KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP TOÁN: RÈN LUYỆN KỸ NĂNG XÂY DỰNG CHƯƠNG TRÌNH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI CHO HỌC SINH LỚP 10

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

DOÃN HẢI YẾN

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG XÂY DỰNG CHƯƠNG TRÌNH
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ
TUYỆT ĐỐI CHO HỌC SINH LỚP 10

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Sơn La, năm 2013


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

DOÃN HẢI YẾN

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG XÂY DỰNG CHƯƠNG TRÌNH
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ
TUYỆT ĐỐI CHO HỌC SINH LỚP 10

Chun ngành: Phương pháp dạy học mơn Tốn

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn: TS. Vũ Quốc Khánh

Sơn La, năm 2013

LỜI CẢM ƠN
Trong q trình thực hiện khóa luận, em đã nhận được sự hướng dẫn tận tình
của Giảng viên Tiến sỹ Vũ Quốc Khánh, sự giúp đỡ và tạo điều kiện của Khoa
Toán - Lý - Tin, các thầy cô giáo cùng các em học sinh trường THPT Tô Hiệu.
Đồng thời, việc hồn thành khóa luận đã nhận được sự giúp đỡ và tạo điều
kiện thuận lợi về cơ sở vật chất, tài liệu, thời gian của phòng đào tạo, phòng
Quản lý khoa học và Quan hệ Quốc tế, thư viện và một số phòng ban trực thuộc
Trường Đại học Tây Bắc.
Nhân dịp này, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các Thầy cô và các
đơn vị phịng ban nói trên về sự ủng hộ và giúp đỡ quý báu đó.
Em xin chân thành cảm ơn!

Sơn La, tháng 5 năm 2013
Người thực hiện:
Sinh viên: Doãn Hải Yến


DANH MỤC TỪ VIẾT TẮT

HS

: Học sinh

HSXDCTGPTTTĐ : Học sinh xây dựng chương
trình giải phương trình trị tuyệt đối
PTTTĐ

: Phương trình trị tuyệt đối

TB

: Trung bình

XDCTG

: Xây dựng chương trình giải


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài .......................................................................................... 1
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu. .............................................................. 2
2.1. Mục đích nghiên cứu. ................................................................................ 2
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu. ................................................................................ 2
3. Đối tượng nghiên cứu. .................................................................................. 2
4. Phạm vi nghiên cứu. ..................................................................................... 2
5. Phương pháp nghiên cứu. ............................................................................ 2
6. Cấu trúc của khóa luận ................................................................................ 3
CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ....................................... 4
1.1. Một số khái niệm. ...................................................................................... 4
1.1.1. Bài tập toán. ............................................................................................ 4
1.1.1.1. Quan niệm về giải bài tập tốn ........................................................... 4
1.1.1.2. Vai trị của bài tập toán. ...................................................................... 4
1.1.1.3. Phương pháp giải bài tập toán. ........................................................... 5
1.1.2. Kỹ năng, đặc điểm của kỹ năng và kỹ năng giải bài tập toán. ........... 6
1.1.2.1. Các cấp độ của kỹ năng trong giải toán. ............................................ 6
1.1.2.2. Các giai đoạn hình thành kỹ năng giải bài tập toán cho học sinh. .... 7
1.1.2.3. Đặc điểm của kỹ năng.......................................................................... 8
1.1.2.4. Con đường hình thành kỹ năng xây dựng chương trình giải bài tập.

........................................................................................................................... 8
1.3. Một số yêu cầu về rèn luyện kỹ năng xây dựng chương trình giải
phương trình chứa dấu trị tuyệt đối. .............................................................. 9
1.4. Một số kỹ năng cơ bản trong việc xây dựng chương trình giải phương
trình chứa dấu trị tuyệt đối............................................................................ 10
1.4.1. Vận dụng định nghĩa để biến đổi nhằm xác định bước giải hoặc chi
tiết hóa chương trình giải trong từng bước giải............................................ 11
1.4.2. Kỹ năng sử dụng tính chất của trị tuyệt đối. ....................................... 11


1.4.3. Kỹ năng đánh giá phương trình chứa dấu trị tuyệt đối ..................... 11
1.4.4. Chuyển sang bài toán biện luận số nghiệm của phương trình ........... 11
1.4.5. Khái qt hóa một số kết quả vận dụng vào bài toán tổng quát hơn. 12
1.5. Những khó khăn sai lầm của học sinh lớp 10 khi xây dựng chương trình
giải phương trình chứa dấu trị tuyệt đối....................................................... 12
CHƯƠNG 2. RÈN LUYỆN KỸ NĂNG XÂY DỰNG CHƯƠNG TRÌNH
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU TRỊ TUYẾT ĐỐI CHO HỌC SINH
LỚP 10 ............................................................................................................ 15
2.1. Các kỹ năng xây dựng chương trình giải một số dạng phương trình
chứa dấu trị tuyệt đối cơ bản ......................................................................... 15
2.1.1. Kỹ năng xây dựng chương trình giải phương trình: |f(x)| = k ( k là
hằng số không âm) ......................................................................................... 15
2.1.2. Kỹ năng xây dựng chương trình giải phương trình: |f(x)|=|g(x)| ....... 16
2.1.3. Kỹ năng xây dựng chương trình giải phương trình f(|x|)=a ............... 18
2.1.4. Kỹ năng xây dựng chương trình giải phương trình |f(x)| = g(x) ........ 19
2.1.5. Kỹ năng xây dựng chương trình giải phương trình dạng f(|x|)=g(x) . 22
2.1.6. Kỹ năng xây dựng chương trình giải phương trình dạng:
k1 f1 ( x)  k2 f 2 ( x)  ...  kn f n ( x)  k (với k là hằng số không âm) ...................... 24
2.2. Một số biện pháp rèn luyện kỹ năng xây dựng chương trình giải
phương trình chứa dấu trị tuyệt đối: ............................................................ 26

