Báo cáo sáng kiến Vẽ thêm yếu tố phụ để giải bài toán hình học 7

Vẽ thêm yếu tố phụ ðể giải bài toán hình học 7
PHẦN I
PHẦN MỞĐẦU
I.Lí do chọn ðề tài:
Toán học ra ðời gắn liền với con ngýời và lịch sử phát triển của xã hội, nó có
một ý nghĩa lí luận lớn lao và quan trọng.Trong thời ðại công nghiệp hoá hiện ðại
hoá hiện nay nhất thiết phải ðặt trên nền tảng dân trí.Vì vậy phải có chiến lýợc nâng
cao dân trí, ðào tạo nhân lực và bồi dýỡng nhân tài trên mọi lĩnh vực. Sự phát triển
của khoa học tự nhiên lại ðýợc ðặt trên nền tảng của khoa học Toán học. Trong
những năm qua sự phát triển trí tuệ của học sinh ngày càng mạnh mẽ, nhu cầu học
tập ngày càng nhiều trong đó kiến thức bộ môn trong nhà trường cũng không ngừng
bổ sung, đi sâu và mở rộng.Vì vậy nhiệm vụ của người giáo viên nói chung và giáo
viên dạy bộ môn toán nói riêng ngày nay không những phải cung cấp cho học sinh
một vốn tri thức cơ bản mà điều quan trọng là còn phải trang bị cho học sinh khả
năng tự làm việc, tự nghiên cứu để tìm hiểu và tự nắm bắt thêm tri thức. Việc giảng
dạy môn Toán ở nhà trường không chỉ nhằm truyền thụ cho học sinh những kiến
thức cơ bản về Toán học mà còn vũ trang cho các em công cụ sắc bén để nghiên cứu
thế giới tự nhiên.
Dạy học như thế nào để học sinh không những nắm kiến thức cơ bản một cách
có hệ thống mà còn phải nâng cao, phát triển để các em có hứng thú, say mê học tập.
Đó là câu hỏi mà mỗi thầy cô giáo luôn đặt ra cho mình.
Trong khi học Toán, các em học sinh còn ngại học Hình học, bởi vì để học tốt
Hình học thì đòi hỏi các em học sinh phải có khả năng tư duy tốt, tính sáng tạo cao,
trí tưởng tượng phong phú, đặc biệt là thực sự say mê nghiên cứu, tìm tòi, học hỏi.
Đối với giáo viên thì để truyền đạt được cho các em học sinh hiểu được một
cách chặt chẽ về một bài hình học là không đơn giản chút nào. Trong khi đó không
có một phương pháp chung nào để giải một bài toán hình học cụ thể. Để tìm các
phương pháp giải các bài toán hình học, có lúc vẽ thêm yếu tố phụ làm cho việc giải
Nguyễn Quốc Chýõng – GV Trýờng THCS Tuyết Nghĩa – Quốc Oai 1
Vẽ thêm yếu tố phụ ðể giải bài toán hình học 7
bài toán trở nên dễ dàng hơn, thuận lợi hơn. Tuy nhiên vẽ thêm yếu tố phụ như thế

nào là có hiệu quả, có lợi cho việc giải toán, đó là điều khó khăn và phức tạp. Đặc
biệt đối với học sinh lớp 7 việc chứng minhcác bài tập hình học còn rất mới đối với
các em nên công việc đó lại càng lúng túng hơn.
Kinh nghiệm thực tế cho thấy rằng không có phương pháp chung nào cho việc
vẽ thêm yếu tố phụ mà là một sự sáng tạo nghệ thuật tùy theo từng yêu cầu của bài
toán cụ thể. Bởi vì việc vẽ thêm yếu tố phụ cần đạt được mục đích là tạo điều kiện
để giải được bài toán thuận lợi chứ không phải là công việc tùy tiện. Hơn nữa, việc
vẽ thêm yếu tố phụ phải tuân theo các bước dựng hình và các bài toán dựng hình cơ
bản.
Vậy với các lí do ở trên đã trình bày, với tư cách cá nhân bản thân tôi trong
năm học 2013 – 2014 được phân công giảng dạy môn Toán lớp 7, tôi nhận thấy vẽ
thêm yếu tố phụ tương đối hữu hiệu trong giải bài toán hình học nên tôi đã lựa chọn
đề tài ‘‘Vẽ thêm yếu tố phụ để giải bài toán hình học 7’’.
II. Mục đích nghiên cứu:
Đây là đề tài rộng và ẩn chứa nhiều thú vị bất ngờ thể hiện rõ vẻ đẹp của môn
Hình học và đặc biệt nó giúp phát triển rất nhiều tư duy của học sinh, nếu vấn đề này
tiếp tục được khai thác hàng năm và được sự quan tâm góp ý của các thầy cô thì
chắc hẳn nó sẽ là kinh nghiệm quý dành cho việc dạy học sinh. Vì đây là đề tài khó
nên trong kinh nghiệm này tôi chỉ trình bày một vài chương của môn Hình lớp 7.
Nêu lên được một số kinh nghiệm của bản thân về “Vẽ thêm yếu tố phụ để
giải bài toán hình học 7”.
III. Đối tượng nghiên cứu:
Đối tượng nghiên cứu: Ở đây tôi sử dụng đối tượng nghiên cứu là học sinh
khối 7. Môn hình học trường THCS Tuyết Nghĩa.
IV. Phạm vi nghiên cứu:
Các bài toán hình học trong chương trình hình học lớp 7.
Nguyễn Quốc Chýõng – GV Trýờng THCS Tuyết Nghĩa – Quốc Oai 2
Vẽ thêm yếu tố phụ ðể giải bài toán hình học 7
V. Các phương pháp nghiên cứu:
1. Hệ thống lại các vấn đề lý thuyết.

