Sáng kiến kinh nghiệm: Sự tương giao giữa đường thẳng và parabol

Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
--------------------
Sáng kiến kinh nghiệm
Tên đề tài:
Sự tơng giao giữa đờng
thẳng và parabol
**************

a. Đặt vấn đề
1.lí do chọn đề tài
1.1 Cơ sở lí luận:
Môn toán có vị trí đặc biệt quan trọng trong việc thực hiện mục tiêu chung của trơng
THCS:Góp phần hình thành những con ngời có trình độ học vấn phổ thông cơ sở,đó là những
con ngời biết rèn luyện để có tính độc lập,có t duy sáng tạo,phẩm chất đạo đức để đáp ứng
yêu cầu hiện nay.
Để thực hiện thành công nhiệm vụ đó phảI rèn cho học sinh phơng pháp học tập cũng nh
phơng pháp giảng dạy giáo viên các bộ môn nói chung và môn toán nói riêng.
Chơng trình toán rất rộng,các em đợc lĩnh hội nhiều kiến thức,các kiến thức đó lại có mối
liên hệ chặt chẽ với nhau.Do vậy khi học các em cần nắm vững kiến thức cơ bản từ đó vận
dụng chúng vào giảI các loại toán cụ thể.Để giúp các em học tập môn toán có kết quả tốt có
nhiều tài liệu sách báo đã nói tới.Giáo viên không chỉ nắm đợc kiến thức mà điều cần thiết là
phảI nắm đợc phơng pháp một cách linh hoạt,truyền thụ kiến thức một cách dễ hiểu nhất.
Yêu cầu của dạng toán sự tơng giao của đờng thẳng và parabol là học sinh phảI nắm đợc
cách vẽ đồ thị hàm số y=ax+b và đồ thị hàm số y=ax
2
(a0),biết cách giảI phơng trình bậc
nhất một ẩn,phơng trình bậc hai một ẩn đã học ở lớp 8 và lớp 9.
1.2 Lí do thực tiễn:
Trong tinh thần đỗi mới phơng pháp dạy học đối với môn toán,việc hình thành t duy
lôgíc,phát huy tính tích cực độc lập của học sinh là hết sức quan trọng,việc học tập các ph-

ơng pháp giải toán ,hình thành kĩ năng kĩ xão vận dụng các kiến thức toán học vào giảI các
dạng toán cụ thể là hết sức cần thiết.
Khi nghiên cứu việc học toán và giải toán của học sinh THCS có nhiều vấn đề cần bàn,ở
đay khi đi nghiên cứu thực tế và trao đổi với các đồng nghiệp dạy toán ở THCS mà đặc biệt
là giáo viên dạy toán 9 chúng tôI thấy loại toán về sự tơng giao giữa đờng thẳng và đờng
thẳng,đờng thẳng và parabol vẫn thờng đợc đề cập tới trong các đề thi vào THPT và các em
thờng gặp khó khăn:do không vẽ đợc đồ thị, hoặc cha nắm đợc nghiệm của phơng trình bậc
nhất hai ẩn,điểm chung(nếu có) của hai đờng thẳng,đờng thẳng và parabol chính là nghiệm
của phơng trình hoành dộ giao điểm.
2.Mục đích nghiên cứu:
Ngay từ khi là học sinh phổ thông các em cần thấy đợc vai trò to lớn của toán học,giúp
học sinh hoạt đọng hiệu quả trong mọim lĩnh vực nhờ kiến thức và phơng pháp toán học.Các
bài toán về sự tơng giao của hai đồ thị đặt ra cho các em nhiều thách thức không nhỏ khi giảI
các dạng toán này.
Với ý nghĩa đó tôI muốn phân tích bài toán chỉ ra bản chất của vấn đề giúp học sinh hiểu
và từ đó giảI đợc các bài toán dạng này để góp phần nâng cao hiệu quả dạy và học toán ở tr-
ơng THCS.
3.Phơng pháp nghiên cứu:
3.1 Phơng pháp nghiên cứu lí luận:đọc tài liệu và sách báo liên quan tới đồ thị hàm số,phơng
trình bậc nhất một ẩn,phơng trình bậc hai một ẩn
3.2 Phơng pháp điều tra: Ra câu hỏi cho học sinh.
3.3Phơng pháp nghiên cứu:Quan sát học sinh học tập.
B.GiảI Quyết vấn đề:
VấN Đề 1:
Trớc hết ta cần nhớ lại những liến thức cơ bản về sự tơng giao của hai đờng thẳng:
Cho (C) là đồ thị của hàm số y=f(x) và một điểm A(x
A;
y
A
) ta sẽ có:

A
( ) ( )
A A
C Y f X =
A
( ) ( )
A A
C Y f X
Muốn tìm toạ độ điểm chung của đồ thị hàm số y=f(x) và y=g(x) ta tìm nghiệm của hệ ph-
ơng trình:
y=f(x)
y=g(x)



