Hướng dẫn học sinh chứng minh một bài toán hình học

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập-Tự do-Hạnh phúc
Cà mau, ngày 15 tháng 02 năm 2013

BÁO CÁO SÁNG KIẾN
- Tên sáng kiến: “Hướng dẫn học sinh chứng minh một bài toán hình
học”.
- Họ và tên: Lê Thị Bé Ba
- Thời gian đã được triển khai thực hiện: từ ngày 01/10/2012 đến ngày
31/5/2013.
I. SỰ CẦN THIẾT, MỤC ĐÍCH CỦA VIỆC THỰC HIỆN SÁNG
KIẾN:
Trong quá trình dạy học môn Toán ở trường Trung học cơ sở, việc
chứng minh một bài toán là rất khó, việc dạy học sinh chứng minh bài toán
hình học là vấn đề càng khó hơn đây là vấn đề khá trừu tượng đối với học
sinh. Đồng thời, việc hướng dẫn học sinh thực hiện cũng khá phức tạp.
Chính vì lẽ đó, thực trạng giảng dạy cho thấy, nếu chúng ta khảo sát ở các
em học sinh bằng cách lấy ngẫu nhiên một lớp học (khoảng 35 em) và ra một
đề kiểm tra về dạng chứng minh một bài toán hình học, ta sẽ thấy không quá
10 em làm hoàn thành bài toán ấy.
1
1
Thực ra, việc chứng minh một bài toán hình học có nhiều bài toán
không có cách giải một cách tường minh. Đối với những bài toán ấy, giáo
viên chỉ có thể hướng dẫn cho học sinh cách suy nghĩ, tìm tòi lời giải. Đây là
cơ sở để giáo viên trang bị dần cho học sinh một số tri thức, phương pháp
nhằm rèn luyện và phát triển ở học sinh năng lực tư duy lô gic. Giáo viên
phải biết đặt ra cho học sinh đúng lúc, đúng chỗ những câu hỏi gợi ý sâu sắc,
phù hợp với trình độ đối tượng và trong chừng mực nào đó các em sử dụng
khéo léo và linh hoạt lược đồ chứng minh một bài toán hình học. Thể hiện

kinh nghiệm và năng lực sư phạm của người giáo viên trong quá trình giảng
dạy. Đây là kinh nghiệm chứ không phải bằng chỉ dẫn có tính chất thuật
toán. Tiếp thu những kinh nghiệm này, mỗi giáo viên chúng ta có thể thực
hiện khác nhau cả về cách thức lẫn thời gian để đi đến kết quả và có thể
không đi đến kết quả. Điều đó nói lên tính chất khó khăn, phức tạp của việc
truyền đạt phương pháp và kinh nghiệm dạy toán chứ không phải phủ nhận
vai trò quan trọng của việc này. Không có một phương pháp tổng quát nào
để giải cho mọi bài toán, chúng ta chỉ có thể thông qua dạy học giải một số
bài toán cụ thể mà dần dần truyền thụ cho học sinh cách thức, kinh nghiệm
để tiến tới nghệ thuật trong việc suy nghĩ, tìm tòi cách chứng minh một bài
toán hình học. Trong quá trình giảng dạy, tôi xin mạnh dạn đưa ra khía cạnh
1
2
nhỏ về phương pháp dạy học chứng minh một bài toán hình học để giúp học
sinh cải thiện năng lực chứng minh của mình, đồng thời phát triển nó ở một
mức độ nhất định.
II. PHẠM VI TRIỂN KHAI THỰC HIỆN:
Đã triển khai thực hiện ở trường Trung học cơ sở Phường 1, thành phố
Cà Mau.
III. MÔ TẢ SÁNG KIẾN:
Để hướng dẫn học sinh chứng minh một bài toán hình học, chúng ta
nên thực hiện theo trình tự các bước sau:
1. Tìm hiểu nội dung của bài toán:
Để giải được một bài toán nói chung cũng như chứng minh một bài
toán hình học nói riêng, trước hết phải hiểu đề bài và có hứng thú chứng
minh bài toán ấy. Chúng ta dễ dàng nhận thấy các em sự thụ động và thiếu tự
tin ở những dạng toán “chứng minh”. Điều này cũng dễ hiểu vì khi đọc đề
bài, các em không hiểu bài toán nói gì và yêu cầu thực hiện điều gì. Vì thế,
giáo viên cần hết sức chú ý khâu quan trọng này và tìm cách gợi động cơ,
kích thích trí tò mò, hứng thú ở học sinh, giúp các em hiểu vấn đề phải

