Khoá luận tốt nghiệp toán Rèn luyện tư duy cho học sinh qua giải bài tập Đại số ở THPT

ĐỀ TÀI
Rèn luyện tư duy cho học sinh qua giải bài
tập Đại số ở THPT
A. PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Việc đổi mới phương pháp dạy và học môn Toán ở bậc học phổ thông là việc cấp
thiết. Tuy vậy, công cuộc đổi mới phương pháp dạy và học vẫn đang trong giai đoạn
đầu nên chưa có sự thay đổi nhiều. Do đó, đòi hỏi người giáo viên cần nghiên cứu
sâu sắc hơn.
Với cách dạy và học theo lối truyền thống, lối tư duy thụ động đã ăn sâu khá
nhiều vào các thế hệ học sinh và ngay cả bản thân giáo viên. Rất nhiều học sinh
còn bộc lộ những yếu kém, hạn chế về năng lực tư duy: nhìn các đối tượng toán học
một cách rời rạc, chưa thấy được mối liên hệ giữa các yếu tố toán học, không linh hoạt
trong điều chỉnh hướng suy nghĩ khi gặp trở ngại, quen với kiểu suy nghĩ rập khuôn,
áp dụng một cách máy móc những kinh nghiệm đã có vào hoàn cảnh mới, điều kiện
mới đã chứa đựng những yếu tố thay đổi; học sinh chưa có tính độc đáo khi tìm lời
giải bài toán. Từ đó dẫn đến một hệ quả là nhiều học sinh gặp khó khăn khi giải toán,
đặc biệt là các bài toán Đại số. Trong khi đó, Đại số lại là một môn học quan trọng
trong chương trình phổ thông, cung cấp cho học sinh nhiều kiến thức cũng như những
kỹ năng cần thiết. Do vậy, việc rèn luyện tư duy cho học sinh nói chung và rèn luyện
tư duy cho học sinh phổ thông qua giải bài tập Đại số nói riêng là một yêu cầu cấp
thiết để đáp ứng nhu cầu mới của thời đại.
Nhận thức được tầm quan trọng của các vấn đề nêu trên, tôi đã chọn “Rèn
luyện tư duy cho học sinh qua giải bài tập Đại số ở THPT” làm đề tài khóa luận của
mình.
2. Lịch sử nghiên cứu
Qua tìm hiểu, tôi thấy có rất nhiều tài liệu nghiên cứu về việc rèn tư duy sáng
tạo cho học sinh trong dạy học các bộ môn, rồi các công trình khoa học nghiên cứu
1
về giảng dạy đại số ở trường trung học phổ thông nhưng không có công trình nào
nghiên cứu rèn luyện tư duy cho học sinh phổ thông thông qua giải bài tập Đại số.

3. Mục tiêu nghiên cứu
Nghiên cứu những vấn đề cơ bản của tư duy và vấn đề rèn luyện giải toán để
từ đó đề xuất những biện pháp cần thiết nhằm rèn luyện năng lực tư duy cho học sinh
trung học phổ thông qua giải bài tập Đại số, góp phần nâng cao chất lượng đào tạo của
nhà trường.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Để đạt được mục đích trên, khóa luận có nhiệm vụ làm rõ một số vấn đề sau:
- Làm sáng tỏ một số vấn đề cơ bản của tư duy.
- Làm sáng tỏ một số quan niệm về vấn đề rèn luyện giải toán.
- Đề xuất các biện pháp cần thiết để rèn luyện tư duy cho học sinh phổ thông qua
giải bài tập toán Đại số.
5. Phương pháp nghiên cứu
Trong khóa luận, tôi đã sử dụng chủ yếu hai phương pháp nghiên cứu sau:
+ Phương pháp nghiên cứu lí luận.
Nghiên cứu lí luận dựa vào những tài liệu có sẵn, những văn kiện của Đảng và
Nhà nước về các vấn đề liên quan đến giáo dục như: thực trạng giáo dục, chương trình
đổi mới sách giáo khoa, cách thức vận dụng và đổi mới các phương pháp dạy học hiện
nay,…
Nghiên cứu các tài liệu có sẵn liên quan đến những thành tựu của nhân loại trên
các lĩnh vực khác nhau: Giáo dục học, Tâm lí học, Toán học,…
Nghiên cứu nội dung sách giáo khoa môn toán ở trường trung học phổ thông và
các tài liệu tham khảo có liên quan.
+ Phương pháp nghiên cứu thực tiễn.
- Dự giờ, trao đổi kinh nghiệm giảng dạy với các thầy cô giáo trong trường trung
học phổ thông.
- Tham khảo ý kiến của các giáo viên có nhiều kinh nghiệm trong giảng dạy toán
ở bậc trung học phổ thông.
- Tiếp thu và nghiên cứu ý kiến của giảng viên hướng dẫn, các thầy cô trong
Khoa.
6. Phạm vi nghiên cứu

- Phạm vi thời gian: từ 10/2013 đến 5/2014.
- Phạm vi về nội dung: một số phương pháp rèn tư duy cho học sinh.
7. Giả thuyết khoa học
Nếu thường xuyên quan tâm, chú ý và coi trọng đúng mức: “Rèn luyện tư duy
2
cho học sinh qua giải bài tập Đại số ở THPT” thì sẽ góp phần nâng cao chất lượng
dạy và học Toán, theo yêu cầu của bộ môn.
8. Đóng góp của khóa luận
- Về lí luận: Góp phần làm sáng tỏ nội dung “Rèn luyện tư duy cho học sinh qua
giải bài tập Đại số ở THPT”.
- Về thực tiễn:
+ Xây dựng một số biện pháp “Rèn luyện tư duy cho học sinh qua giải bài tập
Đại số ở THPT”.
Với hai đóng góp nhỏ trên, hy vọng khóa luận có thể là tài liệu tham khảo cho
những bạn muốn rèn luyện tư duy và giải tốt bài tập Đại số ở bậc phổ thông.
9. Cấu trúc của khóa luận
Ngoài phần mở đầu và kết luận, khóa luận được trình bày trong 3 chương:
Chương 1: Cơ sở lí luận và cơ sở thực tiễn.
Chương 2: Rèn luyện tư duy cho học sinh phổ thông qua việc giải các bài tập Đại
số.
Chương 3: Một số bài toán minh họa tổng hợp.
3
B. PHẦN NỘI DUNG
Chương 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỄN
1. CƠ SỞ LÍ LUẬN
1.1. Một số vấn đề cơ bản về tư duy
1.1.1. Khái niệm
Tư duy là gì? Đây là một vấn đề thu hút sự quan tâm của nhiều ngành khoa học
và nhiều nhà khoa học nghiên cứu. Triết học nghiên cứu tư duy dưới góc độ lý luận