2. Điều tra, khảo sát, phân loại các bài làm của học sinh, từ đó đánh giá được
thực trạng năng lực học hình học của học sinh.
3. Dạy thử nghiệm bằng cách cho các em làm bài tập có vẽ thêm yếu tố phụ.
VI. Kế hoạch thực hiện và giới hạn sử dụng đề tài.
- Xây dựng kế hoạch nghiên cứu, viết, triển khai áp dụng đề tài sáng kiến kinh
nghiệm ‘‘Vẽ thêm yếu tố phụ để giải bài toán hình học 7’’ trong năm học 2013 –
2014.
- Đề tài áp dụng cho học sinh khối 7 trong quá trình học Toán hình học.
PHẦN II
NỘI DUNG
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN.
Nguyễn Quốc Chýõng – GV Trýờng THCS Tuyết Nghĩa – Quốc Oai 3
Vẽ thêm yếu tố phụ ðể giải bài toán hình học 7
Do tư duy là thuộc tính của tâm lí, tư duy hình thành và phát triển theo từng
giai đoạn trong quá trình trưởng thành của con người. Tư duy đặc biệt phát triển
mạnh ở giai đoạn thanh, thiếu niên. Vì vậy giáo viên cần phải quan tâm đến phương
pháp giảng dạy nhằm phát triển tư duy cho học sinh một cách tốt nhất. Tất cả các
môn học đều phát triển tư duy cho học sinh nhưng môn toán có vai trò quan trọng
hơn cả. Giải bài tập toán là lúc học sinh được thể hiện kĩ năng, tính sáng tạo, phát
triển óc tư duy.
Các bài tập có yêu cầu khó đòi hỏi vẽ thêm yếu tố phụ của hình học 7 rất khó
và phức tạp vì các em chưa có nhiều kỹ năng chứng minh hình học. Do đặc điểm của
môn hình học khó, phải tư duy trừu tượng và kèm thêm việc vẽ hình phức tạp nên
giáo viên phải tạo cho học sinh kĩ năng vẽ hình và hướng dẫn học sinh tư duy dựa
trên những bài toán cơ bản.
Trước hết chúng ta cần nhớ rằng: Vẽ thêm yếu tố phụ thường là:
Vẽ thêm điểm mới (trung điểm của đoạn thẳng); nối lai điểm đã cho bởi một
đoạn thẳng; dựng thêm một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng cho trước; vẽ thêm đường
thẳng song song hay vuông góc với đường thẳng đã cho; vẽ tia phân giác của một
góc; tạo ra một góc bằng một góc cho trước.

Tạo ra các đoạn thẳng, các góc trung gianở vị trí thuận lợi hơn, làm xuất hiện
thêm những quan hệ mới có liên quan đến các yếu tố đã cho trong bài toán.
Tạo ra các tam giác bằng nhau, tam giác cân, tam giác đều, tam giác vuông,
nhờ đó chứng minh được các đoạn thẳng bằng nhau, các góc bằng nhau.
Trước khi dạy “Vẽ thêm yếu tố phụ để giải bài toán hình học 7”, giáo viên
cần củng cố lại cho học sinh nắm vững và chắc các bài toán dựng hình cơ bản. Các
bài toán có thể vẽ thêm đường phụ phải dựa vào các phép dựng hình đó.
Hệ thống bài tập đưa ra phải từ dễ đến khó, vẽ thêm yếu tố phụ từ đơn giản
đến phức tạp.
Nguyễn Quốc Chýõng – GV Trýờng THCS Tuyết Nghĩa – Quốc Oai 4
Vẽ thêm yếu tố phụ ðể giải bài toán hình học 7
Trong từng giải pháp vẽ thêm yếu tố phụ, sau mỗi suy luận mẫu của giáo viên
để đưa ra cách vẽ yếu tố phụ hợp lý và đơn giản nhất cần chọn lọc những bài tập
tương tự cho học sinh tập suy luận và độc lập tư duy, tìm tòi sáng tạo để tìm ra lời
giải hay nhất.
II. CƠ SỞ THỰC TIỄN.
1. Đặc điểm của học sinh lớp 7 trường THCS Tuyết Nghĩa.
Trường THCS Tuyết Nghĩa nằm trên địa bàn phía Tây Nam của huyện Quốc
Oai. Trường có 12 lớp thuộc 4 khối, trong đó khối lớp 7 có 3 lớp.
Khối 7 có 87 em học sinh. Đa số các em đều có ý thức đạo đức tốt, chấp hành
đầy đủ, nghiêm túc nội quy, quy định của nhà trường. Một số em trong học tập khá
chăm chỉ và tích cực, chủ động cả ở giờ học trên lớp cũng như ở nhà. Tuy nhiên, vẫn
còn những học sinh chưa tích cực học tập. Đặc biệt gia đình các em đều làm nông
nghiệp, nhiều bậc cha mẹ ít quan tâm tới việc học tập của con cái, kinh tế gia đình có
nhiều khó khăn nên còn hạn chế trong việc đầu tư cho con em mình. Ngoài ra một số
em chưa mạnh dạn, còn e ngại, nhút nhát trong giao tiếp.
2. Thực trạng vấn của vấn đề nghiên cứu:
Trường THCS Tuyết Nghĩa là một trường nhỏ. Việc dạy ôn tập cho học sinh
là trách nhiệm quan trọng của nhà trường. Năm học này tôi được phân công dạy 3
lớp 7 của trường. Mục tiêu chính của trường chúng tôi là nâng cao chất lượng đại

