SKKN Một số phương pháp giải bài toán tìm số phức có mô đun lớn nhất, nhỏ nhất

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI:
"MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN TÌM SỐ PHỨC CÓ
MÔ ĐUN LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT"
1
A.ĐẶT VẤN ĐỀ
I. LỜI NÓI ĐẦU
Số phức được đưa vào giảng dạy ở bậc phổ thông của nhiều nước trên thế giới, nhưng lại
là nội dung mới với học sinh trung học phổ thông ở Việt Nam, và thực sự gây không ít
khó khăn bởi nguồn tài liệu tham khảo hạn chế. Bên cạnh đó các bài toán về số phức
trong những năm gần đây không thể thiếu trong các đề thi tốt nghiệp trung học phổ
thông và Đại học, Cao đẳng. Đặc biệt việc giải bài toán “Tìm tập hợp các điểm trong mặt
phẳng biểu diễn số phức” không phải là bài toán quá khó đối với học sinh. Các em chỉ
cần nắm được kiến thức cơ bản về số phức: phần thực, phần ảo, môđun của số phức, các
phép toán về số phức kết hợp với kiến thức về phương trình đường thẳng, đường tròn,
đường Elíp, thì các em sẽ giải quyết tốt bài toán trên.Vấn đề là thông qua bài toán này
học sinh biết khai thác kiến thức cơ bản của bài toán trên, kết hợp vận dụng kiến thức về
bất đẳng thức, đạo hàm, lượng giác, bài toán cực trị trong hình học, để từ đó giải quyết
được bài toán “Tìm số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhất thoả mãn điều kiện cho
trước”. Trên cơ sở ấy các em có thể phát huy được sức sáng tạo và tư duy logíc của
mình. Riêng bản thân, ở mối tiết dạy, ở mỗi bài dạy tôi luôn trăn trở tìm ra những phương
pháp dạy học thích hợp để tác động tới từng đối tượng học sinh, và tìm mọi cách để xoá
bỏ việc tiếp thu kiến thức một cách thụ động. Đồng thời nâng cao trình độ tư duy và sức
sáng tạo của học sinh. Chính vì vậy mà tôi chọn đề tài “Một số phương pháp giải bài
toán tím số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhất” để viết sáng kiến kinh nghiệm.
II. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
1. Thực trạng:
Số phức là vấn đề hoàn toàn mới và khó đối với học sinh bậc trung học phổ thông hiện
nay. Vì mới đưa vào chương trình Sách giáo khoa nên có rất ít tài liệu về số phức để học
2
sinh và giáo viên tham khảo. Bên cạnh đó, lượng bài tập cũng như các dạng bài tập về số

phức trong Sách giáo khoa còn nhiều hạn chế. Chính vì vậy mà việc giảng dạy và học tập
của giáo viên và học sinh gặp không ít những khó khăn. Bài toán tìm tập hợp các điểm
trong mặt phẳng biểu diễn số phức z và bài toán tìm số phức z có môđun lớn nhất, nhỏ
nhất có quan hệ mật thiết vơi nhau. Trong quá trình giảng dạy phần nội dung này tôi
nhận thấy vẫn còn một số học sinh chưa giải quyết được bài toán tìm tập hợp các điểm
biểu diễn số phức mặc dù tập hợp các điểm cần tìm thông thường là đường thẳng, đường
tròn, đường Elíp, đường Hybebol, đường Parabol, Nhiều học sinh lại gặp rất nhiều khó
khăn khi giải quyết bài toán tìm số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhât. Để làm tốt được
bài toán này trước hết học sinh phải tìm được tập hợp các điểm biểu diễn số phức sau đó
áp dụng kiến thức về bất đẳng thức, đạo hàm, lượng giác, hình giải tích trong mặt phẳng:
đường thẳng, đường tròn, Elíp, để tù đó tìm ra được môđun số phức lớn nhất, nhỏ nhất.
2. Kết quả, hiệu quả của thực trạng:
Kết quả bài toán tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức thông thường là: đường thẳng,
đường tròn, đường Elíp, đường Hypebol, đường Parabol, nên khi giảng dạy cho học
sinh bài toán tìm số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhất nếu giáo viên biết khai thác kết
hợp với kiến thức về bất đẳng thưc, đạo hàm, lượng giác, hình học giải tich trong mặt
phẳng, thì sẽ tạo ra được nhiều cách giải khác nhau cho một bài toán. Cụ thể trong đề tài
này tôi đã hướng dẫn học sinh tư duy giải quyết bài toán trên theo nhiều cách giải khác
nhau: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn sẽ có 5 cách giải; tập hợp các
điểm biểu diễn z là đường thẳng có 4 cách giải; tập hợp các điểm bểu diễn số phức z là
Elíp có 3 cách giải.
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. Kiến thức cơ bản về số phức:
3
1. Một số phức là một biểu thức có dạng
yix +
, trong đó x, y là các số thực và số i thoả
mãn
1
1

