GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 6
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (444.74 KB, 38 trang )
Bồi dỡng toán 6
ễN TP TP HP V NHNG DNG TON LIấN QUAN
S phn t ca mt tp hp.Tp hp con
1.Mt tp hp cú th cú mt ,cú nhiu phn t, cú vụ s phn t,cng cú th
khụng cú phn t no.
2.Tp hp khụng cú phn t no gi l tp rng.tp rng kớ hiu l : ỉ.
3.Nu mi phn t ca tp hp A u thuc tp hp B thỡ tp hp A gi l tp
hp con ca tp hp B, kớ hiu l A
B hay B
A.
Nu A
B v B
A thỡ ta núi hai tp hp bng nhau,kớ hiu A=B.
*.Dạng 1: Rèn kĩ năng viết tập hợp, viết tập hợp con, sử dụng kí hiệu
Bài 1: Cho tập hợp A là các chữ cái trong cụm từ Thành phố Hồ Chí Minh
a. Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp A.
b. Điền kí hiệu thích hợp vào ô vuông
b A
c A
h A
Bài 2: Cho tập hợp các chữ cái X = {A, C, O}
a/ Tìm chụm chữ tạo thành từ các chữ của tập hợp X.
b/ Viết tập hợp X bằng cách chỉ ra các tính chất đặc trng cho các phần tử của X.
Bài 3: Cho các tập hợp
A = {1; 2; 3; 4; 5; 6} ; B = {1; 3; 5; 7; 9}
a/ Viết tập hợp C các phần tử thuộc A và không thuộc B.
b/ Viết tập hợp D các phần tử thuộc B và không thuộc A.
c/ Viết tập hợp E các phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B.
d/ Viết tập hợp F các phần tử hoặc thuộc A hoặc thuộc B.
Bài 4: Cho tập hợp A = {1; 2; a; b}
a/ Hãy chỉ rõ các tập hợp con của A có 1 phần tử.
b/ Hãy chỉ rõ các tập hợp con của A có 2 phần tử.
c/ Tập hợp B = {a, b, c} có phải là tập hợp con của A không?
Bài 5: Cho tập hợp B = {x, y, z} . Hỏi tập hợp B có tất cả bao nhiêu tập hợp con?
*Dạng 2: Các bài tập về xác định số phần tử của một tập hợp
Bài 1: Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có 3 chữ số. Hỏi tập hợp A có bao nhiêu phần tử?
Bài 2: Hãy tính số phần tử của các tập hợp sau:
a/ Tập hợp A các số tự nhiên lẻ có 3 chữ số.
b/ Tập hợp B các số 2, 5, 8, 11, , 296.
c/ Tập hợp C các số 7, 11, 15, 19, , 283.
Bồi dỡng toán 6
Bài 3: Cha mua cho em một quyển số tay dày 256 trang. Để tiện theo dõi em đánh số trang từ 1
đến 256. Hỏi em đã phải viết bao nhiêu chữ số để đánh hết cuốn sổ tay?
C.HNG DN V NH:
Bài 1.Hãy xác định các tập hợp sau bằng cách liệt kê các phần tử của tập hợp đó
a, A là tập hợp các chữ số trong số 2002
b, B là tập hợp các chữ cái trong cụm từ cách mạng tháng tám
c, C là tập hợp các số tự nhiên có một chữ số
d, D là tập hợp các số tự nhiên có hai chữ khác nhau và và có chữ số tận cùng bằng 5
Bài 2. Điền kí hiệu thích hợp vào ô vuông
4
3
N
{ }
4,3,2,1
N N* N 7 N*
N* 0 N*
Bài 3. Hãy xác định các tập hợp sau bằng cách chỉ ra tính chất đặc trng của các phần tử thuộc tập
hợp đó
a. A =
{ }
49 ;; 7;5;3;1
b. B =
{ }
99; ;44;33;22;11
c. C =
{ }
99 ;; 12;9;6;3
d. D =
{ }
100 ;; 15;10;5;0
Bài 4. Hãy viết các tập hợp sau bằng cách chỉ rõ tính chất đặc trng của các phần tử thuộc tập hợp
đó
a.A =
{ }
49;36;25;16;9;4;1
b.B =
{ }
37;31;25;19;13;7;1
{ }
1;4;9;16;25;36;49;64;81;100A =
{ }
2;6;12;20;30;42;56;72;90B =
Bài toán 5: Cho a)
{ }
2; 3; 100A x N x x x= <M M
b)
{ }
6; 100B x N x x= <M
{ }
; 3.A x N x ab a b= = =
{ }
20B x N x= M
c)
{ }
11. 3; ; 300C x N x n n N x= = +
Hãy viết các tập hợp A, B bằng cách liệt kê các phần tử.
Bài 5. Tìm số phần tử của các tập hợp sau đây
a. A =
{ }
b. B =
{ }
1002;2/ xxNx
c. C =
{ }
01/ =+ xNx
d. D =
{ }
3/ xNx
Bài 6. Viết các tập hợp sau rồi tìm số phần tử của các tập hợp đó
a. Tập hợp A các số tự nhiên x mà 8 : x = 2
b. Tập hợp B các số tự nhiên x mà x + 3 < 5
c. Tập hợp C các số tự nhiên x mà x 2 = x + 2
d. Tập hợp D các số tự nhiên x mà x : 2 = x : 4
e. Tập hợp E các số tự nhiên x mà x + 0 = x
Bài 7. Cho A =
{ }
3;2;1
Tìm tất cả các tập hợp con của tập hợp A
Bài 8. Ta gọi A là tập hợp con thực sự của B nếu A
B và A B
Hãy viết các tập hợp con thực sự của tập hợp B =
{ }
4;3;2;1
Bài 9. Cho tập hợp A = {a, b, c, d, e }
a. Viết các tập con của A có một phần tử
b.Viết các tập con của A có hai phần tử
c. Có bao nhiêu tập hợp con của A có ba phần tử
d. Có bao nhiêu tập hợp con của A có bốn phần tử
e. Tập hợp A có bao nhiêu tập hợp con
Bài 11 . Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có bốn chữ số, B là tập hợp các số tự nhiên có ba chữ
số , C là tập hợp các số tự nhiên lẻ có ba chữ số , D là tập hợp các số tự nhiên có ba chữ số tận
cùng bằng 5 . Dùng kí hiệu
và sơ đồ để biểu thị quan hệ giữa các tập hợp ở trên
Bồi dỡng toán 6
Bài 12 . Cho tập hợp A =
{ }
7;5;4
, hãy lập tập hợp B gồm các số tự nhiên có ba chữ số khác nhau
từ các phần tử của tập hợp A . Bảo rằng tập hợp A là tập hợp con của tập hợp B đúng hay sai? Tìm
tập hợp con chung của hai tập hợp A và B
Bài 13 . Tìm các tập hợp bằng nhau trong các tập hợp sau
a. A =
{ }
7;1;3;5;9
b. B là tập hợp các số tự nhiên x mà 5 . x = 0
c. C là tập hợp các số lẻ nhỏ hơn 10
d. D là tập hợp các số tự nhiên x mà x : 3 = 0
Bài 17 . Trong một lớp học , mỗi học sinh đều học tiếng Anh hoặc tiếng Pháp. Có 25 ngời học
tiếng Anh , 27 ngời học tiếng Pháp, còn 18 ngời học cả hai thứ tiếng . Hỏi lớp học đó có bao nhiêu
học sinh
Bài 18 Kết quả điều tra ở một lớp học cho thấy : có 20 học sinh thích bóng đá ; 17 học sinh thích
bơi; 36 học sinh thích bóng chuyền; 14 học sinh thích bóng đá và bơi;13 học sinh thích bơi và
bóng chuyền; 15 học sinh thích bóng đá và bóng chuyền; 10 học sinh thích cả ba môn ;12 học
sinh không thích một môn nào.Tìm xem lớp học đó có bao nhiêu học sinh
Bài 19 . Trong số 100 học sinh có 75 học sinh thích toán , 60 học sinh thích văn.
a. Nếu có 5 học sinh không thích cả toán và văn thì có bao nhiêu học sinh thích cả hai môn văn và
toán
b. Có nhiều nhất bao nhiêu học sinh thích cả hai môn văn và toán
c. Có ít nhất bao nhiêu học sinh thích cả hai môn văn và toán
Bài toán 1: Cho tập hợp
{ }
, , , ,A a b c d e=
.
a) Viết các tập hợp con của A có một phần tử b) Viết các tập hợp con của A có hai phần tử.
c) Có bao nhiêu tập hợp con của A có ba phần tử ? có bốn phần tử ?.
d) Tập hợp A có bao nhiêu tập hợp con ?
Bài toán 2: Xét xem tập hợp A có là tập hợp con của tập hợp B không trong các trờng hợp sau.
a)
{ }
1;3;5A =
;
{ }
1;3;7B =
b)
{ }
,A x y=
;
{ }
, ,B x y z=
c) A là tập hợp các số tự nhiên có tận cùng bằng 0, B là tập hợp các số tự nhiên chẵn.
Bài toán 3: Ta gọi A là tập con thực sự của B nếu
; .A B A B
Hãy viết các tập con thực sự của
tập hợp
{ }
1;2;3B =
Bài toán 4: Cho các tập hợp
{ }
1;2;3;4A =
;
{ }
3;4;5B =
Viết các tập hợp vừa là tập hợp con của A, vừa là tập hợp con của B
Bài toán 5: Cho tập hợp
{ }
1;2;3;4A =
.
a) Viết các tập hợp con của A mà mọi phần tử của nó đều là số chẵn.
b) Viết tất cả các tập hợp con của tập hợp A.
Bài toán 6: Cho 2 tập hợp
{ }
1;3;6;8;9;12A =
và B =
{ }
*/ 2 12x N x
a)Tìm tập hợp C của các phần tử vừ thuộc tập hợp A vừa thuộc tập hợp B Tìm tập hợp D của
các phần tử thuộc ít nhất một trong hai tập hợp A Hoặc tập hợp B
Bài toán 10: Cho tập hợp
{ }
30;4;2005;2;9M =
. Hãy nêu tập hợp con của tập M gồm những số:
a) Có một chữ số b) có hai chữ số c) Là số chẵn.
Bài toán 11: Cho
{ }
2; 4; 100A x N x x x= <M M
;
{ }
8; 100B x N x x= <M
a) Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp A ; tập hợp B.
b) Hai tập hợp A, B có bằng nahu không ? Vì sao ?
Bài toán 13: Cho A là tập hợp 5 số tự nhiên đầu tiên, B là tập hợp 3 số chẵn đầu tiên.
a) CMR:
B A
b) Viết tập hợp M sao cho
,B M M A
. Có bao nhiêu tập hợp M nh vậy.
Bài toán 14: Cho
{ }
7. 3; ; 150A x N x q q N x= = +
.
a) Xác định A bằng cách liệt kê các phần tử ? b) Tính tổng các phần tử của tập hợp A.
