tiểu luận dao động tử điều hòa

A. MỞ ĐẦU
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Như chúng ta biết Cơ học lượng tử là một lý thuyết Vật lý nghiên cứu sự vận
động của vật chất trong thế giới vi mô, các hạt trong thế giới đó gọi là vi hạt. Vấn
đề ở đây là các quy luật vận động của vi hạt không tuân theo các quy luật cổ điển.
Chỉ có cơ học lượng tử mới giải quyết một cách sâu sắc các quy luật và chính xác
các hiện tượng này.
Tuy nhiên bên cạnh đó nội dung cơ sở lý thuyết cũng như bài tập vận dụng
của Cơ học lượng tử tương đối khá phức tạp, chỉ có một số ít bài toán có lời giải
chính xác cho phương trình Schrodinger xác định các trạng thái dừng, đó là: Bài
toán hạt trong hố thế vuông góc, dao động tử điều hòa và bài toán về nguyên tử
hiđrô (chuyển động của hạt trong trường xuyên tâm). Nhưng trong đó Dao động tử
điều hòa là bài toán cơ bản nhất, có lời giải chính xác không những trong cổ điển
mà cả trong cơ học lượng tử và đây cũng là bài toán giải được chính xác trong cơ
học lượng tử. Vì vậy em chọn đề tài này để nghiên cứu.
II. PHẠM VI NGHIÊN CỨU
Trong Cơ học lượng tử, kiến thức về cơ sở lý thuyết khá rộng được phân bổ
thành nhiều chương. Nhưng ở đây ta chỉ xét phần “Dao động tử điều hòa”. Cụ thể
là nghiên cứu về năng lượng của dao động tử điều hòa lượng tử 1 chiều và 3 chiều
và các dạng toán liên quan đến dao động tử điều hòa.
III. MỤC TIÊU NGHIÊN CỨU
Tìm hiểu về Dao động tử điều hòa: khái niệm, các loại Dao động tử điều hòa,
ứng dụng giải các bài tập.
III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
Ở đây ta đi nghiên cứu về năng lượng của dao động tử điều hòa.
IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
- Thu thập thông tin, tài liệu từ các nguồn: Internet, tài liệu khác.
- Phân tích và tổng hợp tài liệu.
- Dựa trên kiến thức lĩnh hội được trong quá trình học và các lý thuyết sẵn
có.
- Đưa ra các bài tập vận dụng.

B. NỘI DUNG
I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
I.1. Khái niệm Dao động tử điều hòa
Trong cơ học cổ điển, dao động tử điều hòa là một hệ thống cơ học thực
hiện dao động mà chuyển động của có thể mô tả bởi những hàm số điều hòa của
thời gian, mà cụ thể ở đây thường là hàm sin và cosin. Năng lượng của dao động tử
điều hòa có thể nhận các giá trị liên tục và tần số bức xạ trùng với tần số dao động
cơ học của dao động tử điều hòa. Ví dụ như dao động của con lắc đơn, con lắc lò
xo quanh vị trí cân bằng.
Trong cơ học lượng tử, dao động điều hòa là khi một vi hạt thực hiện dao động
nhỏ điều hòa xung quanh vị trí cân bằng. Năng lượng của các dao động tử điều hòa
có giá trị gián đoạn (khác với lý thuyết cổ điển). Ví dụ như dao động của nguyên tử
trong phân tử, dao động của các ion xung quanh nút mạng tinh thể v.v…
Chuyển động của dao động tử điều hòa gọi là dao động điều hòa. Nó là một
hiện tượng rất quan trọng của vật lý nói chung và cơ học lượng tử nói riêng.
I.2. Dao động tử điều hòa 1 chiều
Xét một hạt có khối lượng m chuyển động trên trục x chịu tác dụng của một lực
F tỉ lệ với x và trái dấu với x:
F = -kx
 Theo cơ học cổ điển:
Hạt sẽ dao động quanh vi trí cân bằng x = 0 vì thế ta gọi nó là dao động tử điều
hòa. Phương trình của dao động tử điều hoà theo cơ học cổ điển là:
2
2
d x
F mx m
dt
= =
&&
hay là

2
2
0
d x k
x
dt m
+ =
trong đó
k
m
là một số dương, ta đặt:
2
k
m
ω
=
Nghiệm của phương trình, có dạng:
sin osx A t Bc t
ω ω
= +
cos( )x a t
ω ϕ
= +
Động năng của hạt tính bằng công thức:

2 2 2 2
sin ( )
2 2
mx ma t
T

ω ω ϕ
+
= =
&
Thế năng bằng:
U dU
F
x dx
∂
= − = −
∂
cho rằng hàm F tác dụng theo phương x
2 2 2 2
0 0
os ( )
( )
2 2
x x
x ma c t
U Fdx kx dx k
ω ω ϕ
+
= − = − − = =
∫ ∫
Năng lượng toàn phần của hạt bằng:
2 2
2
ma
E T U
ω

= + =
Ứng với một giá trị
ω
, năng lượng có thể có những giá trị liên tục, tỉ lệ thuận
với a.
 Theo cơ học lượng tử:
Ta có toán tử động năng:
2
'
2 2
2
ˆ
( )
2 2
m x
d
T x
m dx
∧
 
 ÷
 
= = −
h
Nếu xét bài toán trong cơ học lượng tử tức là viết phương trình Schrodinger cho
dao động tử ta phải viết toán tử thế năng ở dạng:

2 2 2 2 2
ˆ
( )

2 2 2
k x m x m x
U x
ω ω
∧ ∧
= = =
trong đó toán tử
2 2
x x
∧
=
là một phép nhân bình thường.
Vậy phương trình Schrodinger có dạng:
2 2 2
2
2
( ) ( )
2 2
n n n
d m
x u x E u x
m dx
ω
 
− + =
 ÷
 
h
2
2

1
( ) ( ) ( )
2
n n n
d
m x u x E u x
m i dx
ω
 
 
 
+ =
 
 
 
 
 
h
Lưu ý ta dùng chỉ số n để kí hiệu thứ tự của mức năng lượng (n là số nguyên),
u
n
(x) là nghiệm ứng với mức năng lượng E
n
. Giải phương trình này ta có thể tìm
thấy nghiệm u
n
(x) dưới dạng chuỗi lũy thừa, chuỗi này phải thỏa mãn một số điều
kiện. Từ các điều kiện có thể suy ra giá trị của năng lượng E
n
.

Đế giải bài toán này ta xem hai toán tử a
+
, a
_
có dạng là:
1
2
d
a im x
i dx
m
ω
±
 
= ±
 
 
h
Ta tính giao hoán tử của hai toán tử đó bằng cách dung một hàm f(x):
1
( ) ( ) ( )
2
d d
a a f x im x im x f x
m i dx i dx
ω ω
− +
   
= − +
   

   
h h

2
2 2
2
2
2
1
( )
2
1
( . ) ( ) ( )
2
1 1
ˆ
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
d df
im x im xf x
m i dx i dx
d f d df
m x f m x m x f x
m dx dx dx
d
m x m f x H f x
m i dx
ω ω
ω ω ω
ω ω ω

   
= − +
   
   
 
= − + − +
 
 
 
   
= + + = +
 
 ÷  ÷
   
 
 
h h
h h h
h
h h
như vậy:
1 1
ˆ ˆ
( ) ( ) ( )
2 2
a a H H a a
m
ω ω
− + − +
= + → = −h h

(*)
tương tự:
1 1
ˆ ˆ
( ) ( ) ( )
2 2
a a H H a a
m
ω ω
+ − + −
= − → = +
h h
(**)
Lấy (*) – (**) ta được:
1 1
ˆ ˆ
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
a a a a H H
ω ω ω
− + + −
− = + − − =h h h
Ta dùng phương trình (**) để viết lại phương trình Schrodinger:

1
ˆ
( ) ( ) ( ) ( )
2
n n n n
Hu x a a u x E u x

ω
+ −
 
= + =
 
 
h
Đến đây ta chứng minh nếu U(x) là nghiệm riêng nào đó thỏa mãn phương trình
Schrodinger với trị riêng E thì hàm
( )a U x
+
cũng thỏa mãn phương trình
Schrodinger với năng lượng riêng là
E
ω
+
h
 Xét:
1 1
ˆ
( ) ( ) ( )
2 2
H a U a a a U a a a U a U
ω ω
+ + − + + − + +
 
= + = +
 
 
h h

( ) ( )
{ }
1 1
2 2
ˆ ˆ
( ) ( )( )
a a a U a a a U
H a U a H U E a U
ω ω ω
ω ω
+ − + + − +
+ + +
   
= + = − +
   
   
= = + = +
h h h
h h
Tương tự ta cũng chứng minh nếu U(x) là nghiệm riêng nào đó thỏa mãn
phương trình Schrodinger với trị riêng E thì hàm
( )a U x
−
cũng thỏa mãn phương
trình Schrodinger với năng lượng riêng là
E
ω
−
h

 Xét:
1 1
ˆ
( ) ( ) ( )
2 2
H a U a a a U a a a U a U
ω ω
− − + − − + − −
 
= − = −
 
 
h h

( ) ( )
{ }
1 1
2 2
ˆ ˆ
( ) ( )( )
a a a U a a a U
H a U a H U E a U
ω ω ω
ω ω
− + − − + −
− − −
   