Vì vậy hoành độ giao điểm chung của hai đồ thị chính là nghịêm của hệ phơng trình trên.ta
củng cần nhớ lại vị trí tơng đối của hai đờng thẳng:cho hai đờng thẳng y=ax+b (a
0

) (D)
y=
( 0)a x b a

+

( )D

phơng trình hoành độ giao điểm chung của (D) và
( )D

là:
( )
a a x b b

=
(1)
(D) //
( )D



phơng trình (1) nghiệm

a=a
,
và b

b
,
(D) trùng
( )D


phơng trình(1) có vô số nghiêm

a=a
,
và b

b

,
(D) cắt
( )D


phơng trình(1) có một nghiệm

a

a
,
Dạng1:Tìm toạ độ giao điểm của hai đờng thẳng.
Ví dụ1: cho hai hàm số y=x+3 (d) và hàm số y=2x+1 (d
,
)
a)Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng một hệ trục toạ độ.
b)Tìm toạ độ giao điểm nếu có của hai đồ thị.
Nhận xét:gặp dạng toán này học sinh thờng vẽ đồ thị hai hàm số trên rồi tìm toạ độ giao
điểm (x;y) tuy nhiên gặp những bài khi x và y không là số nguyên thì tìm toạ độ bằng đồ thị
sẽ gặp khó khăn khi tìm chính xác giá tri của x;y
GiảI:
a) vẽ đồ thị hai hàm số
b)Hoành độ giao điểm là nghiệm của phơng trình:x+3=2x+1

x=2 suy ra y=5
Ví dụ2:Cho 3 đờng thẳng lần lợt có phơng trình:
(D
1
) y=x+1
(D

2
) y=-x+3
(D
3
) y=(m
2
-1)x+m
2
-5 (với m
1)
Xác định m để 3 đờng thẳng (D
1
) ,(D
2
), (D
3
) đồng quy.
Nhận xét: 3 đờng thẳng (D
1
) ,(D
2
), (D
3
) đồng quy tại một điểm nào đó chẳng hạn điểm
A(x;y) thì rỏ ràng x;y là một nghiệm của 3 phơng trình trên hay x;y là nghiệm của
1
2
( )
( )
D

D





và là
nghiệm của (D
3
)
Giải:
Hoành độ giao điểm B của (D
1
) ,(D
2
) là:-x+3=x+1

x=1 thay vào y=x+1suy ra y=2 để 3 đ-
ờng thẳng đồng quy thì (D
3
)phảI đi qua điểm B nên ta thay x=1;y=2 vào phơng trình (D
3
) ta
có: 2=(m
2
-1)1+m
2
-5

m

2
=4

m=2;m=-2.
Vậy với m=2;m=-2thì 3 đờng thẳng (D
1
) ,(D
2
), (D
3
) đồng quy.
VấN Đề 2:Vị trí tơng đối giữa đờng thẳng (D) y=f(x) và parabol (P) y=g(x).
Ta cần nhớ lại hoành độ điểm chung của (D)và (P) là nghiệm của phơng trình
f(x)= g(x) (2).phơng trình(2) là phơng trình bậc hai.Ta thấy:
(D) và (P) không có điểm chung

phơng trình(2) vô nghiệm

0 <
D) tiếp xúc (P)

phơng trình(2) có một nghiệm

0
=
D) cắt (P) tại hai điểm

phơng trình(2) có hai nghiệm

0 >

Sau đây là một số bài toán về sự biện luận giữa đờng thẳng và parabol.
Dạng 1: Bài toán chứng minh
Chứng minh rằng:Đờng thẳng (D):y=4x-3 tiếp xúc với parabol (P):
y=2x
2
-4(2m-1)x+8m
2
-3
Nhận xét:
Gặp dạng toán này học sinh sẽ lúng túng để tìm phơng pháp giải vì học sinh không nắm đợc
đờng thẳng (D):y=4x-3 tiếp xúc với parabol (P):
y=2x
2
-4(2m-1)x+8m
2
-3 tại một điểm thì điểm đó là nghiệm của hai phơng trình vậy phơng
trình hoành độ giao điểm bắt buộc phải có nghiệm kép từ đó ta có cách
giảI sau:
GiảI:
Hoành độ giao điểm chung của (D) và (P) là nghiệm của phơng trình:
2x
2
-4(2m-1)x+8m
2
-3=4x-3