Bài toán 15: Cho
{ }
1;13;21;29;52M =
. Tìm
;x y M
biết
30 40x y< <
Bài toán 10: Cho a)
{ }
1;2A =
;
{ }
1;3;5B =
b)
{ }
,A x y=
;
{ }
, , ,B x y z t=
Hãy viết các tập hợp gồm 2 phần tử trong đó một phần tử thuộc A, một phần tử thuộc B.
Bồi dỡng toán 6
Các phép toán trong N
1. Tớnh cht giao hoỏn ca phộp cng v phộp nhõn.
a + b = b + a ; a.b = b.a
Khi i ch cỏc s hng trong mt tng thỡ tng khụng i
Khi i chừ cỏc tha s trong mt tớch thỡ tớch khụng i.
1. Tớnh cht kt hp ca phộp cng v phộp nhõn:
(a + b ) + c = a + ( b + c); (a.b).c = a(b.c);
2. Tớnh cht phõn phi ca phộp nhõn i vi phộp cng.: a(b+ c) = ab + ac
4. iu kin a chia ht cho b ( a,b
N ; b 0) l cú s t nhiờn p sao cho a= b.p.
5. Trong phộp chia cú d
s b chia = s chia x thng + s d ( a = b.p + r)
s d bao gi cng khỏc 0 v nh hn s chia.
Nếu a .b= 0 thì a = 0 hoặc b = 0.
II. Bài tập
*.Dạng 1: Các bài toán tính nhanh
Bài 1: Tính tổng sau đây một cách hợp lý nhất.
a/ 67 + 135 + 33 b/ 277 + 113 + 323 + 87
Bài 2: Tính nhanh các phép tính sau:
a/ 8 . 17 . 125 b/ 4 . 37 .25
Bài 3: Tính nhanh một cách hợp lí:
a/ 997 + 86 b/ 37. 38 + 62. 37
c/ 43. 11; 67. 101; 423. 1001 d/ 67. 99;
, 998. 34 c/ 43. 11 67. 101
B i 4: Tính nhanh các phép tính:
a/ 37581 9999 c/ 485321 99999
b/ 7345 1998 d/ 7593 1997
Bài 5: Tính nhanh:
a) 15. 18 b) 25. 24 c) 125. 72 d) 55. 14
Bài 6 :Tính nhanh:
a) 25. 12 b) 34. 11 c) 47. 101 d) 15.302 e)
125.18 g) 123. 1001
Bài 7: Thực hiện phép tính bằng cách hợp lí nhất:
a) 463 + 318 + 137 + 22
b) 189 + 424 +511 + 276 + 55
c) (321 +27)+ 79
d) 185 +434 + 515 + 266 + 155
e) 652 + 327 + 148 + 15 + 73
f) 347 + 418 + 123 + 12
Bài 8: Tính bằng cách hợp lí nhất:
a) 5. 125. 2. 41. 8 b) 25. 7. 10. 4
c) 8. 12. 125. 2 d) 4. 36. 25. 50
Chú ý: Quy tắc đặt thừa số chung : a. b+ a.c
= a. (b+ c) hoặc a. b + a. c + a. d = a.(b + c
+ d)
e) 3. 25. 8 + 4. 37. 6 + 2. 38. 12
Bài 9: Tính bằng cách hợp lí nhất:
6. 38. 63 + 37. 38
b) 12.53 + 53. 172 53. 84
c) 35.34 +35.38 + 65.75 + 65.45
d, 39.8 + 60.2 + 21.8
e, 36.28 + 36.82 + 64.69 + 64.41
*Chỳ ý: Mun nhõn 1 s cú 2 ch s vi 11 ta
cng 2 ch s ú ri ghi kt qu vỏo gia 2 ch
s ú. Nu tng ln hn 9 thỡ ghi hng
Bồi dỡng toán 6
n v vỏo gia ri cng 1 vo ch s hng
chc.
vd : 34 .11 =374 ; 69.11 =759
*Chỳ ý: mun nhõn mt s cú 2 ch s vi
101 thỡ kt qu chớnh l 1 s cú c bng
cỏch vit ch s ú 2 ln khớt nhau
vd: 84 .101 =8484 ; 63 .101 =6363 ;
*Chỳ ý: mun nhõn mt s cú 3 ch s vi
1001 thỡ kt qu chớnh l 1 s cú c bng
cỏch vit ch s ú 2 ln khớt nhau
Ví dụ:123.1001 = 123123
*.Dạng 2: Các bài toán có liên quan đến
dãy số, tập hợp
1:Dãy số cách đều:
VD: Tính tổng: S = 1 + 3 + 5 + 7 + + 49
Ta tính tổng S nh sau:
Bài 1:Tính tổng sau:
a) A = 1 + 2 + 3 + 4 + . + 100
S s hng c dóy l: (100-1):1+1 = 100
A= (100 + 1) .100 : 2 = 5050
b) B = 2 + 4 + 6 + 8 + . + 100
s s hng l: (100-2):2+1 = 49
B=(100 +2).49 :2 = 551 .49 = 2499
c) C = 4 + 7 + 10 + 13 + . + 301
d) D = 5 + 9 + 13 + 17 + .+ 201.
Bài 2: Tính các tổng:
a) A = 5 + 8 + 11 + 14 + . + 302 b)
B = 7 + 11 + 15 + 19 + .+ 203.
c) C = 6 + 11 + 16 + 21 + . + 301 d)
D =8 + 15 + 22 + 29 + . + 351.
Bài 3: Cho tổng S = 5 + 8 + 11 + 14 + .
a)Tìm số hạng thứ100 của tổng.
b) Tính tổng 100 số hạng đầu tiên.
Gii: lu ý: s cui = (s s hng - 1) .
khong cỏch - s u
a. vy s th 100 = (100-1) .3 5 = 292
b. S= (292 + 5) .100:2 = 23000
Bài 4: Cho tổng S = 7 + 12 + 17 + 22 + .
a)Tìm số hạng tứ50 của tổng.
b) Tính tổng của 50 số hạng đầu tiên.
Bài 5:Tính tổng của tất cả các số tự nhiên x, biết x là số có hai chữ số và 12 < x < 91
Bài 6: Tính tổng của các số tự nhiên a , biết a có ba chữ số và 119 < a < 501.
Tính tổng các chữ số của a.
Bài 7: Tính 1 + 2 + 3 + . + 1998 + 1999
Bài 8: Tính tổng của:
a/ Tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số. b/ Tất cả các số lẻ có 3 chữ số.
b/ S
2
= 101+ 103+ . + 997+ 999
Bài 9Tính tổng a/ Tất cả các số: 2, 5, 8, 11, ., 296 b/ Tất cả các số: 7, 11, 15, 19, ., 283
Bài 10: Cho dãy số:
a/ 1, 4, 7, 10, 13, 19. b/ 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29. c/ 1, 5, 9, 13, 17, 21, .
Hãy tìm công thức biểu diễn các dãy số trên.
Ghi chú: Các số tự nhiên lẻ là những số không chia hết cho 2, biểu diễn là
2 1k +
, k
N
Các số tự nhiên chẵn là những số chia hết cho 2, công thức biểu diễn là
2k
, k
N)
Båi dìng to¸n 6
*D¹ng 3: T×m x
Bµi 1:Tìm x
∈
N biết
a) (x –15) .15 = 0 b) 32 (x –10 ) =
32
Bµi 2:Tìm x
∈
N biết :
a ) (x – 15 ) – 75 = 0 b)575- (6x +70) =445
c) 315+(125-x)= 435
Bµi 3:Tìm x
∈
N biết :
a) x –105 :21 =15
b) (x- 105) :21 =15
Bµi 4: Tìm số tự nhiên x biết
a( x – 5)(x – 7) = 0 b/ 541 + (218 – x) = 735 c/ 96 – 3(x + 1) = 42 d/ ( x –
47) – 115 = 0 e/ (x – 36):18 = 12
BTNC a) Tính tổng của các sống tự nhiên từ 1 đến 999;
b) Viết liên tiếp các số tự nhiên từ 1 đến 999 thành một hang ngang ,ta được số 123….999.
tính tổng các chữ số của số đó.
1.Tìm số có hai chữ số,biế rằng nếu viêt chữ số 0 xen giữa hai chữ của số đó thì được số có ba chữ
số gấp 9 lần số có hai chữ số ban đầu.
2.a)Hãy viết liên tiếp 20 chữ số 5 thành một hàng ngang,rồi đặt dấu + xen giữa các chữ số đó để
được tổng bằng 1000.
b) Hãy viết liên tiếp tám chữ số 8 thành một hàng ngang,rồi đặt dấu + xen giữa các chữ số đó để
được tổng bằng 1000.
3.Chia các số tự nhiên từ 1 đến 100 thành hai lớp : lớp số chẵn và lớp số lẻ.hỏi lớp nào có tổng các
chữ số lớn hơn và lớn hơn bao nhiêu?
4. Điền các chữ số thích hợp vào các chữ để được phép tính đúng : a)
ab1
+ 36 =
1ab
;
b)
abc
+
acc
+
dbc
=
bcc
5. Cho ba chữ số a,b,c với 0 < a < b < c ;
a) Viết tập hợp A các số có ba chữ số ,mỗi số gồm cả ba chữ số a, b ,c:
b) Biết rằng tổng hai số nhỏ nhất trong tập hợp A bằng 488.tìm tổng các chữ
a + b + c.
5. Cho 1 bảng vuông gồm 9 ô vuông như hình vẽ.
hãy điền vào các ô của bảng các số tự nhiên từ 1 đến 10
(mỗi số chỉ được viết một lần) sao cho tổng các số ở
mỗi hang ,mỗi cột ,mỗi đường chéo bằng nhau.
6. Kí hiệu n! là tích của các số tự nhiên từ 1 đến n : n! = 1.2.3…n.
Tính : S = 1.1! + 2.2! + 3.3! + 4.4! + 5.5!
7. Trong một tờ giấy kẻ ô vuông kích thước 50.50 ô vuông .trong mỗi ô người ta viết một số tự
nhiên . biết rằng bốn ô tạo thành một hình như hình vẽ thì tổng các số trong bốn ô đó đều bằng
4 .hãy chứng tỏ rằng mỗi số đó đều bằng 1.
8.Một số có bảy chữ số ,cộng với số được viets bảy chữ số đó nhưng theo thứ tự ngược lại thì
được tổng là số có bảy chữ số.hãy chứng tổ rằng tổng tìm được có ít nhất một chữ số chẵn.
9.Cho bảng gồm 16 ô vuông như hình vẽ .hãy điền vào các
ô bảng của bảng các số tự nhiên lẻ từ 1 đến 31 (mỗi số chỉ
viết một lần.) sao cho tổng các số trong cùng một hàng,
cùng một cột , cùng một đường chéo đều bằng nhau
4
1
0
2
8
15 29
23 5
3 17
27 9
Bồi dỡng toán 6
10.Cho dóy s 1,2,3,5,8,13,21,34,.( dóy s phi bụ na xi) trong ú mi s (bt u t s th ba)
bng tng hai s ng lin trc nú.chn trong dóy s ú 8 s liờn tip tựy ý.chng minh rng
tng ca 8 s ny khụng phi l mt s ca dóy ó cho.
