SKKN Thực hành các hoạt động trong dạy học phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI:
" THỰC HÀNH CÁC HOẠT ĐỘNG TRONG DẠY HỌC PHƯƠNG
TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHO HỌC SINH LỚP 11"
1
Phần I. MỞ ĐẦU
I. CƠ SỞ LÍ LUẬN.
Thời gian gần đây đã có rất nhiều cuộc hội thảo khoa học bàn về vấn đề làm thế nào để
đẩy nhanh sự phát triển của giáo dục mà nội dung then chốt là đổi mới để nâng cao chất
lượng dạy và học. Một trong những phương pháp được chú ý nhất ,có tính ưu việt nhất đó
là dạy học theo quan điểm hoạt động.
Phương pháp dạy học theo quan điểm hoạt động được hình thành trên những tư
tưởng chủ đạo sau.
i) Cho học sinh thực hiện và tập luyện những hoạt động thành phần tương thích với nội
dung và mục đích dạy học.
ii) Gây động cơ học tập và tiến hành hoạt động.
iii) Truyền thụ tri thức ,đặc biệt là những tri thức phương pháp như phương tiện và kết
quả hoạt động.
iv) Phân bậc hoạt động .
Bản sáng kiến kinh nghiệm này trình bày về một khía cạnh nhỏ của phương pháp
dạy học trên, đó là “Thực hiện các hoạt động thành phần trong quá trình dạy học phương
trình lượng giác cho học sinh lớp 11 trung học phổ thông” mà tác giả đã trực tiếp giảng
dạy và kiểm nghiệm
Hoạt động dạy học phương trình lượng giác là một hoạt động phức hợp có thể chia
làm nhiều hoạt động thành phần, ký hiệu một cách hình thức là
654321
,,,,, HHHHHH
.
Có thể mô tả cấu trúc của hoạt động dạy học phương trình lượng giác như sau.
2
1

H
:Nhận dạng phương trình: Nếu học sinh đã nhận dạng được phương trình cần
giải thì chuyển qua
2
H
.
2
H
:Biến đổi phương trình về dạng quen thuộc,giáo viên cần tiến hành gợi động cơ,
hướng đích cần thiết, kết thúc
2
H
thì chuyển sang
3
H
.
3
H
:Giải các phương trình nhận được (thể hiện phương pháp giải).
4
H
:Kiểm tra các kết quả để bảo đảm không bỏ sót nghiệm,không thừa nghiệm,
tránh các sai lầm phổ biến thường gặp.
5
H
: Phân tích các sai lầm của học sinh để thu hoạch về tri thức toán học và tri thức
phương pháp toán học.
6
H
: Xét mối liên hệ với các bài toán liên quan,mở rộng bài toán bằng tương tự,khái

quát hóa.
Các hoạt động thành phần trên có liên quan mật thiết với nhau ,thường xuất hiện
đan kết hoặc lồng vào nhau.Việc phân tích hoạt động dạy học giải phương trình thành các
hoạt động trên giúp giáo viên nắm được cách thức tiến hành toàn bộ dạy học phương
trình .
II.CƠ SỞ THỰC TIỄN.
1.Về phía học sinh.
Giải phương trình lượng giác là một nội dung rất quan trọng trong chương trình Đại
số và giải tích 11,hơn nữa đây cũng là nội dung “cứng” trong cấu trúc ra đề thi đại học
của Bộ GD và ĐT .Tuy nhiên khi đụng đến biến đổi lượng giác nói chung và giải phương
trình lượng giác nói riêng thì học sinh còn khá lúng túng,thậm chí một bộ phận lớn học
sinh còn cảm giác “sợ” nội dung này.
3
Có rất nhiều tài liệu tham khảo về giải phương trình lượng giác ,nhưng hầu hết đều
chú ý đến số lượng các ví dụ nhiều hơn là đi định hướng cho học sinh có một cái nhìn sâu
sắc ,bản chất .
2.Về phía giáo viên.
Việc cung cấp kiến thức cho học sinh một cách chi tiết là khó khăn,bởi số tiết dành
cho nội dung này là hạn chế,so với một lượng kiến thức có thể nói là rất đồ sộ.Vì vậy
việc tìm ra cho mình một phương pháp giảng dạy có tính hiệu quả cao,trong một thời
gian ngắn là một điều rất cần thiết đối với bất kì giáo viên nào.
Do đó tôi muốn chia sẻ qua sáng kiến kinh nghiệm nhỏ này với mong muốn mang
đến cho bạn đọc một cách nhìn mới trên nội dung cũ nhằm góp phần đưa những tiết học
về nội dung giải phương trình lượng giác trở nên sôi động và hiệu quả hơn.
Phần II
THỰC HIỆN CÁC HOẠT ĐỘNG THÀNH PHẦN TRONG QUÁ TRÌNHDẠY
HỌC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHO HỌC SINH LỚP 11
1. Nhận dạng phương trình.
Khi học giải phương trình lượng giác nhiều học sinh đã nhầm tưởng rằng sẽ học được
những thuật toán tổng quát nhất cho phép giải mọi phương trình lượng giác, nhưng thực

