Các phương pháp giải bài toán tìm số phức có mô đun lớn nhất, nhỏ nhất.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT DƯƠNG ĐÌNH NGHỆ

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TỐN TÌM SỐ
PHỨC CĨ MƠĐUN LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT.

Người thực hiện: Nguyễn Lạnh Đơng
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc mơn: Tốn

THANH HOÁ NĂM 2013
1


BỐ CỤC ĐỀ TÀI
A. Đặt vấn đề
I. Lời nói đầu.
II. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu.

B. Giải quyết vấn đề
I. Kiến thức cơ bản về số phức.
II.Một số kiến thức áp dụng.
1. Bất đẳng thức: Bun-nhi-a-cốp-xki với 4 số thực
2. Định lý về dấu của tam thức bậc hai.
3. Sự đồng biến nghịch biến của hàm số, bảng biến thiên.
4.Giao điểm của đường thẳng và đường thẳng, đường thẳng và đường trịn.
5. Tính chất của hàm số lượng giác.
III. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức thường gặp.
1.Phương trình đường thẳng: ax+by+c=0.

2.Phương trình đường trịn: ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = R 2 .
3.Phương trình đường Elíp:

x2 y2
+
= 1.
a2 b2

IV. Các phương pháp tìm số phức có mơđun lớn nhất, nhỏ nhất.
Dạng 1: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn (5 cách giải)
Dạng 2: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đưởng thẳng(4cách giải)
Dạng 3: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường Elíp (3 cách giải)

2


A.ĐẶT VẤN ĐỀ
I. LỜI NÓI ĐẦU
Số phức được đưa vào giảng dạy ở bậc phổ thông của nhiều nước trên thế
giới, nhưng lại là nội dung mới với học sinh trung học phổ thông ở Việt Nam, và
thực sự gây khơng ít khó khăn bởi nguồn tài liệu tham khảo hạn chế. Bên cạnh
đó các bài tốn về số phức trong những năm gần đây không thể thiếu trong các
đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông và Đại học, Cao đẳng. Đặc biệt việc giải
bài tốn “Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn số phức” không phải
là bài tốn q khó đối với học sinh. Các em chỉ cần nắm được kiến thức cơ bản
về số phức: phần thực, phần ảo, môđun của số phức, các phép toán về số phức
kết hợp với kiến thức về phương trình đường thẳng, đường trịn, đường Elíp,...
thì các em sẽ giải quyết tốt bài tốn trên.Vấn đề là thơng qua bài toán này học
sinh biết khai thác kiến thức cơ bản của bài toán trên, kết hợp vận dụng kiến thức
về bất đẳng thức, đạo hàm, lượng giác, bài tốn cực trị trong hình học,.. để từ đó

giải quyết được bài tốn “Tìm số phức có mơđun lớn nhất, nhỏ nhất thoả mãn
điều kiện cho trước”. Trên cơ sở ấy các em có thể phát huy được sức sáng tạo
và tư duy logíc của mình. Riêng bản thân, ở mối tiết dạy, ở mỗi bài dạy tôi luôn
trăn trở tìm ra những phương pháp dạy học thích hợp để tác động tới từng đối
tượng học sinh, và tìm mọi cách để xoá bỏ việc tiếp thu kiến thức một cách thụ
động. Đồng thời nâng cao trình độ tư duy và sức sáng tạo của học sinh. Chính vì
vậy mà tôi chọn đề tài “Một số phương pháp giải bài tốn tím số phức có
mơđun lớn nhất, nhỏ nhất” để viết sáng kiến kinh nghiệm.
II. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
1. Thực trạng:

3


Số phức là vấn đề hồn tồn mới và khó đối với học sinh bậc trung học
phổ thông hiện nay. Vì mới đưa vào chương trình Sách giáo khoa nên có rất ít tài
liệu về số phức để học sinh và giáo viên tham khảo. Bên cạnh đó, lượng bài tập
cũng như các dạng bài tập về số phức trong Sách giáo khoa cịn nhiều hạn chế.
Chính vì vậy mà việc giảng dạy và học tập của giáo viên và học sinh gặp khơng
ít những khó khăn. Bài tốn tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn số
phức z và bài tốn tìm số phức z có mơđun lớn nhất, nhỏ nhất có quan hệ mật
thiết vơi nhau. Trong q trình giảng dạy phần nội dung này tơi nhận thấy vẫn
còn một số học sinh chưa giải quyết được bài tốn tìm tập hợp các điểm biểu
diễn số phức mặc dù tập hợp các điểm cần tìm thơng thường là đường thẳng,
đường trịn, đường Elíp, đường Hybebol, đường Parabol,...Nhiều học sinh lại
gặp rất nhiều khó khăn khi giải quyết bài tốn tìm số phức có mơđun lớn nhất,
nhỏ nhât. Để làm tốt được bài toán này trước hết học sinh phải tìm được tập hợp
các điểm biểu diễn số phức sau đó áp dụng kiến thức về bất đẳng thức, đạo hàm,
lượng giác, hình giải tích trong mặt phẳng: đường thẳng, đường trịn, Elíp, ...để
tù đó tìm ra được môđun số phức lớn nhất, nhỏ nhất.

2. Kết quả, hiệu quả của thực trạng:
Kết quả bài tốn tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức thông thường là: đường
thẳng, đường trịn, đường Elíp, đường Hypebol, đường Parabol,.. nên khi giảng
dạy cho học sinh bài tốn tìm số phức có mơđun lớn nhất, nhỏ nhất nếu giáo viên
biết khai thác kết hợp với kiến thức về bất đẳng thưc, đạo hàm, lượng giác, hình
học giải tich trong mặt phẳng,..thì sẽ tạo ra được nhiều cách giải khác nhau cho
một bài tốn. Cụ thể trong đề tài này tơi đã hướng dẫn học sinh tư duy giải quyết
bài toán trên theo nhiều cách giải khác nhau: Tập hợp các điểm biểu diễn số
phức z là đường trịn sẽ có 5 cách giải; tập hợp các điểm biểu diễn z là đường
thẳng có 4 cách giải; tập hợp các điểm bểu diễn số phức z là Elíp có 3 cách giải.
4


B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. Kiến thức cơ bản về số phức:
1. Một số phức là một biểu thức có dạng x + yi , trong đó x, y là các số thực và
số i thoả mãn i 1 = −1 . Ký hiệu số phức đó là z và viết z = x + yi .
i được gọi là đơn vị ảo
x được gọi là phần thực.
y được gọi là phần ảo của số phức z = x +yi
Tập hợp các số phức ký hiệu là C.
2. Hai số phức bằng nhau.
Cho z = x + yi và z’ = x’ + y’i.
x = x '

z = z’ ⇔ 
y = y'


3. Biểu diễn hình học của số phức.

Mỗi số phức được biểu diễn bởi một điểm M(x;y) trên mặt phẳng toạ độ Oxy.
Ngược lại, mỗi điểm M(x;y) biểu diễn một số phức là z = x +ybi .
4. Phép cộng và phép trừ các số phức.
Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Ta định nghĩa:

 z + z ' = (a + a ') + (b + b ')i

 z − z ' = (a − a ') + (b − b ')i
5. Phép nhân số phức.
Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Ta định nghĩa:
zz ' = aa '− bb '+ (ab '− a ' b)i
6. Số phức liên hợp.
Cho số phức z = a + bi. Số phức z = a – bi gọi là số phức liên hợp với số
phức trên.
Vậy z = a + bi = a - bi
*) Tính chất của số phức liên hợp:
(1): z = z
(2): z + z ' = z + z '
5


(3): z.z ' = z.z '
(4): z. z = a 2 + b2 (z = a + bi )
7. Môđun của số phức.
Cho số phức z = a + bi . Ta ký hiệu z là môđun của số phư z, đó là số
thực khơng âm được xác định như sau:

uuu
u uv

- Nếu M(a;b) biểu diễn số phc z = a + bi, thì z = OM = a 2 + b 2
- Nếu z = a + bi, thì z = z.z = a 2 + b 2
8. Phép chia số phức khác 0.
Cho số phức z = a + bi ≠ 0 (tức là a2+b2 > 0 )
Ta định nghĩa số nghịch đảo z-1 của số phức z ≠ 0 là số
1