nhận thức. Logic học nghiên cứu tư duy ở các quy tắc tư duy đúng. Xã hội học
nghiên cứu tư duy ở sự phát triển của quá trình nhận thức trong các chế độ xã hội
khác nhau. Sinh lý học nghiên cứu cơ chế hoạt động thần kinh cao cấp với tư cách là
nền tảng vật chất của các quá trình tư duy ở con người. Điều khiển học nghiên cứu tư
duy để có thể tạo ra “Trí tuệ nhân tạo”. Tâm lý học nghiên cứu diễn biến của quá
trình tư duy, mối quan hệ qua lại cụ thể của tư duy với các khía cạnh khác của nhận
thức. Ngày nay, người ta còn nói tới tư duy của người máy.
Theo Spieecskin lại cho rằng: “Tư duy của con người, phản ánh hiện thực, về
bản chất là quá trình truyền đạt gồm hai tính chất: Một mặt, con người hướng về
vật chất, phản ánh những nét đặc trưng và những mối liên hệ của vật ấy với vật khác,
và mặt khác con người hướng về xã hội để truyền đạt những kết quả của tư duy của
mình”.
Từ cách tiếp cận mô hình xử lý thông tin, tác giả Đặng Phương Kiệt quan niệm:
“Tư duy là một quá trình tâm trí phức tạp, tạo ra một biểu tượng mới bằng cách làm
biến đổi thông tin có sẵn”.
Dựa trên cơ sở những mối liên hệ, quan hệ vốn có của các sự vật, hiện tượng
trong thế giới khách quan và lý thuyết phản ánh, tác giả Mai Hữu Khuê cho rằng:
“Tư duy là quá trình tâm lý phản ánh những mối liên hệ và quan hệ giữa các đối
4
tượng hay các hiện tượng của hiện thực khách quan”.
Với việc xem tư duy như là quá trình phân tích, tổng hợp… Nguyễn Đình
Trãi cho rằng: “Tư duy là quá trình phân tích, tổng hợp, khái quát những tài liệu đã
thu được qua nhận thức cảm tính, nhận thức kinh nghiệm để rút ra cái chung, cái bản
chất của sự vật”.
Với tư cách là quá trình nhận thức, tập thể tác giả: Trần Minh Đức, Nguyễn
Quang Uẩn, Ngô Công Hoàn, Hoàng Mộc Loan, coi “Tư duy là một quá trình nhận
thức, phản ánh những thuộc tính của bản chất, những mối liên hệ và quan hệ có tính
quy luật của sự vật hiện tượng mà trước đó ta chưa biết”.
Theo tâm lý học: “Tư duy là một quá trình tâm lý phản ánh những thuộc tính
bản chất, những mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật, hiện

tượng trong hiện thực khách quan mà trước đó ta chưa biết.”
Từ điển tiếng Việt (Hoàng Phê (chủ biên), nhà xuất bản Khoa học Xã hội, Hà
Nội, 1998) nêu rõ: “Tư duy là giai đoạn cao của quá trình nhận thức, đi sâu vào bản
chất và phát hiện ra tính quy luật của sự vật bằng những hình thức như biểu
tượng, khái niệm, phán đoán và suy lý”.
Trong tâm lý học, một trong những nghiên cứu tương đối đầy đủ nhất về tư duy
đã được trình bày trong các công trình của X. L. Rubinstein. Theo Rubinstein: “Tư
duy – đó là sự khôi phục trong ý nghĩ của chủ thể về khách thể với mức độ đầy đủ
hơn, toàn diện hơn so với các tư liệu cảm tính xuất hiện do tác động của khách thể”
(dẫn theo Đavưđov).
Trong cuốn “Rèn luyện tư duy trong dạy học toán”, PGS.TS Trần Thúc Trình
có định nghĩa: “Tư duy là một quá trình nhận thức, phản ánh những thuộc tính bản
chất, những mối quan hệ có tính quy luật của sự vật và hiện tượng mà trước đó chủ
thể chưa biết”.
Phân tích một số quan niệm về tư duy như trên để có thể hiểu sâu thêm định
nghĩa của tư duy: “Tư duy là quá trình tâm lý phản ánh hiện thực khách quan một
cách gián tiếp là khái quát, là sự phản ánh những thuộc tính chung và bản chất, tìm
ra những mối liên hệ, quan hệ có tính quy luật của sự vật, hiện tượng mà ta chưa
từng biết.”
1.1.2. Đặc điểm cơ bản của tư duy
1.1.2.1. Tính có vấn đề
5
Khi gặp những tình huống mà vấn đề hiểu biết cũ, phương pháp hành động đã
biết của chúng ta không đủ giải quyết, lúc đó chúng ta rơi vào “tình huống có vấn
đề”, và chúng ta phải cố vượt ra khỏi phạm vi những hiểu biết cũ để đi tới cái mới,
hay nói cách khác chúng ta phải tư duy.
1.1.2.2. Tính khái quát
Tư duy có khả năng phản ánh những thuộc tính chung, những mối quan hệ, liên
hệ có tính quy luật của hàng loạt sự vật hiện tượng. Do đó, tư duy mang tính khái quát.
1.1.2.3. Tính độc lập tương đối

Trong quá trình sống con người luôn giao tiếp với nhau, do đó tư duy của
từng người vừa tự biến đổi qua quá trình hoạt động của bản thân vừa chịu sự tác
động biến đổi từ tư duy của đồng loại thông qua những hoạt động có tính vật chất. Do
đó, tư duy không chỉ gắn với bộ não của từng cá thể người mà còn gắn với sự tiến
hóa của xã hội, trở thành một sản phẩm có tính xã hội trong khi vẫn duy trì được tính
cá thể của một con người nhất định. Mặc dù được tạo thành từ kết quả hoạt động thực
tiễn nhưng tư duy có tính độc lập tương đối. Sau khi xuất hiện, sự phát triển của tư
duy còn chịu ảnh hưởng của toàn bộ tri thức mà nhân loại đã tích lũy được trước đó.
Tư duy cũng chịu ảnh hưởng, tác động của các lý thuyết, quan điểm tồn tại cùng thời
với nó. Mặt khác, tư duy cũng có logic phát triển nội tại riêng của nó, đó là sự phản
ánh đặc thù logic khách quan theo cách hiểu riêng gắn với mỗi con người. Đó chính là
tính độc lập tương đối của tư duy.
1.1.2.4. Mối quan hệ giữa tư duy và ngôn ngữ
Nhu cầu giao tiếp của con người là điều kiện cần để phát sinh ngôn ngữ. Kết quả
tư duy được ghi lại bằng ngôn ngữ. Ngay từ khi xuất hiện, tư duy đã gắn liền với
ngôn ngữ và được thực hiện thông qua ngôn ngữ. Vì vậy, ngôn ngữ chính là cái vỏ
hình thức của tư duy. Ở thời kỳ sơ khai, tư duy đuợc hình thành thông qua hoạt động
vật chất của con người và từng bước được ghi lại bằng các ký hiệu từ đơn giản đến
phức tạp, từ đơn lẻ đến tập hợp, từ cụ thể đến trừu tượng. Hệ thống các ký hiệu đó
thông qua quá trình xã hội hóa và trở thành ngôn ngữ. Sự ra đời của ngôn ngữ đánh
dấu bước phát triển nhảy vọt của tư duy và tư duy cũng bắt đầu phụ thuộc vào ngôn
ngữ. Ngôn ngữ với tư cách là hệ thống tín hiệu thứ hai trở thành công cụ giao tiếp
chủ yếu giữa con người với con người, phát triển cùng với nhu cầu của nền sản xuất
xã hội cũng như sự xã hội hóa lao động.
6
1.1.2.5. Mối quan hệ giữa tư duy và nhận thức
Tư duy là kết quả của nhận thức đồng thời là sự phát triển cấp cao của nhận
thức. Xuất phát điểm của nhận thức là những cảm giác, tri giác và biểu tượng được
phản ánh từ thực tiễn khách quan với những thông tin về hình dạng, hiện tượng bên
ngoài được phản ánh một cách riêng lẻ. Giai đoạn này được gọi là tư duy cụ thể. Ở

