Khảo sát và thử nghiệm về các bộ lọc phi tuyến trong cải thiện và lọc nhiễu, nhận xét đánh giá các ứng dụng thử nghiệm

Lời nói đầu
Xử lý ảnh số được phát triển vào những năm 1960 tại phòng thí nghiệm Jet
Propulsion, Viện công nghệ Massachusetts, Phòng thí nghiệm Bell, Đại học
Maryland và một số các cơ sở nghiên cứu khác. Xử lý ảnh được áp dụng trong
nhiều lĩnh vực khác nhau như : ảnh chụp vệ tinh, y học, quân sự, đàm thoại bằng
hình ảnh, nhận dạng ký tự, cải thiện ảnh, …
Nói chung xử lý ảnh có tác động mạnh mẽ và ảnh hưởng lớn đến đời sống con
người. Và để có một bức ảnh ưng ý thì phải trải qua nhiều công đoạn khác nhau.
Lọc nhiễu cũng là một trong những công đoạn đó, giúp cho chúng ta có một bức
ảnh đạt hiệu quả cao. Mục đích của lọc nhiễu là giảm bớt những phần tử làm ảnh
hưởng đến chất lượng ảnh. Chính vì lý do đó nên nhóm em đã chọn đề tài : “Khảo
sát và thử nghiệm về các bộ lọc phi tuyến trong cải thiện và lọc nhiễu, nhận xét
đánh giá các ứng dụng thử nghiệm”. Nhờ có đề tài này mà nhóm chúng em đã có
cái nhìn rõ hơn về phương pháp lọc phi tuyến trong xử lý ảnh. Tuy nhiên trong quá
trình làm báo cáo nhóm cũng không tránh khỏi thiếu sót nên rất mong nhận được
nhận xét của cô. Chúng em xin chân thành cảm ơn cô.
Nhóm sinh viên:
Nguyễn Xuân Thắng KS2-K34
Đỗ Quốc Thưởng KS2-K34
Đinh Thị Thu Hiền KS2-K34
1. Khái quát về bộ lọc ảnh số:
Quá trình số hóa ảnh có thể gây nhiễu cho ảnh số và ảnh đầu ra mà ta nhận được sẽ
không đạt được chất lượng ảnh như ta mong muốn. Nhiễu có thể hiểu là những
phần tử ảnh mà giá trị của nó lớn hơn so với các phần tử xung quanh. Xét theo tần
số thì các phần tử nhiễu có tần số cao hơn với các điểm xung quanh. Trong xử lý
ảnh số lọc nhiễu được xem là bước xử lý quan trọng và là một trong những vấn đề
rất được quan tâm.
Cơ sở chung để xử lý phần tử (điểm ảnh) bị nhiễu là dùng thông tin của các điểm
ảnh lân cận, thay thế giá trị điểm ảnh cần xử lý bằng tổ hợp giá trị các điểm ảnh lân
cận. Việc thay thế dựa trên giả định là các điểm ảnh lân cận có giá trị gần giống
với điểm ảnh cần xét.

Về kỹ thuật thì ta sẻ dụng một mặt nạ di chuyển khắp ảnh gốc, ở mỗi vị trí của ảnh
tính toán theo các điểm trong mặt nạ và thay vào giá trị cho điểm ở tâm mặt nạ.
Các mặt nạ khác nhau sẽ có các cách tính khác nhau.
Trong bài báo cáo này chúng em xin được trình bày về kỹ thuật lọc phi tuyến. Các
bộ lọc phi tuyến được đề cập bao gồm:
- Bộ lọc trung vị (median filter)
- Bộ lọc giả trung vị (pseudomedian filter)
- Bộ lọc Min - lọc co (minimum filter)
- Bộ lọc Max – lọc giãn (maximum filter)
2. Bộ lọc phi tuyến:
Các bộ lọc phi tuyến được dùng trong kỹ thuật tăng cường ảnh. Kỹ thuật này đa
dạng và không có mô hình công thức chung. Ứng dụng chủ yếu của lọc phi tuyến
là làm trơn ảnh (smoothing) và loại bỏ nhiễu (noise) trên ảnh. Kỹ thuật lọc phi
tuyến thường dùng là lọc trung vị.
2.1 Lọc trung vị:
Lọc trung vị là kỹ thuật dùng để loại bỏ nhiễu đốm (speckle noise) và nhiễu muối
tiêu (salt-pepper noise). Đây là một kỹ thuật rất phổ biến trong xử lý ảnh.
Ý tưởng của thuật toán lọc trung vị:
Sử dụng một cửa sổ lọc là ma trận 3x3 quét qua lần lượt từng điểm ảnh của ảnh
đầu vào. Tại vị trí mỗi điểm ảnh lấy giá trị của các điểm ảnh tương ứng trong vùng
3x3 của ảnh gốc lấp vào ma trận lọc. Sau đó sắp xếp giá trị các điểm ảnh này theo
thứ tự tăng dần (hoặc giảm dần). Cuối dùng lấy giá trị điểm ảnh nằm chính giữa
(trung vị) của dãy giá trị điểm ảnh đã được sắp xếp gán cho điểm ảnh đang xét của
ảnh đầu ra.
Trong trường hợp một chiều trung vị x
a
dãy phần từ {x
n
} được xét như sau:
- Nếu n lẻ: có (n-1)/2 phần tử lớn hơn x