−=i
. Ký hiệu số phức đó là z và viết
yixz +=
.
i được gọi là đơn vị ảo
x được gọi là phần thực.
y được gọi là phần ảo của số phức z = x +yi
Tập hợp các số phức ký hiệu là C.
2. Hai số phức bằng nhau.
Cho z = x + yi và z’ = x’ + y’i.
z = z’ ⇔





=
=
'
'
yy
xx
3. Biểu diễn hình học của số phức.
Mỗi số phức được biểu diễn bởi một điểm M(x;y) trên mặt phẳng toạ độ Oxy.
Ngược lại, mỗi điểm M(x;y) biểu diễn một số phức là z = x +ybi .
4. Phép cộng và phép trừ các số phức.
Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Ta định nghĩa:

' ( ') ( ')
' ( ') ( ')

z z a a b b i
z z a a b b i
+ = + + +


− = − + −

5. Phép nhân số phức.
Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Ta định nghĩa:

' ' ' ( ' ' )zz aa bb ab a b i
= − + −
6. Số phức liên hợp.
4
Cho số phức z = a + bi. Số phức
z
= a – bi gọi là số phức liên hợp với số phức
trên.
Vậy
z
=
a bi+
= a - bi
*) Tính chất của số phức liên hợp:
(1):
z z=
(2):
' 'z z z z+ = +
(3):
. ' . 'z z z z=

(4): z.
z
=
2 2
a b+
(z = a + bi )
7. Môđun của số phức.
Cho số phức z = a + bi . Ta ký hiệu
z
là môđun của số phư z, đó là số thực không
âm được xác định như sau:
- Nếu M(a;b) biểu diễn số phc z = a + bi, thì
z
=
OM
uuuuuv
=
2 2
a b+
- Nếu z = a + bi, thì
z
=
.z z
=
2 2
a b+
8. Phép chia số phức khác 0.
Cho số phức z = a + bi ≠ 0 (tức là a
2
+b

2
> 0 )
Ta định nghĩa số nghịch đảo z
-1
của số phức z ≠ 0 là số
z
-1
=
2
2 2
1 1
z z
a b
z
=
+
Thương
'z
z
của phép chia số phức z’ cho số phức z ≠ 0 được xác định như sau:
1
2
' '.
.
z z z
z z
z
z
−
= =

5
Với các phép tính cộng, trừ, nhân chia số phức nói trên nó cũng có đầy đủ tính chất
giao hoán, phân phối, kết hợp như các phép cộng, trừ, nhân, chia số thực thông thường.
II.Một số kiến thức áp dụng.
1. Bất đẳng thức: Bun-nhi-a-cốp-xki với 4 số thực
Với 4 số thực a, b, c, d ta có:
( )
( )( )
2222
2
dbcacdab ++≤+
Dấu đẳng thức xảy ra khi ad=bc
2. Định lý về dấu của tam thức bậc hai
3. Sự đồng biến nghịch biến của hàm số, bảng biến thiên
4.Giao điểm của đường thẳng và đường thẳng, đường thẳng và đường tròn.
5. Tính chất của hàm số lượng giác
III. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức thường gặp.
1. Phương trình đường thẳng: ax+by+c=0.
2. Phương trình đường tròn:
( ) ( )
2
22
Rbyax =−+−
.
3. Phương trình đường Elíp:
1
2
2
2
2