giai đoạn sau, với sự hỗ trợ của ngôn ngữ, hoạt động tư duy tiến hành các thao tác
so sánh, đối chiếu, phân tích, tổng hợp, khu biệt, quy nạp những thông tin đơn lẻ, gắn
chúng vào mối liên hệ phổ biến, lọc bỏ những cái ngẫu nhiên, không căn bản của sự
việc để tìm ra nội dung và bản chất của sự vật, hiện tượng, quy nạp nó thành những
khái niệm, phạm trù, định luật Giai đoạn này được gọi là giai đoạn tư duy trừu
tượng.
1.1.3. Phân loại tư duy
Cho đến nay, vẫn chưa có sự thống nhất khi phân loại tư duy. Tuy nhiên, có hai
cách phân loại tư duy phổ biến nhất, đó là:
1.1.3.1. Phân loại tư duy theo đối tượng (của tư duy): Với cách phân loại này, ta có
các loại tư duy sau:
- Tư duy kinh tế.
- Tư duy chính trị.
- Tư duy văn học.
- Tư duy toán học.
- Tư duy nghệ thuật, …
1.1.3.2. Phân loại tư duy theo đặc trưng của tư duy: Với cách phân loại này, ta có
các loại tư duy sau:
- Tư duy cụ thể.
- Tư duy trừu tượng.
- Tư duy logic.
- Tư duy biện chứng.
- Tư duy sáng tạo.
- Tư duy phê phán, …
1.1.4. Quá trình tư duy
Tư duy là một hoạt động trí tuệ với quá trình gồm 4 bước cơ bản:
7
Bước 1: Xác định được vấn đề, biểu đạt nó thành nhiệm vụ tư duy. Nói cách
khác là tìm được câu hỏi cần giải đáp.
Bước 2: Huy động tri thức, vốn kinh nghiệm, liên tưởng, hình thành giả thuyết và

cách giải quyết vấn đề, cách trả lời câu hỏi.
Bước 3: Xác minh giả thuyết trong thực tiễn, nếu giả thuyết đúng thì qua bước
sau, nếu sai thì phủ định nó và hình thành giả thuyết mới.
Bước 4: Quyết định đánh giá kết quả, đưa ra sử dụng.
Sau đây là sơ đồ của K. K. Platônôp:
Quá trình tư duy được diễn ra bằng cách chủ thể tiến hành các thao tác trí tuệ.
Các thao tác trí tuệ cơ bản là:
- Phân tích, tổng hợp.
- So sánh.
- Trừu tượng hóa và khái quát hóa.
- Cụ thể hóa, đặc biệt hóa.
- Tưởng tượng.
- Suy luận.
- Chứng minh.
1.1.5. Một số nguyên tắc tư duy
1.1.5.1. Tập trung suy nghĩ vào mục đích
Tập trung suy nghĩ về một vấn đề cần xác định mục đích của vấn đề và tập trung
suy nghĩ vào mục đích ấy. Muốn chứng minh một định lý phải tập trung suy nghĩ vào
8
Nhận thức vấn đề
Xuất hiện các liên tưởng
Sàng lọc liên tưởng và hình thành giả thuyết
Kiểm tra giả thuyết
Khẳng định
Chính xác hóa
Phủ định
Tìm giả thuyết mới
Giải quyết vấn đề Hoạt động tư duy mới
Câu hỏi
Giả thuyết

Xác minh
Quyết định
kết luận của định lý ấy. Từ đó dùng những thao tác tư duy để vạch ra một đường đi tời
kết luận hay vạch ra một chương trình thực hiện để chứng minh được định lý. Khi giải
một bài toán cần tập trung suy nghĩ vào yêu cầu của bài toán, rồi huy động kiến thức,
vận dụng các giả thiết đã cho trong bài toán để giải được bài toán.
1.1.5.2. Đặt câu hỏi và tìm cách trả lời câu hỏi
Khi cần tìm hiểu một vấn đề hoặc giải một bài toán ta nên đặt ra những câu hỏi
liên tiếp và suy nghĩ tìm câu trả lời cho chúng. Chẳng hạn: Mục đích của vấn đề là gì?
Yêu cầu của bài toán là gì? Để đạt được mục đích, yêu cầu ấy cần có hoặc cần biết
những gì? Những điều cần có và cần biết ấy đã có chưa hay hay có thể suy ra từ đâu?
Đặt câu hỏi và tìm cách trả lời câu hỏi là một nguyên tắc của tư duy nhưng cũng
là một phương pháp rèn luyện và phát triển tư duy.
Quá trình tư duy để tìm hiểu một vấn đề hoặc để giải một bài toán được thể hiện
ở những câu hỏi đặt ra liên tiếp và ở việc huy động kiến thức và kinh nghiệm để trả lời
những câu hỏi ấy.
1.1.5.3. Đánh giá khả năng của phương án giải quyết
Để giải quyết một vấn đề đặt ra (có thể là một bài toán, một định lý cần chứng
minh hay một điều dự đoán cần được khẳng định) ta có thể có nhiều phương án. Cần
suy xét thấu đáo để đánh giá được phương án nào có nhiều khả năng, phương án nào
sát với đích hơn. Muốn làm được điều đó cần có kiến thức vững vàng, cần có kinh
nghiệm qua rèn luyện nhiều và thường xuyên, và cần có kỹ năng vận dung các thao tác
tư duy.
1.1.5.4. Phải biết thăm dò
Đối với những bài toán tổng quát phải biết cách thử những trường hợp riêng, từ
đó hi vọng rút ra được điều gì đó chung. Đối với vấn đề có thể đề ra nhiều phương án
giải quyết nếu chưa khẳng định được phương án nào có nhiều triển vọng thì cần biết
cách thăm dò để phát hiện được những khả năng hiện thực hoặc những trở ngại không
thể vượt qua. Trong những trường hợp vấn đề có liên quan đến nhiều kiến thức phải
biết thăm dò vùng kiến thức gần nhất với mục đích của vấn đề, phải thử vận dụng kiến

