SKKN Giúp học sinh khắc phục một số sai lầm thường gặp khi tính tích phân ở THPT

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI:
“GIÚP HỌC SINH KHẮC PHỤC MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG
GẶP KHI TÍNH TÍCH PHÂN’’
1
PHẦN I: MỞ ĐẦU
I. ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lý do chọn đề tài
Giải tích toán học còn gọi đơn giản là Giải tích. Giải tích là ngành toán học nghiên
cứu về các khái niệm: giới hạn, đạo hàm, nguyên hàm, tích phân Phép toán cơ bản của
giải tích là "phép lấy giới hạn"; Các yếu tố được nghiên cứu trong giải tích thường mang
tính chất "động" hơn là tính chất "tĩnh" như trong Đại số. Chính vì vậy mà phần lớn học
sinh THPT rất lúng túng và gặp khó khăn khi học Giải tích nói chung và Nguyên hàm,
Tích phân nói riêng. Bên cạnh đó, trong đề thi tốt nghiệp THPT, Đại học, Cao đẳng,
THCN và đề thi HSG tỉnh Thanh Hóa của các năm qua, bài toán liên quan đến tích phân
hầu như không thể thiếu và là bài toán không thuộc loại khó. Tuy nhiên đối với học sinh
thì vẫn coi tích phân là một trong những bài toán khó vì nó cần đến sự áp dụng linh hoạt
của định nghĩa, các tính chất, các phương pháp tính của tích phân.
Trong thực tế nhiều học sinh tính tích phân một cách hết sức máy móc đó là: Tìm một
nguyên hàm của hàm số cần tính tích phân bằng dùng công thức cơ bản hoặc phương
pháp đổi biến số hoặc phương pháp tích phân từng phần ngay mà rất ít học sinh để ý đến
nguyên hàm của hàm số tìm được có phải là nguyên hàm của hàm số đó trên đoạn lấy
tích phân hay không? Phép đặt biến mới trong phương pháp đổi biến số có nghĩa không?
Phép biến đổi hàm số có tương đương không? Vì thế trong quá trình tính tích phân học
sinh thường mắc phải những sai lầm dẫn đến lời giải sai. Qua thực tế giảng dạy và ôn thi
nhiều năm tôi nhận thấy rất rõ yếu điểm này của học sinh. Vì vậy tôi mạnh dạn đề xuất
sáng kiến: ‘‘Giúp học sinh khắc phục một số sai lầm thường gặp khi tính tích phân’’
2. Phạm vi nghiên cứu
Các dạng toán về nguyên hàm, tích phân mà học sinh dễ mắc sai lầm trong quá trình
tính toán trong chương III – Giải tích 12.
2

3. Đối tượng nghiên cứu
Học sinh lớp 12A1 và 12A6 ôn thi tốt nghiệp THPT, Đại học, Cao đẳng,
THCN và thi HSG tỉnh Thanh Hóa.
4. Mục tiêu nghiên cứu
Nhằm giúp học sinh khắc phục được những yếu điểm nêu trên từ đó đạt được kết quả
cao khi giải bài toán tích phân nói riêng và đạt kết quả cao trong quá trình học tập và các
kỳ thi nói chung.
II. THỰC TRẠNG
Khi học sinh học chương III “Nguyên hàm tích phân và ứng dụng” thường gặp phải
những khó khăn sau:
- Không nắm vững định nghĩa Nguyên hàm, Tích phân.
- Không nắm vững phương pháp đổi biến số.
- Không nắm vững phương pháp nguyên hàm (tích phân) từng phần
III. CÁC GIẢI PHÁP CỦA SÁNG KIẾN
Để khắc phục những khó khăn mà học sinh thường gặp phải, tôi đã thực hiện một số
giải pháp như sau:
- Đưa ra hệ thống lí thuyết, hệ thống các phương pháp giải.
- Lựa chọn các ví dụ, các bài tập cụ thể. Phân tích tỉ mỉ những sai lầm của học sinh
thường mắc phải, vận dụng hoạt động năng lực tư duy và kỹ năng vận dụng kiến thức của
học sinh để từ đó đưa ra lời giải đúng của bài toán.
- Thực nghiệm sư phạm
3
PHẦN II: NỘI DUNG
I. CƠ SỞ KHOA HỌC
1. Nguyên hàm
Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm
của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi x thuộc K.
Kí hiệu:
( ) x ( )f x d F x C= +
∫