trà, củng cố thêm cho học sinh giỏi, bên cạnh việc hình thành cho học sinh ý thức
của con người mới: sáng tạo và năng động.
Để đánh giá được thực chất mức độ nhận thức của học sinh trong việc vẽ thêm
yếu tố phụ để giải bài toán hình học 7, tôi đã ra một đề Toán cho 87 học sinh của
khối 7 trong trường với thời gian làm bài là 45 phút. Cụ thể như sau:
Bài 1: Cho hình vẽ, biết
·
·
ACB xAC>
, Ax // By.
Nguyễn Quốc Chýõng – GV Trýờng THCS Tuyết Nghĩa – Quốc Oai 5
x
y
A
C
B
Vẽ thêm yếu tố phụ ðể giải bài toán hình học 7
Chứng minh rằng:
Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạch AB lấy điểm D, trên tia đối
của tia CA lấy điểm E sao cho BD = CE. Nối D với E.
Chứng minh rằng BC < DE.
Với đề bài tôi đưa ra, học sinh nghiêm túc làm bài một cách độc lập và tự
giác, kết quả được thống kê như sau:
Lớp
Sĩ
số
§iÓm 8-
10
§iÓm 6,5-7,9 §iÓm 5-6,4 §iÓm3,5- 4,9 §iÓm 0 -3,4
SL % SL % SL % SL % SL %

7A 26 0 0 1 3.8 5 19.2 16 61.5 4 15.5
7B 26 0 0 2 7.8 6 23.1 12 46.2 6 23.1
7C 35 3 8.6 6
17.
1
8 22.9 14 40.0 4 11.4
87 3 3.4 9
10.
3
19 21.8 42 48.3 14 16.2
Qua việc kiểm tra đánh giá ban đầu tôi nhận thấy:
Học sinh có khả năng vẽ thêm yếu tố phụ trong việc giải bài toán hình học ở
mức độ tốt có 3 em, chiếm tỷ lệ 3,4%. 3 em học sinh này thuộc diện học sinh giỏi.
Các em rất yêu thích học Toán, thường xuyên mượn sách tại thư viện nhà trường.
Đồng thời có sự trau dồi, tích lũy kiến thức sau khi đọc qua việc ghi chép lại những
điều lí thú, bổ ích trong những cuốn sổ tay Toán học mà em đã tự tạo cho riêng
mình.
Học sinh có khả năng vẽ thêm yếu tố phụ trong việc giải bài toán hình học ở
mức độ khá có 9 em, chiếm tỷ lệ 10,3%. Các em này rất chăm chỉ và có điều kiện
tham khảo tài liệu bởi gia đình các em có điều kiện kinh tế khá giả, cha mẹ quan
tâm, đầu tư cho con cái.
Học sinh có khả năng vẽ thêm yếu tố phụ trong việc giải bài toán hình học ở
mức độ trung bình có 19 em, chiếm tỷ lệ 21.8%. Các em học sinh này khá nghiêm
Nguyễn Quốc Chýõng – GV Trýờng THCS Tuyết Nghĩa – Quốc Oai 6
·
·
·
ACB xAC CBy= +
V thờm yu t ph gii bi toỏn hỡnh hc 7
tỳc, chỳ ý trong cỏc gi hc nhng cha sụi ni, cha tht tớch cc trong cỏc gi hc

v trong cỏc hot ng tho lun nhúm m giỏo viờn yờu cu.
Hc sinh cú kh nng v thờm yu t ph trong vic gii bi toỏn hỡnh hc
mc yu, kộm cú 56 em, chim t l 64,5%. S lng ln hc sinh ny trong hc
tp Toỏn cũn li, ý thc hc bi c, tip thu bi mi cha cao. Bn thõn cỏc em cú
trỡnh nhn thc yu, nng lc din t cũn hn ch, ớt cú iu kin u t cho
mụn hc.
III. giải quyết vấn đề
1. Các bài toán dựng hình cơ bản:
Trc khi tụi a ra cỏc bi tp cỏc em thc hin tụi trang b cho cỏc em
cỏch dng cỏc bi toỏn dng hỡnh c bn, khi cn thỡ s dng m khụng cn nhc li
cỏch dng. Khi cn v thờm yu t ph chng minh thỡ cng phi cn c vo
nhng ng c bn ó dng v thờm khụng nờn v thờm mt cỏch tựy tin.
- Dng mt on thng bng mt on thng cho trc.
- Dng mt on thng bng tng (hiu) hai on thng cho trc.
- Dng mt gúc bng mt gúc ó cho.
- Dng mt gúc bng tng (hiu) hai gúc ó cho.
- Dng trung im ca mt on thng.
- Dng tia phõn giỏc ca mt gúc.
- Dng ng trung trc ca on thng.
- Dng ng thng i qua mt im ó cho v song song vi mt ng
thng khỏc ó cho.
- Dng ng thng i qua mt im ó cho v vuụng gúc vi mt ng
thng khỏc ó cho.
- Dng tam giỏc bit (c c c); (c g c); (g c g).
- Dng tam giỏc vuụng bit cnh huyn v cnh gúc vuụng.
2. Cỏc bi toỏn c th.
Nguyn Quc Chýừng GV Trýng THCS Tuyt Ngha Quc Oai 7
Vẽ thêm yếu tố phụ ðể giải bài toán hình học 7
Bài toán 1: Trên hình vẽ bên
cho biết