thức này hay kiến thức khác. Đối với những bài toán hay định lí có nhiều giả thiết cần
thử để có thể sử dụng giả thiết nào trước, giả thiết nào sau.
1.1.5.5. Phải biết nghi ngờ
9
Khi các phương án đề ra chưa thể hiện triển vọng rõ ràng hoặc đã suy nghĩ nhiều
mà chưa có phương án thì có thể nghi ngờ, lật ngược vấn đề và suy nghĩ về bài toán lật
ngược ấy. Rất có thể ta sẽ phát hiện được điều vô lí của bài toán lật ngược và nhiều khi
nhờ phương án giải quyết bài toán đã đặt ra.
1.1.5.6. Phải kiên trì nhưng mềm dẻo
Khi đã có một phương án giải quyết mà ta cho là hợp lí thì cần kiên trì theo đuổi
và mỗi khi gặp trở ngại ngăn cẳn bước tiến ta cần suy nghĩ để tìm ra thiếu sót, nhược
điểm để hoàn thiện dần phương án ấy.
Ở trường hợp phương án gặp trở ngại mà vô phương khắc phục ta cũng cần mềm
dẻo, có thể tạm bỏ qua phương án ấy hoặc gạt bỏ hoàn toàn để tìm một phương án
khác; thậm chí có thể tạm gác lại bài toán ấy trong một thời gian để tránh đường mòn
của tư duy cũ.
1.1.5.7. Những quy tắc ưu tiên khi tư duy về một vấn đề
Pôlya đã kết thành những quy tắc ưu tiên khi tư duy về một vấn đề như sau:
• Cái dễ đi trước cái khó. Khâu nào dễ của vấn đề ta giải quyết trước; kiến thức
nào dễ vận dụng ta dùng trước. Rất có thể từ chỗ giải quyết xong những khâu dễ ta lại
có được những gợi ý để giải quyết những khâu khó hơn.
• Cái quen biết đi trước cái xa lạ.
• Cái toàn bộ đi trước đi trước cái bộ phận. Khi nghiên cứu cách giải quyết một
vấn đề ta cần nghiên cứu nó một cách tổng thể trước, không để những chi tiết làm ta
phân tán sự tập trung vào mục đích của vấn đề. Sau khi đã thấu hiểu vấn đề, ta sẽ suy
nghĩ về các chi tiết để sắp đặt một trình tự nghiên cứu chúng, tìm hiểu vai trò của mỗi
chi tiết đối với mỗi vấn đề đặt ra.
Người giáo viên phải luôn luôn quan tâm rèn luyện cho học sinh có thói quen tư
duy theo những nguyên tắc và những quy tắc nêu trên. Đó là một quá trình rèn luyện
khổ tâm, khổ não. Giáo viên cần có phương pháp dạy phù hợp sao cho học sinh biết tư

duy, say sưa suy nghĩ về những bài toán hay đến mức không dứt được chúng ra khi mà
chưa tìm được lời giải. Nên có những bài tập khó và hay để học sinh suy nghĩ trong
một thời gian dài (có thể vài tuần hoặc một tháng) mà không cần chữa ngay.
1.2. Quan niệm về vấn đề rèn luyện giải toán
Việc rèn giải toán bao gồm hai nội dung chủ yếu:
- Rèn luyện việc tìm lời giải các bài toán.
- Rèn luyện việc giải bài toán.
10
Có thể mô tả công việc trên thành hai công đoạn theo mô hình:
Trong quá trình rèn luyện, hai nội dung trên có khi tiến hành đồng thời nhưng
cũng có khi tách thành hai quá trình riêng biệt. Tuy vậy, về mặt nhận thức cần phân
biệt hai nội dung trên hoàn toàn khác nhau, độc lập với nhau (tuy có quan hệ hỗ trợ lẫn
nhau). Mỗi nội dung đảm bảo một yêu cầu riêng biệt trong công việc rèn luyện giải
toán.
Người giải toán cần nhận thức rõ ý nghĩa và tác dụng của mỗi nội dung và mối
quan hệ giữa hai nội dung đó.
Ta hãy nói đến vấn đề giải bài toán khi đã có đường lối giải. Vấn đề này tất nhiên
là quan trọng trong việc rèn luyện giải toán. Người giải toán cần thấy rõ từ chỗ tìm
được phương hướng giải bài toán đến việc giải hoàn chỉnh bài toán bao gồm nhiều
khâu: từ việc nắm vững các kiến thức cơ bản về nội dung, lí thuyết và các phương
pháp thực hành đến việc luyện tập thành thạo quá trình và các thao tác có tính chất kĩ
thuật. Điều này đòi hỏi tính nghiêm túc, kiên nhẫn và một phương pháp làm việc khoa
học của người giải toán.
Mặt khác, như đã biết kết quả của mỗi bài toán trước hết phải biểu hiện ở lời giải
đúng và đầy đủ.
Lại có những bài toán mà việc tìm đường lối giải không khó, đôi khi đã khá rõ
ràng mà cái khó chủ yếu thuộc về kĩ thuật giải, do vậy cũng đòi hỏi ở người giải toán
không ít sự sáng tạo.
Quá trình phân tích này chứng tỏ tính chất quan trọng của việc rèn luyện giải bài
toán (khi đã có đường lối). Nhưng dù sao vẫn phải xem việc rèn luyện khả năng tìm

lời giải các bài toán là khâu có tính chất quyết định trong toàn bộ công việc rèn luyện
giải toán vì các lẽ sau:
- Dù có kỹ thuật cao, thành thạo trong việc thực hiện các thao tác và các phép
tính nhưng khi chưa có phương hướng hoặc chưa có phương hướng tốt thì chưa thể có
lời giải hoặc lời giải tốt.
11
Rèn luyện giải toán
Rèn luyện khả năng tìm
lời giải
Rèn luyện khả năng giải
bài toán
- Mặt khác phải xem lao động trong khâu thực hiện các thao tác khi đã có phương
hướng là lao động có tính chất kỹ thuật, không thể có những sáng tạo lớn như lao động
để tìm phương hướng.
- Ngoài ra, coi trọng khâu rèn luyện phương pháp tìm lời giải các bài toán chính
là cơ sở quan trọng cho việc rèn luyện khả năng làm việc độc lập sáng tạo – một khả
năng không thể thiếu được đối với người giải toán.
Những điều nêu ra ở trên (dù sơ bộ) cũng đủ chứng tỏ tính chất quyết định của
khâu: rèn luyện phương pháp tìm lời giải các bài toán trong toàn bộ quá trình rèn luyện
giải toán và khả năng tu duy cho người giải toán.
1.3. Quy trình giải một bài toán
Để giải một bài toán ta thông thường thực hiện theo các bước sau:
1.3.1. Tìm hiểu bài toán (hay phân tích bài toán)
Cần nghiên cứu kĩ lưỡng các dữ kiện đã cho và mục đích cần đạt được của bài
toán. Phải hiểu thấu bài toán.
1.3.2. Xây dựng chương trình giải
Khi xây dựng được chương trình giải ta thường xuất phát từ mục đích A cần đạt
được của bài toán và nghĩ đến một điều kiện B gần nhất cần có để đạt được mục đích.
Điều kiện này có thể là một định lí, một khái niệm hoặc một bài toán quen biết. Tiếp
tục, muốn có điều kiện B ta lại cần có điều kiện C nào đó,… Cứ như thế, ta suy ra

