Luyện thi đại học chuyên đề phương trình mũ

www.PNE.edu.vn
Ph¬ng tr×nh mò
1/ Khi làm bài tập về phương trình Mũ các em vẫn phải nắm vững và vận dụng nhiều kiến thức của lũy
thừa:
- Các định nghĩa :
.
n
a a a a=
( tích của n số a) với a là cơ số, n là số mũ
- Quy ước : a
1
= a (với mọi a); a
0
= 1 ( với a khác 0)
- Lũy thừa mũ âm :
1
n
n
a
a
−
=
( với a khác 0;
*n N
∈
)
- Lũy thừa mũ hữu tỷ :
( )
m
m mn
n

n
a a a= =
;
1 1
m
n
m
m
n
n
a
a
a
−
= =
;
1
n
n
a a=
với a>0 và
, *m n N∈
- Các tính chất :
( . ) .
n n n
a b a b=
;
( )
n
n

n
a a
b b
=
;
.
m n m n
a a a
+
=
;
m
m n
n
a
a
a
−
=
;
.
( ) ( )
m n n m m n
a a a= =
2/ Khi biến đổi CT lũy thừa các em hay mắc phải sai lầm sau :
- Lũy thừa mũ âm : CT sai
n n
a a
−
= −

;
- Lũy thừa của 1 tổng : CT sai
m n m n
a a a
+
= +
- Lũy thừa của 1 hiệu : CT sai
m n m n
a a a
−
= −
- Khai căn bậc chẵn : CT sai là
2
A A=
, CT đúng là:
2
A A=
; tổng quát :
' n ~
' ?
n
n
A ne u chan
A
A ne u n le


=




3/ Với hàm số mũ
x
y a=
(
0; 1a a> ≠
) có TXĐ R ; có đạo hàm
' .ln
x
y a a=
với mọi x.
- Nếu a > 1 thì HSĐB trên R
- Nếu 1 > a > 0 thì HSNB trên R
Bài toán : Giải các phương trình mũ
Phương pháp 1 : Đưa phương trình về dạng cơ bản
( ) ( )f x g x
a a=

( ) ( )f x g x
↔ =
1.
3 2
(0,3) 1
x−
=
6.
5 7 1
2
(1,5) ( )
3

x x− +
=
2.
1
( ) 25
5
x
=
7.
2
2 3 1
1
( ) 7
7
x x x− − +
=
3.
2
3 2
2 4
x x− +
=
8.
2 3
( 2 1) 2 1
x−
− = +
4.
7 1 2
(0,5) .(0,5) 2

x x+ −
=
9.
1
7 2
x x−
=
5.
1 1
5 6.5 3.5 52
x x x+ −
+ − =
10.
1
3 .2 72
x x+
=
Phương pháp 2 : Đặt ẩn phụ đưa về phương trình đại số bậc 2, bậc 3, bậc 4:
( đặt t = a
x
, điều kiện t > 0 )
1/
25 6.5 5 0
x x
− + =
( Đề thi TN 2009) 9/
1 1
3 3 10
x x+ −
+ =

2/
2 1
7 8.7 1 0
x x+
− + =
( Đề thi TN 2011) 10/
2
3 3 10
x x−
+ =
3/
1 1
4 6.2 8 0
x x+ +
− + =
11/
2 4 2 2
3 45.6 9.2 0
x x x+ +
+ − =
4/
8 2.4 2 2 0
x x x
− + + − =
12/
2 1 2
3 3 108
x x−
+ =
5/

4.9 12 3.16 0
x x x
+ − =
13/
3.4 2.6 9
x x x
− =
6/
2 2
5 7 17.5 17.7 0
x x x x
− − + =
14/
64 8 56 0
x x
− − =
7/
2 1 1
3 4.3 27 0
x x+ +
− + =
15/
4 3.2 2 0
x x
− + =
8/
3.25 2.49 5.35
x x x
+ =
16/