Nhận xét: Khi bắt đầu học về nguyên hàm các em học sinh thường hay lúng túng và
hay bị nhầm với đạo hàm. Để tránh bị nhầm các em nên chú ý: “Để tính
( )f x dx
∫
ta cần
tìm một hàm số sao cho đạo hàm của nó bằng f(x)”
Tính chất: Các tính chất sau đây được suy ra trực tiếp từ định nghĩa
a)
( ( ) )' ( )f x dx f x=
∫
b)
( ) ( )kf x dx k f x dx
=
∫ ∫
c)
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx± = ±
∫ ∫ ∫
2. Tích phân
Định nghĩa: Ta có công thức Niu tơn – Laipnitz

b
b
a
a
f (x)dx F(x ) F(b) F(a)
= = −
∫
Tính chất
Tính chất 1:

b a
a b
f (x)dx f (x)dx
=−
∫ ∫
Tính chất 2:
b b
a a
kf (x)dx k f (x)dx=
∫ ∫
với k
∈
R
4
Tính chất 3:
[ ]
b b b
a a a
f (x) g(x) dx f (x)dx g(x)dx
± = ±
∫ ∫ ∫
Tính chất 4:
c b c
a a b
f (x)dx f (x)dx f (x)dx
= +
∫ ∫ ∫
Ngoài ra còn dựa trên nguyên tắc quá trình nhận thức của con người đi từ: ‘‘Cái sai
đến cái gần đúng rồi mới đến cái đúng’’, các nguyên tắc dạy học và đặc điểm quá trình
nhận thức của học sinh

II. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN
Việc tính nguyên hàm của một hàm số là là một quá trình ngược lại của đạo hàm. Do
vậy mà ở đây tôi sẽ đưa ra 3 phương pháp có tính đường lối. Nó được dẫn dắt từ đạo
hàm của hàm hợp và đạo hàm của hai hàm.
Đó là các phương pháp:
- Sử dụng các nguyên hàm cơ bản
- Phương pháp đổi biến số
- Phương pháp tính Tích phân từng phần.
III. NỘI DUNG CỤ THỂ
Một số sai lầm của học sinh khi tính tích phân
1. Tính tích phân bằng việc sử dụng các nguyên hàm cơ bản
Bằng việc sử dụng các nguyên hàm của các hàm số sơ cấp. chúng ta có thể xác định
được các nguyên hàm từ đó tính được các giá trị các tích phân.
* Bảng các nguyên hàm của các hàm số sơ cấp thường gặp
1
x
x dx C
1
α+
α
= +
α +
∫
(
α
≠
-1)
1
1 (ax b)
(ax b) dx C

a 1
α+
α
+
+ = +
α +
∫
(
α
≠
-1)
1
dx ln x C
x
= +
∫
1 1
dx ln ax b C
ax b a
= + +
+
∫
5
x x
e dx e C
= +
∫
ax b ax b
1
e dx e C

a
+ +
= +
∫
x
x
a
a dx C
lna
= +
∫
mx n
mx n
1 a
a dx C
m lna
+
+
= +
∫
cosx.dx sin x C= +
∫
1
cos(ax b)dx sin(ax b) C
a
+ = + +
∫
sin x.dx cosx C= − +
∫
1

sin(ax b)dx cos(ax b) C
a
+ = − + +
∫
2
1
.dx tan x C
cos x
= +
∫
2
1 1
dx tan(ax b) C
cos (ax b) a
= + +
+
∫
2
1
.dx cot x C
sin x
= − +
∫
2
1 1
dx cot x C
sin (ax b) a
= − +
+
∫

* Bài tập minh họa
Bài tập 1: Tính tích phân sau: I =
∫
−
5
0
4
)4(x
dx
Sai lầm thường gặp: Nhiều học sinh thường mắc sai lầm như sau:
I =
∫
−
5
0
4
)4(x
dx
=
5
2
0
( 4)
( 4)
d x
x
−
−
∫
= -

3
1
3( 4)x −
5
0
= -
65
192
Nguyên nhân sai lầm: Hàm số y =
4
1
( 4)x −
không xác định tại x = 4
[ ]
0;5∈

suy ra hàm số không liên tục trên
[ ]
0;5
nên không sử dụng được công thức
Newtơn – Leibnitz như cách giải trên.
Lời giải đúng: Hàm số y =
4
1
( 4)x −
không xác định tại x = 4
[ ]
0;5∈
suy ra hàm số
không liên tục trên

