Luyện thi đại học chuyên đề tích phân

Tính các tích phân:
1. I =
2
3
0
cos .
π
∫
x dx
.
2. I =
1
0
( 1) .+
∫
x
x e dx
3. I =
2
2
0
cos 4 .
π
∫
x dx
4. I =
tan
4
2
0
cos

π
∫
x
e
dx
x
5. I =
4
0
sin 2
1 cos2
π
+
∫
x
dx
x
.
6. I =
2
2
0
sin 2 .
π
∫
x dx
7. I =
9
2
4

( 1)−
∫
dx
x x
8. I =
2
2
0
cos2
1 sin
π
+
∫
x
dx
x
9. I =
2
0
sin 2
.
1 cos
π
+
∫
x
dx
x
10. I =
3

1
(1 ln )
.
+
∫
e
x
dx
x
11.
1
5 3
0
1= −
∫
I x x dx
12.
7
3
3
2
0
1
=
+
∫
x
I dx
x
13.

1
1 ln+
=
∫
e
x
I dx
x
14.
1
0
( 1).= +
∫
x
I x e dx
15.
( )
1+
∫
1
3
2
0
I = 2x xdx
16.
( )
1+
∫
1
3

2
0
I = 4x .xdx
17.
( )
cos
0
sin
x
I e x xdx
π
= +
∫
18.
2
2
3
0
1
=
+
∫
x
I dx
x
19.
2
2
1
1I x x dx= +

∫
20.
2
3
3
2
cos 3
3
I x dx
π
π
π
 
= −
 ÷
 
∫
21.
2
1
( 1)ln= +
∫
e
I x xdx
22.
2
2
1
3= +
∫

I x x dx
23.
2
0
3cos 1sin
π
= +
∫
I x xdx
24.
2
0
osxdx
x
I e c
π
=
∫
25.
2
2
0
( sin )cos
π
= +
∫
E x x xdx
26.
( )
2

2
1
ln
e
I x x xdx= +
∫
27.
1
2
0
2
dx
I
x x
=
+ −
∫
28.
3
0
(cos4 .sin 6 )I x x x dx
π
= −
∫
29.
3
3 2
0
1I x x dx= +
∫

30.
2
0
cos
π
=
∫
I x xdx
31.
2
2
0
sin 2 .sin
π
=
∫
I x xdx
32.
1
0
ln(1 )= +
∫
I x dx
33.
2
1
ln=
∫
e
I x xdx

34.
ln3
3
0
( 1)
=
+
∫
x
x
e
I dx
e
35.
2
3
2
2
( 1)
−
= −
∫
x x
I x e dx
36.
ln5
2
ln 2
1
=

−
∫
x
x
e
I dx
e
37.
1
2
0
ln(1 )= +
∫
I x x dx
38.
2
5
1
(1 )= −
∫
I x x dx
39.
3
1
2 ln=
∫
I x xdx
40.
1
2

0
−
=
∫
x
I x e dx
41.
2
sin
0
.cos
π
=
∫
x
I e xdx
42.
1
ln=
∫
e
I x xdx
43.
3
2
0
4
1
=
+

∫
x
I dx
x
44.
2
0
(2 5)cos3 dI x x x
π
= +
∫
45.
2
1
ln
=
∫
e
x
I dx
x
46.
2
2 3
0
2.= +
∫
I x x dx
47.
2

0
1 3cos .sin
π
= +
∫
I x xdx
48.
1
1 ln+
=
∫
e
x
I dx
x
49.
5
2
2 ln( 1)= −
∫
I x x dx
50.
2
2
1
ln=
∫
I x xdx
51.
2

2
1
ln(1 )= +
∫
I x x dx
52.
2
2
0
( sin )cos
π
= +
∫
I x x xdx
53.
4
2
0
sin ( )
4
π
π
= −
∫
I x dx
54.
2
1
0
.