2.2.1. Biện pháp 1: Rèn luyện kỹ năng sử dụng định nghĩa phá dấu trị tuyệt đối:
......................................................................................................................... 26
2.2.2. Biện pháp 2: Rèn luyện kỹ năng sử dụng các tính chất để xây dựng
chương trình giải: ........................................................................................... 28
2.2.3. Biện pháp 3: Rèn luyện kỹ năng sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để
xây dựng chương trình giải phương trình chứa dấu trị tuyệt đối ............... 30
2.2.4. Biện pháp 4: Rèn luyện kỹ năng sử dụng phương pháp đồ thị để xây
dựng chương trình giải phương trình chứa dấu trị tuyệt đối ...................... 32
2.2.5. Biện pháp 5: Rèn luyện kỹ năng sử dụng phương pháp đánh giá để
xây dựng chương trình giải phương trình chứa dấu trị tuyệt đối ............... 37


CHƯƠNG 3. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM .................................................. 39
3.1. Mục đích thực nghiệm ............................................................................. 39
3.2. Nội dung thực nghiệm ............................................................................. 39
3.3. Phương pháp thực nghiệm ...................................................................... 39
3.4. Tổ chức thực nghiệm ............................................................................... 39
3.5. Tiến trình thực nghiệm: .......................................................................... 39
3.6. Kết quả rút ra từ thực nghiệm ................................................................ 40
KẾT LUẬN CHUNG ..................................................................................... 42
TÀI LIỆU THAM KHẢO.............................................................................. 43


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài.
Kỹ năng xây dựng chương trình giải là một trong những kỹ năng cơ bản
trong hoạt động học và giải toán. Việc rèn luyện kỹ năng xây dựng chương trình
giải bài tập khơng những giúp học sinh nắm vững tri thức Toán học mà cịn củng
cố và nâng cao kỹ năng tư duy tốn học, kỹ năng nắm vững chuẩn tri thức lý
thuyết toán trừu tượng. Qua việc xây dựng chương trình giải bài tập học sinh

thành thạo thao tác kỹ thuật trong việc giải các bài toán cụ thể trên các con số
các đại lượng biến thiên, hình thành nâng cao khả năng thực hành, thực tiễn có
hiệu quả.
Để xây dựng chương trình giải bài tập cần nắm được: kiến thức liên quan
đến bài tập, kỹ năng cần sử dụng trong các bước giải. Người giải phải phân tích
được đầy đủ các yêu cầu của bài tốn. Dự tính được kí hiệu tốn học ngơn ngữ
cần sử dụng cho lời giải. Từ đó học sinh ghi nhớ sâu các công thức, quy tắc, tư
duy và suy luận logic trong từng bước giải…
Phương trình chứa dấu trị tuyệt đối là một trong những nội dung quan trọng
trong chương trình Tốn phổ thơng có liên quan mật thiết, trực tiếp đến các kiến
thức về phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai và đồ thị của các dạng
phương trình đó. Đồng thời nội dung mới của kiến thức đòi hỏi kỹ năng kết hợp,
phối hợp nhiều kiến thức về hệ phương trình, nghiệm của hệ phương trình cho
học sinh phổ thơng trong giải tốn. Việc dạy và học phương trình chứa dấu trị
tuyệt đối nói chung và việc giải phương trình chứa dấu trị tuyệt đối nói riêng có
ảnh hưởng trực tiếp đến kết quả học tập của học sinh lớp 10.
Bài tập về phương trình chứa dấu trị tuyệt đối rất đa dạng, phong phú. Để
giải được chúng trước tiên học sinh phải nắm được các cơng thức, các dạng
phương trình chứa dấu trị tuyệt đối cơ bản và biến đổi chúng một cách linh hoạt
đưa phương trình đã cho về các dạng hệ phương trình đã biết.
Xây dựng chương trình giải phương trình chứa dấu trị tuyệt đối vừa là mục
đích, vừa là phương tiện giúp học sinh nắm vững được các kiến thức cơ bản, rèn
luyện kỹ năng tư duy logic toán học, tính tốn mở, tốn học hóa các tình huống
thực tế… và rèn luyện các phẩm chất của tư duy: linh hoạt, độc lập, sáng tạo,
cẩn thận, chính xác… góp phần rèn luyện năng lực toán học cho học sinh lớp 10.
Phương trình chứa dấu trị tuyệt đối là một chủ đề khó và đặc biệt là học
sinh thường gặp khó khăn trong q trình phá dấu trị tuyệt đối, mà trước hết là

1

học sinh thường khơng hình dung ra các bước giải, cách xây dựng chương trình
giải một phương trình chứa dấu trị tuyệt đối như thế nào.
Xuất phát từ nhu cầu của bản thân đang là sinh viên năm cuối và tương lai
là giáo viên THPT. Việc nghiên cứu: “Rèn luyện kỹ năng xây dựng chương
trình giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối cho học sinh lớp 10” chính
là cơ hội để nghiên cứu học hỏi và cũng là một lần nghiên cứu làm chuyên đề
cho chính bản thân mình.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu.
2.1. Mục đích nghiên cứu.
Rèn luyện kỹ năng xây dựng chương trình giải phương trình chứa dấu trị
tuyệt đối cho học sinh lớp 10.
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu.
Nghiên cứu lý luận
Hệ thống lại một số lý luận về giải toán: Khái niệm cơ bản, phương pháp giải
toán, kỹ năng, kỹ năng giải Toán.
Điều tra khảo sát:
Tìm hiểu về thực trạng kỹ năng xây dựng chương trình giải bài tập tốn về
phương trình chứa dấu trị tuyệt đối của học sinh lớp 10.
Đề xuất biện pháp rèn luyện kỹ năng xây dựng chương trình giải một số
phương trình chứa dấu trị tuyệt đối.
Tiến hành thực nghiệm sư phạm bước đầu minh hoạ tính khả thi của các biện
pháp đã đề xuất.
3. Đối tượng nghiên cứu.
Một số phương trình chứa dấu trị tuyệt đối ở chương trình SGK lớp 10.
4. Phạm vi nghiên cứu.
Kỹ năng xây dựng chương trình giải tốn của học sinh lớp 10 trường THPT
Tô Hiệu- TP Sơn La – Sơn La.
5. Phương pháp nghiên cứu.
- Phương pháp nghiên cứu lý luận.