1

z-1= a 2 + b2 z = z 2 z
Thương

z'
của phép chia số phức z’ cho số phức z ≠ 0 được xác định như sau:
z
z'
z '.z
= z.z −1 = 2
z
z

Với các phép tính cộng, trừ, nhân chia số phức nói trên nó cũng có đầy đủ
tính chất giao hoán, phân phối, kết hợp như các phép cộng, trừ, nhân, chia số
thực thông thường.
II.Một số kiến thức áp dụng.
1. Bất đẳng thức: Bun-nhi-a-cốp-xki với 4 số thực
Với 4 số thực a, b, c, d ta có: ( ab + cd ) 2 ≤ ( a 2 + c 2 )( b 2 + d 2 )
Dấu đẳng thức xảy ra khi ad=bc
2. Định lý về dấu của tam thức bậc hai
3. Sự đồng biến nghịch biến của hàm số, bảng biến thiên

4.Giao điểm của đường thẳng và đường thẳng, đường thẳng và đường tròn.

6


5. Tính chất của hàm số lượng giác
III. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức thường gặp.
1. Phương trình đường thẳng: ax+by+c=0.
2. Phương trình đường trịn: ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = R 2 .
x2 y2
3. Phương trình đường Elíp: 2 + 2 = 1 .
a
b

IV. Các phương pháp tìm số phức có mơđun lớn nhất, nhỏ nhất.
Tìm số phức z có mơđun lớn nhất (hoạc nhỏ nhất) thoả mãn điều kiện
cho trước.
Phương pháp chung:
Bước 1. Tìm tập hợp (G) các điểm biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện.
Bước 2.Tìm số phức z tương ứng với điểm biểu diễn M ∈(G ) sao cho
khoảng cách OM có giá trị lớn nhất (hoạc nhỏ nhất).
Dạng 1: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn
( 5 cách giải)
Ví dụ 1: Trong các số phức z thoả mãn điều kiên sau .Tìm số phức z có
mơđun lớn nhất, nhỏ nhất.
1. z − 2 − 4i = 5
3.

z +2−i
= 2

z +1− i

2. z − 2 + 2i = 1
4.

z + 3 − 5i
= 2
z − 1 + 3i

Lời giải
Cách 1: Giả sử điểm M(x;y) biểu diễn số phức z=x+yi. Khi đó:
z − 2 − 4i = 5 ⇔ ( x − 2) + ( y − 4)i = 5 ⇔ ( x − 2) 2 + ( y − 4) 2 = 5
⇔ ( x − 2) 2 + ( y − 4) 2 = 5 (1)

7


Suy ra tập hợp điểm M(x;y) biểu diễn số phức z là đường trịn tâm I(2;4), bán
kính R = 5
z = OM 2 = x 2 + y 2 = ( x − 2) 2 + ( y − 4) 2 + 4 x + 8 y − 20 = 4 x + 8 y − 15 = 4 [ ( x − 2) + 2( y − 4) ] + 25 (2)
2

Áp dụng Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki ta có:
( x − 2) + 2( y − 4) ≤ (12 + 22 ) ( x − 2) 2 + ( y − 4) 2  = 5 ⇒ −5 ≤ ( x − 2) + 4( y − 4) ≤ 5 (3)


5 ≤ z ≤3 5

Từ (2), (3) ta suy ra:

.Vậy:

x = 1
z min = 5 ⇔ 
⇒ z = 1 + 2i
y = 2
x = 3
z max = 3 5 ⇔ 
⇒ z = 3 + 6i
y = 6

Cách giải 2: (định lý về dấu của tam thức bậc 2)
Đặt t = x 2 + y 2 . Do ( x − 2) 2 + ( y − 4) 2 = 5 ⇔ x 2 + y 2 + 15 = 4( x + 2 y )
Ta có x + 2 y ≤ 5( x 2 + y 2 ) = 5.t , Suy ra t 2 + 15 ≤ 4 5t ⇔ 5 ≤ t ≤ 3 5
x = 1
z min = 5 ⇔ 
⇒ z = 1 + 2i
y = 2
Vậy
x = 3
z max = 3 5 ⇔ 
⇒ z = 3 + 6i
y = 6

Cách giải 3: ( Phương pháp lượng giác hóa)
Đặt x − 2 = 5 sin t , y − 4 = 5 cos t
Tacó : x 2 + y 2 = ( 2 + 5. sin t ) + ( 4 + 5. cos t ) = 25 + 4 5 ( sin t + 2 cos t )
2

2

Do − 5 ≤ sin t + 2. cos t ≤ 5 ⇒ 5 ≤ x 2 + y 2 ≤ 45 ⇔ 5 ≤ z ≤ 3 5

8


x = 1
z min = 5 ⇔ 
⇒ z = 1 + 2i
y = 2
Vậy
x = 3
z max = 3 5 ⇔ 
⇒ z = 3 + 6i
y = 6

Cách giải 4. (Phương pháp hình học)
Giả sử M(x;y) là điểm biểu diễn số phức z.
khi đó z min ⇔ OM min , z max ⇔ OM max
Ta có phương trình đường thẳng OI là: 2 x − y = 0 .
Đường thẳng OI cắt (C) tai hai điểm phân biệt A, B có toạ độ là nghiệm của
hệ phương trình:
( x − 2) 2 + ( y − 4 ) 2 = 5
 x = 3, x = 1
⇔
⇒ A(1;2), B (3;6)

 y = 6, y = 2
2 x − y = 0

Với mọi điểm M thuộc đường tròn (C) thì OA ≤ OM ≤ OB Hay 5 ≤ z ≤ 3 5
Vậy:
x = 1
z min = 5 ⇔ 
⇒ z = 1 + 2i
y = 2
x = 3
z max = 3 5 ⇔ 
⇒ z = 3 + 6i
y = 6

Cách giải 5. (phương pháp hình học)
Đường thẳng OI cắt đường tròn (C) tại 2 điểm A, B như hình vẽ.
Ta có z min ⇔ OM min ⇔ M trùng với điểm A trên (C) gần O nhất
Ta có OI = 4 + 16 = 2 5
Kẻ AH ⊥ Ox theo định lý ta lét ta có:

9


y

B

AH OA 2 5 − 5 1
=
=
=
4
OI

2
2 5
⇒ AH = 2 ⇒ OH = 1 ⇒ z = 1 + 2i
z max ⇔ OM max ⇔

4

I

A

M trùng với điểm B trên (C) xa O nhất.
Kẻ BK ⊥ Ox , theo định lý ta lét ta có:

O

H

x
K

A

4
OI
2 5
2
=
=
=

BK OB 2 5 + 5 3
⇒ BK = 6 ⇒ OK = 3 ⇒ z = 3 + 6i

Các bài còn lại học sinh làm tương tự theo 5 cách giải trên
Đáp số:
2. z =

4+ 2 4+ 2
−
i,
2
2

3. z = ( − 3 + 10 )i,
4. z = 5 +

10 5  2 5 
i,
− 1 +

13
13 



z=

4− 2 4− 2
−
i

2
2

(

)

z = − 3 + 10 i
z = 5−

10 5  2 5 
i,
− 1 −

13
13 



Dạng 2: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đưởng thẳng
( 4 cách giải)
Ví dụ2: Tìm z sao cho z đạt giá trị nhỏ nhất.Biết số phức z thỏa mãn điều
kiện sau:
1. u = ( z + 3 − i )( z + 1 + 3i ) là số thực.
2. u = ( z − 1) ( z + 2i ) là số thực.
3.