11. Mt s chn cú bn ch s, trong ú ch s hng trm v ch s hang chc lp thnh mt s
gp ba ln ch s hng nghỡn v gp hai ln ch s hang n v.tỡm s ú.
12.Tỡm cỏc s a,b,c,d trong php tớnh sau:
abcd + abc + ab + a = 4321 .
13.Hai ngi chi mt trũ chi ln lt bc nhng viờn bi t hai hp ra ngoi.mi ngi n lt
mỡnh bc mt s viờn bi tựy ý .ngi bc viờn bi cui cựng i vi cacr hai hp l ngi thng
cuc.bit rng hp th nht cú 190 viờn bi ,hp th hai cú 201 viờn bi.hóy tỡm thut chi m
bo ngi bc bi u tiờn l ngi thng cuc.
Bi tp củng cố
1. Tớnh giỏ tr ca biu thc mt cỏch hp lớ:
A = 100 + 98 + 96 + .+ 2 - 97 95 - - 1 ;
B = 1 + 2 3 4 + 5 + 6 7 8 + 9 + 10 11 12 + - 299 330 + 301 + 302;
2. Tớnh nhanh
a) 53.39 +47.39 53.21 47.21. b)2.53.12 + 4.6.87 3.8.40; c) 5.7.77 7.60 + 49.25 15.42.
3.Tỡm x bit:
a) x : [( 1800+600) : 30] = 560 : (315 - 35); ab) [ (250 25) : 15] : x = (450 - 60): 130.
4. Tng ca hai s bng 78293.s ln trong hai s ú co ch s hng dn v l 5 ,ch hng chc
1,ch s trm l 2.nu ta gch b cỏc ch s ú i thỡ ta c mt s bng s nh nht .tỡm hai s
ú.
5.Mt php chia cú thng l 6 d 3 .tng ca s b chia ,s chia v s d l 195.tỡm s b chia v
s chia.
6.Tng ca hai s cú a ch s l 836.ch s hng trm ca s th nht l 5 ,ca s th hai l 3 .nu
gch b cỏc ch s 5 v 3 thỡ s c hai s cú hai ch s m s ny gp 2 ln s kia.tỡm hai s ú.
7.Mt hc sinh khi gii bi toỏn ỏng l phi chia 1 s cho 2 v cng thng tỡm c vi 3 .nhng
do nhõm ln em ú ó nhõn s ú vi 2 v sau ú ly tớch tỡm c tr i 3 .mc dự vy kt qu vn
ỳng .hi s cn phi chia cho 2 l s no?
8. Tỡm s cú ba ch s .bit rng ch s hng trm bng hiu ca ch s hng chc vi ch s
hng n v.chia ch s hng chc cho ch s hng n v thỡ c thng l 2 v d 2.tớch ca s
phi tỡm vi 7 l 1 s cú ch s tn cựng l 1.
9. Tỡm s t nhiờn a 200 .bit rng khi chia a cho s t nhiờn b thỡ c thng l 4 v d 35 .
10. Vit s A bt kỡ cú 3 ch s ,vit tip 3 ch s ú 1 ln na ta c s B cú 6 ch s.chia s B
cho 13 ta c s C. chia C cho 11 ta c s D.li chia s D cho 7.tỡm thng ca phộp chia ny.
11. Khi chia s M gm 6 ch s ging nhau cho s N gm 4 ch s ging nhau thỡ c thng
l 233 v s d l 1 s r no ú .sau khi b 1 ch s ca s M v 1 ch s ca s N thỡ thng
khụng i v s d gim i 1000.tỡm 2 s M v N?
* Các bài toán về dãy số viết theo quy luật.
Bài toán 1: Tính các tổng sau.
a)
1 2 3 4 n
+ + + + +
b)
2 4 6 8 2.n
+ + + + +
c)
1 3 5 (2. 1)n+ + + + +
d)
1 4 7 10 2005
+ + + + +
e) 2+5+8++2006 g) 1+5+9+.+2001
Giải; a)
( )
2
n n+
b)số số hạng (2n 2) : 2 + 1= n Tổng =
Bài toán 2: Tính nhanh tổng sau:
1 2 4 8 16 8192A
= + + + + + +
Bài toán 3: a) Tính tổng các số lẻ có hai chữ số
b) Tính tổng các số chẵn có hai chữ số.
Bồi dỡng toán 6
Bài toán 4: a) Tổng 1+2+3+.+n có bao nhiêu số hạng để kết quả của tổng bằng 190.
b) Có hay không số tự nhiên n sao cho
1 2 3 2004n
+ + + + =
c) Chứng minh rằng:
[ ]
(1 2 3 ) 7n+ + + +
không chia hết cho 10
n N
Bài toán 5: a) Tính nhanh
1.2 2.3 3.4 1999.2000+ + + +
b) áp dụng kết quả phần a) tính nhanh
1.1 2.2 3.3 1999.1999B
= + + + +
c) Tính nhanh :
1.2.3 2.3.4 48.49.50.C = + + +
Hãy xây dựng công thức tính tổng a) và c) trong trờng hợp tổng quát.
Bài toán 6: Tìm số hạng thứ 100, số hạng thứ n của các dãy số sau:
a)
3;8;15;24;35;
b)
3;24;63;120;195;
c)
1;3;6;10;15;
d)
2;5;10;17;26;
e)
6;14;24;36;50;
g)
4;28;;70;130;
Bài toán 7: Cho dãy số
1;1 2;1 2 3;1 2 3 4; + + + + + +
Hỏi trong dãy số trên có số nào có chữ số tận cùng là 2 không ? Tại sao ?.
Bài toán 8: Cho
1 2 3 4
1 2; 3 4 5; 6 7 8 9; 10 11 12 13 14; S S S S= + = + + = + + + = + + + +
. Tính
100
S
.
Bài toán 9: Tính bằng cách hợp lý.
a)
41.66 34.41
3 7 11 79
A
+
=
+ + + +
b)
1 2 3 200
6 8 10 34
B
+ + + +
=
+ + + +
c)
1 5.6 2.10.12 4.20.24 9.45.54
1.3.5 2.6.10 4.12.20 9.27.45
C
+ + +
=
+ + +
Bài 21. Hãy chứng tỏ rằng hiệu sau có thể viết thành một tích của hai thừa số giống nhau :
11111111 2222
Bài 22 . Tìm kết quả của phép nhân sau
a)
{
{
2005 . 2005 .
33 3.99 9
c s c s
A =
b)
{ {
2005 . 2005 .
33 3.33 3
c s c s
B =
Bài 23. Chứng tỏ rằng các số sau có thể viết đợc thành tích của hai số tự nhiên liên tiếp
a. 111222 b. 444222 c. A=
{
11 122 2
n
123
c.s1
n c.s2
Giải : Do 111222 : 111 = 1002 nên 111222 = 111.1002 = 111. 3 . 334 = 333.334
Bài toán 1: Cho ba chữ số a, b, c. Gọi A là tập hợp các số tự nhiên gồm cả ba chữ số trên.
a) Viết tập hợp A. b) Tính tổng các phần tử của tập hợp A.
Bài toán 2: Cho ba chữ số a, b, c sao cho
0 .a b c< < <
a) Viết tập A các số tự nhiên có ba chữ số gồm cả ba chữ số trên.
b) Biết tổng của hai số nhỏ nhất trong tập A bằng 448. Tìm ba chữ số a, b, c nói trên.
Bài toán 11: Ngời ta viết liền nhau dãy số tự nhiên bắt đầu từ 1: 1,2,3,4,5,Hỏi chữ số thứ 659
là chữ số nào ?
Bài toán 12: Cho
7 10 13 100S = + + + +
a) Tính số số hạng của tổng trên. b) Tìm số hạng thứ 22 của tổng. c) Tính tổng S
Bài toán 14: Chứng tỏ rằng số A=
{
11 122 2
n
123
c.s1
n c.s2
là tích của hai số tự nhiên liên tiếp.
Bài toán 15: Trong hệ thập phân số A đợc viết bằng 100 chữ số 3, số B đợc viết bằng 100 chữ số
6. Hãy tính tích A.B
Các bài toán về số và chữ số
Bài1. Một số có 3 chữ số, tận cùng bằng chữ số 7. Nếu chuyển chữ số 7 đó lên đầu thì ta đợc
một số mới mà khi chia cho số cũ thì đợc thơng là 2 d 21. Tìm số đó
Bài 2. Tìm số tự nhiên có 5 chữ số, biết rằng nếu viết thêm chữ số 7 vào đằng trớc số đó thì đợc
một số lớn gấp 4 lần so với số có đợc bằng cách viết thêm chữ số 7 vào sau số đó
Bài 3 . Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng nếu viết thêm một chữ số 2 vào bên phải và một
chữ số 2 vào bên trái của nó thì số ấy tăng gấp 36 lần
Bài 4 . Nếu ta viết thêm chữ số 0 vào giữa các chữ số của một số có hai chữ số ta đợc một số
mới có 3 chữ số lớn hơn số đầu tiên 7 lần . Tìm số đó
Bài 5. Nếu xen vào giữa các chữ số của một số có hai chữ số của chính số đó, ta đợc một số mới
có bốn chữ số và bằng 99 lần số đầu tiên. Tìm số đó
Bài 6 . Nếu xen vào giữa các chữ số của một số có hai chữ số một số có hai chữ số kém số đó 1
đơn vị thì sẽ đợc một số có bốn chữ số lớn gấp 91 lần so với số đầu tiên. Hãy tìm số đó
Bài 7 . Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng số mới viết theo thứ tự ngợc lại nhân với số
phải tìm thì đợc 3154; số nhỏ trong hai số thì lớn hơn tổng các chữ số của nó là 27
Bồi dỡng toán 6
Bài 8 . Cho số có hai chữ số . Nếu lấy số đó chia cho hiệu của chữ số hàng chục và hàng đơn vị
của nó thì đợc thơng là 18 và d 4 . Tìm số đã cho
Bài 9 . Cho hai số có 4 chữ số và 2 chữ số mà tổng của hai số đó bằng 2750. Nếu cả hai số đợc
viết theo thứ tự ngợc lại thì tổng của hai số này bằng 8888 . Tìm hai số đã cho
Bài 10 . Tìm số có bốn chữ số khác nhau, biết rằng nếu viết thêm một chữ số 0 vào giữa hàng
nghìn và hàng trăm thì đợc số mới gấp 9 lần số phải tìm
Bài 11 . Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, sao cho khi nhân số đó với 4 ta đợc số gồm bốn chữ số
ấy viết theo thứ tự ngợc lại
Bài 12 . Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, sao cho khi nhân số đó với 9 ta đợc số gồm bốn chữ số
ấy viết theo thứ tự ngợc lại
Bài 13 . Tìm số tự nhiên có năm chữ số, sao cho khi nhân số đó với 9 ta đợc số gồm năm chữ số
ấy viết theo thứ tự ngợc lại
Bài 14 . Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết rằng nếu xoá chữ số hàng trăm thì số ấy giảm 9 lần
Bài 15 . Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, biết rằng nếu xoá chữ số hàng nghìn thì số ấy giảm 9
lần
Bài 16 . Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, biết rằng chữ số hàng trăm bằng 0 và nếu xoá chữ số 0
đó thì số ấy giảm 9 lần
Bài 17 . Một số tự nhiên tăng gấp 9 lần nếu viết thêm một chữ số 0 vào giữa các chữ số hàng
chục và hàng đơn vị của nó . Tìm số ấy
Bài 18 . Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết rằng số đó vừa chia hết cho 5 và chia hết cho 9 , hiệu
giữa số đó với số viết theo thứ tự ngợc lại bằng 297
Bµi 1. TÝnh nhanh
a. 417 + 235 + 583 + 765 5
+8 +11 +14 + + 38 + 41
b. 4 . 7 . 16 . 25 13 . 8 .
