Su tuong giao giua duong thang va parabol

Chuyên đề: Sự t ơng giao giữa đ ờng thẳng và para bol
A. Phơng pháp:
Cho (C) là đồ thị của hàm số
( )
y f x=
và điểm
( )
;
A A
A x y
, ta có:
( )
( )
( )
( )
A A
A A
A y f x y f x
A y f x y f x
= =ẻ
=ẽ ạ
Toạ độ điểm chung của đồ thị hàm số
( )
y f x=
và
( )
y g x=
là nghiệm của hệ:
( )
( )
y f x

y g x
ỡ
=
ù
ù
ớ
=
ù
ù
ợ
Do đó: Hoành độ điểm chung của hai đồ thị chính là nghiệm của phơng trình:
( ) ( )
f x g x=
.
Từ đó tao có thể xét đợc vị trí tơng đối giữa hai đờng thẳng, vị trí tơng đối giữa đờng thẳng và
parabol:
(1). Vị trí tơng đối giữa hai đờng thẳng: (D): y = ax + b (a 0)
và (D): y = ax + b (a 0).
Phơng trình hoành độ điểm chung của (D) và (D) là: (a a)x = b b (1)
(D) //(D) (1) vô nghiệm a = a và b b.
(D) trùng (D) (1) có vô số nghiệm a = a và b = b.
(D) cắt (D) (1) có một nghiệm a a.
(D) vuông góc (D) a.a = 1.
(2). Vị trí tơng đối giữa đờng thẳng (D):
( )
y f x=
và parabol (P):
( )
y g x=
.

Hoành độ điểm chung của (D) và (P) là nghiệm của phơng trình:
( ) ( )
f x g x=
(2)
Phơng trình (2) là phơng trình bậc hai. Ta thấy:
(D) và (P) không có điểm chung PT (2) vô nghiệm
0<D
.
(D) tiếp xúc với (P) (2) có nghiệm kép
0=D
.
(D) cắt (P) tại hai điểm (2) có hai nghiệm phân biệt
0>D
.
B. Một số dạng bài tập:
Dạng 1: Bài toán chứng minh:
Bài 1: Chứng minh rằng đờng thẳng (D):
4 3y x= -
tiếp xúc với parabol (P):
( )
2 2
2 4 2 1 8 3y x m x m= - - + -
.
Bài giải:
Hoành độ điểm chung của (P) và (D) là nghiệm của phơng trình:
( )
2 2
2 2
2 2
2 4 2 1 8 3 4 3

2 8 8 0
4 4 0
x m x m x
x mx m
x mx m
- - + - = -
- + =
- + =
Ta có:
2 2
4 4 0m m= - =D
với mọi giá trị của m nên đờng thẳng (D) luôn tiếp xúc với
parabol (P).
Dạng 2: Bài toán tìm điều kiện:
Bài 2: Cho đờng thẳng (D):
( )
2y m x= -
và parabol (P):
2
2 4y x x m= - + +
.
a. Với giá trị nào của m thì (D) tiếp xúc với parabol (P).
b. Với giá trị nào của m thì (D) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B. Tìm toạ độ giao
điểm A và B khi
3
2
m = -
.
GV Nguyễn Hữu Hạnh Tr ờng THCS Lăng Thành Yên Thành Nghệ An
Bài giải:

a. Hoành độ điểm chung của (P) và (D) là nghiệm của phơng trình:
( )
( )
2
2
2 4 2
4 2 0 2
x x m m x
x x m
- + + = -
- - =
Đờng thẳng (D) tiếp xúc với parabol (P) (2) có nghiệm kép
0 4 2 0m= + =D
2m = -
.
b. (D) cắt (P) tại hai điểm (2) có hai nghiệm phân biệt
0 2m> > -D
.
Khi
3
2
m = -
thị hoành độ giao điểm A và B là nghiệm của phơng trình:
2 2
2 7
3
4 2. 0 4 3 0
2
2 7
x

x x x x
x
ộ
= +
ổ ử
ờ
ữ
ỗ
- - - = - + =
ờ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
= -ờ
ở
Từ đó suy ra toạ độ giao điểm A, B của (D) và (P) là:
( ) ( )
2 7; 1 2 7 ; 2 7; 1 2 7A B+ - - - - +
Dạng 3: Xác định toạ độ tiếp điểm.
Bài 3: Cho parabol (P):
2
2 3y x x= - -
. Tìm các điểm trên (P) mà tiếp tuyến của (P) tại điểm đó
song song với đờng thẳng (D): y = - 4x.
Bài giải:
Gọi đờng thẳng tiếp xúc với (P) là (d).
Do (d) song song với (D) nên (d) có dạng: y -4x + b (b 0)
Hoành độ điểm chung của (P) và (d) là nghiệm của phơng trình:

2 2
2 3 4 2 3 0x x x b x x b- - = - + + - - =
(4)
Ta thấy: (d) tiếp xúc với(P) Phơng trình (4) có nghiệm kép
' 0 4 0 4b b= + = = -D
.
Khi đó: Nếu A(x
0
; y
0
) là tiếp điểm của (P) và (d) thì (do A (P) và A (d)) ta có hệ ph-
ơng trình:
2
0
0 0 0
0
0 0
1
2 3
0
4 4
x
y x x
y
y x
ỡ
= -ỡ
= - -
ù
ù

ù
ù
ù

ớ ớ
=ù ù
= - -
ù ù
ợ
ù
ợ
.
Vậy tiếp điểm cần tìm là A(-1; 0).
Dạng 4: Lập phơng trình tiếp tuyến.
Bài 4: Cho đờng thẳng (D): y = ax + b. Tìm a và b biết:
a. Đờng thẳng (D) song song với đờng thẳng 2y + 4x = 5 và tiếp xúc với parabol (P): y =
-x
2
.
b. Đờng thẳng (D) vuông góc với đờng thẳng x - 2y +1 = 0 và tiếp xúc với parabol (P): y
= -x
2
.
c. Đờng thẳng (D) tiếp xúc với parabol (P): y = x
2
3x + 2 tại điểm C(3; 2).
Bài giải:
a. Ta có: 2y + 4x = 5
5
2

2
y x= - +
.
(D) song song với đờng thẳng 2y + 4x = 5 nên (D) có dạng y = -2x + b (b
5
2
).
Theo cách làm dạng 2 ta tìm đợc
1
4
b =
. Vậy đờng thẳng cần tìm có phơng trình là (D):
1
2
4
y x= - +
.
GV Nguyễn Hữu Hạnh Tr ờng THCS Lăng Thành Yên Thành Nghệ An
b. Ta có: x - 2y +1 = 0
1 1
2 2
y x= +
.
(D) vuông góc với đờng thẳng có phơng trình là x - 2y +1 = 0
1
. 1 2
2
a a= - = -
.
Suy ra: (D) có phơng trình: y = -2x + b.

Theo cách làm của dạng 2, ta tìm đợc b = 1.
Vậy phơng trình cần tìm là (D): y = -2x + 1.
c. (D) có dạng tổng quát là: y = ax + b.
Vì C(3; 2) (D) 2 = 3a + b b = 2 3a.
Khi đó phơg trình của (D) có dạng: y = ax + 2 3a.
Theo cách làm của dạng 2, ta tìm đợc a = 3 và suy ra b = -7.
Vậy đờng thẳng (D) có phơng trình là: y = 3x - 7.
Dạng 5: Xác định parabol.
Bài 5: Xác định parabol (P): y = ax
2
+ bx + c thoả mãn:
a. (P) tiếp xúc với đờng thẳng (D): y = -5x + 15 và đi qua điểm (0; -1) và (4; -5).
b. (P) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 và cắt đờng thẳng (D): y = x 1 tại hai
điểm có hoành độ là 1 và 3.
Bài giải:
a. Vì (P) qua các điểm (0; -1) và (4; -5) nên:
1 1
16 4 5 4 1
c c
a b c b a
= - = -ỡ ỡ
ù ù
ù ù

ớ ớ
ù ù
+ + = - = - -
ù ù
ợ ợ
.

Do đó, (P) có dạng: y = ax
2
+ (-4a - 1)x 1.
Vì (P) tiếp xúc với đờng thẳng (D): y = -5x + 15 phơng trình hoành độ điểm chung
giữa (P) và (D) là: ax
2
+ (-4a - 1)x 1 = -5x + 15 có nghiệm kép
phơng trình ax
2
+ (-4a + 4)x 16 = 0 có nghiệm kép

( ) ( )
2 2
2
' 0 4 1 16 0 2 1 4 0 1 0 1a a a a a a a= - + = - + + = + = = -D

Từ đó, suy ra: a = -1; b = 3; c = -1.
Vậy hàm số cần tìm là (P): y = -x
2
+ 3x 1.
b. Vì (P) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 nên đi qua điểm có toạ độ (0; 2)
c = 2.
Do đó, (P) có dạng: y = ax
2
+ bx + 2.
Hoành độ giao điểm của (P) và (D) là nghiệm của phơng trình:
ax
2
+ bx + 2 = x 1 ax
2

+ (b 1)x + 3 = 0. (5)
Vì (P) cắt đờng thẳng (D) tại hai điểm có hoành độ là 1 và 3 Phơng trình (5) có hai
nghiệm là 1 và 3
( )
1 3 0
1
2
3
3 0
9 1 3 3 0
a b
a
a b
b
a b
a b
ỡ
+ - + =
ỡ
=ỡ
+ = -
ù
ù ù
ù
ù
ù
ù

ớ ớ ớ
ù ù ù

= -
+ =
+ - + =
ù ù ù
ợ
ợ
ù
ợ
.
Vậy, (P) có phơng trình là: y = x
2
3x + 2.
GV Nguyễn Hữu Hạnh Tr ờng THCS Lăng Thành Yên Thành Nghệ An