SKKN Giải bài toán Đại số bằng phương pháp hình học

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI:
"GIẢI BÀI TOÁN ĐẠI SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC"
1
Phần A: Đặt vấn đề
I.Lý do chọn đề tài
Trong chương trình toán phổ thông để giải quyết một bài toán chứng minh bất đẳng
thức,tìm GTLN-GTNN của hàm số,giải hệ phương trình vv chúng ta có thể vận dụng
nhiều phương pháp giải khác nhau.Mà mục đích của việc dạy học toán ở trường phổ
thông là làm sao bồi dưỡng cho học sinh cách suy nghĩ,tìm tòi làm phát triển tư duy nhận
thức,tư duy sáng tạo và năng lực vận dụng của học sinh và cần khuyến khích học sinh tư
duy bài toán bằng nhiều phương pháp khác nhau.Một trong những phương pháp đó là:
Vận dụng phương pháp hình học để giải bài toán đại số,giải tích
Để vận dụng được phương pháp hình học thì giáo viên giúp học sinh nhận biết những bài
toán nào thì nên dùng phương pháp hình học và vận dụng như thế nào để linh hoạt biến
tri thức đó thành tri thức của học sinh
Xuất phát từ những lý do trên tôi lựa chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm''GIẢI BÀI
TOÁN ĐẠI SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC''
II.Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của đề tài là góp phần nâng cao hiệu quả giảng dạy ứng dụng
phương pháp hình học để giải bài toán CM bất đẳng thức,tìm GTLN-GTNN của hàm
số,giải hệ phương trình Cho học sinh thấy mối quan hệ giữa hình học và đại số giải tích
theo hướng tích cực hóa hoạt động nhận thức của học sinh nhằm rèn luyện tư duy,khả
năng sáng tạo
Phần B: Giải quyết vấn đề
I.Thực trạng
2
Trong chương trình toán đại số phổ thông khi dạy học giáo viên ít khi sử dụng phương
pháp hình học nên học sinh ít được tiếp cận với phương pháp này,vì vận dụng tương đối
khó đối với học sinh đặc biệt là vận dụng để chứng minh BĐT mà chủ yếu dùng phương
pháp đại số với các công cụ như đạo hàm,BĐT quen thuộc vv.Điều này vô tình chúng ta

đã không cung cấp đầy đủ phương pháp làm toán cho học sinh
II.Phương pháp nghiên cứu
-Nghiên cứu các tài liệu sách giáo khoa có liên quan đến giải toán đại số và giải tích bằng
phương pháp hình học
-Lựa chọn các bài tập phù hợp với học sinh từ dễ đến khó
-Khảo sát thực tế ở lớp mình dạy
-Kiểm tra tính khả thi của những giải pháp được đưa ra trong đề tài
III. Các biện pháp thực hiện
1.Đưa ra điều kiện tiếp xúc của hai đường tròn để giải hệ phương trình
2.Ứng dụng để chứng minh BĐT,Tìm GTLN-GTNN của hàm số
GIẢI BÀI TOÁN ĐẠI SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC
1.Cho 2 đường tròn tâm I
1
bán kính R
1
và I
2
bán kính R
2
.Điều kiện để 2 đường tròn
tiếp xúc ngoài với nhau là I
1
I
2
= R
1
+ R
2
2.Cho đường tròn tâm I bán kính R và đường thẳng
∆

.Điều kiện để
∆
tiếp xúc với
đường tròn là d(
∆
,I)=R
Ví dụ 1:
3
Cho hệ phương trình
2 2
1x y
x y a

+ =

− =

Tìm a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất
Định hướng tư duy cho học sinh:
+Hãy xem phương trình (1) là phương trình đường tròn.Xác định tâm ,bán kính
+Hãy xem phương trình (2) là phương trình đường thẳng
+ĐK để đường thẳng tiếp xúc với đường tròn
Giải
Phương trình (1) là PT đường tròn đơn vị (C) có tâm O(0;0) bán kính R=1
Phương trình (2) là PT đường thẳng d
Vậy hệ có nghiệm duy nhất
⇔
d tiếp xúc với (C)
⇔
d(I;d)=R

⇔
1
2
a−
=
⇔
2a = ±
Kết luận: Với
2a = ±
thì hệ có nghiệm duy nhất
Ví dụ 2:
Tìm a để hệ sau có nghiệm duy nhất
2 2
2 2
( 1)
( 1)
x y a
x y a

