Phương pháp giải toán bằng cách lập hệ phương trình đối với bài toán công việc và vòi nước

Trường THCS Tân Phú Giáo viên Trần Văn Anh
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH
ĐỐI VỚI BÀI TOÁN CÔNG VIỆC VÀ VÒI NƯỚC
I. MỤC ĐÍCH CỦA VIỆC THỰC HIỆN SÁNG KIẾN :
Trong hệ thống kiến thức THCS nói chung, giải bài toán có lời văn giữ vị trí
khá quan trọng, là một trong những dạng bài tập điển hình của chương trình đại
số. Đây là các dạng toán cơ bản trong các kì thi học sinh giỏi, khảo sát chất
lượng, tốt nghiệp THCS trước đây và thi vào THPT, dạng toán này được đề cập
xuyên suốt trong quá trình dạy và học toán. Qua dạng toán này học sinh thấy
được cơ sở lí luận của toán học, thấy được tầm quan trọng của toán có lời văn
và ý nghĩa của nó đối với cuộc sống. Từ đó hình thành kĩ năng gắn kiến thức đã
học vào giải quyết các vấn đề thực tế, phát huy tính tự giác, tích cực chủ động,
sáng tạo của học sinh.
Qua quá trình dạy và học toán có lời văn, đặc biệt là giải bài toán bằng
phương pháp lập hệ phương trình mà cụ thể là toán công việc và vòi nước là
một vấn đề khó đối với học sinh và còn tồn tại nhiều thực trạng như sau:
- Đứng trước bài toán, nhiều học sinh rất lúng túng, không biết phân tích bài
toán như thế nào? phải bắt đầu từ đâu, chọn ẩn như thế nào? Liên hệ sử dụng
những điều kiện đã cho để lập hệ phương trình ra sao?
- Suy nghĩ hời hợt, máy móc, không biết rút kinh nghiệm về bài vừa học, vừa
giải nên thường lúng túng trước những vấn đề khác đôi chút với vấn đề quen
thuộc.
- Trong thời kì bùng nổ công nghệ thông tin như hiện nay, tư duy toán học
thuần túy, khả năng sử dụng các công thức toán học của học sinh rất tốt nhưng
khả năng hiểu nhanh chính xác các số liệu, các mối quan hệ giữa các số liệu cho
bằng lời các em lại gặp rất nhiều khó khăn. Thường các em rất ngại lập luận,
phân tích từng câu, chữ trong bài để lập được hệ phương trình bài toán. Vì vậy
học sinh rất sợ phải giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình đối với dạng
toán này mặc dù kĩ năng giải hệ phương trình của các em khá, tốt.
SK: Phương pháp dạy toán bằng cách lập hệ phương trình Trang 1
Trường THCS Tân Phú Giáo viên Trần Văn Anh

- Đây là dạng toán khá phức tạp, đa dạng, phải thực hiện nhiều khâu, do đó
trong quá trình giảng dạy nhiều giáo viên ít đề cập đến vì sợ học sinh không
hiểu bài.
Chính vì vậy tôi đưa ra một số sáng kiến để giúp học sinh tiếp thu bài dễ
dàng hơn, đặc biệt là phân tích bài toán, lập hệ phương trình của bài toán.
Bài viết được trình bài theo hai phần:
Phần I. Những vấn đề cần lưu ý khi dạy và học dạng toán này.
Phần II. Trình bày một cách tổng quát các trường hợp thường gặp và phương
pháp giải từng dạng, tường trường hợp.
Đối với toán vòi nước cách giải tương tự như cách giải toán công việc do đó
khi trình bày dạng tổng quát tôi chỉ viết toán công việc.
II. PHẠM VI TRIỂN KHAI THỰC HIỆN
Sáng kiến trình bày một số dạng toán cơ bản của “toán công việc và toán vòi
nước” với phương pháp giải lập hệ phương trình. Tất cả các dạng toán trên đều
có trong sách giáo khoa cũng như sách bài tập toán 9 tập 2 nên tiện cho việc
giảng dạy và học tập.
- Giải pháp trên đã được áp dụng rộng rãi trong tổ nhóm chuyên môn toán
trong nhà trường.
- Dùng để dạy chuyên đề minh hoạ hoặc phù đạo học sinh yếu kém theo chủ
đề bám sát.
- Vì toán vòi nước và công việc là các dạng toán tương đối khó do đó có thể
mở rộng sáng kiến để bồi dưỡng học sinh giỏi toán.
III. MÔ TẢ SÁNG KIẾN :
1. Những vấn đề cần lưu ý khi dạy và học dạng toán này :
a) Phải nắm vững kỹ thuật chuyển đổi thời gian (giờ, phút, giây)
Ví dụ: 1
h
30’ =
30
1