z + 2 − 3i
=1
z−4+i

10


4. z + i = z − 2 − 3i
Lời giải
Cách giải 1: Giả sử z = x + yi ( x, y ∈ R)
u = ( x + 3 + ( y − 1) i ) ( x + 1 + ( 3 − y ) i ) = x 2 + y 2 + 4 x − 4 y + 6 + 2( x − y + 4 ) i

Ta có u ∈ R ⇔ x − y + 4 = 0 .
tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là dường thẳng (d): x − y + 4 = 0 .
Giả sử M(x;y) là điểm biểu diễn z thì z min ⇔ OM min ⇔ OM ⊥ (d ) Ta được
M(-2;2) ⇔ z = −2 + 2i .
Cách giải 2. Ta có z = x 2 + y 2 = x 2 + ( 4 + x ) 2 = 2( x + 2) 2 + 8 ≥ 2 2 .
Vậy z min = 2 2 ⇔ x = −2 ⇒ y = 2 ⇔ z = −2 + 2i
Cách giải 3. z = x 2 + y 2 = x 2 + ( 4 + x ) 2 = 2 x 2 + 8 x + 16
2
'
Xét hàm số f ( x) = 2 x + 8 x + 16 , f ( x) =

2x + 4
2 x 2 + 8 x + 16

f ' ( x) = 0 ⇔ x = −2 ⇒ z min ⇔ f ( x) min ⇔ x = −2 ⇒ y = 2 ⇔ z = −2 + 2i

Cách giải 4: Giả sử M(x;y) là điểm biểu diễn z = x+yi.

(

M ∈ (d ) ⇒ x − y + 4 = 0 ⇔ x − y = −4 ⇒ 16 = ( x − y ) ≤ 2 x 2 + y 2

2

)

⇒ x 2 + y 2 ≥ 8 ⇒ z = x 2 + y 2 ≥ 2 2 ⇒ z min = 2 2 ⇔ x = − y = −2 ⇔ z = −2 + 2i .

Các bài còn lại học sinh làm tương tự theo 1 trong 4 cách trên
4
5

2
5

Đáp số: 2. z = + i .
3. z =

3 1
− i
10 10

11


3
5

6
5

4. z = + i

Dạng 3: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường Elíp
(3 cách giải)
Ví dụ 3: Tìm số phức z sao cho mơđun của z đạt giá trị nhỏ nhất, lớn
nhất.Biết số phức z thoả mãn điều kiện:
1. z + 1 + z − 1 = 4 .

2. z − 4i + z + 4i = 10

3. z + 2 + z − 2 = 6

Lời giải
Trong mặt phẳng Oxy .Giả sử các điểm M, F1 , F2 lần lượt biểu số phức z,
-1, 1. Suy ra:
u ur
uu
uur
uu
F1M biểu diễn số phức z-(-1)=z+1 ; F2 M biểu diễn số phức z-1.Với F1 , F2 nằm

trên trục thực Ox
-Khi đó điều kiện: z + 1 + z − 1 = 4 ⇔ MF1 + MF2 = 4 và F1F2 = 2
Vậy tập hợp các điểm M là Elip có trục lớn bằng 4 và trục bé bằng 2 3
x2 y 2
Phương trình Elip trong mặt phẳng tọa độ Oxy là: + = 1
4
3

Tìm z sao cho z min , z max
Cách giải 1: Ta có z = OM = x 2 + y 2 = 3 +

x2
4

x2 y 2
x2
+
=1 ⇒ 0 ≤
≤1⇒ 3 ≤ z ≤ 2
Do
4
3
4

Vậy :

z min = 3 ⇔ z = ± 3i
z max = 2 ⇔ z = ±2

12


Cách giải 2: Giả sử M(x;y) là điểm biểu diễn z ⇒
 x2

y2 

 x2

x2 y2
+

=1
4
3

y2 

2
2
2
Khi đó: OM = x + y = 4 +  ≤ 4 +  = 4 ⇒ OM ≤ 2
 4
 4
4 
3 





 x2 y2   x2 y2 
 ≥ 3 +
 = 3 ⇒ OM ≥ 3
OM 2 = x 2 + y 2 = 3 +
 3
3   4
3 

 