a
và (n-1)/2 phần tử nhỏ hơn hay bằng
x
a
.
- Nếu n chẵn: x
a
là trung bình cộng của 2 phần tử x
i
và x
j
thuộc {x
n
} sao cho
có (n-2)/2 phần tử nhỏ hơn hay bằng x
i
và (n-2)/2 phần tử lớn hơn hay bằng
x
j.
Ví dụ :
Cho dãy: {16,15,18,17,78,17,17,20,15} n=9 => n:lẻ
Dãy trên sau khi sắp xếp lại các phần tử là: {15, 15, 16, 17, 17, 17, 18, 20, 78}
x
5
= 17

là phần tử trung vị vì có (n-1)/2 phần tử lớn hơn hoặc bằng x
5
và (n-1)/2
phần tử nhỏ hơn hay bằng x

5
Trong trường hợp hai chiều:
Lọc trung vị được định nghĩa như sau:
Y(m,n) = Median(X(m-k,n-l) với k,l ∈ [1, L]
Y(m,n): Ảnh đầu ra
X(m,n): Ảnh đầu vào
L: Số phần tử cửa sổ lọc
Xác định phần tử trung vị bằng công thức : L+1/2 (Lưu ý: là sau khi sắp xếp
các phần tử trong cửa sổ lọc theo chiều tăng hoặc giảm dần).
Các bước giải thuật:
B1: Quét cửa sổ lọc lần lượt lên các điểm ảnh đầu vào, điền vào các giá trị được
quét vào cửa sổ lọc
B2: Sắp xếp theo thứ tự các thành phần trong cửa sổ lọc
B3: Lưu lại thành phần trung vị gán cho ảnh đầu ra.
Tính chất lọc trung vị:
+ Có lợi cho việc loại bỏ các điểm ảnh hay các hàng mà vẫn bảo toàn độ phân giải.
+ Loại bỏ tốt nhiễu xung và nhiễu muối-tiêu (salt and pepper noise)
2.1.1. Các ví dụ minh họa giải thuật bộ lọc trung vị:
Ví dụ 1:
Cho ma trận ảnh đầu vào X(m,n):
X(m,n) =

Và cửa sổ lọc W kích thước 3x3:
1 4 0 1 3 1
2 2 4 2 2 3
1 0 1 0 1 0
1 2 1 0 2 2
2 5 3 1 2 5
1 1 4 2 3 0
Tâm

cửa sổ
lọc
B1: Trượt cửa sổ mặt nạ W lần lượt vào các điểm ảnh cần xét sao cho điểm ảnh cần
xét vào tâm cửa sổ lọc.
Ở trường hợp này điểm ảnh đang xét có giá trị là : 2
1 4 0 1 3 1
2
2
4 2 2 3
1 0 1 0 1 0
1 2 1 0 2 2
2 5 3 1 2 5
1 1 4 2 3 0
Điền các giá trị được quét vào cửa sổ lọc:
1 4 0
2
2
4
1 0 1
B2: Sắp xếp theo thứ tự các thành phần trong cửa sổ lọc theo chiều tăng dần:
{0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 4, 4} n=9. Vậy phần tử trung vị sẽ là = (n+1)/2 = 5
Phần tử thứ 5 có giá trị là: 1
B3: Lưu lại giá trị của phần tử trung vị và gán giá trị đó vào điểm ảnh đang xét ở
bước 1, lúc này điểm ảnh đang xét sẽ có giá trị mới.
Trong trường hợp này điểm ảnh đang xét sẽ có giá trị mới là: 1
1 4 0 1 3 1
2
1
4 2 2 3
1 0 1 0 1 0