60
h =
1
1
2
h =
3
2
h.
b) Cần phân biệt ngày toán học và ngày lao động
Ngày toán học có 24 giờ còn ngày lao động số giờ có thể thay đổi
SK: Phương pháp dạy toán bằng cách lập hệ phương trình Trang 2
Trường THCS Tân Phú Giáo viên Trần Văn Anh
Ví dụ: Đội A lao động 8 h một ngày
Đội B lao động 9 h một ngày
c) Công thức liên hệ giữa năng suất và thời gian

1
1Nangsuatlamtrong ngay
Thoigian
=

1
.Nangsuatlamtrong n ngay n
Thoigian
=
(Cần phân biệt với bài toán về năng suất:
Khoiluongcongviec
Nangsuat=
Thoigian

)
- Phương trình năng suất tổng quát:
Năng suất I + năng suất II + … = Năng suất chung
⇔
1 1 1

thoigianI thoigianII thoigianlamchung
+ + =
- Với bài toán vòi nước, từ phương trình năng suất tổng quát, ta có thể suy ra
phương trình đương đương:

1 1 1

thoigianI thoigianII thoigianlamchung
± ± =
Trong đó: Dấu “–“ dùng cho vòi nước chảy ra bể
Dấu “+” dùng cho vòi nước chảy vào bể.
d) Nắm vững các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
Bước 1. Lập hệ phương trình:
- Chọn hai ẩn và đặt điều kiện cho ẩn.
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết.
- Lập hai hệ phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2. Giải hệ phương trình nói trên.
Bước 3. Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình nghiệm
nào thích hợp với bài toán và kết luận.
e) Đối với những dạng toán này có hai đối tượng tham gia như: hai đội, hai
người, hai nhà máy, hai vòi nước,… do đó thường là gọi ẩn một cách trực tiếp
(hỏi gì gọi đó).
SK: Phương pháp dạy toán bằng cách lập hệ phương trình Trang 3
Trường THCS Tân Phú Giáo viên Trần Văn Anh

2. Các dạng tổng quát thường gặp và phương pháp giải từng dạng:
Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình (toán làm chung – làm riêng)
- Dạng I. Hai đội, đội I và đội II cùng hoàn thành công việc trong M ngày.
Nếu đội I làm trong A ngày, đội II làm trong B ngày thì cũng hoàn thành xong
công việc.
Hỏi nếu làm riêng (làm một mình) thì mỗi đội phải làm xong công việc trong
bao lâu ?
Hướng dẫn:
Gọi x (ngày) là số ngày đội I làm một mình thì hoàn thành toàn bộ công việc.
Gọi y (ngày) là số ngày đội II làm một mình thì hoàn thành toàn bộ công
việc
Điều kiện: x > M, y > M;
Đối với dạng này ta chia bài toán ra hai dữ kiện
Dữ kiện 1. “Hai đội, đội I và đội II cùng hoàn thành công việc trong M
ngày”
Một ngày đội I làm được
1
x
công việc
Một ngày đội II làm được
1
y
công việc
Một ngày cả hai làm được
1
M
công việc
Ta có phương trình (1):
1 1 1
x y M

+ =
Dữ kiên 2 Để lập phương trình (2) là phần còn lại, lưu ý hai đội làm xong
công việc được xem là hoàn thành xong một công việc.
Đội I làm trong A ngày được: A .
1
x
công việc
Đội II làm trong B ngày được: B .
1
y
công việc
Vì đội I làm trong A ngày, đội II làm trong B ngày thì xong một công việc
(số 1)
SK: Phương pháp dạy toán bằng cách lập hệ phương trình Trang 4
Trường THCS Tân Phú Giáo viên Trần Văn Anh
Ta có phương trình (2):
1 1
1A B
x y
× + × =
Từ phương trình (1) và (2) ta có hệ phương trình

1 1 1
1 1
1
x y M
A B
x y

+ =





× + × =


Giải hệ phương trình, đối chiếu với các điều kiện rồi kết luận.
Để cho học sinh dễ hiểu ta có thể lập bảng như sau:
- Lưu ý học sinh cách lập bảng
Số đội tham gia
Thời gian mỗi đội làm một mình xong công việc
Năng suất làm trong 1 ngày
Năng suất làm trong nhiều ngày
Lập bảng:
Đội
Thời gian mỗi đội
làm một mình thì
xong công việc
Năng suất làm
trong một ngày
Năng suất làm
trong nhiều ngày
Đội I x
1
x
1
A
x
×