- Phương pháp quan sát - điều tra.
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm.
2


6. Cấu trúc của khóa luận: Ngồi phần mở đầu, kết luận và tham khảo nội
dung của khóa luận gồm 3 chương:
Chương 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn.
Chương 2. Rèn luyện kỹ năng xây dựng chương trình giải phương
trình chứa dấu trị tuyệt đối cho học sinh lớp 10.
Chương 3. Thực nghiệm sư phạm.

3


CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Một số khái niệm.
1.1.1. Bài tập toán.
1.1.1.1. Quan niệm về giải bài tập tốn
Giải bài tập tốn là q trình suy luận nhằm khám phá ra quan hệ logic
giữa cái đã cho và cái phải tìm. Là vận dụng tri thức, kỹ năng, kỹ xảo để giải
quyết các vấn đề bài tốn đặt ra. Thơng thường để giải một bài tốn chúng ta
phải lập được một sơ đồ xác định và mạch lạc những thao tác logic toán học hay
thực tiễn. Bắt đầu từ giả thiết và kết thúc bằng kết luận.
- Dẫn dắt từ các đối tượng đến ẩn: phân tích các đối tượng của đề bài cho
dưới nhiều khía cạnh, góc độ. Vận dụng chúng linh hoạt vào việc tính tốn hay
chứng minh để có cái cần tìm.
- Từ các đối tượng mà ta có trong tay đến các đối tượng mà ta muốn đạt
tới. Nhiều khi trong việc tìm lời giải địi hỏi người giải tốn phải sử dụng các cơng
cụ tốn học đã biết, đã chứng minh để giải mà khơng phải dựa hồn tồn vào dữ

kiện đề bài cho. Nó có thể là những cơng thức, những định lý, các bất đẳng
thức…Mà chúng ta được quyền áp dụng để chứng minh hay giải toán.
Giải toán phải được xây dựng theo một quan điểm nhất quán, theo phân
loại, định hướng rõ rệt để học sinh có thể vận dụng kiến thức, kinh nghiệm sẵn
có vào hồn cảnh mới liên kết các kinh nghiệm cũ đã được tích lũy vào việc giải
quyết những yêu cầu mới trong tình huống mới.
Trong giải toán yêu cầu người giải toán phải xác định được nội dung tri
thức nào là cần thiết và có thể áp dụng để giải tốn. Điều này địi hỏi cần có một
tư duy lơgic biết cách kết nối các yếu tố của bài tốn và một trí nhớ tốt.
Ngồi việc nắm các đường lối chung thì người giải toán cũng cần phải
phát hiện ra những cái riêng, cái độc đáo của từng bài toán cụ thể để lựa chọn
phương án thích hợp nhất và tối ưu nhất.
1.1.1.2. Vai trị của bài tập tốn.
Giải bài tập tốn là hình thức tốt nhất để củng cố hệ thống hóa kiến thức và
rèn luyện kỹ năng, là một hình thức vận dụng kiến thức đã học vào những vấn
đề cụ thể, vào thực tế vào những vấn đề mới là hình thức tốt nhất để giáo viên
kiểm tra về năng lực, về mức độ tiếp thu và khả năng vận dụng những kiến thức
đã học.
4


Việc giải bài tập tốn có tác dụng to lớn trong việc gây hứng thú học tập
cho học sinh nhằm phát triển trí tuệ và góp phần giáo dục rèn luyện học sinh
phát triển tồn diện.
Việc giải một bài tốn cụ thể khơng những nhằm một mục đích đơn nhất
nào đó mà bao hàm ý nghĩa về nhiều mặt.
1.1.1.3. Phương pháp giải bài tập tốn.
* Phương pháp chung tìm lời giải bài tốn.
Khơng có một phương pháp chung cho mọi bài tập mà chỉ có những gợi ý
về cách suy nghĩ, tìm tịi, phát hiện cách giải bài tốn. Những gợi ý chi tiết về

phương pháp chung giải bài tập toán ( theo polya ) gồm bốn bước sau:
Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài.
Phát biểu đề bài dưới những dạng khác nhau để hiểu rõ nội dung bài tốn.
Phân biệt cái đã cho, cái phải tìm, phải chứng minh. Có thể dùng cơng
thức, ký hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả đề bài.
Bước 2: Tìm cách giải.
Tìm tịi, phát hiện cách giải nhớ, những suy nghĩ có tính chất tìm đốn:
biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đã
cho hoặc cái phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải với một
bài toán cũ tương tự, một trường hợp riêng, một bài tốn tổng qt hơn hay một
bài tốn có liên quan, sử dụng phương pháp đặc thù với từng dạng toán như:
chứng minh phản chứng, quy nạp toán học, toán dựng hình, tốn quỹ tích …
Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kỹ từng bước thực hiện hoặc đặc biệt
hóa kết quả tìm được hoặc đối chiếu kết quả có liên quan …
Tìm tịi những cách giải khác, so sánh chúng để tìm cách cách giải hợp lý
nhất.
Bước 3: Trình bày lời giải
Từ cách giải đã được phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một
chương trình các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bước đó.
Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải.
Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải.
Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề.

5


* Yêu cầu lời giải bài toán.
Để phát huy tác dụng của bài tập toán, trước hết cần phải nắm vững các yêu
cầu đối với lời giải. Lời giải của một bài toán cần đạt một số yêu cầu sau:
- Lời giải khơng có sai lầm .