250
c. ( 1999 + 313) – 1999 ( 1435
+ 213) – 13
d. 2023 - ( 34 + 1560) 1972 –
( 368 + 972)
e. 364 – ( 364 – 111) 249
– ( 75 – 51)
Bµi 2. TÝnh nhanh c¸c tæng sau
a. 1+2+3+4+5+ +n e.
2+5+11+ +47+65
b.1+3+5+7+ + ( 2n – 1) g.
3+12+48+ +3072+12288
c. 2+4+6+8+ +2n h.
2+5+7+12+ +81+131
d.1+6+11+16+ +46+51 i.
49-51+53-55+57-59+61-63+65
Bµi 3. a. TÝnh nhÈm 204. 36
499.12 601.42 199.41
b. . TÝnh nhÈm b»ng c¸ch nh©n thõa
sè nµy, chia thõa sè kia cho cïng mét
sè
66.50 72.125 38.5 15.16.125
c. . TÝnh nhÈm b»ng c¸ch nh©n c¶ sè
bÞ chia vµ sè chia víi cïng mét sè
kh¸c kh«ng
2000 : 25 7300 : 50 4970 : 5
81000 : 125
d. TÝnh nhÈm b»ng c¸ch ¸p dông tÝnh
chÊt ( a
±
b ) : c = a : c
±
b : c
169 : 13 660 : 15 119 : 7 204 :
12
Bµi 4 . T×m x
a.
(158 - x) :7 = 20
b.
2x – 138 = 2
3
. 3
2
c.
231 - (x – 6 ) =1339 :13
d.
10 + 2x = 4
5
: 4
3
a. 70 - 5.(2x - 3) = 45
b. 156 – (x + 61) = 82
c. 6.(5x + 35) = 330
d. 936 - (4x + 24) = 72
a. 5.(3 x + 34) = 515
b. (158 - x) : 7 = 20
c. (7x - 28) .13 = 0
d. 218 + (97 - x) = 313
(2x – 39) . 7 + 3 = 80
b)[(3x + 1)
3
]
5
= 15
0
c) 2436 . (5x + 103) = 12
d) 294 - (7x - 217) = 3
8
. 3
11
: 3
16
+ 6
2
a) x : [( 1800+600) : 30] = 560 : (315
- 35);
b) [ (250 – 25) : 15] : x = (450 - 60):
130.
a. 420 + 65 . 4 = ( x + 175) : 5 +
30
b.
[ ]
17)32( −+x
. 2 = 42
c. ( 32 . 15 ) : 2 = ( x + 70 ) : 14 – 40
d.
[ ]
)53(61 x−+
.17 = 1785
e. x – 4867 = ( 175 . 2050 . 70 ) : 25 +
23
f. 697 :
x
x 364.15 +
= 17
g. 92.4 – 27 =
x
x 350+
+ 315
Bµi 5. TÝnh nhanh
a.
110
58.168168.168 −
74.13
37).91211.456( +
b.
432.48.864
96.43248.864 −
15.4528
1716.45
+
−
c.
7255.43753650
7254375.7256
+
−
14.7413.26
7).315372(3).372315(
+
+++
d.
1979.19781979.1980
195821.19801979.1978
−
++
181614 642
55.2745.27
++++++
+
1.
e.
48121620242832
12.26108.26
−+−+−+−
−
127 . 36
+ 64. 127 – 27. 100 12 :
{390 : [500 – (125 + 35 . 7)]}
2.
5
7
: 5
5
- 7 . 7
0
2.125.18 + 36.252 + 4.223.9
3.
50 + 51 + 52 + + 99 + 100
B = 1
2
. 6
2
. 3
2
+ 3
2
+ 7
2
+ 2
0
4.
24:{300 : [375 – (150 + 15. 5]}
1449 : {[216 + 184 : 8).9]}
5.
5
6
: 5
3
+ 3 . 3
2
2195.1952 - 952. 427 - 1952. 1768
6.
20 + 22 + 24 + 96 + 98
H = 3
0
+ 3
1
+ 3
2
+ 3
3
+ 3
0
. 3
1
. 3
2
.3
3
7.
35 + 38 + 41 + + 92 + 95
A = { 46 – [( 16 + 71.4) : 15 ] }– 2
8.
B = 2
4
. 5 – [ 131 – ( 13 – 4 )
2
]
222 + 224 + 226 + . . . . + 444
9.
3
3
. 3
5
: 3
4
+ 2
2
. 2. 2
0
(5346 – 2808) : 54 + 51
10.
187 . (38 + 62) – 87 .(62 + 38)
2
3
.16 - 2
3
. 14
11.
25.{32 : [12 – 4 + 4. (16 : 8)]}
25.{32 : [12 – 4 + 4. (16 : 8)]}
L thõa víi sè mò tù nhiªn
I/ KiÕn thøc c¬ b¶n.
1. Đònh nghóa:
n
a =
a.a……….a ( n
∈
N*)
n thừa số
2. Quy ước: a
1
= a ; a
0
= 1 ( a
≠
0)
3. Nhân, chia hai lũy thừa cùng cơ số:
. ( , *)
: ( , *, , 0)
m n m n
m n m n
a a a m n N
a a a m n N m n a
+
−
= ∈
= ∈ ≥ ≠
4.Lũy thừa của một tích: (a.b)
n
= a
n
. b
n
5. Lũy thừa của một lũy thừa: ( a
m
)
n
= a
m.n
6. Lũy thừa tầng:
( )
n
n
m m
a a=
7. Số chính phương là số mà bằng bình phương của một số tự nhiên.
Ví dụ: các số 0; 1; 4; 9; 16; 25;…. là các số chính phương
. Bài tập:
1. Viết các số sau dưới dạng lũy thừa:
a) 10 ; 100 ; 1000; 10000; 100 0; (n số 0 );
a) 5 ; 25; 625; 3125;
2.So sánh các số sau:
a) 3
200
với 2
3000
; b) 125
5
với 25
7
; c)9
20
với 27
13
d)3
54
với 2
81
;
3.Viết các tích sau đướ dạng lũy thừa:
a) 5.125.625 ; b) 10.100.1000 ; c) 8
4
.16
5
.32; d) 27
4
.81
10
;
4.So sánh: a) 10
30
với 2
100
; b) 5
40
với 620
10
;
5.Một hình lập phương có cạnh là 5 m.
a) tính thể tích của hình lập phương;
b) nếu cạnh của hình lập phương tăng lên 2 lần , 3 lần thì thể tích của hình lập phương tăng lên
bao nhiêu lần.
6. Trong cách viết ở hệ thập phân số 2
100
có bao nhiêu chữ số?
SO SÁNH HAI LŨY THỪA
A) KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1) Để so sánh hai lũy thừa, ta thường đưa chúng về dạng hai lũy thừa
có cùng cơ số (lớn hơn 1) hoặc cùng số mũ (lớn hơn 0) rồi mới so sánh.
Nếu a
m
= a
n
thì m = n, hoặc nếu a
n
= b
n
thì a = b
Nếu m > n thì a
m
> a
n
(a> 1)
Nếu a > b thì a
n
> b
n
(n > 0)
2) Tính chất đơn điệu của phép nhân: Nếu a < b thì a.c < b.c (với c > 0)
II/. Bµi tËp
Bµi tËp 1: ViÕt gän c¸c biĨu thøc sau b»ng c¸ch dïng l thõa.
a, 3 . 3 . 3 . 4 . 4 =
b, a . a . a + b . b . b . b =
c, 16
6
: 4
2
d, 17
8
: 9
4
e, 125
4
: 25
3
f, 4
14
. 5
28
= (g,
12
n
: 2
2n
= h. 8
4
. 16
5
b. 5
40
. 125
2
.
.
625
3
i. 27
4
. 81
10
d. 10
3
. 100
5
. 1000
4
k.
10 30
4 .2
b)
25 4 3
9 .27 .81
c)
50 5
25 .125
d)
3 8 4
64 .4 .16
a)
5 .5 .5x x x
b)
1 2 2006
. x x x
c)
4 7 100
. . x x x x
d)
2 5 8 2003
. . x x x x
a)
8 6
3 :3
; ;
7 3
19 :19
10 3
2 :8
;
7 7
12 : 6
;
5 3
27 :81
b)
6
10 :10
;
8 2
5 : 25
;
9 2
4 : 64
;
25 4
2 :32
;
3 3
18 : 9
;
3 4
125 : 25
a)
6 2
16 : 4
b)
8 4
27 :9
c)
5 3
125 : 25
d)
14 28
4 .5
e)
2
12 :2
n n
g)
4 5 20
64 .16 : 4
Bài tập 2:
Tính giá trị biểu thức.
a, 3
8
: 3
4
+ 2
2
. 2
3
b, 3 . 4
2
2 . 3
2
c,
6 4 5
12
4 .3 .9
6
d,
2
3
21 .14.125
35 6
e,
3 4 2
5
45 .20 .18
180
g,
13 5
10 2
2 2
2 2
+
+
e.
108
5472
4
23
x
g.
2
3
33
4
9
1010
.
5.11. +
h.
104.
65.13.
