một số sai lầm thường gặp khi tính Tich phân

Những sai lầm thuộc phần này liên quan tới sự hiểu biết không đúng các khái
niệm và vận dụng sai các định lí, qui tắc phơng pháp.
Sai lầm 1. Không hiểu đúng khái niệm, kí hiệu
Ví dụ 1. Chứng minh :
( ) (1 )
x
F x x e

= +
là một nguyên hàm của
( )
x
f x xe

=
. Từ đó hãy tìm nguyên hàm của
( ) ( 1)
x
g x x e

=
.
Một học sinh có lời giải nh sau:
Ta có:
'
( ) (1 ). . ( )
x x x
F x e x e x e f x

= + + = =
, suy ra F(x) là một

nguyên hàm của f(x).
Ta có:
( ) ( 1).
x
g x dx x e dx

=


. (1 ).
(1 ). . .


= = + + +


= + + =

x x x x
x x x
x e dx e dx x e C e C
x e e x e

(?) Hãy tìm nguyên nhân sai lầm trong lời giải trên và cho lời giải đúng.
(!)
Hãy tìm nguyên nhân sai lầm:
Đã viết cùng một hằng số C cho hai phép tính nguyên hàm.
Lời giải đúng là:

( ) ( 1). .

x x x
g x dx x e dx x e dx e dx

= =


1 2
1 2
(1 ).
(1 ).
x x
x x
x e C e C
x e e C C


= + + +


= + + +

.
x
x e C

= +
(với
1 2
C C C=
).

Ví dụ 2. Kiểm tra
( ) ln(ln(sin ))F x x=
có phải là nguyên hàm của
cot
( )
ln(sin )
gx
f x
x
=
hay không.
Một học sinh có lời giải nh sau:
[ ] [ ]
'
' '
'
1 1 (sin )
( ) ln(ln(sin ) . ln(sin ) .
ln(sin ) ln(sin ) sin
x
F x x x
x x x
= = =

cos cot
( )
sin .ln(sin ) ln(sin )
x gx
f x
x x x

= = =
.
Vậy F(x) là một nguyên hàm của hàm f(x).
(?) Hãy tìm nguyên nhân sai lầm trong lời giải trên.
(!)
Nguyên nhân sai lầm:
Vì
ln(sin ) ln1 0x < =
Không tồn tại
ln(ln(sin ))x
.
Vậy F(x) không tồn tại nên không thể là nguyên hàm của f(x).
Ví dụ 3. Tính tích phân
0
2
1
2 2
dx
I
x x

=
+ +

.
Một học sinh có lời giải nh sau:
0 0
2 2
1 1
0

( 1) 1 0
1
2 2 ( 1) 1 4
dx dx
I arctg x arctg arctg
x x x


= = = + = =

+ + + +

.
(?) Hãy tìm nguyên nhân thiếu sót trong lời giải trên và cho lời giải đúng.
(!)
Nguyên nhân thiếu sót:
Trong cách tính nguyên hàm ta đã dùng kết quả biểu diễn theo arctg là
khái niệm không có trong sách giáo khoa hiện thời.
Lời giải đúng:
Đặt
2 2
1 (1 ) (1 )u x tgt du tg t dt u dt= + = = + = +
0 1
4 4
2
2 2 2
1 0 0 0
( 1) (1 )
4
( 1) 1 1 1 4

0
d x du u dt
I dt t
x u u




+ +
= = = = = =
+ + + +

.
Ví dụ 4. Tính tích phân
8
2
4
16
=

x
I dx
x
.
Một học sinh có lời giải nh sau:

8 8
2 2
2
4 4

16 16
= =

x x x
I dx dx
x x
.
Đặt
2
2
16
16
= = =

xdx
t x dt xdx tdt
x
.
8 4 3 4 3
2 2
2 2 2
4 0 0
4 316 16
1 4
16 16 4
0
x x t dt t
I dx dt t arctg
x t t