ra không có một phương pháp tổng quát nào .Các phương trình lượng giác trong chương
trình phổ thông rất đa dạng về thể loại, phong phú về cách giải ,vì vậy một yêu cầu quan
trọng mà giáo viên phải đạt được là giúp học sinh nhận dạng được các phương trình
lượng giác khác nhau và thể hiện các phương pháp giải chúng.
4
Có nhiều cách phân dạng phương trình lượng giác ,chẳng hạn sách giáo viên Đại số và
giải tích 11 Ban khoa học tự nhiên thì các phương trình lượng giác được phân loại thành:
- Phương trình lượng giác cơ bản .
- Một số phương trình lượng giác thường gặp (phương trình bậc nhất ,bậc hai hay phương
trình bậc cao đối với một hàm số lượng giác ,phương trình thuần nhất đối với sinx và cosx
,phương trình đối xứng theo sinx và cosx).
- Những phương trình lượng giác khác: Cách phân loại như vậy có ưu điểm là chi tiết ,tuy
nhiên chưa nhấn mạnh đến các đặc điểm về dạng thức và phương pháp giải .Theo kinh
nghiệm cá nhân tôi nhận thấy sử dụng hệ thống phân dạng nói trên với một sự thay thích
hợp về cách sắp xếp ,tổ chức lại sẽ có một hệ thống phân dạng đầy đủ chi tiết tạo điều
kiện giúp học sinh nhận dạng phương trình và tìm được giải pháp thể hiện phương pháp
giải chúng .
Trước hết, một sự phân dạng (còn rất thô) có thể chia các phương trình thành hai loại :
Loại phương trình lượng giác không có tham số và loại phương trình lượng giác có tham
số .
Về nguyên tắc các phương trình không có tham số là những phương trình cụ thể nên phép
giải chúng tương đối đơn giản .Các phương trình có tham số nhìn chung sẽ phức tạp ,vì
vậy học sinh phải có khả năng phân tích để chia tập hợp các giá trị của tham số thành
những bộ phận ,trong đó phương trình có dạng chung thống nhất và lập luận thống nhất
về biến đổi tương đương phương trình.
Chi tiết và cụ thể hơn chúng ta có thể phân dạng các phương trình lượng giác thành:
I.Phương trình lượng giác cơ bản .
II.Phương trình lượng giác gần cơ bản.
5
III.Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx.

IV.Các phương trình lượng giác có thể đại số hóa.
V.Các phương trình lượng giác có thể biến đổi về phương trình tích .
VI.Các phương trình lượng giác có điều kiện ràng buộc về ẩn.
VII.Các phương trình lượng giác không mẫu mực.
Các dạng IV,V ,VI,VII có thể phân dạng một cách chi tiết hơn như sau:
IV1. Phương trình có thể đại số hóa.
a. Phương trình đa thức đối với một hàm lượng giác .
b. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx.
c. Phương trình đẳng cấp đối với sinx và cosx.
V1. Phương trình lượng giác có thể biến đổi về tích.
a. Dạng asinx+bsin2x+csin3x=0.
b. Dạng sử dụng công thức hạ bậc ,tích thành tổng,tổng thành tích .
c. Dạng chứa những biểu thức có thừa số chung.
d. Dạng phương trình có những liên quan đặc biệt.
VI1. Phương trình lượng giác với điều kiện ràng buộc về ẩn.
a. Phương trình lượng giác chứa ẩn ở mẫu thức .
b. Phương trình lượng giác chứa ẩn trong dấu căn.
c. Phương trình lượng giác chứa ẩn trong lôgarit.
d. Phương trình lượng giác trên một miền .
6
VII1. Phương trình lượng giác không mẫu mực.
a. Các phương trình không mẫu mực giải được nhờ sử dụng phương pháp đánh giá các số
hạng ,nhân tử.
b. Các phương trình không mẫu mực giải được dựa vào tính chất của hàm số và đồ thị.
Về các phương trình có chứa tham số ,học sinh có thể gặp các dạng cụ thể sau.
a. Biện luận phương trình.
b. Biện luận số nghiệm của phương trình.
c. Điều kiện để phương trình có nghiệm,nghiệm duy nhất.
d. Điều kiện để hai phương trình tương đương.
1.1. Phương trình lượng giác cơ bản.