Đội II y
1
y
1
B
y
×
Cả hai
đội
M
1
M
1
Phương trình (1):
1 1 1
x y M
+ =
Phương trình (2):
1 1
1A B
x y
× + × =
Học sinh nhìn vào bảng dễ dàng trình bày được lời giải và biết cách lập
được hệ phương trình của bài toán.
- Dạng II.
Dữ kiện 1 như trên
SK: Phương pháp dạy toán bằng cách lập hệ phương trình Trang 5
Trường THCS Tân Phú Giáo viên Trần Văn Anh
Dữ kiện 2 thay bằng : Đội I làm trong C ngày, đội II làm trong D ngày thì
hoàn thành được H% công việc ( hoặc hoàn thành K phần công việc)

Lập bảng:
Đội
Thời gian mỗi đội
làm một mình thì
xong công việc
Năng suất làm
trong một
ngày
Năng suất làm
trong nhiều
ngày
Hoặc
Đội I x
1
x
1
C
x
×
1
C
x
×
Đội II y
1
y
1
D
y
×

1
D
y
×
Cả hai
đội
M
1
M
H% K
Phương trình (2):
1 1
%C D H
x y
× + × =
hoặc
1 1
C D K
x y
× + × =
Ví dụ :
Bài tập 33. (SGK- trang 24) Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16
giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm 3 giờ và người thứ hai làm 6 giờ thì chỉ
hoàn thành được 25% công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành
công việc đó trong bao lâu?
Lập bảng:
Thời gian mỗi
người làm một
mình thì xong công
việc

Năng suất làm
trong một giờ
Năng suất làm
trong nhiều
giờ
Người I x
1
x
1
3
x
×
Người II y
1
y
1
6
y
×
Cả hai người 16
1
16
25%
Ta có hệ phương trình
1 1 1
16
1 1
3 6 25%
x y
x y


+ =




× + × =


SK: Phương pháp dạy toán bằng cách lập hệ phương trình Trang 6
Trường THCS Tân Phú Giáo viên Trần Văn Anh
Bài tập 38. (SGK – trang 24) Nếu hai vòi nước cùng chãy vào một bể cạn
nước (không có nước) thì bể sẽ đầy trong 1 giờ 20 phút. Nếu mở vòi thứ nhất
trong 10 phút và vòi thứ hai trong 12 phút thì chỉ được
2
15
bể nước. Hỏi nếu mở
riêng từng vòi thì thời gian để mỗi vòi chảy đầy bể là bao nhiêu?
Lập bảng:
Thời gian mỗi vòi
chảy một mình
đầy bể
Năng suất
chảy trong
một giờ
Năng suất
chảy trong
nhiều giờ
Vòi I x
1

x
1 1
6 x
×
Vòi II y
1
y
1 1
5 y
×
Cả hai
vòi
1 4
1 20' 1
3 3
h h h= =
1 3
4
4
3
=
2
15
Ta có hệ phương trình
1 1 3
4
1 1 1 1 2
6 5 15
x y
x y


+ =




× + × =


Bài tập 44. (SBT – trang 10) Hai người thợ cùng xây một bức tường trong 7
giờ 12 phút thì xong (vôi vữa và gạch có công nhân khác vận chuyển). Nếu
người thứ nhất làm trong 5 giờ và người thứ hai làm trong 6 giờ thì cả hai xây
dựng được
3
4
bức tường. Hỏi mỗi người làm một mình thì bao lâu xây xong bức
tường?
Lập bảng
Thời gian mỗi
người làm một
mình thì xong
công việc
Năng suất làm
trong một giờ
Năng suất làm
trong nhiều
giờ
SK: Phương pháp dạy toán bằng cách lập hệ phương trình Trang 7
Trường THCS Tân Phú Giáo viên Trần Văn Anh
Người I x

1
x
1
5
x
×
Người II y
1
y
1
6
y
×
Cả hai
người
1 22
7 20' 7
3 3
h h h= =
1 3
22
22
3
=
3
4
Ta có hệ phương trình
1 1 3
22
1 1 3