[ ]
0;5
do đó tích phân trên không tồn tại.
Bài tập 2.(Đề thi HSG tỉnh Thanh hóa năm 2006-2007)
6
Cho tích phân
0
s 2
2cos2
n
in nx
I dx
a x
π
=
−
∫
,
∀
n∈
*
N
. Tìm
a
sao cho
2006 2007 2008
, , I I I
theo thứ tự
ấy lập thành cấp số cộng
Sai lầm thường gặp: Nhiều học sinh thường mắc sai lầm như sau:

Ta có:
2008 2006
0
s 2.2008 s 2.2006
2cos2
in x in x
I I dx
a x
π
+
+ =
−
∫

( )
0 0
s 4014 cos2
2s 4014 cos2
2cos2 2cos2
in x a x a
in x x
dx dx
a x a x
π π
− −
= = −
− −
∫ ∫

2007
0
0 0
2007
s 2.2007 cos4014
s 4014
2cos2 4014
in x x
in xdx a dx aI
a x
aI
π
π π
= − + = +
−
=
∫ ∫
Thoả mãn yêu cầu bài toán khi
2a =
Nguyên nhân sai lầm: Vì hàm số f(x) =
s 2
2cos2
in nx
a x−
không liên tục tại a = 2 trên
[ ]
0;Π
nên tích phân không tồn tại
Lời giải đúng:
Điều kiện tồn tại

n
I
: Phương trình
2 2 0cosa x− =
vô nghiệm trên
[ ]
0;
π

1
2
a
⇔ >

2a⇔ >
.
Khi đó đặt
t x
π
= −
.
Ta có
( )
2 2 2, sin sin sindx dt nx nt nt= − = − = −
,
2 2cos cosx t=
và đổi cận ta được

0
0 0

2 2 2
2 2 2
n n
nt nt nx
I dt dt dx I
a t a t a x
π π
π
= = − = − = −
− − −
∫ ∫ ∫
sin sin sin
cos cos cos


0
n
I⇔ =
,
∀
n∈
*
N
Suy ra: Thoả mãn yêu cầu bài toán khi
2a >
.
7
Chú ý đối với học sinh:
Khi tính
( )

b
a
f x dx
∫
cần chú ý xem hàm số y = f(x) có liên tục trên
[ ]
ba;
không? nếu có thì
áp dụng phương pháp đã học để tính tích phân đã cho còn nếu không thì kết luận ngay
tích phân này không tồn tại.
* Một số bài tập tương tự:
Tính các tích phân sau:
1/ I
1
=
∫
−
+
2
2
2
)1(x
dx
2/ I
2
=
dxxx
2
1
3

2
2
)1( −
∫
−
.
3/ I
3
=
dx
x
∫
2
0
4
cos
1
π
4/ I
4
=
2 3
1
3
1
x
x x e
dx
x
−

−
∫
Chú ý: Trong dạng toán này có những bài toán khó. Các bạn thường phải áp dụng
phương pháp hệ số bất đinh để làm. Xét dạng như sau
Tính tích phân
( )
( )
b
a
P x
I dx
Q x
=
∫
với P(x) và Q(x) là đa thức của x.
• Nếu bậc của P(x) lớn hơn hoặc bằng bậc của Q(x) thì dùng phép chia đa thức.
• Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x) thì có thể xét các trường hợp:
+ Khi Q(x) chỉ có nghiệm đơn
1 2
, , ,
n
α α α
thì đặt

1 2
1 2
( )

( )
n

n
A
A A
P x
Q x x x x
α α α
= + + +
− − −
.
+ Khi
( )
( )
2 2
( ) , 4 0Q x x x px q p q
α
= − + + ∆ = − <
thì đặt
2
( )
.
( )
P x A Bx C
Q x x x px q
α
+
= +
− + +
8
+ Khi
( ) ( )

2
( )Q x x x
α β
= − −
với α ≠ β thì đặt
( )
2
( )
( )
P x A B C
Q x x x
x
α β
β
= + +
− −
−
Khi đó ta phải thiết lập các hệ phương trình để đi tìm A, B, C, A
1,
A
2
,…,A
n
rồi thay vào
tích phân để tính một cách đơn giản hơn
2. Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số:
Giả sử ta cần phải tìm
( )f u du
∫
. Trong nhiều trường hợp một cách thuận lợi ta coi u

như một hàm liên tục và có đạo hàm theo một biến mới là x. Như vậy việc tìm
( )f u du
∫
đưa về việc tìm
( ( )) '( )f u x u x dx
∫
một cách đơn giản hơn.
Bài tập 1. Tính tích phân
1
2
0
I 1 x dx
= −
∫
Sai lầm thường gặp:
Đặt x = sint
⇒
dx = costdt

