Gợi động cơ hoạt động trong dạy học các khái niệm, định lí, bài tập về hệ thức lượng trong tam giác và trong đường tròn lớp 10 PTTH

1

Phần I: Mở đầu.
I. Lí do chọn đề tài.
Thực trạng dạy học Toán ở trờng THPT từ trớc tới nay còn thiên về truyền thụ
kiến thức một chiều. Vì vậy, phơng pháp dạy học đó cha phát huy đợc tính tự giác,
tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh, làm họ rơi vào thế bị động khi tiếp nhận
kiến thức, đôi khi họ học thuộc công thức mà không hiểu đợc bản chất của vấn đề là
gì? Cơ sở nào và tại sao lại có kiến thức ấy? Dẫn đến sự mơ hồ và thiếu căn cứ khoa
học về một kiến thức nào đó mà trò tiếp nhận. Và cũng chính vì lối truyền thụ kiến
thức ấy mà không gây cho trò một sự hứng thú và tập trung khi học bài trên lớp,
không phát huy và phát triển đợc các tiềm năng t duy ở học sinh.
Xuất phát từ những yêu cầu xà hội đối với sự phát triển nhân cách của thế hệ
trẻ, từ những đặc điểm nội dung mới và từ bản chất của quá trình học tập, buộc
chúng ta phải đổi mới phơng pháp dạy học theo định hớng hoạt động hoá ngời học.
Tổ chức cho học sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực
chủ động và sáng tạo.
Khi nghiên cứu lí thuyết hoạt động, chúng tôi quan tâm đến một thành tố cơ
bản của hoạt động là động cơ hoạt động, bởi lẽ nó đóng góp vào lí thuyết hoạt động
những u điểm lớn sau:
- Việc thiết kế một bài giảng, tổ chức một giờ dạy trên lớp bằng gợi động cơ
hoạt động cho học sinh tạo cho họ niềm say mê hứng thú, trí tò mò khám phá tri
thức khoa học, giúp các em hiểu vấn đề và giải quyết vấn đề.
- Gợi động cơ nhằm làm cho häc sinh cã ý thøc vỊ ý nghÜa cđa những hoạt
động và của đối tợng hoạt động. Gợi động cơ nhằm làm cho những mục đích s phạm
biến thành mục đích cá nhân học sinh. Nó có tác dụng phát huy tính tích cực và tự
giác của học sinh hớng vào việc khơi dậy, phát triển khả năng suy nghĩ và làm việc
một cách tự chủ, sáng tạo, năng động, tự mình khám phá nắm bắt cái cha biết, tìm ra
kiến thức, chân lí, giải quyết đợc bài toán mới dới sự dẫn dắt của giáo viên.
Về vấn đề gợi động cơ cho hoạt động dạy học Toán cũng đà có nhiều tác giả
bàn tới trong các công trình hay luận văn của mình, chẳng hạn các tác giả Nguyễn Bá

Kim, Vũ Dơng Thuỵ trong cuốn Phơng pháp dạy học môn Toán Cũng đà nghiên


2

cứu lí luận về gợi động cơ, nhng cha có điều kiện đi sâu vào nghiên cứu từng lĩnh vực
kiến thức cụ thể; riêng trong lĩnh vực hình học cũng có nhiều tác giả nghiên cứu về
vấn đề gợi động cơ, chẳng hạn:
GS.TS Đào Tam với giáo trình Phơng pháp dạy học hình học ở trờng THPT
đà khá thành công trong việc gợi động cơ, hớng đích cho việc hình thành các khái
niệm, quy tắc, phát hiện các định lý, chẳng hạn: Khái niệm hai vectơ cùng phơng hay
cùng chiều, hai vectơ bằng nhau, quy tắc hình bình hành, định lý cosin trong tam
giác (Hình hoc 10); Định lý về quan hệ song song, vuông góc trong không gian
(Hình học 11); Khái niệm elip, hypebol (Hình học 12). Hay nh luận văn thạc sĩ của
Nguyễn Dơng Hoàng- Đại học Huế- 1999 với tiêu đề: Hoạt động gợi động cơ hớng
đích trong dạy học các định lý hình học không gian lớp 11 THPT, tuy nhiên cũng
mới chỉ làm sáng tỏ vận dụng gợi động cơ trong dạy học hình học 11. Tác giả Phạm
Sĩ Nam- Đại học Vinh- 2001, trong luận văn thạc sĩ của mình đà thực hiện việc gợi
động cơ với đề tài Thực hành dạy học giải bài tập biến đổi lợng giác theo hớng gợi
động cơ cho học sinh khá, giỏi trung học phổ thông.
Việc gợi động cơ cũng đợc một số tác giả khác quan tâm nhng cha có điều kiện
nghiên cứu sâu sắc, chỉ đề cập tới ở công trình hay luận văn của mình trong một số
phân mục nhỏ. (Chẳng hạn luận văn thạc sĩ của Nguyễn Thị Hờng- Đại học Vinh2001, với đề tài Vận dụng quan điểm hoạt động hoá ngời học thông qua chủ đề hệ
thức lợng trong tam giác và đờng tròn lớp 10 THPT).
Nh vậy là việc gợi động cơ trong hoạt động dạy học cũng khá đợc quan tâm,
song cha đợc rộng khắp các kiến thức Toán học, chẳng hạn phần kiến thức hệ thức lợng trong tam giác và đờng tròn (Chơng II, sách giáo khoa hình học 10 hiện hành).
Về việc dạy học chơng này đà có nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu nhằm năng cao
hiệu quả ,chẳng hạn: Thực hành dạy học chơng II hệ thức lợng trong tam giác và
trong hình tròn hình học 10 CCGD theo hớng tích cực hoá hoạt động nhận thức
của học sinh của Phạm Hồng Đức - ĐH Vinh 1999 - luận văn thạc sĩ giáo dục;

Vận dụng quan điểm hoạt động hoá ngời học thông qua dạy học chủ đề hệ thức lợng trong tam giác và đờng tròn lớp 10 THPT của Nguyễn Thị Hờng - Đại học
Vinh năm 2001 - luận văn thạc sĩ giáo dục; Tích cực hoá hoạt động nhận thức của


