Một số bài toán về hàm số đồ thị

Đề tài nghiệp vụ s phạm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị
Phần I: Đặt vấn đề
Trong chơng trình toán bậc trung học cơ sở, hai chủ đề lớn của môn đại
số đó là Số và Hàm số. Khái niệm Hàm số xuyên suốt chơng trình
môn đại số ở phổ thông, bắt đầu từ lớp 7 và nó là kiến thức trọng tâm của
môn đại số. Với các khái niệm hàm bậc nhất, bậc hai và các dạng đồ thị t-
ơng ứng, phàn hàm số đợc phận lợng thời gian không nhiều.Tuy vậy, bài tập
về hàm số thì thật là nhiều dạng và không thể thiếu trong các kì kiểm tra, kỳ
thi. Khái niệm hàm số là khái niệm trừu tợng mà thời gian luyện tập lại
không nhiều, nên kết quả của học sinh không cao.
Qua thực tế giảng dạy tìm hiểu về tam lý của đối tợng học sinh tôi đã
tiến hành nghiên cứu: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị. Trong đề
tài này tôi cố gắng làm sáng tỏ khái niệm hàm số, đồ thị và đa ra một số
dạng bài tập về hàm số và các bài tập có liên quan.
Bằng cách sắp xếp các dạng toán, phơng pháp truyền thụ phù hợp với
đối tợng học sinh, phát huy tính tích cực của học sinh, chú ý sửa sai cho các
em, tôi đã giúp học sinh hiểu đây là là phần bài tập có thuật giải rõ ràng,
chính xác , có nhiều nội dun ứng dụng phong phú. Hàm số còn đợc coi là
công cụ giải quyết một số bài toán khác nh tìm cực trị, giải phơng trình, giải
bất phơng trình, sau đây là nội dung đề tài.
Phần II: Nội dung đề tài
Chơng I: Lý thuyết cơ bản
I/ Khái niệm hàm số:
Khái niệm hàm số đợc định nghĩa theo quan điểm hiện đại Hàm số là
một ánh xạ từ tập hợp số đến một tập hợp số.
Trớc tiên ta làm quen với ánh xạ.
1. ánh xạ:
Ngời thực hiện: Vũ Văn Thế
2
Đề tài nghiệp vụ s phạm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị
a. Định nghĩa:

Cho tập hợp X

và Y

: f là một ánh xạ từ tập hợp X đến tập hợp Y
là một quy tắc cho tơng ứng mỗi phần tử x

X với một và chỉ một y

Y
Ký hiệu: f: X

Y
x
a
y = f(x)
Ta gọi X là tập nguồn của ánh xạ f
Y là tập đích của ánh xạ f
Phần tử y = f(x)

Y gọi là ảnh của x qua ánh xạ f.
b. Các loại ánh xạ:
* Đơn ánh:
ánh xạ: : f: X

Y
x
a
y = f(x)
ánh xạ f là đơn ánh

1 2 1 2
, :x x X x x
thì f(x
1
)

f(x
2
)
Hoặc


1 2
,x x X
: f(x
1
) = f(x
2
) thì x
1
= x
2
Ví dụ: f: R

R
x
a
y = f(x) = 3x

* Toàn ánh: ánh xạ: f: X

Y
x
a
y = f(x)
ánh xạ f là toàn ánh


y Y
thì
: ( )x X f x y =
.
Hoặc f là toàn ánh

phơng trình f(x) = y luôn có nghiệm với mỗi y

Y cho trớc.
Ví dụ: f: R

R
x
a
y = f(x) = 2x
Là một toàn ánh vì phơng trình 2x = y luôn có nghiệm x =
2
y
với y xác
định.
* Song ánh: ánh xạ: f: X

Y
x
a
y = f(x)
ánh xạ f là song ánh

f là đơn ánh và f là toàn ánh.
Ngời thực hiện: Vũ Văn Thế
3
Đề tài nghiệp vụ s phạm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị
2/ Hàm số:
a.Theo quan điểm hiện đại, đinh nghĩa hàm số dựa trên các khái niệm
tập hợp và ánh xạ: Hàm số là một ánh xạ từ tập hợp số X đến tập hợp số Y.
- Trong chơng trình sách giáo khoa trung học cơ sở (1191 2001)
Khái niệm hàm số đợc trình bày trong sách giáo khoa lớp 7 ( đợc nhắc lại
trong sách giáo khoa lớp 9) nh sau:
Một hàm số f đi từ tập hợp số X đến tập hợp số Y là một quy tắc cho t-
ơng ứng mỗi giá trị x

X một và chỉ một giá trị y

Y mà kí hiệu là y =
f(x).
Ngời ta viết: f: X

Y
x
a
y = f(x)

X là tập xác định , x

X là biến số, y = f(x) là giá trị của hàm số f tại
x.
- Trong chơng trình sách giáo khoa mới (2001) định nghĩa khái niệm
hàm số ở toán lớp 7 đã nêu rõ những thuộc tính này: Giả sử x và y là hai
đại lợng biến thiên và nhận các giá trị số. Nếu y thay đổi phụ thuộc vào x
sao cho: Với mỗi giá trị của x ta xác định đợc chỉ một giá trị tơng ứng của y
thì y đợc gọi là hàm số của x và x gọi là biến số.
* Chú ý: Nh vậy hàm số dù đợc định nghĩa bằng cách nào cũng đều có
những thuộc tính bản chất: + X và T là tập hai số.
+ Sự tơng ứng: ứng với mỗi số x

