Sáng kiến kinh nghiệm –Chuyên đề phương trình, bất phương trình đại số

1
Chuyên đề 1: PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ
& BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ

TÓM TẮT GIÁO KHOA
CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC CƠ BẢN


1. +=++
22 2
() 2ab a abb abbaba 2
2
)(
22
−+=+
2. −=−+
22 2
() 2ab a abb
abbaba 2
2
)(
22
+−=+
3.
−=+ −
22
()()ab abab

4.
+=+ + +

33 2 23
() 3 3ab a ab ab b
)(3
3
)(
33
baabbaba +−+=+
5.
−=− + −
33 2 23
() 3 3ab a ab ab b

6.
+=+ −+
33 2 2
()( )ab abaabb

7.
−=− ++
33 2 2
()( )ab abaabb


Áp dụng
:

Biết Syx =+ và Pxy = . Hãy tính các biểu thức sau theo S và P

2
) ya +=

2
xA
2
y)-(xB =)b
3
) yc +=
3
xC
4
) yd +=
4
xD

A. PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ
I. Giải và biện luận phương trình bậc nhất:

1. Dạng : ax + b = 0 (1)
⎩
⎨
⎧
số tham : ba,
số ẩn : x

2. Giải và biện luận
:

Ta có : (1)
⇔
ax = -b (2)
Biện luận:

• Nếu a
≠ 0 thì (2)
⇔
a
b
x −=
• Nếu a = 0 thì (2) trở thành 0.x = -b
* Nếu b
≠ 0 thì phương trình (1) vô nghiệm
* Nếu b = 0 thì phương trình (1) nghiệm đúng với mọi x
Tóm lại :
• a ≠ 0 : phương trình (1) có nghiệm duy nhất
a
b
x −=

• a = 0 và b
≠
0 : phương trình (1) vô nghiệm
• a = 0 và b = 0 : phương trình (1) nghiệm đúng với mọi x

2
Áp dụng:
Ví dụ : Giải và biện luận các phương trình sau:
1) 23 2
x
mmx+=+
2)
2
mx 2 x 2m+=+

3)
xm x2
x1 x1
−−
=
+−

4)
2
23 21
11
1
xm m m
xx
x
+−
=+
+
−
−

3. Điều kiện về nghiệm số của phương trình:
Đònh lý: Xét phương trình ax + b = 0 (1) ta có:

•
(1) có nghiệm duy nhất
⇔
a
≠

0
•
(1) vô nghiệm
⇔

⎩
⎨
⎧
≠
=
0
0
b
a

•
(1) nghiệm đúng với mọi x
⇔

⎩
⎨
⎧
=
=
0
0
b
a

Áp dụng:

Ví dụ :
1) Với giá trò nào của a, b thì phương trình sau nghiệm đúng với mọi x

0)1(
24
=−++− bxaxa ( 1; 0ab=± = )
2)
Cho phương trình (2 1) (3 )( 2) 2 2 0mx nx mn−+− −−++=
Tìm m và n để phương trình nghiệm đúng với mọi x (
1
;1
2
mn=− = )
3) Cho phương trình: (2 1) 3 2 3mxm xm+−+=+
Tìm
m để phương trình có nghiệm
(
)
0;3x ∈
(
1
2
2
mm<∨>
)
4) Cho phương trình:
(3 2) 4 2 5mxmmxm−−= +−
Tìm m ngun để phương trình có nghiệm ngun (
{
}

3; 13; 1; 9m ∈− − − )
5) Cho phương trình:
23mx x m
x
x
−−
=

Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm duy nhất (
1
3
2
m<<
)
6) Với giá trò nào của m thì phương trình sau có nghiệm

2x m x 2m 3
4x1
x1 x1
+−+
−−=
−−

7)
Cho phương trình: 1(2 3) (1 ) 3 0xmxmmx
⎡⎤
−−++−−=
⎣⎦

Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt (

5
2
2
m<<
)



3
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
Thời gian 10 phút
ĐỀ:

Bài 1:
Phương trình
3(m 4)x 1 2x 2(m 3)++=+ −
có nghiệm duy nhất với giá trò của m là:
(A)
4
m
3
= (B)
3
m
4
=− (C)
10
m
3
≠

− (D)
4
m
3
≠
Bài 2: Phương trình
2
(m 2)(x 1) x 2−+=+ vô nghiệm với giá trò của m là:
(A)
m0= (B)
m1=±
(C)
m2
=
±
(D) m3=±
Bài 3: Phương trình
2
(m 3m)x m 3 0+++= có tập nghiệm là R khi :
(A)
m0= (B) m3=− (C) m 0;m 3
=
=− (D) Một đáp số khác
Bài 4: Phương trình
2x m
m
x1
+
=
−

vô nghiệm với giá trò của m là:
(A)
m2= (B) m2=− (C) m2
=
± (D) Không có m
Bài 5: Phương trình
mx m 1
m
x2
−++
=
−
vô nghiệm với giá trò của m là:
(A)
m0= (B) m1= (C) m 0;m 1
=
= (D) Một đáp số khác



ĐÁP ÁN:

Bài 1: Phương trình
3(m 4)x 1 2x 2(m 3)++=+ −
có nghiệm duy nhất với giá trò của m là:
(A)
4
m
3
= (B)

3
m
4
=− (C)
10
m
3
≠
− (D)
4
m
3
≠
Bài 2: Phương trình
2
(m 2)(x 1) x 2−+=+ vô nghiệm với giá trò của m là:
(A)
m0= (B)
m1=±
(C)
m2
=
±
(D) m3=±
Bài 3: Phương trình
2
(m 3m)x m 3 0+++= có tập nghiệm là R khi :
(A)
m0= (B) m3=− (C) m 0;m 3
=