1
1 1 1
2 2
0
0 0 0
1 os2 sin 2 1 1
1 sin .cos . os . . ( ) sin2
2 2 4 2 4
c t t t
I t t dt c t dt dt
+

⇒ = − = = = + = +
∫ ∫ ∫
Nguyên nhân sai lầm: học sinh đổi biến nhưng không đổi cận
Lời giải đúng: Đặt x = sint suy ra dx = cost.dt
Đổi cận:
x 0 t 0;x 1 t
2
π
= ⇒ = = ⇒ =

2 2 2
2
2 2
0
0 0 0
1 os2 sin 2
1 sin .cos . os . . ( )
2 2 4 4
c t t t
I t t dt c t dt dt
π π π
π
π
+
⇒ = − = = = + =
∫ ∫ ∫
Bài tập 2: Tính tích phân: I =
∫
+
π

0
sin1 x
dx
9
Sai lầm thường gặp: Đặt t = tan
2
x
thì dx =
2
1
2
t
dt
+
;
xsin1
1
+
=
2
2
)1(
1
t
t
+
+

⇒
∫

+ x
dx
sin1
=
∫
+
2
)1(
2
t
dt
=
∫
−
+
2
)1(2 t
d(t+1) =
1
2
+t
+ c

⇒
I =
∫
+
π
0
sin1 x

dx
=
2
tan 1
2
x
−
+
π
0
=
2
tan 1
2
π
−
+
-
2
tan 0 1+
do tan
2
π
không xác định nên tích phân trên không tồn tại

Nguyên nhân sai lầm:
Đặt t = tan
2
x
, với x

[ ]
π
;0∈
tại x =
π
thì tan
2
x
không có nghĩa.
Lời giải đúng:
I =
∫
+
π
0
sin1 x
dx
=
∫∫






−=







−






−
=






−+
π
π
π
π
π
π
π
0
0
2
0
42

42
cos
42
2
cos1
x
tg
x
x
d
x
dx
= tg
2
44
=






−
−
ππ
tg
* Chú ý đối với học sinh:
Đối với phương pháp đổi biến số khi đặt t = u(x) thì u(x) phải là một hàm số liên tục và
có đạo hàm trên
[ ]

ba;
.
* Một số bài tập tương tự:
Tính các tích phân sau:
1/ I
1
=
2
0
sin 2
dx
x
Π
∫
2/ I
2
=
∫
+
π
0
cos1 x
dx
Bài tập 3: Tính tích phân: I =
8
2
0
12 36x x− +
∫
dx

Sai lầm thường gặp:
10
I =
8
2
0
12 36x x− +
∫
dx
=
( ) ( ) ( )
( )
2
8 8
2
8
0
0 0
6
6 6 6 2 18 16
2
x
x dx x d x
−
− = − − = = − = −
∫ ∫
Nguyên nhân sai lầm:
Phép biến đổi
( )
2

6 6x x− = −
với x
[ ]
0;8∈
là không tương đương.
Lời giải đúng:
I =
8
2
0
12 36x x− +
∫
dx
=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
8 8 6 8
2
0 0 0 6
6 6 6 6 6 6 6x dx x d x x d x x d x
 
− = − − = − − − + − −
 ∫ ∫ ∫ ∫
= -
( ) ( )
2 2
6 8
0 6
6 6
18 2 20
2 2

x x− −
+ = + =
* Chú ý đối với học sinh:

( )( ) ( )
xfxf
n
n
=
2
2

( )
Nnn ∈≥ ,1
I =
( )( )
=
∫
b
a
n
n
xf
2
2
( )
dxxf
b
a
∫

ta phải xét dấu hàm số f(x) trên
[ ]
ba;
rồi dùng tính chất tích phân
tách I thành tổng các phần không chứa dấu giá trị tuyệt đối rồi mới tính
Một số bài tập tương tự:
1/ I
1
=
100
0
1 os2c x
π
−
∫
dx ; 2/ I
2
=
4
3 2
0
4 4x x x− +
∫
dx
3/ I
3
=
∫







−+
2
2
1
2
2
2
1
x
x
dx 4/ I
4
=
∫
−+
3
6
22
2cot
π
π
xgxtg
dx
11
Bài tập 4: Tính I =
1