X đều xác đinh duy nhất một số y

Y.
+ Biến thiện: x và y là các đại lợng nhận giá trị biến đổi.
+ Phụ thuộc: x là đại lợng biến thiên độc lập còn y là đại lợng biến
thiên phụ thuộc.
b. Đồ thị hàm số: (Dựa trên khái niệm tập hợp)
- Đồ thị của hàm số y= f(x) là tập hợp các điểm của mặt phẳng toạ độ
có toạ độ (x; f(x)) với x

X
- Chú ý:
Ngời thực hiện: Vũ Văn Thế
4
Đề tài nghiệp vụ s phạm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị
+ Mỗi hàm số có một đồ thị xác định duy nhất và ngợc lại
+ Điểm M(x

M
;y
M
)

đồ thị hàm số y = f(x)

y
M
= f(x
M
)
c. Cách cách cho một hàm số:
Với định nghĩa hàm số, đồ thị hàm số ta thấy một hàm số có thể cho bởi
các cách:
+ Cách 1: Cho quy tắc tơng ứng thể hiện bởi công thức y = f(x)
+ Cách 2: Cho quan hệ tơng ứng thể hiện bởi bảng gia trị
+ Cách 3: Cho bằng đồ thị hàm số
II/ Các hàm số trong chơng trình THCS:
1. Hàm số bậc nhất:
a. Định nghĩa: Hàm số bậc nhất là hàm số đợc cho bởi công thức y
= ax + b, trong đóp a, b là các hằng số xác định a

0, x
Ă
b. Tính chất:
+ Tập xác định:
Ă
+ Tính biến thiên;
a > 0 thì hàm số đồng biến trong R

a < 0 thì hàm số nghịch biến trong R
c. Đồ thị:
+ Đồ thị hàm số y = ax + b (a

0, x
Ă
) là đờng thẳng đi qua điểm
A(0,b) và điểm B(
b
a

; 0)
+ Khi b = 0 thì đồ thị hàm số y = ax là đờng thẳng đi qua gốc toạ độ và
điểm E(1; a).
2. Hàm số bậc hai:
a. Định nghĩa: Hàm số bậc hai là hàm số đợc cho bởi công thức y =
ax
2
+ bx + c với a, b, c là các hằng số (a

0, x
Ă
)
Ngời thực hiện: Vũ Văn Thế
5
Đề tài nghiệp vụ s phạm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị
b. Tính chất:
- Tập xác đinh R
- Tính biến thiên:
+ a > 0 Hàm số đồng biến trong (

2
b
a

;
+
) và nghịch biến trong (

;
2
b
a

)
+ a < 0 Hàm số nghịch biến trong (
2
b
a

;
+
) và đồng biến trong (

;
2
b
a

)
c.Đồ thị:

Đồ thị hàm số y = ax
2
+ bx + c (a

0, x
Ă
) là Parabol (P) có đỉnh
là D(
2
b
a

;
4a

) nhận đờng thẳng x =
2
b
a

là trực đối xứng.
Chơng II: Một số dạng bài tập
Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm số
1/ Đinh nghĩa:
Tập xác định của hàm số y = f(x) là tập các giá trị của x để biểu thức
f(x) có nghĩa.
Vì vậy :
- Nếu f(x) là đa thức thì hàm số có tập xác định x

R

- Nếu f(x) có dạng phân thức thì hàm số có tập xác định:
x

R biểu thức trong căn

0
2/ Ví dụ:
Ngời thực hiện: Vũ Văn Thế
6
Đề tài nghiệp vụ s phạm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị
+ Ví dụ 1: Hàm số y = 5x 70 có TXĐ: R
+ Ví dụ 2: Hàm số y =
3 2
5
x
x


có TXĐ
{ }
5x R x
+ Ví dụ 3: Hàm số y =
4 1x +
có TXĐ:
1
4
x R x

3/ Bài tập: Tìm tập xác định của hàm số:
a. y =
2
2 1 1x x +
b. y =
2
1 2 5
3 3
x x
x x
+ +

+
c. y =
2
4 2x x +
Dạng II: Tìm tập giá trị của hàm số
+ Tập giá trị của hàm số : f: X

Y
x
a
y = f(x)
là tập giá trị y

Y sao cho phơng trình f(x) = y có nghiệm x

X
1/ Cách giải:

+ Cách 1: có thể dựa vào tính chất thứ tự trong Q để đánh giá các giá
trị của y.
+ Cách 2: Tìm điều kiện để phơng trình f(x) = y có nghiệm trong Tập
xác định.
2/ Ví dụ:
+ Ví dụ 1: Tìm miền giá trị của hàm số y = 2x 5 với x
[ ]
1;1
Giải
Ta có x
1 2 2 2 5 7 7x x y
1 2 2 2 5 3 3x x x y
Vậy miền giá trị của hàm số y = 2x 5 với x
[ ]
1;1
là y
[ ]
7; 3
Ngời thực hiện: Vũ Văn Thế
7
Đề tài nghiệp vụ s phạm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị
+ Ví dụ 2: tìm miền giá trị của hàm số y =
6 7x x +
Giải
áp dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối ta có:
6 7 6 7 1 1x x x x y + + =
Vậy miền giá trị của hàm số y =
6 7x x +
với x

R là y

R, y

1.
+ Ví dụ 3: Tìm miền giá trị của hàm số y = x
2
2x + 3 với x
[ ]
2;3
Giải
Hàm số y = x
2
2x + 3 có a = 1 > 0 nên đồng biến với x

1
Vậy với x
[ ]
2;3
ta có y(2)

y(3)