+ + ≤


+ + ≤


Định hướng tư duy cho học sinh:
+ Tìm tập hợp các điểm M(x;y) thoả mãn BPT (1)
+ Tìm tập hợp các điểm M(x;y) thoả mãn BPT (2)
+Điều kiện để 2 đường tròn tiếp xúc ngoài với nhau?
4

(1)
(2)
Từ đó suy ra điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất
Giải
Các điểm M(x;y) thoả mãn BPT (1) nằm trong hình tròn tâm I(-1;0) bán kính =
a
Các điểm M(x;y) thoả mãn BPT (2) nằm trong hình tròn tâm J(0;-1) bán kính =
a
Để hệ có nghiệm duy nhất thì 2 đường tròn phải tiếp xúc nhau
⇔
IJ=
a
+
a
⇔
2
=2
a
⇔
a=
1
2
Ví dụ 3:
Cho hệ
2 2
( 1) ( 1) 2
0
x y
x y a


− + − ≤

− + =


Tìm a để hệ nghiệm đúng với mọi x
∈
[0,2]
Định hướng tư duy cho học sinh:
+ Tìm tập hợp các điểm (x;y) thoả mãn BPT (1)
+ Tìm tập hợp các điểm (x;y) thoả mãn PT (2)
Giải
Tập hợp các điểm (x;y) thoả mãn (1) là các điểm nằm trong và trên đường tròn tâm I(1;1)
Bán kính R=
2
Tập hợp các điểm (x;y) thoả mãn (2) là các điểm nằm trên đường thẳng
∆
có PT x-y+a=0
Giả sử a
∈
∆
sao cho x
A
=0 thì A(0;a), B
∈
∆
sao cho x
B
=2 thì B(2;2+a)
Để hệ có nghiệm với mọi x

∈
[0,2] thì đoạn thẳng AB nằm trong đường tròn (I;R).Lúc đó
5
(1)
(2)
2 2
2 2
(0 1) ( 1) 2
0
(2 1) (2 1) 2
IA R a
a
IB R
a

≤ − + − ≤


⇔ ⇔ =
 
≤
− + + − ≤



Ví dụ 4:
Cho a,b,c,d
∈
R thoã mãn a
2

+b
2
=1 và c+d =6
CM: c
2
+ d
2
-2ac-2bd
≥
18-
6 2
(1)
Giải
Trong hệ trục toạ độ Oxy vẽ đường tròn x
2
+y
2
=1 và đường thẳng x+y=6
(1)
⇔
( ) ( )
2 2
19 6 2c a d b− + − ≥ −
⇔
( ) ( )
( )
( )
2
2 2 2
2

3 2 1 ( ) 3 2 1c a d b c a d b− + − ≥ − ⇔ − + − ≥ −
2 2
( ) ( ) 3 2 1c a d b⇔ − + − ≥ −
Trên hệ toạ độ nếu M(c,d) thì M nằm trên đường thẳng.N(a,b) thì N nằm trên đường tròn
M

N K



6
I
Từ O kẻ đường thẳng OKI vuông góc
với đường thẳng.Trên đường tròn lấy điểm N,
Trên đường thẳng lấy điểm M bất kỳ thì
MN
≥
IK=OI-OK=
3 2 1−
(OI là khoảng cách từ O tới đường thẳng. OK là bán kính dường
tròn tâm O.Dấu = xảy ra khi M
≡
I,N
≡
K
⇔
c=d=3,a=b=
2
2
Nhận xét: Các ví dụ trên cho chúng ta thấy khi sử dụng phương pháp hình học( cụ thể là

vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn) thì lời giải của bài toán sẽ đơn giản hơn
nhiều
Ví dụ 5:Tìm GTNN của hàm số: y=
2 2 2 2
2 2 2 2x ax a x bx b− + + − +
với a,b là các hằng số
thoả mãn a<0 và b>0
Định hướng tư duy cho học sinh:
+Hãy biến đổi biểu thức dưới dấu căn thành hằng đẳng thức
+Liên hệ với công thức tính khoảng cách giữa 2 điểm
Giải
7
A M(x,0)b
a
b
a
B
Viết lại hàm số dưới dạng
2 2 2 2
( ) ( )y x a a x b b= − + + − +
Xét 3 điểm A(a;a), B(b;b), M(x;0)
Ta thấy A
∈
đường thẳng: x-y=0 (Góc phần tư thứ III)
B
∈
đường thẳng: x-y=0 (Góc phần tư thứ I)
M di động trên Ox
Ta có MA=
2 2