3

học sinh thông qua dạy học khai thác ứng dụng các định lí: cosin, sin, công thức
độ dài đờng trung tuyến của Lê Đăng Khoa - Đại học Vinh 2003 khoá luận tốt
nghiệp. Trong luận văn của mình các tác giả trên chỉ chủ yếu đề cập đến các biện
pháp giúp học sinh hoạt động một cách tích cực, nhằm ứng dụng và khai thác các
khái niệm, định lí; trong khi đó, chơng Hệ thức lợng trong tam giác và trong đờng
tròn quả là một phần kiến thức khó, nên nó gây cho học sinh tâm lí ngại học phần
này. Vì vậy gợi động cơ hình thành khái niệm, công thức, phát hiện định lí là một
giải pháp đúng đắn để tạo hứng thú học tập cho học sinh, làm cho học sinh có ý thức
tự giác, tích cực khi học phần kiến thức này. Đó cũng là tiền ®Ị tèt ®Ĩ häc sinh tiÕn
tíi khai th¸c tèt c¸c ứng dụng của các khái niệm, định lí.
Nâng cao hiệu quả dạy và học , làm cho học sinh thấy đợc cái đẹp, gây cho họ
hứng thú khi học phần kiến thức hệ thức lợng trong tam giác và đờng tròn đó chính là
lý do tôi chọn đề tài: Gợi động cơ hoạt động trong dạy học các khái niệm, định lí,
bài tập về hệ thức lợng trong tam giác và trong đờng tròn lớp 10 THPT.
II. Mục đích nghiên cứu:
Mục đích nghiên cứu của luận văn là xác định cơ sở lý luận và thực tiển làm
căn cứ đề ra các biện pháp thực hiện gợi động cơ cho hoạt động dạy học hệ thức lợng
trong tam giác và đờng tròn, trên cơ sở tôn trọng chơng trình và sách giáo khoa hiện
hành nhằm nâng cao hiệu quả dạy học toán ở trờng THPT.
III. Nhiệm vụ nghiên cứu:
a, Xác định vị trí, vai trò của gợi động cơ hoạt động trong quá trình dạy học
Toán.
b, Xác định cơ sở đề ra nguyên tắc theo hớng gợi động cơ.
c, Xác định các nguyên tắc cần quán triệt khi thực hành dạy học phần hệ thức lợng trong tam giác và trong đờng tròn theo hớng gợi động cơ.

d, Đề xuất các biện pháp gợi động cơ trong dạy học hệ thức lợng trong tam giác
và trong đờng tròn.
IV. Giả thuyết khoa học.
Trong quá trình dạy học, nếu giáo viên biết tổ chức tốt việc gợi động cơ cho
hoạt động thì điều đó không những hớng học sinh vào việc giải quyết vấn đề toán


4

học một cách tích cực mà còn hình thành ở học sinh các phẩm chất trí tuệ từ đó sẽ
góp phần nâng cao hiệu quả dạy học Toán.
V. Phơng pháp nghiên cứu:
1. Nghiên cứu lí luận: từ sách báo và các tài liệu chuyên môn xác định nội
dung, đặc điểm, bản chất của khái niệm động cơ hoạt động.
2. Phân tích SGK Hình học lớp 10 hiện hành để chỉ ra cách thức gợi động cơ
hoạt động nh thế nào vào dạy học phần kiến thức hệ thức lợng trong tam giác và đờng tròn nhằm nâng cao hiệu quả dạy học.
3. Điều tra cơ bản việc thực hiện gợi động cơ hoạt động trong dạy học Toán ở
trờng THPT.
4. Thực nghiệm s phạm
VI. Đóng góp của luận văn.
1. Về mặt lí luận:
- Làm sáng tỏ nội dung gợi động cơ hoạt động cũng nh vai trò, vị trí và sự cần
thiết của nó trong hoạt động dạy học Toán ở trờng THPT.
- Đề xuất các biện pháp cần thực hiện khi dạy học phần kiến thức về hệ thức lợng trong tam giác và trong đờng tròn.
2. Về mặt thực tiễn:
Luận văn có thể làm tài liệu tham khảo cho giáo viên Toán THPT, sinh viên các
trờng đại học s phạm.
VII. Cấu trúc luận văn:
Phần I: Mở đầu.
- Lý do chọn đề tài.

- Mục đích nghiên cứu.
- Nhiệm vụ nghiên cứu.
- Giả thuyết khoa học.
- Phơng pháp nghiên cứu.
- Đóng góp của luận văn.


5

Phần II: Nội dung
Chơng I: Một số vấn đề về cơ sở lí luận và thực tiễn xây dựng các nguyên
tắc dạy học về kiến thức hệ thức lợng trong tam giác và trong đờng tròn theo hớng gợi động cơ.
Đ1: Gợi động cơ hoạt động trong dạy học toán
1.1. Hoạt động của học sinh và những thành tố của PPDH.
1.2. Gợi động cơ hoạt động trong dạy học Toán.
1.2.1. Thế nào là gợi động cơ hoạt động.
1.2.2. Các cách thờng dùng để gợi động cơ.
1.2.3. Mối liên hệ giữa gợi động cơ với các hoạt động khác trong dạy học.
1.2.4. Mối liên hệ giữa g6ợi động cơ với tình huống gợi vấn đề trong dạy học
Toán.
1.2.5. Vai trò của gợi động cơ trong dạy học Toán.

Đ2 Thực trạng của việc thực hiện gợi động cơ hoạt động trong dạy
học Toán hiện nay.
Chơng II. Một số biện pháp tạo tình huống nhằm gợi động cơ hoạt động
trong dạy học các khái niệm, định lí, bài tập về hệ thức lợng trong tam giác và
trong đờng tròn.
Đ 1: Các cơ sở xây dựng nguyên tắc gợi động cơ hoạt động trong dạy học
các khái niệm, định lí, bài tập về hệ thức lợng trong tam giác và trong đờng tròn.
1.1.Cơ sở đề ra nguyên tắc.

a, Cơ sở triết học
b, Cơ sở tâm lí học.
c, Cơ sở s phạm và thực tiễn.
d, Cơ sở lí luận dạy học Toán.
1.2. Các nguyên tắc cần quán triệt khi gợi động cơ cho hoạt động dạy học
các khái niệm, định lí, bài tập về hệ thức lợng trong tam giác và trong đờng tròn.
1.2.1. Dạy häc tu©n theo quy lt cđa phÐp biƯn chøng thĨ hiện trình độ nhận
thức.
1.2.2.Dạy học phù hợp với trình độ nhËn thøc cña häc sinh.


6

1.2.3. Đảm bảo sự thống nhất giữa hoạt động điều khiển của thầy và hoạt động
học tập của trò trong định hớng đổi mới phơng pháp dạy học.
1.2.4. Khai thác đặc trng lợng giác với t cách là tri thức môn học.
1.2.5.Đảm bảo sự tôn trọng, kế thừa và phát triển tối u chơng trình SGK hiện
hành.
Đ 2: Một số biện pháp tạo tình huống nhằm gợi động cơ hoạt động trong
dạy học các khái niệm, định lí, bài tập về hệ thức lợng trong tam giác và trong đờng tròn.
2.1. Thực hiện tạo tình huống nhằm gợi động cơ hoạt động trong dạy học các
khái niệm.
2.1.1. Mục đích.
2.1.2. Nội dụng.
2.1.3. Biện pháp.
2.1.3.1. Gợi động cơ để hình thành khái niệm.
2.1.3.2. Gợi động cơ để củng cố khái niệm.
2.2. Thực hiện tạo tình huống nhằm gợi động cơ hoạt động trong dạy học định lí.
2.2.1. Mục đích.
2.2.2. Nội dụng.

2.2.3. Biện pháp.
2.2.3.1. Gợi động cơ để tìm tòi, phát hiện định lí.
2.2.3.2. Gợi động cơ để tìm đờng lối chứng minh và trình bày chứng minh.
2.2.3.3. Gợi động cơ nhằm củng cố, khắc sâu định lí.
2.3. Thực hiện tạo tình huống nhằm gợi động cơ hoạt động trong dạy học bài tập.
2.3.1. Mục đích.
2.3.2. Nội dụng.
2.3.3. Bịên pháp.
Chơng III. Thực nghiệm s phạm.
1. Mục đích nghiên cứu.
2. Nội dung thực nghiệm.
3. KÕt qu¶ thùc nghiƯm.