=− (D) Một đáp số khác
Bài 4: Phương trình
2x m
m
x1
+
=
−
vô nghiệm với giá trò của m là:
(A) m 2= (B) m 2=− (C) m2
=
± (D) Không có m
Bài 5: Phương trình
mx m 1
m
x2
−++
=
−
vô nghiệm với giá trò của m là:
(A)
m0= (B) m1= (C) m0;m1
=
= (D) Một đáp số khác

4
II.Giải và biện luận phương trình bậc hai:

1. Dạng:
2
0ax bx c
+
+= (1)
⎩
⎨
⎧
số tham : c, ba,
số ẩn : x

2. Giải và biện luận phương trình :

Xét hai trường hợp

Trường hợp 1: Nếu a 0= thì (1) là phương trình bậc nhất : bx + c = 0
•
b ≠ 0 : phương trình (1) có nghiệm duy nhất
b
c
x
−=

•
b = 0 và c
≠

0 : phương trình (1) vô nghiệm
•
b = 0 và c = 0 : phương trình (1) nghiệm đúng với mọi x
Trường hợp 2: Nếu a
≠
0 thì (1) là phương trình bậc hai có
Biệt số
2
4bacΔ= −
( hoặc
'2 '
' với b
2
b
bac
Δ= − =
)
Biện luận:
) Nếu 0Δ< thì pt (1) vô nghiệm
) Nếu 0Δ= thì pt (1) có nghiệm số kép
12
2
b
xx
a
==− (
'
12
b
xx

a
==−)
) Nếu 0Δ> thì pt (1) có hai nghiệm phân biệt
1,2
2
b
x
a
−
±Δ
=
(
''
1,2
b
x
a
−±Δ
=
)

Áp dụng:
Ví dụ 1:
Giải các phương trình sau:
1)
512

12 8
x
x

x
−
=
−

2)
2
2
23
3
(1)
xx
x
+−
=−
−

Ví dụ 2:
1) Giải và biện luận phương trình : 2)1(2
2
−−=− xmxx
2)
Giải và biện luận phương trình :
2
(1) (23) 10mx mxm
−
+−++=

5
3. Điều kiện về nghiệm số của phương trình bậc hai:
Đònh lý : Xét phương trình :
2
0ax bx c
+
+= (1)

) Pt (1) vô nghiệm
⇔

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≠
=
=
0
0

0
c
b
a
hoặc
⎩
⎨
⎧
<Δ
≠
0
0
a

) Pt (1) có nghiệm kép
⇔

⎩
⎨
⎧
=Δ
≠
0
0
a

) Pt (1) có hai nghiệm phân biệt
⇔

⎩

⎨
⎧
>Δ
≠
0
0
a

) Pt (1) có hai nghiệm
⇔

⎩
⎨
⎧
≥Δ
≠
0
0
a

) Pt (1) nghiệm đúng với mọi x
⇔

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=

=
0
0
0
c
b
a



Đặc biệt
Nếu pt(1) có hệ số a,c thoả a.c < 0 thì pt(1) luôn có hai nghiệm phân biệt.
Áp dụng:
Ví dụ 1:
Với giá trò nào của m thì phương trình sau có hai nghiệm phân biệt:

xm
x
xx
−=
−
+−
1
12
2

Ví dụ 2:
1) Với giá trò nào của m thì phương trình sau có ba nghiệm phân biệt:

0)22)(1(

2
=++++ mmxxx
2) Với giá trò nào của m thì phương trình sau có ba nghiệm phân biệt:

2
(1)( 4 )0xmxxm
−
−+=


4. Đònh lý VIÉT đối với phương trình bậc hai:
) Đònh lý thuận: Nếu phương trình bậc hai :
2
0ax bx c
+
+= ( 0a
≠
) có hai nghiệm x
1
, x
2
thì

⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧

==
−=+=
a
c
xxP
a
b
xxS
21
21
.


) Đònh lý đảo : Nếu có hai số ,
α
β
mà
+
= S
α
β
và . P
=
α
β
)4(
2
PS ≥ thì ,
α
β

là nghiệm của
phương trình

x
2
- Sx + P = 0

6

) Ý nghóa của đònh lý VIÉT:
Cho phép tính giá trò các biểu thức đối xứng của các nghiệm ( tức là biểu thức chứa x
1
, x
2
và
không thay đổi giá trò khi ta thay đổi vai trò x
1
,x
2
cho nhau .Ví dụ:
2
2
2
1
21
2
2
2
1
11

xx
xx
xx
A
++
+
= ) mà
không cần giải pt tìm x
1
, x
2
, tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng ….
Chú ý:
) Nếu pt (1) có các hệ số thoả mãn a+b+c=0 thì pt (1) có hai nghiệm là
12
1 và x
c
x
a
==
) Nếu pt (1) có các hệ số thoả mãn a-b+c=0 thì pt (1) có hai nghiệm là
12
1 và x
c
x
a
=− =−
Áp dụng:
Ví dụ 1 : Cho phương trình: 012
2

=−+− mxx (1)
Với giá trò nào của m thì pt (1) có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
thỏa mãn 4
2
2
2
1
=+ xx
Ví dụ 2: Cho phương trình: 0232
2
=−+− mmxx (1)
Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
thỏa mãn 435
21
=+ xx
Ví dụ 3: Cho phương trình:
2
(3m 1)x 2(m 1)x m 2 0−++−+= (1)
Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
thỏa mãn
12

xx 2−=
5. Dấu nghiệm số của phương trình bậc hai:
Dựa vào đònh lý Viét ta có thể suy ra đònh lý sau:

Đònh lý: Xét phương trình bậc hai :
2
0ax bx c
+
+=
(1) ( 0a
≠
)
) Pt (1) có hai nghiệm dương phân biệt
> 0
P > 0
S > 0
Δ
⎧
⎪
⇔
⎨
⎪
⎩

) Pt (1) có hai nghiệm âm phân biệt
> 0
P > 0
S < 0
Δ
⎧

⎪
⇔
⎨
⎪
⎩

) Pt (1) có hai nghiệm trái dấu P < 0
⇔


Áp dụng:
Ví dụ :
1) Với giá trò nào của m thì phương trình sau có hai nghiệm dương phân biệt:

0
2
=++ mxmx

2)
Cho phương trình:
2
(2)( 2 32)0xxmxm−−+−=

Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt

7
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
Thời gian 10 phút
ĐỀ SỐ 1:

Bài 1: Phương trình
2
(m 1)x 2mx m 0−+ += có hai nghiệm phân biệt khi :
(A)
m0> (B) m0≥ (C) m0 và m1>≠ (D) m0 và m1≥≠
Bài 2: Phương trình :
2
mx 2(m 3)x m 5 0+−+−= vô nghiệm khi :
(A)
m9>
(B)
m9≥
(C)
m9
<
(D)
m9 và m0<≠

Bài 3: Cho phương trình bậc hai:
22
x2(m2)xm120−+++=. Giá trò nguyên nhỏ nhất của tham số m để
phương trình có hai nghiệm phân biệt là:
(A)
m1= (B) m2= (C) m3
=

(D) m4=
Bài 4: Giả sử x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình:
2
x3x100
+
−=. Giá trò của tổng
12
11
xx
+
là
(A)
3
10
(B)
3
10
−
(C)
10
3
(D)
10
3
−

Bài 5: Phương trình:
2
xmxm10−+−= có hai nghiệm dương phân biệt khi
(A)
m1>
(B)
m1≥
(C) m1 và m2>≠ (D) m1 và m2≥≠






ĐÁP ÁN:

Bài 1: Phương trình
2
(m 1)x 2mx m 0−+ += có hai nghiệm phân biệt khi :
(A)
m0> (B) m0≥ (C) m0 và m1>≠ (D) m0 và m1≥≠
Bài 2: Phương trình :
2
mx 2(m 3)x m 5 0+−+−= vô nghiệm khi :
(A)
m9> (B) m9≥ (C) m9
<
(D) m9 và m0<≠
Bài 3: Cho phương trình bậc hai:
22

x2(m2)xm120−+++=. Giá trò nguyên nhỏ nhất của tham số m để
phương trình có hai nghiệm phân biệt là:
(A)
m1=
(B)
m2=
(C) m3
=
(D)
m4=

Bài 4: Giả sử x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình:
2
x3x100
+
−=. Giá trò của tổng
12
11
xx
+
là
(A)
3
10
(B)
3

10
− (C)
10
3
(D)
10
3
−
Bài 5: Phương trình:
2
xmxm10−+−=
có hai nghiệm dương phân biệt khi
(A) m 1> (B) m 1≥ (C)
m1 và m2>≠ (D) m1 và m2≥≠





8
II. Phương trình trùng phươngï:

1.Dạng :
42
0 ( a 0 )ax bx c++= ≠ (1)
2.Cách giải:

) Đặt ẩn phụ : t = x
2
( 0≥t ). Ta được phương trình:

0
2
=++ cbtat
(2)
Giải pt (2) tìm t. Thay t tìm được vào t = x
2
để tìm x

Tùy theo số nghiệm của phương trình (2) mà ta suy ra được số nghiệm
của phương trình (1)

Áp dụng
:
Ví du 1ï:
Giải phương trình :
2
3
89x 25
32x
2x
−
= với x 0;x 1>≠
Ví dụ 2:
1) Với giá trò nào của m thì các phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt:
a)
mxx =−− 32
24

b)
42

(2) 410xm x m−+ + +=
2) Cho phương trình:
42
(2) 410xm x m−+ + +=
Tìm m để phương trình có bốn nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng
III . Phương trình bậc ba:

1. Dạng:
32
0ax bx cx d
+
++= (1) ( 0a
≠
)


2 .Cách giải: Áp dụng khi biết được một nghiệm của phương trình (1)

)Bước 1: Nhẩm một nghiệm của phương trình (1). Giả sử nghiệm là x = x
0

)Bước 2: Sử dụng phép CHIA ĐA THỨC hoặc sơ đồ HOÓCNE để phân tích vế trái thành nhân
tử và đưa pt (1) về dạng tích số :
(1)
⇔
(x-x
0
)(Ax
2
+Bx+C) = 0

0
2

0 (2)
x
x
Ax Bx C
=
⎡
⇔
⎢
++=
⎣

)Bước 3: Giải phương trình (2) tìm các nghiệm còn lại ( nếu có).
Bổ sung kiến thức:
Định lý Bezu (Bơ-du)
“Đa thức P(x) có nghiệm
0
x
x
=
khi và chỉ khi P(x) chia hết cho
0
x
x−
Áp dụng
:
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a)
041292
23
=−+− xxx
b)
142
23
−=+−+ xxxx
c)
32
2 7 28 12 0xx x+−+=