5 6
4
x y
x y

+ =




× + × =


- Dạng III.
Dữ kiện (1) như trên
Dữ kiện (2) thay bằng: hai đội làm chung được E ngày thì đội II điều động đi
nơi khác, đội I tiếp tục làm.
Trường hợp 1. Đội I làm trong F ngày nữa thì xong.
Lập bảng :
Đội
Thời gian mỗi đội
làm một mình thì
xong công việc
Năng suất làm
trong một ngày
Năng suất làm
trong nhiều ngày
Đội I x
1
x

1 1
E F
x x
× + ×
Đội II y
1
y
1
E
y
×
Cả hai
đội
M
1
M
1
Phương trình (2):
1 1 1
1E F E
x x y
× + × + × =
Trường hợp 2. Đội I cải tiến kỹ thuật năng suất gấp a nên chỉ hoàn thành
công việc còn lại trong G ngày
Lập bảng :
Đội Thời gian mỗi đội
làm một mình thì
Năng suất làm
trong một ngày
Năng suất làm

trong nhiều ngày
SK: Phương pháp dạy toán bằng cách lập hệ phương trình Trang 8
Trường THCS Tân Phú Giáo viên Trần Văn Anh
xong công việc
Đội I x
1
x
1 1
E G a
x x
× + × ×
Đội II y
1
y
1
E
y
×
Cả hai
đội
M
1
M
1
Phương trình (2):
1 1 1
1E G a E
x x y
× + × × + × =
hay

1 1 1
1E G a
x y x
 
+ + × × =
 ÷
 
Ví dụ :
Bài tập 45. (SGK – trang 27) Hai đội xây dựng làm chung một công việc và
dự định hoàn thành trong 12 ngày. Nhưng khi làm chung được 8 ngày thì đội I
được điều động đi làm việc khác. Tuy chỉ còn một mình đội II làm việc, nhưng
do cải tiến cách làm, năng suất của đội hai tăng gấp đôi, nên họ đã làm xong
phần việc còn lại trong 3,5 ngày. Hỏi với năng suất ban đầu, nếu mỗi đội làm
một mình thì phải làm trong bao nhiêu ngày mới xong công việc trên?
(Lưu ý: bài tập này cho đội I được điều động đi làm việc khác, đội II tiếp tục
làm)
Lập bảng :
Đội
Thời gian mỗi đội
làm một mình thì
xong công việc
Năng suất làm
trong một ngày
Năng suất làm
trong nhiều ngày
Đội I x
1
x
1
8

x
×
Đội II y
1
y
1 1
8 3,5. .2
y y
× +
Cả hai
đội
12
1
12
1
Ta có hệ phương trình
1 1 1
12
1 1 1
8 8 3,5. .2 1
x y
x y y

+ =




× + × + =



SK: Phương pháp dạy toán bằng cách lập hệ phương trình Trang 9
Trường THCS Tân Phú Giáo viên Trần Văn Anh
Trường hợp 3. Lúc đầu chỉ có đội I làm và N ngày sau đội II mới làm và
làm trong Q ngày nữa thì xong.
Đối với dạng toán này học sinh phải hiểu và viết khác: Đội I làm trong N
ngày, đội II mới bắt đầu làm và hai đội cùng làm chung Q ngày nữa thì xong
công việc
Lập bảng :
Đội
Thời gian mỗi đội
làm một mình thì
xong công việc
Năng suất làm
trong một ngày
Năng suất làm
trong nhiều ngày
Đội I x
1
x
1 1
N Q
x x
× + ×
Đội II y
1
y
1
Q
y

×
Cả hai
đội
M
1
M
1
Phương trình (2):
1 1 1
1N Q Q
x x y
× + × + × =
Ví dụ :
Bài tập 32. (SGK - trang 23) Hai vòi nước cùng chảy vào một bể nước cạn
(không có nước) thì sau
4
4
5
giờ đầy bể. Nếu lúc đầu chỉ mở vòi thứ nhất và 9
giờ sau mới mở thêm vòi thứ hai thì sau
6
5
giờ nữa mới đầy bể. Hỏi nếu ngay từ
đầu chỉ mở vòi thứ hai thì sau bao lâu mới đầy bể?
Lập bảng :
Thời gian mỗi vòi
chảy một mình đầy bể
Năng suất chảy
trong một giờ
Năng suất chảy

trong nhiều giờ
Vòi I x
1
x
1 6 1
9
5x x
× + ×
Vòi II y
1
y
6 1
5 y
×
SK: Phương pháp dạy toán bằng cách lập hệ phương trình Trang 10
Trường THCS Tân Phú Giáo viên Trần Văn Anh
Cả hai
vòi
4
4
5
1 5
4
24
4
5
=
1
Ta có hệ phương trình
1 1 5