=+
b
y
a
x
.
IV. Các phương pháp tìm số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhất.
Tìm số phức z có môđun lớn nhất (hoạc nhỏ nhất) thoả mãn điều kiện cho trước.
Phương pháp chung:
Bước 1. Tìm tập hợp (G) các điểm biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện.
Bước 2.Tìm số phức z tương ứng với điểm biểu diễn M
)(G∈
sao cho khoảng cách OM có
giá trị lớn nhất (hoạc nhỏ nhất).
6
Dạng 1: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn ( 5
cách giải)
Ví dụ 1: Trong các số phức z thoả mãn điều kiên sau .Tìm số phức z có môđun lớn nhất,
nhỏ nhất.
1.
2 4 5z i− − =
2.
122 =+− iz
3.
2
1
2
=
−+
−+

iz
iz
4.
2
31
53
=
+−
−+
iz
iz
Lời giải
Cách 1: Giả sử điểm M(x;y) biểu diễn số phức z=x+yi. Khi đó:
2 2
2 2
2 4 5 ( 2) ( 4) 5 ( 2) ( 4) 5
( 2) ( 4) 5 (1)
z i x y i x y
x y
− − = ⇔ − + − = ⇔ − + − =
⇔ − + − =
Suy ra tập hợp điểm M(x;y) biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(2;4), bán kính
5R =
[ ]
2
2 2 2 2 2
( 2) ( 4) 4 8 20 4 8 15 4 ( 2) 2( 4) 25 (2)z OM x y x y x y x y x y= = + = − + − + + − = + − = − + − +
Áp dụng
Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki ta có:
2 2 2 2

( 2) 2( 4) (1 2 ) ( 2) ( 4) 5 5 ( 2) 4( 4) 5x y x y x y
 
− + − ≤ + − + − = ⇒ − ≤ − + − ≤
 
(3)
Từ (2), (3) ta suy ra:
5 3 5z≤ ≤
.Vậy:
min
max
1
5 1 2
2
3
3 5 3 6
6
x
z z i
y
x
z z i
y
=

= ⇔ ⇒ = +

=

=


= ⇔ ⇒ = +

=

Cách giải 2: (định lý về dấu của tam thức bậc 2)
Đặt
22
yxt +=
. Do
( ) ( )
)2(415542
22
22
yxyxyx +=++⇔=−+−
7
Ta có
( )
tyxyx .552
22
=+≤+
, Suy ra
5355415
2
≤≤⇔≤+ ttt
Vậy
min
max
1
5 1 2
2

3
3 5 3 6
6
x
z z i
y
x
z z i
y
=

= ⇔ ⇒ = +

=

=

= ⇔ ⇒ = +

=

Cách giải 3: ( Phương pháp lượng giác hóa)
Đặt
tytx cos54,sin52 =−=−

Tacó :
( ) ( )
( )
ttttyx cos2sin5425cos.54sin.52
22

22
++=+++=+
Do
5354555cos.2sin5
22
≤≤⇔≤+≤⇒≤+≤− zyxtt
Vậy
min
max
1
5 1 2
2
3
3 5 3 6
6
x
z z i
y
x
z z i
y
=

= ⇔ ⇒ = +

=

=

= ⇔ ⇒ = +


=

Cách giải 4. (Phương pháp hình học)
Giả sử M(x;y) là điểm biểu diễn số phức z.
khi đó
max
max
min
min
, OMzOMz ⇔⇔
Ta có phương trình đường thẳng OI là:
02 =− yx
.
Đường thẳng OI cắt (C) tai hai điểm phân biệt A, B có toạ độ là nghiệm của hệ phương
trình:
( ) ( )



==
==
⇔



=−
=−+−
2,6
1,3

02
542
22
yy
xx
yx
yx
)6;3(),2;1( BA⇒
Với mọi điểm M thuộc đường tròn (C) thì
OBOM ≤≤OA
Hay
535 ≤≤ z
Vậy:
8
min
max
1
5 1 2
2
3
3 5 3 6
6
x
z z i
y
x
z z i
y
=