Là lớp phương trình đơn giản nhất nhưng lại là quan trọng nhất vì việc giải bất cứ
phương trình nào cũng dẫn đến giải một trong những phương trình dạng này.
Các phương trình lượng giác cơ bản gồm:sinx=a,cosx=a,tanx=a,cotx=a, với x là ẩn, a là
số đã cho.
1.2.Phương trình lượng giác gần cơ bản.
Là các phương trình dạng sinf(x)=a,cosf(x)=a,tanf(x)=a,cotf(x)=a.
1.3.Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx.
Là phương trình có dạng:asinx+bcosx+c=0
1.4.Các phương trình lượng giác có thể đại số hóa.
Về nguyên tắc, mọi phương trình lượng giác đều có thể đại số hóa nhờ phép đặt ẩn phụ
t=tan(x/2) và sử dụng các công thức hữu tỉ hóa:
7

2
2
22
2
2
1
1
cot,
1
2
tan,
1
1
cos'
1
2
sin

t
t
x
t
t
x
t
t
x
t
t
x
−
+
=
−
=
+
−
=
+
=
.
Tuy nhiên có hai lí do chủ yếu không nên máy móc đặt ẩn phụ dạng này cho mọi trường
hợp.
Thứ nhất, phép biến đổi trên làm thu hẹp miền xác định của phương trình.
Thứ hai, phép đặt ẩn phụ trên làm bậc của phương trình tăng lên gấp đôi.
Do đó trong nhiều trường hợp ,để đại số hóa một phương trình lượng giác cần xem xét cụ
thể phương trình để lựa chọn một phép biến đổi thông minh hơn.
a.Phương trình đa thức đối với một hàm lượng giác .

b.Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx.
c.Phương trình đẳng cấp đối với sinx và cosx.
1.5 Các phương trình lượng giác có thể biến đổi đưa về tích.
Phương pháp đưa phương trình về dạng tích là một trong những kĩ thuật quan trọng nhất
để giải phương trình nói chung và phương trình lượng giác nói riêng.Mục đích của
phương pháp này là quy việc giải một phương trình phức tạp về việc giải một tập hợp
các phương trình cơ bản.
Các em học sinh có thể chú ý ghi nhớ những biểu thức có thừa số chung cho trên bảng
sau.
f(x) Biểu thức chứa thừa số f(x)
Sinx Sinnx,tannx,….
Cosx Sin2x,cos3x,tan2x,cotx,cot3x…
8
1+cosx
cos
2
2
x
,cot
2
2
x
,sin
2
2
x
,tan
2
2
x

…
1-cosx
tan,sin,
2
tan,
2
sin
2222
xx
xx
1+sinx
),
24
(cos,cot,cos
222
x
xx −
π
1-sinx
),
24
(cos,cot,cos
222
x
xx +
π
Sinx+cosx
cottan,cot1,tan1,2sin1,2cot,2cos xxxxxxx −+++
Sinx-cosx
cottan,cot1,tan1,2sin1,2cot,2cos xxxxxxx −−−−

Bảng 1
1.6. Phương trình lượng giác với điều kiện ràng buộc về ẩn.
Với dạng phương trình này khi giải ta phải đặt điều kiện và chú ý các phepa biến đổi
tương đương ,khi giải xong nghiệm ta phải kiểm tra lại điều kiện để loại đi nghiệm vi
phạm điều kiện.
1.7. Phương trình lượng giác không mẫu mực.
Một số phương trình lượng giác không thể áp dụng những phương pháp truyền thống .
Gặp những dạng này học sinh cần vận dụng khéo léo phương pháp đánh giá các số hạng
có trong phương trình(sử dụng tính chất của bất đẳng thức ) sử dụng các tính chất đơn
điệu ,hay tính bị chặn của hàm số ,hoặc dùng đồ thị của hàm số để giải được chúng.
2. Biến đổi phương trình về dạng quen thuộc.
9
Đây là hoạt động thành phần quan trọng và khó khăn nhất trong hoạt động dạy học giải
phương trình lượng giác. Phần lớn các phương trình lượng giác có dạng thức không chỉ ra
ngay con đường đi đến lời giải. Việc nhận ra dạng phương trình cần giải mới chỉ gợi ý cho
người làm một thuật toán chung, tổng quát để suy nghĩ tìm tòi lời giải. Do đó,trong hoạt động
thành phần này, giáo viên cần cố gắng hướng dẫn học sinh cách suy nghĩ tìm tòi lời giải.
Một giờ học toán sinh động hay khô khan buồn tẻ, có trở thành niềm say mê, háo hức của
học sinh hay không là tùy thuộc và năng lực điều khiển của giáo viên. Vì vậy mỗi giáo
viên cần thường xuyên rèn luyện nhằm không ngừng nâng cao năng lực tiến hành biến
đổi phương trình.
2.1. Phương trình lượng giác cơ bản và gần cơ bản.
* Phương trình lượng giác cơ bản :sinx=a,cosx=a, tanx=a,cotx=a.Các phương trình
lượng giác dạng này đã có công thức nghiệm chi tiết.Cần nhấn mạnh các phương trình
sinx=sinb,cosx=cosb,tanx=tanb,cotx=cotb.
* Phương trình lượng giác gần cơ bản.
Là những phương trình :sinf(x)=a,cosf(x)=a,tanf(x)=a,cotf(x)=a.
Bằng phép đặt f(x)=t,ta đưa về phương trình dạng trên.
Cần chú ý điều kiện trong phương trình tanf(x)=a,cotf(x)=a.