chứng minh và cần thiết chứng minh. Đối với bước này, ta có thể tiến hành
như sau:
- Cho ít nhất hai học sinh đọc đề, cả lớp theo dõi.
- Cho cả lớp nhẩm thầm đề bài trong ít phút và tự xác định cách vẽ
hình. Tự đặt và trả lời các câu sau trong tư duy:
1
3
+ Hình vẽ cần vẽ cái gì trước, cái gì sau?
+ Cách xác định các điểm của đề (nếu có).
+ Cách vẽ góc, đoạn (nếu có).
2. Rèn kĩ năng vẽ hình và tóm tắt bài toán:
a.Hình vẽ:
Sau khi đã đọc kĩ bài toán, tưởng tượng một cách khái quát và sơ bộ
một hình phát thảo có chứa đựng các dữ kiện trong đề bài, giáo viên vừa
hướng dẫn, vừa thực hiện các thao tác vẽ hình cho học sinh nắm. Khi vẽ hình
cần lưu ý các điểm sau đây:
- Hình vẽ phải mang tính tổng quát, không nên vẽ hình trong những
trường hợp đặc biệt. Ở khía cạnh này học sinh thường không chú ý và hay
mắc phải sai lầm nên giáo viên phải nhắc nhở để tránh tình trạng ngộ nhận
khi chứng minh. Chẳng hạn: Đối với các đoạn thẳng không nên vẽ bằng
nhau, đối với các tam giác không nên vẽ cân hay vuông . . . nếu như bài toán
không đòi hỏi.
- Hình vẽ phải rõ ràng, dễ nhìn thấy những quan hệ (song song, cắt
nhau, vuông góc . . .) và tính chất hình học (đường trung trực, phân giác, tam
giác cân, tam giác vuông . . .) mà bài toán đã cho. Có những trường hợp phải
khéo léo lựa chọn trình tự vẽ các yếu tố trong bài.
1
4
- Ngoài ra, để làm nổi bậc vai trò khác nhau của các đường, các hình,
trong hình vẽ có thể vẽ bằng nét đậm, nét nhạt, nét liền, nét đứt hoặc dùng

màu khác nhau . . . Điều này cũng quyết định đến việc quan sát hình vẽ của
học sinh rất nhiều. Giáo viên cần lưu ý học vẽ hình to, rõ ràng để tập cho các
em quan sát hình tốt hơn.
- Luôn yêu cầu học sinh thao tác nhanh nhưng cẩn thận, chính xác,
thể hiện gần đúng các quan hệ về độ lớn của các góc và các đoạn thẳng trong
đề bài.
Ví dụ: “Vẽ tia phân giác của
·
xOy
bằng 120
0
”; giáo viên có thể
hướng dẫn học sinh như sau:
Dùng thước đo góc vẽ
·
xOy
= 120
0
. Vẽ tia phân giác của
·
xOy
theo
một trong các cách sau:
* Cách 1: Dùng thước đo góc (hình 1)
* Cách 2: Dùng thước hai mặt (hình 2)
* Cách 3: Dùng compa (hình 3)
1
5
O
x

z
y
O
x
z
y
60
0
O
x
z
y
b. Ký hiệu:
- Thông qua hình đã vẽ, giáo viên tập cho học sinh tóm tắt đề bài
bằng cách ghi giả thiết, kết luận. Lưu ý học sinh: “Việc ghi giả thiết, kết
luận là chúng ta đã mã hóa ngôn ngữ bằng kí hiệu” nên phải sử dụng kí
hiệu một cách chính xác trong phạm vi cho phép, không nên sử dụng một
cách tùy tiện. Việc ký hiệu giúp chúng ta nhìn bài toán một cách tổng quát
hơn. Mặt khác, tạo điều kiện cho các em liên tưởng đến thứ tự và sự tương
quan giữa các đối tượng.
- Khi nghiên cứu đề toán, nhiều trường hợp ta phải chọn kí hiệu và
đưa kí hiệu vào một cách thích hợp. Dùng kí hiệu toán học có thể ghi lại các
đối tượng và mối liên quan giữa chúng trong bài toán một cách ngắn gọn, dễ
nhớ, dễ quan sát. Cách kí hiệu thích hợp có thể nhanh chóng giúp chúng ta
hiểu được bài toán. “Thời gian dành để chọn kí hiệu sẽ được trả công rất
hậu bởi thời gian tiết kiệm được nhằm tránh khỏi mọi sự do dự và lẫn lộn”
- Khi đã chọn các ký hiệu cần chú ý:
+ Mỗi ký hiệu có nội dung dễ nhớ, tránh nhầm lẫn hoặc hiểu
nước đôi.
+ Thứ tự các ký hiệu và quan hệ giữa chúng phải giúp ta liên