2
2
4 5
dx
x x
−
−
+ +
∫
Sai lầm thường gặp:
I =
( )
( )
( )
1
1
2
2
2
2
arctan 2 arctan0 arctan1
4
2 1
d x
x
x
π
−
−
−

−
+
= + = − =
+ +
∫
Nguyên nhân sai lầm :
Đáp số của bài toán thì không sai. Nhưng khái niệm hàm ngược bây giờ không đưa vào
chương trình THPT.
Lời giải đúng:
Đặt x + 2 = tant
( )
2
1 tandx t dt⇒ = +
Đổi cận : với x = -2 thì t = 0; với x = -1 thì t =
4
π
Khi đó I =
( )
2
4 4
4
0
2
0 0
1 tan
tan 1 4
t dt
dt t
t
π π

π
π
+
= = =
+
∫ ∫
* Chú ý đối với học sinh:
Các khái niệm arcsinx, arctanx không trình bày trong sách giáo khoa. Học sinh có thể đọc
thấy một số bài tập áp dụng khái niệm này trong một sách tham khảo, vì các sách này viết
theo sách giáo khoa cũ (trước năm 2000). Từ năm 2000 đến nay do các khái niệm này
không có trong sách giáo khoa nên học sinh không được áp dụng phương pháp này nữa.
Vì vậy khi gặp tích phân dạng
2 2
1
b
a
dx
a x
+
∫
ta thường dùng phương pháp đổi biến số đặt t
= atanx hoặc t = acotx

2 2
1
b
a
dx
a x
−

∫
thì đặt x = asint hoặc x = acost
12
* Một số bài tập tương tự:
1/ I =
∫
−
8
4
2
16
dx
x
x
2/ I =
dx
x
xx
∫
+
++
1
0
2
3
1
322
3/ I =
∫
−

3
1
0
8
3
1 x
dxx
Bài tập 4: Tính: I =
∫
−
4
1
0
2
3
1
dx
x
x
Sai lầm thường gặp: Đặt x= sint, dx = costdt
I =
∫ ∫
=
−
dt
t
t
dx
x
x

cos
sin
1
3
2
3
Đổi cận: với x = 0 thì t = 0
với x=
4
1
thì t = arcsin
1
4
?
Nguyên nhân sai lầm: Khi gặp tích phân của hàm số có chứa
2
1 x−
thì thường đặt x =
sint nhưng đối với tích phân này sẽ gặp khó khăn khi đổi cận cụ thể với x =
4
1
không tìm
được chính xác t = ?
Lời giải đúng:
Đặt t =
2
1 x−
⇒
dt =
xdxtdtdx

x
x
=⇒
−
2
1
Đổi cận: với x = 0 thì t = 1; với x =
4
1
thì t =
4
15
I =
∫
−
4
1
0
2
3
1
dx
x
x
=
( )
( )
∫ ∫
−=−









−=








−=−=
−
4
15
1
4
15
1
4
15
1
3
2
2

3
2
192
1533
3
2
192
1515
4
15
3
1
1 t
tdtt
t
tdtt
13
* Chú ý đối với học sinh: Khi gặp tích phân của hàm số có chứa
2 2
a x−
thì thường đặt
x = asint hoặc gặp tích phân của hàm số có chứa a
2
+ x
2
thì đặt
x = atant nhưng cần chú ý đến cận của tích phân đó nếu cận là giá trị lượng giác của góc
đặc biệt thì mới làm được theo phương pháp này còn nếu không thì phải nghĩ đến phương
pháp khác.
* Một số bài tập tương tự:

1/ I =
dx
x
x
∫
+
7
0
2
3
1
2/ J =
∫
+
2
1
2
1xx
dx
Bài tập 5: Tính I =
∫
−
+
−
1
1
4
2
1
1

dx
x
x
Sai lầm thường mắc: I =
∫ ∫
− −
−






+






−
=
+
−
1
1
1
1
2
2

2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
dx
x
x
x
x
x
x
Đặt t = x+
dx
x
dt
x






−=⇒
2

1
1
1
Đổi cận với x = -1 thì t = -2; với x=1 thì t=2
I =
∫
−
−
2
2
2
2t
dt
=
dt
tt
)
2
1
2
1
(
2
2
−
−
+
∫
−
=