−
=
∫
x
I e xdx
55.
2
1
ln
=
∫
e
x
I dx
x
56.
2
2
sin 2 .sin 7
π
π
−
=
∫
I x xdx
57.
2
3
3 2
1

3 4.= +
∫
I x x dx
58.
( )
2
0
2 1 sinI x xdx
π
= +
∫
59.
3
2
0
2 os
1 sin
c xdx
I
x
π
=
+
∫
60.
2
2
3
sin (2cos 1)I x x dx
π

π
= −
∫
61.
1
0
( )
x
I x x e dx= +
∫
62.
2
0
(cos2 )sinJ x x xdx
π
= +
∫
63.
2
3
2
2
1
dx
I
x x
=
−
∫
64.

( )
2
2
0
sin sin 4 cosI x x xdx
π
= +
∫
65.
3
7
2
3 3
0
1
x dx
I
x
=
+
∫
66.
1
3
0
1J x xdx= −
∫
67.
2
0

cos
x
I e xdx
π
=
∫
68.
2
2
1
ln
e
I x xdx=
∫
69.
2
0
sin 2 sin
2
1 sin
x x
x
I dx
π
+
=
∫
70.
cos
( ).sin

0
x
I e x xdx
π
= +
∫
71.
1
2
0
4 5
3 2
x
I dx
x x
+
=
+ +
∫
72.
2
ln
1
I
e
x xdx=
∫
73.
( )
2

1
4 4 lnI x xdx= +
∫
1
74.
4
2
1
6 9I x x dx= − +
∫
75.
( )
2
0
3 2 sinI x xdx
π
= −
∫
76.
2
32 3
0
8J x x dx= −
∫
77.
4
2
1
2I x xdx= −
∫

78.
ln5
2
ln2
1
x
x
e dx
J
e
=
−
∫
79.
1
5 3
0
1I x x dx= −
∫
80.
2
2
1
( 2)lnJ x xdx= −
∫
81.
ln5
ln3
2 3
x x

dx
I
e e
−
=
+ −
∫
82.
π
+
=
∫
3
2
0
x sinx
J dx
cos x
83.
2
0
sin 2 sin
1 3cos
x x
I dx
x
π
+
=
+

∫
84.
1
2
0
ln(1 )J x x dx= +
∫
85.
= +
∫
1
x
I x(x e )dx
0
86.
2
3
0
(1 2sin ) cosx xdx
I
π
+
=
∫
87.
( )
2
0
2 sinI x x x dx
π

= +
∫
88.
2
2
0
sin 2
4 cos
x
J dx
x
π
=
−
∫
89.
∫
+
=
1
0
3
2
2
dx
x
x
I
90.
∫

−=
2
0
1dxxI
91.
3
2
0
1
xdx
I
x
=
+
∫
92.
2
2
2
0
( 2)
xdx
I
x
=
+
∫
93.
( )
2

3
0
sin cos sinI x x x x dx
π
= −
∫
94.
0
2
1
16 2
4 4
x
I dx
x x
−
−
=
− +
∫
95.
( )
∫
−=
4
0
44
sincos
π
dxxxI

96.
1
2
0
1I x dx
= −
∫
97.
( )
1
3
2
0
x
I dx
1 x
=
+
∫
98.
( )
6
0
I 1 x sin3xdx
π
= −
∫
99.
3
2

0
sin
cos
x x
I dx
x
p
+
=
ò
100.
π
= +
∫
2
x
I (sin cos2x)dx
2
0
101.
1
0
(3 cos 2 )
x
I x dx= +
∫
102.
2
1
0

( sin )
x
I x e x dx= +
∫
103.
π
=
+
∫
/ 2
sin2x
I dx
2
(2 sinx)
0
104.
( )
2
0
sin cos
π
= +
∫
I x x xdx
105.
0
2
1
16 2
4 4