2.2 Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx.
Dạng phương trình :asinx+bcosx+c=0.
10
Bằng cách chia hai vế của phương trình cho
22
ba +
và chú ý rằng
1
2
22
2
22
=








+
+









+ ba
b
ba
a
,nên ta có thể đặt
2222
sin,cos
ba
b
ba
a
+
=
+
=
αα
,với
α
là một
góc xác định nào đó.
Khi đó phương trình đã cho trở thành :
22
)sin(
ba
c
x
+
=+
α

,đây chính là phương trình cơ
bản.
Sử dụng cách giải phương trình này ta có thể áp dụng được cho những phương trình dạng
sau:
2222
),(cos)(sin)(cos)(sin dcbaxgdxgcxfbxfa +=++=+
.
2.3. Lựa chọn phép biến đổi lượng giác.
Để nhanh chóng lựa chọn những phép biến đổi lượng giác thích hợp cho việc đại số hóa
phương trình ,giáo viên cần lưu ý học sinh một số nhận xét hữu ích sau:
a. Các biểu thức lượng giác có thể biểu diễn qua một đa thức của cosx gồm:
sin
x
2
,cos2x,cos3x.
Các biểu thức biểu diễn được qua một đa thức của sinx gồm:cos
x
2
,cos2x,sin3x.
b. Các phương trình đối xứng nhau với sinx,cosx có thể đại số hóa bởi phép đặt ẩn số phụ
t=sinx+cosx,từ cách đặt ẩn phụ này ta rút ra t
[ ]
2;2−∈
và
sinxcosx
2
1
2
−
=

t
.Như vậy phương trình đối xứng f(sinx+cosx,sinxcosx)=0 là đại số hóa
được.
c. Các phương trình dạng f(cosx-sinx,sinxcosx) =0 cũng đại số hóa như trên.
11
d. Một dạng đặc biệt của phương trình đối xứng đối với cosx và sinx là phương trình đối
xứng với tanx và cotx.Chú ý rằng :tanx.cotx=1,tanx+cotx=2/sin2x.
nên có phép đặt ẩn phụ t= tanx+cotx hoặc t=sin2x.Khi đặt t=tanx+cotx ta có các công
thức biến đổi:S
2
=
2cottan
222
−=+ txx
.

ttxxS 3cottan
333
3
−=+=
.

24cottan
2444
4
+−=+= ttxxS
.
e. Qui trình biến đổi phương trình đẳng cấp đối với sinx và cosx như sau:
Bước 1.Làm cho tất cả các số hạng đều cùng bậc bằng cách nhân từng số hạng với biểu
thức

k
xx )cos(sin
22
+
,với k lựa chọn thích hợp.
Bước 2.Rút lũy thừa bậc cao nhất của cosx có thể làm nhân tử chung.Nếu các số hạng
không nhận cosx làm nhân tử chung thì chia hai vế cho lũy thừa cao nhất của cosx.
Bước 3.Đặt t =tanx và giải phương trình đại số thu được.
2.4. Biến đổi phương trình về dạng tích.
Muốn biến đổi phương trình lượng giác về dạng tích trước tiên cần giúp học sinh thuộc
tất cả các công thức biến đổi lượng giác .Trong thực tế đa số học sinh không nhận thức
được tầm quan trọng của việc thuộc lòng các phép biến đổi lượng giác ,đã hài lòng và yên
tâm với việc hiểu ý nghĩa công thức biến đổi ,có khả năng áp dụng chúng ,nhưng lại
không nhớ được có những công thức nào,không hình dung được các công thức đó một
cách tường minh, vì thế không có khả năng so sánh phân tích ,tổng hợp.Vì lẽ đó các em
chỉ có thể giải toán một cách thụ động ,hiểu vấn đề một cách lơ mơ và không có khả năng
sáng tạo.
12
Thiết nghĩ rằng nếu tổ chức tốt việc dạy học các công thức biến đổi lượng giác sẽ bảo
đảm một kết quả chắc chắn và tiết kiệm thời gian cho học sinh rất nhiều.
Cách tổ chức dạy học biến đổi lượng giác nên dựa vào hai yếu tố :hệ thống hóa các công thức;
phối hợp các giác quan cùng tham gia hoạt động học tập.
Hệ thống công thức biến đổi có thể tóm tắt trong sơ đồ sau.
Để phối hợp các giác quan cùng tham gia hoạt động chúng tôi sắp xếp các công thức theo một
trật tự thích hợp để về mặt âm thanh có thể đọc trơn tru, tốt ít hơi và yêu cầu học sinh luyện
đồng thời nói - nhìn - nghe - viết.
13
Ba hệ thức
cơ bản
Quy gọn góc Cộng cung