2
22
8
1010
+
y. ( 125
3
. 7
5
175
5
: 5 ) : 2001
2002
k. 16 .64 .8
2
: ( 4
3
. 2
5
. 16)
Bài 4. Cho A = 5. 4
15
. 9
9
4. 3
20
. 8
9
B = 5.2
9
.6
19
- 7.2
29
.27
6
Tính A : B
C = 2181.729 + 243.81.27 D = 3
2
.9
2
.243 + 18.243.324 + 723. 729 Tính C : D
a)
17 2 15 15 4 2
(2 17 ).(9 3 ).(2 4 )+
b)
1997 1995 1994
(7 7 ) : (7 .7)
c)
2 3 4 5 3 3 3 3 8 2
(1 2 3 4 ).(1 2 3 4 ).(3 81 )+ + + + + +
d)
8 3 5 3
(2 8 ) : (2 .2 )+
a)
104.2
65.213.2
8
1010
+
b) (1 + 2 ++ 100)(1
2
+ 2
2
+ + 10
2
)(65 . 111 13 . 15 . 37)
a)
10 10
9 4
3 .11 3 .5
3 .2
A
+
=
b)
10 10
8
2 .13 2 .65
2 .104
B
+
=
c)
9 4
4
4 .36 64
16 .100
C
+
=
d)
3 2
4
72 .54
108
D =
e)
6 4 5
12
4 .3 .9
6
E =
f)
13 5
10 2
2 2
2 2
F
+
=
+
g)
2
5
21 .14.125
35 .6
G =
h)
3 4 2
5
45 .20 .18
180
H =
i)
22 7 15
14 2
11.3 .3 9
(2.3 )
I
=
Bài tập 5: Tìm x N biết
a, 2
x
. 4 = 128 b, x
15
= x 1
c, (2x + 1)
3
= 125
d, (x 5)
4
= (x - 5)
6
d/ x
10
= x e/ (2x -15)
5
= (2x -15)
3
Bài 1: Tìm các số mũ n sao cho luỹ
thừa 3
n
thảo mãn điều kiện: 25 < 3
n
< 250
Bài 2. Tìm số tự nhiên n biết
a. 5
n
= 125 3
4
. 3
n
= 3
7
27. 3
n
= 243
49.7
n
= 2401
b. 9 < 3
n
< 81 25
5
n
125
Bài 3. Tìm x là số tự nhiên, biết rằng :
a. 2
x
. 4 = 128
b. x
15
= x
c. ( 2x + 1 )
3
= 125
d. ( x 5 )
4
= ( x 5 )
6
e. x
2006
= x
2
Bài 4 : Tìm
x N
biết
a)
3 .3 243
x
=
b)
20
x x=
c)
2
2 .16 1024
x
=
d)
8
64.4 16
x
=
Bài 5 Tìm
x N
biết
g)
2 15 17
x
=
h)
3 5 2
(7 11) 2 .5 200x = +
i)
2 0
3 25 26.2 2.3
x
+ = +
l)
49.7 2041
x
=
m)
5
64.4 4
x
=
n)
3 243
x
=
p)
4 7
3 .3 3
n
=
Bài 6: Tìm
n N
biết:
a)
9 3 81
n
< <
b)
25 5 125
n
a) 50 < 2
n
< 100 b) 50<7
n
< 2500
Bài 7 Tìm x biết
a)
3
( 1) 125x =
b)
2
2 2 96
x x+
=
c)
3
(2 1) 343x + =
d)
[ ]
3
720 : 41 (2 5) 2 .5x =
a) 2
x
. 7 = 224 b) (3x + 5)
2
=
289
c) x. (x
2
)
3
= x
5
d) 3
2x+1
. 11 = 2673
Bài 8: Tìm
*
n N
biết
a)
32 2 128
n
< <
b)
2.16 2 4
n
>
d)
2
(2 : 4).2 4
n
=
e)
4 7
1
.3 .3 3
9
n
=
g)
5
1
.2 4.2 9.2
2
n n
+ =
h)
1
.27 3
9
n n
=
i)
5
64.4 4
n
=
k)
27.3 243
n
=
Bài 9: Tìm
x N
biết
a)
16 128
x
<
b)
{
1 2 18
18 / 0
5 .5 .5 100 0: 2
x x x
c s
+ +
chuyên đề: Các bài toán so sánh hai luỹ thừa
1. Để so sánh hai luỹ thừa, ta thờng đa về so sánh hai luỹ thừa cùng cơ số hoặc cùng số mũ.
+ Nếu hai luỹ thừa có cùng cơ số (lớn hơn 1) thì luỹ thừa nào có số mũ lớn hơn sẽ lớn hơn.
+ Nếu hai luỹ thừa có cùng số mũ (>0) thì luỹ thừa nào có cơ số lớn hơn sẽ lớn hơn.
2. Ngoài hai cách trên, để so sánh hai luỹ thừa ta còn dùng tính chất bắc cầu, tính chất đơn điệu
của phép nhân.
(a<b thì a.c<b.c với c>0).
Ví dụ: So sánh 32
10
và 16
15
, số nào lớn hơn.
Hớng dẫn:
Các cơ số 32 và 16 tuy khác nhau nhng đều là luỹ thừa của 2 lên ta tìm cách đa 32
10
và 16
15
về
luỹ thừa cùng cơ số 2.
32
10
= (2
5
)
10
= 2
50
16
15
= (2
4
)
15
= 2
60
Vì 2
50
< 2
60
suy ra 32
10
< 16
15
.
Bài tập 1:
So sánh:
Bài 1: So sánh các số sau?
a) 27
11
và 81
8
. b) 625
5
và 125
7
c) 5
36
và 11
24
d) 3
2n
và 2
3n
(n N
*
)
Hớng dẫn:
a) Đa về cùng cơ số 3. b) Đa về cùng cơ số 5.
c) Đa về cùng số mũ 12. d) Đa về cùng số mũ n
Bài 2: a) 5
23
và 6.5
22
b) 7.2
13
và 2
16
c) 21
15
và 27
5
.49
8
Hớng dẫn:
a) Đa hai số về dạng một tích trong đó có thừa số giống nhau 5
22
.
b) Đa hai số về dạng một tích trong đó có thừa số giống nhau là 2
13
.
c) Đa hai số về dạng một tích 2 luỹ thừa cơ số là 7 và 3.
Bài 3: a) 199
20
và 2003
15
.
b) 3
39
và 11
21
.
Hớng dẫn :
a) 199
20
< 200
20
= (2
3
.5
2
)
20
= 2
60
. 5
40
.
2003
15
> 2000
15
= (2.10
3
)
15
= (2
4
. 5
3
)
15
=
2
60
.5
45
b) 3
39
<3
40
= (3
2
)
20
= 9
20
<11
21
.
Bài 4: So sánh 2 hiệu,hiệu nào lớn hơn?
72
45
-72
44
và 72
44
-72
43
.
Hớng dẫn:
72
45
-72
44
=72
45
(72-1)=72
45
.71.
72
44
-72
44
=72
44
(72-1)=72
44
.71.
Bài 5: 2
7
và 7
2
Ta có: 2
7
= 128 ; 7
2
= 49
Vì 128 > 49 nên 2
7
> 7
2
Bài 6 a) 9
5
và 27
3
b) 3
200
và 2
300
a) Ta có: 9
5
= (3
2
)
5
= 3
10
27
3
= (3
3
)
3
= 3
9
Vì 3
10
> 3
9
nên 9
5
> 27
3
b) Ta có: 3
200
= (3
2
)
100
= 9
100
2
300
= (2
3
)
100
= 8
100
Vì 9
100
> 8
100 ;
nên 3
200
> 2
300
c, 3
500
và 7
300
3
500
= 3
5.100
= (3
5
)
100
= 243
100
7
300 =
7
3.100
. (7
3
)
100
= (343)
100
Vì 243
100
< 343
100
=> 3
500
< 7
300
d, 8
5
và 3 . 4
7
. 8
5
= (2
3
)+5 = 2
15
<3.2
14
= 3.4
7
=> 8
5
< 3 . 4
7
e, 202
303
và 303
202
202
303
=(202
3
)
201
; 303
202
= (303
2
)
101
Ta so sánh 202
3
và 303
2
Nếu m>n thì a
m
>a
n
(a>1).
Nếu a>b thì a
n
>b
n
( n>0).
202
3
= 2
3
. 101 . 101
3
và 303
2
=> 303
2
<
202
3
303
2
= 3
3
. 101
2
= 9.101
2
vậy 303
202
< 2002
303
f, 3
21
và 2
31
3
21
= 3 . 3
20
= 3. 9
10
; 2
31
= 2 . 2
30
= 2 . 8
10
3 . 9
10
> 2 . 8
10
=> 3
21
> 2
31
g, 11
1979
< 111980 = (11
3
)
660
= 1331
660
37
1320
= (37
2
)
660
= 1369
660
Vì 1369
660
> 1331
660
=> 37
1320
> 11
1979
Bài 7: So sách các cặp số sau:
a/ A = 27
5
và B = 243
3
Ta có A = 27
5
= (3
3
)
5
= 3
15
và B = (3
5
)
3
= 3
15
Vậy A = B
b/ A = 2
300
và B = 3
200
A = 2
300
= 3
3.100
= 8
100
và B = 3
200
= 3
2.100
= 9
100
Vì 8 < 9 nên 8
100
< 9
100
và A < B.
Bài 8: So sánh hai luỹ thừa sau:
31
11
và 17
14
Ta thấy 31
11
< 32
11
= (2
5
)
11
= 2
55
(1)
17
14
> 16
14 =
(2
4
)
14
= 2
56
(2)
Từ (1) và (2) 3
11
< 2
55
< 2
56
< 17
14
nên 31
11
< 17
14
Bài 1: So sánh các số sau, số nào lớn hơn
a)
30
10
và
100
2
b)
444
333
và
333
444
c)
40
13
và
161
2
d)
300
5
và
453
3
Bài 2: So sánh các số sau
a)
217
5
và
72
119
b)
100
2
và
9
1024
c)
12
9
và
7
27
d)
80
125
và
118
25
e)
40
5
và
10
620
f)
11
27
và
8
81
Bài 3: So sánh các số sau
a)
36
5
và
24
11
b)
5
625
và
7
125
c)
2
3
n
và
3
2
n
*
( )n N
d)
23
5
và
22
6.5
Bài 4: So sánh các số sau
a)
13
7.2
và
16
2
b)
15
21
và
5 8
27 .49
c)
20
199
và
15
2003
d)
39
3
và
21
11
Bài 5: So sánh các số sau
a)
45 44
72 72
và
44 43
72 72
b)
500
2
và
200
5
c)
11
31
và
14
17
d)
24680
3
và
37020
2
e)
1050
2
và
450
5
g)
2
5
n
và
5
2 ;( )
n
n N
Bài 6: So sánh các số sau
a)
500
3
và
300
7
b)
5
8
và
7
3.4
c)
20
99
và
10
9999
d)
303
202
và
202
303
e)
21
3
và
31
2
g)
1979
11
và
1320
37
h)
10
10
và
5
48.50
i)
10 9
1990 1990+
và
10
1991
Bài 7: So sánh các số sau
a)
50
107
và
75
73
b)
91
2
và
35
5
c)
4
54
và
12
21
Bài 8: Tìm xem 2
100
có bao nhiêu chữ số trong cách viết ở hệ thập phân
Bài giải:
Muốn biết 2
100
có bao nhiêu chữ số trong cách viết ở hệ thập phân ta so sánh 2
100
với 10
30
và 10
31
.
* So sánh 2
100
với 10
30
Ta có: 2
100
= (2
10
)
10
= 1024
10
10
30
= (10
3
)
10
= 1000
10
Vì 1024
10
> 1000
10
nên 2
100
> 10
30
(*)
* So sánh 2
100
với 10
31
Ta có: 2
100
= 2
31
. 2
69
= 2
31
. 2
63 .