- Lập luận phải logic, phải có căn cứ chính xác, cơ đọng xúc tích.
- Lời giải phải đầy đủ, gọn gàng, dễ hiểu.
Ngồi ba yêu cầu trên trong dạy học bài tập còn yêu cầu lời giải đơn giản
nhất, ngắn gọn nhất, cách trình bày rõ ràng hợp lý nhất.
1.1.2. Kỹ năng, đặc điểm của kỹ năng và kỹ năng giải bài tập toán.
Theo tâm lý học kỹ năng là khả năng thực hiện có kết quả một hành động
nào đó theo một mục đích trong những điều kiện nhất định.
Kỹ năng giải bài tập tốn của học sinh có thể hiểu là kỹ năng sử dụng có
mục đích sáng tạo những kiến thức toán học để giải những bài tập toán học.
Một học sinh có kỹ năng giải bài tập tốn học tức là biết phân tích bài tốn
từ đó xác định được hướng giải đúng, xây dựng được chương trình giải và thực
hiện chương trình giải, trình bày lời giải một cách logic, chính xác trong một
thời gian nhất định.
1.1.2.1. Các cấp độ của kỹ năng trong giải toán.
Bắt chước: quan sát và cố gắng lặp lại một kỹ năng cơ bản trong giải một
dạng bài tập cơ bản nào đó thông thường là kỹ năng lặp lại các thao tác giải các
ví dụ của sách giáo khoa hoặc ví dụ được giáo viên thực hiện. Cấp độ bắt chước
phải được tự học sinh rèn luyện đầy đủ đa đạng, chính học sinh tự lặp đi lặp lại
thao tác theo mẫu cho thành thạo từ đó có được các thao tác của kỹ năng cơ bản.
Thao tác: Khi đã bắt chước thành thạo, tự học sinh phải chọn một mẫu khác
và tự lặp lại các thao tác của kỹ năng cơ bản nào đó theo chỉ dẫn khơng cịn là
bắt chước máy móc. Học sinh tự lặp đi lặp lại tồn bộ các thao tác mới tự nắm
bắt kỹ năng không giống mẫu đã có. Học sinh phải hiểu và tự giải các bài tập
dạng luyện tập trong sách giáo khoa hoặc bài tập giáo viên giao có chỉ dẫn.
Chuẩn hóa: Khi thành thạo thao tác tự học sinh lặp lại kỹ năng nào đó một
cách chính xác nhịp nhàng, đúng đắn, thường thực hiện một cách độc lập không
phải hướng dẫn. Thời gian thực hiện thao tác càng ngày càng ít nhưng thao tác
phải đạt hiệu quả và khơng có sai sót. Học sinh tự thực hành giải các dạng bài
tập cơ bản chứa các kỹ năng cơ bản khác nhau có trong mơn học.
6

Phối hợp: Khi đạt chuẩn hoá các kỹ năng cơ bản riêng lẻ học sinh tự rèn
luyện phối kết hợp các thao tác thuộc các kỹ năng khác nhau. Yêu cầu học sinh
phải thành thạo phối kết hợp được nhiều kỹ năng theo thứ tự xác định một cách
nhịp nhàng và ổn định.
Tự động hóa: Tự học sinh rèn luyện và hoàn thành một hay nhiều kỹ năng
một cách dễ dàng và trở thành tự nhiên, khơng địi hỏi một sự gắng sức về thể
lực và trí tuệ.
1.1.2.2. Các giai đoạn hình thành kỹ năng giải bài tập tốn cho học sinh.
Giai đoạn 1: Lặp lại theo mẫu để biết, hiểu và tự giác chủ động hình thành
các kỹ năng cơ bản
Học sinh vận dụng lý thuyết để giải những bài tập tốn cơ bản, từ đó tự
hình thành các thao tác cơ bản như: Viết, biểu diễn, diễn đạt các đại lượng theo
ngơn ngữ tốn học. Viết, biểu đạt chính xác các cơng thức, ký hiệu, giá trị dựa
vào cơng thức biểu thức… Việc hình thành kỹ năng riêng rẽ của giai đoạn này là
học sinh tự giác giải bài tập theo mẫu cụ thể để biết được các thao tác giải một
bài tập tốn học cơ bản (có thể giáo viên trình bày làm mẫu hoặc gợi ý để học
sinh tự đọc theo ví dụ rồi tự lặp lại lời giải…).
Giai đoạn 2: Rèn luyện thành thạo từng kỹ năng cơ bản theo từng dạng loại
bài tập
Học sinh vận dụng thành thạo kiến thức, thao tác để giải bài tập cơ bản qua
đó hình thành vững chắc kỹ năng giải bài tập cơ bản. Việc hình thành kỹ năng
riêng rẽ của giai đoạn này là: Luyện giải một số bài toán tương tự bài mẫu nhằm
giúp học sinh nắm được sơ đồ định hướng giải các dạng loại bài tập toán cơ bản.
Giai đoạn 3: Rèn luyện thành thạo và nâng cao kỹ năng phối hợp hiệu quả hệ
thống các kỹ năng cơ bản giải các dạng loại bài tập tổng hợp.
Hình thành kỹ năng giải bài tập tổng hợp thông qua việc cho học sinh giải
những bài tập tổng hợp phức tạp, đa dạng hơn. Việc hình thành đúng kỹ năng
riêng rẽ của giai đoạn 3 là: Rèn luyện giải một số bài tập toán tổng hợp (khác bài

tập mẫu) ngày một đa dạng phức tạp hơn từ thấp tới cao nhằm giúp học sinh vận
dụng sơ đồ định hướng để giải bài toán tổng hợp .
Muốn hình thành kỹ năng giải bài tập tốn cần hiểu được cấu trúc của nó,
kỹ năng giải bài tập tốn không đơn lẻ là một hệ thống các kỹ năng như: kỹ năng
giải bài tập lý thuyết, kỹ năng tính toán, kỹ năng thực hành các phép biến đổi…
Và các kỹ năng này là một thể thống nhất.
7