−
−
=
− +
∫
x
I dx
x x
106.
2
2
0
sin 2
4 cos
π
=
−
∫
x
I dx
x
107.
2
0
1I x dx
= −
∫
108.
2
1

ln
e
I x xdx=
∫
109.
2
0
sin
x
J e xdx
π
=
∫
110.
2
3
7 3
dx
I
x
−
=
+ +
∫
111.
( )
3
1
4
0

5I x x dx
 
= −
 
∫
112.
( )
∫
−=
4
0
22
sincos
π
dxxxI
113. EMBED
Equation.DSMT4
2
0
2 7I cos xcos xdx
π
=
∫
114.
∫
+
4
0
2cos1
2sin

π
dx
x
x
115.
2
1
.lnI x xdx
=
∫
116.
2
2
1
lnI x xdx=
∫
117.
2
e
dx
I
xlnx
=
∫
118.
( )
0
sin
cosx
I e x xdx

π
= +
∫
119.
1
0
( )+
∫
x
x x e dx
120.
1
2
1
2 1
1
x
I dx
x x
−
+
=
+ +
∫
121.
4
0
sin
sin
cosx x

I dx
x cosx
π
−
=
+
∫
122.
2
2
0
sin 2
(2 sin )
π
=
+
∫
x
I dx
x
123.
2
0
(1 sin )cos
2 2
x x
I dx
π
= +
∫

124.
2
1
0
( sin )
x
I x e x dx= +
∫
125.
1
0
(3 cos 2 )
x
I x dx= +
∫
126.
2
2
0
2 3
dx
I
x x
=
− −
∫
127.
∫
+
=

1
0
3
2
2
dx
x
x
I
128.
2
0
(cos sin 2 )x x dx
I
π
+
=
∫
129.
6
0
sin cos 2I x xdx
π
=
∫
130.
2
1
ln
e

I x xdx=
∫
131.
1
5
0
(1 )I x x dx= −
∫
132.
2
5
1
(1 ) .I x x dx= −
∫
133.
2
3
0
cos .I x dx
π
=
∫
134.
2
2
0
4I x dx= −
∫
135.
2

3 4
0
sin cosI x xdx
π
=
∫
136.
4
0
tan
cos
x
I dx
x
π
=
∫
137.
2
2
3
1
3
1
x dx
I
x
=
+
∫

138.
2
2
2
0
( 2)
xdx
I
x
=
+
∫
139.
3
2
0
1
xdx
I
x
=
+
∫
2
140.
0
2
1
16 2
4 4

−
−
=
− +
∫
x
I dx
x x
141.
( )
4
4 4
0
cos sin
π
= −
∫
I x x dx
142.
1
2
0
1I x dx= −
∫
143.
2
0
( 1)sin .I x x dx
π
= +

∫
144.
2
0
1= −
∫
I x dx
145.
1
2
3
0
2
=
+
∫
x
I dx
x
146.
( )
2
3
0
sin cos sin
∏
= −
∫
I x x x x dx
147.

2
2
0
sin 2
(2 sin )
π
=
+
∫
x
I dx
x
148.
0
2
2
sin 2
(2 sin )
x
I dx
x
π
−
=
+
∫
149.
2
2
0

sin 2
4 cos
π
=
−
∫
x
I dx
x
150.
4
0
t anx

cos
π
=
∫
I dx
x
151.
( )
2
0
sin cos
π
= +
∫
I x x xdx
152.

2
3
0
(1 2sin ) cos
π
+
=
∫
x xdx
I
153.
3
2
0
sin
cos
π
+
=
∫
x x
I dx
x
154.
( )
4
1
1
1
=

+
∫
I dx
x x
155.
( )
1
3
2
0
x
1
I dx
x
=
+
∫
156.
( )
6
0
1 sin 3I x xdx
π
= −
∫
157.
6
0
sin cos2
π

=
∫
I x xdx
158.
1
5
0
(1 )= −
∫
I x x dx
159.
( )
6
0
sin 6 .sin 2 6I x x dx
π
= −
∫
160.
( )
4
2 2
0
cos sin
π
= −
∫
I x x dx
161.
2