2
6
= 2
31
. (2
9
)
7
. (2
2
)
3
= 2
31
.512
7
. 4
3
(1)
10
31
= 2
31
. 5
31
= 2
31
. 5
28
. 5
3
= 2
31
(5
4
)
7
. 5
3
= 2
31
. 625
7
. 5
3
(2)
Từ (1) và (2) ta có:
2
31
. 512
7
. 4
3
< 2
31
. 512
7
. 5
3
Hay 2
100
< 10
31
( **)
Từ (*),( **) ta có:
10
31
< 2
100
< 10
31
Số có 31 chữ số nhỏ nhất Số có 32 chữ số nhỏ nhất
Nên 2
100
có 31 chữ số trong cách viết ở hệ thập phân.
Bài 10: So sánh A và B biết.
a) A =
519
519
31
30
+
+
; B =
519
519
32
31
+
+
b)
32
32
20
18
; B =
32
32
22
20
c) A =
82
92
5 551
5 551
++++
++++
; B =
82
92
3 331
3 331
++++
++++
Bài giải:
A =
519
519
31
30
+
+
Nên 19A =
519
)519.(19
31
30
+
+
=
519
9519
31
31
+
+
= 1 +
519
90
31
+
B =
519
519
32
31
+
+
nên 19B =
519
)519.(19
32
31
+
+
=
519
9519
32
32
+
+
= 1 +
519
90
32
+
Vì
519
90
31
+
>
519
90
32
+
Suy ra 1 +
519
90
31
+
> 1 +
519
90
32
+
Hay 19A > 19B Nên A > B
b) A =
32
32
20
18
nên 2
2
. A =
32
)32.(2
22
182
=
32
122
20
20
= 1 -
32
9
20
B =
32
32
22
20
nên 2
2.
B =
32
)32.(2
22
202
=
32
122
22
22
= 1-
32
9
22
Vì
32
9
20
>
32
9
22
Suy ra 1 -
32
9
20
< 1-
32
9
22
Hay 2
2
A < 2
2
B
Nên A < B
c) Ta có:
A =
82
92
5 551
5 551
++++
++++
=
)1(55
5 551
1
5 551
)5 551(51
5 551
)5 55(1
8282
82
82
92
>+
++++
=
++++
+++++
=
++++
++++
Tơng tự B =
)2(43
3 331
1
82
<+
++++
Từ (1) và (2) Ta có
A =
82
5 551
1
++++
+ 5 > 5 > 4 >
82
3 331
1
++++
+ 3 =B nên A > B
Bài tập 10: Cho A = 1 + 2 + 2
2
+ +2
30
Viết A + 1 dới dạng một lũy thừa
Bài 4: Tìm x N biết
a) 1
3
+ 2
3
+ 3
3
+ + 10
3
= ( x +1)
2
b) 1 + 3 + 5 + + 99 = (x -2)
2
Bài giải:
a) 1
3
+ 2
3
+ 3
3
+ + 10
3
= (x +1)
2
( 1+ 2 + 3+ + 10)
2
= ( x +1)
2
55
2
= ( x +1)
2
55 = x +1
x = 55- 1
x = 54
b) 1 + 3 + 5 + + 99 = ( x -2)
2
2
1
2
199
+
= ( x - 2)
2
50
2
= ( x -2 )
2
50 = x -2
x = 50 + 2
x = 52
( Ta có: 1 + 3 + 5+ + ( 2
n+1
) = n
2
)
Bài 5: Tìm 1 cặp x ; y N thoả mãn
7
3
= x
2
- y
2
Ta thấy: 7
3
= x
2
- y
2
( 1
3
+ 2
3
+ 3
3
+ +7
3
) - (1
3
+ 2
3
+ 3
3
+ + 6
3
) = x
2
- y
2
(1+ 2 + 3 + + 7)
2
- (1 + 2 + 3 + + 6)
2
= x
2
- y
2
28
2
- 21
2
= x
2
- y
2
Vậy 1 cặp x; y thoả mãn là:
x = 28; y = 21
Bài 2: Tìm x N
*
biết.
A = 111 1 - 777 7 là số chính phơng
2 x chữ số 1 x chữ số 7
Bài giải:
+ Nếu x = 1
Ta có: A = 11 - 7 = 4 = 2
2
(TM)
+ Nếu x > 1
Ta có A = 111 1 - 777 7 =
34
2
2x chữ số 1 x chữ số 7 mà
34
4
Suy ra A không phải là số chính phơng ( loại)
Vậy x = 1
c) Dùng tính chất chia hết
Bài 1: Tìm x; y N biết:
35
x
+ 9 = 2. 5
y
*)Nếu x = 0 ta có:
35
0
+ 9 = 2.5
y
10 = 2.5
y
5
y
= 5
y =1
*) Nếu x >0
+ Nếu y = 0 ta có: 35
x
+ 9 = 2.5
0
35
x
+ 9 = 2 ( vô lý)
+ Nếu y > 0 ta thấy:
35
x
+ 9 5 vì ( 35
x
5 ; 9 5 )
Mà 2. 5
y
5 ( vô lý vì 35
x
+ 9 = 2.5
y
)
Vậy x = 0 và y = 1
Bài 1: Tính tổng.
A = 1 + 2 + 2
2
+ + 2
100
B = 3 - 3
2
+ 3
3
- - 3
100
Bài giải:
A = 1 + 2 + 2
2
+ + 2
100
=> 2A = 2 + 2
2
+ 2
3
+ + 2
101
=> 2A - A = (2 + 2
2
+ 2
3
+ + 2
101
) (1 +2 + 2
2
+ +2
100
)
Vậy A = 2
101
- 1
B = 3 - 3
2
- 3
3
- 3
100
=> 3B = 3
2
- 3
3
+ 3
4
- 3
101
B + 3B = (3 - 3
3
+ 3
3
) - 3
100
) + ( 3
2
- 2
3
+3
4
- - 3
101
)
4B = 3 - 3
101
Vậy B = ( 3- 3
101
) : 4
Bài 2: a) Viết các tổng sau thành một tích:
2
2 2+
;
2 3
2 2 2+ +
;
2 3 4
2 2 2 2+ + +
b) Chứng minh rằng:
2 3 2004
2 2 2 2A = + + + +
chia hết cho 3; 7 và 15.
Bài 3: a) Viết tổng sau thành một tích
4 5 6 7
3 3 3 3+ + +
b) Chứng minh rằng:
2 99
1 3 3 3 40B = + + + + M
Bài 4: Chứng minh rằng:
a)
2 3 2004
1
5 5 5 5 6;31;156S = + + + + M
b)
2 3 100
2
2 2 2 2 31S = + + + + M
c)
5 15
3
16 2 33s = + M
Bài 5 Tính các tổng sau bằng cách hợp lý.
a)
0 1 2 2006
2 2 2 2A = + + + +
b)
2 100
1 3 3 3B = + + + +
c)
2 3
4 4 4 4
n
C = + + + +
d)
2 2000
1 5 5 5D = + + + +
Bài 6 Cho
2 3 200
1 2 2 2 2A = + + + + +
. Hãy viết A+1 dới dạng một luỹ thừa.
Bài 7 Cho
2 3 2005
3 3 3 3B = + + + +
. CMR: 2B+3 là luỹ thừa của 3.
Bài 8 Cho
2 3 2005
4 2 2 2C = + + + +
. CMR: C là một luỹ thừa của 2.
Bài 9: Chứng minh rằng:
a)
5 4 3
5 5 5 7 + M
b)
6 5 4
7 7 7 11+ M
c)
9 8 7
10 10 10 222+ + M
e)
6 7
10 5 59 M
g)
2 2 *
3 2 3 2 10
n n n n
n N
+ +
+ M
h)
7 9 13
81 27 9 45 M
i)
10 9 8
8 8 8 55 M
k)
9 8 7
10 10 10 555+ + M
Bài 10 Tính nhanh
a.
S = 1 + 2 + 2
2
+ 2
3
+ + 2
62
+ 2
63
b.
S = 1 + 3 +3
2
+ 3
3
+ + 3
20
c.
S = 1 + 4 + 4
2
+ 4
3
+ + 4
49
Bài 11 Tính tổng
a) A = 1 + 5
2
+ 5
4
+ 5
6
+ + 5
200
b) B = 7 - 7
4
+ 7
4
+ 7
301
Bài giải:
a) A = 1 + 5
2
+ 5
4
+ 5
6
+ + 5
200
25 A = 5
2
+ 5
4
+ + 5
202
25 A - A = 5
202
- 1
Vậy A = ( 5
202
-1) : 24
b) Tơng tự B =
17
17
3
304
+
+
Bài 3: Tính
A =
7
1
+
2
7
1
+
3
7
1
+ +
100
7
1
B =
5
4
+
2
5
4
-
3
5
4
+ +
200
5
4
Bài giải:
A =
7
1
+
2
7
1
+
3
7
1
+ +
100
7
1
7A = 1 +
7
1
+
2
7
1
+ +
99
7
1
=> 7A - A = 1 -
100
7
1
A =
100
7
1
1
: 6
B =
5
4
+
2
5
4
-
3
5
4
+ +
200
5
4
5B = -4 +
5
4
+
3
5
4
+ +
201
5
4
B+5B = -4 +
200
5
4
B =
+
200
5
4
4
: 6
Bài 3: Tính
A =
125 252525
125 252525
2262830
4202428
+++++
+++++
Bài giải:
Biến đổi mẫu số ta có:
25
30
+ 25
28
+ 25
26
+ +25
2
+ 1
= (25
28
+ 25
24
+ 25
20
+ +1)+ ( 25
30
+ 25
26
+25
22
+ +25
2
)
= (25
28
+ 25
24
+ 25
20
+ 1) +25
2
. (25
28
+ 25
26
+ 25
22
+ + 1)
= (25
28
+ 25
24
+ 25
20
+ +1) . (1 + 25
2
)
Vậy A =
2
251
1
+
=
626
1
Bài tập 11: Viết 2
100
là một số có bao nhiêu chữ số khi tính giá trị của nó.
Bài tập 13: Tìm số tự nhiên
abc
biết (a + b + c)
3
=
abc
(a b c)
Bài tập 14: Có hay không số tự nhiên
abcd
(a + b + c + d)
4
=
abcd
C¸c dÊu hiƯu chia hÕt
A/. Mơc tiªu:
-Häc sinh n¾m v÷ng c¸c tÝnh chÊt chia hÕt vµ c¸c tdÊu hiƯu chia hÕt vµo trong gi¶i bµi tËp.
-VËn dơng thµnh th¹o c¸c phÐp biÕn ®ỉi vµo trong c¸c bµi tËp sè häc.
-RÌn lun cho häc sinh thãi quen tù ®äc s¸ch, t duy l« gic ãc ph©n tÝch tỉng hỵp.
B/. Chn bÞ:
Néi dung chuyªn ®Ị, kiÕn thøc c¬n b¶n cÇn sư dơng vµ c¸c bµi tËp tù lun.
C/. Néi dung chuyªn ®Ị.
I/ KiÕn thøc c¬ b¶n.
1) Đònh nghóa: Cho hai số tự nhiên a và b (b
0
≠
).
.a b q a b= ⇔ ⇔M
a là bội của b
⇔
b là ước của a.
2) Tính chất:
1/ Bất cứ số nào khác 0 cũng chia hết cho chính nó.