= − = + −
   
   

= = − = −
h h h
h h
Kết luận: Khi tác dụng toán tử
a
+
lên một trạng thái u
k
(x) có mức năng lượng
E
k
nào đó ta được một trạng thái
1
( )
k
u x
+
có mức năng lượng E
k
+
ω
h
còn khi tác
dụng toán tử
a
−
lên một trạng thái u
k
(x) có mức năng lượng E
k

nào đó ta được một
trạng thái
1
( )
k
u x
−
có mức năng lượng E
k
-
ω
h
. Các toán tử a
+
, a
_
được gọi là toán tử
tăng và toán tử giảm.
Nếu cứ tác dụng liên tục toán tử a
-
lên một trạng thái nào đó thì trị riêng năng
lượng sẽ giảm dần và có lúc sẽ nhỏ hơn không. Như vậy chắc chắn sẽ có một trạng
thái thấp nhất gọi là trạng thái cơ bản u
0
(x) sao cho: a
_
u
0
(x) = 0
Dựa vào biểu thức

0 0
1
( ) ( ) 0
2
d
a u x im x u x
i dx
m
ω
−
 
= − =
 
 
h
0 0
0
0
2 2
0 0 0
( ) ( )
. ( ) .
( )
ln ( ) ons ( ) exp
2 2
du x du x
m m
x u x x dx
dx u x
m m

u x x c t u x A x
ω ω
ω ω
→ = − → = −
 
→ = − + → = −
 ÷
 
∫ ∫
h h
h h
Để tìm ra trị riêng năng lượng ở trạng thái cơ bản ta sử dụng (**)
( )
0 0 0 0 0
1 1
ˆ
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
Hu x a a u x E u x u x
ω ω
+ −
 
= + = =
 
 
h h
Như vậy:
0
1
2

E
ω
=
h
. Đây chính là giá trị năng lượng ở mức cơ bản.
Các mức năng lượng cao hơn được tìm thấy bằng cách tác dụng toán tử tăng lên
trạng thái cơ bản liên tục thì trị riêng của các trạng thái cao hơn (gọi là trạng thái
kích thích). Như vậy năng lượng của các dao động tử điều hòa có giá trị gián đoạn
(khác với lý thuyết cổ điển) và có giá trị nhỏ nhất bằng
min
1
2
E
ω
= h
năng lượng này
được gọi là năng lượng không. Các mức năng lượng kích thích là:
1
2
k
E k
ω
 
= +
 ÷
 
h
(***)
trong đó k là các số nguyên dương hoặc bằng không k = 0,1,2,3…
Từ (***) nếu dung điều kiện chuẩn hóa có thể tính được:

1
4
0
m
A
ω
π
 
=
 ÷
 
h
Ta có thể tìm được biểu thức của hàm song biểu diễn cho dao động tử điều hòa
u
k
(x) ứng với mức năng lượng thứ k là:
1
4
2
0
1
4
2
0
( ) exp
2
( ) ( ) ( ) ( ) exp
2
K K
k

m m
u x x
m m
u x a u x a x
ω ω
π
ω ω
π
+ +
   
= −
 ÷  ÷
   
   
= = −
 ÷  ÷
   
h h
h h
Năng lượng cơ bản liên quan chặt chẻ với dao động không của dao động tử,
nghĩa là khi nhiệt độ T tiến về không, dao động tử vẫn dao động với mức năng
lượng
min
1
2
E
ω
=
h
. Điều này đã được thực nghiệm xác nhận bằng thí nghiệm tán xạ

của tia X qua tinh thể khi ở nhiệt độ thấp. Tia X bị tán xạ là do các dao động
nguyên tử trong mạng tinh thể gây ra.
Theo cơ học cổ điển, khi nhiệt độ càng giảm, biên độ dao động của các nguyên
tử giảm dần đến 0, do đó sự tán xạ của ánh sang phải biến mất.
Nhưng thực nghiệm chứng tỏ, khi nhiệt độ giảm, cường độ tán xạ tiến tới một
giới hạn nào đó. Điều đó có nghĩa là, ngay cả khi nhiệt độ tiến về không, sự tán xạ
ánh sang vẫn xảy ra và các nguyên tử trong mạng tinh thể vẫn dao động, tương ứng
với năng lượng E
0
nào đó.Như vậy thực nghiệm về tán xạ của tia X qua tinh thể ở
nhiệt độ thấp đã chứng tỏ sự đúng đắn của cơ học lượng tử.
Sự tồn tại của “năng lượng không” cũng phù hợp với những hệ thức bất định
Heisenberg. Thực vậy, nếu mức năng lượng thấp nhất của dao động bằng 0, như
thế có nghĩa là hạt đứng yên và vận tốc và tọa độ của vi hạt được xác định đồng
thời (đều bằng 0), điều này mâu thuẫn với hệ thức bất định. Sự tồn tại của mức
năng lượng "không" của dao động điều hòa là một trong những biểu hiện đặt trưng
của lưỡng tính sóng hạt của vi hạt.
I.3. Dao động tử điều hòa lượng tử 3 chiều
Ta có thế năng:
2 2 2 2 2 2
1 1 1
( , , )
2 2 2
x y z
U x y z m x m y m z
ω ω ω
= + +
Phương trình Schrodinger ba chiều:
ˆ
( , , ) ( , , )H x y z E x y z