1
2 2
−
(ln
2+t
-ln
2−t
)
2
2−

2
2
1 2
ln
2 2 2
t
t
−
+
= −
−
=
1
2 2
−
2 2 2 2
ln ln
2 2 2 2
 

+ − +
−
 
− − −
 
 
=
1
ln(3 2 2)
2
−
Nguyên nhân sai lầm:
2
2
2
4
2
1
1
1
1
1
x
x
x
x
x
+
−
=

+
−
là sai vì trong
[ ]
1;1−
chứa x = 0 nên không thể
chia cả tử cả mẫu cho x = 0 được. Nhưng từ sai lầm này nếu các bạn thấy rằng x = 0
không thuộc tập xác định thì cách làm như trên thật tuyệt vời.
Lời giải đúng:
14
Viết
2
4
1
1
x
x
−
+
=
2
2 2 2
1
( 1) 2
x
x x
−
+ −
=
2 2

2 1 2 1
ax b cx d
x x x x
+ +
+
− + + +
=
2 2
1 2 1 2 1
2
2 1 2 1
x x
x x x x
 
− +
+
 
− + + +
 
Khi đó I =
∫
−
+
−
1
1
4
2
1
1

dx
x
x
=
12
12
ln
22
1
2
2
++
+−
xx
xx
ln
2
1
1
1
=
−
22
22
+
−
=
1
ln(3 2 2)
2

−
* Chú ý đối với học sinh: Khi tính tích phân cần chia cả tử cả mẫu của hàm số cho x cần
để ý rằng trong đoạn lấy tích phân phải không chứa điểm x = 0 .
* Một số bài tập tương tự:
1)
1
4
0
1
1
dx
x +
∫
(Viết:
( )
2 2 2 2
4 4 4 4
1 1 1 1 1 1 1 1
( )
1 2 1 2 1 1 2
x x x x
f x J K
x x x x
   
+ + − + −
= = = + = +
 ÷  ÷
+ + + +
   
)

2)
2
0
sin
1 os
x x
dx
c x
π
+
∫
(đặt x =
Π
- t)
3)
2
2
4
1
1 x
dx
x
+
∫
(đặt t =
1
x
)
4)
2 2

0
a
a x dx−
∫
(đặt x = acost) (a > 0)
5)
2 2
0
a
a x dx+
∫
(đặt x = atant) (a > 0)
6)
4
2
0
1 sin 2
os
x
dx
c x
π
+
∫
(đặt t = 1+sin2x )
3. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
Từ đẳng thức: (uv)’= uv’+u’v
15
Ta có:
' 'uv dx uv u vdx= −

∫ ∫
đó là công thức tính tích phân từng phần
Để tính tích phân
( )
b
a
I f x dx=
∫
ta thực hiện các bước như sau:
Bước 1: Biến đổi tích phân ban đầu về dạng

b b
1 2
a a
I f (x)dx f (x).f (x)dx= =
∫ ∫
Bước 2: Đặt
'
1
1
2
2
du f (x)dx
u = f (x)
dv = f (x)dx
v f (x)dx

=



⇒
 
=



∫
Bước 3: Khi đó
b
b
,
a
a
I uv u vdx= −
∫
Chú ý: Khi sử dụng phương pháp tích phân từng phần để tính tích phân, chúng ta cần
tuân thủ theo các nguyên tắc sau :
1. Lựa chọn phép đặt dv sao cho v được xác định một cách dễ dàng.
2. Tích phân
'
b
a
vu dx
∫
được xác định một cách dễ dàng hơn so với I
3. Chúng ta cần nhớ các dạng cơ bản sau :
Dạng 1:
I =
lnx dxx
α

∫
Khi đó cần đặt u = lnx
Dạng 2:
I
( )
x
p x e dx
α
=
∫
với P là một đa thức. Khi đó ta đặt u = p(x)
Dạng 3:
I
( )sinp x xdx
α
=
∫
(hoặc I
( ) osp x c xdx
α
=
∫
) Với P(x) là một đa thức và khi đó ta đặt
u=P(x)
16
Dạng 4:
I
ax
ose c xdx
α