.
Chứng tỏ rằng: AB // CD
*/ Phân tích bài toán:
Bài cho: hình vẽ, .
Yêu cầu chứng tỏ: AB // CD
*/ Hướng dẫn giải:
Chúng ta đã biết rằng: Nếu đường thẳng c cắt hai đường thẳng a và b và trong
các góc tạo thành có một cặp góc so le trong bằng nhau (hoặc một cặp góc đồng vị
bằng nhau) thì a và b song song với nhau.
Do vậy, ta cần tạo ra một cặp góc so le trong hoặc một cặp góc đồng vị mà sẽ
chứng minh được cặp góc đó bằng nhau. Điều này gợi ta nghĩ đến vẽ thêm yếu tố
phụ là tia đối của tia AB, hoặc tia đối của tia AC, hoặc tia đối của tia CA, hoặc tia
đối của tia CD.
*/ Lời giải:
Vẽ tia CE là tia đối của tia CA.
Ta có: (hai
góc kề bù).
Ta có:
Mà và là hai góc đồng vị.
Nguyễn Quốc Chýõng – GV Trýờng THCS Tuyết Nghĩa – Quốc Oai 8
B
D
0
0
50
130
A
C
·
·

0 0
130 , 50BAC ACD= =
·
·
0 0
130 , 50BAC ACD= =
B
D
E
0
0
50
130
A
C
·
·
0
180ACD DCE+ =
·
·
0
0 0 0
180
180 50 130
DCE ACD⇒ = −
= − =
·
·
0

( 130 )DCE BAC= =
·
DCE
·
BAC
x
B
y
α
+
β
β
α
A
C
x
B
y
z
α

β
α
A
C
Vẽ thêm yếu tố phụ ðể giải bài toán hình học 7
Vậy AB // CD
*/ Nhận xét: Từ lời giải bài toán trên ta đề xuất được bài toán tổng quát.
Bài toán: Trên hình dưới đây
cho biết .

Chứng tỏ rằng: AB // CD.
Bài toán 2: Cho hình vẽ dưới đây, biết .
Chứng minh rằng: Ax // By.
*/ Phân tích bài toán:
Bài cho: hình vẽ;
Yêu cầu chứng minh: Ax // By
*/ Hướng dẫn giải:
Muốn chứng minh Ax // By, ta chứng minh chúng cùng song song với đường
thẳng thứ ba.
Vì ta tạo ra tia Cz sao cho .
Như vậy Ax // Cz.
Hơn nữa, ta có , như vậy
Nguyễn Quốc Chýõng – GV Trýờng THCS Tuyết Nghĩa – Quốc Oai 9
B
D
A
C
·
·
0
180BAC ACD+ =
·
·
·
; ;xAC CBy ACB
α β α β
= = = +
·
·
·

; ;xAC CBy ACB
α β α β
= = = +
·
·
·
xAC =α; CBy = β; ACB = α + β
·
ACz
α
=
·
BCz
β
=
·
·
BCz CBy=
Vẽ thêm yếu tố phụ ðể giải bài toán hình học 7
Suy ra By // Cz. Do đó Ax // By.
*/ Lời giải.
Vẽ tia Cz sao cho (như hình vẽ).
Ta có:
và so le trong.
Do đó: Ax // Cz (1)
Trên nửa mặt phẳng bờ AC ta có nên tia Cz nằm giữa
hai tia CA và CB
Ta có
Vì và so le trong.
Do đó By // Cz (2)

Từ (1) và (2) suy ra Ax // By.
Bài toán 3: Cho tam giác ABC có , chứng minh rằng: AB = AC (giải
bằng cách vận dụng trường hợp bằng nhau góc - cạnh - góc của hai tam giác).
*/ Phân tích bài toán:
Nguyễn Quốc Chýõng – GV Trýờng THCS Tuyết Nghĩa – Quốc Oai 10
·
ACz =α
·
·
xAC = ACz (=α),
·
xAC
·
ACz
·
·
( )ACz ACB
α α β
< < +
·
·
·
ACz + BCz = ACB
·
·
·
( )BCz ACB ACz
α β α β
⇒ = − = + − =
·

·
·
( );BCz CBy BCz
β
= =
·
CBy
µ
µ
B C=
Vẽ thêm yếu tố phụ ðể giải bài toán hình học 7
Bài cho: tam giác ABC có ;
Yêu cầu: chứng minh rằng: AB = AC.
*/ Hướng suy nghĩ:
Đường phụ cần vẽ thêm là tia phân giác AI của (I∈ BC)
*/ Lời giải
GT
∆ABC;
KL AB = AC
Chứng minh
Vẽ tia phân giác AI của (I∈ BC).
⇒ (1)
Mà (gt)
⇒ (2)
Xét ∆ ABI và ∆ ACI ta có:
(theo (2))
Cạnh AI chung
(theo (1))
⇒∆ ABI = ∆ ACI (g – c – g)
⇒ AB = AC (2 cạnh tương ứng)

*/ Nhận xét:
Nguyễn Quốc Chýõng – GV Trýờng THCS Tuyết Nghĩa – Quốc Oai 11
µ
µ
B C=
·
BAC
2
1
I
B
C
A
µ
µ
B C=
·
BAC
¶
¶
·
1 2
1
A =A = BAC
2
µ µ
B= C
µ
µ
1 2

I = I
µ
µ
1 2
I = I
µ
¶
1 2
A A=
Vẽ thêm yếu tố phụ ðể giải bài toán hình học 7
Trong cách giải trên, ta phải chứng minh AB = AC bằng cách kẻ thêm đoạn
thẳng AI là tia phân giác của góc BAC để tạo ra hai tam giác bằng nhau.
Bài toán 4:Chứng minh định lí: Trong tam giác vuông, trung tuyến thuộc
cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền (Bài 25/ 67- SGK toán 7 tập 2).
*/ Phân tích bài toán:
Bài cho: Tam giác ABC vuông tại A, AM là đường trung tuyến ứng với cạng
huyền.
Yêu cầu chứng minh:
BCAM2BC
2
1
AM
=⇒=
*/ Hướng suy nghĩ:
Ta cần tạo ra đoạn thẳng bằng 2.AM rồi tìm cách chứng minh BC bằng đoạn
thẳng đó. Như vậy dễ nhận ra rằng, yếu tố phụ cần vẽ thêm là điểm D sao cho M là
trung điểm của AD.
*/ Lời giải
GT
∆ABC; ;