= = = =
ữ

+ +



4
4 3
3

=
.
(?) Hãy tìm nguyên nhân thiếu sót và sửa thiếu sót đó.
(!)
Nguyên nhân thiếu sót:
Trong cách tính nguyên hàm ta đã dùng kết quả biểu diễn theo arctg là
khái niệm không có trong sách giáo khoa hiện thời.
Lời giải đúng:
Đặt
2
4 4sin
cos cos
t
x dx dt
t t
= =
3 3 3
2 2

2
2
0 0
4sin 1
16( 1) 4 4 (1 ) 1
4
cos
cos .
cos
o
t
I dt tg tdt tg t dt
t
t
t

= = = +




[ ]
4
4 4 3
3
3
0
= = tgt t

.
Ví dụ 5. Tính tích phân
2
2
2
( 1)
dx
I
x

=
+

Một học sinh có lời giải nh sau:
2 2
2 2
2 2
2
( 1) 1 1 4
1
2
( 1) ( 1) 1 3 3
dx d x
I
x x x

+
= = = = =

+ + +

.
(?) Hãy tìm nguyên nhân sai lầm trong lời giải trên và cho lời giải đúng?
(!)
Nguyên nhân sai lầm:
Do hàm số
2
1
( 1)
y
x
=
+
gián đoạn trên đoạn
[ ]
2;2
nên không sử dụng
đợc công thức Niutơn- Laipnit để tính tích phân trên.
Lời giải đúng:
Do hàm số
2
1
( 1)
y
x
=
+
không xác định tại
[ ]
1 2;2x =

nên gián
đoạn trên
[ ]
2;2
. Do đó tích phân trên không tồn tại.
Chú ý: Có thể nhận xét
2
1
1
lim
( 1)
x
x

= +
+
nên hàm số không bị chặn trên
[ ]
2;2
, do đó tích phân này không tồn tại.
Sai lầm 2. Không bảo đảm tính lôgic của lời giải
Ví dụ 1. Tính
3
(2 1)x dx+

.
Một học sinh có lời giải nh sau:
Ta có:
4
3

(2 1)
(2 1)
4
x
x dx C
+
+ = +

.
(?) Hãy tìm nguyên nhân sai lầm trong lời giải trên và cho lời giải đúng.
(!)
Nguyên nhân sai lầm:
Lời giải trên đã vận dụng công thức
1
1
n
n
x
x dx C
n
+
= +
+

với
1n
.
Lời giải đúng:
Ta có:
3 3 3

(2 1) 1
(2 1) (2 1) (2 1) (2 1)
2 2
d x
x dx x x d x
+
+ = + = + +


4
(2 1)
8
x
C
+
= +
.
Ví dụ 2. Tính tích phân
0
1 sin
dx
I
x

=
+

.
Một học sinh có lời giải nh sau:
Đặt

2
x
t tg=
thì
2
2 2
2 1 1
;
1 1 sin (1 )
dt t
dx
t x t
+
= =
+ + +
2
2
2 2 2
2( 1) ( 1)
1 sin (1 ) 1
1
2

= = + + = + = +
+ + +
+

dx dt
t d x C C
x

x t t
tg
.
0
2 2 2
0
1 sin 0 1
1 1
2 2
dx
x
x tg
tg tg



= = +
+ +
+ +

.
Do
2
tg

không xác định nên tích phân trên không tồn tại.
(?) Hãy tìm nguyên nhân sai lầm trong lời giải trên và cho lời giải đúng?
(!)
Nguyên nhân sai lầm:
Đây là sai lầm của nhiều bạn hay dùng công thức lợng giác để biểu diễn

sinx, cosx, tgx, cotgx qua
2
x
tg
.
Việc
2
tg

không xác định ở trên chỉ suy ra đợc tích phân đã cho không
tính đợc bằng phơng pháp đó.
Lời giải đúng:

2
0 0 0
( )
2 4
1 sin
1 cos( ) cos ( )
2 2 4
x
d
dx dx
I
x
x
x

= = =
+
+


( ) ( ) 2
0
2 4 4 4
x
tg tg tg


= = =
.
Chú ý: Chúng ta lu ý rằng trong chơng trình toán phổ thông không trình bày
về tích phân suy rộng.
Ví du 3. Tính tích phân
4
2
0
6 9I x x dx= +

.
Một học sinh có lời giải nh sau:

4 4 4
2 2
0 0 0
6 9 ( 3) ( 3)I x x dx x dx x dx= + = =

4
2
0
4
( 3) 1 9
( 3) ( 3) 4
0
2 2 2
x
x d x

= = = =

.
(?) Hãy tìm nguyên nhân sai lầm trong lời giải trên và cho lời giải đúng.
(!)
Nguyên nhân sai lầm:
Phép biến đổi
2
( 3) 3x x =
, với
[ ]
0;4x
là không tơng đơng.
Lời giải đúng:
4 4 4
2 2
0 0 0

6 9 ( 3) 3I x x dx x dx x dx= + = =


[ ]
3 4
2 2
0 3
3 4
( 3) ( 3)
( 3) ( 3) ( 3) ( 3)
0 3
2 2
x x
x d x x d x

= + = +


9 1
5
2 2
= + =
.
Ví dụ 4. Tính tích phân
0
2
2
( 1)I x dx

= +

.
Một học sinh có lời giải nh sau:
Đặt
2
( 1) 2( 1)u x du x dx= + = +
. Với
2x =
thì
1; 0= =u x
thì u =
1
Do đó
0 1 1
2
2 1 1
1
( 1) 0
2
2
udu
I x dx udu
u

= + = = =

(?) Hãy tìm nguyên nhân sai lầm trong lời giải trên và cho lời giải đúng.
(!)
Nguyên nhân sai lầm:
Vì

2
( 1)u x= +
không phải là hàm số đơn điệu trên
[ ]
2;0
nên không
thể đổi biến, đổi cận nh lời giải trên đợc. Nếu muốn đổi biến thì phải viết tích
cần tính thành tổng của hai tích phân mà
2
( 1)u x= +
đơn điệu. Lời giải trên
còn sai lầm khi viết
2( 1)
2
du du
dx
x
u
= =
+
, nh vậy từ
2
( 1)u x= +
suy ra
1x u+ =
, điều này chỉ xảy ra khi
1x
.
Lời giải đúng:
0 1 0

2 2 2
2 2 1
( 1) ( 1) ( 1)I x dx x dx x dx


= + = + + +

Xét
1
2
1
2
( 1)I x dx


= +

, đặt
2
( 1) 2( 1)u x du x dx= + = +
, do
[ ]
2; 1 x
nên
1 0x +
. Vậy
1
2
du
x u dx

u
+ = =

, với
2x =
thì
1u =
; với
1x =
thì
0u =
.
Do đó
3
0 1
2
1
1 0
1
1
0
2 3 3
2
udu u u
I du
u
= = = =

.
Xét

0
2
2
1
( 1)I x dx

= +

, đặt
2
( 1)u x= +
, với
1x
nên
2
du
dx
u
=
.
Đổi cận tích phân:
1 0; 0 1x u x u= = = =
.
Do đó
3
1 1
2
2
0 0
1

1
0
2 3 3
2
udu u u
I du
u
= = = =

. Suy ra
1 2
2
3
I I I= + =
.
Chú ý: Lời giải trên muốn chỉnh lí việc đổi biến chứ không phải lời giải tốt
nhất. Ta có thể giải đơn giản nh sau:
0 0
3
2 2
2 2
0
( 1) 1 1 2
( 1) ( 1) ( 1)
2
3 3 3 3
x
I x dx x d x

+

= + = + + = = =


.
Ví dụ 5. Tính tích phân
2
0
1 sinI xdx

= +

.
Một học sinh có lời giải nh sau:
2 2 2
0 0 0
(sin cos ) (sin cos ) 2 (sin cos )
2 2 2 2 2 2 2
x x x x x x x
I dx dx d