7

PhÇn III. KÕt luËn.


8

Phần II: Nội dung
Chơng I: Một số vấn đề cơ sở lí luận và thực tiễn xây dựng các nguyên tắc dạy
học về kiến thức hệ thức lợng trong tam giác và trong đờng tròn theo hớng gợi
động cơ.
Đ 1: Gợi động cơ hoạt động trong dạy học toán
1.1. Hoạt động của học sinh và các thành tố cơ sở của phơng pháp dạy học:
1.1.1.Hoạt động của học sinh:
Công cuộc x©y dùng x· héi míi tríc ngìng cưa cđa thÕ kỷ XXI đòi hỏi nhà trờng phổ thông phải đào tạo ra những con ngời không những nắm đợc kiến thức khoa
học mà loài ngời đà tích luỹ đợc mà còn phải có những năng lực sáng tạo, giải quyết

những vấn đề mới mẻ của đời sống bản thân mình, của đất nớc, của xà hội.
Trong vài thập kỷ gần đây, dựa trên những thành tựu của tâm lý học, lý luận
dạy học đà chứng tỏ rằng có thể đạt đợc mục đích trên bằng cách đa học sinh vào vị
trí chủ thể hoạt động trong quá trình dạy học, thông qua hoạt động tự lực, tích cực
của bản thân mà chiếm lĩnh kiến thức đồng thời hình thành và phát triển năng lực.
Hoạt động là quy luật chung nhất của tâm lý học. Nó là phơng thức tồn tại của
cuộc sống chủ thể. Hoạt động sinh ra từ nhu cầu nhng lại đợc điều chỉnh bởi mục
tiêu mà chủ thể nhận thức đợc. Nh vậy, hoạt động là hệ toàn vẹn gồm hai thành tố cơ
bản: Chủ thể và đối tợng; chúng có tác động lẫn nhau, thâm nhập vào nhau và sinh
thành ra nhau tạo ra sự phát triển của hoạt động. Hoạt động học là yếu tố quan trọng
và có tính chất quyết định, thông thờng các hoạt động khác hớng vào làm thay đổi
khách thể (đối tợng của hoạt động) trong khi đó hoạt động học lại làm cho chính chủ
thể hoạt động thay đổi và phát triển. Dĩ nhiên cũng có khi hoạt động học lại làm thay
đổi khách thể nhng đó chỉ là phơng tiện để đạt mục đích làm cho ngời học phát triển
năng lực nhận thức (chẳng hạn trong thí nghiệm vật lí, hoá học). Hoạt động là mắt
xích, là điều kiện hình thành nên mối liên hệ hữu cơ giữa mục đích, nội dung và phơng pháp dạy học.
Mỗi nội dung dạy học đều liên hệ mật thiết với những hoạt động nhất định. Đó
là những hoạt động đà đợc tiến hành trong quá trình hình thành và vận dụng nội dung
đó. Cho nên, để đảm bảo đợc nội dung dạy học, thu đợc kết quả nh mong muốn


9

chóng ta cÇn tỉ chøc cho chđ thĨ häc sinh tiến hành hoạt động một cách tự giác và
hiệu quả. Cụ thể là:
Bắt đầu từ một nội dung dạy học ta cần phát hiện ra những hoạt động liên hệ
với nó rồi căn cứ vào mục đích dạy học mà lùa chän ®Ĩ tËp lun cho häc sinh mét
sè trong những hoạt động đà phát hiện đợc. Việc phân tích một hoạt động thành
những hoạt động thành phần giúp ta tổ chức cho học sinh tiến hành những hoạt động
với mức độ vừa sức với họ và đây là t tởng chủ đạo để đi đến xu hớng cho học sinh

thực hiện và tập luyện những hoạt động và hoạt động thành phần tơng thích với nội
dung và mục đích dạy học.
Hoạt động thúc đẩy sự phát triển là hoạt động mà chủ thể thực hiện một cách
tích cực và tự giác. Vì thế, cần gắn liền với gợi động cơ để học sinh ý thức rõ ràng vì
sao thực hiện hoạt động này hay hoạt động khác. Chính vì vậy, xu hớng gợi động cơ
đợc đa vào quan điểm hoạt động trong PPDH và trở thành một trong những xu hớng
hoạt động có ý nghĩa đặc biệt quan trọng.
Việc tiến hành hoạt động đòi hỏi những tri thức nhất định, đặc biệt là tri thức
phơng pháp. Những tri thức nh vậy có khi lại là kết quả của một quá trình hoạt động.
Thông qua hoạt động để truyền thụ các tri thức, đặc biệt là tri thức phơng pháp có ý
nghĩa quan trọng trong dạy học.
Trong hoạt động, kết quả rèn luyện ở một mức độ nào đó của một hoạt động có
thể là tiền đề để tập luyện và đạt kết quả cao hơn của các hoạt động tiếp theo. Cho
nên, cần phân bậc hoạt động theo những mức độ khác nhau làm cơ sở cho việc chỉ
đạo, điều khiển quá trình dạy học.
Nói tóm lại, để thực hiện một cách toàn diện mục đích dạy học phải tổ chức
thực hiện các hoạt động theo những xu hớng trên.
Những t tợng chủ đạo trên hớng vào việc tập luyện cho học sinh những hoạt
động và những hoạt động thành phần, gợi động cơ hoạt động, xây dựng tri thức mà
đặc biệt là tri thức phơng pháp, phân bậc hoạt động. Nên chúng đợc xem là các thành
tố cơ sở của PPDH.
1.1.2. Các thành tố cơ sở của hoạt động dạy học toán: (Các t tởng chủ đạo
thể hiện quan điểm hoạt động trong phơng pháp dạy học toán) (xem[ 11]).


10

1.1.2.1. Cho học sinh thực hiện và tập luyện những hoạt động và hoạt động
thành phần tơng thích với nội dung và mục tiêu dạy học:
Một hoạt động của ngời học đợc gọi là tơng thích với nội dung dạy học nếu nó

có tác động góp phần kiến tạo hoặc củng cố, ứng dụng. Những tri thức đợc bao hàm
trong nội dung đó hoặc rèn luyện những kỹ năng, hoặc hình thành những thái độ có
liên quan.
Việc phát hiện những hoạt động tơng thích với nội dung căn cứ một phần quan
trọng vào sự hiểu biết về những dạng nội dung khác nhau: Khái niệm, định lí, hay
phơng pháp, về những con đờng khác nhau để dạy học từng nội dung; Chẳng hạn:
Con đờng quy nạp, suy diễn hay kiến thiết để tiếp cận khái niệm? Con đờng thuần
tuý suy diễn hay có cả suy đoán để dạy học định lí.
ở mỗi con đờng nói trên ta cần chú ý xem xét những dạng hoạt động khác nhau
trên những bình diện khác nhau nh:
- Nhận dạng và thể hiện.
- Những hoạt động toán học phức hợp.
- Những hoạt động trí tuệ phổ biến trong môn Toán.
- Những hoạt động trí tuệ chung.
- Những hoạt động ngôn ngữ.
Ví dụ: Khi dạy phần: Liên hệ giữa tỷ số lợng giác của hai góc bù nhau, ta có
thể tổ chức các hoạt động:
* Hoạt động trí tuệ chung: Phân tích, tổng hợp, so sánh, xét tơng tự
Ta biết rằng trên đờng tròn đơn vị, các điểm ngọn M, M của các vectơ
và

OM

'

OM

Ã
Ã
đối xứng nhau qua trơc tung (Trong ®ã MOx = α, M 'Ox = 1800 - ),

vận dụng định nghĩa về tỉ số lợng giác của góc bất kỳ tìm mối liên hệ giữa cos và
cos(1800 - ), sin và sin(1800 - )?
* Hoạt động nhận dạng và thể hiện:
+ sin320 = sin1480 ?
- cos320 = cos1480 ?
sin2320 = 1- cos21480 ?
cos2220 = 1- sin21590 ?