3 6y
Vậy miền giá trị của hàm số y = x
2
2x + 3 với x
[ ]
2;3

là
[ ]
3;6
+ Ví dụ 4: Tìm miền giá trị của hàm số y = x
2
4
Giải
- TXĐ của hàm số là R
- Xét phơng trình x
2
- 4
x
+ 3 = y

2
( 2) 1x y = +
Phơng trình có nghiệm y+1

0

y

-1
3/ ứ ng dụng:
ứng dụng 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất cảu hàm số;
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của y = 6x x
2
2
Giải
Ta có y = 2x - x

2
4
= - (x
2
2x + 1) 3
= - (x 1)
2
3

3 dấu = xảy ra khi và chỉ khi x= 1
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là Max y = -3 tại x =1
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y =
2
2
6
2
x x
x x
+ +
+ +
(1)
Ngời thực hiện: Vũ Văn Thế
8
Đề tài nghiệp vụ s phạm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị
Giải
Hàm số có tập xác định : R vì x
2
+ x + 2 = (x +
1
2

)
2
+
7
4



7
4
Giả sử y là một giá trị của hàm số

Phơng trình
2
2
6
2
x x
x x
+ +
+ +
= y có
nghiệm

(y - 1)x
2
+ (y 1)x + 2y 6 = 0 (2) Có nghiệm
+ Xét y = 1 phơng trình (2) vô nghiệm
+ Xét y

1 Phơng trình (2) có nghiệm
0

(y 1)
2
4(y 1)(2y 6)

0

(y 1)(23 7y)

0


23
1
7
y<
Vậy giá trị của hàm số là
23
1
7
y<
+ Với y =
23
7
ta có x =
1
2

vậy hàm số có giá trị lớn nhất là Max y =
23
7
tại x =
1
2

+ Chú ý: ở ví dụ 2 có thể ra dới dạng; Tìm x

R để hàm số y =
2
2
6
2
x x
x x
+ +
+ +
nhận giá trị nguyên y = 1 +
2
4
2x x+ +
Khi đó học sinh hay chọn cách giải: nên y

Z

x
2
+ x + 2 nhận giá trị
là ớc nguyên của 4.

Sai lầm trong lời giải ở chỗ x

R nên x
2
+ x + 2 có thể nhận giá trị
không nguyên. Vì vậy lời giải trên làm mất nghiệm của bài toán.
+ Cách giải từ việc có miền giá trị
23
1
7
y<
ta chỉ ra y

Z

y = 2
hoặc y = 3
Giải phơng trình
2
2
6
2
x x
x x
+ +
+ +
= 2

x
2

+ x - 2 = 0

x = 1; x = -2
Ngời thực hiện: Vũ Văn Thế
9
Đề tài nghiệp vụ s phạm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị

2
2
6
2
x x
x x
+ +
+ +
= 3

2x
2
+ 2x = 0

x = 0; x = -1
Vậy x
{ }
2; 1;0;1
thì y

Z
ứng dụng 2: Gải phơng trình f(x) = g(x) (1)
Nhiều phơng trình phức tạp có thể giải đơn giản hơn bằng cách căn cứ

vào miền giá trị của hai hàm số y = f(x) và y = g(x) trên tập xácc định D
chung của chúng:
Nếu
( )
( )
f x m
g x m





với

x

D thì f(x) = g(x)


( )
( )
f x m
g x m





(2)
Nếu

x
0


D thoả mãn (2) thì x
0
là nghiệm của phơng trình (1)
Ví dụ 1: Giải phơng trình 6x x
2
2 =
1 2 2 3 4 13x x x x + + +
(1)
+ Tập xác định : R
+ ta có VT = 6x x
2
2 = 7 (x 3)
2


7 dấu = xảy ra khi và
chỉ khi x=3
VP =
1 2 2 3 4 13x x x x + + +


7 dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi
13
2
4

x
+ Vậy phơng trình (1)
2
6 2 7
1 2 2 3 4 13 7
x x
x x x x

=



+ + + =




x = 3
Kết luận phơng trình (1) có nghiệm duy nhất x = 3
Ví dụ 2:
Giải phơng trình 16x
4
+ 72x
3
81x
2
+ 28 = 16(x -
2x
) = 0 (3)
Ta có VT = 16x

4
+ 72x
3
81x
2
+ 28 16
2
2
7 9
28
4 4
x x




ữ



Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 0 hoặc x =
9
4
Đặt
2x
= t

0 =>x = t
2
+ 2 ta có VP = 16(t

2
t + 2)
Ngời thực hiện: Vũ Văn Thế
10
Đề tài nghiệp vụ s phạm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị
= 16
2
1 7
28
2 4
t


+

ữ



Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi t =
1 1 9
2
2 4 4
x x = + =

Vậy phơng trình (3)
28
9
28
4

VT
x
VP
=

=

=

Kết luận nghiệm của phơng trình là
9
4
x =
4/ Bài tập:
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất ( nếu có) của hàm số y = x
2
3x + 1
trên đoạn:
a.
[ ]
3;1
b.
[ ]
0;2
Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =
2 2
2 2
3 8
a b a b
b a b a

+ +
ữ
ữ


Bài 3: Gọi x, y là nghiệm của hệ phơng trình
2 2 2
1
2 1
x y a
x y a
+ = +


+ = +

Tìm a để xy có gia trị lớn nhất.
Bài 4: Giải phơng trình
a.
2 2 2
3 6 7 5 10 14 4 2x x x x x x+ + + + + =
b.
2
2 4 6 11x x x x + = +
Dạng III: Xác định công thức hàm số
1/ Khi biết tính chất đồ thị hàm số
Ta đã biết giữa hàm số và đồ thị có tơng ứng 1-1 nên ta sẽ xác định đợc
công thức hàm số khi biết tính chất của đồ thị tơng ứng.