Góc nhân đôi
nhân ba
Hạ bậc
Tích thành tổng
Tổng thành tích
Đột biến cơ bản
Hữu tỉ hoá
Ví dụ 1: Công thức biến tích thành tổng dưới dạng viết cho bởi:
))cos()(cos(
2
1
coscos yxyxyx ++−=
))cos()(cos(
2
1
sinsin yxyxyx ++−=
))sin()(sin(
2
1
cossin yxyxyx ++−=
Các em có thể nhận xét quy luật viết khai triển ở vế phải (góc trừ trước, góc cộng sau) rồi
luyện đọc thành lời:
Cos nhân cos bằng một phần hai cos trừ cộng cos cộng…
Bằng cách cho cả lớp đọc đồng thanh, đọc đuổi nhau… học sinh rất nhanh chóng thuộc
tất cả các công thức nói trên. Sau đây là một số kỹ năng biến đổi thường dùng:
a. Phương trình asinx + bsin2x + csin3x = 0 tương đương với
0)sin4sin3(cossin2sin
3
=−++ xxcxxbxa
{

0}cos2cos4sin
2
=−++<=> caxbxcx
.
đôi khi trước khi đến với dạng phương trình đã cho, học sinh cần có khả năng quy gọn
góc.
Ví dụ 2: Tìm a để phương trình
xaxx sin)3sin()(2sin =−−−
ππ
có nghiệm
)(, Zkkx ∈≠
π

Ta có
xxx 2sin)22sin()(2sin =−=−
ππ
xx 3sin)3sin( −=−
π
14
phương trình trở thành
xaxx sin3sin2sin =+
0))1(cos2cos4(sin
2
++−+<=> axxx
b. Sử dụng công thức biến tổng thành tích: Học sinh cần biết nhóm các số hạng một cách
thích hợp, thường là phải chú ý đến tổng, hiệu các góc có mặt trong các số hạng cần ghép, đôi
khi phải hạ bậc trước khi biến tổng thành tích:
Ví dụ 3.Giải phương trình:
xxxxxx 3cos2coscos3sin2sinsin ++=++
.

H
2
: Hai vế phương trình là những tổng lượng giác, không có số hạng đồng dạng để
đơn giản, vì vậy ta nên nghĩ đến việc biến tổng thành tích nhằm mục đích làm xuất hiện
nhân tử chung để đưa phương trình về dạng tích. Chú ý đến các góc nửa tổng và nửa hiệu
ta thấy nên nhóm sinx+3sinx ở vế trái, cosx + 3cosx ở vế phải, còn góc nửa tổng sẽ là
x
xx
2
2
3
=
+
.
Vậy ta biến đổi
xxxxxx 2cos)3cos(cos2sin)3sin(sin ++=++

xxxxxx 2coscos2cos22sincos2sin2 +=+<=>
0)2cos2)(sin1cos2(
)1cos2(2cos)1cos2(2sin
2coscos2cos22sincos2sin2
=++<=>
+=+<=>
+=+<=>
xxx
xxx
xxxxxx
Ví dụ 4: sin3x+sin6x=sin9x
H
2

: Chú ý đến các cung chứa ẩn (3x+6x =9x) ta thấy ngay nên biến đổi.
0)
2
3
cos
2
9
(cos
2
9
sin2
2
9
cos
2
9
sin2
2
3
cos
2
9
sin2
=−<=>
=
xxx
xxxx
15
Cũng có thể biến đổi theo cách khác, chẳng hạn đặt t=3x và dùng công thức góc bội
ta biến đổi phương trình thành

sint+sin2t = sin3t (dạng asinx+bsin2x + csin3x = 0)
0)2cos2sin4(sin
2
=−+<=> ttt
Ví dụ 5:
04sin2sin
2
3
cos
2
cos
2222
=+++ xx
xx
H
2
: Tất cả các số hạng đều là bậc 2 với cos hoặc sin do đó ta dùng công thức hạ bậc,
phương trình được biến đổi thành:
08cos4cos3coscos
0
2
8cos1
2
4cos1
2
3cos1
2
cos1
=+++<=>
=

−
−
−
−
+
+
+
xxxx
xxxx
chỳ ý rằng
2
48
2
3 xxxx −
=
+
nên có thể nhóm cosx + cos3x, cosx + cos8x, phương trình
tương đương với:
0)6cos(cos2cos2
02cos6cos2cos2cos2
=+<=>
=+
xxx
xxxx
Trong nhiều trường hợp, 2 vế phương trình là tổng nhiều tích những hàm số lượng giác
mà không có thừa số chung, khi đó nên tìm cách biến tích thành tổng để rút gọn các số
hạng đồng dạng rồi mới biến tích thành tổng.
Ví dụ 6: cos3xcos6x= cos4xcos7x
H
2

