SKKN toán 7_ Sự tương giao giữa đường thẳng và parabol

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI :
"SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ PARABOL"

A. ĐẶT VẤN ĐỀ
1.lí do chọn đề tài
1.1 Cơ sở lí luận:
Môn toán có vị trí đặc biệt quan trọng trong việc thực hiện mục tiêu chung của trương
THCS:Góp phần hình thành những con người có trình độ học vấn phổ thông cơ sở,đó là
những con người biết rèn luyện để có tính độc lập,có tư duy sáng tạo,phẩm chất đạo đức
để đáp ứng yêu cầu hiện nay.
Để thực hiện thành công nhiệm vụ đó phảI rèn cho học sinh phương pháp học tập
cũng như phương pháp giảng dạy giáo viên các bộ môn nói chung và môn toán nói riêng.
Chương trình toán rất rộng,các em được lĩnh hội nhiều kiến thức,các kiến thức đó lại
có mối liên hệ chặt chẽ với nhau.Do vậy khi học các em cần nắm vững kiến thức cơ bản
từ đó vận dụng chúng vào giảI các loại toán cụ thể.Để giúp các em học tập môn toán có
kết quả tốt có nhiều tài liệu sách báo đã nói tới.Giáo viên không chỉ nắm được kiến thức
mà điều cần thiết là phảI nắm được phương pháp một cách linh hoạt,truyền thụ kiến thức
một cách dễ hiểu nhất.
Yêu cầu của dạng toán sự tương giao của đường thẳng và parabol là học sinh phảI nắm
được cách vẽ đồ thị hàm số y=ax+b và đồ thị hàm số y=ax
2
(a≠0),biết cách giảI phương
trình bậc nhất một ẩn,phương trình bậc hai một ẩn đã học ở lớp 8 và lớp 9.
1.2 Lí do thực tiễn:
Trong tinh thần đỗi mới phương pháp dạy học đối với môn toán,việc hình thành tư duy
lôgíc,phát huy tính tích cực độc lập của học sinh là hết sức quan trọng,việc học tập các
phương pháp giải toán ,hình thành kĩ năng kĩ xão vận dụng các kiến thức toán học vào
giảI các dạng toán cụ thể là hết sức cần thiết.
Khi nghiên cứu việc học toán và giải toán của học sinh THCS có nhiều vấn đề cần
bàn,ở đay khi đi nghiên cứu thực tế và trao đổi với các đồng nghiệp dạy toán ở THCS mà

đặc biệt là giáo viên dạy toán 9 chúng tôI thấy loại toán về sự tương giao giữa đường
thẳng và đường thẳng,đường thẳng và parabol vẫn thường được đề cập tới trong các đề
thi vào THPT và các em thường gặp khó khăn:do không vẽ được đồ thị, hoặc chưa nắm
được nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn,điểm chung(nếu có) của hai đường
thẳng,đường thẳng và parabol chính là nghiệm của phương trình hoành dộ giao điểm.
2.Mục đích nghiên cứu:
Ngay từ khi là học sinh phổ thông các em cần thấy được vai trò to lớn của toán
học,giúp học sinh hoạt đọng hiệu quả trong mọim lĩnh vực nhờ kiến thức và phương pháp
toán học.Các bài toán về sự tương giao của hai đồ thị đặt ra cho các em nhiều thách thức
không nhỏ khi giảI các dạng toán này.
Với ý nghĩa đó tôI muốn phân tích bài toán chỉ ra bản chất của vấn đề giúp học sinh
hiểu và từ đó giảI được các bài toán dạng này để góp phần nâng cao hiệu quả dạy và học
toán ở trương THCS.
3.Phương pháp nghiên cứu:
3.1 Phương pháp nghiên cứu lí luận:đọc tài liệu và sách báo liên quan tới đồ thị hàm
số,phương trình bậc nhất một ẩn,phương trình bậc hai một ẩn…
3.2 Phương pháp điều tra: Ra câu hỏi cho học sinh.
3.3Phương pháp nghiên cứu:Quan sát học sinh học tập.
B.GiảI Quyết vấn đề:
VấN Đề 1:
Trước hết ta cần nhớ lại những liến thức cơ bản về sự tương giao của hai đường thẳng:
Cho (C) là đồ thị của hàm số y=f(x) và một điểm A(x
A;
y
A
) ta sẽ có:
A
( ) ( )
A A
C Y f X∈ ⇔ =

A
( ) ( )
A A
C Y f X∉ ⇔ ≠
Muốn tìm toạ độ điểm chung của đồ thị hàm số y=f(x) và y=g(x) ta tìm nghiệm của hệ
phương trình:
y=f(x)
y=g(x)



