Đề cương ÔN TẬP Học Kì 2 môn Toán 9

Môn Toán 9
A.Lí THUYếT
Câu 1: Hàm số y = ax
2
(a khác 0): Tính chất và đồ thị?
Câu 2: Công thức nghiệm của phơng trình bậc 2 một ẩn.(Khi hệ số b chẵn và khi hệ số b
lẻ)
Câu 3: Hệ thức Vi-et: Phát biểu và ứng dụng.
Câu 4: Giải bài toán bằng cách lập phơng trình: (toán năng suất, chuyển động và quan hệ
số)
Câu 5: Góc ở tâm và góc nội tiếp: Tính nghĩa, số đo, tính chất?
Câu 6: Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung, góc có đỉnh ở bên trong hay bên ngoài đ-
ờng tròn: Định nghĩa, số đo, tính chất?.
Câu 7: Liên hệ giữa cung và dây: Phát biểu định lí, vẽ hình, chứng minh.
Câu 8: Cung chứa góc:
- Quỹ tích các Điểm M nhìn đoạn thẳng AB một góc 90
0
.
- Quỹ tích các Điểm M nhìn đoạn thẳng AB một góc

( 0 <

< 180
0
)
Câu 9: Tứ giác nội tiếp:
- Định nghĩa, tính chất?
- Các dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp.
Câu 10: Độ dài đờng tròn, cung tròn. Diện tích hình tròn, hình quạt tròn: Vẽ hình, viết
công thức tính.
B.BàI TậP

*Dạng 1: Toán rút gọn:
Bài 1: Cho biểu thức P=








++
+












+
1
2
1:
1
1

1
2
xx
x
xxx
xx
a) Rút gọn P b/Tính
P
khi x=30 +
510
Bài 2: Cho biểu thức:P=
12
.
1
2
1
12
1











+

+
+
a
aa
aa
aaaa
a
aa
a) Rút gọn P c) Cho P=
61
6
+
, tìm giá trị của a?
b) Chứng minh rằng P >
3
2
Bài 3: Cho biểu thức :P=
1
2
1
2
+
+

+
+
a
aa

aa
aa
a) Rút gọn P b) Biết a >1 Hãy so sánh P với
P

c) Tìm a để P=2 d) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Bài 4: Cho biểu thức:P=
( )
( )
baba
baa
babbaa
a
baba
a
222
.1
:
133
++

+


++
a) Rút gọn P
b) Tìm những giá trị nguyên của a để P có giá trị nguyên
Bài 5: Cho biểu thức: P=









+


+







1
2
2

1
:
1
1
1
a
a
a
a
aa
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của a để P >
2
1
Bài 6: Cho biểu thức :P=
x
x
yxyxx
x
yxy
x


+

1
1
.
22
2

2
3
a) Rút gọn P
b) Tìm tất cả các số nguyên dơng x để y=625 và P<0,2
*Dạng 2: Các bài toán liên quan đến phơng trình bậc hai
một ẩn và áp dụng hệ thức Vi-et:
Bài 1: Cho phơng trình
( )
0122
2
=+++ mxmx
.
Giải phơng trình khi m =2
a) Tìm các giá trị của m để phơng trình có nghiệm.
b) Gọi
21
; xx
là hai nghiệm của phơng trình. Tìm giá trị của m để:
2
1221
)21()21( mxxxx =+
Bài 2: Cho phơng trình :
( )
03412
22
=+++ mmxmx

a) Xác định giá trị của m để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu
b) Xác định giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt đều nhỏ hơn không.
c) Gọi

21
; xx
là hai nghiệm nếu có của phơng trình . Tính M =
2
2
2
1
xx +
theo m. Tìm giá
trị nhỏ nhất của M ( nếu có)
Bài 3: Cho phơng trình:
0122
2
=+ mmxx
a) Chứng tỏ rằng phơng trình có nghiệm
21
; xx
với mọi m.
b) Đặt A=
21
2
2
2
1
5)(2 xxxx +
.
b1) Chứng minh rằng: A=
9188
2
+ mm

b2) Tìm m sao cho A= 27.
c) Tìm m sao cho phơng trình có nghiệm này bằng ba lần nghiệm kia.
Bài 4: Cho phơng trình
03
2
=++ nmxx
(1) (n , m là tham số)
a) Cho n = 0. CMR phơng trình luôn có nghiệm với mọi m
b) Tìm m và n để hai nghiệm: x
1
; x
2
của phơng trình (1) thoả mãn hệ:



=
=
7
1
2
2
2
1
21
xx
xx
Bài 5: Cho phơng trình :
( )
0332

22
=+ mmxmx
a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm
21
, xx
thoả mãn
50
21
<<< xx
Bài 6*: Cho phơng trình
( )
010212
2
=+++ mxmx
(với m là tham số )
a) Giải và biện luận về số nghiệm của phơng trình
b) Trong trờng hợp phơng trình có hai nghiệm phân biệt là
21
; xx
; hãy tìm một hệ thức
liên hệ giữa
21
; xx
mà không phụ thuộc vào m
c) Tìm giá trị của m để
2
2
2
121

10 xxxx ++
đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 7*: Cho phơng trình
0834
2
=+ xx
có hai nghiệm là
21
; xx
.
Không giải phơng trình, hãy tính giá trị của biểu thức :
2
3
1
3
21
2
221
2
1
55
6106
xxxx
xxxx
M
+
++
=
*Dạng 3: Các bài tập về hệ phơng trình bậc nhất 2 ẩn:
Bài 1: Tìm giá trị của m để hệ phơng trình ;

( )
( )



=+
+=+
21
11
ymx
myxm

Có nghiệm duy nhất thoả mãn điều kiện x + y nhỏ nhất
Bài 2:Cho hệ phơng trình :



=+
=+
ayxa
yxa
.
3)1(
a) Giải hệ phơng rình khi a= -
2
b) Xác định giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn điều kiện:
x + y > 0
Bài 3*: Cho a và b thoả mãn hệ phơng trình :

=+
=++
02
0342
222
23
bbaa
bba
.Tính
22
ba +

*Dạng 4: Các bài tập về hàm số bậc hai và đồ thị hàm số
y = ax
2
( a

0 )
Bài 1 Cho (P)
2
xy =
và đờng thẳng (d) y=2x+m
a) Vẽ (P)
b) Tìm m để (P) tiếp xúc (d)
Bài 2: Vẽ đồ thị hàm số: y =
2
1
x
2

a) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm A 2 ; -2 ) và B 1 ; - 4 )
b) Tìm giao điểm của đờng thẳng vừa tìm đợc với đồ thị trên .
Bài 3: Cho (P)
4
2
x
y =
và (d): y=x+ m
a) Vẽ (P)
b) Xác định m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B
c) Xác định phơng trình đờng thẳng (d') song song với đờng thẳng (d) và cắt (P) tại
điẻm có tung độ bằng - 4
Bài 4: Cho (P)
2
4
1
xy =
và đờng thẳng (d) qua hai điểm A và B trên (P) có hoành độ lầm
lợt là -2 và 4
a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số trên
b) Viết phơng trình đờng thẳng (d)
c) Tìm điểm M trên cung AB của (P) tơng ứng hoành độ
[ ]
4;2x
sao cho tam giác
MAB có diện tích lớn nhất.
(Gợi ý: cung AB của (P) tơng ứng hoành độ
[ ]
4;2x
có nghĩa là A(-2;

A
y
) và
B(4;
B
y
)

tính
BA
yy ;
;
)
Bài 5: Cho đờng thẳng (d):
2)2()1(2 =+ ymxm

a) Tìm m để đờng thẳng (d) cắt (P)
2
xy =
tại hai điểm phân biệt A và B
b) Tìm toạ độ trung điểm I của đoạn AB theo m
c) Tìm điểm cố định mà (d) đi qua khi m thay đổi
d) * Tìm m để (d) cách gốc toạ độ một khoảng lớn nhất.
Bài 6:* Cho (P)
2
xy =

a) Tìm trên (P) các điểm sao cho khoảng cách tới gốc toạ độ bằng
2
b) Tìm tập hợp các điểm M sao cho từ đó có thể kẻ đợc hai đờng thẳng vuông góc

với nhau và tiếp xúc với (P)