2
3 3 8 0
x x− +
− + =
17/
1
9 3 4 0
x x+
− − =
29/
(1 2) 2.(1 2) 3
x x
+ + − =
Ph¬ng Tr×nh vµ BÊt Ph¬ng Tr×nh mò
Trang 1
www.PNE.edu.vn
18/
2 1 3
2 2 64 0
x x+ +
− − =
30/
(7 4 3) 3.(2 3) 2 0
x x
+ − + + =
19/
6.9 13.6 6.4 0
x x x
− + =
31/

( 2 1) ( 2 1) 2 2
x x
− + + −
( ĐH Khối B - 2007)
20/
3.8 4.12 18 2.27 0
x x x x
+ − − =
(ĐH Khối A - 2006)
21/
2 2
2
2 2 3
x x x x− + −
− =
( ĐH Khối D - 2003 ) 32/
osx osx
(7 4 3) ( (7 4 3)) 4
c c
+ + − =
(Luật HN1998)
22/
2 2
4.3 9.2 5.6
x x x
− =
33/
3
(5 21) 7.(5 21) 2
x x x+

− + − =
( ĐHQG HN D1997
23/
2 2
4.3 9.2 5.6
x x x
− =
34/
( 2 3) ( 2 3) 2
x x x
− + + =
24/
2.4 6 9 0
x x x
+ − =
35/
2 2
sin x os
9 9 10
c x
+ =
( ĐH SP HN 1999)
25/
4 2.6 3.9 0
x x x
− − =
36/
2 2
sin x os
4 2 2 2

c x
+ = +
26/
8 18 2.27
x x x
+ =
( ĐHQG HN 1997) 37/
2 3. 2 17 11
x x
− + =
27/
3 1
125 50 2
x x x+
+ =
( ĐH QGHN B 1998) 38/
2 2
sin x os
81 81 30
c x
+ =
28/
(2 3) (2 3) 4
x x
− + + =
39/
2 2
sin x os
4.2 2 6
c x

+ =
Phương pháp 3 : Biến đổi về dạng tích A.B=0
Dấu hiệu làm PP này là phương trình chứa
, , ,1
x y x y
a a a
+
1/
2 2
5 6 1 6 5
2 2 2.2 1
x x x x− + − −
+ = +
2/
2 2 2
1 ( 1)
4 2 2 1
x x x x+ − +
+ = +
3/
2 2
2
2 4.2 2 4 0
x x x x x+ −
− − + =
( ĐH Khối D -2006)
4/
3 3
2 2 2 2 4 4
4 2 4 2

x x x x x x+ + + + + −
+ = +
( ĐH Khối D -2010)
5/
8.3 3.2 24 6
x x x
+ = +
( ĐH QG HN D 2000)
6/
2 4 4
3 8.3 9.9 0
x x x x+ + +
− − =
( ĐHSPHN 2000)
7/
1 4 2
4 2 2 16
x x x+ + +
+ = +
( ĐH Tài Chính Kế Toán HN 1997)
8/
25 2(3 )5 2 7 0
x x
x x− − + − =
9/
3
3( 1)
1 12
2 6.2 1
2 2

x x
x x−
− − + =
( ĐH Y HN 2000)
10/
1 4 2
4 2 2 16
x x x
+ + +
+ = +
Phương pháp 4 : Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để kết luận nghiệm ( PP hàm số )
1/ Gặp PT f(x) =0 em làm như sau :
- Chứng minh cho y=f(x) luôn đồng biến, hoặc luôn nghịch biến trên TXĐ.
Tìm m = min f(x) và M = Max f(x).
- Nếu
0 [m;M]∉
ta KL pt vô nghiệm.
- Nếu
0 [m;M]∈
thì PT có 1nghiệm duy nhất. Đi tìm x
0
thỏa mãn f(x
0
)=0. KL pt có nghiệm duy nhất x=x
0
.
* Chú ý ở bước 1: Có thể f(x) có nhiều khoảng ĐB, NB khi đó em cần thể hiện Min, Max của f(x) trên
BBT và "nhìn" xem y=0 cắt y=f(x) tại mấy điểm để KL số nghiệm. từ đó "mò tìm" các nghiệm.
2/ Gặp PT f(x)=g(x) thì em chuyển về dạng : f(x)-g(x)=0 rồi đi xét biến thiên y= f(x)-g(x) để kết luận.
3/ Áp dụng nhiều PP này trong các bài toán mà PT chứa x ở cả trên Mũ và chứa x ở cả ngoài Mũ độc lập.