AM là trung tuyến
KL
BC
2
1
AM =
Chứng minh
Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho: MD = MA.
Xét ∆ MAC và ∆ MDB ta có:
MA = MD (theo cách lấy điểm D)
(hai góc đối đỉnh)
MB = MC (Theo gt)
⇒∆MAC = ∆MDB (c - g - c)
⇒ AB=CD(2cạnhtươngứng) (1)
Nguyễn Quốc Chýõng – GV Trýờng THCS Tuyết Nghĩa – Quốc Oai 12
1
1
2
M
B
A
C
D
µ
0
90A =
¶
¶
1 2
M M=

Vẽ thêm yếu tố phụ ðể giải bài toán hình học 7
và (2 góc tương ứng)
⇒ AB // CD (vì có cặp góc so le trong bằng nhau)
Lại có: AC ⊥ AB ( gt)
⇒ AC ⊥CD (Quan hệ giữa tính song song và vuông góc)
Hay (2)
Xét ∆ABC và ∆CDA có:
AB = CD (theo (1))
(theo (2))
AC là cạnh chung
⇒∆ABC = ∆CDA (c – g – c)
⇒ BC = AD (2 cạnh tương ứng)
Mà
AD
2
1
AM=
⇒
BC
2
1
AM =
*/ Nhận xét:
Trong cách giải của bài tập trên, để chứng minh
BC
2
1
AM
=
ta đã vẽ thêm

đoạn thẳng MD sao cho MD = MA, do đó . Như vậy chỉ còn phải chứng
minh AD = BC. Trên một tia cho trước, đặt một đoạn thẳng bằng một đoạn thẳng
khác là một trong những cách vẽ đường phụ để vận dụng trường hợp bằng nhau của
tam giác.
Bài toán 5: Cho tam giác ABC có AB < AC. Gọi M là trung điểm của BC. So
sánh và ? (Bài 7/ 24 SBT toán 7 tập 2)
*/ Phân tích bài toán:
Nguyễn Quốc Chýõng – GV Trýờng THCS Tuyết Nghĩa – Quốc Oai 13
µ
µ
1
A D=
µ
µ
0
90A C= =
µ
µ
0
90A C= =
1
2
AM AD=
·
BAM
·
MAC
Vẽ thêm yếu tố phụ ðể giải bài toán hình học 7
Bài cho tam giác ABC có AB < AC, M là trung điểm của BC.
Yêu cầu : So sánh và

*/ Hướng suy nghĩ:
Hai góc và không thuộc về một tam giác. Do vậy ta tìm một tam
giác có hai góc bằng hai góc và và liên quan đến AB, AC vì đã có AB
< AC. Từ đó dẫn đến việc lấy điểm D trên tia đối của tia MA sao cho MD = MA.
Điểm D là yếu tố phụ cần vẽ thêm để giải được bài toán này.
*/ Lời giải:
GT
∆ABC; AB < AC
M là trung điểm BC
KL
So sánh và
Chứng minh
Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho: MD = MA.
Xét ∆MAB và ∆MDC ta có:
MA = MD ( theo cách lấy điểm D)
(hai góc đối đỉnh)
MB = MC ( Theo gt)
⇒∆MAB = ∆MDC (c - g - c)
⇒AB=CD(2cạnhtươngứng) (1)
Và (2góctươngứng). (2)
Ta có: AB = CD ( Theo (1)), mà AB < AC ( gt) ⇒CD < AC(3)
Nguyễn Quốc Chýõng – GV Trýờng THCS Tuyết Nghĩa – Quốc Oai 14
·
BAM
·
MAC
2
1
2
1

M
B
A
C
D
·
BAM
·
MAC
·
BAM
·
MAC
·
BAM
·
MAC
¶
¶
1 2
M M=
µ
µ
1
A D=
Vẽ thêm yếu tố phụ ðể giải bài toán hình học 7
Xét ∆ACD có:
CD < AC ( theo (3))
⇒ (Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác).
⇒ Mà ( theo (2))

Do đó hay >
*/ Nhận xét
Trong cách giải của bài tập trên, ta phải so sánh hai góc không phải trong
cùng một tam giác nên không vận dụng được định lí về quan hệ giữa góc và cạnh đối
diện trong một tam giác. Ta đã chuyển góc và về cùng một tam giác bằng
cách vẽ đường phụ như trong bài giải, lúc đó , ta chỉ còn phải so sánh
và ở trong cùng một tam giác ADC.
Bài toán 6: Cho , Oz là tia phân giác. Trên tia Oz lấy điểm A. Từ A
kẻ AB Ox, AC Oy (B Ox, C Oy). D là điểm tùy ý trên đoạn thẳng OB. Nối A
với D. Tia phân giác của góc CAD cắt Oy tại E. Chứng minh rằng AD = CE + BD
*/ Phân tích bài toán:
Bài cho , Oz là tia phân giác của ,A Oz, AB Ox, AC Oy (B
Ox, C Oy), D OB, AE là phân giác của .
Yêu cầu chứng minh AD = CE + BD.
*/ Hướng suy nghĩ:
Nguyễn Quốc Chýõng – GV Trýờng THCS Tuyết Nghĩa – Quốc Oai 15
¶
µ
2
A < D
¶
µ
1
A = D
¶
¶
2 1
A < A
·
BAM