5
1
(1 ) .I x x dx= −
∫
162.
2
0
(2 1).cosI x xdx
π
= −
∫
163.
/ 2
2
0
sin 2
(2 sin )
π
=
+
∫
x
I dx
x
164.
ln5
ln 2
( 1)
1
+

=
−
∫
x x
x
e e dx
J
e
165.
1
0
( )
x
I x x e dx= +
∫
166.
1
0
(2 1)= +
∫
x
K x e dx
167.
1
2 3 4
1
(1 )
−
= −
∫

I x x dx
168.
1
2
0
1I x dx= −
∫
169.
2
2
1
2
1
=
+
∫
xdx
J
x
170.
2
0
(2 1) cos
π
= −
∫
K x xdx
171.
3
1

2 ln=
∫
K x xdx
172.
1
0
(4 1)= +
∫
x
I x e dx
173.
2
2
1
(6 2 1)= − +
∫
K x x dx
174.
( )
1
3
2
0
x
1
I dx
x
=
+
∫

175.
1
0
(2 1)= −
∫
x
I x e dx
176.
( )
6
0
1 sin 3I x xdx
π
= −
∫
177.
4
2
0
os x
π
=
∫
x
I dx
c
178.
4
0
sin cos

.
3 sin 2
x x
I dx
x
π
+
=
+
∫
179.
2
2
0
2
3 2
=
+
∫
x
I dx
x
180.
1
5
0
(1 )= −
∫
I x x dx
181.

2
0
( 1)sin .I x x dx
π
= +
∫
182.
2
0
(sin cos 2 )
2
π
= +
∫
x
I x dx
183.
2
0
1 cos sin
dx
I
x x
π
=
+ +
∫
184.
3
0

4cos 2
cos cos3
x
I dx
x x
π
=
+
∫
185.
ln(3 1)I x dx= −
∫
186.
2
ln
( ln )
1 ln
= +
+
∫
x
I x dx
x x
187. Tìm nguyên hàm của
các hàm số:
a)
3
cos .sin=y x x
b)
2

1
cos (3 2)
=
+
y
x
c)
3 2
2
3 3 5
( )
( 1)
x x x
f x
x
− + −
=
−

biết rằng F(0) = -
1
2
.
188. Tìm một nguyên hàm của
hàm số
2
2
1
( )
2

x x
y f x
x x
+ +
= =
+ −
,
biết đồ thị của nguyên hàm đó
đi qua điểm M(2 ; -2ln2).
189. Tìm nguyên hàm F(x) của
hàm số
2 3
( ) . 1f x x x= +
190. Cho hàm số
2
1
sin
=y
x
.
Tìm nguyên hàm F(x ) của
hàm số, biết rằng đồ thị của
hàm số F(x) đi qua điểm M(
6
π
; 0) .
191. Cho
1
0
( ) 2=

∫
f x dx
với f là
hàm số lẻ. Hãy tính tích phân :
I =
0
1
( )
−
∫
f x dx
192. Cho hàm số
2
− +
=
x x
y e
.
Giải phương trình
2 0
′′ ′
+ + =y y y
.
193. Chứng minh rằng với
hàm số: y = x.sinx. Ta có:
. 2( ' sin ) . '' 0− − + =x y y x x y
194. Cho hàm số
( )
2
1

x
y x e= +
, Chứng minh
rằng: y’’’ – y’’ – y’ + y = 4.e
x
195. Tính đạo hàm của hàm
số:
( )
( )
2
ln sin 1x
y e
+
=
196. Cho hàm số:
xy 3cos
2
=
.
Chứng minh rằng:
y’’ + 18.( 2y -1 ) = 0
197. Cho hàm số
1
ln( )
1
=
+
y
x
.