Bài 7*: Cho (P)
4
2
x
y =
và điểm M (1;-2)
a) Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua M và có hệ số góc là m
b) Chứng minh rằng: (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B khi m thay đổi
c) Gọi
BA
xx ;
lần lợt là hoành độ của A và B .Xác định m để
22
BABA
xxxx +
đạt giá trị
nhỏ nhất và tính giá trị đó
d) Gọi A' và B' lần lợt là hình chiếu của A và B trên trục hoành và S là diện tích tứ
giác AA'B'B.
d1) Tính S theo m
d2) Xác định m để S =
)28(4
22
+++ mmm
*Dạng 5: Giải bài toán bằng cách lập phơng trình:
Bài 1
Hai ô tô khởi hành cùng một lúc đi từ A đến B cách nhau 300 km . Ô tô thứ nhất
mỗi giờ chạy nhanh hơn ô tô thứ hai 10 km nên đến B sớm hơn ô tô thứ hai 1 giờ . Tính

vận tốc mỗi xe ô tô .
Bài 2: Một nhóm thợ đặt kế hoạch sản xuất 1200 sản phẩm. Trong 12 ngày đầu họ làm
theo đúng kế hoạch đề ra, những ngày còn lại họ đã làm vợt mức mỗi ngày 20 sản phẩm,
nên hoàn thành kế hoạch sớm 2 ngày. Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày cần sản xuất bao nhiêu
sản phẩm.
Bài 3:
Một đoàn xe vận tải dự định điều một số xe cùng loại để vận chuyển 40 tấn hàng. Lúc
sắp khởi hành đoàn xe đợc giao thêm 14 tấn hàng nữa do đó phải điều thêm 2 xe cùng loại
trên và mỗi xe chở thêm 0,5 tấn hàng. Tính số xe ban đầu biết số xe của đội không quá 12
xe.
Bài 4:
Một ca nô đi xuôi từ bến A đến bến B, cùng lúc đó một ngời đi bộ cũng đi từ bến A dọc
theo bờ sôngvề hớng bến B. Sau khi chạy đợc 24 km, ca nô quay chở lại gặp ngời đi bộ tại
một địa điểm D cách bến A một khoảng 8 km. Tính vận tốc của ca nô khi nớc yên lặng,
biết vận tốc của ngời đi bộ và vận tốc của dòng nớc đều bằng nhau và bằng 4 km/h
Bài 5: Hai vòi nớc cùng chảy vào một cái bể chứa không có nớc thì sau 2 giờ 55 phút sẽ
đầy bể . Nếu chảy riêng thì vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai 2 giờ. Hỏi nếu
chảy riêng thì mỗi vòi chảy đầy bể trong bao lâu ?
Bài 6: Một cơ sở đánh cá dự định trung bình mỗi tuần đánh bắt đợc 20 tấn cá, nhng đã vợt
mức đợc 6 tấn mỗi tuần nên chẳng những đã hoàn thành kế hoạch sớm 1 tuần mà còn vợt
mức kế hoạch 10 tấn. Tính mức kế hoạch đã định
Bài 7: Một xí nghiệp đóng giầy dự định hoàn thành kế hoạch trong 26 ngày. Nhng do cải
tiến kỹ thuật nên mỗi ngày đã vợt mức 6000 đôi giầy do đó chẳng những đã hoàn thành
kế hoạch đã định trong 24 ngày mà còn vợt mức 104 000 đôi giầy. Tính số đôi giầy phải
làm theo kế hoạch.
*Dạng 6: Tứ giác nội tiếp
Câu 1: Cho hình bình hành ABCD có đỉnh D nằm trên đờng tròn đờng kính AB. Hạ BN
và DM cùng vuông góc với đờng chéo AC.
Chứng minh:
a) Tứ giác CBMD nội tiếp.