2x
2
-8mx+8m
2

=0

x
2
+4mx+4m
2
=0
Ta có:
2 2
16 16 0m m = =
với mọi giá trị của m nên Đờng thẳng (D):y=4x-3 tiếp xúc với
parabol (P):y=2x
2
-4(2m-1)x+8m
2
-3
Dạng 2: Bài toán tìm điều kiện
Ví dụ:Chứng minh rằng đờng thẳng (D):y=x+2m và parabol(P):y=-x
2
-x+3m
a)Với giá trị nào của m thì(D) tiếp xúc với parabol(P).
b) Với giá trị nào của m thì(D) cắt parabol(P)tại hai điểm phân biệt A và B.tìm toạ độ giao
điểm A và B khi m=3
Nhận xét:tơng tự nh ví dụ trên ta sẽ đi xét sự có nghiệm của phơng trình bậc hai
nếu có một nghiệm thì (D) và (P) có một điểm chung còn nếu có hai nghiệm thì (D) và (P) có
hai điểm chung.
Giải:
a)Hoành độ giao điểm chung của (D) và (P) là nghiệm của phơng trình:
-x
2

-x+3m=x+2m

-x
2
-2x+m=0
Đờng thẳng (D) tiếp xúc với parabol (P)

phơng trình (3) có nghiệm kép

0
=

4+4m=0

m=-1.
b) Đờng thẳng (D) cắt parabol (P)

phơng trình (3) có 2 nghiệm phân biệt

0 >

4+4m>0

m>-1.
Khi m=3 thì hoành độ giao điểm của (D) và (P) là nghiệm của phơng trình
-x
2
-2x+3=0

x=1 hoặc x=3

Từ đó suy ra toạ độ giao điểm A,B của (D) và (P) là:A(1;7) B(3;9).
Dạng 3:Lập phơng trình tiếp tuyến
Ví dụ:Cho đờng thẳng (D):y=ax+b tìm a và b biết:
a) đờng thẳng (D) song song với đờng thẳng 2y+4x=5 và tiếp xúc với parabol (P):y=-x
2
b)Đờng thẳng (D) vuông góc với đờng thẳng x-2y+1=0 và tiếp xúc với parabol (P):y=-x
2
c) đờng thẳng (D) tiếp xúc với parabol(P):y=x
2
-3x+2 tại điểm C(3;2)
Nhận xét:ở đây học sinh cần nhớ điều kiện để hai đờng thẳng song song va vuông góc để
tìm ra giá trị của a sau đó vận dụng kiến thức nh dạng hai để giải
Giải:
a)Ta có: 2y+4x=5

y=-2x+5/2 nên phơng trình đờng thẳng (D) có dạng:
y=-2x+b (b
5
2

) theo cách tìm của dạng 2 ta tìm đợc b=
1
4
Vậy phơng trình đờng thẳng (D) là:y=-2x+1/4
b)Ta có: x-2y+1=0

y=1/2x+1/2.Đờng thẳng (D) vuông góc với đờng thẳng có phơng
trình:x-2y+1=0

a.1/2=-1

a=-2 suy ra (D):y=-2x+b
Theo cách làm của dạng 2,ta tìm đợc b=1.Vậy phơng trình đờng thẳng (D) có phơng trình
là:y=-2x+1
c)Ta có:C(3;2)

(D)

2=3a+b

b=2-3a
Theo cách làm của dạng 2 ta tìm đợc a=3 và suy ra b=-7 Vậy phơng trình đờng thẳng (D) có
phơng trình là:y=3x-7
Dạng 4:Xác định toạ độ tiếp điểm.
Ví dụ:Cho parabol (P):y=x
2
-2x-3
Tìm các điểm trên (P) mà tiếp tuyến của (P) tại điểm đó song song với đờng thẳng (D):y=-
4x.
Giải:
Gọi đờng thẳng tiếp xúc với (P) là (d).
Do (d) song song với (D) nên d có dạng:y=-4x+b (b
0)
.Hoành độ điểm chung của (p) và (d)
là nghiệm của phơng trình: x
2
-2x-3=-4x+b

x
2

+2x-3+b=0 (2)
Ta thấy: (d) tiếp xúc với (P)

phơng trình (2) có nghiệm kép

0 4 0 4b b

= + = =
Khi đó nếu điểm A(x
0
;y
0
) là tiếp điểm của (P) và (d) thì(do A
( ); ( )p A d
nên ta có hệ phơng
trình;
2
0
0 0 0
0
0 0
1
2 3
0
4 4
x
y x x
y
y x
=

=




=
=



Dạng 5:Xác định parabol.
Ví dụ:Xác định parabol (P):y=ax
2
+bx+c thoả mãn:
a) (P) tiếp xúc với đờng thẳng (D) :y=-5x+15 v i qua hai im (0 ; -1) v
(4 ; -5).
b) (P) ct trc tung ti im cú tung bng 2 v ct ng thng (D) : y = x - 1 ti
hai im cú honh l 1 v 3.
Gii : a) (P) i qua hai im (0 ; -1) v (4 ; -5)
Do ú parabol (P) l th ca hm s
y = ax
2
- (1 + 4a)x - 1.