9
Ví dụ 2:
Với giá trò nào của m thì các phương trình sau có ba nghiệm phân biệt
a)
223
23
−+=+− mmxxx
b)
32
(2 1) 0xmxmxm−+++=
c)
32
2( 1) (7 2) 4 6 0xmxmx m−++−+−=
d)
32
(4) (4) 0mx m x m x m−− ++ −=
e)
32 2

(1 ) 3 2 0xmxmxm+− − + =
Ví dụ 3: Cho phương trình :
32
33320xmxxm+−−+=
Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt
123
,,
x
xx
sao cho
222
123
A
xxx
=
++ đạt GTNN.
Chú ý
Ta có thể áp dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử bằng kỷ thuật sử dụng sơ đồ HOÓCNE,
để giải các phương trình đa thức bậc cao (với điều kiện nhẩm được một nghiệm của đa thức)

Ví dụ:
Giải
các phương trình:
1)
018215
234
=−++− xxxx

2)
43 2

760xx xx+− −+=
3)
432
24560xxxx+−−−=

IV. PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN QUY VỀ BẬC HAI BẰNG PHÉP ĐẶT ẨN PHỤ


1.Dạng I:
42
0 ( a 0 )ax bx c++= ≠



) Đặt ẩn phụ : t = x
2


2. Dạng II. ( )( )( )( ) ( k 0 )
x
ax bx cx d k++++= ≠ trong đó a+b = c+d



) Đặt ẩn phụ : t = (x+a)(x+b)
Ví dụ : Giải phương trình:
(
)
(
)

(
)
(
)
13579xx x x
+
+++=


3.Dạng III:
44
( ) ( ) ( k 0 )xa xb k+++= ≠


) Đặt ẩn phụ : t =
2
ab
x
+
+

Ví dụ : Giải phương trình:
(
)
(
)
44
352xx
+
++ =

10

4.Daùng IV:
432
0ax bx cx bx a
+
++=


Chia hai veỏ phửụng trỡnh cho x
2



) ẹaởt aồn phuù : t =
1
x
x


Vớ d : Gii phng trỡnh:
43 2
2316320xx xx
+
++=

11
B. BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ

I. Bất phương trình bậc nhất:
1. Dạng : (1) 0>
+
bax (hoặc
≤
<
≥ ,,
)
2. Giải và biện luận:

Ta có :
(2) )1( bax −>⇔


Biện luận:
• Nếu 0>a thì
a
b
x
−>⇔)2(
•
Nếu 0<a thì
a
b
x
−<⇔)2(
•
Nếu 0=a thì (2) trở thành : bx
−
>.0

*
0≤b thì bpt vô nghiệm
*
0>b thì bpt nghiệm đúng với mọi x

Áp dụng
:
Ví dụ1: Giải và biện luận bất phương trình :
2
1 mxmx +>+

Ví dụ 2: Giải hệ bất phương trình sau:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≥+
≥−
≥+
013
04
092
x
x
x

Ví dụ 3: Với giá trò nào của m thì hệ phương trình sau có nghiệm:
2x1x4
5x 2m 1 x m

−≤ +
⎧
⎨
−
+−<+
⎩


II. Dấu của nhò thức bậc nhất:
1. Dạng: 0)(a )(
≠
+
=
baxxf
2. Bảng xét dấu của nhò thức:

x
∞−
a
b
−
∞
+

ax+b Trái dấu với a 0 Cùng dấu với a

Áp dụng
:
Ví dụ : Xét dấu các biểu thức sau:
1)

)32)(1)(3( xxxA
−
+−=
2)
)12)(2(
7
−−
+
=
xx
x
B





12
III. Dấu của tam thức bậc hai:
1. Dạng: 0)(a
2
)( ≠++= cbxaxxf
2. Bảng xét dấu của tam thức bậc hai:

3. Điều kiện không đổi dấu của tam thức
:
Đònh lý: Cho tam thức bậc hai: 0)(a
2
)( ≠++= cbxaxxf

•
⎩
⎨
⎧
>
<Δ
⇔∈∀>
0a
0
Rx 0)(
xf
•
⎩
⎨
⎧

<
<Δ
⇔∈∀<
0a
0
Rx 0)(
xf
•
⎩
⎨
⎧
>
≤Δ
⇔∈∀≥
0a
0
Rx 0)(
xf
•
⎩
⎨
⎧
<
≤Δ
⇔∈∀≤
0a
0
Rx 0)(
xf

Áp dụng
:
Ví dụ1 : Cho )2(3)1(2)1()(
2
−++−−= mxmxmxf
Tìm m để Rx
∈∀> 0)(xf
Ví dụ 2: Với giá trò nào của m thì
2
2
2x x 3a
23
xx4
−+
−≤ ≤
++
thỏa với mọi x
∈


IV. Bất phương trình bậc hai
:

1. Dạng: 0
2
>++ cbxax ( hoặc
≤
<
≥ ,, )

x
∞
−

1
x
2
x
∞
+

f(x)
Cùng dấu a 0 Trái dấu a 0 Cùng dấu a

acb 4
2
−=Δ
x
∞
−

a
b
2
−

∞
+

f(x)

Cùng dấu a 0 Cùng dấu a

x
∞
−

∞
+

f(x) Cùng dấu a

0<Δ
0=Δ
0>Δ

13

2. Cách giải: Xét dấu tam thức bậc hai ở vế trái rồi chọn nghiệm thích hợp.

Áp dụng
:
Ví dụ1 : Giải các hệ bất phương trình:
a)
⎩
⎨
⎧
>++−
>−
011011
0113

2
xx
x

b)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>++−
>+−
032
0273
2
2
xx
xx