a. Xác định hàm số bậc nhất y = ax + b biết đồ thị là đờng thẳng d
có tính chất:
Ngời thực hiện: Vũ Văn Thế
11
Đề tài nghiệp vụ s phạm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị
+ Đi qua điểm A(x
1
; y
1
) và điểm B(x
2
; y
2
)
Giải
Vì A(x
1
; y
1
)

d nên ax
1
+ b = y
1
B(x
2
; y
2
)

d nên ax
2
+ b = y
2

Ta có hệ phơng trình
1 1
2 2
ax b y
ax b y
+ =


+ =

Giải hệ phơng trình ta có a, b
Kết luận công thức hàm số.
Ví dụ: Xác định hàm số y = ax + b có đồ thị là đờng thẳng d đi qua điểm
A(1; 1) và điểm B(-1; 2)
Giải
Vì A(x
1
; y
1
)

d nên ax
1
+ b = y

1
B(x
2
; y
2
)

d nên ax
2
+ b = y
2
Ta có hệ phơng trình:
1 1
2 2
ax b y
ax b y
+ =


+ =

gải hệ phơng trình đó ta có a, b
Kết luận công thức hàm số.
Ví dụ: xác định hàm số y = ax + b có đồ thị là đờng thẳng d đi qua điểm
A(1; 1) và điểm B(-1; 2)
Giải
Vì A(1; 1)

d nên a1 + b = 1
B(-1; 2)

d nên a(-1) + b = 2
Ta có hệ phơng trình:
1
1
2
2 3
2
a
a b
a b
b

=

+ =




+ =


=


Kết luận hàm số cần tìm là y = -
1 3
2 2x
+

b. Đồ thị đi qua điểm A(x
1
; y
1
) và song song với đờng thẳng d có
phơng trình y = a
1
x + b
1
(a

0)
Ngời thực hiện: Vũ Văn Thế
12
Đề tài nghiệp vụ s phạm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị
Giải
Vì A(x
1
; y
1
)

d nên ax
1
+ b = y
1
Vì d song song với d nên a = a
1
=> b = y
1

ax
1
Kết luận hàm số cần tìm là y = a
1
x + y
1
ax
1
Ví dụ: Xác định hàm số y = ax + b có đồ thị đi qua điểm A(1;
1
2
) và song
song với đờng thẳng d có phơng trình y = 2x -
1
2
Giải
Vì A(1;
1
2
)

d nên a + b =
1
2
Vì d song song với d nên a = 2 => b = -
3
2
Kết luận hàm số cần tìm là y = 2x -
3
2

c. Đồ thị hàm số đi qua điểm A(x
1
; y
1
) và vuông góc với đờng thẳng d
có phơng trình y = a
1
x + b
1
(a

0)
Giải
Vì A(x
1
; y
1
)

d nên ax
1
+ b = y
1
Vì d vuông góc với d nên aa
1
= -1

a =
1
1

a



b = y
1
+
1
1
a
x
1
Kết luận hàm số cần tìm là y =
1 1
1 1
1 1
y x
a a

+ +
Ví dụ: Xác định hàm số y = ax + b có đồ thị đi qua điểm A(1; 1) và vuông
góc với đờng thẳng d có phơng trình y = -
1
2
x +
3
2
Giải
Vì A(1; 1)

d nên a + b = 1
Ngời thực hiện: Vũ Văn Thế
13
Đề tài nghiệp vụ s phạm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị
Vì d vuông góc với d nên aa
1
= -1

a = 2

b = -1
Kết luận hàm số cần tìm là y = 2x 1
d. Đồ thị qua điểm A(x
1
; y
1
) và tiếp xúc với
Parabol (P): y = a x
2
+ b x + c (a

0)
Giải
Vì A(1; 1)

d nên ax
1
+ b = y
1
(1)

Vì d tiếp xúc với Parabol (P): y = ax
2
+ bx+c nên phơng trình hoành
độ giao điểm : ax + b = ax
2
+ bx+c có nghiệm kép
ax
2
+ (b a)x = c b = 0 có nghiệm kép


= (b a)
2
4a(c b) = 0 (2)
Giải hệ hai phơng trình (1) và (2) để tìm a và b. Kết luận công thức
hàm số.
Ví dụ: xác định hàm số y = ax + b biết đồ thị là đờng thẳng d đi qua điểm
A(1;2)

d nên a + b = 2 (1)
Vì d tiếp xúc với Para bol (P): y=x
2
+1 nên phơng trình hoành độ giao
điểm : ax+b=x
2
+1 có nghiệm kép
<=> x
2
-ax+1-b=0 có nghiệm kép
<=>

=(b-a)
2
4a(c-b)=0 (2)
Ta có hệ phơng trình:
2 2 2
2 2 2
0
2
4 4 4( 2) 4 ( 2) 0
a b b a b a
b
a
a b a a a
+ = = + = +
=




=
+ = + + = + =


Vậy hàm số cần tìm là y=-2x
III/1.2 Xác định hàm số bậc hai y = ax
2
+ bx + c có đồ thị là Parabol (P)
a. Đi qua 3 điểm phân biệt A(x
1

,y
1
), B(x
2
,y
2
), C(x
3
,y
3
)
Lời giải
Vì A(x
1
,y
1
)

(P) nên ax
1
2
+ bx
1
+ c = y
1
(1)
Vì B(x
2
,y
2

)

(P) nên ax
2
2
+ bx
2
+ c = y
2
(2)
Vì C(x
3
,y
3
)