ψ ψ
=
Nghiệm của phương trình là:
( , , ) ( ) ( ) ( )
3 3
2 2
x y z x y z
x y z
n n n n n n
n n n x y z
x y z x y z
E n n n n
ψ ψ ψ ψ
ω ω
=
   
= + + + = +
 ÷  ÷
   
h h
II. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1:Một hạt với năng lượng di chuyển dưới thế năng của dao động tử điều
hòa. Tính xác suất tìm thấy hạt trong vùng cấm cổ điển.So sánh kết quả này
với xác suất tìm thấy hạt ở những mức năng lượng cao hơn.
Bài giải:
Đối với dao động tử điều hòa cổ điển ta có:
Do đó năng lượng là
Trong đó:
Vùng cấm cổ điển là hoặc . Do đó xác suất tìm thấy hạt trong vùng cấm cổ
điển là:

Xét về trạng thái cơ bản ta có:
Thay đổi các biến số tích phân ta được
Ta có . Do đó
Ta tính được:
Đối với trạng thái kích thích, xác suất ở vùng cấm cổ điển là:
Đặt , ta được:
Sử dụng đa thức Hermite đã học , , , Và , Ta được:
Nghiệm số là:
Ta cũng tính được
Do đó ta thấy rằng .
Lưu ý rằng giá trị của nhỏ hơn cho những mức năng lượng cao hơn. Lý do là
những hạt với năng lượng cao “cổ điển hơn” những hạt với năng lượng thấp
hơn và do đó xác suất những hạt ở mức năng lượng cao hơn nằm trong
vùngma cấm cổ điển bé hơn
Bài 2:
Xét dao động tử điều hòa 1 chiều với phương trình Hamilton
Ta định nghĩa các toán tử mới:
Nên
a, Tính giao hoán tử
b, Với các toán tử và và được định nghĩa như sau:
Tính và với là hàm riêng của dao động tử với trạng thái năng lượng thứ
Bài giải:
a, Ta dùng mối quan hệ qiao hoán đã biết , nên:
b, Dùng kết quả đã đạt được ở câu a, ta có:
Thay vào (5.8.1), ta có:
Bây giờ ta tính giao hoán tử
Do đó . Ta thu được:
Ta cũng cần tính các giao hoán tử ,
Tương tự:
Do đó, sử dụng hàm riêng của năng lượng , ta có thể viết:

Do đó .Tương tự:
Nên .
Ta áp dụng vào trạng thái
Nên:
Hoặc
Do đó, ta kết luận rằng: tỉ lệ với , Tức là:
Với là hằng số được cho bởi
Ta đã thấy rằng do đó . Chọn.
Cuối cũng ta có được:
Tương tự ta áp dụng vào trạng thái và tìm
Hoặc
Nên ta kết luận rằng tỉ lệ với , tức là:
Với là hằng số
Ta thấy rằng , do đó . Chọn .
Ta có
Lưu ý rằng ta áp dụng vào trạng thái cơ bản , ta được:
Do đó ta …
Bài 3: Cho một dao động tử điều hòa một chiều.
a) Xuất phát từ hệ thức bất định, xác định mức năng lượng thấp nhất có thể có của
dao động tử điều hòa.
b) Tính các giá trị trung bình
2
,x x
của dao động tử điều hòa ở trạng thái cơ bản
(trạng thái có mức năng lượng thấp nhất)
( )
0
x
ψ
.