1 2 1 0 2 2
2 5 3 1 2 5
1 1 4 2 3 0
Ta lặp lại ba bước trên với phần tử kế tiếp (Lưu ý: Trong trường hợp này cửa sổ
lọc không làm thay đổi giá trị tại biên của ảnh). Ta sẽ được ma trận dữ liệu ảnh đầu
ra Y(m,n) như sau:
Y(m,n) =

Vậy nếu cần lọc tất cả các phẩn tử ảnh (bao gồm cả biên của ảnh) thì sao ? Ta
chuyển sang ví dụ 2 và chia làm hai trường hợp:
1 4 0 1 3 1
2
1 1 1 1
3
1
1 1 1 2
0
1
1 1 1 1
2
2
2 2 2 2
5
1 1 4 2 3 0
Ví dụ 2 – trường hợp 1:
Cho ma trận dữ liệu ảnh đầu vào X(m,n):
X(m,n)=
Và một cửa sổ lọc W kích thước 3x3:
Tâm
cửa

sổ lọc
B1:Đặt tâm của cửa sổ lọc vào phần tử cần xét. Ở trường hợp này sẽ đặt vào biên
của ảnh và dẫn đến trường hợp cửa sổ lọc không lấy được giá trị nằm ngoài biên
ảnh do đó sẽ không thu được giá trị để tìm ra phần tử trung vị:
1
4 0 1 3 1
1 4 0 1 3 1
2 2 4 2 2 3
1 0 1 0 1 0
1 2 1 0 2 2
2 5 3 1 2 5
1 1 4 2 3 0
2 2 4 2 2 3
1 0 1 0 1 0
1 2 1 0 2 2
2 5 3 1 2 5
1 1 4 2 3 0
B2:
Trường hợp 1:
Ta có thể gán các giá trị của biên ảnh ra bên ngoài:
1 1 4 0 1 3 1 1
1
1
4 0 1 3 1 1
2 2 2 4 2 2 3 3
1 1 0 1 0 1 0 0
1 1 2 1 0 2 2 2
2 2 5 3 1 2 5 5
1 1 1 4 2 3 0 0
1 1 1 4 2 3 0 0

Tiến hành sắp xếp các giá trị thu được ở cửa sổ
lọc và tìm giá trị trung vị:
{1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 4, 4} => Phần tử trung vị là : x
5
=
2
Thay giá trị của x
5
= 2 vào phần tử đang xét ta có:
1
1 4 0 1 3 1 1
1
2
4 0 1 3 1 1
2 2 2 4 2 2 3 3
1 1 0 1 0 1 0 0
1 1 2 1 0 2 2 2
2 2 5 3 1 2 5 5
1 1 1 4 2 3 0 0
1 1 1 4 2 3 0 0
1 1 4 0 1 3 1 1
1
1
4 0 1 3 1 1
2 2 2 4 2 2 3 3
1 1 0 1 0 1 0 0
1 1 2 1 0 2 2 2
2 2 5 3 1 2 5 5
1 1 1 4 2 3 0 0
1 1 1 4 2 3 0 0

=>
Ta lướt cửa sổ lọc lên toàn bộ phần tử ảnh và ta thu được ma trận ảnh dữ liệu đầu
ra Y(m,n) như sau:
Y(m,n)=
Trường hợp 2:
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 2 2
1 1 1 1 1 2
1 2 2 2 2 2
1 2 2 3 2 2
Ta gán giá trị là: “0” ra bên ngoài biên của ảnh. Ta có
0 0 0 0 0 0 0 0
0
1
4 0 1 3 1 0
0 2 2 4 2 2 3 0
0 1 0 1 0 1 0 0
0 1 2 1 0 2 2 0
0 2 5 3 1 2 5 0
0 1 1 4 2 3 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
Tiến hành sắp xếp các giá trị thu được ở cửa sổ lọc và tìm giá trị trung vị:
{0, 0, 0, 0, 0, 1, 2, 2, 4} => Phần tử trung vị là : x
5
= 0
Thay giá trị của x
5
= 0 vào phần tử đang xét ta có:
0 0 0 0 0 0 0 0