: Hai vế là hai tích không có nhân tử chung, nếu biến tích thành tổng thì phương trình
tương đương với
xx
xxxx
9cos11cos
)11cos3(cos
2
1
)9cos3(cos
2
1
=<=>
+=+
16
c. Sử dụng đồng nhất thức đối xứng
1cossin
22
=+ xx
từ hệ thức cơ bản này ta rút ra các
biến đổi thành tích sau:
)1cos2)(1cos2(sin43
)1sin2)(1sin2(1sin4)sin1(43cos43
)cos1)(cos1(cos1sin
)sin1)(sin1(sin1cos
2
222
22
22
−−=−
−+=−=−−=−

−+=−=
−+=−=
xxx
xxxxx
xxxx
xxxx
Ví dụ 7:
xxx
2
cos43)12sin2)(1sin2( −=+−

H
2
: Vế phải là biểu thức
x
2
cos43−
có nhân tử chung 2sinx-1 với vế trái, phương trình
dược biến đổi thành:
0)1cos2(sin2)(1sin2(
0)sin22sin2)(1sin2(
=−−⇔
=−−
xxx
xxx
Ví dụ 8: Giải phương trình:
xxxxx
2
coscos1cossinsin
++=+

H
2
: Có
)sin1(coscossincos
)sin1)(sin1(sin1cos
22
xxxxx
xxxx
−=−
+−=−=
Phương trình được biến đổi thành:
0))
4
cos(22)(sin1(
0)sincos2)(sin1(
0sin1)sin1(cos)sin1(
2
=−+−⇔
=++−⇔
=−+−+−
π
xx
xxx
xxxx
d. Sử dụng công thức nhân đôi:
Từ công thức
xxxxx
2222
sin11cos2sincos2cos

−=−=−=
, bằng cách áp dụng đồng
nhất công thức cos
2
x+sin
2
x=1 một cách khéo léo ta có:
cos
4
x -cos2x = cos
4
x - (cos
2
x - sin
2
x)
17
= cos
2
x(cos
2
x-1)+sin
2
x
= -sin
2
xcos
2
x+sin
2

x
hoặc cos
4
x-cos2x=cos
4
x-(2cos
2
x-1)=(1-cos
2
x)
2
=sin
4
x
hoặc cos2x = cos
2
x - sin
2
x=cos
2
x - sin
4
x - sin
4
x
cos
4
x-cos2x = sin
4
x

Ví dụ 9:Giải phương trình: Cos
4
x-cos2x+2sin
6
x=0
H
2
: Trong phương trình có mặt hai loại hàm số lượng giác (cos và sin), với bậc khác nhau
(bậc 3 và bậc1) và các công chứa ẩn khác nhau (x và 2x). Để làm cho các số hạng bớt
khác biệt có thể chú ý đến bậc hoặc cung chứa ẩn. Nếu muốn làm cho các số hạng đồng
bậc thì phải dùng công thức hạ bậc
4
cos3cos3
cos
3
xx
x
+
=
nhưng như vậy sẽ xuất hiện
thêm cung 3x. Nếu muốn làm cho các cung chứa ẩn giống nhau thì phải biến đổi 2cos
2
x.
Nếu dùng cos2x-sin
2
x thì phương trình được biến đổi thành.
0)]cos(sin2)cos)[(sinsin1(
0]cos2sin2cossin21)[sin1(
0)sin1(sin)1cos2)(sin1(
0)sin1(sin)1cos2(cos

0sinsincoscos2
2
2
2
223
=+++−⇔
=+++−⇔
=−++−⇔
=−++⇔
=+−+
xxxxx
xxxxx
xxxx
xxxx
xxxx
Nếu dựng công thức cos2x=2cos
2
x -1 thì phương trình được biến đổi thành
0)sin1()1(coscos2
0sin1cos2cos2
2
23
=−−+⇔
=+−+
xxx
xxx
18
e. Đặt thừa số chung: Sử dụng bảng 1 học sinh có thể tiến hành đặt thừa số chung một
cách thuận lợi trong nhiều trường hợp.
Ví dụ 10: Giải phương trình:

x
x
x
sin1
cos1
tan
2
−
+
=
H
2
: Có
x
x
x
x
x
x
x
sin1
cos1
.
sin1
cos1
sin1
cos1
tan
2
2

2
+
−
−
+
=
−
−
=
phương trình tương đương với:

0)1)(1
cos
1
(
0
cos
)sin(cos
.
cos
cos1
0)1
sin1
cos1
(
sin1
cos1
=++⇔
=
+−+

⇔
=−
+
−
−
+
tgx
x
x
xx
x
x
x
x
x
x
f. Chú ý đến đặc điểm các hệ số: trong nhiều phương trình lượng giác, những mối liên hệ
số học giữa các hệ số lại chứa đựng chìa khoá giải bài toán. Ta sẽ thấy từ điều này qua
các ví dụ sau:
Ví dụ 11: Giải phương trình:3sinx+2cosx=2+3tanx
H
2
: nhóm các số hạng cùng hệ số ta được
3sinx-3tanx = 2-cosx
0)tan32)(cos1(
)cos1((2)1.(costan3
)cos1(2tan3cos.tan3
=−−⇔
−=−⇔
−=−⇔