11

+ “T×m α sao cho:
⇒ α = 45 0

sin α =

2
2

. ( 0 0 ≤ α ≤ 180 0 )”

hc α = 1350

+ “T×m α sao cho:
cos 2 α =

1 0
(0 ≤ α ≤ 180 0 ) ”
2

⇒ cosα =

2
2

⇒ = 450 hoặc = 1350
* Hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học: Lật ngợc vấn đề, xét tính giải đợc
(có nghiệm, nghiệm duy nhất, nhiều nghiệm), phân chia trờng hợp
Lật ngợc vấn đề: Giả sử có 00 ≤ α ≤ 1800, 00 ≤ β ≤ 1800, sao cho sinα = sinβ,
hái liƯu cã ph¶i β = 1800 - α hc α = 1800 - β hay không?
cos = - cos, hỏi liệu có suy ra đợc = 1800 - hay không?
Để giải quyết đợc các câu hỏi trên đây đòi hỏi phải phân chia các trờng hợp:
= , .
* Hoạt động ngôn ngữ: Đợc học sinh thực hiện khi họ đợc yêu cầu phát biểu,
giải thích một định nghĩa, một mệnh đề nào đó, đặc biệt là bằng lời lẽ của mình hoặc
biến đổi chúng từ dạng này sang dạng khác, chẳng hạn từ dạng kí hiệu toán học sang
dạng ngôn ngữ tự nhiên và ngợc lại.
Chẳng hạn:
+ Phát biểu định lÝ b»ng lêi: Hai gãc bï nhau cã sin b»ng nhau, còn cosin thì
đối nhau.
+ Phát biểu định lí bằng kÝ hiƯu To¸n häc:
sin(1800 - α) = sinα
cos(1800 - α) = - cos
1.1.2.2. Gợi động cơ cho các hoạt động dạy học (Xem mục 1.2- Tr.21)
1.1.2.3. Dẫn dắt học sinh kiến tạo tri thức, đặt biệt là tri thức phơng pháp nh
phơng tiện và kết quả của hoạt động:


12

Mục đích dạy học không chỉ là dạy tri thức mà điều quan trọng là dạy phơng
pháp lĩnh hội tri thức nhằm giúp học sinh rút ra phơng phơng pháp để ứng xử trong
các trình huống tơng tự.
Tri thức vừa là điều kiện vừa là kết quả của hoạt động, vì vậy cần tạo điều kiện
cho học sinh kiến tạo những dạng tri thức khác nhau:Tri thức sự vật, tri thức phơng
pháp, tri thức chuẩn, tri thức giá trị.
- Tri thøc sù vËt: Tri thøc chØ râ b¶n chÊt sù vật hiện tợng, giúp ngời ta phân
biệt sự vật này và sự vật khác. Tri thức sự vật trong môn Toán thờng là một khái
niệm, (Ví dụ: Khái niệm góc của hai vectơ), một định lí (định lí hàm số cosin trong
tam giác), cũng có khi là một yếu tố lịch sử, một ứng dụng Toán học (Ví dụ: Dùng
định lí sin, cosin để đo chiều cao của Tháp, chiều rộng của đầm lầy ).
- Tri thức phơng pháp: Tri thøc gióp ngêi ta chiÕm lÜnh tri thøc sù vËt. Tri thức
phơng pháp liên hệ với hai loại phơng pháp khác nhau về bản chất: Những phơng
pháp là những thuật giải, những phơng pháp có tính chất tìm đoán.
- Tri thức chuẩn: Thờng liên quan đến những chuẩn mực nhất định, chẳng hạn:
Qui ớc: Nếu ít nhất một trong hai vectơ

a, b

là vectơ

0

thì ta có thể xem góc ( a, b

) là bao nhiêu cũng đợc.
- Tri thức giá trị: Có nội dung là những mệnh đề đánh giá, chẳng hạn: Lợng
giác có vai trò quan trọng trong khoa học, công nghệ cũng nh trong thực tiễn cuộc
sống.

Trong dạy học Toán, ngời thầy cần coi trọng đúng mức các dạng tri thức khác
nhau, tạo cơ sở cho việc giáo dục toàn diện. Đặc biệt tri thức giá trị liên hệ mật thiết
với việc giáo dục t tởng chính trị và thế giới quan; tri thức phơng pháp ảnh hởng trực
tiếp đến rèn luyện kỹ năng, là cơ sở định hớng trực tiếp cho hoạt động.
(*) Đối với giáo viên, cần lu ý mét sè biƯn ph¸p nh»m trun thơ tri thức phơng
pháp cho học sinh.
a, Truyền thụ cho học sinh một cách tờng minh các tri thức phơng pháp đợc
quy định trong chơng trình.
Ví dụ: Để xác định sin và cosin cña mét gãc α (00 ≤ α ≤ 1800 ), ta lµm nh sau:


13

- Lấy một điểm M trên nửa đờng tròn đơn vị sao cho góc Ã
AOM có số đo bằng
(A(1,0)).
- Xác định toạ độ điểm M, giả sử M (x0, y0)
sin = y0, cos = x0

b, Thông báo tri thức trong quá trình tiến hành một hoạt động.
Ví dụ1: Chứng minh công thức Hêrông.
S =

(1)

p ( p a )( p b)( p c ).

Có thể hình thành tri thức phơng pháp bằng cách nêu ra câu hỏi?
+ Giáo viên: Thông thờng để chứng minh một đẳng thức ta thờng làm nh thế
nào?

+ Học sinh:
- Biến đổi vế trái thành vế phải.
- Biến đổi vế phải thành vế trái.
- Biến đổi cả hai vế và chứng tỏ chúng cùng bằng một đại lợng nào đó.
- Xuất phát từ một đẳng thức đúng suy ra đẳng thức cần chứng minh.
- Biến đổi đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với một đẳng thức đúng. (ĐÃ đợc chứng minh).
Để chứng minh đẳng thức (1) ta nên chọn cách biến đổi nào? (Biến đổi vế phải
thành vế trái).
Nêu phơng hớng chứng minh?
(Biến đổi vế phải thành vế trái bằng cách biến đổi vế phải dẫn đến một trong 4
dạng công thức tính diện tích đà đợc học).
- ở vế phải là biểu thức của các độ dài, có thể biến đổi để sử dụng đợc một hệ
thức lợng giác nào đó không? (Trong quá trình biến đổi xuất hiện a 2 + b2 c2 và c2
b2 a2 => sử dụng định lí cosin).
Tri thức phơng pháp ở đây là:
- Xác định hớng biến đổi.
- Sử dụng hệ thức liên quan để thùc hiƯn biÕn ®ỉi.
∆
VÝ dơ 2: Chøng minh r»ng víi ∀ ABC ta ®Ịu cã:
S ABC =

1
2

(

AB 2 . AC 2 − AB. AC

)

2

(1)


14

áp dụng phơng pháp trên, ta có lời giải:
+ Biến đổi vế phải thành vế trái , sử dụng hệ thøc:
uuu uuu uuu uuu
r r
r
r
uuu uuu
r r
AB. AC = AB . AC cos AB , AC .