Vì vậy hoành độ giao điểm chung của hai đồ thị chính là nghịêm của hệ phương trình
trên.ta củng cần nhớ lại vị trí tương đối của hai đường thẳng:cho hai đường thẳng y=ax+b
(a
0
≠
) (D) y=
( 0)a x b a
′ ′ ′
+ ≠

( )D
′
phương trình hoành độ giao điểm chung của (D) và
( )D
′
là:
( )
a a x b b
′ ′

− = −
(1)
(D) //
( )D
′

⇔
phương trình (1) nghiệm
⇔
a=a
,
và b
≠
b
,
(D) trùng
( )D
′
⇔
phương trình(1) có vô số nghiêm
⇔
a=a
,
và b
≠
b
,
(D) cắt
( )D
′

⇔
phương trình(1) có một nghiệm
⇔
a
≠
a
,
Dạng1:Tìm toạ độ giao điểm của hai đường thẳng.
Ví dụ1: cho hai hàm số y=x+3 (d) và hàm số y=2x+1 (d
,
)
a)Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng một hệ trục toạ độ.
b)Tìm toạ độ giao điểm nếu có của hai đồ thị.
Nhận xét:gặp dạng toán này học sinh thường vẽ đồ thị hai hàm số trên rồi tìm toạ độ giao
điểm (x;y) tuy nhiên gặp những bài khi x và y không là số nguyên thì tìm toạ độ bằng đồ
thị sẽ gặp khó khăn khi tìm chính xác giá tri của x;y
GiảI:
a) vẽ đồ thị hai hàm số
b)Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình:x+3=2x+1
⇔
x=2 suy ra y=5
Ví dụ2:Cho 3 đường thẳng lần lượt có phương trình:
(D
1
) y=x+1
(D
2
) y=-x+3
(D
3

) y=(m
2
-1)x+m
2
-5 (với m
1)≠ ±
Xác định m để 3 đường thẳng (D
1
) ,(D
2
), (D
3
) đồng quy.
Nhận xét: 3 đường thẳng (D
1
) ,(D
2
), (D
3
) đồng quy tại một điểm nào đó chẳng hạn điểm
A(x;y) thì rỏ ràng x;y là một nghiệm của 3 phương trình trên hay x;y là nghiệm của
1
2
( )
( )
D
D






và là nghiệm của (D
3
)
Giải:
Hoành độ giao điểm B của (D
1
) ,(D
2
) là:-x+3=x+1
⇔
x=1 thay vào y=x+1suy ra y=2 để 3
đường thẳng đồng quy thì (D
3
)phảI đi qua điểm B nên ta thay x=1;y=2 vào phương trình
(D
3
) ta có: 2=(m
2
-1)1+m
2
-5
⇔
m
2
=4
⇔
m=2;m=-2.
Vậy với m=2;m=-2thì 3 đường thẳng (D

1
) ,(D
2
), (D
3
) đồng quy.
VẤN ĐỀ 2:Vị trí tương đối giữa đường thẳng (D) y=f(x) và parabol (P) y=g(x).
Ta cần nhớ lại hoành độ điểm chung của (D)và (P) là nghiệm của phương trình
f(x)= g(x) (2).phương trình(2) là phương trình bậc hai.Ta thấy:
(D) và (P) không có điểm chung
⇔
phương trình(2) vô nghiệm
⇔
0∆ <
D) tiếp xúc (P)
⇔
phương trình(2) có một nghiệm
⇔
0
∆ =
D) cắt (P) tại hai điểm
⇔
phương trình(2) có hai nghiệm
⇔
0∆ >
Sau đây là một số bài toán về sự biện luận giữa đường thẳng và parabol.
Dạng 1: Bài toán chứng minh
Chứng minh rằng:Đường thẳng (D):y=4x-3 tiếp xúc với parabol (P):
y=2x
2

-4(2m-1)x+8m
2
-3
Nhận xét:
Gặp dạng toán này học sinh sẽ lúng túng để tìm phương pháp giải vì học sinh không nắm
được đường thẳng (D):y=4x-3 tiếp xúc với parabol (P):
y=2x
2
-4(2m-1)x+8m
2
-3 tại một điểm thì điểm đó là nghiệm của hai phương trình vậy
phương trình hoành độ giao điểm bắt buộc phải có nghiệm kép từ đó ta có cách
giảI sau:
GiảI:
Hoành độ giao điểm chung của (D) và (P) là nghiệm của phương trình:
2x
2
-4(2m-1)x+8m
2
-3=4x-3
⇔
2x
2
-8mx+8m
2
=0
⇔
x
2
+4mx+4m