24
1 6 1 6 1
9 . 1
5 5
x y
x x y

+ =




× + × + =


Bài tập 45. (SBT – trang 10) Hai công nhân cùng sơn cửa cho một công trình
trong bốn ngày thì xong việc. Nếu người thứ nhất làm trong chín ngày rồi
người thứ hai đến cùng làm tiếp trong một ngày nữa thì xong việc. Hỏi mỗi
người làm một mình thì bao lâu xong việc?
Lập bảng :
Thời gian mỗi người
làm một mình thì
xong công việc
Năng suất làm
trong một ngày
Năng suất làm
trong nhiều ngày
Người I x
1
x

1 1
9
x x
× +
Người II y
1
y
1
y
Cả hai
người
4
1
4
1
Ta có hệ phương trình
1 1 1
4
1 1 1
9 1
x y
x x y

+ =




× + + =



- Dạng IV. Đây là dạng toán mà dữ kiên 1 và dữ kiện 2 là tương đương nhau.
Ví dụ : Hai đội công nhân cùng làm chung một đoạn đường. Nếu đội I làm 8
ngày và đội II làm thêm 4 ngày nữa thì xong. Nếu đội I làm 10 ngày và đội II
cùng làm thêm 3 ngày nữa thì xong.
Hỏi nếu mỗi đội làm một mình thì làm xong trong bao lâu?
Lập bảng :
Đội Thời gian mỗi đội Năng suất làm Năng suất làm trong nhiều
SK: Phương pháp dạy toán bằng cách lập hệ phương trình Trang 11
Trường THCS Tân Phú Giáo viên Trần Văn Anh
làm một mình thì
xong công việc
trong một
ngày
ngày
Đội I x
1
x
1 1
8 4
x x
× + ×
1 1
10 3
x x
× + ×
Đội II y
1
y
1

4
y
×
1
3
y
×
Cả hai
đội
1 1
Dữ kiện 1 ta có phương trình (1):
1 1 1 12 4
8 4 4 1 1
x x y x y
× + × + × = ⇔ + =

Dữ kiện 2 ta có phương trình (2):
1 1 1 13 3
10 3 3. 1 1
x x y x y
× + × + = ⇔ + =
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
12 4
1
13 3
1
x y
x y

+ =





+ =


Chú ý: Dạng IV còn có các dạng tương tự như ví dụ sau : Hai máy bơm có
công suất khác nhau cùng bơm vào cánh đồng. Nếu hai máy cùng bơm trong 2
h
thì được
12
35
cánh đồng. Nếu máy I bơm 3
h
, máy II bơm 2,5
h
thì được
34
35
cánh
đồng. Vậy nếu bơm riêng mỗi máy phải mất bao lâu.
Khi đó cách giải tương tự như trường hợp trên
Phương trình (1):
1 1 12
2
35x y
 
+ =
 ÷

 
Phương trình (2):
1 1 34
3 2,5
35x y
× + × =
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
1 1 12
2
35
1 1
3 2,5 1
x y
x y

 
+ =

 ÷

 


× + × =


IV. KẾT QUẢ VÀ HIỆU QUẢ MANG LẠI
Giải pháp trên cũng đã được áp dụng giảng dạy có hiệu quả.
- Chưa áp dụng giải pháp
SK: Phương pháp dạy toán bằng cách lập hệ phương trình Trang 12

Trường THCS Tân Phú Giáo viên Trần Văn Anh
Trước khi thực hiện giải pháp này, tôi thống kê điểm kiểm tra khảo sát rất
thấp, cụ thể như sau :
Năm học
Số
HS
Số học sinh đạt loại
Giỏi Khá Trung bình Yếu Kém TB trở lên
SL % SL % SL % SL % SL % SL %
2010-2011 32 1 3,1 5 15,6 7 21,9 10 31,3 9 28,1 13 40,6
2011-2012 30 1 3,3 7 23,3 11 36,7 8 26,7 3 10,0 19 63,3
2012-2013 62 3 4,8 15 24,2 19 30,6 13 21,0 12 19,4 37 59,7
Tổng 124 5 4,0 27 21,8 37 29,8 31 25,0 24 19,4 69 55,6
Nhận xét : Đa số học sinh chưa nắm được kỹ năng giải bài toán bằng cách
lập hệ phương trình đối với loại toán công việc và vòi nước, đa số học sinh rất
sợ dạng toán này.
- Áp dung giải pháp :
Năm học
Số
HS
Số học sinh đạt loại
Giỏi Khá Trung bình Yếu Kém TB trở lên
SL % SL % SL % SL % SL % SL %
2010-2011 32 3 9,4 12 37,5 14 43,8 3 9,3 0 0,0 29 90,6
2011-2012 30 5 16,7 8 26,7 15 50,0 2 6,6 0 0,0 28 93,3
2012-2013 62 11 17,7 18 29,0 29 46,8 4 6,5 0 0,0 58 93,5
Tổng 124 19 15,3 38 30,6 58 46,8 9 7,3 0 0,0 115 92,7
Nhận xét : Học sinh nắm vững chắc các kiến thức về giải bài toán bằng cách
lập hệ phương trình đối với toán công việc và vòi nước, học sinh đã biết biến
đổi thành thạo các dạng toán. Không còn có tâm lí hoan man, lo sợ như trước