= ⇔ ⇒ = +

=

=

= ⇔ ⇒ = +

=

Cách giải 5. (phương pháp hình học)
Đường thẳng OI cắt đường tròn (C) tại 2 điểm A, B như hình vẽ.
Ta có
⇔⇔
min
min
OMz
M trùng với điểm A trên (C) gần O nhất
Ta có
52164 =+=OI

Kẻ
OxAH
⊥
theo định lý ta lét ta có:
izOHAH
OI
OAAH
2112
2

1
52
552
4
+=⇒=⇒=⇒
=
−
==

⇔⇔
max
max
OMz
M trùng với điểm B trên (C) xa O nhất.
Kẻ
OxBK
⊥
, theo định lý ta lét ta có:
izOKBK
OB
OI
BK
6336
3
2
552
524
+=⇒=⇒=⇒
=
+

==
Các bài còn lại học sinh làm tương tự theo 5 cách giải trên
Đáp số:
2.
iziz
2
24
2
24
,
2
24
2
24 −
−
−
=
+
−
+
=
3.
( ) ( )
iziz 103,103 +−=+−=
4.
,
13
52
1
13

510
5,
13
52
1
13
510
5 iziz








−−−=








+−+=
9
4 I

A

A
x
B
K
y
O H
Dạng 2: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đưởng thẳng
( 4 cách giải)
Ví dụ2: Tìm z sao cho
z
đạt giá trị nhỏ nhất.Biết số phức z thỏa mãn điều kiện sau:
1.
( )( )
izizu 313 ++−+=
là số thực.
2.
( )
( )
izzu 21 +−=
là số thực.
3.
1
4
32
=
+−
−+
iz
iz

4.
iziz 32 −−=+
Lời giải
Cách giải 1: Giả sử
),( Ryxyixz ∈+=
( )( ) ( )( ) ( )
iyxyxyxiyxiyxu 426443113
22
+−++−++=−++−++=
Ta có
04yxR =+−⇔∈u
.
tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là dường thẳng (d):
04 =+− yx
.
Giả sử M(x;y) là điểm biểu diễn z thì
)(
min
min
dOMOMz ⊥⇔⇔
Ta được M(-2;2)
iz 22 +−=⇔
.
Cách giải 2. Ta có
( ) ( )
228224
22
222
≥++=++=+= xxxyxz
.

Vậy
izyxz 222222
min
+−=⇔=⇒−=⇔=
Cách giải 3.
( )
16824
2
2
222
++=++=+= xxxxyxz
Xét hàm số
1682
42
)(,1682)(
2
'2
++
+
=++=
xx
x
xfxxxf
10
izyxxfzxxf 2222)(20)(
min
min
'
+−=⇔=⇒−=⇔⇔⇒−=⇔=
Cách giải 4: Giả sử M(x;y) là điểm biểu diễn z = x+yi.

( )
( )
22
2
216404)( yxyxyxyxdM +≤−=⇒−=−⇔=+−⇒∈
izyxzyxzyx 22222228
min
2222
+−=⇔−=−=⇔=⇒≥+=⇒≥+⇒
.
Các bài còn lại học sinh làm tương tự theo 1 trong 4 cách trên
Đáp số: 2.
iz
5
2
5
4
+=
.
3.
iz
10
1
10
3
−=
4.
iz
5
6

5
3
+=
Dạng 3: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường Elíp
(3 cách giải)
Ví dụ 3: Tìm số phức z sao cho môđun của z đạt giá trị nhỏ nhất, lớn nhất.Biết số phức
z thoả mãn điều kiện:
1.
1 1 4z z+ + − =
. 2.
1044 =++− iziz
3.
622 =−++ zz
Lời giải
Trong mặt phẳng Oxy .Giả sử các điểm M,
1 2
,F F
lần lượt biểu số phức z, -1, 1. Suy
ra:

1
F M
uuuur
biểu diễn số phức z-(-1)=z+1 ;
2
F M
uuuur
biểu diễn số phức z-1.Với
1 2
,F F

nằm trên trục
thực Ox
-Khi đó điều kiện:
1 1 4z z+ + − =
1 2
4MF MF⇔ + =
và
1 2
2F F =
11
Vậy tập hợp các điểm M là Elip có trục lớn bằng 4 và trục bé bằng
2 3
Phương trình Elip trong mặt phẳng tọa độ Oxy là:
2 2
1
4 3
x y
+ =
Tìm z sao cho
maxmin
, zz
Cách giải 1: Ta có
4
3
2
22
x
yxOMz +=+==
Do
2 2

