
12)
$1$*
∫
9áp s:
1)
m

m

 + +
2)
r
s
r

 − +
3)
m
 
m
 

+ +

4)
r m

 m
r m 
 
 − − +
5)
 m
5  5m
 
+ +
6)
t r m 

t  m 
   
+ + + +
7)2x
2
+5x+



+
8)

5  

+ +

9)
m
 
5 m




+
+
c
10)
5 5  +
11)
 
€  r
u €
  + +
12)-

1r
€
 +
Bài 2: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau bằng phương pháp đổi biến số
1)
u |
t 

 + *
+

+
∫
( )
€
 | m *−
∫

m m | m  *−
∫

r  *−
∫
m
r
t


*
 +
∫
 m
u 1  *
∫
( )
m
5 m
|

*


+
∫
m
€
 m

*
−
∫

 
s


*
 
+
+ +
∫
10)
 5 
*

+
∫

 

 


*
+
∫

m 
   *+
∫
9áp s:
1)
u |
 
1t
t u

 + 
+
− + +
2)
( )
s
| m
|
−
−
+c
3)
 m

| m 
m

 − − +
4)
m t
 
   
m t
  − − + − +
PPPPPPPPPPPPP.QRARSTUV.WX.R.V.X.PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP
5)
r

5 
r
 + +
6)
t m
1 1
t m
 
− +
7)
r

5 m
€
 + +
8)
 t
m m
 

 m   m 
u t
  − − + − +
9)

5   + + +
10)
( )
m

 5
m
 + +
11)

    + +
12)
( ) ( )
t m
 
 
t m
 

+ +
− +
Bài 3: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau bằng phương pháp nguyên hàm từng phần:
 

 + *

∫
 1 m  *−
∫
m 5 *
∫
r $$*
∫
t $5$*
∫

u 

+ *
∫
m
| 5 *
∫
8)
$ 

+ +
∫
9áp s:
1) e
x
(x-1) + c 2)
 
 m 1 m
 r
   − + − +

3)x(lnx-1)+c 4) - xcosx +
sinx + c
5)
 
 
5
 r
   − +
6)

 1 


+   − +
7)
r r
5
r u
 
 − +
8)
 

 + − +
Bài 4: a/Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x)=1+ sin3x biết
  
u
8
π
=

.
9s:

  1m
m u
8   
π
= − −
b/ Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x)=sin2x.cosx, biết giá trò của nguyên hàm bằng
m
€
−
khi x=
m
π
9s:
m
1  m m
  
m r

8 
−
= − +
c/ Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = e
1-2x
, biết F(

 


=

9s:
 
 
 
 

8  +
−
= − +
d/ Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) =
m 

m m 
 
  
 
+ + −
+ +
, biết F(


m
=
9s:

 m
 
  u


8  

= + + −
+
Bài 5.:8:7a 

m
m

  *
−
+
∫
 
r
r

r
 m 
1
 *

π
π
−
−
∫
m



 *
−
−
∫
 r



  *−
∫

PPPPPPPPPPPPP.QRARSTUV.WX.R.V.X.PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP
t



 


*
 
+
+ +
∫
u



m   *+

∫
|



 

*
 −
∫
 €
m


m 

 
*

−
+ +
−
∫
s
( )



t 
u

 *
 
−
− −
∫




 
r r
 *
 
+
− +
∫


m

 *−
∫

r

m 1   *
π
∫
m




 *
π
∫
r

m

1 *
π
∫
t

m 

1  *
π
∫
987
r € mt
r
r
π
t5m u

€ m m
m
−
|


5m 

+

€
m
t5 
u
−
s5
u
|

t
5 r

−

m
r



m
r
π
r

m

t

t
Bài 6: .:8:7a 


 m r

   *
−
−
∫



m  *+
∫
m



  1  *
π
+
∫
r



 

r 1

*

π
−
∫
t


5
+

*

∫
u


m

m


*
 +
∫
|

 5

+

*

+
∫
€

m



 + *
−
∫
s

t

  *−
∫


m

 1 *
π
∫

u



1

+ *
π
∫


m
m

 *
+
∫
987

m
t

r
s
m

 m
π
−
r
r
5

m
t

m
u5 |

  
m
−
€
s
 
 
 +
−
s
€
m


r
JP 
m

 r 

−
Bài 7.:8:7a 
PPPPPPPPPPPPP.QRARSTUV.WX.R.V.X.PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPmPPPPPPP




 1 *
π
−
∫



 

+ *+
∫
m

 1   *
π
+
∫
r


1

+  *
π
∫
t



 5 *−
∫
u



1:  *
π
=
∫
|

 *
π
∫
€

5
+
*
∫
s



+ *
∫






+  *
−
∫
987

m
π
−



m

r

π
−
r


 

+
π
−
t

5 


−
u


r
π
−
|
π
€ s

 t+
+
−
Bài 8:.:3:/7~K+';&"$1+k
π
lDe
1 9r
Bài 9:.:3:/7~K+'X

&"$

‹$DX

&"$

>D8=f
~$"P$" 9
m


Bài10:.:3:/7~K+'X&

"r$D=f~$>&Pr"
9s
Bài 11 .:3:/7~K+'
q&"5$

&"$"J 9
q&"$&"$>

$
 
π
≤ ≤
 9

π
q&"J
$
&"D$" 95>JPr
Bài 12: .:):;D6)’p$1&'“/7~K+'8=f
0@H &$ H e•$&"$‹$

D&" 9
u
t
π
Bài 13:.:):;D6)’p$1&'“/7~K+'8=f
0@H &$ H e•$$"‹$"&"&"$


‹$ 9
€
t
π

Bài 14: .:):;D6)’p$1&'“/7~K+'8=f
0@H &$ H e•$
q&"1$&"$"$"

π
 9

r
π
q&"5$&"$" 9

 5  5  
π
− +
q&"

+
&"$"  9
r
t 
r
+
π
−

q&"

$&"$"$"
π
 9

m
€
π
PPPPPPPPPPPPP.QRARSTUV.WX.R.V.X.PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPrPPPPPPP
PPPPPPPPPPPPP.QRARSTUV.WX.R.V.X.PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPtPPPPPPP