Áp dụng tỉ số thể tích để tính thể tích và thể tích để tính khoảng cách

Sáng kiến kinh nghiệm “Áp dụng tỉ số thể tích để tính thể tích và thể tích để tính khoảng cách”
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – hạnh phúc
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
******
- Giáo viên thực hiện: TRẦN CHÍ PHONG
- Tên sáng kiến: ÁP DỤNG TỈ SỐ THỂ TÍCH ĐỂ TÍNH THỂ TÍCH VÀ
THỂ TÍCH ĐỂ TÍNH KHOẢNG CÁCH.
- Thời gian đã được triển khai thực hiện: Từ tháng 8/2011 đến tháng 3/ 2013.
I. SỰ CẦN THIẾT, MỤC ĐÍCH CỦA VIỆC THỰC HIỆN SÁNG KIẾN
Như chúng ta đã biết, hình học không gian là môn học rất khó vì nó đòi hỏi
người học phải biết tư duy một cách trừu tượng và phải biết tổng hợp kiến thức để
vận dụng vào giải được bài tập. Một trong những dạng toán khó của hình học
không gian mà luôn có mặt trong các kì thi Tốt nghiệp và Đại học là tính thể tích
của khối đa diện và tính khoảng cách. Để tính được thể tích của một khối đa diện
hay tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng nói chung là không dễ đối với
học sinh. Đa phần các em rất “ngán” học hình học không gian lớp 11 nên khi lên
lớp 12 gặp bài toán tính thể tích thì các em rất khó khăn để tính được đường cao và
diện tích mặt đáy của khối đa diện hay khi gặp bài toán tính khoảng cách thì các
em không biết phải xác định khoảng cách đó như thế nào.

Trong quá trình giảng dạy, tôi rút ra kinh nghiệm để giúp học sinh học tốt hơn
dạng toán này, đó là dùng tỉ số thể tích để tính thể tích và dùng thể tích để tính
khoảng cách. Và rõ ràng với phương pháp này thì học sinh rất dễ để giải được các
dạng toán đã nêu trên mà không cần phải vận dụng nhiều kiến thức tổng hợp về
hình học không gian. Do đó tôi chọn đề tài “ÁP DỤNG TỈ SỐ THỂ TÍCH ĐỂ
TÍNH THỂ TÍCH VÀ THỂ TÍCH ĐỂ TÍNH KHOẢNG CÁCH” với mong muốn
góp một phần nhỏ giúp giáo viên phát huy vai trò định hướng của mình và cũng
như giúp học sinh tránh được những khó khăn khi giải các dạng toán có liên quan.
II. PHẠM VI TRIỂN KHAI THỰC HIỆN
Trong nội dung chuyên đề này, tôi xin trình bày ba bài toán cơ bản có mặt

trong chương trình lớp 11, 12 và luôn xuất hiện trong các đề thi Đại học - cao đẳng.
- Một là: Áp dụng tỉ số thể tích để tính tỉ số thể tích của hai khối đa diện;
- Hai là: Áp dụng tỉ số thể tích để tính thể tích khối đa diện;
- Ba là: Áp dụng thể tích khối đa diện để tính khoảng cách từ một điểm đến
một mặt phẳng.
GV thực hiện: Trần Chí Phong
Trang 1
Sáng kiến kinh nghiệm “Áp dụng tỉ số thể tích để tính thể tích và thể tích để tính khoảng cách”
III. MÔ TẢ SÁNG KIẾN
1. Cơ sở lý luận của vấn đề
1.1 Các công thức tính thể tích
• Thể tích khối chóp: V =
1
3
Bh
B: diện tích đáy;
h: đường cao của hình chóp.
• Thể tích khối lăng trụ: V = Bh
B: diện tích đáy;
h: đường cao của lăng trụ.
1.2. Công thức tính tỉ số thể tích
• Cho khối chóp S.ABC, trên các đoạn thẳn SA, SB, SC
lần lượt lấy các điểm A’, B’, C’ khác điểm S.
Khi đó:
. ' ' '
.
' ' '
. .
S A B C
S ABC

V
SA SB SC
V SA SB SC
=
(1)
• Trong công thức (1), đặc biệt hoá khi B’
≡
B và C’
≡
C ta được
. ' ' '
.
'
S A B C
S ABC
V
SA
V SA
=
(1’)
• Ta lại có
. . ' '. . . '.
'
. (1') .
S ABC S A BC A ABC S ABC S ABC A ABC
SA
V V V V V V
SA
= + ⇒ = +
'.

.
' '
1
A ABC
S ABC
V SA A A
V SA SA
⇒ = − =
. Vậy:
'.
.
'
A ABC
S ABC
V
A A
V SA
=
(2)
• Tổng quát: Cho khối chóp đỉnh S, đáy là 1 đa giác lồi A
1
A
2
…A
n
(
3)n ≥
,
trên đoạn thẳng SA
1

lấy điểm A
1
’ không trùng với A
1
. Khi đó ta có
1 1 2
1 2
'.
1 1
. 1
'
n
n
A A A A
S A A A
V
A A
V SA
=
(2’)
1.3. Một số công thức khác
a. Diện tích tam giác và công thức hình chiếu
•
µ
1
. . .sin
2
ABC
S AB AC A
∆

=
;
1
. .
2
ABC
S BC AH
∆
=
.
• Công thức hình chiếu:
2 2
2 2
;
BH AB BH AB
BC BC CH AC
= =
(*).
b. Diện tích tứ giác
− Hình vuông
+ Diện tích hình vuông :
2
( )
ABCD
S AB=

(Diện tích bằng cạnh bình phương)
GV thực hiện: Trần Chí Phong
Trang 2
S

A’
B’
C’
C
B
A
h
H
A
B
C
O
B
D
A
C
h
B
B
h
Sỏng kin kinh nghim p dng t s th tớch tớnh th tớch v th tớch tớnh khong cỏch
+ ng chộo hỡnh vuụng:
= = . 2AC BD AB
(ng chộo hỡnh vuụng bng cnh x
2
)
+ OA = OB = OC = OD
Hỡnh ch nht
+ Din tớch hỡnh ch nht:
.

ABCD
S AB AD=
(Din tớch bng di nhõn rng).
+ ng chộo hỡnh cha nht bng nhau: AC = BD.
c. Gúc gia ng thng d v mp(P):
+ Xỏc nh hỡnh chiu d ca d lờn mp(P)
+ Gúc gia d v d chớnh l gúc gia d v mp(P)
d. Gúc gia 2 mt phng: (P) v (Q):
+ Xỏc nh giao tuyn d ca (P) v (Q)


+



OH d, vụựi OH (P)
Tửứ O d ta keỷ
OK d, vụựi OK (Q)
+ Khi ú:
( )
ã
ã
( ),( ) ( , )P Q HO OK
=
2. Thc trng v vic gii cỏc bi toỏn tớnh liờn quan n th tớch khi a
din trong dy v hc trng THPT m Di
2.1 Thun li
Ban giỏm hiu nh trng luụn quan tõm v to iu kin tt cho GV
trong vic ging dy;
Thy cụ dy nhit tỡnh v tn tõm vi ngh;

a phn cỏc thy cụ gii bi toỏn tớnh th tớch khi a din theo phng
phỏp xỏc nh ng cao v din tớch mt ỏy;
a phn hc sinh ca trng l ngoan v cú ý thc tt trong vic hc;
Cht lng i tr b mụn toỏn ngy c nõng cao.
2.2 Khú khn
Hc sinh hiu cỏch lm nhng k nng lm bi cha tt, cha ỏp dng vo
gii c cỏc bi toỏn tng t;
Nhiu hc sinh cũn gii toỏn theo khuụn mu, cha cú nhiu sỏng to;
Hc sinh cú tõm lý chung l ngỏn v s toỏn v hỡnh hc khụng gian.
2.3 Kt qu kho sỏt thc nghim
kho sỏt: Trong nm hc 2010 2011, khi dy chng I ca hỡnh hc
lp 12, tụi ó tin hnh kim tra hc sinh vi ni dung nh sau:
GV thc hin: Trn Chớ Phong
Trang 3
O
A
B
D
C
Sáng kiến kinh nghiệm “Áp dụng tỉ số thể tích để tính thể tích và thể tích để tính khoảng cách”
Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt đáy, mặt đáy là tam giác
vuông tại B. Biết SA = AB = a, BC = 2a. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu
vuông góc của A lên SB, SC. Tính thể tích khối chóp S.ABC và S.AHK theo a.
• Kết quả khảo sát
Lớp Sĩ số
Tỉ lệ khảo sát (%)
Giỏi Khá Trung bình Yếu Kém
12T1 40 25 30 12,5 7.5 0
12C10 42 0 11.90 23.81 35.71 28.58
• Nhận xét về bài giải của học sinh:

- Đa phần các em lớp 12T1 biết cách làm và làm khá tốt;
- Một số em lớp 12C10 giải được ý đầu nhưng không giải được ý 2 và nhiều em
không biết phải làm ý 2 như thế nào;
- Một số bài giải của học sinh lớp 12T1 thiếu tính lôgic, rất ít em đạt điểm tối đa.
2.4 Nguyên nhân dẫn đến kết quả thấp
• Lỗi chủ yếu là do các em không xác định được đường cao của hình chóp
và không vận dụng được công thức tỉ số thể tích;
• Rất nhiều em trình bày lời giải bài toán còn lủng củng, lập luận chưa tốt;
• Tâm lý chung các em là “sợ” bài toán về hình học không gian.
2.5 Định hướng khắc phục
Cần tìm hướng giúp học sinh tiếp cận dạng toán trên một cách đơn giản hơn
và đặc biệt là giúp các em tự tin hơn khi gặp dạng toán này. Từ đó tôi triển khai
sáng kiến dùng công thức tỉ số thể tích để làm đơn giản dạng toán này.
3. Nội dung sáng kiến
3.1 Áp dụng tỉ số thể tích để tính tỉ số thể tích của hai khối đa diện
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, SB,
SC. Tính tỉ số thể tích hai khối chóp S.MNP và S.ABC.
* Phân tích:
Dựa vào giả thiết, ta có diện tích tam giác ABC bằng 4 lần diện tích tam giác
MNP và đường cao của hình chóp S.ABC bằng 2 lần đường cao của hình chóp
S.MNP. Do đó suy ra
.
.
1
8
S MNP
S ABC
V
V
=

.
GV thực hiện: Trần Chí Phong
Trang 4
Sáng kiến kinh nghiệm “Áp dụng tỉ số thể tích để tính thể tích và thể tích để tính khoảng cách”
Tuy nhiên bài toán trên nếu chúng ta áp dụng công thức tính tỉ số thể tích
thì cách giải sẽ hay hơn nhiều và học sinh cũng dễ hiểu hơn.
* Giải:
Dựa vào công thức tính tỉ số thể tích, ta có:
.
.
1 1 1 1
. . . .
2 2 2 8
S MNP
S ABC
V
SM SN SP
V SA SB SC
= = =
.
Ví dụ 2: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, gọi M là
trung điểm của CD và I là giao điểm của AC và BM. Tính tỉ số thể tích của hai khối
chóp S.ICM và S.ABCD.
* Phân tích:
Để giải theo cách thông thường thì chúng ta đi tính thể tích của hai khối sau
đó suy ra tỉ số thể tích của chúng. Tuy nhiên cách giải này phải đưa ra thêm một số
giả thiết khác về độ dài cạnh và rất khó để giải.
Còn nếu chúng ta dùng công thức tính tỉ số thì cách giải sẽ hay hơn, dễ dàng
hơn nhiều và bản thân các em học sinh cũng sẽ làm được.
* Giải:

Gọi O là giao điểm của AC và BD.
Ta có I là trọng tâm của tam giác BCD. Suy ra BI = 3IM.
Do đó theo công thức (2), ta có:
.
1
3
ISCM B SCM
V V=
.
Mà
. . . .
1 1
. ;
2 2
B SCM D SBC D SBC S ABCD
V V V V
= =
.
Suy ra
. . . .
1 1 1 1 1 1
. . . .
3 3 2 3 2 2
I SCM B SCM D SBC S ABCD
V V V V= = =
Vậy
.
.
1
12

I SCM
S ABCD
V
V
=
.
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy và mặt đáy là tam giác
vuông tại A. Biết SA = AB = a, BC = 2a. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông
góc của A lên SB, SC. Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.AHK và S.ABC.
* Phân tích:
Để giải theo cách thông thường thì chúng ta đi tính thể tích của khối chóp
S.ABC (không khó) và thể tích của khối chóp S.AHK (rất khó vì chưa có đường
cao và cũng chưa có diện tích đáy) rồi sau đó suy ra tỉ số thể tích của chúng.
Tuy nhiên nếu chúng ta áp dụng công thức tính tỉ số thể tích để giải thì bài giải
sẽ dễ dàng hơn nhiều và bản thân các em học sinh cũng sẽ làm tốt hơn.
GV thực hiện: Trần Chí Phong
Trang 5
S
P
C
B
A
N
M
S
A
B
C
D
M

I
O
Sáng kiến kinh nghiệm “Áp dụng tỉ số thể tích để tính thể tích và thể tích để tính khoảng cách”
* Giải:
Dựa vào công thức tính tỉ số thể tích, ta có:

.
.
. . .
S AHK
S ABC
V
SA SH SK SH SK
V SA SB SC SB SC
= =
.
Do tam giác SAB cân tại A nên SB = 2SH.
Do tam giác SAC vuông tại A và có K là hình chiếu
của A lên SC nên
2
2
SK SA
SC SC
=
.
Từ giả thiết, ta có:
2 2 2 2 2 2 2 2
3 ; 4aAC BC AB a SC SA AC
= − = = + =
.

Vì vậy
2
.
2
.
1 1
. .
2 4a 8
S AHK
S ABC
V
SH SK a
V SB SC
= = =
.
* Nhận xét chung: Nếu cả ba ví dụ trên chúng ta giải theo cách “thông
thường” thì mất rất nhiều thời gian và khó trong khâu lập luận cũng như trình bày
lời giải. Còn nếu chúng ta giải theo cách dùng công thức tỉ số thể tích thì được rất
nhiều ưu điểm: nhanh, gọn, chính xác, ít phải lập luận và dễ trình bày lời giải.
* Bài tập tương tự:
Bài 1: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, đáy ABC là tam giác đều có trực
tâm H và cạnh bằng a. Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CA và
M, N, P lần lượt là trung điểm các đoạn SI, SJ, SK. Tính tỉ số thể tích của hai khối
chóp H.MNP và S.ABC. Từ đó tính thể tích khối chóp H.MNP theo a.
ĐS:
.
.
1
32
H MNP

S ABC
V
V
=
.
Bài 2: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi B’, D’ lần
lượt là trung điểm của SB và SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’. Tính tỉ số thể
tích của hai khối chóp được chia bởi mp(AB’D’).
ĐS:
. ' ' ' '
.
1
6
S A B C D
S ABCD
V
V
=
.
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Một mặt
phẳng (
α
) qua AB cắt SC, SD lần lượt tại M và N. Tính
SM
SC
để mặt phẳng (
α
)
chia hình chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau.
ĐS:

3 1
2
SM
SC
−
=
.
GV thực hiện: Trần Chí Phong
Trang 6
A
S
K
C
B
H
Sáng kiến kinh nghiệm “Áp dụng tỉ số thể tích để tính thể tích và thể tích để tính khoảng cách”
3.2 Áp dụng tỉ số thể tích để tính thể tích khối đa diện
Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt đáy, mặt đáy là tam
giác vuông tại A. Biết SA = AB = a, BC = 2a. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu
vuông góc của A lên SB, SC. Tính thể tích của khối chóp A.BCKH theo a.
* Phân tích:
Để giải theo cách thông thường thì chúng ta đi tính thể tích của khối chóp
S.ABC (không khó) và thể tích của khối chóp S.AHK (rất khó chưa có đường cao
và cũng chưa có diện tích đáy) sau đó thể tích của của khối chóp A.BCKH.
Tuy nhiên cũng giống như các ví dụ trên, nếu chúng ta dùng công thức tính tỉ
số thể tích để giải thì bài giải sẽ dễ dàng hơn nhiều cho cả giáo viên và học sinh.
* Giải:
Theo ví dụ 3, ta có
. .
. .

1 7
8 8
S AHK A BCKH
S ABC S ABC
V V
V V
= ⇒ =
Hay
. .
7
8
A BCKH S ABC
V V=
.
Mà
3
.
1 1 1 3
. . . 3
3 3 2 6
S ABC ABC
a
V SA S a a a= = =
.
Suy ra
3 3
.
7 3 7 3
.
8 6 48

A BCKH
a a
V = =
(đvtt).
Ví dụ 5: (CĐ khối B – 2008)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang,
·
·
0
90BAD ABC
= =
,
,AB BC a
= =
2 , ( )AD a SA ABCD= ⊥
và SA = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và
SD. Tính thể tích khối chóp S.BCNM theo a.
* Phân tích:
Để giải theo cách thông thường thì chúng ta đi tính thể tích của khối chóp
S.BCNM (rất khó khi chưa có đường cao và chưa có diện tích đáy). Tuy nhiên cũng
giống như các ví dụ trên, nếu chúng ta áp dụng công thức tính tỉ số thể tích để giải
thì bài giải sẽ dễ dàng hơn nhiều cho cả giáo viên và học sinh.
* Giải:
Theo giả thiết, ta có
3
.
1 1 1
. .2 . .3
3 3 2
S ABCD ABCD

V SA S a a a a= = =
.
Áp dụng công thức (1) ta có
. .
. .
1 1
; .
2 4
S BCM S CMN
S BCA S CAD
V V
SM SM SN
V SA V SA SD
= = = =
.
GV thực hiện: Trần Chí Phong
Trang 7
S
M
B
N
D
C
A
A
S
K
C
B
H

Sáng kiến kinh nghiệm “Áp dụng tỉ số thể tích để tính thể tích và thể tích để tính khoảng cách”
Suy ra
. . . . .
1 1
2 4
S BCNM S BCM S CNM S BCA S CAD
V V V V V
= + = +
( )
. . .
1 1
2 4
S BCA S ABCD S BCA
V V V
= + −
( )
3
. .
1
4 3
S ABCD S BCA
a
V V
= + =
(đvtt).
Ví dụ 6: (ĐH khối B – 2012)
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với SA = 2a, AB = a. Gọi H là hình chiếu
vuông góc của A trên cạnh SC. Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng (ABH)
và tính thể tích của khối chóp S.ABH theo a.
* Phân tích:

Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng (ABH) thì đã rõ ràng. Vấn đề là để
tính thể tích của khối chóp S.ABH thì làm sao xác định được đường cao và diện
tích đáy. Cũng giống như các ví dụ trên, nếu chúng ta dùng công thức tính tỉ số thể
tích để giải thì bài giải sẽ dễ dàng hơn.
* Giải:
• Chứng minh:
( )SC ABH⊥
.
Gọi O là tâm của tam giác đều ABC, D là trung điểm của AB.
Do S.ABC là hình chóp đều nên
( )
SO ABC SO AB⊥ ⇒ ⊥
. Mà
CD AB⊥
( )
AB SCD AB SC⇒ ⊥ ⇒ ⊥
(1).
Mặt khác
AH SC⊥
(2).
Từ (1) và (2) suy ra
( )SC ABH⊥
(đpcm).
• Tính
.S ABH
V
.
Ta có
2
2 2 2

2 2 2
15 15 1 15 15
(2 ) 4 .
2 4 4 2 2 2 4
SAB
a a a a a a
SD a a SD S a
 
= − = − = ⇒ = ⇒ = =
 ÷
 
2 2
1 15 15 15
. .
2 4 2.2 4
SAB SAC
a a a
S S AH SC AH
a
⇒ = = = ⇒ = =
Mà
2 2
2 2 2 2
15 49 7 7 7
(2 ) 4
16 16 4 4.2 8
a a a SH a
SH a AH a SH
SC a
= − = − = ⇒ = ⇒ = =

.
2 2
2 2 2
2
.
.
7 15 3 15 44 11
;
8 2 3.2 4 12 12
3
S ABH
S ABC
V
SH a a a a a a
SO SO
V SC
   
= = = − = − = ⇒ =
 ÷  ÷
   
.
Vậy
2 3
.
7 1 3 11 7 11
. . .
8 3 4 96
3
S ABH
a a a

V
 
= =
 ÷
 
(đvtt).
Ví dụ 7: (ĐH khối D – 2010)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a, hình
chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn thẳng
GV thực hiện: Trần Chí Phong
Trang 8
O
S
A
D
C
B
H
Sáng kiến kinh nghiệm “Áp dụng tỉ số thể tích để tính thể tích và thể tích để tính khoảng cách”
AC sao cho 4AH = AC. Gọi CM là đường cao của tam giác SAC. Chứng minh rằng
M là trung điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a.
* Phân tích:
Để chứng minh M là trung điểm của SA ta chỉ cần chứng minh
∆
SAC cân tại C
(không khó). Còn muốn tính thể tích khối tứ diện SMBC thì cũng giống như các ví
dụ trên, nếu chúng ta giải theo cách tính thể tích trực tiếp thì rất khó. Tuy nhiên
nếu dùng công thức tính tỉ số thể tích để giải thì bài giải sẽ dễ hơn nhiều.
* Giải:
• Chứng minh M là trung điểm của SA.

Từ giả thiết ta tính được
2 14 3 2
, , , 2
4 4 4
a a a
AH SH CH SC a SC AC
= = = = ⇒ =
.
Do đó tam giác SAC cân tại C nên M là trung điểm
của SA (đpcm).
• Tính
SMBC
V
.
Ta có
.
. .
.
1 1
2 2
S MBC
S MBC S ABC
S ABC
V
SM
V V
V SA
= = ⇒ =
Vậy
2 3 3

. .
1 1 14 14 14
. . . .
3 6 4 2 48 96
S ABC ABC S MBC
a a a a
V SH S V
∆
= = = ⇒ =
(đvtt).
Ví dụ 8: (ĐH khối B – 2006)
Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật, AB =SA = a, AD =a
2
SA vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và SC, gọi I là giao
điểm của BM và AC. Tính thể tích khối tứ diện ANIM theo a.
* Phân tích:
Muốn tính thể tích khối tứ diện ANIM thì cũng giống như các ví dụ trên, nếu
chúng ta giải theo cách tính thể tích trực tiếp thì rất khó. Tuy nhiên nếu dùng công
thức tính tỉ số thể tích để giải thì bài giải sẽ dễ dàng hơn nhiều.
* Giải:
Gọi O là giao điểm của AC và BD. Ta có I là trọng tâm của tam giác ABC
Do đó
2 1
3 3
AI AI
AO AC
= ⇒ =
.
Suy ra
1 1 1

. .
3 2 6
AIMN
ACDN
V
AI AM
V AC AD
= = =
(1)
GV thực hiện: Trần Chí Phong
Trang 9
H
O
S
A
B
C
D
M
Sáng kiến kinh nghiệm “Áp dụng tỉ số thể tích để tính thể tích và thể tích để tính khoảng cách”
Mặt khác
1
2
ACDN
ACDS
V
NC
V SC
= =
(2)

Từ (1) và (2) suy ra
1
12
AIMN
ACDS
V
V
=
.
Mà
3
1 1 2 2
. . .
3 3 2 6
SACD ACD
a a a
V SA S a
∆
= = =
.
Vậy
3
1 2
.
12 72
AIMN SACD
a
V V= =
(đvtt).
* Nhận xét chung: Nếu cả năm ví dụ trên chúng ta giải theo cách “thông

thường” thì phải đi xác định đường cao và diện tích mặt đáy (mất rất nhiều thời
gian) và khó trong khâu lập luận cũng như trình bày lời giải. Còn nếu chúng ta giải
theo cách dùng công thức tỉ số thể tích thì được rất nhiều ưu điểm: nhanh, gọn,
chính xác, ít phải lập luận và dễ trình bày lời giải.
* Bài tập tương tự:
Bài 1: Cho khối tứ diện ABCD có
·
· ·
0 0
90 , 120 ,ABC BAD CAD
= = =
, 2 ,AB a AC a
= =
3AD a=
. Tính thể tích tứ diện ABCD theo a.
ĐS:
3
2
2
ABCD
a
V =
.
Bài 2: Cho khối chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc
với đáy và SA = 2a. Gọi B’, D’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB và
SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’. Tính thể tích khối chóp S.A’B’C’D’ theo a.
ĐS:
3
. ' ' ' '
16

45
S A B C D
a
V =
.
Bài 3: (ĐH khối D – 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác
vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng
(ABC). Biết SB =
2 3a
và
·
SBC
= 30
0
. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng
cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a.
ĐS:
3
.
2a 3
S ABC
V =
(đvtt); d(B,(SAC)) =
6
7
a
.
3.3 Áp dụng thể tích để tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng
Ví dụ 9: (ĐH khối D – 2002)
Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc mặt phẳng (ABC), AD = AC = 4cm,

AB = 3cm, BC = 5cm. Tính khoảng cách từ A đến mp(BCD).
GV thực hiện: Trần Chí Phong
Trang 10
I
O
S
A
B
C
D
M
N
Sáng kiến kinh nghiệm “Áp dụng tỉ số thể tích để tính thể tích và thể tích để tính khoảng cách”
* Phân tích:
Muốn tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD) thì ta phải dựng được
đường vuông góc từ A xuống mp(BCD). Rõ ràng đây là một công việc không dễ.
Tuy nhiên nếu dùng thể tích để tính khoảng cách thì bài toán sẽ đơn giản hơn.
* Giải:
Ta có AB
2
+ AC
2
= 25
2
cm
= BC
2

AB AC⇒ ⊥
.

Do đó
( )
2
1 1
. . . 8
3 6
ABCD ABC
V AD S AB AC AD cm= = =
Theo giả thiết, ta có CD =
4 2
cm, BD = BC = 5cm
nên
BCD
∆
cân tại B, gọi I là trung điểm của CD
2 2
1 2
. 5 (2 2) 2 34
2 2
BCD
S DC BI
∆
⇒ = = − =
Mặt khác
1
( ,( D))
3
ABCD
V d A BC
=

3
3.8 6 34
( ,( ))
17
2 34
ABCD
BCD
V
d A BCD
S
∆
⇒ = = =
(cm).
Ví dụ 10: (ĐH khối D – 2007)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang,
·
·
0
90ABC BAD
= =
,
AD=2a,BA =BC=a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA =
2a
. Gọi H là hình
chiếu vuông góc của A lên SB. Chứng minh rằng tam giác SCD vuông và tính theo
a khoảng cách từ H đến mp(SCD).
* Phân tích:
Để chứng minh tam giác SCD vuông ta chỉ cần chứng minh CD vuông góc với
mp(SAC) (không khó) rồi từ đó suy ra. Còn muốn tính khoảng cách từ điểm H đến
mặt phẳng (SCD) thì ta dùng thể tích để tính cho nhẹ nhàng hơn.

* Giải:
• Chứng minh tam giác SCD vuông.
Từ giả thiết, ta tính được AC = CD =
2a
Suy ra
D ACC ⊥
. Mà
D AC S⊥
.
Do đó
( )
D SAC DC C SC⊥ ⇒ ⊥

Suy ra tam giác SCD vuông tại C (đpcm).
• Tính d(H, (SCD)).
Dựa vào công thức tỉ số thể tích, ta có
.
.
S HCD
S BCD
V
SH
V SB
=
.
Do
SAB∆
vuông tại A và AH là đường cao nên ta có
2
2

2
2
3
SH SA SH
HB AB SB
= = ⇒ =
.
Vậy
2 3
S.HCD S.BCD
2 2 1 a a 2
V = V = . a 2. =
3 3 3 2 9
.
GV thực hiện: Trần Chí Phong
Trang 11
A
B
C
D
I
2a
a
S
C
B
D
A
H
Sáng kiến kinh nghiệm “Áp dụng tỉ số thể tích để tính thể tích và thể tích để tính khoảng cách”

Mặt khác
.
.
3
1
( ,( )). ( ,( ))
3
S HCD
S HCD SCD
SCD
V
V d H SCD S d H SCD
S
∆
∆
= ⇒ =
.
Vì
SCD
∆
vuông tại C nên
2
1 1
. . 2.2 2
2 2
SCD
S CD SC a a a
∆
= = =
.

Vậy
3
2
3 2
( ,( ))
3
9 2
a a
d H SCD
a
= =
(đvđd).
Ví dụ 11: (ĐH khối D – 2008)
Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a,
AA’ =
2a
. Gọi M là trung điểm của BC. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường
thẳng AM và B’C.
* Phân tích:
Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B’C ta cần đưa về khoảng
cách từ một điểm đến mặt phẳng rồi sau đó dùng thể tích để tính sẽ dễ dàng hơn.
* Giải:
Gọi E là trung điểm của BB’, ta có EM//CB’
Suy ra B’C //(AME) nên
d(B’C;AM) = d(B’C;(AME))= d(C;(AME))
Theo công thức tỉ số thể tích, ta có
.
.
1
2

C AEM
C AEB
V
MC
V CB
= =
2 3
.
1 1 1 2 2
. . .
2 2 3 2 2 24
C AEM EACB
a a a
V V⇒ = = =
.
Mặt khác, ta có
.
.
3
1
( ,( )). ( ,( ))
3
C AEM
C AEM AEM
AEM
V
V d C AME S d C AME
S
∆
∆

= ⇒ =
.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên AE, ta có
BH AE⊥
Hơn nữa
( )BM ABE BM AE⊥ ⇒ ⊥
, nên ta được AE
HM
⊥
.
Mà AE =
6
2
a
,
ABE
∆
vuông tại B nên
2 2 2 2
1 1 1 3
BH AB EB a
= + =

3
3
a
BH
⇒ =
.
Vì

BHM
∆
vuông tại B nên
2 2
21
4 3 6
a a a
MH = + =
.
Do đó
2
1 1 6 21 14
. . .
2 2 2 6 8
AEM
a a a
S AE HM
∆
= = =
.
Vậy:
3
2
3 2 7
( ,( ))
7
14
24.
8
a a

d C AME
a
= =
(đvđd).
GV thực hiện: Trần Chí Phong
Trang 12
a
a
a
2
M
E
B'
C'
A
C
B
A'
H
Sáng kiến kinh nghiệm “Áp dụng tỉ số thể tích để tính thể tích và thể tích để tính khoảng cách”
Ví dụ 12: (Thi thử ĐH lần I năm 2013)
Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC là tam
giác vuông tại A, AB = a,
3AC a=
và hình chiếu vuông góc của A’ lên mp(ABC)
trùng với trung điểm của BC. Tính theo a khoảng cách từ A đến mp(BCC’B’).
* Phân tích:
Muốn tính khoảng cách từ A đến mp(BCC’B’) theo cách thông thường thì phải
xác định đoạn vuông góc hạ từ A xuống mp(BCC’B’). Đây là công việc không dễ
chút nào. Để khắc phục khó khăn trên ta nên áp dụng thể tích để tính khoảng cách.

* Giải:
Gọi H là trung điểm của BC
⇒
A’H
⊥
(ABC).
∆
ABC vuông tại A
⇒
AH =
1
2
BC = a.
'A AH∆
vuông tại H
⇒
2 2
' ' 3A H A A AH a
= − =
Do đó
3
'.
1 . 3
3
3 2 2
A ABC
a a a
V a
= =
.