( )
2
ax
2
4
0
,
a m
x e a
ω
ψ
π
−
= =
h
Cho
2
ax
e dx
a
π
+∞
−
−∞
=
∫
.
Bài giải
a) Ta có:
2 2

2
ˆ
2 2
p m
H x
m
ω
∧
= +
Năng lượng trung bình của dao động tử điều hòa được xác định bằng công thức:
2
2 2 2
2 2
ˆ
* *
2 2 2 2
x
p
m p m
E H dx x dx x
m m
ω ω
ψ ψ ψ ψ
∧
 
 ÷
= = + = +
 ÷
 ÷
 

∫ ∫
(1)
Theo hệ thức bất định ta có:
( )
( )
2
2 2
2
2 2
p p p
x x x

= + ∆



= + ∆

Thay vào (1) ta được:
( )
( )
2
2
2
2
2
2 2
p p
m
E x x

m
ω
∆ +
 
= + + ∆
 
 

2 2
2
2 2
p m
E x
m
ω
∆
≥ + ∆
Áp dụng hệ thức bất định
2
2
2
4
x
p
x
∆ ≥
∆
h
ta có:
2 2

2
2
8 2
m
E x
m x
ω
≥ + ∆
∆
h
( )
2 2
2 2
min
2
2
8
m
f x E x
m x
ω
∆ = = + ∆
∆
h
( )
2 2
8 2
m
f a a
ma

ω
= +
h
;
2
a x
= ∆
( )
2 2
'
2
0
8 2
m
f a
ma
ω
−
= + =
h

2 2
2
2 8
m
ma
ω
=
h


2
2
2 2
2
8 2
a a
m m
ω ω
= → =
h h

( )
2
2
2
2 8 2.2 2
m
m
f
m m m
ω
ω ω
ω ω
 
= + =
 ÷
 
h
h h h
h

Vậy mức năng lượng thấp nhất có thể có của dao động tử điều hòa một chiều là:
min
2
E
ω
=
h
.
b) Ta có:
*
0 0
n n
x x dx
ψ ψ
+∞
−∞
=
∫
n = 1, 2, 3, 4.
2
ax
2
4
0
( )
a
x e
ψ
π
−

=
;
m
a
ω
=
h
*
*
0 0
ˆ
x x dx
ψ ψ
+∞
−∞
=
∫

2 2
2
ax ax
ax
2 2
4 4
a a a
e x e dx xe dx
x
π π
+∞ +∞
− −

−
−∞ −∞
= =
∫ ∫
Ta có hàm số f(x) =
2
ax
xe dx
+∞
−
−∞
∫
là hàm lẻ vì f(-x) = -f(x), mà cận chạy từ
−∞ → +∞
là cận đối xứng nên f(x) = 0.
.0 0
a
x
x
= =
*
2 2
2
ax ax
2 * 2 2 2 ax
2 2
4 4
0 0
a a a
x x dx e x e dx x e dx

x
ψ ψ
π π
+∞ +∞ +∞
∧
− −
−
−∞ −∞ −∞
= = =
∫ ∫ ∫
Cách 1:
Ta có:
2
ax
1
I e dx
a
π
+∞
−
−∞
= =
∫
;
2
2 ax
1
2
3
2

I
I x e dx
a
a
π
+∞
−
−∞
∂
= − = =
∂
∫
2
4 ax
2
3
5
3
4
I
I x e dx
a
a
π
+∞
−
−∞
∂
= − = =
∂

∫
2
3
1 1 1
. .
2 2 2
a
x
a m
a
π
π ω
⇒ = = =
h
*
2 2
3 * 3 3 ax 3 ax
0 0
0
a a
x x dx x e d x x e dx
x
ψ ψ
π
+∞ +∞ +∞
∧
− −
−∞ −∞ −∞
= = = =
∫ ∫ ∫

.
Vì hàm
( )
2
3 ax
f x x e
−
=
là hàm lẻ và cận đối xứng.
*
2 2
2
4 * 4 4 ax 4 ax
0 0
2
5
3 1 3 3
4 4 4
a a a
x x dx x e dx x e dx
x a m
a
ψ ψ π
π π ω
+∞ +∞ +∞
∧
− −
−∞ −∞ −∞
 
= = = = = =

 ÷
 
∫ ∫ ∫
h
Cách 2:
*
2
2 2 ax
a
x x e dx
x
+∞
−
−∞
=
∫
Đặt
2
2
ax
ax
2
u x du dx
e
dv xe dx v
a
−
−
= → =




= → =

−

2
2
ax
2 ax
1 1 1
.
2 2 2 2 2
a e a
x x e dx
a a a a a m
π
π π ω
+∞
−∞
+∞
−
−
−∞
 
⇒ = + = = =
 
−
 
 

∫
h
*
2
4 4 ax
a
x x e dx
x
+∞
−
−∞
=
∫
Đặt
2
2
3 2
ax
ax
3
2
u x du x dx
e
dv xe dx v
a
−
−

= → =



= → =

−

2
2
2
ax
4 3 2 ax
2
3 3 3
.
2 2 4 4
a e
x x x e dx
a a a m
π ω
+∞
−∞
+∞
−
−
−∞
 
 
⇒ = + = =
 
 ÷
−

 
 