kia khi gặp dạng toán này.
Bên cạnh đó một kết quả khác mà học sinh đạt được là :
- Phần lớn học sinh đã say mê, hứng thú khi học và giải các bài toán có lời
văn, đặc biệt đó là toán công việc và vòi nước mà học sinh trước kia đánh giá là
rất khó.
SK: Phương pháp dạy toán bằng cách lập hệ phương trình Trang 13
Trường THCS Tân Phú Giáo viên Trần Văn Anh
- Tạo cho học sinh niềm tin, niềm say mê hứng thú học toán, giúp các em
phát triển tư duy logíc, óc quan sát, suy luận toán học, tính độc lập suy nghĩ. Từ
đó nó giúp phát triển ngôn ngữ toán học và tạo cho các em một tư thế mới vững
vàng trong học tập, lao động và trong cuộc sống.
V. ĐÁNH GIÁ VỀ PHẠM VI ẢNH HƯỞNG CỦA SÁNG KIẾN
Sáng kiến có sự ảnh hưởng rộng rãi trong tổ, nhóm chuyên môn trong nhà
trường, sáng kiến giúp học sinh tích cực tìm hiểu kĩ phương pháp giải, phân loại
từng dạng toán, chủ động lĩnh hội kiến thức, có kĩ năng giải nhanh các bài toán
có dạng tương tự, đặt ra nhiều vấn đề mới, nhiếu bài toán mới.
VI. KIẾN NGHỊ, ĐỀ XUẤT
- Cần được đầu tư trang thiết bị(máy chiếu, phương tiện khác )để giảng dạy.
- Sáng kiến cần được bảo lưu, triển khai thực hiện nhằm rút ra những kinh
nghiệm để ứng dụng vào thực tiển ngày đạt hiệu quả hơn.
Việc cải tiến và học môn toán nói chung và phần giải toán có lời văn nói
riêng chắc sẽ không ngừng đổi mới, những vấn đề tôi đề cập trong đề tài sáng
kiến này vẫn còn nhiều thiếu sót, tôi mong rằng quí thầy cô, bạn bè, đồng
nghiệp không ngừng đóng góp ý kiến giúp cho đề tài ngày càng hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn.
Ý kiến xác nhận Ngày 15 tháng 04 năm 2013
của thủ trưởng đơn vị Người viết

Trần Văn Anh
SK: Phương pháp dạy toán bằng cách lập hệ phương trình Trang 14

Trường THCS Tân Phú Giáo viên Trần Văn Anh
DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa toán 9 tập II
2. Sách bài tập toán 9 tập II
3. Bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 9
MỤC LỤC
Trang
I.MỤC ĐÍCH CỦA VIỆC THỰC HIỆN SÁNG KIẾN 1
II.PHẠM VI TRIỂN KHAI THỰC HIỆN 2
SK: Phương pháp dạy toán bằng cách lập hệ phương trình Trang 15
Trường THCS Tân Phú Giáo viên Trần Văn Anh
III.MÔ TẢ SÁNG KIẾN : 2
1. Những vấn đề cần lưu ý khi dạy và học dạng toán này. 2
2. Các dạng tổng quát thường gặp và phương pháp giải từng dạng. 4
IV.KẾT QUẢ VÀ HIỆU QUẢ MANG LẠI 13
V.ĐÁNH GIÁ VỀ PHẠM VI ẢNH HƯỞNG CỦA SÁNG KIẾN 14
VI.KIẾN NGHỊ, ĐỀ XUẤT 14
SK: Phương pháp dạy toán bằng cách lập hệ phương trình Trang 16