Sự phân chia chỉ là tương đối trong cùng một hệ thống giữa các kỹ năng
đều có mối liên hệ chặt chẽ, kỹ năng này là cơ sở để hình thành kỹ năng kia và
ngược lại, việc hình thành kỹ năng sau lại củng cố rèn luyện kỹ năng trước đó.
1.1.2.3. Đặc điểm của kỹ năng.
Khái niệm kỹ năng trình bày ở trên chứa đựng những đặc điểm sau:
- Bất cứ kỹ năng nào cũng phải dựa trên cơ sở lý thuyết đó là kiến thức.
Bởi vì cấu trúc của kỹ năng là: hiểu mục đích- biết cách đi đến kết quả- hiểu
những điều kiện triển khai cách thức đó.
- Kiến thức là cơ sở của kỹ năng khi các kiến thức đó phản ánh đầy đủ các
thuộc tính bản chất của đối tượng, được thử nghiệm trong thực tiễn và tồn tại
trong ý thức với tư cách là công cụ của hành động. Cùng với vai trò cơ sở của tri
thức, cần thấy rõ tầm quan trọng của kỹ năng. Bởi vì mơn tốn là mơn học cơng
cụ có đặc điểm và vị trí đặc biệt trong việc thực hiện nhiệm vụ phát triển nhân
cách trong trường phổ thông. Vì vậy cần hướng mạnh vào việc vận dụng những
tri thức và rèn luyện kỹ năng vì kỹ năng chỉ có thể hình thành trong hoạt động.
- Kỹ năng giải toán phải dựa trên cơ sở tri thức Toán học, bao gồm: kỹ
năng, phương pháp, kiến thức.
1.1.2.4. Con đường hình thành kỹ năng xây dựng chương trình giải bài tập.
Theo lý luận dạy học thì kỹ năng được hình thành do luyện tập mà có. Có
thể hình thành kỹ năng xây dựng chương trình giải bài tập theo nhiều cách:
- Luyện tập theo mẫu: Cho học sinh xây dựng chương trình giải bài tập

tốn tương tự bài tập mẫu. Việc luyện tập này có thể tiến hành ngay trong tiết
học, cũng có thể rải rác qua một số bài hoặc bài tập về nhà. Việc dạy học sinh
xây dựng chương trình giải theo sơ đồ định hướng là rất quan trọng giúp rèn
luyện từng loại bài tập toán cụ thể.
- Luyện tập không theo mẫu: Học sinh luyện tập khi những điều kện và yêu
cầu của bài toán được thay đổi từ đơn giản đến phức tạp. Hệ thống bài tập cần
được sắp xếp từ dễ đến khó, giúp học sinh phát triển các kỹ năng bậc cao.
- Luyện tập theo nhiều hình thức xây dựng chương trình giải các bài tập
tốn khác nhau: hình thức rèn kỹ năng xây dựng chương trình giải bằng lời, dưới
dạng viết, bằng thực nghiệm.
- Luyện tập thường xuyên: Mỗi kỹ năng xây dựng chương trình giải phải
được hình thành và được học sinh làm thành thạo vì thế cần tạo điều kiện để học

8


sinh rèn luyện kỹ năng xây dựng chương trình giải trong học giải toán ở lớp
cũng như tự học ở nhà.
1.3. Một số yêu cầu về rèn luyện kỹ năng xây dựng chương trình giải
phương trình chứa dấu trị tuyệt đối.
Kỹ năng xây dựng chương trình giải phương trình chứa dấu trị tuyệt đối
gồm: kỹ năng xây dựng chương trình giải và kỹ năng xây dựng chi tiết hóa các
bước giải.
Yêu cầu về chương trình giải trong việc xây dựng chương trình giải
phương trình chứa dấu trị tuyệt đối: cần phải rõ ràng mạch lạc, logic. Đây chính
là định hướng cho các bước giải cụ thể.
Yêu cầu về chi tiết hóa các bước giải phải đáp ứng được yêu cầu lời giải:
- Các bước giải phải khơng có sai lầm.
- Lập luận phải logic, phải có căn cứ chính xác, cơ đọng xúc tích.
- Các bước phải đầy đủ, gọn gàng dễ hiểu.

Ngồi các u cầu trên thì chi tiết hóa các bước giải cần phải đơn giản
nhất, cách trình bày rõ ràng hợp lý nhất.
Để xây dựng chương trình giải phương trình chứa dấu trị tuyệt đối học
sinh cần phải xây dựng được các bước giải cụ thể là:
Bước 1: Phải tìm điều kiện để các biểu thức của phương trình có nghĩa
Biểu thức mà ở dạng phân thức

f ( x)
thì phải đặt điều kiện g(x)  0.
g ( x)

Biểu thức ở dạng căn thức

f ( x) ( với n chẵn) thì phải đặt điều kiện

n

f ( x)  0 .

Biểu thức là log a b thì phải đặt điều kiện 0  a  1 ,…
Bước 2: Phá dấu trị tuyệt đối:
Cần rèn luyện cho học sinh khả năng tư duy logic, khả năng vận dụng sáng
tạo lý thuyết vài bài tốn cụ thể hình hình thành mối liên hệ giữa yêu cầu bài
toán và xây dựng chương trình phá dấu trị tuyệt đối:
Dựa vào định nghĩa để phá dấu trị tuyệt đối là một cách làm thông thường
mà học sinh có thể dễ dàng hình dung ra.
Đặt ẩn phụ là một phương pháp quen thuộc mà học sinh thường làm khi
giải phương trình chứa dấu trị tuyệt đối. Tuy nhiên đối với phương trình chứa
9

