SKKN Các dạng toán về phương trình tiếp tuyến lớp 12

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI:
“CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN LỚP 12”
1
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
Trong thực tế giảng dạy lớp 12 thì bài toán viết phương trình tiếp tuyến với một đường
cong là một bài toán rất cơ bản, thường xuyên xuất hiện trong các đề thi tốt nghiệp, cao
đẳng và đại học hàng năm. Vì thế là một giáo viên dạy Toán THPT và nhiều năm dạy, ôn
luyện học sinh lớp 12 tôi chỉ có một lao động sáng tạo nhỏ là hệ thống lại các bài toán
viết phương trình tiếp tuyến với một đường cong, đưa ra các phương pháp giải với từng
dạng đồng thời chỉ ra một số sai lầm mà học sinh hay mắc phải. Vì mục đích ấy kính
mong sự đóng góp ý kiến của các đồng chí chuyên viên có trách nhiệm thẩm định đề tài
và các đồng chí đồng nghiệp bổ khuyết.
B. NỘI DUNG
I. PHẦN I: CÁC DẠNG TOÁN
1. Dạng 1: Cho hàm số
)(xfy =
có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại
một điểm
)();( CyxM
ooo
∈
.
a) Phương pháp giải:
- Tính
)(' xf
.
- Tính hệ số góc của tiếp tuyến
)('
o
xfk =

.
- Phương trình tiếp tuyến với độ thì (C) tại điểm
);(
ooo
yxM
là:
))(('
ooo
xxxfyy −=−
b) Các ví dụ:
Ví dụ 1: Cho hàm số
12152)(
23
+−+== xxxxfy
có đồ thị (C).
2
Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm A(2; - 2)
∈
(C).
Giải
5)2('1543)('
2
=⇒−+= fxxxf
Phương trình tiếp tuyến với (C) tại A có dạng:
125
)2(52
−=⇒
−=+
xy
xy

⇒ Trong trường hợp khi biết hoành độ (hoặc tung độ) tiếp điểm ta tìm yếu tố còn lại và
làm tương tự như trên.
Ví dụ 2: (Bài tập 7 trang 44 SGK GT12)
Cho hàm số:
)(1
2
1
4
1
24
Cxxy ++=
Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có tung độ bằng
4
7
.
Giải
Gọi x
o
là hoành độ tiếp điểm ⇒ ta có
11
2
1
4
1
4
7
2
0
4
0

±=⇔++=
o
xxx
.
Với
2)1('1 =⇒= fx
o
⇒ phương trình tiếp tuyến tại






−
4
7
;1
1
M
là:
4
1
2)1(2
4
7
−=⇔−=− xyxy
Với
2)1('1 −=−⇒−= fx
o

⇒ phương trình tiếp tuyến tại






−
4
7
;1
2
M
là:
4
1
2)1(2
4
7
−−=⇔+−=− xyxy
3
Ví dụ 3: Cho hàm số
1
22
)(
2
+
−−
==
x

xx
xfy
có đồ thị là (C).
(C) cắt trục hoành tại A và B. Hãy viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại A và B.
Giải
- Tập xác định: D = R\{- 1}
- Hoành độ giao điểm của (C) và trục hoành là nghiệm phương trình.
310220
1
22
2
2
±=⇔=−−⇔=
+
−−
xxx
x
xx
⇒ (C) cắt Ox tại điểm
)0;31( +A
và
)0;31( −B
.
)32(32)31('
)1(
2
'
2
2
−=+=⇒

+
+
=
y
x
xx
y
)32(32)31(' +−=−=y
Phương trình tiếp tuyến với (C) tại A có dạng:
)31()32(32 −−−= xy
Phương trình tiếp tuyến với (C) tại B có dạng:
)31()32(32 +−+−= xy
* Nhận xét: Qua ví dụ 3 cho thấy học sinh sẽ lúng túng không viết được phương trình tiếp
tuyến nếu không tìm được tọa độ của A và B. Vì vậy đối với các bài toán ở dạng 1 nhưng
trong bài lại chưa cho tọa độ (x
o
; y
o
) thì cần tìm (x
o
; y
o
) trước rồi mới bắt đầu vào bước 1
trong phần phương pháp giải ở trên.
4
Đồng thời bài toán ở dạng 1 này đã được mở rộng để áp dụng vào xây dựng phương trình
tiếp tuyến của các đường Cônic như trong SGK hình học 12 (trước phân ban) ta xét ví dụ
cụ thể với elip.
Ví dụ 4: Cho (E) có phương trình:
1

64100
22
=+
yx
.
Hãy viết phương trình tiếp tuyến của Elip tại điểm
)34;5(M
.
Giải
Nhận xét điểm
)()34;5( EM ∈
.
2
2
2
2
100
5
4
'100
5
4
64
100
100
x
x
yxy
x
y