CMR:
. ' 1+ =
y
x y e
198. Tính diên tích hình phẳng
giới hạn bởi các đường y = 3
và y = x
2
– 2x.
199. Tính thể tích khối tròn
xoay do hình phẳng giới hạn
bởi các đường y = tanx, y = 0,
x = 0, x =
4
π
quay quanh trục
Ox.
200. Tính diện tích hình phẳng
giới hạn bởi các đường
y = lnx ,y = 0, x =
1
e
, x = e .
201. Tính thể tích khối tròn
xoay tạo thành khi quay quanh
trục hoành hình phẳng giới
hạn bởi các đường
3
y=sinx.cosx, y = 0, x = 0, x
=

2
π
.
202. Cho hàm số
y =
2
5
log ( 1)+x
. Tính y’(1).
203. Tính thể tích của khối
tròn xoay tạo thành khi quay
quanh trục tung hình phẳng
giới hạn bởi các đường y =lnx,
trục tung và hai đường thẳng
y = 0, y = 1.
204. Tính thể tích khối tròn
xoay tạo thành khi quay quanh
trục tung hình phẳng giới hạn
bởi các đường y = x
2
và
y = 6 - | x | .
205. Tính thể tích khối tròn
xoay tạo thành khi quay quanh
trục hòanh hình phẳng giới
hạn bởi các đường y = lnx,
y = 0, x = 2.
206. Tính thể tích của khối
tròn xoay được tạo thành khi
quay quanh trục tung hình

phẳng giới hạn bởi các đường
y = 2 – x
2
và y = | x | .
207. Tính thể tích khối tròn
xoay tao thành khi quay quanh
trục Ox hình phẳng giới hạn
bởi các đường y =
1
2
−
+
x
x
,
y = 0, x = -1 và x = 2.
208. Tính diện tích hình phẳng
giới hạn bởi đồ hị các hàm số
, 2 , 0= = − =y x y x y
209. Tính thể tích khối tròn
xoay được tạo bởi phép quay
quanh trục Ox hình phẳng giới
hạn bởi các đường
2
2 1, 0, 2, 0= − + − = = =y x x y x x
.
210. Tính diện tích hình phẳng
giới hạn bởi các đường
(P): y = 4 – x
2

, (d): y = -x + 2
211. Tính diện tích hình phẳng
giới han bởi các đường
(P): y = x
2
+ 1, tiếp tuyến của
(P) tại M(2;5) và trục Oy
212. Tính thể tích vật thể tròn
xoay, sinh bởi mỗi hình phẳng
giới hạn bởi các đường sau
đây khi nó quay quanh trục
Ox:
2
0; 2= = −y y x x
.
213. Tính diện tích hình phẳng
giới hạn bởi đồ thị của hàm số
2 2
4; 2= − = − −y x y x x
214. Tính diện tích hình phẳng
giới hạn bởi đồ thị của hàm số
2
1; 3= + + =y x x y
215. Tính diện tích hình phẳng
giới hạn bởi đồ thị của các
hàm số
; 2; 1= = =
x
y e y x
216. Tính thể tích vật thể tròn

xoay sinh ra do hình phẳng
giới hạn bởi đồ thị
(C):
2
1
+
=
−
x
y
x
, trục hoành và
đường thẳng x = -1 khi nó
quay xung quanh trục Ox .
217. Tính thể tích vật thể tròn
xoay do hình (H) được giới
hạn bởi các đường sau:
0;x
=
1;x =
0 ;y =
2
1
4
y
x
=
−
khi nó
quay xung quanh trục Ox.