·
MAC
¶
1
A
¶
2
A
µ
µ
1
A D=
µ
D
¶
2
A
·
0
90xOy =
⊥ ⊥
∈ ∈
·
0
90xOy =
·
xOy
∈
⊥ ⊥
∈ ∈ ∈

·
CAD
Vẽ thêm yếu tố phụ ðể giải bài toán hình học 7
Chọn cách giải là tạo ra đoạn thẳng có độ dài bằng CE + BD và cần chứng
minh đoạn thẳng đó bằng AD là xong. Xuất phát từ suy nghĩ này ta chọn yếu tố phụ
là điểm F trên tia đối của tia BO sao cho BF = CE. Chỉ cần chứng minh tam giác
DAF cân tại đỉnh D để có lời giải của bài toán.
*/ Lời giải
GT
Oz là tia phân giác của
AB Ox, AC Oy
AE là phân giác của .
KL
AD = CE + BD.
Chứng minh
Trên tia đối của tia BO lấy điểm f sao
choBF = CE
Xét ∆CAO và ∆BAO có:
(Oz là tia phân giác
của )
OA cạnh chung
(vì
Do đó
∆
CAO =
∆
BAO (g – c – g).
⇒
CA = BA
Nguyễn Quốc Chýõng – GV Trýờng THCS Tuyết Nghĩa – Quốc Oai 16

·
0
xOy=90
·
xOy
⊥ ⊥
·
CAD
x
y
z
3
2
1
B
A
O
C
D
E
F
· ·
COA = BOA
·
xOy
· ·
CAO = BAO
·
·
·

· · ·
0
CAO + COA = BAO + BOA = 90 , COA = BOA)
Vẽ thêm yếu tố phụ ðể giải bài toán hình học 7
Xét
∆
CAE và
∆
BAF có:
CA = BA (chứng minh trên)
CE = BF
Do đó
∆
CAE =
∆
BAF (c – g – c)
Suy ra mà
⇒
⇒
Ta có: ∆DAF có
⇒∆DAF cân ở đỉnh D
⇒ AD = DF
Mà DF = BF + BD = CE + BD, nên
AD = CE + BD
*/ Nhận xét: Ở trong bài toán trên, ta phảichứng minh một đoạn thẳng bằng tổng
của hai đoạn thẳng khác nên không thể vận dụng được các tính chất của các kiến
thức đã học vào bài để giải quyết trực tiếp được. Ta đã đưa tổng CE + BD thành một
đoạn thẳng khác bằng cách vẽ thêm đường phụ như trong bài giải rồi chứng minh
AD = DF.
Bài toán 7: Cho tam giác cân ABC (AB = AC). Trên cạnh đáy BC lấy các

điểm D, E sao cho BD = DE = CE. Chứng minh rằng:
Nguyễn Quốc Chýõng – GV Trýờng THCS Tuyết Nghĩa – Quốc Oai 17
·
·
0
ACE = ABF (= 90 )
¶
¶
1 3
A = A
¶
¶
1 2
A = A
¶
·
0
1
2A + DAB = 90
·
¶
0
3
DAF + A = 90
·
·
DAF = DFA
·
·
DAF = DFA

·
·
BAD DAE<
Vẽ thêm yếu tố phụ ðể giải bài toán hình học 7
*/ Phân tích bài toán:
Bài cho: tam giác cân ABC (AB = AC), D, E ∈ BC sao cho BD = DE = CE.
Yêu cầu:
*/ Hướng suy nghĩ:
Tìm một tam giác có hai góc bằng góc BAD và DAE, rồi so sánh hai cạnh đối
diện với chúng.
Xét ∆AEC có , mà
Do đó
Từ đó suy ra: AB > AE ⇒
Như vậy xác định điểm F sao cho D là trung điểm của AF là yếu tố phụ cần vẽ
thêm để giúp giải bài toán này.
*/ Lời giải
GT
∆ABC (AB = AC),
D, E ∈ BC sao cho BD = DE = CE
KL
Chứng minh
Vẽ tia đối của tia DA, trên tia này lấy điểm
F sao cho DF = DA.
Xét ∆DAB và ∆DFE có
DA = DF (cách lấy)
(hai góc đối đỉnh)
BD = DE (gt)
Do đó ∆DAB = ∆DFE (c.g.c)
Suy ra: AB = EF (hai cạnh tương ứng)
Nguyễn Quốc Chýõng – GV Trýờng THCS Tuyết Nghĩa – Quốc Oai 18

·
·
BAD < DAE
·
·
AED > ACE
·
·
ACE = ABC
·
·
AED > ABE.
·
·
BAD < DAE
·
·
BAD < DAE
B
C
F
A
D
E
·
·
ADB = FDE
Vẽ thêm yếu tố phụ ðể giải bài toán hình học 7
(hai góc tương ứng)
Mặt khác ( là góc ngoài của tam giác AEC)