xx
xxx
xxxx
Ví dụ 12: 2(tanx-sinx)+3(cotx-cosx)+5=0
H
2
: chú ý đến mối liên hệ giữa các hệ số 5=2+3 ta biến đổi vế trái phương trình thành
2(tanx-sinx+1)+3(cotx-cosx+1)
19
)
sin
2
cos
2
)(cossincos(sin
xx
xxxx
+−+=
2.5. Các phép toán chia, khai căn, logarit không phải luôn xác định, vì thế khi có hàm số
lượng giác chứa ẩn có mặt ở mẫu số hay dưới dấu căn thức, hoặc trong biểu thức logarit
thì tập xác định của phương trình nói chung chỉ là một tập con thực sự của tập số thực.
Mặt khác, hầu như các phép biến đổi đồng nhất liên quan đến các phép toán nói trên đều
làm thay đổi miền xác định của phương trình nên đứng trước mỗi phép biến đổi phương
trình chúng ta phải luôn tự đặt câu hỏi các phép biến đổi đó có ảnh hưởng như thế nào
đến tập hợp nghiệm của phương trình. Học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản sau
đây:
a. Các định lý về biến đổi tương đương phương trình
- Nếu nhân hai vế một phương trình với một biểu thức có nghĩa và, ta được phương trình tương
đương (giải phương trình có chứa ẩn ở mẫu thức).
- Nếu hai vế một phương trình có nghĩa và cùng dấu thì nâng hai vế của phương trình ấy

lên cùng một lũy thừa ta được phương trình tương đương. (giải phương trình vô tỉ).
- Nếu hai vế một phương trình cùng có nghĩa thì mũ hoá phương trình ấy ta được một
phương trình tương đương (giải phương trình lôgarit)
b. Các phép biến đổi đồng nhất và điều kiện kèm theo:
20
)0,1,0(
loglog):(log
)0,1,0(log.log
)0()(
)1tantan,0cos,(cos
tan.tan1
tantan
)tan(
)0sin,(sin
sinsin
)sin(
cotcot
)0cos,(cos
coscos
)sin(
tantan
log
2121
21
2
>≠>=
−=
>≠>=
>=
±≠≠

+
±
=+
≠
−
±=±
≠
+
=±
baba
bbbb
bbabb
aaa
baba
ba
ba
ba
ba
ba
ba
ba
ba
ba
ba
ba
b
aaa
aa
a
β

β
Đối với dạng phương trình lượng giác với điều kiện ràng buộc về ẩn, ngoài các kỹ năng
biến đổi cần thiết như các dạng phương trình lượng giác khác, học sinh cần phải thành
thạo kỹ năng xử lý các điều kiện khéo léo. Các ví dụ tôi sẽ trình bày sau đây sẽ chỉ trừ
những trường hợp nào cần và nên đặt điều kiện bổ xung, đồng thời nên xử lý các điều
kiện như thế nào.
Ví dụ 13:
xx
x
sin
1
cos
3
sin8 +=
H
2
: để khử mẫu số, cần nhân 2 vế phương trình với cosx.sinx; để bảo đảm không xuất
hiện nghiệm ngoại lai khi áp dụng phép biến đổi đó cần có điều kiện cosxsinx ≠0. Mặt
khác việc đặt điều kiện bổ xung này không làm thu hẹp tập các giá trị cần xem xét của x
và tập xác định của phương trình là tập tất cả các x thoả mãn điều kiện cosx.sinx≠0. Vậy
phương trình đó cho tương đương với hệ:



+=
≠
)1(cossin3cossin8
)(0sin.cos
2
xxxx

axx
Chú ý rằng, nếu x là một nghiệm của (1) và không thoả mãn điều kiện (a) thì ta có đồng
thời 2 đẳng thức.
21





+=



=
±=



=
±=
=>≠
)1(cossin3cossin8
0sin
1cos
0cos
1sin
0sincos
2
xxxx
x

x
hoăo
x
x
xx
.
=>
30 ±=
hoặc
10
±=
vô lý. Do đó mọi nghiệm của (1) đều thoả món điều kiện (a), vì vậy phương trình đó cho
tương đương với (1).
Phương trình (1) là phương trình đẳng cấp bậc 3 đối với sinx, cosx nên có thể giải theo
phương pháp giải phương trình đẳng cấp:
(1)
)cos)(sincossin3(cossin8
222
xxxxxx ++=⇔
0coscossin3cossin7sin3
3223
=−−+⇔ xxxxxx
Rút cos làm thừa số nên cosx =0 là nghiệm phương trình, do đó chia phương trình cho
cos
3
x và đặt t=tanx ta được:
0coscossin3cossin7sin3
3223
=−−+ xxxxx
Kết quả dẫn đến việc giải một phương trình bậc 3 không nhẩm được nghiệm và rất khó

giải.
Trở lại phương trình (1), ta nhận thấy 2 vế là những hàm lượng giác của cung x nhưng có
bậc khác nhau. Để giảm sự khác biệt về bậc, có thể thực hiện các phép biến đổi tích thành
tổng hoặc hạ bậc, chẳng hạn biến đổi.
xxx
xxxx
cossin33coscos2
cossin3sin2sin4)1(
+=+<=>
+=<=>
22
Xem phương trình được như phương trình bậc nhất đối với sinx, cosx ta viết:
)
3
cos()3cos(
)
2
cos(3cos
cos
2
1
sin
2
3
3cos
cossin33cos)1(
π
π
π
+=−<=>