rằng điều kiện cần thiết đầu tiên chính là giả thiết của bài toán.
Muốn xây dựng được một chương trình giải tốt thì cần:
- Hiểu kĩ bài toán.
- Liên hệ bài toán với những bài toán đã biết.
- Phân tích bài toán thành những bài toán đơn giản hơn và có triển vọng giải được.
- Thử một vài trường hợp cụ thể để đánh giá khả năng thực hiện.
1.3.3. Thực hiện chương trình giải
Việc thực hiện chương trình giải không phải chỉ nhằm mục đích trình bày một
chuỗi những suy luận logic và những phép tính để từ giả thiết suy ra kết luận của bài
toán mà còn phải biết trình bày lời giải một cách chính xác rõ ràng, sáng sủa; nghĩa là
phải thể hiện sự rèn luyện kĩ năng tính toán, lập luận và sự rèn luyện trau dồi ngôn
ngữ.
1.3.4. Nhìn lại lời giải
12
Khi giải xong một bài toán ta không nên tự hài lòng với công việc đã làm của
mình mà cần nhìn lại lời giải. Trong khi nhìn lại bài toán ta cần làm ba việc sau:
1) Kiểm tra lại sự chính xác của các phép toán, sự hợp logic của lập luận.
2) Tìm những ưu khuyết điểm của phương trình đã thực hiện. Từ đó sẽ hoàn thiện hơn
chương trình giải ấy hoặc đề xuất những phương pháp giải khác ưu việt hơn.
3) Bằng các phương pháp tương tự, đặc biệt hóa, khái quát hóa để có thể phát hiện
những bài toán mới.
Những việc làm trên giúp ta rèn luyện một tác phong làm việc nghiêm túc, khoa
học, và cũng từ đó ta rút ra được những kinh nghiệm về tư duy và kỹ năng giải toán.
2. CƠ SỞ THỰC TIỄN
2.1. Chức năng của bài tập Đại số
Bài tập Đại số có 4 chức năng cơ bản sau:
- Chức năng dạy học: Bài tập nhằm cũng cố cho học sinh những tri thức, kỹ
năng, kỹ xảo ở những giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học.
- Chức năng giáo dục: Bài tập nhằm hình thành cho học sinh thế giới quan duy
vật biện chứng, hứng thú học tập và niềm tin, phẩm chất đạo đức của con người lao

động mới.
- Chức năng phát triển: Bài tập nhằm rèn luyện và phát triển năng lực tư duy
sáng tạo cho học sinh, đặc biệt rèn luyện các thao tác trí tuệ, hình thành những
phẩm chất của tư duy khoa học.
- Chức năng kiểm tra: Bài tập nhằm đánh giá mức độ, kết quả dạy và học, đánh
giá khả năng độc lập học toán và trình độ phát triển của học sinh.
Với các chức năng trên, bài tập Đại số đóng một vai trò quan trọng trong quá
trình rèn luyện năng lực, các thao tác tư duy và trí tuệ cho học sinh, tạo cho học
sinh có cơ hội để rèn luyện và phát triển năng lực tư duy của mình.
2.2. Đánh giá chung về thực trạng
Trong thời gian thực tập sư phạm, thông qua những giờ dạy, giờ dự giờ và qua ý
kiến thăm dò, khảo sát một số giáo viên thì người viết nhận thấy thực trạng dạy và
học bài tập Đại số hiện nay của giáo viên và học sinh bên cạnh những thuận lợi
thì còn có những khó khăn và tồn tại: việc phát huy năng lực tư duy, tính tích cực,
chủ động của học sinh chưa thực sự đạt hiệu quả, mặc dù các giáo viên đã nỗ lực điều
hành, định hướng và tổ chức quá trình lĩnh hội tri thức của học sinh bằng những
13
phương pháp dạy học tích cực tuy nhiên chất lượng dạy học vẫn còn khiêm tốn.
Điều đó do nhiều nguyên nhân, cả khách quan và chủ quan:
+ Thứ nhất, hệ quả này xuất phát từ sự rơi rớt lại của phương pháp dạy học cũ,
nặng về truyền thụ một chiều của người dạy, lấy người dạy làm trung tâm, một số
giáo viên còn chậm đổi mới.
+ Thứ hai, hệ thống học tập bài tập Đại số đưa ra trong những giờ dạy còn
chưa thật phong phú, đa dạng về nội dung, đơn giản về hình thức.
+ Thứ ba, việc thực hành làm bài tập tại lớp của học sinh còn mang tính hình
thức, đối phó.
+ Thứ tư, việc ra những bài toán có khả năng sáng tạo chưa được quan tâm
nhiều nên chưa kích thích được người học, chưa phù hợp với từng đối tượng học sinh.
+ Thứ năm, năng lực làm bài tập Đại số của các em học sinh còn hạn chế, tâm lí
coi nhẹ việc thực hành, do đó khi đứng trước một bài toán gây nên sự chán nản, nặng

nề.
+ Thứ sáu, do việc rèn luyện và phát triển năng lực tư duy cho học sinh chưa
được quan tâm đúng mức, trong giờ học học sinh không thực sự chủ động tích cực
tiếp nhận và vận dụng tri thức đã học trong thực tế học tập.
Thực tiễn trên đã đặt ra yêu cầu cấp thiết là chúng ta phải chú trọng phát huy
năng lực tư duy, tính tích cực, chủ động của học sinh trong giờ thực hành làm bài tập
Đại số. Có như thế học sinh mới trở thành những chủ thể tích cực trong học tập cũng
như trong đời sống xã hội, phát triển toàn diện và đóng góp sức mình cho đất nước.
Kết luận chương 1: Khóa luận đã tổng quan những vấn đề cơ bản của tư duy,
vấn đề rèn luyện giải toán và những cơ sở thực tiễn để từ đó đề xuất những biện pháp
cần thiết nhằm rèn luyện năng lực tư duy cho học sinh bậc trung học phổ thông qua
giải bài tập Đại số trong chương tiếp theo.
14
Chương 2
RÈN LUYỆN TƯ DUY CHO HỌC SINH PHỔ THÔNG
QUA VIỆC GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ
1. Rèn luyện khả năng phân tích bài toán
Đây là việc xem xét, nghiên cứu bài toán đã cho mà vấn đề quan trọng là cách
nhìn bài toán. Phải biết cách nhìn bài toán dưới dạng chính quy mẫu mực. Đây là cách
nhìn trực tiếp vào đặc điểm chủ yếu của bài toán. Cách nhìn này giúp ta phát hiện
được các đặc điểm cơ bản, đơn giản nếu không bị che khuất bởi những hình thức rắc
rối. Tuy vậy, lại phải biết nhìn bài toán dưới dạng đặc thù, riêng lẻ. Phải có con mắt
tinh tường và cũng phải luyện tập nhiều, người giải toán mới biết cách khai thác hết
mọi khía cạnh biểu hiện tinh vi của bài toán, mới “gọi” được những điều muốn nói của
các con số, của các kí hiệu, các điều kiện chứa đựng trong bài toán.
Phải biết nhìn bài toán trong bối cảnh chung nhưng lại phải biết nhìn bài toán
trong từng hoàn cảnh cụ thể; lại phải nhìn bài toán trong mối tương quan với các loại
bài toán khác.
Phải biết cách liên tưởng giữa các phạm vi khác nhau trong khi nhìn bài toán. Là
bài toán đại số nhưng lại phải liên tưởng đến chẳng hạn phạm vi lượng giác, hình học