Từ đó ta được 3 ≤ z ≤ 2
Vậy:

z min = 3 ⇔ z = ± 3i
z max = 2 ⇔ z = ±2

Cách giải 3:
Đặt x = 2. sin t , y = 3 cos t , t ∈ [ 0;2π )
Ta có: OM 2 = x 2 + y 2 = 4 sin 2 t + 3 cos 2 t = 3 + sin 2 t
Do 0 ≤ sin 2 t ≤ 1, ∀t ⇒ 3 ≤ OM 2 ≤ 4 ⇒ 3 ≤ z ≤ 2 .
Vậy:

z min = 3 ⇔ z = ± 3i
z max = 2 ⇔ z = ±2

Các bài còn lại học sinh làm tương tụ theo 1 trong 4 cách trên
Đáp số:

2. z min = 3 ⇔ z = ±3, z max = 4 ⇔ z = ±4i
3. z min = 5 ⇔ z = ± 5i, z max = 3 ⇔ z = ±3i

13


V. Kiểm chứng- so sánh.
Năm học 2011 -2012 , khi ôn luyện thi Đại học chuyên đề bài tập tìm tập
hợp các điểm biểu diễn số phức, số phức có mơđun lớn nhất, nhỏ nhất, tơi có
chia lớp thành 2 nhóm , 1 nhóm thực nghiệm , 1 nhóm đối chứng cho đề tài của
mình với 3 dạng bài tập ,tôi đã thu được kết quả sau :
Dạng 1(%)

G
K TB
Dạng 2(%)
G
K TB
Dạng 3(%)
G
K TB
12

25

47

16

30

10

33

27

8

16

12

36

20

31

40

9

60

21

16

3

40

33

16

11

Lớp

đối
chứng
lớp
thực
nghiệm

C. KẾT LUẬN
1.Kết quả thực hiện.
Qua 3 năm liên tục giảng dạy chương trình toán học 12 (2009 – 2010) , (2010
-2011) , (2011 – 2012), luyện thi Đại học cũng như bồi dưỡng học sinh giỏi tại
trường THPT Dương Đình Nghệ, khả năng tiếp thu và vận dụng các phương
pháp trên để giải các bài tập tìm số phức có mơđun lớn nhất, nhỏ nhất đã mang
lại những kết quả đáng mừng .
+ Số học sinh hiểu bài và vận dụng giải bài tập có hiệu quả cao dần thể hiện ở số
lượng cũng như chất lượng học sinh có điểm thi vào các trường Đại học , cao
đẳng tăng .

14


+ Đa số học sinh tỏ ra tự tin khi giải quyết các bài tập về tìm số phức có môđun
lớn nhất, nhỏ nhất khi được tiếp cận với các phương pháp giải được nêu trong
sáng kiến kinh nghiệm.
+ Học sinh có thể tự chọn cho mình một cách giải bất kỳ trong các cách giải nêu
trong sáng kiến kinh nghiệm.
2 . Bài học kinh nghiệm
Qua đề tài này tôi đã phân dạng và xây dựng được mmọt số phương pháp
giảng dạy cho từng dạng phù hợp với từng đối tượng học sinh. Chính điều đó sẽ
thuận lợi cho giáo viên khi dạy tiết giải bài tập trong quá trình ôn thi tốt nghiệp
THPT, cũng như luyện thi Đại Học có tính thu hút cao .

Đề tài của tơi trên đây có thể cịn mang màu sắc chủ quan, chưa hồn thiện,
do nhiều hạn chế. Vì vậy tơi rất mong được sự đóng góp ý kiến quý báu của các
Thầy Cơ, các bạn đồng nghiệp để ngày càng hồn thiện hơn .
Xin chân thành cám ơn!
Thiệu Hoá, ngày 17 tháng 5 năm 2013
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
khơng sao chép nội dung của người khác

Xác nhận của Hiệu trưởng

Người viết đề tài

Nguyễn Lạnh Đông

15


16