Ví dụ 1:
2 1 0
x
x+ − =
( x có mặt trên mũ và ngoài mũ)
Ví dụ 2 :
3 4 5
x x x
+ =
( có nhiều cơ số khác nhau)
Ph¬ng Tr×nh vµ BÊt Ph¬ng Tr×nh mò
Trang 2
www.PNE.edu.vn
1/
3 4 5
x x x
+ =
6/
2
4
( ) 2 4 9
5
x
x x= − + −
2/
2
3 4 5
x
x
− =

7/
3 5 6 2
x x
x+ = +
( ĐHSPHN 2001)
3/
3 5 2
x
x= −
8/
2
1 2
2 2 ( 1)
x x x
x
− −
− = −
( ĐH Thủy Lợi 2001)
4/
2
8 1 3
x
x
+ =
9/
3 2
3 3 8
x x
x
−

+ = −
5/
2
15 1 4
x
x
+ =
10/
9 3 10 2
x x
x+ = +
11/
1 1 1
3 ( ) 2 ( ) ( ) 2 6
3 2 6
x x x x x
x− + − − = − +
12/
2
1 2
2 2 ( 1)
x x x
x
− −
− = −
HD : Đưa pt về dạng
2
1 2
2 ( 1) 2 ( )
x x x

x x x
− −
+ − = + −
rồi dùng pp hàm số
Bài toán PT Mũ chứa Tham Số - Các câu hỏi hay gặp:
- Tìm m để pt có nghiệm
- Tìm m để phương trình có 1 nghiệm duy nhất, 2 nghiệm, 3 nghiệm,
- Biện luận số nghiệm của phương trình theo m.
Bài 1. Tìm m để phương trình sau có nghiệm : HD: phương trình f(x)=m có nghiệm trên D:
a/
1 2
25 5 0
x x
m
+ +
− + =
x D x D
min f(x) m ax f(x)m
∈ ∈
⇔ ≤ ≤
b/
1 1
( ) ( ) 2 1 0
9 3
x x
m m− + + =
c/
1 1
16 4 5 0
x x

m
+ −
+ − =
d/
2
.9 ( 1).3 1 0
x x
m m
+
+ − − =
e/
1
4 .2 3 2 0
x x
m m
+
− + − =
f/
sinx 1 sinx
4 2 0m
+
+ − =
g/
2 2
1 1 1 1
9 ( 2).3 2 1 0
x x
m m
+ − + −
− + + + =

Bài 2. Tùy theo giá trị m, em hãy biện luận số nghiệm của phương trình :
( 3).9 2( 1).3 1 0
x x
m m m− + + − − =
Bài 3. Giải và biện luận theo m :
sinx 1 sinx
4 2 m
+
+ =
Bài 4. Cho phương trình
1
4 .2 2 0
x x
m m
+
− + =
a/ Giải phương trình khi m=2
b/ Tìm m để PT đã cho có 2 nghiệm phân biệt x
1
; x
2
sao cho x
1
+ x
2
= 3.
Bài 5. Cho phương trình
.16 2.81 5.36
x x x
m + =

. Tìm m để PT có nghiệm duy nhất.
Bài 6. Cho phương trình
( 4).9 2( 2).3 1 0
x x
m m m− − − + − =
( m là tham số )
a/ Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu Đs : m > 4
b/ Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn : x
1
+ x
2
= 3 Đs : m=107/26
Ph¬ng Tr×nh vµ BÊt Ph¬ng Tr×nh mò
Trang 3