 
∫
h
Bài 4: Thế năng của dao động tử điều hòa ba chiều có dạng:
( )
2 2 2 2 2 2
1 2 3
1 1 1
, ,
2 2 2
U x y z m x m y m z
ω ω ω
= + +
trong đó:
1 2 3
, , ,m
ω ω ω
là các hằng số.
Tìm hàm sóng và các mức năng lượng của dao động tử điều hòa ba chiều.
Bài giải
Phương trình Schrodinger của dao động tử điều hòa ba chiều có dạng:
( )
( )
( ) ( )
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 2 3
2 2 2

ˆ
, , , , , ,
2 2
m
H x y z x y z x y z E x y z
m x y z
ψ ω ω ω ψ ψ
 
 
∂ ∂ ∂
 
= − + + + + + =
 
 ÷
∂ ∂ ∂
 
 
 
h
Đặt
( ) ( ) ( ) ( )
, ,x y z x y z
ψ ψ ψ ψ
=
và thay vào phương trình trên rồi chia cả hai vế
của phương trình vừa nhận được cho
( ) ( ) ( )
x y z
ψ ψ ψ
2 2 2 2

2 2 2 2
1 2
2 2
2 2
2 2
3
2
1 ( ) 1 1 ( ) 1
( ) ( )
( ) 2 2 ( ) 2 2
1 ( ) 1
( ) ons
( ) 2 2
x y
m x x m y y
x m x y m y
z
m z z E c t
z m x
ψ ψ
ω ψ ω ψ
ψ ψ
ψ
ω ψ
ψ
   
− ∂ − ∂
+ + +
   
∂ ∂

   
 
− ∂
+ + = =
 
∂
 
h h
h
Ta suy ra:
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
2
2
2 2
1 1
2
2
2
2 2
2 2
2
2
2
2 2
3 3

2
1
2 2
1
2 2
1
2 2
x
m x x E x
m x
y
m y y E y
m y
z
m z z E z
m z
ψ
ω ψ ψ
ψ
ω ψ ψ
ψ
ω ψ ψ
∂
− + =
∂
∂
− + =
∂
∂
− + =

∂
h
h
h
với E
1
, E
2
, E
3
bằng const và E = E
1
+ E
2
+ E
3
. Các hàm sóng
( ) ( ) ( )
, ,x y z
ψ ψ ψ
là các
phương trình dao động tử điều hòa một chiều.
Đặt
1
m
X x
ω
=
h
,

2
m
Y y
ω
=
h
,
3
m
Z z
ω
=
h
ta có:
2
1 1 1
2
( ) ( )
X
n n n
X A e H X
ψ
−
=
,
1
1 1
1
2
n

E n
ω
 
= +
 ÷
 
h

2
2 2 2
2
( ) ( )
Y
n n n
Y A e H Y
ψ
−
=
,
2
2 2
1
2
n
E n
ω
 
= +
 ÷
 

h

2
3 3 3
2
( ) ( )
Z
n n n
Z A e H Z
ψ
−
=
,
3
3 3
1
2
n
E n
ω
 
= +
 ÷
 
h

với n
1
, n
2

, n
3
= 0, 1, 2, 3… và
1 2 3
, ,
n n n
A A A
là các hệ số chuẩn hóa hàm sóng:
1
1
1
4
1
1
1
2 !
n
n
m
A
n
ω
π
 
=
 ÷
 
h
,
2

2
1
4
2
2
1
2 !
n
n
m
A
n
ω
π
 
=
 ÷
 
h
,
3
3
1
4
3
3
1
2 !
n
n

m
A
n
ω
π
 
=
 ÷
 
h
Hàm sóng và năng lượng của dao động tử điều hòa ba chiều được xác định như
sau:
1 2 3 1 2 3
( , , ) ( ) ( ) ( )
n n n n n n
x y z x y z
ψ ψ ψ ψ
=
1 2 3 1 2 2
1 2 3
1 1 2 2 3 3
2
n n n n n n
E E E E n n n
ω ω ω
ω ω ω
+ +
 
= + + = + + +
 ÷

 
h
với n
1
, n
2
, n
3
= 0, 1, 2, 3,…
Hàm sóng và năng lượng của dao động tử điều hòa ba chiều được xác định
như sau:
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 3 1 2
, ,
, ,
n n n n n n
x y z x y z
ψ ψ ψ ψ
=
1 2 3 1 2 3
1 2 3
, , 1 1 2 2 3 3
2
n n n n n n
E E E E n n n
ω ω ω
ω ω ω
+ +
 