dấu trị tuyệt đối thì học sinh thường thấy lúng túng trong q trình biến đổi để
có thể sử dụng phương pháp này. Vì vậy địi hỏi giáo viên cần phải tạo cơ hội
cho học sinh làm nhiều dạng bài tập mà có thể sử dụng phương pháp này.
Để phá dấu trị tuyệt đối ta cũng có thể sử dụng phương pháp đồ thị,
phương pháp đánh giá…
Bước 3: Giải phương trình.
Đây là những phương trình quen thuộc mà học sinh đã được biết cách giải
nhưng cần phải rèn luyện kỹ năng biến đổi phương trình, có thể biến đổi tương
đương hoặc biến đổi hệ quả. Cần lưu ý khi biến đổi hệ quả sau khi tìm nghiệm
của phương trình thì cần phải thử lại nghiệm rồi mới kết luận nghiệm của
phương trình đã cho.
Bước 4: Kết luận nghiệm.
Sau khi giải phương trình tìm được nghiệm thì phải kết luận nghiệm của
phương trình ban đầu mà có chứa trị tuyệt đối.
Vì vậy rèn luyện cho học sinh kỹ năng tư duy toán học vận dụng những cái
đã biết vào những cái chưa biết để xây dựng chương trình giải phương trình
chứa dấu trị tuyệt đối. Giáo viên cần rèn luyện cho học sinh khả năng xây dựng
các bước gải phương trình chứa dấu trị tuyệt đối đây cũng chính là bước đầu
giúp học sinh có những kỹ năng định hướng tốt về lời giải bài tốn và giải bài
tốn chính xác, khoa học.
1.4. Một số kỹ năng cơ bản trong việc xây dựng chương trình giải phương
trình chứa dấu trị tuyệt đối.
Kỹ năng xây dựng chương trình giải bài tập tốn, đặc biệt là xây dựng
chương trình giải phương trình chứa dấu trị tuyệt đối bao gồm hệ thống các thao
tác trí tuệ và thực hành để vận dụng tri thức ( kiến thức, phương pháp) vào việc
giải các bài tập khác nhau.
Trong quá trình xây dựng chương trình giải phương trình chứa dấu trị tuyệt
đối khi phá dấu trị tuyệt đối thường có các kỹ năng cơ bản sau:
- Kỹ năng vận dụng định nghĩa để xây dựng chương trình giải phương trình

chứa dấu trị tuyệt đối.
- Kỹ năng sử dụng tính chất của trị tuyệt đối.
- Kỹ năng đánh giá một phương trình đặc biệt là phương trình chứa dấu trị
tuyệt đối.
10


- Kỹ năng chuyển bài toán sang bài toán biện luận số nghiệm của một
phương trình.
- Kỹ năng chuyển hóa bài toán sang một bài toán mới với một ẩn mới.
1.4.1. Vận dụng định nghĩa để biến đổi nhằm xác định bước giải hoặc chi
tiết hóa chương trình giải trong từng bước giải.
Cần rèn luyện cho học sinh khả năng biến đổi tương đương dựa vào định
nghĩa của trị tuyệt đối:
Định nghĩa của các giá trị tuyệt đối:
 a khi a  0
a khi a  0

|a|= 

Như vậy việc phá dấu trị tuyệt đối trong phương trình dựa vào định nghĩa
là điểm xuất phát trong việc biến đổi phương trình để giải tốn.
1.4.2. Kỹ năng sử dụng tính chất của trị tuyệt đối.
Một khâu mấu chốt khác nữa mà ta cần rèn luyện cho học sinh là kỹ năng
sử dụng tính chất của dấu trị tuyệt đối để phá dấu trị tuyệt đối:
Biến đổi phương trình về 1 trong 4 tính chất đã biết:
Tính chất 1: A  B  A  B  AB  0
A  0
B  0

Tính chất 2: A  B  A  B  

A  0
B  0

Tính chất 3: A  B  A  B  

Tính chất 4: A  B  A  B  ( A  B).B  0
1.4.3. Kỹ năng đánh giá phương trình chứa dấu trị tuyệt đối
Rèn luyện cho học sinh khả năng đánh giá mà điểm mấu chốt là rèn luyện
kỹ năng vận dụng các bất đẳng thức quan trọng như Côsi, Bunhiacôpski hay bất
đẳng thức trong tam thức bậc hai…vào việc đánh giá để phá dấu trị tuyệt đối.
1.4.4. Chuyển sang bài tốn biện luận số nghiệm của phương trình
Rèn luyện kỹ năng giải phương trình bằng phương pháp đồ thị: chuyển
phương trình chứa dấu trị tuyệt đối sang một vế và tham số ở vế cịn lại. Khi đó
vẽ đồ thị của phương trình chứa dấu trị tuyệt đối và lưu ý rằng đồ thị ln nằm ở
phía trên trục hồnh và số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của đồ
thị với đường thẳng chứa tham số.
11


1.4.5. Khái quát hóa một số kết quả vận dụng vào bài tốn tổng qt hơn.
Thơng qua việc học sinh vận dụng những kiến thức về dấu trị tuyệt đối
để giải các phương trình khác như phương trình chứa căn thức mà có thể quy về
phương trình chứa dấu trị tuyệt đối hay việc chỉ ra điều kiện để phương trình vơ
nghiệm, phương trình có nghiệm, phương trình có 2 nghiệm phân biệt,…người
thầy giáo cần tận dụng cho học sinh được rèn luyện khả năng phân tích tổng
hợp, khái quát hóa.
Cần cho học sinh phát hiện sự tương tự giữa các bài tốn từ đó có cái
nhìn khái qt về những kiến thức trị tuyệt đối tương ứng.

1.5. Những khó khăn sai lầm của học sinh lớp 10 khi xây dựng chương trình
giải phương trình chứa dấu trị tuyệt đối.
Hầu hết học sinh đều nắm được định nghĩa của phương trình chứa dấu trị
tuyệt đối. Tuy vậy khi giải phương trình chứa dấu trị tuyệt đối học sinh vẫn mắc
những sai lầm và gặp phải một số khó khăn.
Mặc dù phương trình chứa dấu trị tuyệt đối học sinh đã được học ở lớp
dưới nhưng học sinh vẫn lúng túng khi xây dựng chương trình giải và chưa nắm
được các tính chất của phương trình chứa dấu trị tuyệt đối, do đó vì học sinh
chưa hiểu rõ bản chất các tính chất nên dễ ngộ nhận mắc sai lầm khi xây dựng
chương trình giải phương trình chứa dấu trị tuyệt đối.
Khó khăn thứ hai là trong q trình phá dấu trị tuyệt đối bằng cách sử
dụng định nghĩa học sinh không hiểu rõ bản chất nên thường công nhận công
thức có sẵn mà trong sách đưa ra nên trong quá trình xây dựng chương trình giải
gặp phải khó khăn và dễ mắc sai lầm.
Hầu hết học sinh chưa biết nhiều đến phương pháp đánh giá nên khi giáo
viên đưa ra những phương pháp trên khiến học sinh lúng túng và chưa biết cách
vận dụng. Vì vậy cần phải cho học sinh làm nhiều dạng bài tập sử dụng những
phương pháp này.
Khó khăn tiếp theo là: Tuy sách giáo khoa cũng đã giới thiệu về phương
pháp đồ thị nhưng học sinh vẫn chưa hiểu rõ được bản chất chưa biết cách vẽ
phương trình chứa dấu trị tuyệt đối. Vì vậy cần rèn luyện cho học sinh khả năng
vẽ đồ thị đặc biệt là đồ thị có chứa dấu trị tuyệt đối.
*Phương trình chứa dấu trị tuyệt đối ở chương trình THPT
Phương trình chứa dấu trị tuyệt đối được trình bày ở chương III. Phương
trình. Hệ phương trình. Bài 2. Phương trình quy về phương trình bậc nhất bậc
12