(P) nên ax
3
2
+ bx
3
+ c = y
2
(3)
Giải hệ gồm 3 phơng trình (1), (2), (3) ta tìm đợc a, b, c
Kết luận công thức hàm số
Ngời thực hiện: Vũ Văn Thế
14
Đề tài nghiệp vụ s phạm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị
Ví dụ: Xác định hàm số bậc hai y = ax

2
+ bx + c có đồ thị là Parabol (P) đi
qua 3 điểm phận biệt A(-1;6), B(0;3), C(3;6).
Lời giải
Vì A(-1;6)

(P) nên a-b+c=6 (1)
Vì B(0;3)

(P) nên c = 3 (2)
Vì C(3;6)

(P) nên 9a+3b+c = 6 (3)
Ta có hệ phơng trình
3 3 3
6 3 1
9 3 6 9 3 3 2
c c c
a b c a b a
a b c a b b
= = =


+ = = =


+ + = + = =

Vậy công thức hàm số cần tìm là: y = x
2

2x + 3
b. (P) có mặt phẳng toạ độ đỉnh D(x
0
, y
0
) và đi qua điểm A(x
1
, y
1
)
Lời giải
Vì A(x
1
, y
1
)

(P) nên ax
1
2
+ bx
1
+ c = y
1
(1)
Vì (P) có toạ độ đỉnh D(x
0
, y
0
) nên

0
2
b
x
a

=
(2);
2
0
4
2
4 4
b ac
y
a a

= =
(3)
Giải hệ gồm 3 phơng trình (1), (2), (3) ta tìm đợc a, b, c
Kết luận công thức hàm số.
Ví dụ: xác định hàm số bậc hai y = ax
2
+ bx + c có đồ thị là Parabol (P) đi
qua điểm A(-1;2) và có đỉnh là D(1; 2).
Lời giải:
Vì A(1; 2)

(P) nên a+ b+ c = 2 (1)
Vì (P) có toạ độ đỉnh D(1;-2) nên

1
2
b
a

=
(2);
2
4
2 2
4 4
b ac
a a

= =
(3)
Ta có hệ phơng trình
2
2
2
2 1
1 2 0 2
2
1
4 8 0
4
2
4
a b c
a b c a

b
a b b
a
c
b ac a
b ac
a


+ =

+ = =




= + = =


=
=




=


Vậy hàm số cần tìm có công thức y = x
2

2x 1
c. (P) có toạ độ đỉnh D(x
0
, y
0
)
Ngời thực hiện: Vũ Văn Thế
15
Đề tài nghiệp vụ s phạm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị
và tiếp xúc với đờng thẳng d: y = a x+b
Lời giải:
Vì (P) có toạ độ dỉnh D(x
0,
y
0
) nên phơng trình hoành độ :
ax
2
+ bx + c = ax+b có nghiệm kép

ax
2
+(b-a)x +c-b = 0 có nghiệm kép


= (b-a)-4a(c-b) = 0 (3)
Giải hệ gồm 3 phơng trình (1), (2), (3) ta tìm đợc a, b, c.
Ví dụ1: xác định hàm số bậc hai y = ax
2
+ bx + c có đồ thị là Parabol (P)

nhận D(1;1) là đỉnh và tiếp xúc với đờng thẳng d: y = 2x 2.
Lời giải :
Vì (P) có toạ độ đỉnh D(1;1) nên
1
2
b
a

=
;
2
4
1 1
4 4
b ac
a a

== =
(2)
Vì (P) tiếp xúc với đờng thẳng d: y = 2x 2 nên phơng trình hoành độ
ax
2
+ bx+c = 2x-2 có nghiệm kép.

ax
2
+ (b-2)x+c+2 = 0 có nghiệm kép.


= (b-2)2 4ac(c+2) = 0 (3)

Ta có hệ phơng trình
2
2
2 2
2
( 2) 4 ( 2) 0
4 8 4 4 0 2 0 1
1 2 0 12 4 0 2
2
2
4 4 0 4 4 0
4
1
4
b ac c
b ac a b a b a
b
a b a b b
a
c
b ac a b ac a
b ac
a


+ =


+ = + = =

= + = + = =


=
+ = + =





=


Vậy hàm số cần tìm có công thức y = x
2
2x + 2.
III.1.3 Bài tập:
Bài 1: Cho đờng thẳng d có phơng trình y = 2x 1
a/ Viết phơng trình đờng thẳng song song với d và đi qua gốc toạ độ.
b/ Viết phơng trình đờng thẳng vuông góc với đờng thẳng d và đi qua
điểm N(-1;5).
Bài 2: xác định a, b, c để Parabol (P): y = ax
2
+ bx + c đi qua O(0; 0) và có
đỉnh là D(1; -1)
Ngời thực hiện: Vũ Văn Thế

16
Đề tài nghiệp vụ s phạm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị
Bài 3: cho Parabol (P): y = ax
2
+ bx 1 (
1
2
a
)
a/ Xác định a, b để đỉnh Parabol (P)
nằm trên đờng thẳng d: y = 2x +1
b/ Với a, b vừa tìm đợc vẽ Parabol (P) và đờng thẳng d trên cùng một
mặt phẳng toạ độ.
III.2 Xác định công thức hàm ssố khi biết phơng trình hàm:
Ví dụ1: Tìm f(x) của hàm số biết f(1+
1
2
) = x
2
1 và f(0) = 0
Giải:
+ Với x