Mà (AB = AC) ⇒ .
Xét ∆ABE có ⇒ AB > AE
Ta có AE < AB, AB = EF ⇒ AE < EF
Xét ∆AEF có AE < EF ⇒
Mà
Vậy:
*/ Nhận xét:
Trong cách giải của bài tập trên, ta phải chứng minh hai góc không phải trong
cùng một tam giác nên không vận dụng được định lí về quan hệ giữa góc và cạnh đối
diện trong một tam giác. Ta đã chuyển góc và về cùng một tam giác bằng
cách vẽ đường phụ như trong bài giải, lúc đó = , ta chỉ còn phải chứng
minh < ở trong cùng một tam giác AEF.
Bài toán 8:Cho tam giác ABC vuông tại A, = 15
0
. Trên tia BA lấy điểm O
sao cho BO = 2AC. Chứng minh rằng tam giác OBC cân.
*/ Phân tích bài toán:
Nguyễn Quốc Chýõng – GV Trýờng THCS Tuyết Nghĩa – Quốc Oai 19
·
·
BAD = DFE
·
·
AED > ACE
·
AED
·
·
ABC = ACE
·

·
AED ABC>
·
·
AED > ABC
· ·
AFE < FAE
·
·
BAD = AFE
·
·
BAD < DAE
·
BAD
·
DAE
·
BAD
·
DFE
·
DFE
·
DAE
µ
C
Vẽ thêm yếu tố phụ ðể giải bài toán hình học 7
Bài cho:∆ABC vuông tại A, = 15
0

. Trên tia BA lấy điểm O sao cho BO =
2AC.
Yêu cầu: chứng minh ∆ OBC cân tại O.
*/ Hướng suy nghĩ:
Ta thấy = 15
0
suy ra = 75
0
- 15
0
= 60
0
là số đo của mỗi góc trong tam giác đều
⇒ sử dụng phương pháp tam giác đều vào việc giải bài toán.
*/ Lời giải
Chứng minh
Trong ∆ABCcó = 90
0
; = 15
0
(gt)
⇒ = 75
0
Vẽ tam giác đều BCM (M và A cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ BC)
Ta có: = 15
0
Gọi H là trung điểm của OB
Xét ∆HMB và ∆ABC ta có:
HB = BC ( HB = BC = OB)
( = 15

0
)
BM = BC (cách vẽ)
Nguyễn Quốc Chýõng – GV Trýờng THCS Tuyết Nghĩa – Quốc Oai 20
µ
C
H
A
B
C
O
M
µ
C
µ
A
µ
A
µ
C
µ
B
·
OBM
1
2
·
·
HBM ACB=
GT

∆ABC; = 90
0
; = 15
0
O ∈ tia BA sao cho BO = 2AC
KL
∆ OBC cân tại O.
µ
A
µ
C
Vẽ thêm yếu tố phụ ðể giải bài toán hình học 7
Do đó ∆HMB = ∆ABC (c-g-c)
⇒ = 90
0
⇒∆MOB cân tại M (đường trung tuyến là đường cao).
⇒ = 150
0
⇒ = 360
0
– (150
0
+ 60
0
) = 150
0
Xét ∆MOB và∆MOC có:
OM cạch chung
= (=150
0

)
MB = MC (cách vẽ)
Do đó: ∆MOB =∆MOC (c-g-c)
⇒OB = OC (hai cạnh tương ứng)
Vậy ∆OBC cân tại O.
*/ Nhận xét:
Trong bài toán trên ta đã sử dụng phương pháp tam giác đều vào việc giải toán
vì phát hiện thấy = 15
0
suy ra = 75
0
- 15
0
= 60
0
là số đo của mỗi góc trong tam
giác đều, điều này gợi ý cho ta vẽ tam giác đều BCM như trên. Nhờ có các cạnh của
tam giác đều bằng nhau, các góc của tam giác đều là 60
0
, ta chứng minh được
∆HMB = ∆ABC ( c – g – c); ∆MOB = ∆MOC ( c-g-c) dẫn tới ∆OBC cân tại O, đó
chính là tác dụng của “phương pháp tam giác đều”.
Nguyễn Quốc Chýõng – GV Trýờng THCS Tuyết Nghĩa – Quốc Oai 21
µ µ
H = A
·
BMO
·
CMO
·

BMO
·
CMO
µ
C
µ
A
Vẽ thêm yếu tố phụ ðể giải bài toán hình học 7
Bài toán 9:Cho tam giác ABC, đường cao AH. Trên nửa mặt phẳng chứa
điểm A bờ là đường thẳng BC lấy các điểm D và E sao cho BD BA, BD = BA, CE
CA, CE = CA. Chứng minh rằng các đường thẳng AH, BE, CD cùng đi qua một
điểm.
*/ Phân tích bài toán:
Bài cho: Tam giác ABC, đường cao AH.Trên nửa mặt phẳng chứa điểm A bờ
là đường thẳng BC lấy các điểm D và E sao cho BD BA, BD = BA, CE
CA, CE = CA.
Yêu cầu chứng minh: AH, BE, CD cùng đi qua một điểm.
*/ Hướng suy nghĩ:
Để chứng minh AH, BE, CD cùng đi qua một điểm, mà AH BC, ta nghĩ đến
chứng minh AH, BE, CD là ba đường cao của một tam giác có một cạnh là BC.
Từ B vẽ đường thẳng vuông góc với CD, từ C vẽ đường thẳng vuông góc với
BE. Nhận ra rằng giao điểm I của hai đường thẳng này nằm trên đường thẳng AH.
Hơn nữa cũng có ∆ABI = ∆BDC nên AI = BC.
Nguyễn Quốc Chýõng – GV Trýờng THCS Tuyết Nghĩa – Quốc Oai 22
Vẽ thêm yếu tố phụ ðể giải bài toán hình học 7
Do vậy ta chọn yếu tố phụ để giúp giải bài toán này Là điểm I trên tia đối của
tia AH sao cho AI = BC.
*/ Lời giải:
Chứng minh
Trên tia đối của tia AH lấy điểm I