Phương pháp: Giải từng bất phương trình của hệ rồi chọn nghiệm chung (phần giao của các tập
nghiệm của từng bất phương trình trong hệ).
Ví dụ 2 : Giải bất phương trình:
x5 2x1
2
2x 1 x 5
+−
+
>
−+

Ví dụ 3: Với giá trò nào của m thì phương trình sau có hai nghiệm phân biệt:

0)3(2)32(
2
=+++− mxmx
Ví dụ 4: Tìm tập xác đònh của hàm số:
2
2
2x 3
y2xx6
x5x4
−
=+−+
−
+

V. So sánh một số
α
với các nghiệm của tam thức bậc hai cbxaxxf ++=
2
)( ( 0≠a )
Đònh lý:


[]
1
1
1
1
Tam thức co ùhai nghiệm x thỏa

a.f( ) 0
x
0
Tam thức co ùhai nghiệm x thỏa
a.f( ) 0
x
S
2
2
2
2
2
,x
x
,x
x
0
⎡⎤
⇔α<
⎢⎥
<α<
⎣⎦
⎡
⎤
⎧
⎢
⎥
⎪
Δ>
⎢

⎥
⎡⎤
⎪
⇔α>
⎨
⎢
⎢⎥
<<α
⎣⎦
⎪
⎢
⎪
−α<
⎢
⎩
⎣
⎦
1
1
1
0
Tam thức co ùhai nghiệm x thỏa
a.f( ) 0
x
S
2
Tam thức co ùhai nghiệm x thỏa
một nghiệm thuộc khoảng ( ; ) và
nghiệm
2

2
2
,x
x
0
,x
⎥
⎥
⎥
⎡
⎤
⎧
⎢
⎥
⎪
Δ>
⎢
⎥
⎡⎤
⎪
⇔α>
⎨
⎢
⎥
⎢⎥
α< <
⎣⎦
⎪
⎢
⎥

⎪
−α>
⎢
⎥
⎩
⎣
⎦
αβ
[]

còn lại nằm ngoài đoạn [ ; ]
f( ).f( ) 0
⎡⎤
⎢⎥
⇔
αβ<
⎢⎥
⎢⎥
αβ
⎣⎦



Áp dụng
:
Ví dụ : Cho phương trình: 0232
2
=−+− mmxx (1)
Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm x
1

, x
2
thỏa mãn
21
1 xx
<
<


14
BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
Bài 1: Cho phương trình: mmx
x
xx
22
2
42
2
−+=
−
+−
(1)
Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt (m>1)
Bài 2: Cho phương trình: 053)1(
2
=−++− mxmx (1)
Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm dương phân biệt (
5
m3m7
3

<
<∨ >)
Bài 3: Cho phương trình:
0
1
2
=
−
++
x
mxmx
(1)
Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt (
1
m0
2
−
<<)
Bài 4: Cho phương trình: 01
24
=−+− mmxx (1)
Tìm m để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt
(m 1 m 2)>∧ ≠
Bài 5: Cho phương trình: 0))(1(
2
=++− mmxxx (1)
Tìm m để phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt
1
(m 0 m 4 m )
2

<∨ >∧ ≠−
Bài 6: Cho phương trình : 0)1(3)1(
2
=−+−+ mxmmx (1)
Với giá trò nào của m thì pt (1) có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
thỏa
9
711
2
2
2
1
=+
xx

1
(m )
2
=

Bài 7: Cho phương trình: 0
3
2
3
1
23
=++−− mxmxx (1)

Tìm m để phương trình (1) có ba nghiệmphân biệt x
1
, x
2
, x
3
thỏa mãn 15
2
3
2
2
2
1
>++ xxx

(m 1 m 1)
<
−∨ >

Hết

15
TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
ĐỀ SỐ 1:
Câu 1: Tập hợp các giá trò m để phương trình:
xm 2m
x1
x1 x1
−
−+ =
−
−
có nghiệm là
(A)
1
;
3
⎛⎞
+∞
⎜⎟
⎝⎠
(B)

1
;
3
⎛⎞
−∞
⎜⎟
⎝⎠
(C)
(
)
1;
+
∞ (D)
1
;
3
⎡⎞
+
∞
⎟
⎢
⎣⎠

Câu 2: Tập xác đònh của hàm số
2
y4x3x5x6=−++− là
(A)
[
)
1; +∞ (B)

3
;
4
⎡⎞
+∞
⎟
⎢
⎣⎠
(C)
3
;1
4
⎡
⎤
⎢
⎥
⎣
⎦
(D)
63
;
54
⎡⎤
−
⎢⎥
⎣⎦

Câu 3: Tập nghiệm của bất phương trình:
2
2

2x 3x 4
1
x2
−+
>
+
là
(A)
()()
;1 2;−∞ − +∞∪ (B)
(
)
(
)
;2 1;
−
∞− − +∞∪
(C)
()( )
;1 2;−∞ +∞∪ (D)
(
)
(
)
;2 4;
−
∞+∞∪
Câu 4: Phương trình:
22
(m 1)x x 2m 3 0+−−+= có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi

(A)
2
m
3
> (B)
3
m
2
< (C)
3
m
2
> (D)
3
m
2
>−
Câu 5: Hệ bất phương trình :
2x 1 0
xm3
−>
⎧
⎨
−<
⎩
vô nghiệm khi và chỉ khi
(A)
5
m
2

<−
(B)
5
m
2
≤−
(C)
7
m
2
<
(D)
5
m
2
≥−

ĐÁP ÁN:
Câu 1: Tập hợp các giá trò m để phương trình:
xm 2m
x1
x1 x1
−
−+ =
−
−
có nghiệm là
(A)
1
;