(

⇒ VP =

)

1
·
AB. AC sin BAC = VT
2

Giáo viên: Tìm một công thức tính diện tích mới xuất phát từ công thức trên?
(Kiến tạo tri thøc míi)

AB. AC
BC

2

gỵi cho ta nghÜ tíi hƯ thøc nào ngoài hệ thức tích vô hớng?

= AB

2

+AC

2

2 AB. AC .

Vậy từ đó có thể tìm đợc một công thức tính diện tích tam giác khi biết các
cạnh của nó không? (áp dụng Định lí cosin
Biến đổi

S=

1
2

2

2

AB AC (AB.AC) 2

AB.AC =

ta đợc

S=

b2 + c2 a2
2
p(p - a)(p - b)(p - c)

)

⇒ Ta cã thĨ chøng minh c«ng thức Hêrông bằng cách:

+ Xuất phát từ một đẳng thức ®óng
+ Sư dơng hƯ thøc

BC 2 = AC 2 + AB 2 2 AB. AC

(Định lí cosin trong tam gi¸c)

∆
VÝ dơ 3: Chøng minh trong ∀ ABC , ta ®Òu cã:

a, a = b cosC + c cosB
b, sinA = sinBcosC + sinCcosB
c, ha = 2R sinB sinC
¸p dơng tri thức phơng pháp trên ta có hớng biến đổi.

a,c, + Biến đổi cả 2 vế của đẳng thức
+ Sử dụng các hệ thức định lí cosin (a) định lí Sin(c) và công thức tính
diện tích tam giác để thực hiện chứng minh.
b, +Biến đổi đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với đẳng thức (a) đà đợc
chứng minh.
+ Sử dụng định lí sin.
c, Tập luyện cho học sinh các hoạt động tơng thích với các tri thức phơng
pháp. Đặc biệt là các tri thức phơng pháp không có trong nội dung sách giáo khoa
(các phơng pháp tìm tòi lời gi¶i).


15
∆
VD1: Cho ∀ ABC , chøng minh r»ng:
cosA + cosB + cosC

3
(*)
2

Dấu = xảy ra khi nào?
Đối với bài toán này với kiến thức mà học sinh đợc học nh định nghĩa hàm số
cosin, Định lí cosinvận dụng trực tiếp để giải bài toán này thì sẽ gặp khó khăn,
hoặc không thể giải quyết đợc.
Nhng ta có thể nhìn vế trái của (*) nh là tổng của các tích vô hớng từng cặp hai
vectơ sao cho độ lớn của các vectơ đó bằng 1, cần chọn các vectơ đó sao cho góc
giữa từng cặp véctơ lần lợt là A, B , C hoặc bù với A, B, C?
Từ

đó

dẫn

tới

đặt

các

vectơ

đơn

vị

e1 , e 2 , e3

sao

cho

e1 ↑↑ BC , e2 ↑↑ CA, e3 ↑↑ AB

(

)

⇒ (*) ⇔ − e2 . e3 cos 180 0 − A − e3 . e1 cos(180 0 − B ) − e1 . e2 cos(180 0 − C ) ≤

(

)

(

)

⇔ − e2 . e3 cos e2 , e3 − e3 . e1 cos(e3 , e1 ) − e1 − e2 cos e1 , e2 ≤
⇔ −e2 e3 − e3 .e1 − e1 e2 ≤

3
2

A

3
2

e3

e2

⇔3 + 2e1 e2 + 2e2 e3 + 2e3 e1 ≥ 0

(

⇔ e1 + e 2 + e3

)

2

3
2

B

0

e1

C

BĐT cuối cùng đúng (*) đúng ĐPCM.
Dấu = xảy ra



e1 + e2 + e3 = 0

BC CA AB
+
+
=0.
BC CA AB

Mặt khác ta có

BC + CA + AB = 0

nên điều kiện trên tơng đ-

ơng víi BC = AC = AB hay ∆ABC ®Ịu:
VD2: Cho ABC nhọn chứng minh rằng:
Cos2A + cos2B +cos2C



3
2

(**)

Với bài toán này nếu gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp ABC thì 2A, 2B, 2C
ằ ằ AB
lần lợt là góc ở tâm chắn bởi cung BC , CA, ằ . Vế trái có thể đợc xem nh là tổng của

các tích vô hớng từng cặp vectơ đơn vị, cần chọn các vectơ đơn vị thoà mÃn


16

→ chän
uuurur
uu
u
r
uuu u
r r
uuu

r
e1 ↑↑ OÄ ,e2 ↑↑ OB , e3 ↑↑ OC
⇒ cos 2 A + cos 2 B + cos 2C ≥ −

3
2

ur u
u r
u u
r r
u ur
r u
3
⇔ e2 . e3 cos 2 A + e3 e1 cos 2 B + e1 e2 cos 2C ≥ −
2

ur u u u u ur
u r rr ru
3
e2 .e3 + e3 .e1 + e1.e2 ≥ −
2
ur u u u u ur
u r rr ru
⇔ 3 + 2(e2 .e3 + e3 .e1 + e1.e2 ) ≥ 0
u ur u
r u r
⇔ (e1 + e2 + e3 ) 2 ≥ o
B§T cuèi cùng đúng (**) đúng ĐPCM.
uuu uuu uuu

r
r
r
OA OB OC r
Dấu = xảy ra
+
+
= 0 ABC đều.
OA OB OC

Bằng phơng pháp tơng tự ta cũng chứng minh đợc hai bất đẳng thức tổng quát
sau:
x2 + y2 + z 2
yz cos A + zx cos B + xy cos C ≤
2
x2 + y2 + z2
yz cos 2 A + zx cos 2 B + xy cos 2C ≤ −
2
∀x, y, z ∈ R

Cã thĨ tËp lun cho häc sinh tri thức phơng pháp này bằng cách cho học sinh
nhận dạng và thể hiện khái niệm tích vô hớng:
VD1: Cho ví dụ hai vectơ có góc tạo thành bằng và tích vô hớng bằng cos?
a

( VD : u = b và

v=

b

a

(

)

, u , v =

)

VD2: Các số sau đây có phải là tích vô hớng của hai vectơ

a, b

nào đó không?