0 ta đặt
1
1 t
x
+ =
rồi rút x theo t ta có
1

1
x
t
=

Thay vào công thức ban đầu ta có f(t) = (
1
1t
)
2
1
2
(2 )
( )
( 1)
t t
f t
t

=

Vì tơng ứnghàm số không phụ thuộc vào ký hiệu nên coi f(x) =
2
(2 )
( 1)
x x
x


+ Với x = 0 thay vào công thức vừa tìm đợc ta có f(0) = 0

Vậy hàm số cần tìm là f(x) =
2
(2 )
( 1)
x x
x


Ví dụ 2: Tìm biểu thức f(x) của hàm số biết
2
1
( ) 2 ( )f X f x
x
+ =
với x

0
Từ công thức thay x bởi
1
x

ta có
2 2
1 1 1 1 1
2 2 ( )
1
f f f f x
x x x x
x

ữ

+ = + =
ữ
ữ ữ ữ ữ

ữ

+ Ta có hệ điều kiện với f(x) nh sau:
2
2
4
2
2
2
1
1
( ) 2 ( )
( ) 2
2
( )
3
1 1
1 2
( ) 2 ( )
4 ( ) 2
f x f x
f x f x
x
x

x
f x
x
f f x
f x f
x x
x x



+ =
+ =
ữ




=




+ =
+ =
ữ
ữ

Vậy công thức hàm số là
4
2
2
( )
3
x
f x
x

=
Bài tập:
Ngời thực hiện: Vũ Văn Thế
17
Đề tài nghiệp vụ s phạm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị
Bài1: xác định biểu thức f(x) biết:
a/
2
2
1 ( 1)
x x
f
x x

=
ữ


và f(1) = 0

b/
2
4 8
1 3 4 1
x x
f
x x x


=
ữ
+

với x

1 và f(1) = 0
c/
2
2
10 4 5
2 4 ( 4)
x x x
f
x x x


=
ữ
+

và f(2) = -1
Bài2: Xác định biểu thức f(x) và g(x) biết
a/
(2 1) 2 (2 1) 2
2 1
f x g x x
x x
f g x
x x
+ + + =




+ =
ữ ữ




b/
2 2
(3 1) (6 1) 3
( 1) (2 3) 2
f x g x x
f x x g x x x
+ =


+ + + = +

Dạng IV: Đồ Thị Hàm số
1/ Nhắc lại về đồ thị hàm số:
a/ Định nghĩa: Đồ thị Hàm số y = f(x) là tập hợp các điểm trên mặt phẳng
toạ độ có toạ độ (x; f(x)) với x

TXĐ
b/ Đồ Thị Hàm số bậc nhất y = ax + b (a

0) là một đờng thẳng.
Cách vẽ:
- Lấy 2 điểm có toạ độ thoả mãn công thức hàm số.
Chẳng hạn A(0, b) và B(-
b
a
; 0)
- Vẽ đờng thẳng đi qua A và B
c/ Đồ thị hàm số bậc hai: y = ax
2
+ bx + c (a

0) là Parabol (P) có:
+ Đỉnh D
;
2 4
b
a a

ữ

+ Trục đối xứng: x =-
2
b
a
+ bề lõm quay lên trên khi a>0 ; bề lõm quay xuống dới khi a<0
Ngời thực hiện: Vũ Văn Thế
18
Đề tài nghiệp vụ s phạm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị
d/ Đồ thị hàm giá trị tuyệt đối: y
x với x

0
Chẳng hạn: y =
x =
-x với x

0
Đồ thị hàm số thuộc hai tia phân giác
của các góc vuông I và II (hình 1d) 0 x
hình 1d
e/ Đồ thị hàm phần nguyên: y =
[ ]
x
trong đó
[ ]
x
là kí hiệu số nguyên lớn
nhất không vợt quá x

+ Đồ thị hàm số y =
[ ]
x
với
1 3x
<
có dạng bậc thang nh (hình 1e)
-1 với
1 0x
<
y = 0 với
0 1x <
3
1 với
1 2x
<
2
2 với
2 3x <
1
-1
0 1 2 3
-1
f/ Nhận xét:
+ Đồ thị hàm số y = f(x) và y = f(-x) đối xứng nhau qua trục tung.
+ Hàm số y = f(
x
) có f(x) = f(-x) với mọi x nên có đồ thị nhận truc
tung làm trục đối xứng. Vì vậy khi vẽ chỉ cần:
Vẽ đồ thị y = f(x) với x

0
Lấy đối xứng phần vừa vẽ qua trục tung.
+
y
= x không phải là hàm số nên ta không yêu cầu học sinh vẽ đồ thị
hàm số mà chỉ vẽ đờng biểu diễn mối quan hệ.
2/ Ví dụ:
Ví dụ 1: Vẽ đồ thị hàm số y = x
2
4x+3
+ TXĐ : x

R
+ Tính biến thiên: Hàm số đồng biến với x>2
Ngời thực hiện: Vũ Văn Thế
19
y
x
Đề tài nghiệp vụ s phạm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị
Nghịch biến với x<2
Có giá trị nhỏ nhất là y = -1 khi x = 2
+ Bảng giá trị: x 0 1 2 3 4
y 3 0 -1 0 3

3
2
1 1 2 3 4

Nhận xét: Đồ Thị Hàm số là Parabol (P) có đỉnh D(2; -1) đối xứng qua đ-

ờng thẳng x = 2, bề lõm quay lên trên.
Ví dụ : Vẽ đồ thị hàm số: y = 2x -
x
+ Ta khử dấu giá trị tuyệt đối bằng cách xét các khoảng giá trị của biến
x với x

0
y = 2x-
x
=
3 x với x < 0
+ Bảng giá trị; x 0 1 -1
y 3 1 -3
Đồ thị:
3
2
-2 -1
1
1 2 3
0
-1
Ngời thực hiện: Vũ Văn Thế
20
-3
x
y
y
x
0
Đề tài nghiệp vụ s phạm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị

Nhận xét : đồ thị hàm số y = -x
2
+ 2
x
+ 2 nhận trục tung làm trục đối
xứng.
3/ ứng dụng : Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:
Nhận xét: điểm thấp nhất( cao nhất) trên đồ thị là điểm có tung độ nhỏ
nhất (lớn nhất), tại đó hàm số nhận giá trị nhỏ nhất ( lớn nhất)Vì vậy khi tìm
giá trị lớn nhất ( nhỏ nhất) của hàm số ta có thể vẽ đồ thị của hàm số rôi tìm
điểm cao nhất( thấp nhất của đồ thị .
Ví dụ1: Tìm giá trị nhỏ nhất cua hàm số y =
1 2x x +
Giải
2x 3 (x>2)
Ta có y = 1 (1

x

2)
-2x + 3 (x<1)
Đồ thị hàm số gồm các phần đờng thẳng y = 2x 3 (x>2);
y = 2x + 3 (x<1) và đoạn y = 1 (1

x

2)
Nên đồ thị hàm số là hai nhánh Parabol y = -x
2
+2x+2 với x

0
và y = -x
2
+2x+2 với x<0
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là Max y = 3 khi x = 1 hoặc x = -1
Ví dụ 3: Tìm giá lớn nhất của hàm số : y = - x
2
- 2
1x
+ 1
Giải
-x
2
2x + 3 (x

1)
Ta có y =
-x
2
+ 2x+ 1 (x < 1)
Nên đồ thị hàm số là 2 nhánh Parabol y = -x
2
2x + 3 với (x

1) và
y =-x
2
+ 2x+ 1 với (x < 1)

Ngời thực hiện: Vũ Văn Thế
21
y
x
-1 0 1 3/2 2
-1
-2
-9/4
-4
-5
Đề tài nghiệp vụ s phạm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là Max y = 0 khi x= 1
4/ Bài tập
Bài 1: Cho hàm số y =
2 2
4 4 4 4 1x x x x ax + + + + +

a.Xác định a để hàm số luôn đồng biến
b. Xác định a để đồ thị hàm số đi qua điểm B(1;6). Vẽ đồ thị của
hàm số với a vừa tìm đợc.
Bài 2: Vẽ đồ thị hàm số y =
2 2 2
4 4 6 9 3 2 1x x x x x x + + + + + +

Bài 3: Trong mặt phẳng toạ độ xOy vẽ tập hợp các điểm M(x; y) mà toạ độ
(x; y thoả mãn
1 2 1x y + =
.
Dạng V: Vị trí tơng đối giữa các đồ thị
Cơ sở lý thuyết:

+ Điểm M(x
M
; y
M
)

đồ thị hàm số y = f(x)

y
M
= f(x
M
).
+ Vị trí tơng đối giữa đồ thị các hàm số y = f(x) và y = g(x) phụ thuộc
vào số điểm chung của hai đồ thị.
Giả sử M(x
M
; y
M
) là một điểm chung của đồ thị các hàm số y = f(x) và
y=g(x).
M

đồ thị hàm số y = f(x) và M

đồ thị hàm số y = g(x).
y
M
= f(x
M

) và y
M
= g(x
M
).
(x
M
; y
M
) là nghiệm của hệ phơng trình
( )
( )
y f x
y g x
=


=


Vậy ví trí tơng đối giữa đppf thị hàm số y = f(x) và y = g(x) phụ
thuộc vào số nghiệm của phơng trình
( )
( )
y f x
y g x
=


=

1/ Cách giải :
a. bài toán xácc định vị trí tơng đối giữa đồ thị hàm số y = f(x) và
y=g(x), (f(x) và g(x) có bậc

2)
+ Toạ độ điểm chung (nếu có) của đồ thị các hàm số là nghiệm của hệ:
Ngời thực hiện: Vũ Văn Thế
22
Đề tài nghiệp vụ s phạm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị

( )
( )
y f x
y g x
=


=


+ Phơng trình hoành độ : f(x) = g(x) (3)
+ Số nghiệm của phơng trình (3) quy định vị trí tơng đối giữa đồ thị các
hàm số y=f(x) và y = g(x)f(x) và g(x) có bậc

2).
Hai đồ thị cắt nhau

phơng trình (3) có hai nghiệm phận biệt
Hai đồ thị tiếp xúc

Phơng trình (3) có nghiệm kép
Hai đồ thị không cắt nhau

phơng trình (3) vô nghiệm.
Để biện luận vị trí tơng đối giữa các đồ thị ta biện luận số nghiệm của
phơng trình (3).
Để xác định toạ độ điểm chung giữa các đồ thị ta giải phơng trình (3)
tìm hoành độ x = x
0
, dựa vào phơng trình (1) hoặc (2) để xác định
tung độ tơng ứng y = y
0
.
Kết luận chung:
b. Chú ý: Vị trí tơng đối giữa hai đờng thẳng (d): y = ax + b và d
1
:
y=(2m-3)x+2 (a.a
1


0)
+ d song song với d
1


a = a
1
; b

b
1
+ d cắt d
1


a

a
1
+ Đặc biệt d vuông góc với d
1


a.a
1
= -1
+ d trùng với d
1


a = a
1
; b = b
1

2/ Ví dụ:
Ví dụ 1: cho đờng thẳng d: y = m(x + 2) và d: y = (2m-3)x + 2
a. Biện luận theo m vị trí tơng dối của hai đờng thẳng