0
0
4 0 1 3 1 0
0 2 2 4 2 2 3 0
0 1 0 1 0 1 0 0
0 1 2 1 0 2 2 0
0 2 5 3 1 2 5 0
0 1 1 4 2 3 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
Ta lướt cửa sổ lọc lên toàn bộ phần tử ảnh và ta thu được ma trận ảnh dữ liệu đầu
ra Y(m,n) như sau:
Y(m,n)=
2.1.2. Xử lý ảnh bằng bộ lọc trung vị dựa trên phần mềm Scion Image:
Sau đây là các ví dụ minh họa ảnh bị nhiễu muối tiêu (salt and pepper noise).
Nhiễu muối tiêu là các pixel có giá trị màu trắng hoặc đen hiển thị ngẫu nhiên trên
ảnh. Cửa sổ lọc dùng trong phần mềm Scion Image có kích thước là 3x3:
Ảnh trước khi lọc Ảnh sau khi lọc
Hình 1
Ảnh trước khi lọc: Ảnh sau khi lọc:
0 2 1 1 1 0
0 1 1 1 1 1
0 1 1 1 2 1
0 1 1 1 1 1
1 2 2 2 2 2
0 1 1 1 1 0
Hình 2
Ảnh trước khi lọc: Ảnh sau khi lọc:
Hình 3
Ảnh trước khi lọc: Ảnh sau khi lọc:
Hình 4

Ảnh trước khi lọc:
Ảnh sau khi lọc:
Hình 5
Nhận xét chung:
- Bộ lọc trung vị xử lý nhiễu xung (impulse noise) và nhiễu muối tiêu (pepper
and salt noise) tốt mà giữ nguyên độ phân giải ảnh.
- Số lượng tính toán lớn (có thể bằng số mũ kích thước cửa sổ lọc).
2.2 Bộ lọc giả trung vị (Pseudomedian filtering):
Bộ lọc trung vị (Median Filter) sử dụng một cửa sổ lọc (thường là 3x3) để trượt
qua các điểm ảnh và thu về giá trị của điểm ảnh trong cửa sổ lọc. Đầu ra sau khi
lọc sẽ là giá trị của điểm ảnh nằm chính giữa của dãy giá trị sau khi đã sắp xếp theo
thứ tự tăng hoặc giảm dần.
Bộ lọc giả trung vị (Pseudomedian filtering) cũng sử dụng một cửa sổ lọc 3x3 và
hoạt động như lọc trung vị nhưng các giá trị thu được trong cửa sổ lọc không vần
phải sắp xếp lại như lọc trung vị. Giá trị tại đầu ra là trung bình của giá trị lớn nhất
trong số các giá trị nhỏ nhất và giá trị nhỏ nhất trong số các giá trị lớn nhất thu
được từ cửa sổ lọc. Bộ lọc giả trung vị được mô tả bằng công thức sau:
Với dãy số có 5 phần tử a,b,c,d,e. Công thức lọc giả trung vị được xác định như
sau:
PseudoMedian(a,b,c,d,e) =