sao cho AI = BC
Gọi M là giao điểm của BI và DC.
Xét ∆ABI và ∆BDC có:
BA = BD (gt)
(hai góc cùng tù có cạnh tương ứng vuông góc)
AI = BC (cách vẽ)
Do đó: ∆ABI = ∆BDC (c-g-c)
Suy ra (hai góc tương ứng)
Ta cũng có:
Xét ∆BDM có nên
Vậy BE ⏊ DC
Chứng minh tương tự ta cũng có BE ⏊ IC.
∆BIC có IH, BE, CD là ba đường cao nên AH, BE, CD cùng đi qua một điểm.
2. Bài tập tự luyện
Bài 1: Cho hình vẽ,
biết
Chứng minh rằng Ax // By
Hướng dẫn: Vẽ thêm đường phụ là tia Cz
Nguyễn Quốc Chýõng – GV Trýờng THCS Tuyết Nghĩa – Quốc Oai 23
·
·
BAI DBC=
·
·
IBA BDC=
·
·
·
0
90DBM IBA DBA+ = =

· ·
0
90DBM BDM+ =
·
0
90DMB =
y
x
B
C
A
·
·
·
0
180xAC yBC ACB+ − =
GT
∆ABC, AH⏊BC tại H
BD ⏊ BA, BD = BA
CE ⏊ CA, CE = CA
KL AH, BE, CD cùng đi qua một điểm
M
H
B
C
A
I
E
D
Vẽ thêm yếu tố phụ ðể giải bài toán hình học 7

sao cho By // Cz và chứng minh được Ax // Cz.
Từ đó suy ra Ax // By
Bài 2: Cho hình vẽ, biết Az // Bt.
Chứng minh rằng:
Hướng dẫn: Vẽ thêm đường phụ là
tia Om nằm trong góc xOy sao cho Om // Az
và chứng minh được Om // Bt.
Từ đó suy ra và
⇒
Bài 3. Cho tam giác ABC, vẽ AH ⏊ BC (H ∈ BC). Trên nửa mặt phẳng bờ
AH có chứa điểm B dựng AD ⏊ AB sao cho AD = AB. Trên nửa mặt phẳng còn lại
dựng AE ⏊ AC sao cho AE = AC. Nối D và E, AH cắt DE ở M. Chứng minh rằng
M là trung điểm của đoạn thẳng DE.
Hướng dẫn: Đường phụ cần vẽ thêm để giải được bài toán là DK sao cho
DK ⏊ AH và EL ⏊ AH (K ∈ AH, L ∈ AH).
Bài 4: Cho tam giác ABC ( AB < AC). Từ trung điểm M của BC kẻ đường
vuông góc với tia phân giác của góc A cắt tia này tại H, cắt tia AB tại D và AC tại E.
Chứng minh rằng: BD = CE.
Hướng dẫn:Muốn chứng minh BD = CE, ta tìm cách tạo ra đoạn thẳng thứ
ba,rồi chứng minh chúng bằng đoạn thẳng thứ ba đó. Đường phụ cần vẽ thêm là
đường thẳng qua B và song song với AC cắt DE ở F, BF chính là đoạn thẳng thứ ba
đó.
Bài 5: Tam giác ABC có đường cao AH và trung tuyến AM chia góc A thành
ba góc bằng nhau. Chứng minh rằng ∆ ABC là tam giác vuông và ∆ ABM là tam
giác đều?
Nguyễn Quốc Chýõng – GV Trýờng THCS Tuyết Nghĩa – Quốc Oai 24
y
x
t
z

O
B
A
·
·
·
xOy xAz yBt= +
·
·
xOm xAz=
·
·
mOy yBt=
·
·
·
xOy xAz yBt= +
Vẽ thêm yếu tố phụ ðể giải bài toán hình học 7
Hướng dẫn: Muốn chứng minh tam giác ABC vuông tại A ta cần kẻ thêm
đường thẳng vuông góc với AC và chứng minh đường thẳng đó song song với AB,
từ đó suy suy ra AB ⊥ AC và suy ra = 90
0
Bài 6: Cho tam giác ABC. Từ B vẽ tia Bx (Bx nằm trên nửa mặt phẳng bờ Bc
không chứa điểm A) sao cho Bx // Cy. Trên tia Bx lấy điểm D, trên tia Cy lấy điểm
E sao cho BD = Ce. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh rằng G cũng là
trọng tâm của tam giác ADE.
Hướng dẫn: Để chứng minh G là trọng tâm của tam giác ADE chỉ cần chứng
minh rằng M là trung điểm của DE. Vậy đường phụ cần vẽ thêm là trung tuyến AM
của tam giác ABC.
Bài 7: Cho tam giác ABC, H là trực tâm, O là tâm đường tròn đi qua ba đỉnh

A, B, C. Chứng minh rằng khoảng cách từ O đến một cạch của tam giác bằng một
nửa khoảng cách từ H đến đỉnh đối diện.
Hướng dẫn: Ta cần chứng minh OM = AH, từ đó ta chọn yếu tố phụ là
điểm D sao cho O là trung điểm của cạnh DC.
IV. HIỆU QUẢ ÁP DỤNG
Sau khi đưa đề tài “Vẽ thêm yếu tố phụ để giải bài toán hình học 7” vào
nghiên cứu trong nhà trường THCS với đối tượng học sinh là khối 7 trường THCS
Tuyết Nghĩa, tôi đã thực nghiệm đề tài bằng cách:
1. Cung cấp các vấn đề lý thuyết về phương pháp học tập, bồi dưỡng kỹ năng
vẽ thêm yếu tố phụ cho học sinh trong các bài toán hình học 7.
Nguyễn Quốc Chýõng – GV Trýờng THCS Tuyết Nghĩa – Quốc Oai 25
µ
A
1
2