=
∫
(hoặc I
ax
sine xdx
α
=
∫
). Khi đó đặt u = cosax
(hoặc u= sinax)
Bài tập 1: Tính I =
cot xdx
∫
Sai lầm thường mắc: I
cos
cot
sin
x
xdx dx
x
= =
∫ ∫
.
Đặt
2
1 cos
sinx sin
cos sinx
x
u du dx

x
dv xdx v
−
 
= =
 
⇒
 
 
= =
 
2
1 sinx.cos
.sinx 1 0 1???
sinx sin
x
I dx I
x
⇒ = + = + ⇒ =
∫
Phân tích sai lầm:
Học sinh viết chung hằng số c cho mọi phép tính nguyên hàm
Lời giải đúng: I
( )
sinx
cos
cot ln sinx
sin sinx
d
x

xdx dx c
x
= = = = +
∫ ∫ ∫
Bài tập 2: Tính tích phân
2
x
0
I xe dx
=
∫
Sai lầm thường mắc: Đặt
x x
u x u ' 1
v' e v e
= =
 
⇒
 
= =
 

( ) ( )
2
2 2
x x 2 x 2 2 2
0 0
0
I xe e dx 2e e 2e e 1 e 1
⇒ = − = − = − + = +

∫
Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Học sinh hiểu sai bản chất công thức lấy tích phân
từng phần
Lời giải đúng: Đặt
x x
u x du dx
dv e dx v e
= =
 
⇒
 
= =
 
17

( ) ( )
2
2 2
x x 2 x 2 2 2
0 0
0
I xe e dx 2e e 2e e 1 e 1
⇒ = − = − = − + = +
∫
Bài tập 3: Tính tích phân
1
x
0
I xe dx
−

=
∫
* Sai lầm thường mắc:

( )
1
1 1 1
2
1
x x x
0
0 0 0
0
x 1 1 e 1
I xe dx xdx. e dx . e . 1
2 2 e 2e
− − −
− −
 
= = = − = + =
 ÷
 
∫ ∫ ∫
* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Học sinh tự “sáng tạo” ra quy tắc nguyên hàm của một
tích thay vì sử dụng công thức tích phân từng phần
* Lời giải đúng:
( )
1
1
1

x x x
0
0
0
1 e 2
I xe e dx e
e 2
− − −
− −
= − + = − =
∫
* Cách khắc phục: Yêu cầu các em học thuộc các tính chất của nguyên hàm và tích
phân. Giúp các em tổng quát hoá các dạng toán sử dụng phương pháp tích phân từng
phần
Chú ý: Thực tế cho thấy nếu những bài toán tích phân mà chứa các hàm như ln,
sin, cos, hàm mũ. Thì chúng ta cần nên nghĩ ngay đến phương pháp tích phân
từng phần nếu như gặp khó khăn. Có những bài toán mà chúng ta cần phải sử
dụng tích phân từng phần nhiều lần. Chú ý bài toán sau
Bài tập 4: Tính I =
2
2
0
os3xdx
x
e c
π
∫
Đặt
2x
2x

du 2e dx
u e
sin3x
dv cos3xdx
v
3
=

=


⇒
 
=
=



I
2
2
2x 2x
0
0
sin3x 2 e 2
e e sin3x dx=
3 3 3 3
π
π
π

 
= − − −
 
 
∫
I
1
18
Tính: I
1
Đặt
2x
2x
du 2e dx
u e
cos3x
dv sin3xdx
v
3
=

=


⇒
 
=
= −





I
1
2 2
2
2x 2x 2x
0
0 0
cos3x 2
e sin3x dx e e cos3x dx
3 3
π π
π
 
= = − +
 
 
∫ ∫
1
3
= +
I
Do đó:
e 2 1 e 2 4
I I I
3 3 3 3 9 9
π π
 
=− − + =− − −

 ÷
 

3e 2
I
13
π
+
⇒ = −
Như vậy: Tích phân trên nếu các bạn không biến đổi theo hướng trên thì gặp nhiều khó
khăn. Cách làm như trên áp dụng đối với một tích phân mà nó gồm hai hàm khi đạo hàm
có tính chất lặp đi lặp lại.
* Một số bài tập tương tự:
a) I
1
=
1 3
2
2 2
0 1
1 ln( 1)
x b) I =
(1 )
x
xe x
d dx
x x
+ +
+
∫ ∫