= + + = + + +

 ÷
 
h
với
1 2 3
, , 0,1,2,3 n n n =
Bài 5: Viết toán tử Hamintơn của dao động tử điều hòa một chiều trong biểu
diễn xung lượng.Tìm hàm riêng và trị riêng của nó trong biểu diễn xung lượng.
Bài giải
Toán tử Hamintơn của dao động tử điều hòa một chiều trong
p
ur
- biểu diễn có
dạng:
2
2 2 2 2 2
2
2
ˆ
2 2 2 2
p m p m
H ih
m p m p
ω ω
 
∂ ∂
= + = −
 ÷
∂ ∂
 

h

Phương trình hàm riêng và trị riêng của
ˆ
H
:
ˆ
( ) ( )H p E p
ϕ ϕ
=
Đưa vào thông số không thứ nguyên
p
m
ξ
ω
=
h
và đặt
2E
λ
ω
=
h
, ta có:
( )
( )
2
2
2
( )

0
d
d
ϕ ξ
λ ξ ϕ ξ
ξ
+ − =
Nghiệm
( )
ϕ ξ
được tìm dưới dạng:
( )
( )
2
2 y
e
ξ
ξ
ϕ ξ
−
=
Khi đó hàm
( )
y
ξ
thỏa mãn phương trình:
2
2
2 2 0
d y dy

ny
d d
ξ
ξ ξ
− + =
,
2 1n
λ
= −
Nghiệm
( )
y
ξ
được tìm dưới dạng:
( )
0
n
k
k
k
y a
ξ ξ
=
=
∑
( )
( ) ( )
2
2
1 2

k k
n k
a a
k k
+
−
=
+ +
, n = 0, 1, 2…
1
2
n
E n
ω
 
= +
 ÷
 
h
Hàm
( )
ϕ ξ
có thể viết dưới dạng:
( ) ( )
2
2
n n n
A e H
ξ
ϕ ξ ξ

−
=
( ) ( )
( )
2 2
1
n
n
n
n
d
H e e
d
ξ ξ
ξ
ξ
−
= −
,
1
4
1
2 !
n
n
m
A
n
ω
π

 
=
 ÷
 
h
Bài 6: Tìm hàm sóng của hạt trong xung lượng biểu diễn đối với dao động tử
điều hòa ở trạng thái cơ bản
2 2
1
2
2
( )
x
x e
α
ψ α
π
−
 
=
 ÷
 
với
1
2
2
m
ω
α
 

=
 ÷
 
h
Bài giải
Hàm sóng trong biểu diễn xung lượng
( )p
ϕ
được xác định bằng công thức:
( )
2
2
2
*
( ) ( ) ( )
2
( )
2
i
x px
p
x
A
p x x dx e dx
A
p e dx
α
α β β
ϕ ψ ψ
π

ϕ
π
+∞ +∞
− +
−∞ −∞
+∞
− + +
−∞
= =
=
∫ ∫
∫
h
h
h
Trong đó
1
2
2
A
α
π
 
=
 ÷
 
;
1
2
2

m
ω
α
 
=
 ÷
 
h
;
2
ip
β
α
=
h
Thực hiện phép tính tích phân ta có:
2
2 2
4
1
( )
2
p
p e
α
ϕ
α π
−
=
h

h
Bài 7: a) Tính vị trí và toán tử xung lượng
ˆ
( )
H
X t
và
ˆ
( )
H
P t
trong bức tranh
Heisenberg cho dao động tử điều hòa một chiều.
b) Tìm phương trình chuyển động Heisenberg cho
ˆ
( )
H
X t
và
ˆ
( )
H
P t
.
Bài giải
a) Hàm Hamilton của dao động tử điều hòa có dạng
2
2 2
1
ˆ

2 2
p
H m X
m
ω
∧
∧
= +
Giao hoán tử
2
1
ˆ ˆ ˆ
, ,
2
i
H X P X P
m m
∧
∧
 
 
= = −
 
 
 
h
(1)
2 2 2
1
ˆ ˆ

ˆ
, ,
2
H p m X P i m X
ω ω
∧
∧
 
 
= =
 
 
 
h
(2)
Ta tính được:
1
ˆ ˆ ˆ
( ) os( ) sin( )
ˆ ˆ ˆ
( ) os( ) sin( )
H
H
X t Xc t P t
m
P t Pc t m X t
ω ω
ω
ω ω ω
= +

= −
b) Để tìm được phương trình chuyển động của
ˆ
( )
H
X t
và
ˆ
( )
H
P t
ta sử dụng
phương trình Heisenberg:
ˆ
( )
1
ˆ
ˆ
,
H
H
dA t
A H
dt i
 