Giải
+ d//d
1

2 3 3
3
2 2 1
m m m
m
m m
= =

=



+ d cắt d
1


m

2m-3

m

3
+ không có giá trị nào của m đẻ d trùng với d
1
b. Tìm các giá trị của m để hai đờng thẳng vuông góc. Xác định toạ độ

điểm chung trong từng trờng hợp.
Ngời thực hiện: Vũ Văn Thế
23
(1)
(2)
Đề tài nghiệp vụ s phạm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị
Giải
+ d vuông góc với d
1


m(2m-3) = -1

2m
2
-3m+1 = 0

m =1 hoặc m =
1
2
+ với m =1 ta có d: y = x +2 và d
1
: y = -x + 2 vuông góc với nhau.
Toạ độ điểm chung của d và d
1
là nghiệm của hệ
2 2
2 0
y x y
y x x

= + =



= + =

Vậy với m=1 hai đờng thẳng vuông góc với nhau tại A(0; 2)
+ Với m=
1
2
ta có d: y =
1
1
2
x +
và d
1
: y=-2x+2 vuông góc với nhau.
Toạ độ điểm chung của d và d
1
là nghiệm của hệ
6
1
1
5
2
2
2 2
5
y

y x
y x
y

=


= +




= +
=



Vậy với m=
1
2
hai đờng thẳng vuông góc với nhau tại B
2 6
;
5 5

ữ

Ví dụ2: Biện luận theo m vị trí tơng đói của đồ thị các hàm số y = x
2
-

4x+m (P) và y= 2x+1 (d). Trong trờng hợp tiếp xúc, tìm toạ độ điểm tiếp
xúc.
Giải
Toạ độ điểm chung của (P) và (d) là nghiệm của hệ
2
4
2 1
y x x m
y x

= +

= +

Phơng trình toạ độ x
2
4x+m = 2x+1

x
2
-6x+m-1 = 0 (3)
+ (P) cắt (d) tai hai điểm phận biệt

phơng trình (3) có hai nghiệm
phận biệt


= 9-m+1 > 0

m<10

+ (P) tiếp xúc với (D)

Phuơng trình (3) có nghiệm kép


= 9-m+1 = 0

m=10
Với m= 10 phơng trình (3) trở thành x
2
6x + 9 = 0

x=3
Thay vào (2) ta có y = 7
Vậy với m= 10 thì (P) và (d) tiếp xúc với nhau tại điiểm A(3; 7).
+ (P) không giao với (d)

Phơng trinhg (3) vô nghiệm


= 9-m+1 < 0
Ngời thực hiện: Vũ Văn Thế
24
(1))
(2)
Đề tài nghiệp vụ s phạm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị
Ví dụ 3: Tìm m để đồ thị các hàm số y = x
2
4x 8 (P) và y=mx
2

+
(m+2)x + 8 (P) có không quá một điểm chung.
Giải
+ Toạ độ điểm chung (nếu có) của các đồ thị hàm số là nghiệm của hệ :
y = x
2
4x 8 (1)
y = mx
2
+ (m+2)x + 8 (2)
+ Phơng trình hoành độ x
2
4x 8 = mx
2
+ (m+2)x + 8

(m-1)x
2
+(m+6)x+16=0 (3)
+ (P) và (P) có không quá một điểm chung

phơng trình (3) có không
qua một nghiệm.
- Xét m=1, phơng trình (3) có dạng 7x+16 = 0

x=-
16
7
là nghiệm
duy nhất.

Vậy với m=1 (P) và (P) cắt nhau tại một điểm.
- Xét m

1 (P) và (P) có không qua một điểm chung
0

.

(m+6)
2
64(m-1)

0

m
2
52m+100

0

26 576 26 576m +
m

1
Vậy (P) và (P) có không quá một điểm chung

26 576 26 576m +
.
3: ứng dụng:
Biện luận số nghiệm của phơng trình f(x) = g(x) (1)

Cơ sở lý thuyết:
- Giả sử phơng trình (1) có nghiệm x = x
0
khi đó giá trị tơng ứng
của các vế là f(x
0
) = g(x
0
) = y
0
.
- Nên đồ thị hàm số y = f(x) và y = g(x) có điểm chung (x
0
; y
0
).
Do đó nếu các đồ thị y = f(x) và y = g(x) trên cùng một mặt phẳngtoạ độ
thì số điểm chung của chúng đúng bằng số nghiệm của phơng trình (1).
Cách giải bài toán:
Ngời thực hiện: Vũ Văn Thế
25
Đề tài nghiệp vụ s phạm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị
- Biện luận số nghiệm của phơng trình f(x) = g(x) (1) bằng phơng pháp
đồ thị.
- Vẽ đồ thị hai hàm số y = f(x) (C) và y = g(x) (C) trên cùng mặt
phẳng toạ độ.
- Biện luận số nghiệm chung của â và (C) => số nghiệm của phơng
trình.
Ví dụ :
Ví dụ1: Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình

1 2x x m + =
Giải
+ Vẽ đò thị hàm số y =
1 2x x +
và y = m trên cùng một mặt phẳng
toạ độ.


+ Theo đồ thị ta có
m < 1 phơng trình (1) vô nghiệm.
m = 1 phơng trình (1) có vô số nghiệm :
1 2x

m > 1 phơng trình (1) cóa hai nghiệm phân biệt.
Ví dụ 2:Với giá trị nào của a, phơng trình sau có nghiệm duy nhất
2 1 3x a x + = +
(1)
Giải
Phơng trình (1)


2 3 1x a x = +

Ngời thực hiện: Vũ Văn Thế
26
3
2
1
0
1 2 3 x

y
y = m