2
=0
Ta có:
2 2
16 16 0m m∆ = − =
với mọi giá trị của m nên Đường thẳng (D):y=4x-3 tiếp xúc với
parabol (P):y=2x
2
-4(2m-1)x+8m
2
-3
Dạng 2: Bài toán tìm điều kiện
Ví dụ:Chứng minh rằng đường thẳng (D):y=x+2m và parabol(P):y=-x
2
-x+3m
a)Với giá trị nào của m thì(D) tiếp xúc với parabol(P).
b) Với giá trị nào của m thì(D) cắt parabol(P)tại hai điểm phân biệt A và B.tìm toạ độ
giao điểm A và B khi m=3
Nhận xét:tương tự như ví dụ trên ta sẽ đi xét sự có nghiệm của phương trình bậc hai
nếu có một nghiệm thì (D) và (P) có một điểm chung còn nếu có hai nghiệm thì (D) và
(P) có hai điểm chung.
Giải:
a)Hoành độ giao điểm chung của (D) và (P) là nghiệm của phương trình:
-x
2
-x+3m=x+2m
⇔
-x
2
-2x+m=0

Đường thẳng (D) tiếp xúc với parabol (P)
⇔
phương trình (3) có nghiệm kép
⇔
0∆ =
⇔
4+4m=0
⇔
m=-1.
b) Đường thẳng (D) cắt parabol (P)
⇔
phương trình (3) có 2 nghiệm phân biệt
⇔
0
∆ >
⇔
4+4m>0
⇔
m>-1.
Khi m=3 thì hoành độ giao điểm của (D) và (P) là nghiệm của phương trình
-x
2
-2x+3=0
⇔
x=1 hoặc x=3
Từ đó suy ra toạ độ giao điểm A,B của (D) và (P) là:A(1;7) B(3;9).
Dạng 3:Lập phương trình tiếp tuyến
Ví dụ:Cho đường thẳng (D):y=ax+b tìm a và b biết:
a) đường thẳng (D) song song với đường thẳng 2y+4x=5 và tiếp xúc với parabol (P):y=-
x

2
b)Đường thẳng (D) vuông góc với đường thẳng x-2y+1=0 và tiếp xúc với parabol (P):y=-
x
2
c) đường thẳng (D) tiếp xúc với parabol(P):y=x
2
-3x+2 tại điểm C(3;2)
Nhận xét:ở đây học sinh cần nhớ điều kiện để hai đường thẳng song song va vuông góc
để tìm ra giá trị của a sau đó vận dụng kiến thức như dạng hai để giải
Giải:
a)Ta có: 2y+4x=5
⇔
y=-2x+5/2 nên phương trình đường thẳng (D) có dạng:
y=-2x+b (b
5
2
≠
) theo cách tìm của dạng 2 ta tìm được b=
1
4
Vậy phương trình đường thẳng (D) là:y=-2x+1/4
b)Ta có: x-2y+1=0
⇔
y=1/2x+1/2.Đường thẳng (D) vuông góc với đường thẳng có
phương trình:x-2y+1=0
⇔
a.1/2=-1
⇔
a=-2 suy ra (D):y=-2x+b
Theo cách làm của dạng 2,ta tìm được b=1.Vậy phương trình đường thẳng (D) có phương

trình là:y=-2x+1
c)Ta có:C(3;2)
∈
(D)
⇔
2=3a+b
⇔
b=2-3a
Theo cách làm của dạng 2 ta tìm được a=3 và suy ra b=-7 Vậy phương trình đường thẳng
(D) có phương trình là:y=3x-7
Dạng 4:Xác định toạ độ tiếp điểm.
Ví dụ:Cho parabol (P):y=x
2
-2x-3
Tìm các điểm trên (P) mà tiếp tuyến của (P) tại điểm đó song song với đường thẳng
(D):y=-4x.
Giải:
Gọi đường thẳng tiếp xúc với (P) là (d).
Do (d) song song với (D) nên d có dạng:y=-4x+b (b
0)≠
.Hoành độ điểm chung của (p) và
(d) là nghiệm của phương trình: x
2
-2x-3=-4x+b
⇔
x
2
+2x-3+b=0 (2)
Ta thấy: (d) tiếp xúc với (P)
⇔

phương trình (2) có nghiệm kép
⇔
0 4 0 4b b
′
∆ = ⇔ + = ⇔ = −
Khi đó nếu điểm A(x
0
;y
0
) là tiếp điểm của (P) và (d) thì(do A
( ); ( )p A d∈ ∈
nên ta có hệ
phương trình;
2
0
0 0 0
0
0 0
1
2 3
0
4 4
x
y x x
y
y x
= −