và ngược lại.
Nói chung lại, trong việc rèn luyện cách nhìn một bài toán, phải có những cái
nhìn và cách nhìn đúng. Đây là chìa khóa mở đường cho việc tìm kiếm các đường lối
giải.
Ví dụ 1.1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
2 5u y x
= − +
Biết rằng x và y thỏa mãn phương trình:
2 2
36 16 9x y+ =
(1)
Nhận xét và hướng dẫn giải
Lời giải 1
Việc tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (
max
u
và
min
u
) thỏa điều kiện (1) được
quy về bài toán:
Tìm miền giá trị của hàm số u và khi đó bài toán được phát biểu dưới dạng sau:
Tìm mọi giá trị của u (xem như là tham số) để hệ phương trình:
15

2 2
2 5
36 16 9
y x u
x y

− + =


+ =

(I)
có nghiệm (x, y).
Bằng cách rút y theo x từ phương trình đầu rồi thế vào phương trình thứ hai của
hệ, ta thu được phương trình đối với x:

( ) ( )
2
2
100 64 5 16 5 9 0x u x u+ − + − − =
(I’)
Do việc tìm y theo x từ điều kiện (1) không đòi hỏi điều kiện đối với u, chính vì
vậy mà điều kiện có nghiệm x của phương trình (I’) cũng là điều kiện có nghiệm (x,y)
của hệ (I).
Đó là điều kiện
0
∆ ≥
(*)
Ta có (*)
( )
2
2
1024( 5) 100 16 5 9 0u u
 
⇔ − − − − ≥
 

( )
2
25
5
16
u
⇔ − ≤

15 25
.
4 4
u⇔ ≤ ≤
Từ bất đẳng thức thu được về miền giá trị của hàm số u, ta kết luận được rằng:
max min
25 15
,
4 4
u u
= =
Lời giải 2
Biến đổi điều kiện (1) về dạng:
2 2 2
(6 ) (4 ) 3x y+ =
Dạng mới của điều kiện đó gợi cho ta suy nghĩ: có thể lượng giác hóa bài toán
bằng cách đặt:
1
cos
6 3cos
2

4 3sin 3
sin
4
x
x
y
y
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ

=

=


⇒
 
=


=


Khi đó điều kiện (1) trở thành
( )
2 2
9 cos sin 9
ϕ ϕ

+ =
là một đồng nhất thức đúng với mọi
ϕ
. Hàm số u dưới dạng lượng giác có dạng:
3
sin cos 5
4
u
ϕ ϕ
= − +
Chỉ cần sử dụng bất đẳng thức:
16
2 2 2 2
sin cosa b a b a b
ϕ ϕ
− + ≤ + ≤ +
ta suy ra được:
max
9 25
5 1
16 4
u
= + + =


min
9 15
5 1
16 4
u

= − + =
Lời giải 3
Để dùng điều kiện
2 2 2
(6 ) (4 ) 3x y+ =
(1)
ta để ý đến bất đẳng thức:

( ) ( )
2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2
( )a b a b a a b b
+ ≤ + +
(2)
Khi đó phải biến đổi công thức của hàm số u sao cho vế trái của điều kiện (1)
đúng vai trò là một trong hai thừa số có trong vế phải của (2). Muốn vậy ta biến đổi u
về dạng:

1 1
5 4 . 6 .
4 3
u y x
 
= + −
 ÷
 
(3)
Áp dụng (2) ta thu được:
( )
2

2
2
1 1 1 1
4 . 6 . 4 ( 6 )
4 3 16 9
y x y x
   
 
− ≤ + − +
 ÷  ÷
 
   
tức là:
2
1 1 25 25
4 . 6 . 9.
4 3 16.9 16
y x
 
− ≤ =
 ÷
 
từ đó:
5 1 1 5
4 . 6 .
4 4 3 4
y x
− ≤ − ≤
và
5 5

5 5 2 5
4 4
y x
− ≤ + − ≤ +

và ta thu được:
max min
25 15
,
4 4
u u
= =
Lời giải 4
Khi viết lại hàm số u dưới dạng (3), ta có thể xem biểu thức:
1 1
4 . 6 .
4 3
y x
−
như tích vô hướng của hai vectơ
( )
1 1
4 , 6 , ,
4 3
a y x b
 
= − =
 ÷
 
r r

17
và lại để ý rằng
( )
2 2 2
. .a b a b
≤
urr r r
ta lại được:
( )
2
2
2
1 1 1 1 25
4 . 6 . 4 ( 6 )
4 3 16 9 16
y x y x
   
 
− ≤ + − + =
 ÷  ÷
 
   
và kết quả thu được giống như lời giải 3.
Lời giải 5
Từ điều kiện
2 2 2
(6 ) (4 ) 3x y+ =
(1)
ta có thể đặt
1

6
6
4
1
4
x X
x X
y Y
y Y

=

=


⇒
 
=


=



Điều kiện (1) có dạng
2 2 2
3X Y+ =
(1’)
là phương trình đường tròn trong hệ tọa độ vuông góc xOy có tâm là O và bán kính
bằng 3.

Còn hàm số
1
5
4 3
X
u Y= − +
có thể xem như là một phương trình hai ẩn X và Y và
viết lại dưới dạng:

( )
4
4 5
3
Y X u= + −
(4)
chính là phương trình của đường thẳng trong mặt phẳng. Đường thẳng này có phương
không đổi, luôn luôn song song với đường thẳng
0
4
3
Y X=
và cắt trục Oy tại điểm có
tung độ là
( )
4 5 .u −
Khi đó bài toán đã cho chuyển thành bài toán hình học sau:
Tìm điều kiện của u để đường thẳng có phương trình (4) cắt đường tròn có
phương trình (1’) rồi từ điều kiện thu được của u ta suy ra kết quả.
Từ hình 1 ta có:
- Đường thẳng Y chỉ cắt đường tròn (tức là bài toán có nghiệm) khi Y biến thiên trong

giải mặt phẳng từ Y
1
đến Y
2
.
- u
max
xác định được khi P trùng M, tức là:
( )
max
4 5m u= −
.
18
- u
min
được xác định khi P trùng với N, tức là: n = 4(u
min
– 5).
Dễ thấy rằng
n m= −
và từ sự bằng nhau của hai tam giác OAB và OHM ta được:
2 2
5m OM OB OA OB
= = = + =

Khi đó ta có kết quả bài toán từ các
phương trình
max
min
5 4( 5)