= + = + = +


2
2( cos sin ) 2.(1 1) 4
0
2 2
x x

= + = + =

.
(?) Hãy tìm nguyên nhân sai lầm trong lời giải trên và và cho lời giải đúng?
(!)
Nguyên nhân sai lầm:
Lời giải trên sai lầm khi biến đổi biểu thức:

2
sin cos ) sin cos
2 2 2 2
x x x x
+ = +
.
• Lêi gi¶i ®óng:
2 2 2
0 0 0
1 sin sin cos 2 2 sin( )
2 2 2 4
x x x
I xdx dx dx
π π π
π
= + = + = +
∫ ∫ ∫
=
3
2
2
3
0
2

2 2 sin( ) 2 2 sin( )
2 2 2 2
x x
dx dx
π
π
π
π π
+ + +
∫ ∫

3
2
2
3
0
2
2 2 sin( ) ( ) 2 2 sin( ) ( )
2 4 2 4 2 4 2 4
x x x x
d d
π
π
π
π π π π
= + + − + +
∫ ∫

3
2

3
2
2
2 2 cos( ) 2 2 cos( )
0
2 4 2 4
x x
π
π
π
π π
= − + + +

2 2 2 2 2 2 4 2= + − + =
.
VÝ dô 6. TÝnh tÝch ph©n
( )
1
2
2
2 1I x dx
−
= +
∫
.
• Mét häc sinh cã lêi gi¶i nh sau:
§Æt
2
= ⇒ =
dt

x t dx
t
. Khi
2x = −
th×
4t =
, khi
1x =
th×
1t =
.
Do ®ã
( )
( )
1 1 4
2
2 4 1
1
2 1 2 1
2
dt
I x dx t t dt
t t
−
 
= + = + = − +
 ÷
 
∫ ∫ ∫

4 4
1 1
2 2
1 1
4 4
2 20
2
1 1
3 3
−
= − − = − − = −
∫ ∫
t dt t dt t t t
.
(?) Hãy tìm nguyên nhân sai lầm trong lời giải trên và và cho lời giải đúng.
(!)
Nguyên nhân sai lầm:
Để giải của bài toán trên, không thể đặt
x t=
với
[ ]
2;1x
.
Lời giải đúng:
Ta có
( )
1 1 1
3
2 2
2 2 2

1 1
2
2 1 2 2 2 12
2 2
3
x
I x dx dx x dx x

= + = + = + =


.
Sai lầm 3. Không xác định đúng hình phẳng
Ví dụ. Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo thành do hình phẳng giới hạn bởi
các đờng
sin , 1, 0,y x y x x

= = = =
quay xung quanh Ox.
Hai học sinh có lời giải nh sau
Học sinh thứ nhất tính nh sau:
2 2
0
1
0
V dx x



= = =

.
Học sinh thứ hai tính nh sau:
2
0 0
1 cos 2
sin
2
x
V xdx dx



= =


2
1 1
sin 2
0
2 4 2
x x




= =
ữ

.

(?) Hãy tìm nguyên nhân sai lầm trong lời giải trên và và cho lời giải đúng.
(!)
Nguyên nhân sai lầm:
Cả hai lời giải trên đều làm sai không xác định đúng hình phẳng, yêu cầu
bài toán đã bị sai (tức là luận đề bị đánh tráo). Lời giải thứ nhất cho rằng thể

O
siny x
=
y
1
x
Hình 17
tích khối tròn xoay đã cho bằng thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới
hạn bởi các đờng
1, 0, 0,y y x x

= = = =
quay xung quanh Ox tạo thành.
Lời giải thứ hai cho rằng thể tích khối tròn xoay đã cho bằng thể tích khối
tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đờng
sin , 0, 0,= = = =y x y x x

quay xung quanh Ox tạo thành.
Lời giải đúng:
Thể tích khối tròn xoay cần tìm là:
( )
2
2 2 2
0 0

sin 2
1 sin cos
0
2 4 2
x x
V x dx xdx





= = = + =
ữ


.