1
4 3
x y
+ =
231
4
0
2
≤≤⇒≤≤⇒ z
x
Vậy :
22
33
max
min
±=⇔=
±=⇔=
zz
izz
Cách giải 2: Giả sử M(x;y) là điểm biểu diễn z
1
34
22
=+⇒
yx
Khi đó:
24
34
4
44

4
2222
222
≤⇒=








+≤








+=+= OM
yxyx
yxOM
33
34
3
33
3
2222

222
≥⇒=








+≥








+=+= OM
yxyx
yxOM
Từ đó ta được
23 ≤≤ z
Vậy:
22
33
max
min
±=⇔=

±=⇔=
zz
izz
Cách giải 3:
Đặt
tytx cos3,sin.2 ==
,
[
)
π
2;0∈t
Ta có:
tttyxOM
222222
sin3cos3sin4 +=+=+=
Do
2343,1sin0
22
≤≤⇒≤≤⇒∀≤≤ zOMtt
.
12
Vậy:
22
33
max
min
±=⇔=
±=⇔=
zz
izz

Các bài còn lại học sinh làm tương tụ theo 1 trong 4 cách trên
Đáp số:
izzizz
izzzz
33,55.3
44,33.2
maxmin
maxmin
±=⇔=±=⇔=
±=⇔=±=⇔=
V. Kiểm chứng- so sánh.
Năm học 2011 -2012 , khi ôn luyện thi Đại học chuyên đề bài tập tìm tập hợp các điểm
biểu diễn số phức, số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhất, tôi có chia lớp thành 2 nhóm , 1
nhóm thực nghiệm , 1 nhóm đối chứng cho đề tài của mình với 3 dạng bài tập ,tôi đã thu
được kết quả sau :
Dạng 1(%) Dạng 2(%) Dạng 3(%)
G K TB <TB G K TB <TB G K TB <TB
Lớp
đối
chứng
12 25 47 16 30 10 33 27 8 16 12 36
lớp
thực
nghiệm
20 31 40 9 60 21 16 3 40 33 16 11
C. KẾT LUẬN
13
1.Kết quả thực hiện.
Qua 3 năm liên tục giảng dạy chương trình toán học 12 (2009 – 2010) , (2010 -2011) ,
(2011 – 2012), luyện thi Đại học cũng như bồi dưỡng học sinh giỏi tại trường THPT

Dương Đình Nghệ, khả năng tiếp thu và vận dụng các phương pháp trên để giải các bài
tập tìm số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhất đã mang lại những kết quả đáng mừng .
+ Số học sinh hiểu bài và vận dụng giải bài tập có hiệu quả cao dần thể hiện ở số lượng
cũng như chất lượng học sinh có điểm thi vào các trường Đại học , cao đẳng tăng .
+ Đa số học sinh tỏ ra tự tin khi giải quyết các bài tập về tìm số phức có môđun lớn nhất,
nhỏ nhất khi được tiếp cận với các phương pháp giải được nêu trong sáng kiến kinh
nghiệm.
+ Học sinh có thể tự chọn cho mình một cách giải bất kỳ trong các cách giải nêu trong
sáng kiến kinh nghiệm.
2 . Bài học kinh nghiệm
Qua đề tài này tôi đã phân dạng và xây dựng được mmọt số phương pháp giảng dạy
cho từng dạng phù hợp với từng đối tượng học sinh. Chính điều đó sẽ thuận lợi cho giáo
viên khi dạy tiết giải bài tập trong quá trình ôn thi tốt nghiệp THPT, cũng như luyện thi
Đại Học có tính thu hút cao .
Đề tài của tôi trên đây có thể còn mang màu sắc chủ quan, chưa hoàn thiện, do nhiều
hạn chế. Vì vậy tôi rất mong được sự đóng góp ý kiến quý báu của các Thầy Cô, các bạn
đồng nghiệp để ngày càng hoàn thiện hơn .
Xin chân thành cám ơn!
14