+ )],,(),,,(),,,([
)],,(),,,(),,,([
2
1

edcMaxdcbMaxcbaMaxMIN
edcMindcbMincbaMinMAX
Với công thức trên thì lọc giả trung vị chỉ cần dùng 3 chuỗi thay vì dùng 10 chuỗi như lọc trung vị.
Trong lọc trung vị người ta thường dùng cửa sổ lọc hình vuông vì không làm biến dạng ảnh và hiệu quả
nhưng trong lọc giả trung vị để thu được kết quả tốt hơn thì người ta dùng cửa sổ lọc dạng chữ thập.
Cửa sổ lọc dạng chữ thập:
Điểm
cần xét
Các bước giải thuật:
B1: Lấy các phần tử trong cửa sổ ra mảng một chiều.
B2: Tìm min của lần lượt các chuỗi con rồi lấy max: gọi là m1
B3: Tìm max của lần lượt các chuỗi con rồi lấy min: gọilà m2
B4: Gán giá trị điểm đang xét là trung bình công của m1 và m2
3.1.1. Ví dụ minh họa các bược giải thuật lọc giả trung vị:
Trường hợp không làm thay đổi giá trị biên của ảnh
Cho ma trận dữ liệu ảnh đầu vào X(m,n):
1 2 2 1
1 1 0 3
2 4 1 5
2 1 2 0
X(m,n) =
Và cửa sổ lọc chữ thập W:
B1: Đặt tâm cửa sổ và điểm ảnh và thu lấy giá trị của điểm ảnh:
Lấy các phần tử của sổ ra cho vào một dãy (mảng 1 chiều):
{2, 1, 1, 0, 4}
B2: Tính Min của các chuỗi và lấy Max gọi là m1
m1 = Max[Min(2,1,1) ; Min(1,1,0); Min(1,0,4)}] = 4
B3: Tính Max của các chuỗi và lấy Min gọi là m2
Điểm
cần xét

1 2 2 1
1 1 0 3
2 4 1 5
2 1 2 0
m2 = Min[Max (2,1,1) ; Max (1,1,0); Max (1,0,4)}] = 2
B4: Gán giá trị điểm đang xét là trung bình công của m1 và m2
Output = (m1+m2)/2 = 3
Vậy kết quả bước đầu là :
Y(m,n)=
Làm tương tự với các điểm ảnh tiếp theo ta có kết quả ảnh đầu ra cuối cùng như
sau:
Y(m,n)=
2.3 Bộ lọc Min (Lọc co):
Ý tưởng:
- Cho một cửa sổ lọc W có kích thước là 3x3 trượt qua từng phần tử ảnh. Phần
tử ảnh cần xem xét được đưa vào tâm của cửa lọc.
1 2 2 1
1 3 0 3
2 4 1 5
2 1 2 0
1 2 2 1
1 3 1 3
2 2 2 5
2 1 2 0
Tâm
cửa sổ
lọc
- Thu lại giá trị của các phần tử trong cửa sổ lọc.
- Giá trị mới của điểm ảnh đang xét bằng Min của các giá trị lân cận tham
chiếu trong cửa sổ lọc

Công thức:



≠=
==
1k if 0
1k if 1
k
k
w
w
=> Y(m.n) = min {a(k)}
Tính chất:
- Là một kỹ thuật lọc dạng
- Tìm ra điểm tối nhất trên ảnh.
- Tìm giá trị nhỏ nhất trong cửa sổ lọc
- Được sử dụng để giảm nhiễu muối (salt noise).
2.3.1. Ví dụ minh họa giải thuật của bộ lọc Min (lọc co):
Ví dụ 1:
Xét trường hợp không làm thay đổi giá trị biên của ảnh.
Cho một ma trận dữ liệu ảnh đầu vào:
1 2 2 1
1 1 0 3
2 4 1 5
2 1 2 0
X(m,n)=
Và một cửa sổ lọc W kích thước 3x3:
B1: Đưa tâm cửa sổ lọc W vào giá trị phần tử cần xét:
1 2 2 1

1
1
0 3
2 4 1 5
2 1 2 0
B2: Lấy giá trị của các phần tử trong cửa sổ lọc ta có dãy:
{1, 2, 2, 1, 1, 0, 2, 4, 1}
B3: Giá trị mới của điểm ảnh sẽ bằng Min của các giá trị đang tham chiếu trong
cửa sổ lọc
Giá trị mới = Min {1, 2, 2, 1, 1, 0, 2, 4, 1} = 0
Thay giá trị mới vào ta có ảnh đầu ra như sau:
Y(m,n)=
Ta lặp lại từ bước 1 đến bước 3 cho đến khi ta đã đi qua hết các điểm ảnh (Lưu ý:
không làm thay đổi giá trị biên) Ta có ảnh đầu ra như sau:

Y(m,n)=
Ví dụ 2:
Xét trường hợp làm thay đổi giá trị biên của ảnh.
Cho ma trận dữ liệu ảnh đầu vào X(m,n) như trên:
X(m,n)=
1 2 2 1
1
0
0 3
2 4 1 5
2 1 2 0
1 2 2 1
1
0 0
3