2/ Nếu
a b b c a c⇒M M Mvà
3/ Số 0 chia hết cho mọi số b khác 0.
4/ Bất cứ số nào củng chia hết cho 1.
5/ Nếu a
M
m và b
M
m thì
a b m a b m+ −M Mvà
6/ Nếu tổng của hai số chia hết cho m và một trong hai số ấy chia hết cho m
thì số còn lại cũng chia hết cho m.
7/ Nếu một trong hai số a và b chia hết cho m, số kia không chia hết cho m
thì a +b không chia hết cho m và a - b không chia hết cho m.
8/ Nếu một thừa số của tích chia hết cho m thì tích chia hết cho m.
9/ Nếu
,a m b n ab mn⇒M M M
Hệ Quả: Nếu
n n
a b a b⇒M M
Nếu
, ,( , ) 1a m a n m n a mn= ⇒M M M
A/ LÝ THUYẾT:
1 2 1 0
0 0
1 0 1 0
2 1 0 2 1 0
1 2 1 0
1 2 1 0
:
2 2, 5 5
4 4, 25 25
8 8, 125 125
3 3
9 9
n
n n
n n
a a a a
A a A a
A a a A a a
A a a a A a a a
A a a a a a
A a a a a a
−
−
−
⇔ ⇔
⇔ ⇔
⇔ ⇔
⇔ + + + + +
⇔ + + + + +
M M M M
M M M M
M M M M
M M
M M
n
Gọi A = a Tacó
BÀI TẬP:
1) Thay các chữ x, y bằng chữ số thích hợp để cho:
a/ Số
275x
chia hết cho 5; cho 25; cho125.
b/ Số
9 4xy
chia hết cho 2, cho4, cho 8.
Giải: a/
275x
M
5
{ }
0;5x⇔ ∈
;
275x
M
25
{ }
0x⇔ ∈
;
275x
M
125
{ }
0x⇔ ∈
b/
{ }
9 4 2 , 0;1;2; ;9xy x y⇔ ∈M
;
{ } { }
9 4 4 0;1;2; ;9 , 0,2,4,6,8xy x y⇔ ∈ ∈M
{ } { } { } { }
9 4 8 0;2;4;6;8 ; 2;6 ; 0;4;8xy x y y⇔ ∈ ∈ ∈ ∈M hoặc x 1;3;5;7;9
:
LUYỆN TẬP
1) Cho n
∈
N, chứng minh rằng:
a/ 5
n
– 1
M
4
b/ n
2
+ n + 1 không chia hết cho 4.
c/ 10
n
- 1
M
9
d/ 10
n
+ 8
M
9
Giải: a/ + Với n = 0, ta có: 5
0
– 1 = 1 – 1 = 0
M
4
+ Với n = 1, ta có: 5
1
-1 = 5 – 1 = 4
M
4.
+ Với n > 1, ta có: 5
n
= …5 nên 5
n
– 1 = …5 – 1 = … 4
M
4
Vậy với n
∈
N, 5
n
– 1
M
4 .
b/ Ta có n
2
+ n = n( n + 1) đây là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên tích chẳn, do đó n
2
+ n + 1 là số lẽ nên không chia hết cho 4.
c/ Ta có 10
n
- 1 = 100…0 – 1 = 99… 9
M
9
n chữ số 0 n chữ số 9
d/ Ta có: 10
n
+ 8 = 100…0 + 8 = 100…08
M
9
n chữ số 0 n-1 chữ số 0
2) Chứng minh rằng:
a/ 10
28
+ 8
M
72
b/ 8
8
+ 2
20
M
17
Giải: a/ Ta có: 10
28
+ 8 = 100…0 + 8 = 100……08
M
9 (1)
28 chữ số 0 27 chữ số 0
Số 10
28
+ 8 có tận cùng bằng 008 nên chia hết cho 8 (2)
Mặt khác (8;9) = 1. Vậy 10
28
+ 8 chia hết cho 72.
b/ 8
8
+ 2
20
= (2
3
)
8
+ 2
20
= 2
24
+ 2
20
= 2
20
(2
4
+ 1) = 2
20
. 17
M
17
vây 8
8
+ 2
20
chia hết cho 17.
3/ CMR với mọi số tự nhiên n thì n
2
+ n + 6 không chia hết cho 5.
Giải:
Với mọi số tự nhiên n thì n
2
+ n = n(n + 1) đây là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên tận
cùng bằng 0; 2; 6. Do đó n
2
+ n + 6 tận cùng bằng 6; 8; 2 nên không chia hết cho 5.
4) CMR: a/ 942
60
– 351
37
chia hết cho 5.
b/ 99
5
- 98
4
+ 97
3
- 96
2
chia hết cho 2 và 5.
Giải: a/ 942
60
– 351
37
= 942
4.15
– 351
37
= ….6
15
- …1 = …6 - …1 = …5
M
5
b/ 99
5
- 98
4
+ 97
3
- 96
2
= …9 - …6 + ….3 - … 6 =….0
Số này có chữ số tận cùng bằng 0 nên chia hết cho cả 2 và 5.
Bµi 1:Chứng minh rằng:
a)
ab ba+
chia hết cho 11.
b)
ab ba−
Chia hết cho 9 với a > b.
a) Ta có
ab ba+
= (10a +b) + (10b + a) = 11a + 11b = 11(a + b)
M
11 Vậy
ab ba+
M
11.
b) Ta có :
ab ba−
= (10a + b) – (10b + a) = 9a – 9b = 9 (a – b)
M
9
Chú ý : Nếu
11 11ab cd abcd+ ⇒M M
Bµi 2 Cho
deg 7. deg 7abc Cmr abc− M M
2) CMR Nếu viết thêm vào đằng sau một số tự nhiên có hai chữ số số gồm chính hai chữ
số ấy viết theo thứ tự ngược lại thì được một số chia hết cho 11.
3) Cho số
27abcM
Chứng minh rằng số
27bca M
Giải:
: deg 1000 deg 1001 ( deg)
7.143 ( deg )
abc abc abc abc
abc abc
= + = − −
= − −
1)Tacó
Mà : 7.143
7abcM
và
deg 7. deg 7abc abc− M MVậy
2) Gọi số tự nhiên có hai chữ số là:
ab
.( 0 < a
≤
9, 0
≤
b
≤
9, a,b
∈
N)
Khi viết thêm số có hai chữ số ấy viết theo thứ tự ngược lại ta được số:
abba
1000 100 10
1001 110 7.11.13 11.10 11
: 11
abba a b b a
a b a b
abba
= + + +
= + = + M
MVậy
3)
27abcM
0 27
1000 0 27
999 0 27
27.37 27
27 ( 27.37 27)
abc
a bc
a a bc
a bca
bca Do a
⇒
⇒ +
⇒ + +
⇒ +
⇒
M
M
M
M
M M
LUYỆN TẬP
1) CMR tổng của ba số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 3, còn tổng của bốn số tự nhiên
liên tiếp thì không chia hết cho 4.
2) CMR Tổng của 5 số chẳn liên tiếp thì chia hết cho 10, còn tổng của 5 số lẽ liên tiếp thì
không chia hết cho 10.
3) Tìm n
∈
N để:
a) 27 – 5n
M
n b) n + 6
M
n + 2 c) 2n + 3
M
n – 2 d) 3n + 1
M
11 – 2n
4) Cmr nếu
11 deg 11ab cd eg thì abc+ + M M
5) Cho
deg 37. deg 37abc Cmr abc+ M M
6) Cho 10
k
– 1
M
19 với k > 1 CMR: 10
2k
– 1
M
19
7) Cho n là số tự nhiên. CMR:
a/ (n + 10 ) (n + 15 ) chia hết cho 2.
b/ n(n + 1) (n + 2) chia hết cho cả 2 và 3.
8) Chứng minh rằng nếu
2 67ab cd abcd= ⇒ M
Giải:
1) Gọi ba số tự nhiên liên tiếp đó là: n, n + 1, n + 2 .
Ta phải chứng minh: n + (n + 1) + (n + 2)
M
3
Thật vậy ta có: n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3
M
3
Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp đó là: n, n + 1, n + 2, n + 3.
Ta có: n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) = 4n + 7 không chia hết cho 4 vì 4n chia hết cho 4 còn 7
không chia hết cho 4.
Vậy tổng của ba số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 3, còn tổng của bốn số tự nhiên liên
tiếp thì không chia hết cho 4.
2) Gọi 5 số chẵn liên tiếp là: 2n; 2n + 2; 2n + 4; 2n + 6; 2n + 8 với n là số tự nhiên.
Ta có: 2n + 2n + 2 + 2n + 4 + 2n + 6 + 2n + 8 = 10n + 20 = 10(n + 2)
M
10
Gọi 5 số lẽ liên tiếp là: 2n + 1; 2n + 3; 2n + 5; 2n + 7; 2n + 9 với n là số tự nhiên.
Ta có: 2n + 1 + 2n + 3 + 2n + 5 + 2n + 7 + 2n + 9 = 10n + 25 = 10(n + 2) + 5
M
10.
3) a) 27 – 5n
M
n ; 5n
M
n => 27
M
n => n
∈
Ư(27) =
{ }
1;3;9;27
nhưng 5n < 27 nên n < 6
Vậy n
∈
{ }
1;3
b) n + 6
M
n + 2 => n + 2 + 4
M
n + 2, mà n +2
M
n + 2 => 4
M
n + 2 => n + 2
{ }
1;2;4∈
=> n
{ }
0;2∈
c) 2n + 3
M
n – 2 => 2(n – 2) + 7
M
n -2 => 7
M
n - 2 => n – 2
{ }
1;7∈
=> n
{ }
3;9
∈
d
*
) 3n + 1
M
11 – 2n (n < 6) => 2(3n + 1) + 3(11 – 2n)
M
11 – 2n => 35
M
11 – 2n
=> 11 – 2n
{ }
1;5;7;35∈
nhưng vì n < 6 nên n
{ }
5;3;2∈
4) : deg 10000 100 9999 99 ( )
9999 11; 99 11;( ) 11
Ta abc ab cd eg ab cd ab cd eg
Do ab cd eg
= + + = + + + +
+ +
M M M
có
Vậy :
deg 11abc M
5) : deg 1000 deg 999 ( deg)
27.37 ( deg)
27.37 37; ( deg) 37; : deg 37
Ta abc abc abc abc
abc abc
Do abc abc abc
= + = + +
= + +
+
M M M
có
Vậy
6) Ta có: 10
2k
– 1 = 10
2k
– 10
k
+ 10
k
-1 = 10
k
(10
k
– 1) + (10
k
– 1)
Do 10
k
- 1
M
19 nên 10
k
(10
k
– 1) + (10
k
– 1)
M
19
Vây 10
2k
– 1
M
19
7) a/ (n + 10 ) (n + 15 )
Khi n chẵn => n = 2k (k
∈
N).
Ta có: (n + 10 ) (n + 15 ) = (2k + 10)( 2k + 15) = 2(k + 5)(2k + 15) Chia hết cho 2.Khi n lẽ
=> n = 2k + 1 (k
∈
N).