tưởng đến kí tự và quan hệ giữa các đại lượng tương ứng.
+ Không dùng một ký hiệu để chỉ hai đối tượng khác nhau. Các
ký hiệu cùng loại để chỉ các đối tượng cùng loại. Chẳng hạn: Với ∆ABC: A,
B, C chỉ các đỉnh; a, b, c chỉ các cạnh tương ứng đối diện với các đỉnh A, B,
C; h
a
, h
b
, h
c
chỉ các đường cao tương ứng với các cạnh a, b, c . . . Hoặc ký
hiệu ∆ABC = ∆DEF tương ứng với quan hệ các cạnh AB = DE, BC = EF,
AC = DF; . . .
3. Xây dựng chương trình giải:
Tiếp theo giáo viên đi vào phân tích bài toán: Cái gì đã cho, cái gì
chưa biết, có mối quan hệ nào giữa điều phải chứng minh với các yếu tố đã
cho trong giả thiết. Điều này nhằm gạt sang một bên những cái không bản
chất, chỉ giữ lại những quan hệ hình học trong đề bài để có thể nhận dạng
được bài toán.
Ở bước này, giáo viên phải chú ý chia nhỏ bài toán cần chứng minh
thành nhiều bước đơn giản hơn và phải huy động được toàn bộ kiến thức
(định nghĩa, định lý, tính chất, . . .) có liên quan đến những khái niệm, những
quan hệ trong đề bài rồi lựa chọn trong số đó những kiến thức gần gũi hơn cả
với dữ kiện bài toán. Mò mẫm, dự đoán, thử xét một vài khả năng kể cả
trường hợp đặc biệt, liên hệ một bài toán tương tự hoặc một bài toán đã
chứng minh trước đó (tính kế thừa trong toán học), . . .
1
6
a. Dựa vào các bài toán đã giải:
Có thể có nhiều bài toán liên quan tới bài toán đang xét. Do đó, cần

thiết phải nhớ lại một bài toán đã được giải gần giống với bài toán đang xét
để lợi dụng vào phương pháp giải, kinh nghiệm, . . .
b. Biến đổi bài toán:
Tạo ra những mối quan hệ mới, khả năng mới dẫn đến liên hệ lại kiến
thức liên quan đến bài toán.
c. Biến đổi bài toán thành bài toán đơn giản hơn:
Điều này chủ yếu dựa vào kinh nghiệm: “Một bài toán khó thường
tạo ra từ sự kết hợp của bài toán đơn giản hơn”. Cho nên, để giải bài toán
cần thiết phải phân tích bài toán đang xét thành những bài toán nhỏ dễ giải.
d. Có thể mò mẫm, dự đoán kết quả bằng cách thử một số trường hợp
đặc biệt, tổng quát dẫn đến lời giải bài toán đang xét. Chẳng hạn với bài toán
chứng minh bằng phương pháp quy nạp.
e. Sử dụng phương pháp đặt vấn đề bằng hệ thống câu hỏi:
- Gặp bài toán này lần nào chưa? Đã gặp ở một dạng khác? Có bài
toán nào liên quan? Có thể sử dụng định lý nào để giải?
- Sử dụng phương pháp nào để giải? Cần đưa thêm yếu tố phụ? . . .
f. Phân tích bài toán bằng sơ đồ
→
Giải quyết ngược lại:
Khó khăn lớn nhất của học sinh trong bài toán hình học là các em
không có khả năng xâu kết các chi tiết trong bài toán. Từ đó, làm cho các em
hoàn toàn mất phương hướng trong việc xây dựng chương trình giải (không
biết bắt đầu từ đâu, giải quyết bằng công cụ nào? . . .)
Như vậy, phân tích bài toán bằng sơ đồ một mặt hướng dẫn học sinh
khai thác sự kiện, mặt khác học sinh có thể xác định rõ cách thức, trình tự
giải quyết bài toán cũng như các em có thể xác định được cần phải sử dụng
nội dung kiến thức nào để giải quyết bài toán.
Vậy phân tích các bài toán bằng sơ đồ là như thế nào? Có thể minh
họa bằng sơ đồ sau:
1