218. Tìm diện tích hình phẳng
giới hạn bởi đồ thị của hàm số
2
4 3= − +y x x
và đường thẳng
y = - x + 3 .
219. Tính diện tích hình phẳng
(H) giới hạn bởi các đường:
y = x
2
-2x và hai tiếp tuyến với
đồ thị của hàm số này tại gốc
tọa độ O và A(4 ; 8).
220. Tính thể tích của khối
tròn xoay được sinh bởi hình
phẳng giới hạn bởi các đường:
( )
cos
sin sin ;
x
y x e x= +

0 ; 0 ;
2
y x x
π
= = =
khi nó quay
quanh trục Ox.
221. Tính diện tích hình phẳng

giới hạn bởi các đường:
3
4y x x= − +
và trục Ox.
222. Tính thể tích của vật thể
tròn xoay do hình phẳng giới
hạn bởi các đường:
3 2
1
2 3
3
= − +y x x x
; y = 0 ; x = 0;
x = 1. Khi cho hình phẳng
quay quanh trục Ox.
223. Cho hình phẳng (H) giới
hạn bởi các đường:
2
1y x= +
;
y = 0; x = 0; x = 2.Tính thể
tích của khối tròn xoay tạo
thành khi quay hình (H) quanh
trục Ox.
224. Tính diện tích hình phẳng
(H) giới hạn bởi các đường:
1 ln x
y
x
+

=
; y = 0; x = 1,
x = e .
225. Tính diện tích hình phẳng
(H) giới hạn bởi các đường:
2
4 3y x x= − +
, y = 0, x = 2,
x = 4 .
226. Tính diện tích hình phẳng
(H) giới hạn bởi các đường:
2
3y x x= − +
, y = 0, x = -1,
x = 1.
227. Tính thể tích khối tròn
xoay do các hình phẳng giới
hạn bởi các đường sau đây
quay quanh trục Ox: y
= - x
2
+ 2x và y = 0.
228. Tính diện tích hình phẳng
giới hạn bởi (C ): y =
1
2
−x
x
,
đường tiệm cận xiên và 2

đường thẳng x = 2 và x = x
0
(x
0
> 2). Tính x
0
để diện tích S
= 16
229. Cho hình phẳng (H) giới
hạn bởi các đường x
2
+y –5=0
và x + y – 3 = 0 quay 1 vòng
xung quanh Ox; tính thể tích
khối tròn xoay tạo thành.
230. Cho hình phẳng (H) giới
hạn bởi các đường y =
2
2
− +
x x

và trục hoành. Tính thể tích
của khối tròn xoay tạo thành
khi quay hình (H) quanh trục
hoành .
231. Cho hình phẳng (H) giới
hạn bởi các đường (C): y =
2
x

,
(d): y =
6 − x
và trục hoành.
Tính diện tích của hình phẳng
(H).
232. Tính diên tích hình phẳng
giới hạn bởi các đường y = 3
và y = x
2
– 2x.
234. Tính thể tích khối tròn
xoay do các hình phẳng giới
hạn bởi các đường sau đây
quay quanh trục Ox: y = cosx ,
y = 0, x = 0, x =
2
π
.
235. Cho hình phẳng (H) giới
hạn bởi các đường (C): y =
2
x

và (G): y =
x
. Tính thể tích
của khối tròn xoay tạo thành
khi quay hình (H) quanh trục
hoành .

236. Tính diện tích hình phẳng
giới hạn bởi đồ thị các hàm số
y = e
x
, y = 2 và đường thẳng
x = 1.
237. Cho hàm số y =
3 2
1
3
−x x

có đồ thị là ( C ). Tính thể tích
vật thể tròn xoay do hình
phẳng giới hạn bởi (C) và các
đường thẳng y = 0, x = 0,
x = 3 quay quanh 0x.
238. Miền (B) giới hạn bởi đồ
thị (C) của hàm số
x 1
y
x 1
−
=
+
và
hai trục tọa độ:
1). Tính diện tích của miền
(B).
2). Tính thể tích khối tròn

xoay sinh ra khi quay (B)
quanh trục Ox, trục Oy.
4
239. Tính diện tích hình phẳng
giới hạn bởi đồ thị hàm số
=
x
y e
, trục hoành và đường
thẳng x = 1.
5
www.PNE.edu.vn
Cung cấp tài liệu học tập miễn phí !
6