b) Khi điểm D di động trên trên đờng tròn thì
DMB

+
DCB

không đổi.
c) DB . DC = DN . AC
Câu 2: Cho đờng tròn tâm O. A là một điểm ở ngoài đờng tròn, từ A kẻ tiếp tuyến AM,
AN với đờng tròn, cát tuyến từ A cắt đờng tròn tại B và C ( B nằm giữa A và C ) . Gọi I là
trung điểm của BC.
1) Chứng minh rằng 5 điểm A, M, I, O, N nằm trên một đờng tròn.
2) Một đờng thẳng qua B song song với AM cắt MN và MC lần lợt tại E và F.
Chứng minh tứ giác BENI là tứ giác nội tiếp và E là trung điểm của BF
Câu 3: Cho tam giác ABC , góc B và góc C nhọn. Các đờng tròn đờng kính AB, AC cắt
nhau tại D. Một đờng thẳng qua A cắt đờng tròn đờng kính AB, AC lần lợt tại E và F.
1) Chứng minh B , C , D thẳng hàng.
2) Khi E F vuông goc với AD. Chứng minh B, C , E , F nằm trên một đờng tròn.
3) Xác định vị trí của đờng thẳng qua A để EF có độ dài lớn nhất.
Câu 4:
Cho tam giác ABC vuông ở A và một điểm D nằm giữa A và B. Đờng tròn đờng
kính BD cắt BC tại E. Các đờng thẳng CD, AE lần lợt cắt đờng tròn tại các điểm thứ hai F,
G. Chứng minh:
a) Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD.
b) Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp đợc trong một đờng tròn.
c) AC song song với FG.
d) Các đờng thẳng AC, DE và BF đồng quy.
Câu 5:
Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O. M là một điểm trên cung AC ( không
chứa B ) kẻ MH vuông góc với AC ; MK vuông góc với BC.

1) Chứng minh tứ giác MHKC là tứ giác nội tiếp.
2) Chứng minh góc AMB = góc HMK.
3) Chứng minh AMB đồng dạng với HMK.
Câu 6: Cho đờng tròn tâm O và điểm A nằm ngoài đờng tròn đó. Vẽ các tiếp tuyến AB,
AC và cát tuyến ADE tới đờng tròn (B và C là tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của DE.
a) CMR: A,B, H, O, C cùng thuộc một đờng tròn. Xác định tâm của đờng tròn
đó.
b) CMR: HA là tia phân giác của góc BHC.
c) Gọi I là giao điểm của BC và DE. CMR: AB
2
= AI.AH
BH cắt (O) ở K. Chứng minh rằng: AE song song CK.
Câu 7: Cho ABC ( AC > AB ;
CAB

> 90
0
). I, K theo thứ tự là các trung điểm của
AB, AC. Các đờng tròn đờng kính AB, AC cắt nhau tại điểm thứ hai D; tia BA cắt đờng
tròn (K) tại điểm thứ hai E; tia CA cắt đờng tròn (I) tại điểm thứ hai F.
a) CMR ba điểm B, C, D thẳng hàng
b) CMR tứ giác BFEC nội tiếp đợc
c) Chứng minh ba đờng thẳng AD, BF, CE đồng quy
d) Gọi H là giao điểm thứ hai của tia DF với đờng tròn ngoại tiếp AEF. Hãy so sánh
độ dài các đoạn thẳng DH, DE.
Câu 8:* Cho đờng tròn (O; R) và điểm A với OA =
2R
, một đờng thẳng (d) quay quanh
A cắt (O) tại M, N; gọi I là trung điểm của đoạn MN.
a) CMR: OI MN. Suy ra I di chuyển trên một cung tròn cố định với hai điểm giới

hạn B , C thuộc (O)
b) Tính theo R độ dài AB, AC. Suy ra A , O , B , C là bốn đỉnh của hình vuông.
c) Tính diện tích của phần mặt phẳng giới hạn bởi đoạn AB , AC và cung nhỏ BC của
(O)