5 4( 5)
u
u
= −
− = −
⇒

max
min
25
4
15
4
u
u
=
=

Hình 1
CÁC NHẬN XÉT VỀ CÁC LỜI GIẢI:
Sự có mặt của 5 lời giải của cùng một bài toán (chắc chắn chưa phải tối đa) nhắc
nhở những người giải toán: hãy chưa nên thỏa mãn với lời giải của bài toán nào đó là
lời giải tốt nhất. Như vậy có nghĩa là nếu biết cách nhìn, cách phân tích bài toán dưới
mọi “góc”, “cạnh” có thể được thì sẽ thu được những lời giải khác nhau.
Lời giải 1 có tính chất mẫu mực, “sách vở” tuy hơi dài nhưng có ưu thế hơn các
lời giải khác đó là: có thể dùng lời giải đó để giải bài toán tổng quát của bài toán đã
cho. Đó là bài toán:
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
u ax by c
= + +

trong đó x và y thỏa mãn phương trình:

2 2
0mx nxy py qx ry s+ + + + + =
(1)
x, y là biến số, còn a, b, c, m, n, p, q, r và s là các hệ số.
Tuy vậy, lời giải 1 không hấp dẫn vì giải dài và thiếu sáng tạo.
Các lời giải từ số 2 đến lời giải 5 gọn và hay hơn. Có được các lời giải đó là do ta
đã khai thác được cái riêng nhiều vẻ của bài toán. Tất nhiên, bằng cách đó không thể
giải được bài toán dạng tổng quát đã nêu. Đó cũng là mặt yếu của các lời giải này.
Ví dụ 1.2. Giải bất phương trình:
19

(
)
( )
2
2 4 3 3 1 3 2x x x x x
+ + + < + + − −
(1)
Nhận xét và hướng dẫn giải
Với điều kiện
1x
≥ −
, bất phương trình tồn tại.
Nếu để nguyên dạng của (1) mà thực hiện các phép biến đổi tương đương thì bài
toán trở nên quá phức tạp. Nhưng nếu để ý đến nhóm
1 3x x+ + +
đã có ở vế phải

còn vế trái chỉ mới có
( ) ( )
1 3x x
+ +
ta có thể nghĩ đến việc tạo ra thừa số chung
( 1 3)x x
+ + +
cho cả hai vế.
Khi đó ta có biến đổi sau:
( )
( )
( )
( ) ( )
2
3
(1) 4 3 1 3 3
2
3
3 ( 1) 3 1 3
2
3
3 1 3 1 3
2
1 3 0
3
3
2
3
1
4

x x x x x
x x x x x
x x x x x
do x x
x
x
⇔ + + + < + + + −
⇔ + + + + < + + +
⇔ + + + + < + + +
+ + + >
⇔ + <
⇔ − ≤ < −
Ví dụ 1.3. Giải phương trình:
( ) ( ) ( )
4 4 4
3 2 5 2x x x− + − = −
(1)
Nhận xét và hướng dẫn giải
Để ý rằng, nếu không có cái riêng:
( ) ( )
3 2 5 2x x x− + − = −

thì phương trình đã cho chắc chắn là khó giải. Ở đây ta xem
3 , 2a x b x= − = −

thì phương trình thuộc dạng tổng quát
4 4 4
( ) .a b a b+ = +
(2)
Trước hết ta biến đổi phương trình tổng quát (2). Ta có:

( )
( )
4 4 4 4 2 2 2 2
2 2
(2) 4 6
2 2 3 0
a b a b ab a b a b
ab a b ab
⇔ + = + + + +
 
⇔ + + =
 

( )
2
2 2
0ab a b a b ab
 
⇔ + + + + =
 
20

( )
2
2
2
0
0
3
0

2 4
0
0 .
0
0
a
b
b
a b a b
a
b
a
b
 =



=


⇔

 

+ + + + =
 ÷

 




=


⇔ =

=




=


Với phương trình (1), do a và b không thể đồng thời bằng 0 vì thế:
3 0 3.
(1)
2 0 2.
x x
x x
− = =
 
⇔ ⇔
 
− = =
 

Ví dụ 1.4. Xác định bộ 3 số (x, y, z) thỏa mãn hệ phương trình sau:
2
2

2
2
2 .
2
x x y y
y y z z
z z x x

+ =

+ =


+ =


Nhận xét và hướng dẫn giải
Nhận xét ngay được rằng bộ ba số (0,0,0) là một nghiệm.
Ngoài ra cả ba số x, y, z đều khác
1
±
, vì nếu
1x
= ±
thì phương trình đầu của hệ
không thỏa mãn.
Khi
, , 1x y z ≠ ±
, hệ đã cho tương đương với hệ sau:
2

2
2
2
1
2
.
1
2
1
x
y
x
y
z
y
z
x
z

=

−


=

−


=


 −

Sự có mặt của các vế phải làm ta liên tưởng đến công thức lượng giác
2
2 tan
tan 2
1 tan
α
α
α
=
−
. Vì vậy nếu đặt:
tanx
α
=
với
4 2
k
π π
α
≠ +
thì ta thu được:
tan 2 ; tan 4 ; tan8y z x
α α α
= = =
.
Từ đó ta được:
tan8 tan

7
n
π
α α α
= ⇔ =
(n là số nguyên chọn sao cho
tan 1
α
≠ ±
).
Như vậy, nghiệm của hệ đã cho là:
21
tan( )
7
2
tan( ).
7
4
tan( )
7
x
y
z
π
π
π

=




=



=


(nghiệm (0,0,0) cũng thu được từ nghiệm này khi
0n =
).
Ví dụ 1.5. Tìm giới hạn của dãy
{ }
n
x
với
2 2 2
.
2
2 2
2 2 2 2
n
x =
+
+ + + +

mà trong thừa số cuối cùng chứa n căn thức.
Nhận xét và hướng dẫn giải
Để
{ }

n
x
dưới dạng đại số vô tỉ thì việc tìm giới hạn quả là khó khăn. Trong
trường hợp này, ta tìm cách hữu tỉ hóa dãy
{ }
n
x
mà ở đay ta có thể “hữu tỉ lượng giác
hóa” biểu thức của
n
x
vì nếu để ý ta phát hiện được:
2
2 1 1 1
2 2
cos cos
4 2
2
π π
= = =
3
2 2 2 1 1
.
2 2 2
cos cos
2. 1 cos
2. 1
8 2
4
2

π π
π
= = = =
+
+
+

Từ đó, ta có thể đoán nhận (và chứng minh lại bằng phép quy nạp toán học) ta
thu được:
1
1 1 1 1
. .
cos cos cos cos
4 8 16 2
n
n
x
π π π π
+
=
Đến đây công việc còn lại là tìm
lim
n
n
x
→∞
.
Bằng cách nhân và chia
n
x

với đại lượng:
1
sin
2
n
π
+
ta thu được:
1
1
sin
2
.
2
2
n
n
n
x
π
π
π
+
+
=
và
lim
2
n
n

x
π
→∞
=
(do

0
sin
lim 1
u
u
u
→
=
).
Như vậy ở bài toán này, bằng cách nhìn riêng mang tính lượng giác ta đã giải
quyết được bài toán.
22
Một mặt khác, cách nhìn bài toán còn mang ý nghĩa khám phá bài toán đó. Một
trong các nhiệm vụ của việc khám phá đó là lột bỏ hình thức “có tính chất ngụy trang”
của bài toán. Mạnh dạn lột bỏ cái vỏ bọc bề ngoài của một bài toán là một công việc
cần làm đối với người giải toán.
Ví dụ 1.6. Giải hệ phương trình:
( )
( )
2
2 2 2 2
3 3 3 3
3 4 27
.