c) I
3
=
/4
2
2
4
0 0
osx sin dx d) I (1 sin 2 )xc x x x dx
π
π
= +
∫ ∫
19
PHẦN III: KẾT QUẢ
1. Kết quả nghiên cứu
Tích phân là loại toán đa phần có phương pháp tính khá cụ thể nên dễ hiểu, đơn giản,
dễ trình bày, dễ dàng trong tính toán, thực hiện các phép toán đơn giản. Giúp học sinh
cảm thấy hứng thú khi giải các bài toán tích phân.
Vì vậy, nghiên cứu, phân tích một số sai lầm của học sinh khi tính tích phân có ý nghĩa
rất lớn trong quá trình dạy vì khi áp dụng sáng kiến này sẽ giúp học sinh nhìn thấy được
nhhững điểm yếu và những hiểu biết chưa thật thấu đáo của mình về vấn đề, từ đó phát
huy ở học sinh tư duy độc lập, năng lực suy nghĩ tích cực, chủ động, củng cố trau rồi
thêm kiến thức về tính tích phân. Từ đó làm chủ được kiến thức, đạt được kết quả cao
trong quá trình học tập và thi tuyển vào các trường Đại học, cao đẳng, THCN cũng như
thi HSG cấp tỉnh
Qua nghiên cứu, ứng dụng đề tài vào thực tiễn giảng dạy tôi nhận thấy kết quả đạt
được khả quan hơn nhiều. Cụ thể thực nghiệm sư phạm được tiến hành tại hai lớp có
trình độ tương đương nhau. Sau khi dạy thực nghiệm, tôi cho học sinh làm bài kiểm tra

như sau:
Bài tập: Tính các tích phân sau
1) I
1
=
0
(1 cos )x x dx
Π
+
∫
(Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2009)
2) I
2
=
0
1 3ln ln
e
x x
dx
x
+
∫
(Đề thi ĐH khối B năm 2004)
3) I
3
=
2
3
0
sin

(sin 3cos )
x
dx
x x
π
+
∫
(Đề thi HSG Thanh Hóa 2010-2011)

20
Số liệu thống kê kết quả được thể hiện qua bảng sau đây:
Bảng: Kết quả các bài kiểm tra cụ thể như sau:
Điểm
Lớp
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Số
lượng
bài
TN (12A
6
) 0 0 0 1 3 10 13 6 7 5 45
ĐC (12A
1
) 0 0 2 7 15 8 10 3 3 0 48
Lớp TN có 97,8% điểm từ trung bình trở lên, trong đó có 68,9% khá giỏi. Có 5 em
đạt điểm tuyệt đối.
Lớp ĐC có 81,3% điểm trung bình trở lên, trong đó có 33,3% điểm khá giỏi, không
có HS đạt điểm tuyệt đối.
Kết quả của các bài kiểm tra cho thấy kết quả của lớp thực nghiệm cao hơn lớp đối
chứng nhất là bài đạt khá và giỏi. Một nguyên nhân không thể phủ định là lớp thực

nghiệm HS thường xuyên được thực hiện phương pháp (như đã sử dụng ở trên) và cách
thức tìm tòi lời giải của bài toán…
Như vậy, bước đầu đề tài đã khắc phục được cơ bản những khó khăn và những sai
lầm của học sinh thường mắc phải khi giải các bài tập về tích phân qua đề thi tốt nghiệp
cũng như các đề thi đại học, cao đẳng của các năm trước và các bài toán liên quan; đề tài
đã góp phần nâng cao chất lượng học tập của học sinh và đem lại hiệu quả rõ rệt. Trong
thời gian tới, đề tài này sẽ tiếp tục được áp dụng vào thực tiễn giảng dạy trong nhà trường
và mong rằng sẽ đạt được hiệu quả tốt đẹp như đã từng đạt được trong quá trình thực
nghiệm.
21
2. Kiến nghị, đề xuất:
Vì một bài toán có thể có nhiều cách giải, nên trong quá trình học tập và giải toán
ta cố gắng suy nghĩ tìm tòi nhiều cách giải cho một bài toán, lựa chọn phương pháp mà
mình tâm đắc nhất cho bài toán đó. Từ đó sẽ tiết kiệm thời gian làm bài đặc biệt tránh
được sai sót đáng tiếc.
Vì vậy, mỗi bài học giáo viên khi dạy nên cố gắng vận dụng linh hoạt các phương
pháp giải để học sinh được học tập và giải bài tập một cách tốt nhất nhằm nâng cao chất
lượng dạy và học.
Trên đây là quan điểm của cá nhân tôi về việc giảng dạy phần tích phân để chuẩn bị
cho các kì thi sắp tới
Trong quá trình biên soạn chắc chắn còn nhiều thiếu sót, rất mong các Thầy cô và
các em học sinh đóng góp ý kiến để đề tài của tôi hoàn thiện hơn và có thể áp dụng rộng
rãi hơn.
22