3
⎛⎞
+∞
⎜⎟
⎝⎠
(B)
1
;
3
⎛⎞
−∞
⎜⎟
⎝⎠
(C)
(
)
1;
+
∞ (D)
1
;
3
⎡⎞
+
∞
⎟
⎢
⎣⎠

Câu 2: Tập xác đònh của hàm số

2
y4x3x5x6=−++− là
(A)
[
)
1; +∞ (B)
3
;
4
⎡⎞
+∞
⎟
⎢
⎣⎠
(C)
3
;1
4
⎡
⎤
⎢
⎥
⎣
⎦
(D)
63
;
54
⎡⎤
−

⎢⎥
⎣⎦

Câu 3: Tập nghiệm của bất phương trình:
2
2
2x 3x 4
1
x2
−+
>
+
là
(A)
()()
;1 2;−∞ − +∞∪
(B)
(
)
(
)
;2 1;
−
∞− − +∞∪

(C)
()( )
;1 2;−∞ +∞∪ (D)
(
)

(
)
;2 4;
−
∞+∞∪
Câu 4: Phương trình:
22
(m 1)x x 2m 3 0+−−+= có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi
(A)
2
m
3
>
(B)
3
m
2
<
(C)
3
m
2
>
(D)
3
m
2
>−

Câu 5: Hệ bất phương trình :

2x 1 0
xm3
−>
⎧
⎨
−<
⎩
vô nghiệm khi và chỉ khi
(A)
5
m
2
<− (B)
5
m
2
≤− (C)
7
m
2
<
(D)
5
m
2
≥−

16
ĐỀ SỐ 2:

Câu 1:Tập hợp các giá trò m để phương trình:
22
x52m
1x 1x
−
=
−
−
có nghiệm là
(A)
()
2;3 (B)

(C)
[
]
2;3 (D)
()
1; 1−
Câu 2: Tập xác đònh của hàm số
2
yxx22x3=+−+− là
(A)
[
)
1; +∞ (B)
[]
3
2;1 ;
2

⎡
⎞
−+∞
⎟
⎢
⎣
⎠
∪ (C)
3
;
2
⎡
⎤
+
∞
⎢
⎥
⎣
⎦
(D)
3
;
2
⎛⎞
+
∞
⎜⎟
⎝⎠

Câu 3: Các giá trò của m để phương trình:

22
3x (3m 1)x m 4 0
+
−+−= có hai nghiệm trái dấu là
(A)
m4<
(B)
2m2−< <
(C)
m2
<
(D) m 2 hoặc m 2<− >
Câu 4: Phương trình:
2
xxm0++ = vô nghiệm khi và chỉ khi
(A)
3
m
4
>− (B)
3
m
4
<− (C)
m0>
(D)
5
m
4
>−

Câu 5: Tập nghiệm của bất phương trình:
x1
1
x3
−
>
−
là
(A)
∅ (B)  (C)
(
)
3;
+
∞ (D)
()
;5−∞


ĐÁP ÁN:

Câu 1:Tập hợp các giá trò m để phương trình:
22
x52m
1x 1x
−
=
−
−
có nghiệm là

(A)
()
2;3 (B)  (C)
[
]
2;3 (D)
()
1; 1−
Câu 2: Tập xác đònh của hàm số
2
yxx22x3=+−+− là
(A)
[
)
1; +∞ (B)
[]
3
2;1 ;
2
⎡
⎞
−+∞
⎟
⎢
⎣
⎠
∪ (C)
3
;
2

⎡
⎤
+
∞
⎢
⎥
⎣
⎦
(D)
3
;
2
⎛⎞
+
∞
⎜⎟
⎝⎠

Câu 3: Các giá trò của m để phương trình:
22
3x (3m 1)x m 4 0
+
−+−= có hai nghiệm trái dấu là
(A) m 4
< (B) 2 m 2−< < (C) m 2
<
(D)
m 2 hoặc m 2<− >

Câu 4: Phương trình:

2
xxm0++ = vô nghiệm khi và chỉ khi
(A)
3
m
4
>−
(B)
3
m
4
<−
(C) m0> (D)
5
m
4
>−

Câu 5: Tập nghiệm của bất phương trình:
x1
1
x3
−
>
−
là
(A)
∅ (B)

(C)

(
)
3;
+
∞ (D)
()
;5−∞







17
ĐỀ SỐ 3:

Câu 1: Tập xác đònh của hàm số
2
y43xx=−− là
(A)
[
]
4;1− (B)
1
;1
4
⎡⎤
−
⎢⎥

⎣⎦
(C)
(
]
[
)
;4 1;
−
∞− +∞∪ (D)
[
)
1
;1;
4
⎛⎤
−∞ − +∞
⎜
⎥
⎝⎦
∪
Câu 2: Tập hợp các giá trò m để phương trình:
22
(m 1)x (m 2)x 2m 1
4x 4x
−
+−+
=
−−
có nghiệm là
(A)

73
;
22
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠
(B)
57
;
22
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠
(C)
57
;
22
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
(D) 
Câu 3: Phương trình:
22
x2mxm3m10−++−= có hai nghiệm khi và chỉ khi
(A)
1
m
3

≤ (B)
1
m
3
< (C)
1
m
3
≥ (D)
1
m
3
≥−
Câu 4: Phương trình:
2
(m 3)x 3x 2m 5 0+−+−= có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi
(A)
m3>
(B)
5
3m
2
−< < (C)
5
m
2
<
(D)
5
m 3 hoặc m