.b
a
3 a .b
3
a .b
2

1.1.2.4. Phân bậc hoạt động là một căn cứ cho việc điều khiển quá trình dạy
học. Vì một điều quan trọng trong dạy học là phải xác định những mức độ yêu cầu


17

thể hiện ở những hoạt động mà học sinh phải đạt đợc hoặc có thể đạt vào lúc cuối

cùng hay ở những thời điểm trung gian.
Mức độ yêu cầu của hoạt động có thể lâu dài (một chơng, một lớp, một bậc
học) cũng có thể đợc hiểu là những mức độ khó khăn hay mức độ yêu cầu trong một
khoảng thời gian ngắn, trong một tiết học.
Để phân bậc hoạt động đợc tốt ta cần nắm đợc những căn cứ để tiến hành việc
này.
(*) Những căn cứ để phân bậc hoạt động:
i, Sự phức tạp của đối tợng hoạt động:
Đối tợng hoạt động càng phức tạp thì hoạt động đó càng khó thực hiện. Vì vậy
có thể dựa vào sự phức tạp của đối tợng để phân bậc hoạt động:
VD: Khi dạy mục: liên hệ giữa các tỉ số lợng gi¸c cđa hai gãc bï nhau:
Sin(1800- α) = sinα
cos(1800- α)= - cosα
Khi cho häc sinh lun tËp vỊ c«ng thøc này có thể phân bậc hoạt động dựa vào
sự phức tạp của biểu thức biểu thị đối số của hàm số sin, cosin.
Ví dụ: Tính cos1700 + cos1600 ++cos100
Là hoạt ®éng ë bËc thÊp h¬n so víi
TÝnh: cos(1700 + x) + cos(1600 + 2x) + …+ cos(1000 + 8x) + cos(900 + 9x) +
cos(800 – 8x) + …+ cos(100 - x)
Víi ( 0 0 ≤ x ≤ 10 0 )
ii, Sự trừu tợng, khái quát của đối tợng:
Đối tợng hoạt động càng trừu tợng, khái quát có nghĩa là yêu cầu hoạt động
càng cao:
Ví dụ:
Tính: sin2200 + cos2300 + sin21500 + cos21600
TÝnh: sin2100 + cos2200 + sin2300 + …+ sin21600 + cos21700 + sin21800.
iii, Nội dung hoạt động: Là những tri thức liên quan tới hoạt động và những
điều kiện khác của hoạt động.

18

Nội dung hoạt động càng gia tăng thì hoạt động càng khó thể hiện, cho nên nội
dung cũng là một căn cứ để phân bậc hoạt động.
Ví dụ: Hoạt động thể hiện định lí hai góc bù nhau, có thể phân bậc theo sự
phức tạp của nội dung, bằng cách ra những bài tập sau:
a, Tìm góc sao cho: sin100 = sinα, α ≠ 10o
 sin( x + y ) = sin( x − y )
0
cos(10 ) = − cos( x + 2 y )

b, T×m gãc x, y sao cho:

iv, Sự phức hợp của hoạt động:
Một hoạt động phức hợp bao gồm nhiều hoạt động thành phần. Gia tăng những
thành phần này cũng có nghĩa là nâng cao yêu cầu đối với hoạt động.
Ví dụ: Đối với một bài toán quỹ tích nếu ta đặt câu hỏi: Các điểm có tính chất
nằm trên hình nào? (1)
Thì tức là ta đà đòi hỏi thấp hơn so với yêu cầu sau:
Tìm quỹ tích của các điểm có tính chất (2)
Đó là vì câu hỏi (1) chỉ yêu cầu phần thuận, tức là chỉ đòi hỏi thực hiện một
thành phần của hoạt động giải toán tìm quỹ tích. Còn (2) bao gồm cả phần thuận và
phần đảo của hoạt động ấy.
v, Chất lợng của hoạt động: Đó thờng là tính độc lập hoặc độ thành thạo, cũng
có thể lấy làm căn cứ để phân bậc hoạt động.
Ví dụ 1: Chứng minh toán học
Có thể phân bậc hoạt động chứng minh theo 3 mức độ: Hiểu chứng minh, lặp
lại chứng minh và độc lập tiến hành chứng minh (Walsch và Weber 1975, trang 71).
Sự phân bậc này căn cứ vào tính độc lập hoạt động của học sinh.
Ví dụ 2: Sự vận dụng các công thức lợng giác trong chứng minh, tính toán đÃ

trở thành kỹ xÃo hay cha. Sự phân bậc này căn cứ vào độ thành thạo của hoạt động.
vi, Phối hợp nhiều phơng diện, làm căn cứ để phân bậc hoạt động: Đứng trớc
một hoạt động toán học có thể phải phối hợp nhiều phơng diện làm căn cứ để phân
bậc hoạt động, điều đó là tuỳ thuộc vào yêu cầu bài dạy và trình độ của học sinh.
(*) Điều khiển quá trình học tập dựa vào sự phân bậc hoạt động:


19

Nhờ phân bậc hoạt động ta có thể điều khiển quá trình học tập theo những hớng
sau:
i, Chính xác hoá mục tiêu:
Nếu không dựa vào sự phân bậc hoạt động thì ngời ta thờng đề ra mục tiêu dạy
học một cách quá chung, ví dụ nh: Nắm vững định lí cosin trong tam giác. Nhờ
phân bậc hoạt động ta có thể đề ra mục tiêu một cách chính xác hơn, chẳng hạn:
Sau khi học xong xong định lí cosin trong tam giác học sinh đạt đợc các mục
tiêu sau:
- Biết cách biến đổi để có nhiều cách thể hiện khác nhau của một công thức.
(Độc lập thực hiện nhận dạng và thể hiện định lí).
- Vận dụng một các thành thạo, linh hoạt định lí vào các bài toán.
ii, Tuần tự nâng cao yêu cầu:
Theo lí thuyết của Vgôtxki về vùng phát triển gần nhất thì những yêu cầu đặt ra
đối với học sinh phải hớng vào cùng phát triển gần nhất.
Ví dụ: Bài tập về tích vô hớng của hai vectơ. Từ chỗ cho học sinh tính tích vô
hớng của hai vectơ cụ thể, sau đó là chứng minh các đẳng thức vectơ nhờ tích vô hớng, sau nữa là việc ứng dụng tích vô hớng vào việc giải các bài tập nh: Chứng minh
bất đẳng thức; giải phơng trình, bất phơng trình; chứng minh vuông góc
iii, Tạm thời hạ thấp yêu cầu khi cần thiết.
Trờng hợp học sinh gặp khó khăn khi hoạt động, ta có thể tạm thời hạ thấp yêu
cầu. Sau khi họ đà đạt đợc nấc thấp này, yêu cầu lại đợc tuần tự nâng cao. Làm nh
vậy cũng vẫn phù hợp với lí thuyết của Vgôtxki về vùng phát triển gần nhất.