hai. Phần II.Phương trình quy về phương trình bậc nhất bậc hai phần 1.Phương
trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối của chương trình Đại số 10

*Thực trạng của việc xây dựng chương trình giải phương trình chứa dấu
trị tuyệt đối ở học sinh lớp 10
Để tìm hiểu thực trạng việc xây dựng chương trình chứa dấu trị tuyệt đối ở
học sinh lớp 10, tôi tiến hành điều tra hai đối tượng giáo viên và học sinh của
trường THPT Tô Hiệu như sau :
Bảng 1. Bảng điều tra việc dạy học xây dựng chương trình
chứa dấu trị tuyệt đối của giáo viên
STT

Dạy học xây dựng chương trình giải PTTTĐ
Họ và tên
Khơng

Có
1.

Lê Cương Lĩnh

+

2.

Trần Văn Tiếp

+

3.

Lê Thanh Thủy

+

4.

Nguyễn Văn Phong

+

5.

Phạm Thu Hải

6.

Nguyễn Thị Thủy

7.

Lê Thị Thúy Nga

8.

Vũ Đức Toản

9.

Vũ Thị Hải Hà

+

10

Trần Thị Nhung

+

+
+
+
+

Bảng 2. Bảng điều tra việc xây dựng chương trình giải phương trình chứa
dấu trị tuyệt đối của học sinh lớp 10
STT

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.

Lớp

10B1
10B2
10B3
10A1
10A2

10A3
10A4

Tổng
Số HS

47
45
35
46
45
45
44

Xếp loại lực của học
sinh( mơn Tốn)
Giỏi Khá TB Yếu
2
2
0
0
0
0
0

26
23
2
7
11

12
15

17
13
10
28
17
15
16
13

2
7
23
11
17
18
13

HSXDCTGPTTTĐ
HS biết
XDCTG
30
28
4
9
14
15
13

HS khơng
biết XDCTG
17
27
31
37
41
30
41


8.
9.

10A5
10A6

45
45

0
1

9
19

20
17

16
8

10
10

35
35

Qua điều tra cho thấy: Hầu hết các giáo viên đều hướng dẫn học sinh cách
xây dựng chương trình giải phương trình chứa dấu trị tuyệt. Nhưng bên cạnh đó
một số giáo viên chưa hướng dẫn học sinh cách xây dựng các bước để giải
phương trình chứa dấu trị tuyệt đối. Việc dạy học không định hướng cho học
sinh xây dựng chương trình giải làm cho học sinh khơng hình dung ra các bước
giải và cách giải một bài toán chứa dấu trị tuyệt đối.
Về phía học sinh, tơi có một số nhận định ban đầu như sau: đa số học sinh
chưa biết xây dựng chương trình giải phương trình chứa dấu trị tuyệt đối mặc dù
đã có sự đã có sự hướng dẫn của giáo viên. Những học sinh biết cách xây dựng
chương trình giải hầu hết là các học sinh khá giỏi, học sinh trung bình và yếu
phần lớn chưa biết cách xây dựng chương trình giải. Do đó hầu hết học sinh
chưa biết cách giải phương trình trị tuyệt đối.

14


CHƯƠNG 2. RÈN LUYỆN KỸ NĂNG XÂY DỰNG CHƯƠNG TRÌNH
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU TRỊ TUYẾT ĐỐI
CHO HỌC SINH LỚP 10
Từ kết quả nghiên cứu chương 1 nội dung chương 2 tập trung làm rõ kỹ
năng xây dựng chương trình giải bài tập một số dạng phương trình chứa dấu trị

tuyệt đối cơ bản. Từ đó làm cơ sở xây dựng các biện pháp rèn luyện kỹ năng xây
dựng chương trình giải bài tập chứa dấu trị tuyệt đối cho học sinh lớp 10.
2.1. Các kỹ năng xây dựng chương trình giải một số dạng phương trình
chứa dấu trị tuyệt đối cơ bản
2.1.1. Kỹ năng xây dựng chương trình giải phương trình: |f(x)| = k ( k là
hằng số khơng âm)
* CHƯƠNG TRÌNH GIẢI GỒM CÁC BƯỚC: Để giải phương trình |f(x)| = k
ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Đặt điều kiện để f(x) xác định ( nếu cần)
 f ( x)  k

Bước 2: |f(x)| = k  
(1.1)
 f ( x )  k
Bước 3: Giải tuyển của 2 phương trình.
Bước 4: Kiểm tra điều kiện, từ đó đưa ra kết luận nghiệm của phương trình
Ví dụ 1: Xây dựng chương trình giải phương trình:
a. |2x – 3| = 1 (*)
CHI TIẾT HÓA CÁC BƯỚC GIẢI:
Bước 1: Tìm điều kiện (ở đây khơng cần )
Bước 2: Phá dấu trị tuyệt đối: phá dấu trị tuyệt đối 1 lần ở vế trái.
Vận dụng linh hoạt (1.1) vào việc phá trị tuyệt đối:
 2 x  3  1(1)