Mặt khác, ta có
'. . ' ' '
1
.
3
A ABC ABC A B C
V V=
Suy ra
3
3
'. ' ' . ' ' '
2 2
.3.
3 3 2
A BCC B ABC A B C
a
V V a= = =
.
Ta có
'. ' '
'. ' ' ' '
' '
3
1
( ',( ' ')). ( ',( ' '))
3
A BCC B
A BCC B BCC B
BCC B
V

V d A BCC B S d A BCC B
S
= ⇒ =
.
Vì
' ' ' ' ' 'AB A H A B A H A B H⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ∆
vuông tại A’
Suy ra B’H =
2 2
3 2 'a a a BB+ = =

'BB H⇒ ∆
cân tại B’.
Gọi K là trung điểm của BH, ta có
'B K BH⊥
2 2
14
' '
2
a
B K BB BK⇒ = − =
.
2
' '
14
' '. 2 . 14
2
BCC B
a
S B C BK a a

⇒ = = =
. Vậy
3
2
3 3 14
( ',( ' '))
14
14
a a
d A BCC B
a
= =
(đvđd).
* Nhận xét chung: Nếu cả bốn ví dụ trên giải theo cách “thông thường” thì
chúng ta phải đi xác định được khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng (phải
dựng được đường vuông góc hạ từ điểm đó đến mặt phẳng). Rõ ràng công việc đó
khó hơn rất nhiều lần so với cách dùng thể tích để tính. Hơn nữa nếu chúng ta giải
theo cách áp dụng thể tích để tính thì được ưu điểm là học sinh trung bình có thể
giải tốt bài toán này, và đối với các em bài toán tính thể tích hay khoảng cách
không phải là quá khó đối với các em nữa. Từ đó giúp các em có động cơ tốt hơn
và ham thích hơn bộ môn hình học không gian - dù trước đó các em có cảm giác
rất “ngán” và “sợ” môn học này.
GV thực hiện: Trần Chí Phong
Trang 13
a
a
2a
3
K
C'

B'
H
B
C
A
A'
Sáng kiến kinh nghiệm “Áp dụng tỉ số thể tích để tính thể tích và thể tích để tính khoảng cách”
* Bài tập tương tự:
Bài 1: (ĐH khối D – 2009)
Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a,
AA’ = 2a, A’C = 3a. Gọi M là trung điểm của A’C’, I là giao điểm của AM và A’C.
Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ A đến mp(IBC).
ĐS:
3
4a 2 5
; ( ,( ))
9 5
IABC
a
V d A IBC= =
.
Bài 2: (ĐH khối B – 2011) Cho lăng trụ ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
có đáy ABCD là

hình chữ nhật, AB = a, AD =
3a
. Hình chiếu vuông góc của điểm A
1
trên
(ABCD) trùng với giao điểm AC và BD. Góc giữa hai mặt phẳng (ADD
1
A
1
) và
(ABCD) bằng 60
0
. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và d(B
1
, (A
1
BD)).
ĐS:
3
4a 2 5
; ( ,( ))
9 5
IABC
a
V d A IBC= =
.
Bài 3: (ĐH khối D – 2012) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông
tại B, BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết
SB =
2 3a

và
·
SBC
= 30
0
. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ
điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a.
ĐS:
3
.
2a 3
S ABC
V =
; d(B, (SAC)) =
6
7
a
.
4. Kết quả, hiệu quả mang lại
4.1 Hiệu quả từ thực tiễn
Ban đầu học sinh gặp rất nhiều khó khăn và “sợ” các bài toán về tính thể tích
và khoảng cách trong hình học không gian. Tuy nhiên khi giáo viên áp dụng cách
dùng tỉ số để tính thể tích và dùng thể tích để tính khoảng cách thì học sinh giải tốt
hơn và các em rất hào hứng với cách giải này. Đối với học sinh trung bình yếu thì
các em dựa vào cách giải mới này làm khá tốt và đặc biệt các em không còn cảm
giác “sợ” bộ môn hình học không gian nữa.
Trên cơ sở đó, các em không “ngán” giải một bài toán về hình học không
gian nữa mà thay vào đó là sự háo hức, đam mê giải các bài toán dạng tương tự. Sự
hứng thú học tập của học sinh là sự động viên khích lệ rất lớn không chỉ riêng với
bản thân tôi mà là cho tất cả các thầy cô chúng ta. Với cách làm này, chúng ta giúp