Thật vậy, khi học sinh gặp khó khăn nghĩa yêu cầu đề ra còn ở những vùng
phát triển quá xa. Tạm thời hạ thấp yêu cầu tức là đà điều chỉnh yêu cầu hớng về
vùng phát triển gần nhất.
Ví dụ: Giải các PT, BPT sau:
a,
b,

x x +1 + 3 − x = 2 x 2 +1
x −1 + x −3 ≥ 2( x −3) 2 + 2 x − 2


20

Ta có thể hạ thấp yêu cầu bằng cách xem các vế trái của (a), (b) là biểu thức toạ
độ của tích vô hớng của hai vectơ

a, b

nào đấy, còn vế phải là tích độ dài của hai

vectơ ấy. Từ đấy ta có hớng giải bài toán.
iv, Dạy học phân hoá:
Dạy học phân hoá xuất phát từ sự biện chứng của thống nhất và phân hoá, từ
yêu cầu đảm bảo thực hiện mục tiêu chung cho toàn thể học sinh , đồng thời khuyến
khích phát triển tối đa những khả năng của từng cá nhân.
Trong dạy học phân hoá, ngời thầy giáo cần tính tới những đặc điểm của cá
nhân học sinh, chú ý từng đối tợng hay từng loại đối tợng về trình độ tri thức, kỹ
năng, kỹ xÃo đà đạt; về khả năng tiếp thu, nhu cầu luyện tập, sở thích hứng thú và
khuynh hớng nghề nghiệp,, để tích cực hoá hoạt động của học sinh trong học tập.
Một khả năng dạy học phân hoá thờng dùng là phân hoá nội tại, tức là dạy học

phân hoá trong nội bộ một lớp học thống nhất.
Sự phân bậc hoạt động có thể đợc lợi dụng để thực hiện dạy học phân hoá nội
tại theo cách cho những học sinh thuộc những loại trình độ khác nhau đồng thời thực
hiện những hoạt động có cùng nội dung nhng trải qua hoặc ở những mức độ yêu cầu
khác nhau.
ví dụ: Để học sinh luyện tập định lí:
Với mọi góc (0 0 ≤ α ≤ 180 0 ): sin2α + cos2α=1”, giáo viên tạo ra hệ thống bài
tập sau:
3

1, a, cho sinα= 5 (0 0 <α< 90 0 ).T×m cosα.
1

b, cho cosα=- 3 , t×m sinα.
1

2,BiÕt cosα= 2 .TÝnh p = 2sin2x +3cos2x
3, Víi 00 ≤ x ≤ 1800, chøng minh r»ng:
a, (sinx + cosx)2 = 1 + 2sinxcosx.
b, (sinx - cosx)2 = 1 - 2sinxcosx.
c, sin4x + cos4x = 1- 2sin2xcos2x.
4, Cho sinα + cosα = 1,4. T×m sinα. cosα.


21

5, Chứng minh rằng các biểu thức sau đây không phơ thc vµo x:
a, A = (sinx + cosx)2 + (sinx - cosx)2.
b, B = 2(sin6x + cos6x) – 3(sin4x + cos4x).
6, BiÕt r»ng cos(x+y) = cosxcosy – sinxsiny (00 ≤ x, y, x+y ≤ 1800).

Chøng minh r»ng nÕu ∆ABC không tù thì (1 + sin2A)(1+sin2B)(1+sin2C) >4.
7, Cho u, v > 0 vµ u2 + v2 = 1
Chøng minh r»ng

− 2 u +v 2

Để thực hiện dạy học phân hoá ta cho học sinh trung bình và yếu làm các bài
tập từ bài 1 đến bài 5. Học sinh khá, giỏi có thể bỏ qua bài 3, 4 và thêm vào các bài
6, 7.
1.2. Gợi động cơ hoạt động trong dạy học toán:
1.2.1. Thế nào là gợi động cơ cho hoạt động:
Theo A.N.Lêônchiep: Hoạt động đợc đặc trng bởi tính đối tợng của nó. Do
vậy: Điều chủ yếu phân biệt hoạt động này với hoạt động khác là ở chỗ đối t ợng
của chúng khác nhau. Quả vậy, chính đối tợng của hoạt động làm cho hoạt động
có một hớng nhất định.
Theo ông: Đối tợng của hoạt động là động cơ thực sự của hoạt động, khái
niệm hoạt động gắn liền một cách tất yếu với khái niệm động cơ. Không có hoạt
động nào không có động cơ; hoạt động không động cơ không phải là hoạt động
thiếu động cơ mà là hoạt động với một động cơ ẩn dấu về mặt chủ quan và về mặt
khách quan.
Dạy học là một quá trình tác động lên đối tợng học sinh, nên để đạt mục đích
dạy học điều cần thiết và quyết định là tất cả học sinh phải học tập tự giác, tích cực,
chủ động và sáng tạo. Do vậy học sinh phải có ý thức về những mục tiêu đặt ra và tạo
đợc động lực bên trong thúc đẩy bản thân họ hoạt động để đạt các mục tiêu đó. Điều
này đợc thực hiện trong dạy học không chỉ đơn giản bằng việc nêu rõ mục tiêu mà
quan trọng hơn còn do gợi động cơ.
Chính vì mọi hoạt động đều có động cơ của nó, mặc dầu động cơ có thể đợc
nhận biết một cách tờng minh hay ẩn tàng bên trong hoạt động, nên việc gợi động cơ
là cần thiết, bởi học sinh do hạn chế về trình độ nhận thức nên không phải khi nào hä

22

cũng có ý thức về ý nghĩa của hoạt động và của đối tợng hoạt động; tạo cho họ có đợc sự say mê, hứng thú, ham muốn tìm tòi, suy nghĩ khám phá, tiến hành những hoạt
động.
Gợi động cơ đợc hiểu cả ở tầm vĩ mô lẫn vi mô. ở tầm vĩ mô (tức là gợi động
cơ hoạt động học tập nói chung) cần phải có sự tham gia của toàn xà hội, trong cũng
nh ngoài ngành giáo dục, để tơng hỗ tích cực với gợi động cơ ở tầm vi mô (gợi động
cơ trong phạm vi dạy học của giáo viên), để cho giáo viên gợi động cơ học tập của
học sinh đạt kết quả cao nhất.
Có nhiều phơng thức để gợi động cơ cho học sinh: ở lớp dới, giáo viên thờng
dùng những cách nh cho điểm, khen, chê, thông báo kết quả học tập cho gia đình
để gợi động cơ. Càng lên lớp cao, cùng với sự trởng thành của học sinh với trình độ
nhận thức và giác ngộ chính trị ngày một nâng cao thì những cách gợi động cơ xuất
phát từ nội dung hớng vào những nhu cầu nhận thức, nhu cầu đời sống, trách nhiệm
đối với xà hội ngày càng trở nên quan trọng.
Gợi động cơ không phải là việc làm ngắn ngủi lúc bắt đầu dạy một tri thức nào
đó (một bài học) mà phải xuyên suốt quá trình dạy học. Vì vậy có thể phân biệt
gợi động cơ mở đầu, gợi động cơ trung gian và gợi động cơ kết thúc.
1.2.2. Các cách thờng dùng để gợi động cơ:
1.2.2.1. Gợi động cơ mở đầu:
Ta thờng vận dụng gợi động cơ mở đầu khi bắt đầu một nội dung có thể là một
phân môn, một chơng, một bài hoặc một phần nào đó của bài. Gợi động cơ mở đầu
có thể xuất phát từ thực tế hoặc từ nội bộ toán học.
Khi gợi động cơ xuất phát từ thực tế có thể nêu lên:
- Thực tế gần gũi xung quanh học sinh.
- Thùc tÕ x· héi réng lín (kinh tÕ, kü thuËt, quốc phòng).
- Thực tế ở những môn học và khoa học khác.
Ta thờng gợi động xuất phát từ thực tế khi bắt đầu một nội dung lớn chẳng hạn
một phân môn hay một chơng. Việc xuất phát từ thực tế giúp học sinh tri giác vấn đề

dễ dàng hơn bởi vì đó là những sự vật mà học sinh tiếp xúc hàng ngày, cái mà học
sinh đà quen thuộc, đồng thời qua đó cho học sinh thấy đợc sự liên hƯ gi÷a thùc tÕ