7
A
B
D
C
E
F
G
Ví dụ 1: Cho ∆ABC vuông ở A, đường cao AH. Chứng minh rằng:
AB
2
= BC. BH
* Phân tích: AB
2
= BC. BH → AB.AB = BC. BH →
AB BH
BC AB
=

µ
A
=
µ
H
= 1v

µ
B
chung
Và khi thực hiện tiến hành từ dữ kiện bài toán đã cho:

µ
A
=
µ
H
= 1v
và
µ
B
chung để kết luận các vấn đề liên quan.
Ngoài ra, đối với những bài toán nhiều nội dung kiến thức (có kiến
thức không áp dụng được) thì bằng phương pháp nêu trên, học sinh cũng dễ
dàng loại bỏ những phương pháp không phù hợp bằng việc đối chiếu với dữ
kiện bài tập đã cho.
Ví dụ 2: Cho hình vẽ, tìm AH?
AH
2
= BH.CH
AB.AC = BC.AH (loại)

2 2 2
1 1 1
AH AB AC
= +
(loại)
Ví dụ 3: Bài tập 51 (SGK Toán 7 – Tập 1 – Trang 128)
Đối với câu a, trước khi so sánh hai góc ABD và ACE, để học sinh
quan sát được dễ dàng hơn cũng như việc trình bày lời giải một cách ngắn
gọn, giáo viên có thể đánh dấu:
·

µ
·
µ
1 1
ABD B ;ACE C= =
. Tiếp theo, giáo viên có
thể đưa ra hệ thống câu hỏi như sau:
+ Để so sánh hai góc nêu trên, có bao nhiêu khả năng xảy ra?
Trả lời: Có ba khả năng:
µ
1
B
<
µ
1
C
;
µ
1
B
=
µ
1
C
;
µ
1
B
>
µ

1
C
.
+ Với giả thiết ∆ABC cân tại A, lại có AD = AE, các em hãy dự đoán
một trong ba khả năng đó, khả năng nào xảy ra nhiều hơn?
1
8
→ ∆ABC # ∆HBA
A
C
H
B
A
C
H
B
5
1
AH
A
D
B
E
C
Trả lời:
µ
1
B
=
µ

1
C
.
+ Như vậy, để kiểm tra hai góc có bằng nhau hay không, ta thường
dùng phương pháp nào? Gợi ý: Hai góc đó nằm trong hai tam giác nào?
Trả lời: Chứng minh cho ∆ABD = ∆ACE.
Khi đó, việc so sánh hai góc đã trở về bài toán quen thuộc mà học
sinh đã biết cách giải: “Chứng minh hai tam giác bằng nhau”. Giáo viên có
thể huy động kiến thức để giúp học sinh giải được bài toán này bằng cách
giúp lại các trường hợp bằng nhau của hai tam giác kết hợp minh họa hai tam
giác này ra bảng nháp (hình 4).
Khi đó, tính trừu tượng của bài toán đã giảm nhẹ, học sinh dễ dàng
chứng minh được hai tam giác đó bằng nhau theo trường hợp cạnh – góc –
cạnh.
Ví dụ 4: “Dựng ∆ABC biết
µ
A
= 60
0
;
AB 1
AC 2
=
và trung tuyến xuất
phát từ đỉnh A có độ dài m cho trước”.
Giáo viên có thể phân tích bài toán này thành hai bài toán như sau:
(1): Dựng ∆AB’C’ biết
µ
A
= 60

0
;
AB 1
AB' 2
=
.
(2): Dựng ∆ABC # ∆AB’C’; BC // B’C’ và trung tuyến xuất phát từ
A bằng độ dài m cho trước.
Sau khi hướng dẫn học sinh tìm ra hướng chứng minh bài toán, giáo
viên có thể tóm tắt quá trình thực hiện bằng một sơ đồ (theo hướng phân tích
đi lên).
Ví dụ 5: Sơ đồ chứng minh bài 52 (SGK Toán 7 – Tập 1 – Trang
128) có thể phác thảo như sau:
(Hình vẽ của bài toán)
1
9
A
B
D
A
C
E
1 2
O
x
A
y
1 2
C
B