( )x a a− +
; MB=
2 2
( )x b b− +
Do đó
2 2 2 2
( ) ( )y x a a x b b= − + + − +
=MA+MB
≥
AB=
2
2( ) 2( )a b b a− = −
Vậy Miny=
2( )b a−
đạt được khi M trùng O
Nhận xét: Ta biến đổi 2 biểu thức tronh dấu căn để sử dụng được công thức tính khoảng
cách giữa 2 điểm.Chúng ta phải khéo léo chọn các điểm A,B,M để thoã mãn công thức
tính khoảng cách MA,MB,khi đó ta chuyển bài toán về bài toán hình học với mô tả trực
quan trên hình vẽ
Ví dụ 6:
Cho x;y thõa mãn x+2y-3=0.Tìm GTNN của x
2
+y
2
Giải
Xem PT x+2y-3=0 là PT đường thẳng
8
d
1 2
1

x t
y t
= −


= +

t
∈
R
Gọi M(x;y)
∈
d
⇒
M(1-2t;1+t) khi đó x
2
+y
2
=(1-2t)
2
+(1+t)
2
=5t
2
-2t+2
≥
9
5
Vậy Min(x
2

+y
2
)=
9
5
đạt được khi t=
1
5
⇒
M(
3 6
;
5 5
)
Ví dụ 7: Cho a,b,c
∈
[0;1] CM a+b+c
≤
1+ab+bc+c
Hướng dẫn
+ Từ giả thiết a,b,c
∈
[0;1] Ta vẽ tam giác đều ABC
cạnh =1. Đặt AM=a;BN=b;CP=c
+Hãy tính S
AMP
,S
BMN
,S
CNP

,S
ABC
Giải
Ta vẽ tam giác đều ABC cạnh =1
Đặt AM=a;BN=b;CP=c
Ta có S
AMP
+S
BMN
+S
CNP
≤
S
ABC

⇔
3 3
( (1 ) (1 ) (1 ))
2 2
a c b a c b− + − + − ≤
⇔
a(1-c)+b(1-a)+c(1-b)
≤
1
⇔
a+b+c
≤
1+ab+bc+ca
Dấu = xảy ra
⇔

1 trong các tam giác AMP,BMN,CNP trùng với tam giác ABC
9
M
P
C
N
B
A
Chẳng hạn nếu
∆
AMP
≡
∆
ABC thì M
≡
B và P
≡
C nên a=1,c=0,b tuỳ ý
Ví dụ 8:Cho các số thực a,b,c thuộc khoảng (0;1) chứng minh
a(1-b)+b(1-c)+c(1-a)<1
Hướng dẫn
+ Từ giả thiết a,b,c
∈
(0;1) Ta vẽ tam giác đều ABC
cạnh =1. Đặt AM=a; PC=b;BN=c
+Xem mỗi số hạng ở vế trái là tích độ dài 2 cạnh của một tam giác
+Hãy tính S
AMP
,S
BMN

,S
CNP
,S
ABC
a
b
c
Giải
10
B
A
M
N
C
P
Ta xem mỗi số hạng ở vế trái là tích độ dài 2 cạnh của một tam giác nên ta vẽ tam giác
đều ABC cạnh =1
Trên các cạnh AB,BC,CA lần lượt lấy các điểm M,N,P sao cho AM=a , PC=b, BN=c
Ta có S
AMP
+ S
BMN
+ S
CNP
< S
ABC

⇔
2S
AMP

+ 2S
BMN
+ 2S
CNP
< 2S
ABC
⇔

a(1-b)Sin60
0
+ c(1-a) Sin60
0
+

b(1-c) Sin60
0
<1.1 Sin60
0
⇔
a(1-b)+b(1-c)+c(1-a)<1
Nhận xét : Ta thấy nếu học sinh làm được ví dụ 7 thì ví dụ 8 với phương pháp cũng
tương tự,từ đó khắc sâu phương pháp cho học sinh
Ví dụ 9:Cho các số thực dương a,b,c với b>c Chứng minh
2 2 2 2
a b a c b c+ − + < −
Định hướng tư duy cho học sinh:
+Từ các biểu thức
2 2
a b+
và