23

và lí thuyết ở trờng. Từ đó, làm cho bài học trở nên hấp dẫn hơn, cuốn hút hơn và
đồng thêi t¹o cho häc sinh ý thøc vËn dơng lÝ thuyết đà học để áp dụng vào cải tạo
thực tiễn.
Nh vậy, việc xuất phát từ thực tế không những có tác dụng gợi động cơ mà còn
góp phần hình thành thế giới quan duy vật biện chứng. Nhờ đó mà học sinh thấy rõ
việc nhận thức và cải tạo thế giới đà đòi hỏi phải suy nghĩ và giải quyết những vấn đề
toán học nh thế nào, tức là nhận rõ toán học bắt nguồn từ những nhu cầu của đời
sống thực tế. Vì vậy cần khai thác mọi khả năng để gợi động cơ xuất phát từ thực tế,
nhng cần chú ý những điều kiện sau:
- Vấn đề đặt ra phải đảm bảo tính chân thực, có thể đơn giản hoá vì lý do s
phạm trong trờng hợp cần thiết.
- Việc nêu vấn đề không đòi hỏi quá nhiều kiến thức bổ sung vì nếu ngợc lại
làm cho học sinh phân tán t tởng và khó mà lĩnh hội nội dung trọng tâm trọn vẹn.
- Con đờng từ lúc nêu cho tới khi giải quyết vấn đề càng ngắn càng tốt.
Ví dụ: Có thể gợi động cơ mở đầu khi dạy chơng II: Hệ thức lợng tam giác và
trong đờng tròn nh sau:
Xuất phát từ những vấn đề nảy sinh trong thực tế: Tính độ dốc của thành đê và
chiều rộng của mặt đê Tỉ số độ dài của những đoạn thẳng đóng vai trò quan trọng
Hình thành nên tỉ số lợng giác của một góc
Cần xác định chiều cao của ngọn đồi, tính khoảng cách hai điểm không đi qua
đợc, tính chiều cao ngọn tháp dẫn đến sự phát sinh và phát triển của môn l ợng
giác, từ đó hình thành nên định lí Pitago, định lí cosin, định lí sin trong tam giác.
(*) Mặt khác toán học phản ánh thực tế một cách toàn bộ và nhiều tầng, do đó
không phải bất cứ một nội dung nào, hoạt động nào cũng có thể gợi động cơ xuất

phát từ thực tế. Vì vậy ta còn cần tận dụng việc gợi động cơ từ nội bộ Toán học.
Gợi động cơ từ nội bộ toán học là nêu một vấn đề Toán học xuất phát từ nhu
cầu toán học, từ việc xây dựng khoa học Toán học từ những phơng thức t duy và hoạt
động Toán học.
Gợi động cơ theo cách này là cần thiết vì hai lẽ:


24

Thứ nhất: Nh đà nêu trên, việc gợi động cơ từ thực tế không phải bao giờ cũng
thực hiện đợc.
Thứ hai: Nhờ gợi động cơ từ nội bộ Toán học, học sinh hình dung đợc đúng sự
hình thành và phát triển của Toán học cùng với đặc điểm của nó và có thể dần dần
tiến tới hoạt động Toán học một cách độc lập.
Ta thờng vận dụng gợi động cơ từ nội bộ Toán học khi bắt đầu một bài mới
hoặc trong từng phần của bài, mà các cách thờng dùng là:
i, Đáp ứng nhu cầu xoá bỏ một hạn chế:
Ví dụ: Mở rộng định lí cosin trong tam giác thành định lí hàm số cosin suy
rộng (hay định lí hàm số cotang).
Định lí hàm số cosin suy rộng: Trong tam gi¸c ABC ta cã:
cot gA =

b2 + c2 − a2
4S

cot gB =

a2 + c2 − b2
4S

cot gC =

b2 + a2 c2
4S

Nhờ định lí mở rộng này mà học sinh có thể giải quyết đợc một lợng bài toán
đỡ khó khăn hơn.
Ví dụ:
m

b

c
Bài 1: Cho ABC có m = c ≠ 1
b

Chøng minh:
2cotgA = cotgB + cotgC
·
·
·
Bµi 2: Cho ABC , G trọng tâm, đặt GBA = , GBC = β, GCA = ϕ

Chøng minh: cotgα + cotgβ + cotgϕ =

3(a 2 + b 2 + c 2 )
4S

(§H Ngoại Thơng 2000)
Bài 3: Cho ABC , có a4 + b4 = c4

Chứng minh: 2sin2C = tgA. tgB.
(ĐH Thuỷ Lợi CS II, 2000)
Bµi 4: Cho ∆ABC , BM, CN lµ 2 trung tuyÕn chøng minh r»ng:


25

BM ⊥ CN ⇔ cotgA = 2(cotgB + cotg C).
Bµi 5: Cho ABC . Chia đoạn thẳng BC ra làm 3 phần bằng nhau: BM, MN,
NC
Ã
Ã
Ã
Đặt BAM = MAN = β , NAC = ϕ

Chøng minh r»ng:
4(1 + cotg2β) = (cotgα + cotgβ)(cotgβ + cotgϕ)
Bµi 6: Cho ∆ABC , gọi G là trọng tâm tam giác, chứng minh:
cotgC cotg ·
AGB =

a2 + b2 + c2
6S

Qua vÝ dơ trªn ta thấy rằng nhờ các công thức của định lí cosin suy rộng ta có
thể áp dụng để giải đợc một lớp bài toán có chứa tang, cotang một cách đơn giản hơn
nhiều, tránh đợc sự lập luận dài dòng không đáng có.
ii, Gợi động cơ mở đầu hớng tới sự hoàn chỉnh và hệ thống.
Ví dụ: Một tam giác có thể hoàn toàn đợc xác định khi biết 3 yếu tố góc và
cạnh nó, từ đó 3 yếu tố còn lại của tam giác có thể tính đợc ta có thể giải đợc tam

giác trong các trờng hợp này.
Các trờng hợp giải đợc tam giác qui về các trờng hợp xác định đợc hoàn
toàn một tam giác khi biết 3 yếu tố góc và cạnh của nó. Từ đó dẫn tới việc giải tam
giác một cách hoàn chỉnh và hệ thống các trờng hợp trong đó ta biết 3 phần tử của
tam giác.
TH1: Biết một cạnh a và hai góc.
Biết góc còn lại biết ba gãc cđa tam gi¸c
⇒ b = sin B.
c = sin C.

a
sin A

(Từ định lí hàm sin trong tam giác)

a
sin A

TH2: Biết 2 cạnh và một góc
a, Biết 2 cạnh và góc kẹp giữa:
Chẳng hạn b, c, A
a = b 2 + c 2 2bc cos A

(Định lí cosin)