Biến đổi phương trình |2x-3| =1  
 2 x  3  1(2)
Đây là phương trình bậc nhất một ẩn học sinh đã biết cách giải.
Bước 3: Giải phương trình (1) và (2)
Bước 4: Kết luận nghiệm của (*)
b. | 2 x 2  4 x  5 | = 3

(2*)

15


CHI TIẾT HĨA CÁC BƯỚC GIẢI: Đây là phương trình chứa dấu trị tuyệt
đối dạng |f(x)|= k với f ( x)  x 2  4 x  5 và k=3
Bước 1: Tìm điều kiện (ở đây khơng cần ).
Bước 2: Phá dấu trị tuyệt đối
Vận dụng linh hoạt (1.1) vào việc phá trị tuyệt đối:
Biến đổi phương trình :
 2 x2  4 x  5  3
2 x 2  4 x  2  0
 2
2
 2 x  4 x  5  3
2x  4x  8  0

| 2 x2  4 x  5 | = 3  

Đây là tuyển của 2 phương trình bậc hai một ẩn mà học sinh đã biết cách giải.
Bước 3: Giải tuyển của 2 phương trình.
Bước 4: Kết luận nghiệm của (2*)
2.1.2. Kỹ năng xây dựng chương trình giải phương trình: |f(x)|=|g(x)|
CHƯƠNG TRÌNH GIẢI GỒM CÁC BƯỚC: Để giải phương trình |f(x)| =
|g(x)| ta thực hiện theo các bước sau
Bước 1: Đặt điều kiện của f(x), g(x) xác định ( nếu cần)
 f(x)  g(x)

Bước 2: |f(x)| = |g(x)|  
(1.2)
f(x)  -g(x)
Bước 3: Giải tuyển của 2 phương trình.
Bước 4: Kiểm tra điều kiện từ đó đưa ra kết luận nghiệm cho phương trình.
* Một số ví dụ:
Ví dụ 1: Xây dựng chương trình giải phương trình:

x2  x  2
 x 0
x 1

CHI TIẾT HĨA CÁC BƯỚC GIẢI: Phương trình trên đều ở dạng |f(x)| =
|g(x)| với f ( x) 

x2  x  2
và g ( x) | x |
x 1

Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghĩa
x2  x  2
Đặt điều kiện để f(x) =
có nghĩa.
x 1

Do f(x) là hàm phân thức nên điều kiện để nó có nghĩa là mẫu số phải khác
0  x  1  0  x  1

16

Bước 2: Phá dấu trị tuyệt đối.
Vận dụng linh hoạt (1.2) để phá dấu trị tuyệt đối:
Biến đổi phương trình:

x2  x  2
 x 0
x 1

 x2  x  2
x

x2  x  2

 x   2 x 1
x 1
x x2
 x 1  x


x 2  x  2  x( x  1)
0
2 x2  2  0

x 1

 2
 x  x  2  x( x  1)
 x 1  0
0

x 1

Đây là tuyển của 2 phương trình bậc nhất và bậc hai mà học sinh đã biết
cách giải.
Bước 3: Giải tuyển 2 phương trình.
2 x2  2  0
vơ nghiêm


 x  1 (tm)
 x 1  0

Bước 4: Kết luận nghiệm của phương trình.
Vậy x=1 là nghiệm của phương trình.
Ví dụ 2: Xây dựng chương trình giải và biện luận phương trình.
x 2  2mx  2m  x 2  2 x (*)

CHƯƠNG TRÌNH GIẢI: Phương trình trên là phương trình chứa dấu trị tuyệt
đối cơ bản dạng |f(x)| = |g(x)| với f m ( x)  x 2  2mx  2m và g ( x)  x 2  2 x
Bước 1: Tìm điều kiện của phương trình
Bước 2: Phá trị tuyệt đối.
Vận dụng linh hoạt (1.2) để phá trị tuyệt đối cần phải lưu ý ở ví dụ này
phương trình có chứa tham số m
Biến đổi phương trình:
 x 2  2mx  2m  x 2  2 x
 (m  1) x  m
 2
x  2mx  2m  x  2 x   2
2
 x  (m  1) x  m  0

 x  2mx  2m  ( x  2 x)
2

2

Bước 3: Giải và biện luận phương trình (1) và (2) với ẩn x và tìm nghiệm
của (*)
+) Giải và biện luận (1)
Đây là phương trình bậc nhất với tham số m

17


Ta xét các trường hợp sau :
.Với m+1=0  m  1  0  1 thì kết luận phương trình vơ nghiệm
.Với m  1  0 thì kết luận nghiệm duy nhất của phương trình x 

m
m 1

+) Giải và biện luận (2)
Đây là phương trình bậc 2 với tham số m
Tính   b2  4ac  m2  2m  1  (m  1)2  0 biện luận phương trình trong
các trường hợp
Với   0  m  1  0  m  1 phương trình có nghiệm kép x 

m 1
. Thay
2

m=-1 ta được x=-1
Với   0  (m  1)2  0  m  1 thì phương trình có 2 nghiệm phân
 x1  1
 x2  m

biệt 

Bước 4: Kết luận nghiệm của (*)
Với m = -1 thì phương trình có nghiệm x = -1
Với m  -1 phương trình có 3 nghiệm x 

m
; x  1 ; x  m
m 1

2.1.3. Kỹ năng xây dựng chương trình giải phương trình f(|x|)=a
* CHƯƠNG TRÌNH GIẢI: Thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Tìm điều kiện để f(x) có nghĩa
Bước 2: Phá dấu trị tuyệt đối
  f ( x)  a

 x0
f ( x)  a  
  f ( x)  a

 x  0


(1.3)

Bước 3: Giải phương trình.
Bước 4: Kiểm tra điều kiện và kết luận nghiệm.
* Chú ý: Hàm số F=f(|x|) – a là hàm số chẵn, cho nên nếu  là nghiệm của
phương trình đã cho thì -  cũng là nghiệm của nó. Vì vậy thay việc phải giải
tuyển hai phương trình trên ta chỉ giải một hệ và suy ra nghiệm của tuyển, tức là
nghiệm của phương trình đã cho.
18