2 2
a c+
ta có thể liên hệ với định lý Pitago trong tam giác
vuông
+
2 2
a b+
và
2 2
a c+
có chung giá trị a
2
nên ta dựng 2 tam giác vuông HAB và HBC có 2
cạnh góc vuông tương ứng là a,c và a,b
+Ta đưa về giải bài toán hình học phẳng
Giải
Ta dựng 2 tam giác vuông HAB và HBC có 2 cạnh góc vuông tương ứng là a,c và a,b
Khi đó ta có AB=
2 2
a c+
BC=
2 2
a b+
.Do b>c nên BC>AB , HC>AH
11
B
A
H
M
C

N
a
c b
Bài toán đưa về CM : BC-AB<HC-HA
Trên HC,BC lần lượt lấy các điểm M,N sao cho HM=AH,BN=AB
Ta có AB=BM=BN suy ra tam giác BMN cân tại B nên
1 1
ˆ ˆ
M N=
Mặt khác
0
1 2 1 2 3
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
180N N M M M+ = + + =
nên
2 3
ˆ ˆ
N M> ⇔
BC-AB<HC-HA đpcm
Ví dụ 10:Cho các số thực dương a,b,c Chứng minh
2 2 2 2
( )a b b c b a c+ + ≥ +
đẳng thức xảy ra khi nào?
Giải
A
Vẽ tam giác AHB vuông tại H với AH=a,BH=b
Trên tia đối của tia HA lấy điểm C sao cho HC=c.Nối B với C.Hạ AK vuông góc với BC
khi đó ta có 2S
ABC
=BH.AC=AK.BC

≤
AB.BC hay
12
C
K
B
H
b(a+c)
≤
2 2 2 2
.a b b c+ +
Dấu = xảy ra khi AK=AB
⇔

ˆ ˆ
K B=
⇔
Tam giác ABC vuông tại
B
⇔
b
2
=ac
3.Bài tập áp dụng
1.Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất
2 2
2 1
0
x y x
x y m


+ + ≤


− + =



2.Cho 3 số duơng t/m x.y.z(x+y+z)=4.Tìm GTNN của P=(x+y)(x+z)
Phần C: Kết luận
I. Kết quả
Đề tài này đã được thực hiện giảng dạy khi tôi tham gia dạy ôn thi đại học cho học
sinh lớp 12. Trong quá trình học đề tài này bước đầu học sinh thấy khó khăn nhưng qua
vài ví dụ các em thấy một bài toán có thể áp dụng nhiều phương pháp khác nhau trong đó
có phương pháp hình học, tạo cho học sinh niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở ra cho
học sinh cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo kiến thức đã học, tạo nền cho học
sinh tự học, tự nghiên cứu.
Để đánh giá kết quả vận dụng phương pháp này tôi đã thử nghiệm với cùng một nhóm
học sinh để làm 2 ví dụ
VD1. Tìm a để hệ sau có nghiệm
2 2
4 3 2 0x y
x y a
− + ≤


+ =

13
VD 2. Tìm a để hệ sau có nghiệm duy nhất

2 1
1
x y xy a
x y

+ + + ≥


+ ≤


Nhóm 1: ( Tổng số HS :15)

Dùng phương pháp đại số
Giỏi Khá TB Yếu Kém
SL % SL % SL % SL % SL %
0 0 4 26,7 9 53,3 3 20 0 0
Nhóm 2: ( Tổng số HS :15)
Dùng phương pháp hình học
Giỏi Khá TB Yếu Kém
SL % SL % SL % SL % SL %
3 20 7 44 5 36 0 0 0 0
II.Kết luận
- Sau khi học sinh học xong chuyên đề này học sinh thấy tự tin hơn, hứng thú hơn,
tạo cho học sinh niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở ra một cách nhìn nhận, vận dụng
linh hoạt, sáng tạo kiến thức đã học.Trang bị cho học sinh thêm một phương pháp để giải
toán,đa số học sinh sau khi học chuyên đề này khi làm toán đều có định hướng bài toán
theo phương pháp này (Tất nhiên tuỳ từng bài toán có thể áp dụng) vì đưa bài toán phức
14
tạp về bài toán hình học đơn giản hơn.Tạo niềm đam mê nghiên cứu và học tập cho các

em

15