93
x y z t x y z t
x y z t

+ + + = + + +


+ + + =



Nhận xét và hướng dẫn giải
Hệ đã cho chỉ có hai phương trình mà ẩn số còn lại là bốn. Để giải bài toán này,
số phương trình của hệ phải có ít nhất là bốn. Như vậy có nghĩa là ta phải “tìm kiếm
thêm” các phương trình của hệ vốn có để có đủ điều kiện để giải.
Để ý đến phương trình thứ nhất, bằng cách áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki
cho 8 số: 1, 3, 4, 1 và x, y, z, t ta thu được:
( )
( ) ( )
2
2 2 2 2 2 2 2 2
3 4 1 3 4 1x y z t x y z t+ + + ≤ + + + + + +

hay là:
( )
( )
2
2 2 2 2
3 4 27 .x y z t x y z t+ + + ≤ + + +
Đẳng thức xảy ra khi:

1 3 4 1
x y z t
= = =
(*)
Như vậy, phương trình đầu của hệ xảy ra khi và chỉ khi xảy ra hệ (*).
Nói cách khác, thực chất của hệ đã cho là:
3 3 3 3
1 3 4 1
93
x y z t
x y z t

= = =



+ + + =

là một hệ chuẩn, đủ bốn phương trình của bốn ẩn.
Chỉ cần đặt các tỉ số bằng nhau là k, ta thu được
, 4 , 3 .x t k z k t k= = = =
Thay vào
phương trình cuối ta thu được
1k =
.
Ví dụ 1.7. Các số a, b, c, d theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. Chứng minh
rằng nếu lấy số m sao cho:
2m ad bc≥ −
(1)
thì ta có với mọi x:

( ) ( ) ( ) ( )
2
0.x a x b x c x d m− − − − + ≥
(2)
Nhận xét và hướng dẫn giải
23
Từ giả thiết a, b, c, d theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng ta suy ra:
.a d b c k
+ = + =

Khi đó để sử dụng ta biến đổi vế trái của (2) về dạng:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
.f x x a x d x b x c m= − − − − +


( ) ( )
2 2 2
.x kx ad x kx bc m= − + − + +
Điều kiện chọn ẩn phụ xuất hiện, ta đặt
2
u x kx= −
và hàm
( )
f x
biến đổi được về
dạng:
( ) ( ) ( )
2
g u u ad u bc m= + + +

( )
2 2
.u ad bc u abcd m= + + + +

Bài toán đặt ra: chứng minh (2) đúng với mọi x.
Khi a, b, c, d là cấp số cộng và m thỏa mãn (1) được thay bởi bài toán:
Chứng minh
( )
0g u ≥
với mọi u trong điều kiện đã cho.
Theo định lý về dấu của tam thức bậc hai, thay vì giải bài toán đó ta giải bài toán
điều kiện đủ sau: Chứng minh trong các điều kiện đã cho thì
0∆ ≤
(*)
Ta có
( )
( )
2
2
4ad bc abcd m∆ = + − +

Để sử dụng được bất đẳng thức (1) ta biến đổi:
( )
2
2
4ad bc m∆ = − −

Khi đó từ

( ) ( )
2
2
1 4ad bc m⇒ − ≤

( )
2
2
4 0ad bc m⇒ − − ≤

0 :⇒ ∆ ≤
điều phải chứng minh.
2. Rèn luyện khả năng định hướng và xác định đường lối giải
2.1. Xác định đúng đắn thể loại bài toán.
Theo nội dung của phương pháp tìm lời giải, việc xác định đường lối giải một bài
toán trước hết và chủ yếu là phải xác định đúng đắn thể loại bài toán. Để làm tốt điều
này cần nghiên cứu kĩ bài toán đã cho mà chủ yếu là căn cứ vào yêu cầu mà bài toán
đó đòi hỏi để xác định đúng thể loại bài toán. Các đường lối giải của số lớn loại bài
toán đã được xác định trong nội dung những tri thức về loại bài toán đó mà người giải
phải biết và tất nhiên phải nhớ. Tuy vậy, cái khó khăn về mặt này thường gặp là mỗi
bài toán tuy nằm trong thể loại nào đó nhưng lại có vẻ riêng biệt của nó. Vì thế người
24
giải phải nắm vững các đường lối chung, lại phát hiện đúng cái riêng của mỗi bài toán
để chọn một đường lối thích hợp nhất (trong các đường lối có thể có để giải bài toán
đó).
2.2. Trong việc xác định đường lối giải của bài toán, lại phải chú ý đến khả năng sau:
Có những bài toán xét về mặt hình thức thì khác nhau nhưng có những đặc điểm
giống nhau và vì thế đường lối giải chúng lại hoàn toàn giống nhau. Ta nêu ra đây
các bài toán loại đó:
Ví dụ 2.2.1.

1) Cho phương trình:
2
0x kx a+ + =
(1)
với
0a
≠
đã cho và k là tham số. Hãy tìm mọi giá trị của k để cho biểu thức:
3 3
1 2
2 1
52.
x x
M
x x
   
= + ≤
 ÷  ÷
   
(2)
Trong đó
1 2
,x x
là các nghiệm của phương trình (1).
2) Cho phương trình bậc hai:
( ) ( ) ( )
2
3 3 1 0.m x m x m− + + − + =
(1)
Hãy tìm mọi giá trị của m để cho các nghiệm

1 2
,x x
của phương trình (1) thỏa mãn hệ
thức:
( )
2 2
1 2 1 2
4 25 1 0.x x x x+ − − =
(2)
3) Tìm mọi giá trị của tham số a để hiệu các nghiệm
1
x
và
2
x
của phương trình:
( )
2
2 1 3 0x a x a− + + + =
(1)
bằng 1.
4) Cho hàm số:
( ) ( )
3 2
1 1 3
sin osa sin 2 1.
3 2 4
y x a c x a x= − + + +
Gọi
1 2

,x x
là hoành độ các điểm cực trị của hàm y. Hãy tìm mọi a để cho hệ thức:
2 2
1 2 1 2
x x x x+ = +
(1)
được thỏa mãn.
Nhận xét và hướng dẫn giải
Hiển nhiên đó là các bài toán khác nhau. Tuy vậy nếu nghiên cứu kĩ, ta thấy các
bài toán đó có một đặc điểm cơ bản giống nhau, đó là các bài toán chứa các đại lượng
liên quan đến các nghiệm của một phương trình bậc hai. Đó là biểu thức M trong ví dụ
25