2
<− >
Câu 5: Với giá trò nào của m thì hệ bất phương trình:
3x 1 0
xm2
−
≥
⎧
⎨
+
≤
⎩
có nghiệm duy nhất ?
(A)
5
m
3
= (B)
5
m
3
=− (C)
7
m
3
=
(D) không có giá trò nào của m

ĐÁP ÁN:

Câu 1: Tập xác đònh của hàm số
2
y43xx=−− là
(A)
[
]
4;1−
(B)
1
;1
4
⎡⎤
−
⎢⎥
⎣⎦
(C)
(
]
[
)
;4 1;
−
∞− +∞∪
(D)
[
)
1
;1;
4
⎛⎤

−∞ − +∞
⎜
⎥
⎝⎦
∪
Câu 2: Tập hợp các giá trò m để phương trình:
22
(m 1)x (m 2)x 2m 1
4x 4x
−
+−+
=
−−
có nghiệm là
(A)
73
;
22
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠
(B)
57
;
22
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠

(C)
57
;
22
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
(D) 
Câu 3: Phương trình:
22
x2mxm3m10−++−= có hai nghiệm khi và chỉ khi
(A)
1
m
3
≤ (B)
1
m
3
< (C)
1
m
3
≥ (D)
1
m
3
≥−
Câu 4: Phương trình:
2

(m 3)x 3x 2m 5 0+−+−= có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi
(A)
m3> (B)
5
3m
2
−< < (C)
5
m
2
<
(D)
5
m 3 hoặc m
2
<− >
Câu 5: Với giá trò nào của m thì hệ bất phương trình:
3x 1 0
xm2
−
≥
⎧
⎨
+
≤
⎩
có nghiệm duy nhất ?
(A)
5
m

3
= (B)
5
m
3
=− (C)
7
m
3
=
(D) không có giá trò nào của m



18
ĐỀ SỐ 4:

Câu 1: Tập xác đònh của hàm số
2
2
x2
y
x3x4
+
=
+
−
là
(A)
(

]
[
)
;4 1;−∞ − +∞∪
(B)
(
)
4;1−
(C)
(
)
(
)
;4 1;
−
∞− +∞∪
(D)
[
]
4;1−

Câu 2: Phương trình:
22
x 4mx 4m 2m 5 0++−−= có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi
(A)
5
m
2
≥− (B)
5

m
2
>− (C)
5
m
2
≥ (D)
5
m
2
≤−
Câu 3: Phương trình:
2
x2(m1)xm30−−+−= có hai nghiệm đối nhau khi và chỉ khi
(A)
m3< (B) m 1< (C) m 1
=
(D) 1m3<<
Câu 4: Phương trình:
2
xxm0++ = vô nghiệm khi và chỉ khi
(A)
3
m
4
>− (B)
3
m
4
<− (C) m0> (D)

5
m
4
>−
Câu 5: Tập xác đònh của hàm số
2
1
yxx2
2x 3
=+++
−
là
(A)
2
;
3
⎛⎞
+∞
⎜⎟
⎝⎠
(B)
2
;
3
⎡⎞
+∞
⎟
⎢
⎣⎠
(C)

3
;
2
⎡
⎤
+
∞
⎢
⎥
⎣
⎦
(D)
3
;
2
⎛⎞
+∞
⎜⎟
⎝⎠


ĐÁP ÁN:

Câu 1: Tập xác đònh của hàm số
2
2
x2
y
x3x4
+

=
+
−
là
(A)
(
]
[
)
;4 1;−∞ − +∞∪ (B)
(
)
4;1− (C)
(
)
(
)
;4 1;
−
∞− +∞∪ (D)
[
]
4;1−
Câu 2: Phương trình:
22
x 4mx 4m 2m 5 0++−−=
có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi
(A)
5
m

2
≥− (B)
5
m
2
>− (C)
5
m
2
≥ (D)
5
m
2
≤−
Câu 3: Phương trình:
2
x2(m1)xm30−−+−= có hai nghiệm đối nhau khi và chỉ khi
(A)
m3<
(B) m 1< (C) m 1
=
(D)
1m3<<

Câu 4: Phương trình:
2
xxm0++ = vô nghiệm khi và chỉ khi
(A)
3
m

4
>−
(B)
3
m
4
<−
(C) m0> (D)
5
m
4
>−

Câu 5: Tập xác đònh của hàm số
2
1
yxx2
2x 3
=+++
−
là
(A)
2
;
3
⎛⎞
+∞
⎜⎟
⎝⎠
(B)

2
;
3
⎡⎞
+∞
⎟
⎢
⎣⎠
(C)
3
;
2
⎡
⎤
+
∞
⎢
⎥
⎣
⎦
(D)
3
;
2
⎛⎞
+∞
⎜⎟
⎝⎠

19
ĐỀ SỐ 5:

Câu 1: Tập xác đònh của hàm số
2
1
yxx2
2x 3
=+++
−
là
(A)
2
;
3
⎛⎞
+∞
⎜⎟
⎝⎠
(B)
2
;
3
⎡⎞
+∞

⎟
⎢
⎣⎠
(C)
3
;
2
⎡
⎤
+
∞
⎢
⎥
⎣
⎦
(D)
3
;
2
⎛⎞
+
∞
⎜⎟
⎝⎠

Câu 2: Tập xác đònh của hàm số
2
x1
y
1x

−
=
−
là
(A)
(
]
;1−∞ − (B)
[
)
{
}
1; \ 1−+∞ (C)
(
]
(
)
;1 1;
−
∞− +∞∪ (D)
(
)
;1
−
∞
Câu 3: Phương trình:
2
x7mxm60−−−= có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi
(A)
m6<− (B) m6>− (C) m6