Ta có: :(n + 10 ) (n + 15 ) = (2k + 1 + 10)(2k +1 + 15) = (2k + 11)(2k + 16)
= 2(2k + 11 )(k + 8) chia hết cho 2.
Vây (n + 10 ) (n + 15 ) Chia hết cho 2.
b/ Đăt. A = n (n + 1)(n + 2)
+ Trong hai số tự nhiên liên tiếp có một số chẳn và một số lẽ, số chẳn chia hết cho 2 nên A
chia hết cho 2.
+ Trường hợp: n = 3k (k
∈
N) thì n chia hết cho 3 nên A chia hết cho 3. (1)
Trường hợp: n không chia hết cho 3 thì n = 3k + 1 hoặc n = 3k + 2
Khi n = 3k + 1 => A = (3k + 1)( 3k + 2)(3k + 3) = 3(3k + 1)( 3k + 2)(k + 1) chia hết cho 3
nên A chia hết cho 3. (2)
Khi n = 3k + 2 => A = (3k + 2)( 3k + 3)(3k + 4) = 3(3k + 2)( k + 1)(3k + 4) chia hết cho 3
nên A chia hết cho 3. (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: A chia hết cho 3.
Vậy A chia hết cho cả 2 và 3.
8) Ta có
100abcd ab cd= +
Mà:
2ab cd=
Suy ra:
2 200 201 3.67 67abcd cdcd cd cd cd cd= = + = = M
Vậy:
67abcd M
Bài 3. Dùng ba chữ số 9, 0 ,5 để ghép thành các số co ba chữ số thỏa mãn một trong các điều kiên
sau:
a) Số đó chia hết cho 5;
a) Số đó chia hết cho 2 và cho 5.
Giải. a) Một số chia hết cho 5 thì số đó tận cùng bằng 0 hoặc 5 . vậy có ba số có chữ số chia hết cho
5 là: 950 ; 590 ; 905.
b)Một số chia hết cho 2 và cho 5 thì số đó tận cùng bằng 0 . vậy có hai số có chữ số chia hết cho 2
và cho 5 là: 950 ; 590 ;
Bài 4. Cho số
yx43123
. hãy thay x,y bởi các chữ số để số đã cho chia hết cho 3 và 5.
Giải. Số
yx43123
5 nên y = 0 hoặc y = 5.
•Với y = 0 , ta có số
430123x
. số này phải chia hết cho 3 , nên 1 + 2 + 3 + x + 4+ +3
3
hay 12 + (x+ 1)
3 , nhưng 1≤ x + 1 ≤ 10 ,nên x + 1 = 3 ; 6 ; 9.
- Nếu x + 1 = 3 thì x = 2 ,ta được 1232430
- Nếu x + 1 = 6 thì x = 5 ,ta được 1235430
- Nếu x + 1 = 3 thì x = ,ta được 1238430
Với y = 5 , ta có số
435123x
. số này phải chia hết cho 3 , nên 1 + 2 + 3 + x + 4+ +3 + 5
3
hay 18 + x
3 ,nên x = 0 ; 3 ; 6 ; 9. ta có các số sau : 1230435; 1233435; 1236435 và 1239435
Bài 5:
1. Điền chữ số vào dấu * để được số :
a) Chia hết cho 2 :
46*3
;
*199
;
1*20
;
a) Chia hết cho 5 :
5*16
;
*174
;
6*53
;
1. Dùng cả ba số 5,6,9 để ghép thành các số tự nhiên có ba chữ số:
a) Lớn nhất và chia hết cho 5;
a) Nhỏ nhất và chia hết cho 2;
3. Tìm tập hợp các số tự nhiên n vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 5 và
1995 ≤ n ≤2001 .
4. Chứng tỏ rằng trong năm số tự nhiên liên tiếp luốn có một số chia hết cho 5.
5. Chứng tỏ rằng:
a) Trong ba số tự nhiên bất kì bao giờ cũng chọn được hai số có hiệu chia hết cho 2;
b) Trong sáu số tự nhiên bất kì bao giờ cũng chọn được hai số có hiệu chia hết cho 5;
6. Chứng tỏ rằng:
a) (5n + 7 )(4n + 6)
2 với mọi số tự nhiên n;
b) (8n + 1 )(6n + 5)
.
.
.
2 với mọi số tự nhiên n;
7. Người ta viết các số tự nhiên tùy ý sao cho số các số lẻ gấp đôi số các số chẵn. tổng các số đã viết
có chia hết cho 2 hay không? Vì sao?
8. Có 5 tờ giấy .người ta xé tờ giấy đó thành 6 mảnh . lại lấy một trong số mảnh giấy nào đó, xé mỗi
mảnh thành 6 mảnh.cứ như vậy sau một số lần , người ta đếm được 2001 mảnh giấy.hỏi người ta
đếm đúng hay sai?
9. Cho sáu chữ số : 2 , 3 ,5 ,6 ,7 ,9.
a) cố bao nhiêu số có ba chữ số ,các chữ số trong mỗi số đều khhacs nhau, được lập thành từ các
chữ số trên?
b) Trong các số được lập thành có bao nhiêu số nhỏ hơn 400? Bao nhiêu số là số lẻ ? bao nhiêu số
chia hết cho 5?
Bài tập cñng cè:
1.Điền chữ số vào dấu * để:
a) 2001 +
3*2
chia hết cho 3;
b)
4*793*5
chia hết cho 9;
2. Điền chữ số vào dấu * để được số chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9 :
*51
và
*745
3.Dùng ba trong 4 chữ số 3,6,9,0 hãy ghép thành số tự nhiên có ba chữ số sao cho số đó:
a) Chia hết cho 9;
b) Chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9.
4. Phải thay các chữ số x, y bởi chữ số nào để số
yx44123
3
5. Tổng (hiệu) sau có chia hết cho 3 , cho 9 không?
10
2001
+ 2 ; 10
2001
– 1 .
6. Tìm các chữ số x,y biết rằng số
yx356
chia hết cho 2 và 9.
7. Tìm các chữ số x,y biết rằng số
yx171
chia hết cho 445.
8. Tìm tất cả các số có dạng
ba146
, biết rằng số đó chai hết cho 3 , cho 4 và cho 5.
9. Tìm hai số tự nhiên liên tiếp , trong đó có một chữ số chia hết cho 9 , biết rằng tổng của hai
số đó thỏa mãn các điều kiện sau:
a) Là só có ba chữ số;
b) Là số chia hết cho 5;
c) Tổng của chữ số hàng trăm và chữ số hàng đơn vị là số chia hết cho 9;
d) Tổng của chữ số hàng trăm và chữ số hàng chục là số chia hết cho 4;
C¸c ph ¬ng ph¸p chøng minh chia hÕt
Ph ¬ng ph¸p 1: ®Ó chøng minh
A bM
(
0b
≠
). Ta biÓu diÔn
.A b k
=
trong ®ã
k N
∈
Bµi 1: Cho
n N
∈
. Chøng minh r»ng:
100
(5 ) 125n M
Bài 2: Cho
2 2004
2 2 2A = + + +
. Chứng minh rằng: a)
6AM
b)
7AM
c)
30AM
Bài 3: Cho
2 1998
3 3 3S = + + +
. Chứng minh rằng : a)
12SM
b)
39sM
Bài 4: Cho
2 100
3 3 3B = + + +
Chứng minh rằng:
120BM
Bài 5: Chứng minh rằng
a)
36 10
36 9 45 M
b)
10 9 8
8 8 8 55 M
c)
5 4 3
5 5 5 7 + M
d)
6 5 4
7 7 7 11+ M
e)
54 24 10 63
24 .54 .2 72M
g)
7 9 13
81 27 9 45 M
h)
3 1 3 2
3 3 2 2 6
n n n n
n N
+ + + +
+ + + M
i)
10 11 12
(2 2 2 ): 7+ +
là một số tự nhiên.
Ph ơng pháp 2: Sử dụng hệ quả tính chất chia hết của một tổng
Nếu
a b m M
và
a m b mM M
Ph ơng pháp 3: Để chứng minh một biểu thức chứ chữ (Giả sử chứa n) chia hết cho b (
0b
)Ta có thể xét mọi trờng hợp về số d khi chia n cho b
Bài 6: a) Chứng minh rằng: Tích của hai số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2
b) Chứng minh rằng: Tích của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6.
c) Chứng minh rằng: Tích của 4 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 24
d) Chứng minh rằng: Tích của 5 số tự nhiên liên liếp chia hết cho 120
(Chú ý: Các bài toán trên đây đợc sử dụng trong chứng minh chia hết, không cần CM lại)
Bài 7: Chứng minh rằng: a)
(5 7)(4 6) 2n n n N+ + M
b)
(8 1)(6 5)n n+ +
không chia hết cho 2
N
Bài 8: Chứng minh rằng:
( 1)(2 1) 6A n n n n N= + + M
Bài 9: a) Cho
n N
. Chứng minh rằng:
2
3n M
hoặc
2
n
chia 3 d 1
b) CMR: Không tồn tại
n N
để
2
1 300 0n + =
Bài 10: Chứng minh rằng:
,m n N
ta luôn có
2 2
. ( ) 3m n m n M
Bài 11: Chứng minh rằng:
2006 2005
( 2005 )( 2006 ) 2n n n N+ + M
Bài 12: CMR không tồn tại
n N
để
2
15 2004
1 20042004 2004
so
n + =
1 4 44 2 4 4 43
Ph ơng pháp 4: Để chứng minh
A bM
. Ta biểu diễn b dới dạng
.b m n=
. Khi đó
+ Nếu (m, n)=1 thì tìm cách chứng minh
A mM
và
A nM
.A m n M
hay
A bM
+ Nếu
( ; ) 1m n
ta biểu diễn
1 2
.A a a=
rồi tìm cách chứng minh
1 2
;a m a nM M
thì tích
1 2
. .a a m nM
tức
A bM
Bài 13: a) Chứng minh rằng: Tích của hai số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2
b) Chứng minh rằng: Tích của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6.
c) Tích của bốn số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 24.
d) Tích của 5 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 120
Bài 14 : Chứng minh rằng: nếu a là một số lẻ không chia hết cho 3 thì
2
1 6a M
Bài 15: a) Chứng minh rằng: Tích của hai số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 8
b) Chứng minh rằng: Tích của ba số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 48
c) Chứng minh rằng: Tích của bốn số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 384
Bài 16 : Chứng minh rằng:
10 18 1 27
n
B n= + M
Bài 16: Chứng minh rằng:
a)
10 36 1 27 ; 2
n
n n N n M
b) số
{
27 / 1
11 1 27
c s
M
Ph ơng pháp 5: Dùng dấu hiệu chia hết
Bài 17: Chứng minh rằng:
20006
10 8 72+ M
Bài 18: Chứng minh rằng: a) Số
{
/ 5
55 5
nc s
không chia hết cho 125 (
b)
3
10 2 9
n
+ M
c)
37 23
37 23 10 M
Bài 19:Chứng minh rằng: a)
33
10 8 2;9+ M
b)
10
10 14 3;2+ M