2
0 0
5
2 1 2 0
1 2 2 1
1 1 0 3
2 4 1 5
2 1 2 0
Cho giá trị bên ngoài biên của ảnh là giá trị “0” . Ta có ma trận ảnh đầu vào như
sau:
X(m,n)=
B1: Đưa tâm cửa sổ lọc W vào giá trị phần tử cần xét:
0 0 0 0 0 0
0
1
2 0 1 0
0 1 1 2 2 0
0 2 4 1 5 0
0 2 1 2 0 0
0 0 0 0 0 0
B2: Lấy giá trị của các phần tử trong cửa sổ lọc ta có dãy:
{0, 0, 0, 0, 1, 2, 0, 1, 1}
B3: Giá trị mới của điểm ảnh sẽ bằng Min của các giá trị đang tham chiếu trong
cửa sổ lọc
0 0 0 0 0 0
0 1 2 0 1 0
0 1 1 3 3 0
0 2 4 1 5 0
0 2 1 2 0 0
0 0 0 0 0 0

Giá trị mới = Min {0, 0, 0, 0, 1, 2, 0, 1, 1} = 0
Thay giá trị mới vào ta có ảnh đầu ra như sau:
Y(m,n)=
Trượt cửa sổ lần lượt đi hết các phần tử ta được ma trận dữ liệu ảnh đầu ra như
sau:
Y(m,n)=
Xử lý ảnh bằng bộ lọc Min dựa trên phần mềm Scion Image:
Ảnh sau đây là ảnh bị nhiễu muối (salt noise). Nhiễu muối có các phần tử có giá trị
lớn hơn rất nhiều so với các phần tử lân cận.
Ảnh trước khi xử lý Ảnh sau khi xử lý
0 0 0 0 0 0
0
0
2 0 1 0
0 1 1 2 2 0
0 2 4 1 5 0
0 2 1 2 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 0
2.4 Bộ lọc Max (Lọc giãn):
Lọc max hoạt động ngược lại với bộ lọc min.
Ý tưởng:
- Cho một cửa sổ lọc W có kích thước là 3x3 trượt qua từng phần tử ảnh. Phần
tử ảnh cần xem xét được đưa vào tâm của cửa lọc.
Tâm
cửa sổ
lọc

- Thu lại giá trị của các phần tử trong cửa sổ lọc.
- Giá trị mới của điểm ảnh đang xét bằng Max của các giá trị lân cận tham
chiếu trong cửa sổ lọc
Công thức:



≠=
==
Lw
Lw
k
k
k if 0
k if 1
=> Y(m.n) = max {a(k)}
Tính chất:
- Tìm ra điểm sáng nhất trên ảnh.
- Tìm giá trị lớn nhất trong cửa sổ lọc
- Được sử dụng giảm nhiễu hạt tiêu (pepper noise).
2.4.1 Ví dụ minh họa giải thuật của bộ lọc Max (lọc giãn):
Xét trường hợp không làm thay đổi giá trị biên của ảnh.
Cho một ma trận dữ liệu ảnh đầu vào:
X(m,n)=
Và một cửa sổ lọc W kích thước 3x3:
B1: Đưa tâm cửa sổ lọc W vào giá trị phần tử cần xét:
1 2 2 1
1 1 0 3
2 4 1 5
2 1 2 0

1 2 2 1
1
1
0 3
2 4 1 5
2 1 2 0
B2: Lấy giá trị của các phần tử trong cửa sổ lọc ta có dãy:
{1, 2, 2, 1, 1, 0, 2, 4, 1}
B3: Giá trị mới của điểm ảnh sẽ bằng Max của các giá trị đang tham chiếu trong
cửa sổ lọc
Giá trị mới = Max {1, 2, 2, 1, 1, 0, 2, 4, 1} = 4
Thay giá trị mới vào ta có ảnh đầu ra như sau:
Y(m,n)=
Ta lặp lại từ bước 1 đến bước 3 cho đến khi ta đã đi qua hết các điểm ảnh (Lưu ý:
không làm thay đổi giá trị biên) Ta có ảnh đầu ra như sau:
1 2 2 1
1
4
0 3
2 4 1 5
2 1 2 0
1 2 2 1
1 4 5 3
2 4 5 5
2 1 2 0