* Sơ đồ:
4. Trình bày lời giải:
Sau khi đã phác thảo được sơ đồ chứng minh bài toán, giáo viên sẽ
trình bày lời giải ra bảng và lưu ý học sinh: Trong sơ đồ, yếu tố nào thể hiện
trước là điều phải chứng minh (thông thường chúng ta đi theo con đường
này). Do đó, ta phải trình bày từ dưới lên.
Lúc này, thời gian cho phép, giáo viên chỉ ghi những bước chứng
minh chính ra bảng phụ rồi cho một em lên thực hiện, tất cả các em còn lại
làm vào phiếu bài tập có sẵn hướng dẫn. Điều này góp phần tạo điều kiện
cho hoạt động trên lớp được diễn ra đồng loạt.
Cuối cùng, giáo viên tập cho học sinh thói quen kiểm tra lời giải bài
toán bằng cách nhắc lại cách chứng minh bài toán trên nhằm khắc sâu kiến
thức ở học sinh. Ngoài ra, trong quá trình giảng dạy, giáo viên cần khuyến
khích học sinh chứng minh theo nhiều cách, mỗi cách giải đều dựa vào một
số đặc điểm nào đó của dữ kiện. Vì vậy, việc tìm được nhiều cách giải là rèn
luyện cho học sinh cách nhìn nhận vấn đề theo nhiều khía cạnh. Điều đó rất
bổ ích trong việc phát triển năng lực tư duy của học sinh. Mặt khác, chứng
minh theo nhiều cách sẽ giúp học sinh lựa chọn được cách chứng minh ngắn
nhất và hay nhất. Sau đó, giáo viên liên hệ bài toán với thực tế (nếu có).
5. Kiểm tra, nghiên cứu lời giải:
Công việc này giúp học sinh:
- Phát hiện thiếu xót, nhầm lẫn → sửa chữa.
- Có thể tìm thấy một giải pháp khác tốt hơn.
- Làm phong phú hơn kinh nghiệm giải toán cho học sinh.
1
10
∆ABC đều
AB = AC
∆AOB =
∆AOC

·
0
BAC 60
=
¶
¶
0
1 2
A A 30
= =
¶
¶
1 2
O O
=
OA chung
=60
0

IV. KẾT QUẢ, HIỆU QUẢ MANG LẠI:
Qua quá trình giảng dạy, đứng lớp sau khi tôi thực hiện theo đã nêu
tôi thấy kết quả học sinh mình giảng dạy đối với việc giải toán hình học ngày
càng đạt kết quả cao hơn; Sau những năm giảng dạy cuối năm học mỗi lớp
học sinh chứng minh được bài toán hình học chiếm tỉ lệ trên 60%
Là một cán bộ quản lý tôi mạnh dạng phổ biến sáng kiến này đến giáo
viên dạy môn toán ở trường, khi tổng kết tôi nhận thấy kết quả tương đối khả
quan.
* Năm học: 2010 - 2011 học sinh chứng minh được toán hình học trên
60%.
* Năm học: 2011- 2012 học sinh chứng minh được toán hình học

65%.
* Học kỳ I - Năm học: 2012- 2013 học sinh chứng minh được toán
hình học 75%.
V. ĐÁNH GIÁ VỀ PHẠM VI ẢNH HƯỞNG CỦA SÁNG KIẾN:
Xuất phát từ tình hình thực tế của địa phương và yêu cầu phát triển
của nhà trường, qua quá trình quản lý tôi đúc kết những kinh nghiện đã qua
trong giảng dạy. Tôi mạnh dạng phổ biến sáng kiến “Hướng dẫn học sinh
chứng minh một bài toán hình học”, kết quả học sinh học tập chăm chỉ, hứng
thú yêu thích học toán hình học ngày càng nhiều hơn.
VI. KIẾN NGHỊ ĐỀ XUẤT:
Đây là báo cáo sáng kiến tôi đã bỏ ra nhiều công sức để nghiên cứu
tổng hợp lại, đã phổ biến đạt hiệu quả ở trường Trung học cơ sở Phường 1
nên tôi đề nghị báo cáo sáng kiến “Hướng dẫn học sinh chứng minh một bài
toán hình học” được phổ biến rộng hơn.

Ý KIẾN XÁC NHẬN Người báo cáo
CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ


Lê Thị Bé Ba
PHAN QUỐC TRUNG


1
11
1
12