học sinh yêu thích thêm về bộ môn, giúp các em có niềm tin trong học tập và phấn
đấu học tốt hơn để có kết quả tốt nhất trong kì thi Đại học – Cao đẳng phía trước.
GV thực hiện: Trần Chí Phong
Trang 14
Sáng kiến kinh nghiệm “Áp dụng tỉ số thể tích để tính thể tích và thể tích để tính khoảng cách”
4.2 Kết quả thực nghiệm
Sáng kiến này tôi đã áp dụng từ năm học 2011 – 2012 đến nay và nhận thấy
kết quả làm bài của học sinh có rất tiến bộ, đặc biệt là cách trình bày lời giải đơn
giản và dễ hơn. Kết quả kiểm tra trong năm học 2011 – 2012 và học kì I năm học
2012 – 2013 trên các đối tượng học sinh khác nhau được bảng kết quả sau:
• Năm học 2011 – 2012:
Lớp Sĩ số
Tỉ lệ khảo sát
Khá – Giỏi TB Yếu - Kém
12T2 (lớp chọn) 43 81.4% 18.6% 0 %
12C9 (lớp yếu) 38 21.1% 47.4% 31.5%
• Học kì I năm học 2012 – 2013:
Lớp Sĩ số
Tỉ lệ khảo sát
Khá – Giỏi TB Yếu
12A2 (lớp chọn) 33 100% 0 % 0 %
12A5 (lớp khá) 31 74.19% 16.13% 9.68 %
5. Đánh giá về phạm vi ảnh hưởng của sáng kiến
• Sáng kiến này bản thân tôi đã áp dụng hai năm và nhận thấy hiệu quả rất
tốt. Còn đối với học sinh (nhất là học sinh trung bình, yếu) thì cách giải
này đơn giản hơn nhiều, các em áp dụng khá thành thạo;
• Bước đầu tôi đã báo cáo sáng kiến này trong đợt sinh hoạt chuyên đề
“Đổi mới phương pháp dạy học” ở học kì I năm học này;
• Tôi nghĩ dạng đề tài này nên nhân rộng trong toàn trường và nên thảo
luận trong đợt học chuyên môn hè ở bộ môn toán trong phạm vi của tỉnh.

6. Kiến nghị và kết luận
6.1 Kiến nghị
• Để việc đổi mới phương pháp dạy học không chỉ là phong trào mà là trở
thành thói quen của mỗi thầy cô giáo thì một trong những điều kiện cần
thiết là sự quan tâm, chỉ đạo, giúp đỡ thiết thực từ phía Ban giám hiệu
nhà trường và các cấp quản lý.
GV thực hiện: Trần Chí Phong
Trang 15
Sáng kiến kinh nghiệm “Áp dụng tỉ số thể tích để tính thể tích và thể tích để tính khoảng cách”
• Hiện nay thư viện nhà trường có nhiều sách tham khảo nhưng chưa có
nhiều sách viết về “Đổi mới phương pháp dạy học”. Vì vậy nhà trường
cần trang bị thêm sách tham khảo loại này để thầy cô và học sinh đọc
nhằm tìm ra những cách giải toán hay hơn, dễ hơn.
• Tổ bộ môn nên nhân rộng dạng đề tài về “Đổi mới phương pháp dạy
học” và có những buổi sinh hoạt chuyên môn cụ thể hơn về chủ đề này.
• Ngành giáo dục nên tổ chức báo các sáng kiến điển hình về đổi mới
phương pháp dạy trong đợt học chuyên môn hè ở các bộ môn.
6.2 Kết luận
Việc đổi mới phương pháp dạy học không chỉ là ứng dụng công nghệ thông
tin vào trong bài dạy hay là để soạn giảng mà thật ra đổi mới phương pháp dạy học
hiểu theo nghĩa đơn giản nhất là đổi mới cách dạy sao cho bài dạy dễ hiểu và mang
lại hiệu quả cao hơn. Trên tinh thần đó thì việc áp dụng tỉ số thể tích để tính thể
tích và áp dụng thể tích để tính khoảng cách sẽ đơn giản hóa một số bài toán khó
về hình học không gian. Qua đó giúp học sinh tiếp cận nội dung bài học một cách
nhẹ nhàng hơn và quan trọng hơn là tạo được niềm tin để các em học sinh giải tốt
bài toán về hình học không gian trong kì thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng sắp tới.
Tuy nhiên, do bản thân chưa có nhiều kinh nghiệm trong việc viết “Đề tài
sáng kiến kinh nghiệm” và do đây chỉ là “kinh nghiệm” của bản thân nên không
khỏi tránh nhiều sai sót. Vì vậy, kính mong Hội đồng xét, công nhận sáng kiến cũng
như quý đồng nghiệp góp ý nhằm giúp tôi hoàn thiện đề tài này và quan trọng hơn

là giúp tôi có được phương pháp tốt hơn để hướng dẫn học sinh giải toán ./.

Đầm Dơi, ngày 25 tháng 3 năm 2013
Người viết
Xác nhận của BGH trường THPT Đầm Dơi


Trần Chí Phong
GV thực hiện: Trần Chí Phong
Trang 16
Sáng kiến kinh nghiệm “Áp dụng tỉ số thể tích để tính thể tích và thể tích để tính khoảng cách”
MỤC LỤC
THỨ TỰ NỘI DUNG TRANG
1 Sự cần thiết, mục đích của việc thực hiện sáng kiến 1
2 Phạm vi triển khai thực hiện 1
3 Mô tả sáng kiến 2
4 Cơ sở lí luận của vấn đề 2
5 Thực trạng về việc giải bài liên quan đến thể tích 3
6 Nội dung sáng kiến 4
7 3.1 Áp dụng tỉ số thể tích để tính tỉ số thể tích hai khối đa diện 4
8 3.2 Áp dụng tỉ số thể tích để tính thể tích khối đa diện 7
9 3.3 Áp dụng tỉ số thể tích để tính tỉ khoảng cách 10
10 Kết quả, hiệu quả mang lại 14
11 Đánh giá về phạm vi ảnh hưởng của sáng kiến 15
12 Kiến nghị và kết luận 15
GV thực hiện: Trần Chí Phong
Trang 17