=
 
h
kết hợp với (1) và (2) ta tính được
ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ
2
ˆ
( ) 1 1 1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
( ), ,
ˆ
( ) 1 1 ( )
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ
( ), ,
itH itH itH i H
H
H
itH itH itH i H
H
H
dX t i
X t H e X H e e Pe
dt i i i m
dP t i m
p t H e P H e e Xe
dt i i i
ω
− −
− −
   
= = =
   
−

   
= = =
   
h
h h h h
h
h h h h
h
h h h
h
h h h
Hay
ˆ
( )
1
ˆ
( )
H
H
dX t
p t
dt m
=
;
2
ˆ
( )
ˆ
( )
H

H
dP t
m X t
dt
ω
= −
Bài 8: Cho
ˆ
( )
H
X t
và
ˆ
( )
H
P t
, hãy tính các giao hoán tử cho dao động tử điều hòa
sau.
1 2
ˆ ˆ
( ), ( )
H H
X t P t
 
 
;
1 2
ˆ ˆ
( ), ( )
H H

X t X t
 
 
;
1 2
ˆ ˆ
( ), ( )
H H
P t P t
 
 
Bài giải
Sử dụng:
1
ˆ ˆ ˆ
( ) os( ) sin( )
H
X t Xc t P t
m
ω ω
ω
= +
và
ˆ ˆ ˆ
( ) os( ) sin( )
H
P t Pc t m X t
ω ω ω
= −
theo

hệ thức giao hoán
ˆ ˆ
,X P i
 
=
 
h
và
ˆ ˆ ˆ ˆ
, , 0X X P P
   
= =
   
, ta có.

1 2 1 1 2 2
1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
( ), ( ) os( ) sin( ), os( ) sin( )
H H
X t P t Xc t P t Pc t m X t
m
ω ω ω ω ω
ω
 
 
= + −
 
 
 

[ ]
1 2 1 2
1 2 1 2
ˆ ˆ ˆ ˆ
, os( ) os( ) , sin( )sin( )
os( ) os( ) sin( )sin( )
X P c t c t P X t t
i c t c t t t
ω ω ω ω
ω ω ω ω
   
= −
   
= +h
Hoặc
[ ]
1 2 1 2
ˆ ˆ
( ), ( ) os ( )
H H
X t P t i c t t
ω
 
= −
 
h
Tương tự

1 2 1 1 2 2

1 1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
( ), ( ) os( ) sin( ), os( ) sin( )
H H
X t X t Xc t P t Xc t P t
m m
ω ω ω ω
ω ω
 
 
= + +
 
 
 

[ ]
1 2 1 2
1 2 1 2
1 1
ˆ ˆ ˆ ˆ
, os( )sin( ) , sin( ) os( )
os( )sin( ) sin( ) os( )
X P c t t P X t c t
m m
i
c t t t c t
m
ω ω ω ω
ω ω
ω ω ω ω

ω
   
= +
   
= −
h
Hoặc
[ ]
1 2 1 2
ˆ ˆ
( ), ( ) sin ( )
H H
i
X t X t t t
m
ω
ω
 
= − −
 
h

1 2 1 1 2 2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
( ), ( ) os( ) sin( ), os( ) sin( )
H H
P t P t Pc t m X t Pc t m X t
ω ω ω ω ω ω
   
= − −

   


[ ]
1 2 1 2
1 2 1 2
ˆ ˆ ˆ ˆ
, os( )sin( ) , sin( ) os( )
sin( ) os( ) os( )sin( )
m P X c t t m X P t c t
i m t c t c t t
ω ω ω ω ω ω
ω ω ω ω ω
   
= − −
   
= − −h
Hoặc
[ ]
1 2 1 2
ˆ ˆ
( ), ( ) sin ( )
H H
P t P t i m t t
ω ω
 
= − −
 
h
Bài 9: Xét một dao động tử điều hòa 3chiều đẳng hướng.

a, Thực hiện tách biến để tìm hàm sóng của dao động tử điều hòa.
b, Tìm các mức năng lượng và tìm bội suy biến của các mức năng lượng.
Bài giải:
a,Thế năng của dao động tử điều hòa ba chiều có dạng:
Trong đó: là những hằng số.
Phương trình Schrodinger của dao động tử điều hòa ba chiều có dạng:
Đặt , thay vào phương trình trên rồi chia cả hai vế của phương trình vừa nhận được
cho ta có:
Từ đây suy ra
Với là hằng số và . Các phương trình đối với hàm sóng là những phương trình dao
động tử điều hòa 1 chiều.
Đặt , , ta có
Với và là các hệ số chuẩn hóa hàm sóng
Hàm sóng và năng lượng điều hòa ba chiều được xác định như sau:
b, Khi , ta có
Với
Ứng với một giá trị của n đã cho (tức là ứng với mức năng lượng ) ta có
hàm với
là bội suy biến mức
Ta xác định