−
±=⇒−±=⇔
−
=
.
35
4
)5(' ±=⇒ y
vì
∈)34;5(M
phần (E) mà các điểm trên đó có tung độ dương nên
35
4
)5('100
5
4
2
−=⇒−= yxy
.
Vậy phương trình tiếp tuyến tại
)34;5(M
là:
080435 =−+ xy
2. Dạng 2: Cho hàm số
)(xfy =
có đồ thị là (C). Hãy viết phương trình tiếp tuyến với (C)
có hệ số góc k cho trước:
a) Phương pháp giải:
- Tính
)(' xf

.
- Gọi
)();( CyxM
ooo
∈
tại đó tiếp tuyến có hệ số góc k.
⇒ x
o
là nghiệm phương trình
kxf
o
=)('
.
5
- Phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng:
)(
oo
xxkyy −−
.
Chú ý: Giả sử đường thẳng D
1
có hệ số góc là k
1
.
đường thẳng D
2
có hệ số góc là k
2
.
Thì D

1
// D
2

⇔ k
1
= k
2
.
D
1
⊥ D
2
⇔ k
1
. k
2
= - 1
D
1
cắt D
2
⇔ k
1
≠ k
2
b) Các ví dụ:
Ví dụ 1: Cho hàm số
2
12

−
+
=
x
x
y
. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số
biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng - 5.
(Đề thi tốt nghiệp THPT năm học 2008 - 2009)
Giải
Gọi d là tiếp tuyến của (C) tại tiếp điểm
);(
oo
yx
.
⇒ x
o
là nghiệm phương trình



=
=
⇔−=
−
−
⇔−=
3
1
5

)2(
5
5)('
2
o
o
o
o
x
x
x
xy
Với
31 −=⇒=
oo
yx
⇒ phương trình tiếp tuyến là
25 +−= xy
.
Với
73 =⇒=
oo
yx
⇒ phương trình tiếp tuyến là
225 +−= xy
.
Ví dụ 2: Cho hàm số
1
23
)(

−
−
==
x
x
xfy
có đồ thị (C).
Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết rằng tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng
104 += xy
.
Giải
6
D = R \ {1};
2
)1(
1
'
−
−
=
x
y
.
Gọi
)();( CyxM
ooo
∈
tại đó tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
104 += xy
, có hệ số góc k:

4
1
14. −=⇒−= kk
.
⇒ x
o
là nghiệm phương trình






=
=
⇔



=
−=
⇔=
−
−
2
7
2
5
3
1

4
1
)1(
1
2
o
o
o
o
o
y
x
y
x
x
Tại






−
2
5
;1
1
M
có tiếp tuyến là
4

9
4
1
+−= xy
.
Tại






2
7
;3
2
M
có tiếp tuyến là
4
17
4
1
+−= xy
.
* Nhận xét: Qua ví dụ 2 ở trên cho thấy nhiều bài toán viết phương trình tiếp tuyến dạng
2 nhưng không trực tiếp hệ số góc mà phải thông qua một giả thiết khác. Vì vậy cần nhấn
mạnh cho học sinh thấy tầm quan trọng của việc nắm kiến thức một cách liền manh, biết
vận dụng, liên hệ các phần với nhau.
3. Dạng 3:
a) Bài toán: Cho hàm số

)(xfy =
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết
rằng tiếp tuyến đó đi qua một điểm
);(
AA
yxA
cho trước.
b) Cách giải:
* Cách 1:
- Gọi d là tiếp tuyến với (C) có hệ số góc k và đi qua A.
⇒ d có phương trình:
AA
yxxky +−= )(
(1)
7
- Hoành độ tiếp điểm x
o
và hệ số góc k của tiếp tuyến là nghiệm của hệ phương trình:



=
+−=
kxf
yxxkxf
AA
)('
)()(
Giải hệ phương trình tìm k ⇒ thay vào (1) ra phương trình tiếp tuyến.
* Cách 2:

- Giả sử có tiếp tuyến (d) đi qua A, tiếp xúc với (C) tại tiếp điểm
);(
ooo
yxM
⇒ d có
phương trình:
))(('
ooo
xxxfyy −=−
.
- Vì A (x
A
; y
A
)
∈
d
))(('
oooA
xxxfyy −=−⇒
))((')(
oAooA
xxxfxfy −=−⇒
(2)
- Giải phương trình (2) tìm x
o





=
⇒
)('
)(
0
o
o
xf
xfy
.
- Viết phương trình tiếp tuyến dạng:
))(('
0 oo
xxxfyy −=−
c) Các ví dụ:
Ví dụ 1: Cho hàm số
)(
1
23
C
x
x
y
−
−
=
.
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) đi qua điểm A (2; 0).
Giải
TXĐ: D = R \ {1}.