+−=<=>
−=<=>
−=<=>
xx
xx
xxx
xxx
Qua ví dụ trên, giáo viên cần nhấn mạnh để học sinh nhận thức được những lập luận căn
bản sau đây:
- Thực hiện phép nhân hai vế một phương trình với một biểu thức, cần có điều kiện biểu
thức đó phải khác không.
- Bổ sung điều kiện biểu thức khác không, không làm thu hẹp tập nghiệm và không làm
thay đổi tập xác định của phương trình.
- Không cần thiết và không nên giải điều kiện bổ sung vừa đặt ra, đối với các nghiệm của
phương trình thu được cần tìm cách thử trực tiếp hoặc gián tiếp các điều kiện đó.
Ví dụ 14: 3tan3x + cot2x=2tanx+
x4sin
2
H
2
: Chú ý đến đặc điểm các hệ số có thể biến đổi phương trình thành
tan3x+tan2x+2(tan3x-tanx)=
xx 2cos2sin2
2

xxxx
xxx
xxxx
x
xx

xx
2cos2sin
1
2sin3cos
sin2sin4cos
2cos2sin
1
cos3cos
2sin2
2sin3cos
)23cos(
=
+
<=>
=+
−
<=>
23
Điều kiện có nghĩa của phương trình là cos3xsin2x.cos2x≠0 và với điều kiện đó phương
trình tương đương với:
)2cos(2cossin2sin4cos2cos
3cos)sin2sin4(cos2cos
xxxxxxx
xxxxx
+=+<=>
=+








−=
>−=>−=
=
<=>
4
1
2cos
02sin0sin
02sin
x
loaixx
x
Để thử điều kiện cos3xsin2xcos2x≠0 ta biểu diễn điều kiện này thông qua cos2x:
sin2x≠0
⇔
cos2x≠±1
0cos3cos403cos
3
=−<=>≠ xxx





≠−+<=>≠−
≠
+

<=>≠<=>≠
<=>
03)2cos1(203cos4
0
2
2cos1
0cos0cos
2
2
xx
x
xx





≠−+⇔≠−
≠
+
⇔≠⇔≠
⇔
03)2cos1(203cos4
0
2
2cos1
0cos0cos
2
2
xx

x
xx
2
1
2cos,12cos ≠−≠ xx
Có nghĩa là
2
1
,1,02cos ±≠x
và nghiệm
4
1
2cos =x
thoả mãn điều kiện đã nêu.
Ví dụ 15: tan(120
0
+3x)-tan(140
0
-x)=2sin(80
0
+2x)
H
2
: có thể thực hiện phép biến đổi tổng thành tích cho vế trái nhưng học sinh không tìm thấy
thừa số chung để đưa phương trình về dạng tích. Tuy nhiên, chú ý rằng 80
0
+2x=2(40
0
+x),
140

0
-x=180
0
-(40
0
+x), 120
0
+3x=3(40
0
+x) do đó nếu đặt t= 40
0
+x và sử dụng quy gọn góc ta
biến đổi phương trình thành.
24
tan3t+tant=2sin2t
t
tt
tt
t
tt
tt
t
tt
t
2sin2
1cos22cos
2cos2sin4
2sin2
)4cos2(cos
2

1
2cos2sin2
2sin2
cos3cos
4sin
2
=
−+
=
+
⇔
=⇔
Để khử mẫu số, cần có điều kiện 2cos
2
2t+cos2t-1≠0
⇔
cos2t≠-1,
2
1
với điều kiện này
phương trình tương đương với:
4sin2tcos2t=2sin2t(2cos
2
2t+cos2t-1)




−==
±=<=>=

<=>
=−−<=>
2
1
2cos,12cos
12cos02sin
0)12cos2cos2(2sin2
2
tt
tt
ttt
Đối chiếu với điều kiện đặt ra, phương trình trở thành




−=
=
2
1
2cos
12cos
t
t
Ví dụ 16:
x
x
xx
sin4
cos

cos1cos1
=
+−−
H
2
: Để khử mẫu số, trước hết cần đặt điều kiện cosx≠0, phương trình tương đương với
xxxx cossin4cos1cos1 =+−−
Nếu khử căn bằng cách sử dụng công thức góp nhân đôi thì lại xuất hiện giá trị tuyệt đối.
25