<
(D) m6>
Câu 4: Giả sử x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình:
2
x13x70
−
−=. Giá trò của tổng
12
11
xx
+
là
(A)
13
7
(B)
13
7
− (C)
7
13
−
(D)
7
13

Câu 5: Tập nghiệm của bất phương trình:
2x 11
0
x1
+
>
−
là
(A)
11
S;
2
⎛⎞
=− +∞
⎜⎟
⎝⎠
(B)
11
S;
2
⎛⎞
=+∞
⎜⎟
⎝⎠
(C)
11
;1
2
⎛⎞
−

⎜⎟
⎝⎠
(D)
()
11
;1;
2
⎛⎞
−∞ − +∞
⎜⎟
⎝⎠
∪


ĐÁP ÁN:

Câu 1: Tập xác đònh của hàm số
2
1
yxx2
2x 3
=+++
−
là
(A)
2
;
3
⎛⎞
+∞

⎜⎟
⎝⎠
(B)
2
;
3
⎡⎞
+∞
⎟
⎢
⎣⎠
(C)
3
;
2
⎡
⎤
+
∞
⎢
⎥
⎣
⎦
(D)
3
;
2
⎛⎞
+
∞

⎜⎟
⎝⎠

Câu 2: Tập xác đònh của hàm số
2
x1
y
1x
−
=
−
là
(A)
(
]
;1−∞ − (B)
[
)
{
}
1; \ 1−+∞ (C)
(
]
(
)
;1 1;
−
∞− +∞∪ (D)
(
)

;1
−
∞
Câu 3: Phương trình:
2
x7mxm60−−−= có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi
(A)
m6<−
(B)
m6>−
(C)
m6
<
(D)
m6>

Câu 4: Giả sử x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình:
2
x13x70
−
−=. Giá trò của tổng
12
11
xx
+
là

(A)
13
7
(B)
13
7
− (C)
7
13
−
(D)
7
13

Câu 5: Tập nghiệm của bất phương trình:
2x 11
0
x1
+
>
−
là
(A)
11
S;
2
⎛⎞
=− +∞
⎜⎟
⎝⎠

(B)
11
S;
2
⎛⎞
=+∞
⎜⎟
⎝⎠
(C)
11
;1
2
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠
(D)
()
11
;1;
2
⎛⎞
−∞ − +∞
⎜⎟
⎝⎠
∪

20
ĐỀ SỐ 6:

Câu 1: Phương trình:
2
x4mx2m0−+= có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi
(A)
1
0m
2
<< (B)
1
mm0
2
<
∨> (C) m
∈
∅ (D) m
∈

Câu 2: Tập nghiệm của bất phương trình:
(x 1)(x 3)
0
2x 1
−
+
≥
−
là
(A)

[
)
1
S3; 1;
2
⎡⎞
=− +∞
⎟
⎢
⎣⎠
∪ (B)
1
S;1
2
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
(C)
(
)
;3
−
∞−
(D)
(
)
S1;
=
+∞

Câu 3: Phương trình:
2
x2xm0−−= có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn
12
xx2
<
< khi và chỉ khi
(A)
1m0−< < (B) 1m0
−
≤< (C) m0> (D)
1
m
4
>−

Câu 4: Hệ bất phương trình :
2
(2x 1)(x 3) 0
x4
−+<
⎧
⎨
≤
⎩

có tập nghiệm là:
(A)
1
S3;
2
⎛⎞
=−
⎜⎟
⎝⎠
(B)
1
S2;
2
⎡
⎞
=−
⎟
⎢
⎣
⎠
(C)
1
S0;
2
⎛⎤
=
⎜
⎥
⎝⎦
(D)

[
]
S2;2=−
Câu 5: Tập nghiệm của bất phương trình:
2
x
x1
x2
≥+
−
là
(A)
()()
S;22;=−∞− +∞∪
(B)
(
]
(
)
S;22;
=
−∞ − +∞∪
(C)
(
)
;2
−
∞−
(D)
(

)
S2;
=
+∞

ĐÁP ÁN:
Câu 1: Phương trình:
2
x4mx2m0−+= có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi
(A)
1
0m
2
<< (B)
1
mm0
2
<
∨> (C) m
∈
∅ (D) m
∈

Câu 2: Tập nghiệm của bất phương trình:
(x 1)(x 3)
0
2x 1
−
+
≥

−
là
(A)
[
)
1
S3; 1;
2
⎡⎞
=− +∞
⎟
⎢
⎣⎠
∪ (B)
1
S;1
2
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
(C)
(
)
;3
−
∞−
(D)
(
)

S1;
=
+∞

Câu 3: Phương trình:
2
x2xm0−−= có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn
12
xx2
<
< khi và chỉ khi
(A)
1m0−< <
(B)
1m0
−
≤<
(C)
m0>
(D)
1
m
4
>−
Câu 4: Hệ bất phương trình :
2

(2x 1)(x 3) 0
x4
−+<
⎧
⎨
≤
⎩
có tập nghiệm là:
(A)
1
S3;
2
⎛⎞
=−
⎜⎟
⎝⎠
(B)
1
S2;
2
⎡
⎞
=−
⎟
⎢
⎣
⎠
(C)
1
S0;

2
⎛⎤
=
⎜
⎥
⎝⎦
(D)
[
]
S2;2=−

Câu 5: Tập nghiệm của bất phương trình:
2
x
x1
x2
≥+
−
là
(A)
()()
S;22;=−∞− +∞∪ (B)
(
]
(
)
S;22;
=
−∞ − +∞∪ (C)
(

)
;2
−
∞− (D)
(
)
S2;
=
+∞