2
)1(
1
'
−
−
=
x
y
Phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A(2; 0) và có hệ số góc k là
).2( −= xky
8
- Hoành độ tiếp điểm x
o
và hệ số góc k của tiếp tuyến là nghiệm của hệ phương trình:













−=
=




−=
=
⇔









=
≠
−
−=
−
−
⇔



=
−=
9
3
4

1
0
1
)1(
1
)2(
1
23
)()(
2
'
k
x
k
x
k
x
x
xk
x
x
kf
xyxxkxf
x
AA
.
- Vậy phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số đi qua A(2; 0) là




+−=
+−=
189
2
xy
xy
.
Ví dụ 2: Cho hàm số
)(
2
3
3
2
1
24
Cxxfy +−=
.
Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) hàm số (2) biết tiếp tuyến đó đi qua A(0; 3/2).
Giải
- Phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A(0; 3/2) và có hệ số góc k là
2
3
+= kxy
.
- Để đường thẳng (d) trở thành tiếp tuyến của đồ thị hàm số (2) thì hệ phương trình:






=−
+=+−
kxx
kxxx
62
2
3
2
3
3
2
1
3
24
Có nghiệm



±=
=
⇒



±=
=
⇔
22
0
22

0
k
k
x
xx
Vậy các phương trình tiếp tuyến cần viết là:
2
3
22
2
3
22
2
3
+=
+−=
=
xy
xy
y
- Từ dạng 3 này có thể mở rộng bài toán tiếp tuyến thành 1 vài dạng: chẳng hạn ở ví dụ 3:
9
Ví dụ 3:
Cho hàm số:
)(
2
13
2
C
x

xx
y
−
+−
=
.
CMR không có tiếp tuyến nào với (C) đi qua giao điểm của các tiệm cận.
Giải
Có x = 2 Là tiệm cận đứng
y = x - x Là tiệm cận xiên
Gọi I là giao điểm 2 tiệm cận ⇒ I (2; 1).
Gọi x
o
là hoành độ tiếp điểm
2
13
2
−
+−
=⇒
o
oo
o
x
xx
y
.
Và
2
2

)2(
54
)('
−
+−
=
o
oo
o
x
xx
xy
.
Phương trình tiếp tuyến tại (x
o
; y
o
) dạng.
)(
)2(
54
2
13
2
22
o
o
oo
o
oo

xx
x
xx
x
xx
y −
−
+−
=
−
+−
−
Giả sử tiếp tuyến đi qua I(2; 1) thì pt:
)2(
)2(
54
2
13
1
2
22
o
o
oo
o
oo
x
x
xx
x

xx
−
−
+−
=
−
+−
−
(2) phải có nghiệm
(2)



≠
−+−=−+−−−
⇔
2
)2)(54()2)(13()2(
222
o
ooooooo
x
xxxxxxx
vô nghiệm
Vậy không có tiếp tuyến của đường cong đã cho đi qua I (2; 1) là giao điểm của các
đường tiệm cận.
10
PHẦN 2: KẾT LUẬN
1. Những sai lầm thường gặp: Học sinh hay nhầm lẫn giữa dạng 1 và dạng 3 nên trong
quá trình giảng dạy cần phan biệt cho học sinh:

- Tại một điểm thuộc đường cong chỉ có một tiếp tuyến với đường cong đó.
- Qua một điểm có thể có ít nhất một tiếp tuyến với đường cong (nếu có tiếp tuyến).
Chẳng hạn như ở ví dụ 2 dạng 3 là hàm số
)(
2
3
3
2
1
24
Cxxy +−=
mà phải viết phương trình
tiếp tuyến đi qua






2
3
;0A
.
- Lời giải đúng: (Đã trình bày).
- Lời giải chưa chính xác như sau:
Dễ dàng nhận thấy
)(
2
3
;0 CA ∈







⇒ phương trình tiếp tuyến tại A:
2
3
)0(0
2
3
yxy ⇔−=−
.
Lời giải này không đầy đủ cụ thể thiếu hai phương trình tiếp tuyến
2
3
22;
2
3
22 +=+−= xyxy
.
2. Để học sinh có thể làm được các bài toán tiếp tuyến với đường cong cần phân tích rõ
các yếu tố cần thiết.
- Tọa độ tiếp điểm (x
o
; y
o
).
- Hệ số góc k = f'(x

o
).
C. KẾT QUẢ THỰC HIỆN
1. Phương pháp tiến hành.
11
- Chọn đối tượng thực nghiệm và đối tượng dùng để đối chứng sau đó so sánh kết quả:
- Phân tích số liệu thực nghiệm và rút ra kết luận.
2. Kết quả:
- Đối tượng thực nghiệm: 12C
7
.
- Đối tượng đối chứng: 12C
6
.
Cùng làm bài viết phương trình tiếp tuyến với đường cong cả 3 dạng (nhưng 12C
7
được
dạy tổng kết các dạng phương trình tiếp tuyến).
Kết quả: 12C
7
: 81,2% trên TB.
12C
6
: 62% trên TB.
3. Kết luận:
- Việc tổng kết các dạng bài toán cơ bản, mở rộng, chỉ ra những sai lầm hay gặp của học
sinh là những hoạt động phải làm thường xuyên trong các giờ giảng trên lớp.
D. TÀI LIỆU THAM KHẢO
- SGK giải tích, hình học 12.
- Hướng dẫn ôn thi TN 2008 - 2009; 2009 - 2010.

- Giới thiệu đề thi tuyển sinh vào đại học - cao đẳng tòan quốc (từ 2002 - 2008).
12