= − −



⇔
 
=
= − −



Dạng 5:Xác định parabol.
Ví dụ:Xác định parabol (P):y=ax
2
+bx+c thoả mãn:
a) (P) tiếp xúc với đường thẳng (D) :y=-5x+15 và đi qua hai điểm (0 ; -1) và
(4 ; -5).
b) (P) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 và cắt đường thẳng (D) : y = x - 1 tại
hai điểm có hoành độ là 1 và 3.
Giải : a) (P) đi qua hai điểm (0 ; -1) và (4 ; -5)
Do đó parabol (P) là đồ thị của hàm số
y = ax
2
- (1 + 4a)x - 1.
Hoành độ điểm chung của (D) và (P) là nghiệm phương trình :
ax
2
- (1 + 4a)x - 1 = -5x + 15
ax
2
- 4(a - 1)x - 16 = 0 (5)
Đường thẳng (D) tiếp xúc với parabol (P) <=> Phương trình (5) có nghiệm kép
<=> ∆’ = 0 <=> 4(a - 1)2 - 16a = 0

<=> (a + 1)2 = 0 <=> a = -1.
Do đó : a = -1 ; b = 3 và c = -1.
Vậy (P) là đồ thị hàm số y = -x2 + 3x - 1.
b) Parabol (P) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 nên (P) đi qua điểm (0 ; 2).
(P) cắt đường thẳng (D) : y = x - 1 tại hai điểm có hoành độ là 1 và 3 <=> Giao
điểm của (P) với đường thẳng (D) là : (1 ; 0) và (3 ; 2).
Vậy parabol (P) đi qua ba điểm (0 ; 2) ; (1 ; 0) và (3 ; 2) khi và chỉ khi
Do đó a = 1 ; b = -3 và c = 2.
C.Kết quả và kinh nghiệm
Trên đây là một vài kinh nghiệm nhỏ được rút ra từ thực tế sau 6 năm giảng dạy của
bản thân.Phần sự tương giao giữa đường thẳng và parabol còn nhiều bài toán và nhiều
dạng nữa nhưng với khả năng của mình tôI chỉ đề cập đến một số dạng toán cơ bản mà
các em thường gặp phảI trong các kỳ thi.
Với việc làm như đã nêu trên,bản thân tự nghiên cứu và áp dụng.Bước đầu tôi thấy
được kết quả như sau:
Trước khi thực hiện chuyên đề này tôI cho hoc sinh lớp 9D là lớp tôi trực tiếp giảng dạy
gồm 37 học sinh làm một bài toán giảI về sự tương giao của đường thẳng và đường
thẳng,đường thẳng và parabol tôI gghi lại kết quả theo dỏi như sau:
Điểm 9,10:
Điểm 5,6,7,8:
Điểm dưới trung bình:
Sau khi thực hiện chuyên đề này tôI thấy kết quả nâng lên rỏ rệt:
Điểm 9,10:
Điểm 5,6,7,8:
Điểm dưới trung bình:
Ngoài kết quả mà các em đã đạt được qua khảo sát tôi còn thu được một số kết quả còn
quan trọng hơn nhiều đó là:
-phần lớn học sinh đã say mê làm dạng toán này
-Các em không còn lúng túng khi gặp dạng toán về sự tương giao giữa các
đồ thị

-Các em có niềm tin say mê,hứng thú học toán,từ đó tạo cho các em tính độc
lập suy nghĩ
-Phát triễn tư duy lôgíc,óc quan sát,suy luận toán học.
-Trong quá trình giảI bài tập đã giúp các em có khả năng phân tích suy
ngẫm kháI quát vấn đề một cách chặt chẽ không ngại khó mà rất tự tin
vào
khả năng học tập của mình.
-Nhiều em học giỏi đã tìm ra các cách giải ngắn gọn hơn.
Tuy nhiên bên cạnh các kết quả đạt được như mong muốn thì vẫn còn một số
học
sinh yếu,lười học chưa có khả năng tự giảI bài toán.Đối với các em yếu đây là
một việc khó khăn.Một phần cũng là do khả năng học toán của các em còn nhiều
hạn
chế,mặt khác dạng toán này cũng khó,đòi hỏi tư duy nhiều ở các em.
Một yếu tố ảnh hưởng nữa đó là khả năng giảng dạy của một giáo viên trẻ còn
thiếu kinh nghiệm.
Những điều mà bản thân đã thực hiện trên mặc dầu chưa đạt được kết quả mĩ
mãn như tôi mong muốn,nhưng tôI nghĩ nó đã góp vào tinh thần đổi mới pháp
dạy và học mà nghành đang thực hiện.